Aula 7 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 2

Simon Haykin

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Integral de Convolução

dtxtx

dtxHtxHty

dtHxty

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thxwt

dwty t

dthxthtxty

*

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EXEMPLO: Considere o circuito RC da figura e suponha que a constante de tempo do circuito seja RC=1s. Determine a tensão do capacitor, y(t), resultante de uma tensão de entrada

23 tutuetx t

SOLUÇÂO: O circuito é LTI, de forma que a saída é a convolução da entrada e da resposta ao impulso, ou seja, y(t)=x(t)*h(t). A resposta ao impulso deste circuito é tueth t

contráriocaso,0

20,3 tetx

t

contráriocaso,0

, teth

t

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contráriocaso,0

20, tetx

t

contráriocaso,0

, teth

t

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI

Conexão paralela de sistemas

thtx

dthx

dththx

dthxdthx

thtxthtx

tytyty

*

**

21

21

21

21


Propriedade distributiva

ththtxthtxthtx 2121 ***

nhnhnxnhnxnhnx 2121 ***


Conexão em cascata de sistemas

dthz

thtzty

2

2*

dhx

hxz

1

1*

ddthhxty 21



ddthhxty

21

Mudança de variável

A integral interna é a convolução de h1(t) e h2(t) avaliada em t-μ. Ou seja, se definirmos h(t)= h1(t)*h2(t), então

thdthh 21



dthxty

Logo,

thtxty *


Propriedade Associativa

ththtxththtx 2121 ****

Propriedade Comutativa

thththth 1221 **

Todas as propriedades também se aplicam ao tempo discreto!


Exemplo: Considere a interconexão dos sistemas LTI mostrados na figura. A resposta ao impulso de cada sistema é:

nunh

nnh

nununh

nunh

n

4

3

2

1

2

2Encontre a resposta ao impulso do sistema global, h(t)


Solução

nununuhnhnh

nunnunhnhnh

nununununhnhnh

nhnhnhnhnh

nn

1

2*2*

22

*

4123

312123

2112

4321

Dividir para conquistar!


Sistema sem Memória

kknxkh

nxnhny *

A saída de um sistema LTI de tempo discreto pode ser descrita como

Para que este sistema seja sem memória, y[n] deve depender somente de x[n] e não de x[n-k], para k≠0. Neste caso,

constanteumaé, ckckh

Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!


Sistema Causal

kknxkhny

Considere a saída de um sistema LTI de tempo discreto

Para que este sistema seja causal, y[n] deve depender somente de valores passados e presente de x[n], de modo que h[k]=0, para k<0. Neste caso,

Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!

0kknxkhny

dtxhty

0


Sistema Estável

yx MnyMnx

Sistema BIBO estável

Então,

kk

k

knxkhknxkh

knxkh

nxnhny *


Sistema Estável

exx MknxMnx

Supondo que a entrada é limitada, isto é

kx khMny

Consequentemente, a saída também será limitada, isto édesde que a resposta ao impulso seja absolutamente somável. Logo ,

é a condição necessária para que um sistema seja estável!Analogamente, para um sistema de tempo contínuo, temos que

ny

kkh

dh


Exemplo: Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso

2 nuanh n

Este é um sistema BIBO estável, sem memória ou causal?

0

12

2 n

n

n

n

naaaanh

Solução: Verificação da estabilidade

O último somatório converge se |a|<1. Logo, o sistema é estável se e somente se 0<a<1.


0

12

2 k

n

n

n

naaaanh

Solução: O sistema é não causal, uma vez que a resposta ao impulso é não nula para as amostras futuras n=-1 e n=-2.

O sistema é com memória, pois a resposta ao impulso é não nula para amostras n≠0.


tththtxththtx 11 ***

Sistema Invertível e Desconvolução

Similarmente um sistema LTI de tempo discreto é invertível se

nnhnh 1*


Exemplo: Considere projetar um sistema inverso de tempo discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num problema de transmissão de dados. Suponha que o eco seja representado como atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma unidade de tempo na sequência de entrada. Daí, o sinal recebido distorcido y[n] pode ser expresso em termos do sinal transmitido x[n] como

Encontre um sistema inverso causal que recupere x[n] de y[n]. Verifique se este sistema inverso é estável.

1 naxnxny


Solução: Primeiramente identificamos a resposta ao impulso do sistema que relaciona y[n] e x[n].

onde

kknxkhny

contráriocaso,0

1,

0,1

ka

k

kh

O sistema inverso h-1[n] deve satisfazer

nnahnhnnhnh 1* 111


Solução: em um sistema causal, para n<0, h-1[n]=0. Para n=0,

De modo que

Para n>0,

10110 111 hahh

1n

0n de modo que

101 1111 nahnhnahnh

Uma vez que 312111 1,1,1,10 ahahahh

nuanh n 1

Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável.


Solução: Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável.

A série acima converge para a<1. Logo, o sistema é estável para 0<a<1. Isto significa que o sistema é estável se o eco atenuar o sinal transmitido x[n], mas é instável se o eco amplificar tal sinal.

0

1

k

k

kakh

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