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Sinais e Sistemas – Capítulo 1

Simon Haykin

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Sinais Elementares Servem como blocos de construção para sinais mais

complexos Modelam sinais físicos que ocorrem na natureza Sinais elementares:

Sinais exponenciais; Sinais senoidais; Função degrau; Função impulso; Função rampa.

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Sinais Exponenciais Caso contínuo: x(t)=Beat, B e a são reais, onde B é a

amplitude e a é uma constante de tempo Se a<0: exponencialmente decrescente Se a>0: exponencialmente crescente Exemplo: (a) a=-6, B=5, (b) a=5, B=1

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Sinais Exponenciais Caso contínuo

O circuito abaixo ilustra um exemplo físico clássico que é o capacitor com fuga

O modelo matemático em t≥0 é o seguinte:

A solução da equação acima é

onde RC é a constante de tempo

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Sinais Exponenciais Caso discreto: x[n]=Brn, definindo-se r=e

Se 0<r<1: exponencial decrescente Se r>1: exponencial crescente Se r<0: um sinal exponencial de tempo discreto com sinais + e –

alternando-se (verifique em casa!)

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Sinais Exponenciais Caso discreto: x[n]=Brn, definindo-se r=e

É possível que um sinal exponencial tenha valor complexo quando B, a ou tenham valores complexos. Exemplos: ejwt, ejn

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Sinais Senoidais Caso contínuo: x(t)=Acos(t+)

Sinal periódico, T=2π/ω

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Sinais Senoidais Para a geração de um sinal senoidal temos o indutor e

capacitor em paralelo.

Frequência natural de oscilação angular:

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Sinais Senoidais Caso discreto: x[n]=Acos(n+)

O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras, x[n]=x[n+N], onde N é o período. Então, x[n+N]=Acos(n+ N+)

Para que a condição de periodicidade seja satisfeita tem-se que: N=2m ou =2m/N

Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de são periódicos. deve ser um múltiplo na forma de razão de 2.

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Sinais Senoidais Exemplo: A=1, =0 e N=12

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Sinais Senoidais

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Sinais Senoidais

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Sinais Senoidais

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Sinais Senoidais

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Sinais Senoidais

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Tarefa para Casa

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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos Caso contínuo:

Identidade de Euler:

Caso contínuo:

Assim, , ondeAssim,Assim,Assim, , portanto

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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos Caso discreto:

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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos

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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Resultante da multiplicação de um sinal senoidal por

uma exponencial decrescente de valor real:

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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Exemplo físico: resposta natural RLC

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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Para o caso discreto temos que

Para que o sinal decresça com o tempo: 0<|r|<1

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Função degrau Caso contínuo:

Caso discreto:

Caso contínuo:

Caso discreto:

Caso contínuo:

Caso discreto:

Caso contínuo:

Caso discreto:

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Função degrau A função degrau é um sinal simples de aplicar, como

uma fonte DC aplicada em t=0 fechando-se uma chave

Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada

Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto

A função degrau também é usada para construir outros sinais

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Função degrau

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Função degrau

T=1s

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Tarefa para casa

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Função Impulso

Tempo discreto

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Função ImpulsoTempo contínuo

Á medida que T diminui, o pulso retangular se aproxima melhor do impulso.

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Propriedades do ImpulsoO impulso é uma função par , isto é,

Propriedade de Peneiramento

Mudança de escala de tempo

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A Função RampaTempo Contínuo

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A Função RampaTempo Discreto