Aula 24 - A equação do 2º grau.pdf

24A U L A

24A U L A

A equao do 2 grau

Introduo Freqentemente, ao equacionarmos um pro-blema, obtemos uma equao na qual a incgnita aparece elevada ao quadrado.Estas so as chamadas equaes do 2 grau.

Veja alguns exemplos:

x - 6 = 02x = 10xx - 5x + 6 = 0

Repare que em todas aparece o termo x .De forma geral, a equao do 2 grau escrita assim:

ax2 + bx + c = 0

onde a, b, e c so nmeros quaisquer. Mas, o nmero a no pode ser zero,porque, nesse caso, o termo x seria eliminado.

O nmero a o coeficiente de x.

O nmero b o coeficiente de x.

O nmero c o termo independente.

Observe os valores de a, b e c nos exemplos:

l Na equao x ----- 6 = 0 temos a = 1, b = 0 e c = ----- 6

l A equao 2x = 10x a mesma que 2x ----- 10x = 0; portanto, a = 2, b = ----- 10 e c= 0.

l Na equao x ----- 5x + 6 = 0 temos a = 1, b = ----- 5 e c = 6.

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

24A U L ANesta aula, vamos aprender a resolver equaes do 2 grau, ou seja, a

encontrar suas solues ou razes.Uma raiz (ou soluo) de uma equao um nmero que, se colocado no

lugar de x, torna a igualdade correta.Por exemplo, consideremos a equao

x ----- 5x + 6 = 0

O que acontece se substituirmos a letra x pelo nmero 1?Vejamos:

1 - 5 1 + 6 = 01 - 5 + 6 = 0

2 = 0 fi errado

Com essa experincia, descobrimos que x = 1 no uma soluo dessaequao. Veja agora o que acontece se substituirmos a letra x pelo nmero 2.

2 - 5 2 + 6 = 04 - 10 + 6 = 0

0 = 0 fi certo

Sabemos agora que x = 2 uma soluo (ou raiz) dessa equao. natural que agora voc tenha perguntas a fazer, tais como:

l Ser que existem outras solues?l Como encontr-las?

As respostas viro com o estudo desta aula. Voc descobrir que umaequao do 2 grau possui, no mximo, duas solues, e vai tambm aprendera encontr-las.

Leia com ateno os exemplos e procure fazer os exerccios propostos.

Resolvendo ax + b = 0

EXEMPLO 1

Vamos resolver x ----- 9 = 0Soluo: Transpondo - 9 para o outro lado, obtemos

x2 = 9oux = 9ou, ainda,x = 3

Temos, ento, que a equao x ----- 9 = 0 possui duas razes: x = 3 e x = ----- 3.

Nossa aulaAcesse: http://fuvestibular.com.br/


24A U L A Nota: Nem sempre as solues de uma equao desse tipo so nmeros

inteiros. Veja a equaox - 10 = 0

Fazendo da mesma forma, temos:

x2 = 10 ex = 10

Isso significa que essa equao tem tambm duas solues:

x = 10 e x = - 10

Se voc quiser saber, aproximadamente, quanto valem esses nmeros, usesua mquina de calcular. Com aproximaes at a 3 casa decimal, asrazes da equao x - 10 = 0 so: x = 3,162 e x = 3,162.

Exerccio 1Resolva as equaes:a) x - 36 = 0b x - 3 = 0c) 2x - 8 = 0

EXEMPLO 2

Resolver a equao 4 x ----- 3 = 0.Soluo: Para resolver, passamos - 3 para o outro lado e em seguidadividimos os dois lados por 4. Observe:

4x2 = 34x2

4=

34

x2=34

x = 34

Lembre-se de que a raiz quadrada de uma frao igual raiz quadrada donumerador dividida pela raiz quadrada do denominador, ou seja:

x = 34=

32

A equao tem, portanto, as solues: x =3

2 e x = -

32

.

Exerccio 2Resolva as equaes:a) 3x = 9b) 2x - 10 = 0c) 16x - 5 = 4



24A U L AResolvendo x + px = q

EXEMPLO 3

Vamos resolver (x ----- 3) = 16.Iniciamos extraindo a raiz quadrada dos dois lados:

x - 3 = 16 oux - 3 = 4

Passando o ----- 3 para o outro lado, temos:

x = 4 + 3

ou seja, as razes da nossa equao so

x = + 4 + 3 = 7 e x = - 4 + 3 = - 1

EXEMPLO 4

Resolver a equao (x ----- 4) = 5.Soluo: Procedendo da mesma forma, temos:

x - 4 = 5 ex = 4 5

ou seja, as razes so x = 4 + 5 e x = 4 - 5

Nota: No caso que acabamos de ver, as razes so nmeros chamadosirracionais, ou seja, so nmeros que s podem ser conhecidos por aproxi-maes. A mquina de calcular nos mostra essas aproximaes.

Para calcular x = 4 + 5 , digite

Para calcular x = 4 - 5 , digite

Exerccio 3Resolva as equaes abaixo. Caso encontre razes irracionais, use suacalculadora para obter aproximaes at a 3 casa decimal.

a) (x + 1) = 4b) (x - 2) = 15c) (x + 5) - 3 = 0

4 + 5 =

4 - 5 =

6,236fi

1,764fi



24A U L A Para resolver o caso geral (x + px = q), devemos aprender a criar um

quadrado perfeito a partir da expresso x + px. A partir de agora, devemoster em mente as conhecidas frmulas:

(a + b) = a + 2ab + b,(a ----- b) = a ----- 2ab + b

EXEMPLO 5

Resolver a equao x + 6x = 7Soluo: Observe atentamente nossa soluo. Vamos comear com algoque, a princpio, pode parecer misterioso.

Somamos 9 aos dois lados da equao.

x + 6x + 9 = 7 + 9

Repare que, com esse artifcio misterioso, o lado esquerdo exatamenteigual a (x + 3) . Confira.

Temos, ento:

(x + 3) = 16

E essa uma equao que sabemos resolver.

x + 3 = 16x + 3 = 4x + 3 = - 4

As razes so, portanto,

x = 4 ----- 3 = 1 e

x = ----- 4 ----- 3 = ----- 7

Fica ento a pergunta: como adivinhamos que, se somssemos 9 aos doislados da equao, a soluo apareceria? Respondemos logo.Para obter um quadrado perfeito a partir da expresso x + px, devemossomar a essa expresso

Observe que

Portanto, se temos, por exemplo a expresso x + 6x, para obter umquadrado perfeito, devemos somar

= 32 = 9

Pratique, no exerccio, como completar quadrados.

p2

x + px + p2 =

p 2x +

62



24A U L AExerccio 4

Complete as expresses abaixo:

a) x + 10x+ = (x + )

soluo: 102= 5 e 5 = 25 . Portanto,

x + 10x + 25 = (x + 5)

b) x + 12x + = (x + )c) x - 6x + = (x - )d) x + 3x + = (x + )

Estamos agora preparados para resolver o caso geral da equao do 2 grau.

EXEMPLO 6

Resolva a equao x ----- 8x + 10 = 0.Soluo: Observe os passos que vamos seguir; todos so conhecidos.

x - 8x + 10 = 0x - 8x = - 10x - 8x + 16 = - 10 + 16(x - 4) = 6x - 4 = 6x = 4 6

As razes so x = 4 + 6 e x = 4 - 6

Aprendemos hoje a resolver equaes do 2 grau. Na prxima aula vamosdeduzir uma frmula que resolve essas equaes, e que voc poderutilizar sempre que quiser. Em seguida, apresentaremos os problemas queso resolvidos com auxlio das equaes do 2 grau.

Exerccio 5Resolva as equaes:a) (x - 2) = 12b) (x + 3) = 25

Exerccio 6 A equao (x - 1) + 3 = 0 no possui soluo. Por qu?

Exerccio 7Resolva as equaes:a) x - 6x - 40 = 0b) x - 5x + 6 = 0c) x - 4x = 0

Exercciosfinais



Aula 24 - A equação do 2º grau.pdf

Documents

Transcript of Aula 24 - A equação do 2º grau.pdf