Aula 24 calculo iialuno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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AULA

24

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS VOLUMES POR SEÇOES TRANVERSAIS

Nessa aula, definiremos

volumes de sólidos cujas

seções transversais

(região plana formada pela

interseção entre o sólido e

um plano) são regiões

planas.

Relembrando que o volume de um sólido é

dado por: Volume = área da base x altura.


Se a seção do sólido S em

cada ponto x no intervalo

[a, b] é uma região R(x) de

área A(x), e A é uma

função contínua de x,

podemos definir e calcular

o volume do sólido S

como uma integral

definida:


a = x0 < x1 < ... <xn = b.

Dividimos [a, b] em

subintervalos de largura

(comprimento) ∆xk e fatiamos

os sólido (como faríamos

com um pão) por planos

perpendiculares ao eixo x

nos pontos de partição


DEFINIÇÃO – VOLUME

O volume de um sólido

compreendido entre os planos

x = a e x = b e cuja seção

transversal por x é uma

função integrável A(x), é a

integral:

b

a

dxxAV


Para calcular o volume de um sólido faça:

1 – Esboce o sólido e uma seção

transversal típica.

2 – Encontre uma fórmula para A(x), a

área de uma transversal típica.

3 – Encontre os limites de integração.

4 – Integre A(x).

SOLUÇÃO

EXEMPLO 2

Princípio de Cavalieri.

O princípio do volume

de Cavalieri diz que

sólidos com mesma

altura e com áreas das

seções transversais

iguais em cada altura tem

o mesmo volume.

EXEMPLO 2

Isso se segue

imediatamente à

definição de volume,

pois a função área de

seção transversal

A(x) e o intervalo [a,b]

são iguais para ambos

sólidos.

EXERCÍCIO 1

Determine o volume de um sólido situado

entre dois planos perpendiculares ao eixo x em

x=0 e x=4. As seções transversais

perpendiculares ao eixo x, no intervalo

0 ≤ x ≤ 4, são quadrados cujas diagonais vão da

parábola .xyparábolaàxy

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 2

Calcular o volume do sólido

que situa-se entre planos

perpendiculares ao eixo x em

x= -1 e x=1.

As seções transversais

perpendiculares ao eixo x são

discos circulares cujos

diâmetros vão da parábola

.2 22 xyparábolaàxy

SOLUÇÃO


Sólido de Revolução: o método do disco

Um sólido gerado pela rotação de uma

região plana em torno de um eixo no plano

desse eixo é chamado sólido de revolução.


Para determinar o volume de

um sólido como o mostrado

ao lado, precisamos somente

observar que a área da

seção transversal A(x) é um

disco de raio R(x) (que é a

distância entre a fronteira da

região bidimensional e o eixo

de revolução).


A área é, portanto

:,

22

temosvolumededefiniçãopelaE

xRraioxA

b

a

b

a

dxxRdxxAV2


Esse método para

calcular o volume de um

sólido de revolução

geralmente é denominado

método do disco, pois

uma seção transversal é

um disco circular de raio

R(x).

SOLUÇÃO

EXEMPLO 2

Determine seu volume.

Calcular o volume de uma esfera.

SOLUÇÃO

Exemplo de um sólido de revolução (rotação em torno da reta y = 1)

Exemplo de um sólido de revolução (rotação em torno da reta y = 1)

O volume é:

Exemplo de um sólido de revolução em torno do eixo y

Determine o volume do sólido obtido com a

rotação, em torno do eixo y, da região

compreendida entre o eixo y e a curva x = 2/y,

1≤ y ≤ 4.

SOLUÇÃO

Ao lado estão as figuras

mostrando a região, um raio

típico e o sólido gerado.

O volume é

Exemplo de um sólido de revolução em torno do eixo vertical


rotação, em torno da reta x = 3, da região

compreendida entre a parábola x = y2 +1 e a

reta x = 3.

SOLUÇÃO

Desenhamos as figuras

mostrando a região, um raio

típico e o sólido gerado.

O raio é dado pela distância

da reta x = 3 até a fronteira

da parábola (x = y2 + 1)

SOLUÇÃO

As interseções entre a

parábola e a reta se dão nos

pontos

2,32,3 e

SOLUÇÃO

Então o intervalo, no eixo

y, vai de

22 a

SOLUÇÃO

Girando o gráfico

para a direita, fica

fácil perceber que o

volume será dado

por:

EXERCÍCIO 3


rotação da região sombreada em torno do

eixo dado.

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 4


rotação da região sombreada em torno do

eixo y.

SOLUÇÃO


SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

O método do anel

Se a região que girarmos para

gerar um sólido não atingir ou

cruzar o eixo de revolução, o

sólido resultante terá um

orifício no meio


As seções transversais

perpendiculares ao eixo

de revolução serão anéis

e não discos.

As dimensões de um anel

típico são


Raio externo: R(x)

Raio interno: r(x)

A área do anel é

22

22

xrxR

xrxRxA


Consequentemente, de

acordo com a definição

de volume, temos:

b

a

b

a

xrxRdxxAV22

Exemplo: Uma seção transversal em forma de anel (rotação em torno do eixo x)

A região limitada pela curva y = x2 +1 e pela

reta y = - x + 3 gira em torno do eixo x para

determinar um sólido.

Determine o volume do sólido.

SOLUÇÃO

Desenhe a região.

Determine os raios interno e

externo do anel que seria

gerado se a região girasse em

torno do eixo x.

Raio externo: R(x) = - x+3

Raio interno: r(x) = x2+1

SOLUÇÃO

Procure os limites de integração

determinando as abscissas dos

pontos de interseção da curva

com a reta.

SOLUÇÃO

Calcule o volume.

Exemplo: Uma seção transversal em forma de anel (rotação em torno do eixo y)

A região compreendida entre a parábola

y = x2 e a reta

y = 2x no primeiro quadrante gira em torno

do eixo y para gerar um sólido.

Determine o volume do sólido.

SOLUÇÃO

Primeiro, esboce a

região.

Os raios do anel

gerado pelo são:

A reta e a parábola se cortam em y = 0 e

y = 4, portanto os limites de integração são

c = 0 e d = 4.

2

)(y

yreyyR

SOLUÇÃO

Integramos para

determinar o volume:

EXERCÍCIO 5


rotação das regiões sombreadas em torno

do eixo indicado.

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 6


rotação, em torno do eixo x, da região

limitada pelas retas e curvas:

.01; xeyxy

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

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