Aula 8 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 2

Simon Haykin

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Resposta ao Degrau

kknukhns

nunhns *

kn

knknu

,0

,1

A resposta de um sistema LTI ao degrau caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada.

Como

então

n

kkhns

Ou seja, a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso.

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Resposta ao Degrau

tdhts

Similarmente, a resposta ao degrau de um sistema LTI de tempo contínuo é

Podemos inverter a relação e expressar a resposta ao impulso em termos da resposta ao degrau, como segue:

ou

tsdt

dth

1 nsnsnh

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Resposta ao Degrau

tueRC

th RCt1

Exemplo: Encontre a resposta ao degrau do circuito RC da figura abaixo, que tem resposta ao impulso dada por

Solução: Como

Simplificando a integral, temos

tRC

tdue

RCdhts 1

0,1

0,0

0,1

0,0

0

te

tts

tdeRC

tts

RCt

tRC

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Resposta Senoidal em Estado Estacionário

njenx

Sinais de entrada senoidais frequentemente são usados para caracterizar a resposta de um sistema. Aqui, iremos examinar a relação entre a resposta ao impulso e a resposta em estado estacionário ou permanente de um sistema LTI com uma entrada senoidal complexa. Considere h[n] a resposta ao impulso e uma entrada complexa de amplitude unitária dada por

logo

k

knj

k

ekhny

knxkhny

nxnhny *

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onde

njj

k

kjnj

eeHny

ekheny

k

kjj ekheH

Consequentemente, a saída do sistema é uma senóide complexa que tem a mesma frequência que a entrada multiplicada por jeH

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frequência Ω , sendo denominada de Resposta em Frequência.

tjetx

A quantidade jeH não é uma função do tempo, n, mas sim da

Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo contínuo, onde h(t) é a resposta ao impulso e

é uma entrada senoidal.

tj

jtj

tj

ejHty

dehety

dehty

dehjH j

onde

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jbac

U ma interpretação intuitiva da resposta senoidal em estado estacionárioé obtida escrevendo o número complexo H(jω) na forma polar. Sabendoque

é um número complexo, então, sua forma polar é dada por ccc

jHjejHjH

onde22 bac e abarctgc

Logo

jH

jH

Resposta em módulo ou magnitude do sistema

Resposta em fase do sistema

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Assim,

Observe que o sistema modifica a amplitude da entrada por jH

e a fase por

jHtjejHty

jH

Considere agora

Usando a linearidade, obtemos

tjtj eA

eA

tx

tAtx

22

cos

jHtjjHtj eA

jHeA

jHty 22

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Supondo que h(t) tenha valor real, então H(jω) possui simetria conjugada,isto é, jHjH *

Isto implica que jH

é uma função ímpar de ω.

Explorando essas condições de simetria, podemos simplificar a resposta

jH é uma função par de ω e

jHtAjHty cos

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jHtAjHty cos

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Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo discreto,Considerando a forma polar de jeH

Especificamente, para a entrada njenx então

jeHnjj eeHny

Além disso, se

jj eHnAeHny cos

nAnx cos

então

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A resposta em frequência caracteriza a resposta em estado estacionário do sistema para entradas senoidais como uma função da frequência da senóide. Dizemos que esta é uma resposta em estado estacionário porque se presume que a senóide de entrada exista em todos os instantes de tempo, estando o sistema em condição de equilíbrio, ou estacionário. A resposta em frequência fornece uma grande quantidade de informações e é útil tanto para entendermos quanto analisarmos sistemas. É uma prática padrão representar a resposta em frequência graficamente, exibido separadamente as resposta em módulo e em fase como função da frequência.

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Exemplo: As respostas ao impulso de dois sistemas de tempo discreto são dadas por

12

1

12

1

2

1

nnnh

nnnh

Encontre a resposta em frequência de cada sistema e trace graficamente a resposta em módulo

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Solução: sabendo que então

k

kjj ekheH

2

1

2

1

2

11

2

1 101

jjj

k

kjj eeeekkeH

que pode ser reescrito como

2cos2

222

21

j

jjjj e

eeeeH

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Logo, a resposta em módulo é

2cos1 jeH

e a resposta em fase é

02cospara,2

02cospara,21

jeH

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k

kjj ekheH

2

1

2

1

2

1

12

1

10

2

jjj

k

kjj

eee

ekkeH

que pode ser reescrito como

2sen2

222

22

j

jjjj je

j

eejeeH

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Logo, a resposta em módulo é

2sen2 jeH

e a resposta em fase é

02senpara,22

02senpara,222

jeH

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Observe nas respostas em módulo que h1 deixa passar as frequências baixas e atenua as frequências altas, enquanto que h2 faz o inverso. Logo, h1 caracteriza um filtro passa-baixas e h2 um passa-altas.

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Exemplo: A resposta ao impulso do sistema que relaciona a tensão de entrada com a tensão no capacitor da figura abaixo é dada por

tueRC

th RCt1

Encontre uma expressão para a resposta em frequência e trace graficamente a resposta em módulo e em fase.

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dehjH j

RCj

RC

RCjRC

eRCjRC

deRC

deueRC

jH

RCj

RCjjRC

1

110

1

11

01

11

11

1

0

1

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A resposta em módulo é

22 1

1

1

1

RC

RC

RCj

RCjH

A resposta em fase é

RCRCRCj

RCjH

arctgarctg0

1

1

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A resposta em módulo indica que o circuito RC tende a atenuar senóides de alta frequência, ou seja, o circuito é incapaz de responder a mudanças rápidas na tensão de entrada. Além disso, as senóides de baixa frequência experimentam pouco deslocamento de fase.

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