Aula de Álgebra Linear - 4 de Outubro
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Álgebra Linear
Prof. Esp.:Thiago
VedoVatto
Soma deSubespaços
Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
Teorema
CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Álgebra LinearEspaços Vetoriais: Somas de Subespaços
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
16 de outubro de 2011
Álgebra Linear
Prof. Esp.:Thiago
VedoVatto
Soma deSubespaços
Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
Teorema
CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
Teorema
Soma Direta
Subespaços Suplementares
Teorema
Combinação Linear
Conjunto Gerador
Subespaço Gerado
Álgebra Linear
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Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
Teorema
Soma Direta
Subespaços Suplementares
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Combinação Linear
Conjunto Gerador
Subespaço Gerado
Álgebra Linear
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
Teorema
Soma Direta
Subespaços Suplementares
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Combinação Linear
Conjunto Gerador
Subespaço Gerado
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Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
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Soma Direta
Subespaços Suplementares
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Combinação Linear
Conjunto Gerador
Subespaço Gerado
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Soma Direta
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Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
Teorema
Soma Direta
Subespaços Suplementares
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Combinação Linear
Conjunto Gerador
Subespaço Gerado
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Objetivos da Aula
Soma de Subespaços
Teorema
Soma Direta
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W
. O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Conjunto Gerador
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V
, e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Conjunto Gerador
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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CombinaçãoLinear
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SubespaçoGerado
Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R
, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Conjunto Gerador
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W
, como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W
, e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W
, mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Conjunto Gerador
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W
, logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}
. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V
, e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}
. Basta
observar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que
:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)}
;
2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Subespaços Suplementares)
Se U e V são subespaços de W tais que U ⊕ V = W
dizemos que U e V são suplementares ou que U é
suplementar de V (ou V é suplementar de U).
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De�nição (Subespaços Suplementares)
Se U e V são subespaços de W tais que U ⊕ V = W
dizemos que U e V são suplementares ou que U é
suplementar de V (ou V é suplementar de U).
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F
. As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes
:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2
;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2
.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Soma deSubespaços
Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
Teorema
CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2
. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2
. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2
. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2
,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2
. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}
. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2
.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1
. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2
. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2
. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v
, portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Soma deSubespaços
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial
, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que
:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
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Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
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Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial
, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V
. Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Conjunto Gerador
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De�nição (Subespaço Gerado)
Seja X um subconjunto do espaço vetorial E
. O subespaço
vetorial de E gerado por X é o conjunto de todas as
combinações lineares α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm de vetores
v1, v2, . . . , vn ∈ X
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Seja X um subconjunto do espaço vetorial E . O subespaço
vetorial de E gerado por X é o conjunto de todas as
combinações lineares α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm de vetores
v1, v2, . . . , vn ∈ X
