Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

DEZESSETE

Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.

Gálatas, 5-14

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

O primeiro passo para solucionar um problema de

maximização ou minimização é escrever

precisamente qual a função que deverá ser

analisada.

Quando a função é de mais de uma variável,

devemos procurar expressar uma das variáveis

em função da outra.

Com a função bem definida, devemos identificar

um intervalo apropriado e então proceder a rotina

matemática aplicando definições e teoremas.

EXEMPLO

EXEMPLO

Quando tossimos, o

raio diminui, afetando

a velocidade do ar na

traqueia.

EXEMPLO

a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade

do ar.

b) Calcular o valor de r com o qual teremos o

maior fluxo possível.

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (b)

SOLUÇÃO (b)

SOLUÇÃO (b)

SOLUÇÃO (b)

EXERCÍCIO 1

Uma rede de água potável ligará uma central de

abastecimento situada na margem de um rio de

500 metros de largura a um conjunto

habitacional situado na outra margem do rio,

2.000 metros abaixo da central. O custo da obra

através do rio é de R$ 640,00 por metro,

enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual é a

forma mais econômica de se instalar a rede de

água potável.

SOLUÇÃO

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

EXERCÍCIO 2

Um galpão deve ser construído tendo uma área

retangular de 12.100 m2. A prefeitura exige que

exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m

atrás e 12 m em cada lado. Encontre as

dimensões do lote que tenha a área mínima na

qual possa ser construído este galpão.

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

EXERCÍCIO 3

Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve

ser construída de forma que o seu volume seja

2.500 m3. O material da base vai custar R$

1.200,00 por m2 e o material dos lados R$

980,00 por m2. Encontre as dimensões da caixa

de modo que o custo do material seja mínimo.

SOLUÇÃO

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

EXERCÍCIO 4

Supor que o custo total C(q) de produção de q

toneladas de um produto, em milhares de reais,

é dado por

Supondo que a empresa possa vender tudo o

produz, determinar o lucro máximo que pode

ser obtido, se cada tonelada do produto é

vendida a um preço de 21 milhares de reais.

qqqqC 398,103,0 23

SOLUÇÃO

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

EXERCÍCIO 5A receita total e o custo

total com a produção e

a comercialização de

um produto são dados

pelas curvas R e C da

Figura. Determinar o

nível de produção que

maximiza o lucro.

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

É interessante observar que a análise gráfica

nos permite estimar qual o intervalo em que

pode variar o nível de produção para que a

empresa tenha lucro.

Se a produção deve ocorrer em lotes de 50

unidades, esse intervalo é de q = 100 até q = 350

unidades.

Também é interessante observar que no nível de

produção correspondente ao lucro máximo as

curvas R e C tem tangentes paralelas.

PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO

Isso equivale a dizer que R’ = C’, isto é, a receita

marginal é igual ao custo marginal.

Como L’ = R´- C’, temos L’ = 0 nesse ponto, ou

seja, q = 250 é o ponto crítico de L.

Assim, esse exercício ilustra como as análises

gráficas e analíticas conduzem ao mesmo

resultado.

Em geral, a utilização de uma ou de outra

depende das informações disponíveis.

FIM

DA AULA

DEZESSETE