Aula 26 calculo iialuno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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AULA

26

COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS


Aqui pressupomos que as funções f e g

tenham derivadas contínuas no intervalo

[a,b] e que essas derivadas não sejam

simultaneamente nulas.

Tais funções são chamadas continuamente

deriváveis e a curva C definida por elas de

curva lisa.


Uma curva lisa C não se dobra para trás

nem muda de direção no intervalo [a,b], pois

ao longo de todo o intervalo.

02'2' gf


Se x = f(t) e y = g(t), usando a notação de

Leibniz temos o seguinte resultado para o

comprimento do arco:

dtdt

dy

dt

dxL

b

a

22

EXEMPLO 1A circunferência de um círculo

Determine o comprimento do círculo de raio r

definido parametricamente por

20

,cos

t

tsenryetrx

SOLUÇÃO

Quando t varia de 0 para 2π, o círculo é

atravessado exatamente uma vez: logo, a

circunferência édt

dt

dy

dt

dxL

b

a

22

Determinamos

2222

22

cos

cos,

rttsenrdt

dy

dt

dx

e

trdt

dytsenr

dt

dx

SOLUÇÃO

Logo

2

0

2

0

2

22

2 rtrdtr

dtdt

dy

dt

dxL

b

a

EXEMPLO 2

Determine o comprimento

do astróide:

.20

,,cos 33

t

tsenytx

SOLUÇÃO

Devido à simetria da curva em relação aos

eixos das coordenadas, seu comprimento é

quatro vezes o comprimento da porção que está

no primeiro quadrante.

Temos então:

ttsenttsendt

dy

tsenttsentdt

dx

tsenytx

2422

2

2422

2

33

cos9cos3

cos9cos3

,cos

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 1

Determine o comprimento da curva

.13

2,32,1 ttytx

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 2


.30,2

3,

23 t

tytx

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

222

22

22

22

2

24

2

4

24

4

24

24

111

xxxx

xx

xx

xx

eeee

ee

ee

eedx

dy

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 3


.30,23

12

32 xaxdexy

SOLUÇÃO


DEFINIÇÃO

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 4


.314

1

3

3

yayde

y

yx

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

26

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