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Turma: 3º Período Engenharia Elétrica

Disciplina: Probabilidade e Estatística

Docente: Profª M.Sc. Milena Aparecida Batelo Ramos

8.3 Distribuição Normal

Uma variável aleatória contínua tem infinitos valores, e esses valores são

frequentemente, associados a medidas em uma escala contínua, sem saltos ou

interrupções.

São exemplos de variáveis contínuas:

a) a altura de homens e mulheres adultos;

b) os salários mensais de empregados de uma indústria;

c) o peso de estudantes.

Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal com um gráfico

simétrico e em forma de sino que pode ser representados a seguir.

A equação que descreve a curva da distribuição normal é

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2

2

x

e y

µ

σ

σ π

− −

=

(conhecida como Curva de Gauss) onde µ é a média populacional e σ corresponde aodesvio-padrão populacional.



2

A distribuição normal tem as seguintes propriedades:

a) a variável aleatória pode assumir qualquer valor real;

b) a área total limitada pela curva e pelo eixo das abcissas é igual a 1, pois essa área

corresponde à probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor real.

c) a curva aproxima-se indefinidamente do eixo das abcissas sem, contudo, interceptá-

lo.

d) como a curva é simétrica em torno da média µ , a probabilidade de ocorrer valor

maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, ou

seja, ( ) ( ) 0,5P x P x µ µ > = < = .

8.3.1 Distribuição Normal PadrãoA distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade com média

0 µ = e desvio-padrão 1σ = , e área total sob a curva igual a 1.

Exemplo1: Uma indústria fabrica termômetros que devem informar temperaturas de

0ºC no ponto de congelamento da água. Testes em uma grande amostra desses

instrumentos revelam que, no ponto de congelamento da água, alguns termômetros

indicam temperaturas abaixo de 0ºC (indicadas por números negativos) e alguns dão

temperatura acima de 0ºC (indicadas por números positivos). Suponha que a leitura

média seja 0ºC e o desvio-padrão das leituras seja de 1ºC. Suponha, também, que as

leituras sejam normalmente distribuídas.

a) Se um termômetro é selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que, no

ponto de congelamento da água, a leitura seja menor que 1,58ºC e maior que 0ºC.

Graficamente, tem-se a seguinte representação:



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Utilizando a tabela da distribuição normal padrão encontra-se que

( )0 1,58 0, 4429P x< < = .

b) Ache a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente um termômetro que apresente

leitura superior a -1,23ºC.

( ) ( ) ( )1, 23 0 0 1,23 0,5 0,3907 0,8907P x P x P x> − = > + < < = + = .

c) Ache a probabilidade de que o termômetro escolhido apresente leitura (no ponto de

congelamento da água) entre -2,00ºC e 1,50ºC.

( ) ( ) ( )2,00 1,50 0 2,00 0 1,50 0,4772 0, 4332 0,9104.P x P x P x− < < = < < + < < = + =

8.3.2 Distribuição Normal Não-Padronizada

Neste caso considera-se o cálculo de probabilidades para distribuições normais

que não são padrões, ou seja, 0 µ ≠

e/ou 1σ ≠

. Em geral, a maioria das populações



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distribuídas normalmente têm média diferente de zero, desvio-padrão diferente de 1 ou

ambos.

Para trabalhar com distribuições normais não-padronizadas, usa-se a fórmula:

(arredondar para 2 casas decimais) x

zµ

σ

−

= .

Convertendo os valores para escores z padronizados então os procedimentos

para trabalhar com distribuições normais serão os mesmos.

A área em qualquer distribuição normal limitada por um valor e pela média

populacional é a mesma que a área delimitada pelo escore z correspondente e a média 0.

Exemplo1: As alturas das mulheres têm distribuição normal com média de 161,5 cm e

desvio-padrão de 6,35 cm (com base no Serviço Nacional de Saúde dos EUA).

Selecionada aleatoriamente uma mulher, qual a probabilidade de sua altura estar entre

161,5 cm e 174,2 cm.

Primeiramente representa-se a área correspondente a probabilidade desejada.

Para usar a tabela encontrando assim a probabilidade desejada, devemos converter a

distribuição não-padronizada de alturas em uma distribuição normal padronizada. Para

isso utiliza-se o escore z. Assim,

161,5 161,50

6,35

174, 2 161, 5 12, 72,00.

6,35 6,35

z

z

−= =

−= = =

Graficamente, tem-se a seguinte representação.



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Logo, ( ) ( )161,5 174,2 0 2,00 0,4772P x P z< < = < < = .

Existe uma probabilidade de 0,4772 de escolher uma mulher com altura entre

161,5 cm e 172,4 cm.

Exemplo2: Os depósitos efetuados em um determinado banco durante o mês de janeiro

são distribuídos normalmente, com média de R$10000,00 e desvio-padrão de

R$1500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em

questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja:

a) de R$10000,00 ou menos.

( ) ( )10000 0 0,5P x P z≤ = ≤ = .

b) de R$10000,00 ou mais.

( ) ( )10000 0 0,5P x P z≥ = ≥ = .

c) um valor entre R$12000,00 e R$15000,00.

Calculando os escores tem-se:

10000 12000 41,33

1500 3

15000 10000 103,33.

1500 3

z

z

−= = =

−= = =

Então,



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( ) ( ) ( ) ( )

( )

12000 15000 1,33 3,33 0 3,33 0 1,33

12000 15000 0,4996 0,4082 0,0914.

P x P z P z P z

P x

< < = < < = < < − < <

< < = − =

Graficamente,

8.3.3 Distribuições Normais Não-Padronizadas: Cálculo de valores

Neste caso consideram-se problemas de determinação de valores da variável

aleatória quando são dadas as probabilidades.Exemplo: As alturas das mulheres têm distribuição normal com média 161,5 cm e

desvio-padrão 6,35 cm. Determine o valor de 90P , isto é, o valor da altura que separa os

90% inferiores dos 10% superiores.

1º) Fazer um esboço da distribuição normal, introduzir a porcentagem dada na região

apropriada do gráfico e identificar o valor de x procurado.



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2º) Pesquisar na tabela da distribuição normal a área (probabilidade) que corresponde a

0,4000.

O valor mais próximo é 0,3997 obtido para o escore 1, 28 z = .

3º) Sabendo que 1, 28 z = , 161,5 µ = e 6,35σ = , determina-se o valor de x que

corresponde a altura, pela fórmula

. x

z x z x z µ

µ σ µ σ σ

−= ⇔ − = ⇔ = +

Assim,

161,5 (1, 28x6,35)

169,6.

x z

x

x

µ σ = +

= +

=

4º) Fazendo 169,6 x = cm, a solução é razoável porque deve ser maior que a média.

A altura 169, 6 cm separa os 90% valores inferiores correspondentes às mulheres

mais baixas dos 10% superiores correspondentes às mais altas.



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8.4 Exercícios

1) Os prazos de substituição de aparelhos de TV têm distribuição normal com média

8,2 µ = anos e desvio-padrão 1,1σ = de ano. Determine a probabilidade de um

aparelho de TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição inferior a 7anos.

2) Os diâmetros de parafusos produzidos por uma máquina tem distribuição normal com

média 2 µ = cm e desvio-padrão 0,04σ = cm. Determine a probabilidade de um

parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm.

3) Para o exemplo da seção 8.3.3 determine a altura correspondente ao percentil

indicado.

a) 66P b) 15P



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