Calculo Num 4

7/25/2019 Calculo Num 4

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IFBA campus SalvadorClculo Numrico

1

Prof. Alessandra Picano

4. Solucionando Equaes No-Lineares !a"#es

4.1 $%&odos i&era&ivos ' con&inuao

4.1.1 $%&odos dom"nios a(er&os ' con&inuao i&em ).*.*

+(, $%&odo de Ne&on

m%&odo de Ne&on/ &am(%m con0ecido como Ne&on-!ap0son/ % um esquema para

de&erminar a soluo num%rica de uma equao +2,3/ em que a uno se5a con&"nua e

dierenci6vel.

processo se inicia com um pon&o inicial 21sendo uma suposio/ a se7unda es&ima&iva 2*%

o(&ida na &an7en&e da uno +2,/ no pon&o +21/ +21,, que cru#a o ei2o 2. A &erceira es&ima&iva %

o(&ida quando a &an7en&e da uno +2, no pon&o +2*/+2*,, cru#a o ei2o 2.

Fon&e 8ila&/ 91:.

m%&odo de Ne&on pode ser o(&ido da s%rie de ;ancia prede&erminada.


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*


al7ori&mo de Ne&on-!ap0son se7ue os se7uin&es passos

+1, Es&ima&iva inicial e do erro as es&ima&ivas iniciais so essenciais para 7aran&ir aconver7?ncia do m%&odo@

+*, rimeira i&erao@

+), 6lculo do valor de 2@

+4, Se o erro en&re o novo valor de 2 e o valor an&erior de 2 or menor que a &oler>ncia

a. SimEn&o &ermina@

(. Nor=2ima i&erao e re&orna ao passo +),@

m%&odo apresen&a como van&a7em uma conver7?ncia quadr6&ica/ ou se5a/ r6pida. or%m/ a

conver7?ncia s= ocorre se a es&ima&iva inicial es&iver pr=2ima da soluo.

E2emplo 1 Ce&ermine a rai# de +2, 3 21 ' 1 usando o m%&odo de Ne&on-!ap0son com

es&ima&iva inicial de 2 3 /D.

No $A;LAB 0&&p.ma&0ors.comproduc&sma&la(

clearclc

iter=100;tol=0.01;x(1)=0.5;

fori=1:itery(i)=x(i)^10-1;yd(i)=10*x(i)^9;x(i+1)=x(i)-(y(i)/yd(i));erro(i)=abs((x(i+1)-x(i))/x(i+1));iferro (i)


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4


valor de 2 % */1JG na 11K i&erao.

(servaes

m%&odo/ quando unciona com sucesso/ &ra(al0a (em e conver7e r6pido@

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

iteraes

erro

0 2 4 6 8 10 12-10

0

10

20

iteraes

x


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D


A diver7?ncia mui&as ve#es se deve ao a&o da escol0a inadequada da es&ima&iva

inicial@

m%&odo de Ne&on conver7e se

o a uno +2, e suas primeiras e se7undas derivadas so con&"nuas@

o +2, no % #ero na soluo@o a es&ima&iva inicial % pr=2ima da soluo a&ual.

Fon&e 8ila&/ 91:.

E2emplo ) Ce&erminar a soluo da equao 2 = 0 pelo m%&odo de Ne&on para osse7uin&es pon&os iniciais +a, 231/4@ +(, 231@ +c, 23/4.

syms x

F(x)=(1/x)-2D(x)=diff(F(x))

x(1)=1.4


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J


fork=2:20x(k)=x(k-1)-(F(x(k-1))/D(x(k-1)))Erro(k)=abs((x(k)-x(k-1))/x(k))

end

onsiderando 4 i&eraes

Civer7e.

ara 23/4

onver7e.

+c, $%&odo da Secan&e

m%&odo da secan&e % um m%&odo num%rico para de&erminar a rai# da uno +2, 3 . Es&e

m%&odo % aplicado quando a uno apresen&a uma derivada di"cil de avaliar. or isso/ o

m%&odo apro2ima a uno da derivada por uma uno de dierena dividida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

260

Iteraes

x

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-3

-2.8

-2.6

-2.4

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

x

f(x)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.4

0.45

0.5

0.55

Iteraes

x

0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x

f(x)


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M


m%&odo usa dois pon&os pr=2imos da soluo para reali#ar a es&ima&iva do novo valor.

Apesar do procedimen&o ser parecido com os m%&odos de dom"nio ec0ado/ es&e m%&odo % de

dom"nio a(er&o por no u&ili#ar a &%cnica de mudanas de sinais para isolar as ra"#es.

Cesse modo/ o m%&odo da secan&e calcula a soluo da rai# por

Fon&e 8ila&/ 91:.

E2emplo 4 Ce&erminar a rai# da uno +2, 3 2)' G2 H ) usando o m%&odo da Secan&e com

es&ima&ivas iniciais de e 1.


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function [e,x]=secante_ex4(a,b,tol,iter)

x(1)=a;x(2)=b;y(1)=x(1)^3-9*x(1)+3;y(2)=x(2)^3-9*x(2)+3;

fori=3:iterx(i)=x(i-1)-(y(i-1)*(x(i-2)-x(i-1)))/(y(i-2)-y(i-1)); e(i)= abs((x(i)-x(i-1))/x(i));y(i)=x(i)^3-9*x(i)+3;ife(i)me&ro para avaliar o &empo

compu&acional do m%&odo@

&empo de e2ecuo de uma i&erao varia com o m%&odo.

Esoro compu&acional nmero de operaes ee&uadas/ da comple2idade das

operaes/ do nmero de decises l=7icas/ do nmero de avaliaes da uno e

nmero &o&al de i&eraes.

1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Iteraes

Valorde

x

1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Iteraes

Erro


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G


O;PN


10/10


1


CHAP%A, S.C., A""li&d Num&ric!l M&t'ods (it' MATLA) *or E+gi+&&rs !+d Sci&+tists,

Mcr!(-Hill C!"#tulos & $.

+a, ap"&ulo D D.M i&ens +(, e +c, @

+(, ap"&ulo J J.*-J.)+(,-J.)+c,-J.1*

ILAT, A., S/)%AMANIAM, 0., Num&ric!l M&t'ods *or E+gi+&&rs !+d Sci&+tists1 A+

I+troductio+ (it' A""lic!tio+s usi+g MATLA), 2o'+ 3il&4 5 So+s, I+c C!"#tulo 6

+a, !esolver os e2erc"cios ).1 U ).D-).M-).-).1) a&% a )K i&erao.

Bi(lio7raia

91: 8ILA;/ A./ SRB!A$ANIA$/ V./ WNumerical $e&0ods or En7ineers and Scien&is&s An

In&roduc&ion i&0 Applica&ions usin7 $A;LABX/ Yo0n Zile< [ Sons/ Inc.

9*: PA!A/ S../ WApplied Numerical $e&0ods i&0 $A;LAB or En7ineers and Scien&is&sX/

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9): !R88IE!/ $.A.8.@LES/ V.L.!./ W6lculo Num%rico aspec&os &e=ricos e compu&acionaisX/

Ed. $aron Boos/ *K Ed./ 1GGJ.

94: A$S/ F.F. FILP/ WAl7ori&mos Num%ricosX/ Ed. L;/ *K Ed./ *1.

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