Cálculo Numérico – BCC760 - DECOM-UFOP | Início€¦ · Gauss com pivotação parcial e...
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CálculoNumérico–BCC760ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneas
DepartamentodeComputação
Páginadadisciplina
http://www.decom.ufop.br/bcc760/
1
! DefiniçãoUmaequaçãoéditalinearquandocadaumdosseustermoscontémapenas
umavariáveleelaestánaprimeirapotência.
Porexemplo:3x + 2y – 5z = 10 →élinear3.x.y – 5z = 10→nãoélinear,oprimeirotermocontémduasvariáveis.
! Umsistemadeequaçõeslineareséumconjuntodeequaçõeslineares.
2
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
! Notaçãoclássica
Onde:xi,i=1,2,...,n;sãoasincógnitasaij,i,j=1,2,...,n;sãooscoeficientesdasincógnitasbi,i=1,2,...,n;sãoostermosindependentes
3
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
! Matrizaumentada[A|B]Paraobtê-labastaacrescentaràmatrizdoscoeficientesovetorBdostermos
independentes.
5
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
! DefiniçãoUmasoluçãodeumsistemadeequaçõeslineares,A.X=B,éumvetorXque
satisfaz,simultaneamente,atodasasequações.
! Aclassificaçãodeumsistemalinearéfeitaemfunçãodonúmerodesoluçõesqueeleadmite,daseguintemaneira:a) Compatíveldeterminado:quandoadmitirumaúnicasolução.b) Compatívelindeterminado:quandoadmitirumnúmeroinfinitode
soluções.c) Incompatível:quandonãoadmitirsolução.Portanto,resolverumsistemadeequaçõeslinearessignificadiscutiraexistênciadesoluçõeseobterumasoluçãoquandoforpossível.
6
Exemplo–Sejaclassificarossistemasdeequaçõeslinearesaseguir.
Sistemacompatíveldeterminado
Sistemacompatívelindeterminado
7
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
Sistemaincompatível
Observe-sequeumsistemadeequaçõeslinearesterásoluçãoúnicasomenteseamatrizdoscoeficientesfornãosingular,
istoé,det(A)≠0. Casocontrário,seráindeterminadoounãoterásolução.
8
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução
! MétodosDiretosOsMétodosDiretossãoaquelesque,excetoporerrosdearredondamento,fornecemasoluçãoexatadeumsistemadeequaçõeslineares,casoelaexista,
pormeiodeumnúmerofinitodeoperaçõesaritméticas.
! Transformaçõeselementareslinha(i)Multiplicaçãodeumalinhaporumaconstantenão-nula.
Li←c×Li,c∈ℜ,c≠0,i=1,2,...,n(ii)Trocadeposiçãoentreduaslinhas.
Li⇆Lj;i,j=1,2,...,n;i≠j(iii)Adiçãodeummúltiplodeumalinhaaoutralinha,
Li←Li+c×Lj,c∈ℜ,c≠0;i,j=1,2,...,n;i≠j
10
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos
! MatrizesequivalentesDuasmatrizessãoditasequivalentesquandoépossível,apartirdeumadelas,
chegaràoutrapormeiodeumnúmerofinitodetransformaçõeselementares.
! SistemasdeequaçõesequivalentesSistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem a mesmasolução.
11
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos
! TeoremaSeja [A | B] amatriz aumentada de um sistema de equações A.X = B, comdeterminante deA não nulo, e [T | C] umamatriz a ela equivalente. Sendoassim,ossistemasA.X=BeT.X=Cpossuemamesmasolução.
12
! MatrizTriangular(i)Inferior:éumamatrizquadradanaqualtodososelementosacimada
diagonalprincipalsãonulos.
(ii)Superior:éumamatrizquadradanaqualtodososelementosabaixoda
diagonalprincipalsãonulos.
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos
! SistemadeEquaçõesTriangularÉ um sistema de equações lineares no qual a matriz dos coeficientes étriangular.
! ExemploSejaosistemadeequações
Note-se que é triangular superior. Pode, portanto, ser resolvidopormeiodesubstituiçõesretroativas.
Verifica-se,facilmente,queasuasoluçãoé:X = [- 5 1 2]t
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos
! MétododaEliminaçãodeGaussAresoluçãodeumsistemadeequaçõeslinearesporestemétodoenvolveduasfasesdistintas.
FaseI:eliminaçãoConsisteemefetuartransformaçõeselementaressobreaslinhasdamatrizaumentadadeumsistemadeequaçõesA.X=Batéque,depoisde(n − 1)passos,seobtenhaumsistemadeequaçõestriangularsuperior,U.X=C,equivalenteaosistemadado.
15
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss
FaseII:substituiçãoConsisteemresolverosistematriangularsuperiorpormeiodesubstituiçõesretroativas.
! Exemplo1Paraadescriçãodométodo,sejaresolverosistemadeequaçõeslinearesaseguir. Matrizaumentada
16
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 3éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores
(ii)Transformaçõeselementares
17
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Passo2-Eliminaçãonasegundacoluna.éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores
(ii)Transformaçõeselementares
18
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Passo3-Eliminaçãonaterceiracoluna.éopivô.(i)Calcula-seomultiplicador
(ii)Transformaçãoelementar
19
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Tem-se,então,osistemadeequaçõestriangularsuperiorequivalente.
! Resolvendoosistematriangular,obtém-seX=[2 -1 0 -1]t
Queé,também,asoluçãodosistemadeequaçõesdado.
Sistemaequivalente Sistemadado
20
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss
! Exemplo2Paraadescriçãodométodo,sejaresolverosistemadeequaçõeslinearesa
seguir.
Matrizaumentada
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 1éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores
(ii)Transformaçõeselementares
22
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Passo2-Eliminaçãonasegundacoluna.a122 = 2éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores
(ii)Transformaçõeselementares
23
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo
! Tem-se,então,osistemadeequaçõestriangularsuperiorequivalente.
! Resolvendoosistematriangular,obtém-se
X=[1,000 1,0001,000]t
Sistemaequivalente Sistemadado
24
• Oqueaconteceseopivôfornulo?• Eseopivôes5verpróximodezero?
25
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss
26
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss
! ExemploSeja resolver o sistema de equações, Ax = b, a seguir utilizando o
MétododeGauss.
Ouosistema,
€
A =10−20 1
1 1
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ , e b =
12⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
PivotaçãoParcial
27
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss
! Atécnicadapivotaçãoparcialconsisteem:
(i)nopassok,dafasedeeliminação,tomarcomopivôoelementodemaiormódulodentreoscoeficientes,k = 1, 2, ..., n - 1; i = k, k + 1, ..., n;
(ii)senecessário,efetuaratrocadeposiçãoentreaslinhasiek.
Objetivo:minimizaroefeitodoserrosdearredondamento.
28
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação
Parcial
! ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododeGauss compivotaçãoparcial e considerando, quando for o caso, trêscasasdecimais.
Deveserfeitaatrocadeposiçãoentrealinha1ealinha2!
Maioremmódulo
29
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação
Parcial
€
10−20 x1 + x2 =1 1x1 + x2 = 2
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação
Parcial
! Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 1éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores
(ii)Transformaçõeselementares
30
€
[A | b] = 1 1
10−20 121
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ → L1
→ L2
€
m21 = −a21a11
= −10−20
1= −10−20
€
[A | b] = 1 10 1−10−20
21− 2*10−20
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ → L1
→ L2
! Resoluçãodosistematriangularsuperior
! Resolvendoobtém-seovetor
Queé,maispróxima,dasoluçãodosistemadeequaçõesdado.X=[11]t
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação
Parcial
€
x1 + x2 = 2(1−10−20)x2 =1− 2 *10−20
€
X = 1− 10−20
1−10−20 1+10−20
1−10−20
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
t
! Sex’forencontradocomosoluçãodosistemaAx=b,entãooerrodessasoluçãoéx–x’.
! A(x–x’)=Ax–Ax’=b–Ax’=R’
! A.(erro)=resíduo
! Doexemploanterior:ResíduosempivotaçãoR=?
ResíduocompivotaçãoR=?
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Resíduos
Resíduodasoluçãox’
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos
Complexidade
RegradeCramerxEliminaçãodeGauss
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade
! RegradeCramerUmsistemaAX=Béresolvido,pormeiodaRegradeCramer,daseguinteforma:
Onde=det(A)=det(A)comai-ésimacolunasubstituídapelovetorindependenteB.
34
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–RegradeCramer
! Podeserdemonstradoque,paracalcularodeterminantedeumamatrizde
ordemn,sãorequeridas:
" (n+1)(n!)(n−1)multiplicações
" (n+1)(n!)somas
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–RegradeCramer
! ExemploSejaresolverumsistemade20equaçõesusandoumcomputadorhipotéticocomacapacidadede2.000Mflops(2.000.000.000operaçõesporsegundo).
Considerando-se,somente,asmultiplicaçõestem-se
(n + 1)(n!)(n – 1) = (21)(20!)(19) = 970.727.901.262.479.360.000 operações
Otemporequeridoparaaresolução,é:
Tempo=15.604,55anos
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade
! EliminaçãodeGaussPodeserdemonstradoque,pararesolverumsistemadenequações,sãonecessárias
" divisões
" multiplicações
" adições
Total =
37
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–EliminaçãodeGauss
! ExemploSejaresolverumsistemade20equaçõesusandoumcomputadorhipotéticocomacapacidadede2.000Mflops(2.000.000.000operaçõesporsegundo).Onúmerototaldeoperaçõesé
Otemporequeridoparaaresolução,é:
Total= 5910 operações
Tempo= 0,000002955s
38
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Matrizes
! Definição–MatrizIdentidadeÉ uma matriz quadrada na qual os elementos situados na diagonalprincipalsãoiguaisaume,osdemais,sãonulos.ÉdenotadaporIn.
SendoAumamatrizdeordemn,tem-seque
A.In=In.A=A
39
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Matrizes
! Definição–MatrizInversaSejaAumamatrizquadradadeordemn,não-singular,istoé,det(A) ≠ 0.UmamatrizA-1éainversadeAse
A.A-1=A-1.A=In
! TeoremaSeAeBsãomatrizesdeordemn,invertíveis,então
(A.B)-1=B-1.A-1
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU
! A técnica da decomposição consiste em decompor a matriz doscoeficientes emumproduto de dois, oumais, fatores e, em seguida,resolverumasequênciadesistemasdeequaçõeslinearesqueconduzàsoluçãodosistemaoriginal.! Éindicadaparaaresoluçãodeumconjuntodesistemasdeequaçõeslineares que possuem em comum a matriz dos coeficientes e têmtermosindependentesdiferentes,ouseja,quandosetem:
A.X = Bi, i = 1, 2, ...., m! AvantagemdautilizaçãodeumatécnicadedecomposiçãoéquesepoderesolverqualquersistemadeequaçõeslinearesquetenhaAcomomatrizdoscoeficientes.Alterando-seB,aresoluçãodonovosistemaéimediata.! AtécnicadadecomposiçãoLUéumprocessodefatoraçãonoqualamatrizLétriangularinferiorcomdiagonalunitáriaeUéumamatriztriangularsuperior.
42
Teorema(dadecomposiçãoLU)SejaAumamatrizquadrada,deordemn, eAk,k = 1, 2, ..., (n-1); asmatrizes constituídasdasprimeiras k linhasecolunasdeA,talquedet(Ak)≠ 0.Sendoassim,existeumaúnicamatriztriangularinferiorL,com diagonal unitária, e uma únicamatriz triangular superior U talque
A=L.U
43
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU
! ObtençãodosFatoresLeUSeráutilizadaa ideiabásicadométododaEliminaçãodeGauss.Sejaumamatrizgenéricadeordemtrês.
Primeiropasso! Multiplicadores
! Transformaçõeselementares
44
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Obtém-seamatriz
PodeserdemonstradoqueA1 = M0.A
Onde
45
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Segundopasso
! Multiplicador
! Transformaçãoelementar
46
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Obtém-seamatriz
PodeserdemonstradoqueA2 = M1.A1
Onde
47
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Tem-se:
e
! Fazendo(M1. M0)- 1.A2 = (M1. M0)- 1.(M1. M0).A = I.A = A
! Portanto
48
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Podeserdemonstradoque:
! Sendoassim,
49
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU
! Conclusão
(i) U é a matriz triangular superior obtida ao final da fase deeliminaçãodométododeGauss;
(ii) L é uma matriz triangular inferior, na qual os elementos dadiagonal principal são unitários e, abaixo, se encontram osmultiplicadoresdaetapakdafasedeeliminaçãocomosinaltrocado.
50
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU
! Resoluçãodeumsistemadeequações SejaumsistemadeequaçõesA.X=B.Pararesolvê-lo,utilizandoadecomposiçãoLU,bastaexecutaraseguintesequênciadepassos:
" Obtém-seafatoraçãoL.UdamatrizA;" SendoA=L.U,entãoL.U.X=B;" Faz-seU.X=Y,logoL.Y=B;" Resolve-seosistematriangularinferiorL.Y=B;" Resolve-se o sistema triangular superiorU.X =Y obtendo, então, asoluçãodosistemadeequaçõesA.X=B.
! Exemplo
51
! ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododaDecomposiçãoLUcompivotaçãoparcialeconsiderando,quandoforocaso,duascasasdecimais.
4.x1 – x2 - x4 = 6 x1 – 2.x2 + x3 = 8 4.x2 - 4.x3 + x4 = - 7 5.x1 + 5.x3 – 10.x4 = - 40
P = [1 2 3 4]t vetor de permutação
Deve ser feita a troca de posição entre a linha 1 e a linha 4!
Maioremmódulo
3
1
4
2
53
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo1
54
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo1
55
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo1
Maioremmódulo
56
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo2
57
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo2
58
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo2
Maioremmódulo 59
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo3
60
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo3
61
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! Passo3
62
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! ResoluçãodosistemaL.Y=BAplicandoP(3)=[4 3 1 2]aovetorB=[6 8 – 7 – 40]t,tem-seB=[- 40 – 7 6 8]t.
y1 = - 40 y2 = - 7 0,8.y1 – 0,25.y2 + y3 = 6 ⇒ y3 = 36,25 0,2.y1 – 0,5.y2 + 0,4.y3 + y4 = 8 ⇒ y4 = - 2
Y= [-40 -7 36,25 -2]
63
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! ResoluçãodosistemaU.X=Y
5.x1 + 5.x3 - 10.x4 = - 40 4.x2 - 4.x3 + x4 = - 7
- 5.x3 + 7,25.x4 = 36,25 – 0,4.x4 = - 2
! Obtém-seovetorX = [2 -3 0 5]t
! Como R = [0 0 0 0 ]t, então X é a solução exata do sistema deequaçõesdado.
64
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial
! RefinamentodasoluçãoAdmita-seque:
(i) Umsistemadeequações,A.X=Bfoiresolvido,utilizando-seométododadecomposiçãoLUeobteve-seumasoluçãoaproximadaX0.
(ii)Asoluçãoexata,quesedesejadeterminar,édadaporumvetorX1.
(iii)Assim,X1=X0+Δ0 , onde Δ0 é acorreçãoaserfeitaemX0.
66
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
! Refinamentodasolução
Tem-seque
Logo
! Sendo
! Resolvem-se,então
! Exemplo
A.Δ0 = R0
U.Δ0 = Y L.Y = R0
X1 = X0 + Δ0 A.X1 = B
A.(X0 + Δ0) = B A.Δ0 = B – A.X0
A = L.U L.U.Δ0 = R0
A.X = B
67
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
! Determinaçãodainversadeumamatriz
SejaAumamatriztalquedet(A)≠ 0,eX = A-1 asuainversa.Tem-se,então,que
ConsiderandoumamatrizAdeordem3,tem-seque:
A.X=I
68
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
! DeterminaçãodainversadeumamatrizEfetuandooproduto,sãoobtidosostrêssistemasdeequaçõesaseguir.
a11x11 + a11x21 + a13x31 = 1 a21x11 + a22x21 + a21x31 = 0 a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0
a11x12 + a11x22 + a13x32 = 0 a21x12 + a22x22 + a21x32 = 1 a31x12 + a32x22 + a33x32 = 0
a11x13 + a11x23 + a13x33 = 0 a21x13 + a22x23 + a21x33 = 0 a31x13 + a32x23 + a33x33 = 1
PrimeiracolunadeX
SegundacolunadeX
TerceiracolunadeX
69
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
! DeterminaçãodainversadeumamatrizConclusão! Sãosistemasdeequaçõesdaforma! OndeXiéai-ésimacolunadeXeBi éai-ésimacolunadeI.
! ComoA=L.U,então
! Resolvem-se,então,ossistemasdeequações
! A resolução de cada um destes sistemas de equações produz uma
colunadamatrizX,queéainversadeA.
! Exemplo
A.Xi = Bi, i = 1, 2, 3
L.U.Xi = Bi, i = 1, 2, 3
L.Yi = Bi U.Xi = Yi i = 1, 2, 3
70
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
ExemploSejadeterminara inversadamatriza seguir,utilizandooMétododaDecomposiçãoLUcompivotaçãoparcialsabendo-seque
e P = [2 3 1]t. Considerar três casas decimais.
71
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
Exemplo-Solução! DeterminaçãodaprimeiracolunadeXResolvendo LY1 = B1Aplicando P = [2 3 1]t em B1 = [1 0 0]t, obtém-se B1 = [0 0 1]t.
Resolvendo U.X1 = Y1 PrimeiracolunadeX
72
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
Exemplo-Solução! DeterminaçãodasegundacolunadeXResolvendo LY2 = B2Aplicando P = [2 3 1]t em B2 = [0 1 0]t, obtém-se B2 = [1 0 0]t.
Resolvendo U.X2 = Y2SegundacolunadeX
73
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
Exemplo-Solução! DeterminaçãodaterceiracolunadeXResolvendo LY3 = B3Aplicando P = [2 3 1]t em B3 = [0 0 1]t, obtém-se B3 = [0 1 0]t.
Resolvendo U.X3 = Y3 TerceiracolunadeX
74
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
Exemplo-Solução! Portanto,amenosdeerrosdearredondamentos,ainversadeé:
! Observe-seque
75
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações
MétodosIterativosSão métodos que, teoricamente, produzem a solução exata de umsistemadeequaçõeslineares,casoelaexista,pormeiodeumnúmeroinfinitodeoperaçõesaritméticas.
76
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
TeoriageraldosMétodosIterativos! Umadas ideias fundamentaisemCálculoNuméricoéada iteraçãoouaproximaçãosucessiva.
! Existe um grande número demétodos numéricos, para resolver osmaisvariadostiposdeproblemas,quesãoprocessositerativos.
! Comoopróprionomejádiz,sãométodosquesecaracterizampelaaplicaçãodeumprocedimentodeformarepetida.
! Oobjetivoéobteremcadarepetição,ouiteração,umaaproximaçãoparaasoluçãodoproblemaemquestãoquesejamaisprecisadoqueaquelaobtidanaiteraçãoanterior.
77
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
TeoriageraldosMétodosIterativos! Uma importante classe é a dosmétodos iterativos estacionários degrau um, nos quais o resultado obtido em uma iteração é função,somente,doresultadodaiteraçãoanterior.
! Nestes métodos, dado um problema, P, e uma estimativa inicial S0, para a sua solução, S, é gerada uma sequência de aproximações, {Sk}, k = 1, 2, ...; tal que:
Sk = ϕ(P, Sk - 1), k = 1, 2, 3, ....
! Sendo que ϕ(.) é a função de iteração do método iterativo.
78
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
TeoriageraldosMétodosIterativos! DefiniçãoUm método iterativo é dito estacionário se a função de iteração é,sempre,amesmaemtodasas iterações.Casoelasemodifiqueéditonãoestacionário.
! DefiniçãoUmmétodoiterativoéditodegraugse,paraobterumaaproximação,sãonecessáriasgaproximaçõesanterioresdasoluçãodoproblema,ouseja,afunçãodeiteraçãoédaforma:
Sk = ϕ (P, S k – 1, Sk – 2, ..., Sk – g); k = g, g + 1, g + 2, ....
Exemplog = 1 ⇒ S 0 = ϕ(P) e S k = ϕ(P, Sk - 1), k = 1, 2, ...g = 2 ⇒ S 0 = ϕ(P), S 1 = ϕ(P, S 0) e S k = ϕ(P, S k - 1, S k - 2), k = 2, 3, ...
79
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
TeoriageraldosMétodosIterativosOs aspectos a seguir estão, sempre, presentes nos processos iterativosestacionáriosdegrauumqualquerquesejaoproblemaaserresolvido.! EstimativainicialPara que o processo iterativo se inicie, é preciso uma estimativa inicialparaasoluçãodoproblema.! FunçãodeiteraçãoPormeiodaqualseconstróiasequênciadeaproximações.! ConvergênciaO objetivo é gerar uma sequência que convirja para a solução doproblema. Nem sempre se tem a garantia de que essa convergênciaocorrerá.! CritériodeParadaEnvolve a precisão desejada na solução do problema e um númeromáximodeiterações.
80
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas! Pararesolverumsistema,AX=B,pormeiodeummétodoiterativo,éprecisotransformá-loemumoutrosistemaquepossibiliteadefiniçãodeumprocessoiterativo.
! Osistema linearobtidoapósa transformaçãodeve serequivalenteaooriginal,ouseja,ambosdevemteramesmasolução.! Então,AX=Bétransformadoemumsistemalinearequivalentedaforma:
! Méumamatrizcomdimensõesnxn,céumvetorcomdimensõesnx1ϕ(X)éafunçãodeiteraçãodadanaformamatricial.
X=M.X+C=ϕ(X)
81
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas
! A seguir, tomando-se uma aproximação inicial,X0 constrói-se umasequênciaiterativadevetores:
X1 = M.X0 + C = ϕ(X0), X2 = M.X1 + C = ϕ(X1), ...
! Assim, a forma geral dosmétodos iterativos estacionários, de grauum,é
Xk = M.Xk - 1 + C = ϕ(Xk - 1), k = 1, 2, 3, ...
Méamatrizdeiteração
82
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas
! CritériodeparadaOprocesso iterativoéfinalizadoquandoseobtémXk,k = 1, 2, ...; talque
sejamenorouigualaumaprecisãofixadae,então,Xkétomadocomoumaaproximaçãoparaa soluçãodosistemadeequações;ouquandoforatingidoumnúmeromáximodeiteraçõesestabelecido
83
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução
MétododeJacobiSejaumsistemadeequaçõeslinearesdaforma
84
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
MétododeJacobiSendoaii ≠ 0, i = 1, 2, ..., n;ek= 1, 2, ...;explicita-seumaincógnitaemcadaequaçãoe,aseguir,define-seoesquemaiterativo:
85
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
MétododeJacobiPortanto, dada uma aproximação inicial X0 , o Método de Jacobiconstrói uma sequência , X1, X2, ......, Xk, ...; por meio da relaçãorecursiva:
Xk = M.Xk - 1 + C = ϕ(Xk - 1), k = 1, 2, 3, ...Onde
Exemplo86
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
Exercício
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42
¦
!n
1jijii a |a| , i = 1, 2, ..., n
Além do mais, quanto mais próxima de zero estiver a relação |a|
a
ii
n
1jij¦
mais rápida será a
convergência.
4.5.2 - Critério das colunas É condição suficiente para que os métodos iterativos gerem uma seqüência que converge
para a solução de um sistema de equações, AX = B, qualquer que seja a aproximação inici-
al X0, que
¦
!n
1iijjj a |a| , j = 1, 2, ..., n
Além do mais, quanto mais próxima de zero estiver a relação |a|
a
jj
n
1iij¦
mais rápida será a
convergência.
Observe-se que estes dois critérios envolvem condições que são apenas suficientes, se
pelo menos uma delas for satisfeita, então está assegurada a convergência, entretanto se
nenhuma das duas for satisfeita nada se pode afirmar.
Os exemplos a seguir apresentam sistemas de equações que podem ser resolvidos, somen-
te, por meio de um dos dois métodos iterativos abordados.
Exemplo 4.4 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,
por meio do Método de Jacobi. Seja o sistema de equações a seguir e X0 = [0 0 0]t.
x1 + 2.x2 - 2.x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 1
2.x1 + 2.x2 + x3 = 1
Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:
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Exercício
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Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico
43
°¯
°®
�
1 -k 2
1 -k 1
k3
1 -k 3
1 -k 1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.32)
Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0
Quadro 4.4: Resultados obtidos
Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.
°¯
°®
�
k 2
k1
k3
1 -k 3
k1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.33)
Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96
Quadro 4.5: Resultados obtidos
Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-
ge para a solução do sistema de equações.
Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,
por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.
0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2
x1 + x2 + x3 = 0
0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6
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Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico
43
°¯
°®
�
1 -k 2
1 -k 1
k3
1 -k 3
1 -k 1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.32)
Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0
Quadro 4.4: Resultados obtidos
Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.
°¯
°®
�
k 2
k1
k3
1 -k 3
k1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.33)
Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96
Quadro 4.5: Resultados obtidos
Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-
ge para a solução do sistema de equações.
Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,
por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.
0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2
x1 + x2 + x3 = 0
0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6
88
MétododeGauss-Seidel! AssimcomonoMétododeJacobi,osistemadeequaçõeslinearesA.X=
BéescritonaformaequivalenteX=M.X+C=ϕ(X)explicitandoumaincógnitaemcadaequação.
! Adiferença é que, nak-ésima iteração, ao realizar-se a atualização deuma das componentes do vetor Xk, são utilizadas as componentes jáatualizadas nesta iteração e, as demais, ainda não atualizadas, daiteraçãoanterior.
! Portanto,nak-ésimaiteração,aosecalcularacomponente , j = 1, 2, ..., n;utilizam-seascomponentes,jáatualizadas,eosvaloresrestantes.
89
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
MétododeGauss-SeidelTem-se,então,afunçãodeiteraçãoeoesquemaiterativo:
! Exemplo90
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododeGauss-Seidel,duascasasdecimaiseX0 = [0 0 0]t.
x1 - 7.x2 + 2.x3 = - 4 8.x1 + x2 - x3 = 8 2.x1 + x2 + 9.x3 = 12
Funçãodeiteração
Esquemaiterativo
0 0 0 0 -----
128.540,32 -16.043,11 -10.705,07 130.7778,06 280,44
-4
3 2 1 40
-2.237,74 2.277,74 40 -2,22
180,46
91
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
Exercício
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°¯
°®
�
1 -k 2
1 -k 1
k3
1 -k 3
1 -k 1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.32)
Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0
Quadro 4.4: Resultados obtidos
Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.
°¯
°®
�
k 2
k1
k3
1 -k 3
k1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x
2.x 2.x - 1 x (4.33)
Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96
Quadro 4.5: Resultados obtidos
Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-
ge para a solução do sistema de equações.
Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,
por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.
0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2
x1 + x2 + x3 = 0
0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6
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Exercício
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Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:
°°¯
°°®
�
1 -k 2
1 -k 1
k3
1 -k 3
1 -k 1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
0,4.x 0,4.x - 0,6 - x
x- x- x
)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x
(4.34)
Fazendo os cálculos utilizando 4.34, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.6.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 0,400 0,000 - 0,600 0,600 2 0,760 0,200 - 0,760 0,360 3 0,616 0,000 - 0,824 0,200 4 0,894 0,208 - 0,846 0,278 5 0,658 - 0,048 - 0,875 0,256 6 0,982 0,216 - 0,883 0,324 7 0,670 - 0,100 - 0,906 0,316 8 1,064 0,236 - 0,908 0,394 9 0,661 - 0,156 - 0,931 0,403
10 1,146 0,2700 - 0,927 0,485 Quadro 4.6: Resultados obtidos
Observe-se que não há convergência.
(b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.
°°¯
°°®
�
k2
k1
k3
1 -k 3
k1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
0,4.x 0,4.x - 0,6 - x
x- x- x
)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x
(4.35)
Fazendo os cálculos utilizando 4.35, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.7.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 0,400 - 0,400 - 0,920 0,920 2 1,432 - 0,512 - 1,378 1,032 3 1,841 - 0,463 - 1,522 0,409 4 1,869 - 0,347 - 1,487 0,116 5 1,709 - 0,222 - 1,372 0,160 6 1,490 - 0,118 - 1,243 0,219 7 1,287 - 0,044 - 1,132 0,203 8 1,132 0,000 - 1,053 0,155 9 1,031 0,021 - 1,004 0,101
10 0,977 0,027 - 1,980 0,054 Quadro 4.7: Resultados obtidos
Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto
Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico
44
Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:
°°¯
°°®
�
1 -k 2
1 -k 1
k3
1 -k 3
1 -k 1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
0,4.x 0,4.x - 0,6 - x
x- x- x
)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x
(4.34)
Fazendo os cálculos utilizando 4.34, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.6.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 0,400 0,000 - 0,600 0,600 2 0,760 0,200 - 0,760 0,360 3 0,616 0,000 - 0,824 0,200 4 0,894 0,208 - 0,846 0,278 5 0,658 - 0,048 - 0,875 0,256 6 0,982 0,216 - 0,883 0,324 7 0,670 - 0,100 - 0,906 0,316 8 1,064 0,236 - 0,908 0,394 9 0,661 - 0,156 - 0,931 0,403
10 1,146 0,2700 - 0,927 0,485 Quadro 4.6: Resultados obtidos
Observe-se que não há convergência.
(b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.
°°¯
°°®
�
k2
k1
k3
1 -k 3
k1
k2
1 -k 3
1 -k 2
k1
0,4.x 0,4.x - 0,6 - x
x- x- x
)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x
(4.35)
Fazendo os cálculos utilizando 4.35, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.7.
k k1x k
2x k3x 1 -k
iki3 i 1
x- x maxdd
0 0 0 0 ------------ 1 0,400 - 0,400 - 0,920 0,920 2 1,432 - 0,512 - 1,378 1,032 3 1,841 - 0,463 - 1,522 0,409 4 1,869 - 0,347 - 1,487 0,116 5 1,709 - 0,222 - 1,372 0,160 6 1,490 - 0,118 - 1,243 0,219 7 1,287 - 0,044 - 1,132 0,203 8 1,132 0,000 - 1,053 0,155 9 1,031 0,021 - 1,004 0,101
10 0,977 0,027 - 1,980 0,054 Quadro 4.7: Resultados obtidos
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! CritériosdeconvergênciaÉ condição suficiente para que os métodos iterativos gerem umasequência que converge para a solução de um sistema de equações,qualquerquesejaaaproximaçãoinicialx0,que
ou
Estesdoiscritériosenvolvemcondiçõesquesãoapenassuficientes,se pelo menos uma delas for satisfeita, então está assegurada aconvergência, entretanto se nenhuma das duas for satisfeita nada sepodeafirmar.
Critériodaslinhas
Critériodascolunas
94
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
! Critériosdeconvergência
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
! Critériosdeconvergência
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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
Complexidade! Avaliar a quantidade de operações requeridas em um método
iterativo,emcadaiteração,ébastantesimples.
! O que não é trivial é determinar o número total de operaçõesrealizadas.
! Uma vez que é estabelecido um númeromáximo de iterações, nopior caso, este será o número de vezes que as iterações serãoexecutadas.
! Pode ser demonstrado que, para um sistema de n equações, onúmerototaldeoperações,poriteração,é(2n2 – n).
97
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
Complexidade
! O Método de Gauss requer (4.n3 + 9.n2 – 7.n)/6 operaçõesaritméticas.
! OsMétodosdeJacobieGauss-Seidelrequerem(2.n2 - n)operaçõesaritméticasporiteração.
! Paravaloresgrandesden,osnúmerosdeoperaçõesaritméticassão,aproximadamente,
MétododeGauss:2.n3/3JacobieGauss-Seidel:2.n2poriteração
! Assim,seonúmerodeiteraçõesémenorouiguala(n/3),entãoosmétodositerativosrequeremmenosoperaçõesaritméticas.
98
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos
Consideraçõesfinais! Comparação entre os Métodos Diretos e Iterativos considerando
cincoindicadores.Indicador Método Direto Método Iterativo
Aplicação
Convergência
Número de operações
Esparsidade
Erros de arredondamento
Para a resolução de sistemas de equações densos de pequeno a médio porte.
Se a matriz dos coeficientes não é singular, então a solução é sempre obtida.
É possível determinar, a priori, o número de operações necessárias.
Destrói a esparsidade da matriz dos coeficientes durante a fase de eliminação.
São ampliados durante os cálculos. Podem ser minimizados usando uma técnica de pivotação.
Para a resolução de sistemas de equações de grande porte, notadamente os esparsos.
Há garantia de se obter a solução somente sob certas condições
Não é possível determinar a complexidade a priori.
Preserva a esparsidade da matriz da matriz dos coeficientes.
Não afetam os resultados obtidos em cada iteração. Apenas a solução final pode conter erro.
99
ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos