Cap. 21 função do 2° grau
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Capítulo 21l+al.Lf-Ltv)'1.f,
ou do 2e grauFunção quadrática
1. A parábolaPãa o cstudo da tunção do 2r gÌàu é necessário o conhecimenb de uma cuÌva ptana denominadâ
pârábolâ. EssÂcurva é â intersecçÀo dâ superfície de um cone colÌ trm ptâno paralclo auma rtas gera_
Aparábola estápresenÌe no nosso dìâ-a-dìa enr víÌrìas sìturìçõÕs.
Exenrplos
â) Quando lançamos una peúa obliquamerÌrepb'r c.mi. .u, , l r {etór d ( prrâbot icâ.
bì Qudr do d( end.n , , , o tarol d. , . Jrro, o. r . , r , . .de Ìuz, provenienLes da lâmpadâ, incidemnum espeiho pârubol ico. , !o -et ler ido, I ì : r ! le lJmenÌ(
Je
165
Funçãô quadrática ou do 24grau
Como você vê, emboÌa poucos sâibam o nomeComo a parábola será umê companheirâ constânle
Definjção
,lri ' - . : . ' . '
dessâ cürvâ, elâ fâz paÍe do nosso cotidìânodaqui por drânÌe, convém conìecêla rnais rÌe
if:n,,ú:*:irr;t;#r"..rlrir.:.l
O ponto P. do plano (r. F), peÍence à parábola se,e 'omenre.e. Pf PP 'P é â projeçuo oíogonal
Nomenclafura. A reta r. é a diretriz da pâÌáboÌa.. Oponto F é o foco dâpâÌáboÌa.. A reta pque pd*â por reéperpen, lnuìâr â,
é o eixo d€ sim€tria dâ pâÌábolx.. O ponto v, inÌersecção da pâÌábolâ com o
eixô e, é o Yéúice da paúbola.
2. A parábola como gráfico de uma funçáo
\o plano canesidno do lado Íep'e\enÍamos âpaúbola cujo foco é o ponto F(0, 5) e cujâ direrrÌzé â rera /. peÍpendjcuìâr ao eixo Ov peìo ponroí0. l) Essa cuna e griifico de uma funçio/ : lR -
R.
Usando a definição de paÌábola, podemos deteFminff a lei ) : /(.,r) que associa cadâ Í do domíniode/ à \uâ imagem ),. Para i*o. con,ideÍemo. umponro Pí\. )). genenco dd parábolâ. como mosÍÍ-
166
Funçáo quadrálica ou do 2qqrau
. o ponto PpeÍence à paÌábola; logo, PË: PP'.
. O conpÌimento do segmento PP'é) 3.
. O coÍnpÌimento do segmento PÃ é obtido pelo teoÍemâ de PÍágoÌas no triângulo POF :
(PF)1= (PQll + (QF)'z ë (PFÌ: Ì': + Cr 5Ì . . PI : 'ç'
+ (i - 5f .
Nota
Mesmo que o segmento PF sej a paÉlelo a un dos eixos, O-Ì ou ô, seu cornpriÍnento pode ser obtidopela fóÌmula anterior.
PF : PP' .1'4'+]y s; : y :
. . (ú ' . o ' -5r I =cu-:r . . :É+o s)2=(r , 3F
. . . r t+ y1 tor+25: I 6] '+9
. . r ,+ t6:4J . . )= ? +4.
Loso, a parábola ênterior é o sráfìco dafunçao;,: f ++.
De nânei.a análoga à que fizemos parâ essa cuÌva, podemos demonst.aÌ que toda parábola com ei-xo de simeiriâ peryendicìÌar ao eixo Ox é gÌáfico de umê função do tipo ], = dr': + ójr + c, com1d, à, . Ì cRea+0.
Definição
Exemplos
ã)r -3: tz r 2
b)/(.Ì) : ai'z 2
c\ í@:; - ;
d)]r : Ì,
3. Gráfico de uma funçáo do 2a grau
Essa paÍíbola tem o ei'(o de simetÌia peryendicular ao eixo Or e sua concavidade é voltada para osentido positivo do eixo oy, se d > 0, ou voltadâ para o sentido negativo do eìxo Ot, se d < 0.
167
Função quadrálica ou dô 2! grâu
ExempÌo
PâÌâ esboçar o gráfico da função J : Ìr, podemos construir â seguinte tabeÌa:
Como sabeÌnos qüe o gÌático dc umr função do 2! grau é uma parábola. nârcamos no pÌano câÌre-siano os pontos oblidos pclâ tabela e a seguirunimos esses pontos desenìando üma paÌáboÌa.
4, Pontos notáveis da parábolaAlguns pontos da paÌábola, poÌ fâcilitârem â constrüção do gráfico da tìnção do 2q grau, merecem
deúâque. Vejanos quâis são eles.
4.1. Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Or (se existirem)PdÌaobtêlos,apaí irdet=ar ' :+b-v+(] ,bastaêtr ibuìÌmosovaÌorz€roàvariável)eresolverâ
equâção: a!: + áj| + . = 0. 1!
Pa.â rc\ ! ' lve la. JrrL,,amo, a rormuld de Bha.kâ â, ' ^= - t .eÌnque^ b 4d,.
. Se a equação (Ì) tiver À > 0, então terá duas Ìaízes reais e distintas: jrj + r:. Assim, os pomos deinrcrsecção da paráboÌâ com o eixo OÌ são (Ìr, 0) e (rr.0).
Resuínindo:
168
Funçáo quadráticã ou do 2qgÍãu
a) Dâdâ â função do 2q gÌãúf:2x2 \ l, para obtemos os pontos de ìntenecção de seu gÍáficocom o eixo Oiy, âtribüímos o vâlor zero à vâriável ) eresolvemos a equação 2r, Ì I :0.
Temos^:à'z AaclL=( 1) ' 4,2.( I ) :9.Como Á > 0, a parábola intercepta o eixo Or Sabemos ainda que o coeficienre de r, é posì-
em dois pontos distintos: (ÍÌ, 0) e (Í,,0), em que tivo (a > 0); logo, â parábola tem a concâvidâde.r1 e -r2 são raízes da equação.
DetemiÌÌêndo .rÌ e ú, temos:
-hlnE I r ì : Ì " ,8
b) ConsideÌ€mos a função do 2q grau f(j') : 3x1 + '7 :t 2.Atrjbuindo o valor zero à vnrjável/(Ì). obtemos a equação 3jr'?+7-v-2:0.TeÌìos Á = b2 4ac +
^:72 4( 3)( 2) :25.
CoÍno  > 0, ê parábola coÍespondente ao Sabemos ainda que o coeficiente de -!, é nega-gÌáfico de/ intercepta o eixo O-Ì em dois pontos tivo (a < 0), o que impÌicâ que â concavidade dadistintos: (Ì,,0) e (,v2,0), em que,vl e ì:: são as raí paÌábola é voltada paÌa bâixo:
DeÌeminândo Ì, e Ìr, tl3mos:
-b ! dE -1 ! ,,8í- 2a 2( 3)
l^
. Se a equação (I) tiver ^
: 0, enlão {eÌá duâs raízes Ìeais e iguais: jrr : jq. Assim, a paÌábola seúÌalÌgente ao eixo oÌ no ponio de âbscissa Ìj : ar.
Resumindo:
_l2
-z\-169
Funqão quádÍóticê ou do 2qsr8u
ExempÌos
â) Sendo y = tz- 6ï + 9. fâ.çamos ) = 0 pam obter as raízes dessâ função' ou seja Í' - 6Ì + q:0
TemosÀ=r '? 4dc+À:( 6\z 4 ' l '9
Como À : 0, temos duas Íaízes Íeaìs e iguâis(.rr : ÍJ; poÍtânto a paníbola tangencia o eixo OÍno ponto de abscissa :rÌ : rr.
Determinando essas râízes, temos:
" -ó iJÀ j ,_ (-6)aJo
^h2
. . . J l :4, = 3.
Como o coefìciente de 'I':é Positivo (d > 0)' â
concavidade dâ parábola é voltâda para cima:
b) Na função /(r) = ar' - 1à - 9. fazendo f(r) = 0' obremos âs rìízes de í ou sejâ:4t2-12.x-9=0'
remosÀ : ò, _4ac = À = (_l2F -4( aX-9) = 0.
Como À : 0, Ìemos {ìuas Íaízes reais e igüais O coeficiente de rz é negativo (d < 0); logo' a
(,r1 :.r,);Ponân;o  paúbola tangencia o eixo O:Í paúbola tem a concavidade voltada paÌa baixo:
no Ponto de abscissa Ìr = tr.DeteÍminando essas mízes, temos:
,hL " lL r-12) a J0x=-- 2d - Í r \4)
3z
. Se a equação (l) tiver À < 0, então não teÌá Íâízes Ìeais Assìm' a paÌábola não terÁ ponto em co-
mum com o eìxo o.{.
Resumindo:
{concavidad€ pâE baixo)
r?0
Função quadráuca ou do 2egrau
Exemplosa) Sejâ): 2Ì'?+ Ì + l. Fazendol,: 0, Ìemos 2Ì'?+ r + I : 0.
L-bt 4at + L:1 ' 4,2.1:-1.
CoÌÌo  < 0, a equação não possuì raízes reaìsl"o srgnrlrca que a parabola corrc.pondenre a;gÍáfico da função não tem ponto em comum como eiro Or. Sabemo. ainda que o coef ic ienre de íé po' ì r ivo íd 0): logo. a concavidlde e \o l r r , l "pala cìma, conforme gúfico ao lado,
Para deÌerminamos a posição dessa parábola, podemos construir uma tabeÌâ:
Nota
Nos subitens 1.2 e 4.3 seguintes, estudaremos alguns pontos notáveis da paÌìíboÌa que dispensarào aconsÌrução dessâ tabeÌê.
b) seja/(r) = -Ií7 + 2:í - 1. Fazendo f(-Ì) : 0, temosi 2Ìz+2r l=0.A = b'1 4ac + L :22 4( 2X-1) = 4.
como  . 0. d equaçào nào po,sui rarze, reai'.poÍanto a parábola não tem ponÌo em comumcom oeixo O,. Como o coelìc ienre de,:ë negar-vo (d < 0), a concavidade dâ pan4bola é voltadapâIa bâìxo, conforÍne gráfico âo Ìâdo.
Se quisermos deterninaÌ a posição da paÌábola, podemos construir uma tabela:
171
Fun(áô quâdÍár ca ou do 2!sÌau
4.2. O ponto de intersecçáo da parábola com o eixo O1'Parâ obtê Ìo. â paúir de ) = ar, + ó-! + c, basla âúbuiÌmos o valor zero à vadáveÌ Ì:
t :a,V+b.0+c+y=,1.
Assim, o ponto de ìrtersecção da paúboÌâ com o eixo O) é (0, .).
ExempÌo
Para esboçar o giífico da função ) : .r2 - 6r + 5, vâmos obler os pontos de intersecção da paráboÌacom os eixos OÌ e O]Ì.
Fazendo):0, temos -r'] 6r + 5 = 0.
L=b1-1ac
..À=(-6f-1.1.5 16
t"+ l ÍLogo. Ì: _-:::1 +
- ( 6) :JL2l
Ëntão, â parábolê inÌeÌceptê o eixo Oj no ponto(0.5).
O esboço do gií1ìco é:
. . i ì=5ir , :1.
Poíânro. a parJbola nreÍceprd o ei \o O, nu,ponÌos ( Ì ,0) e (5. 0) .
Fazendo -Ì - 0, temos
l :o ' ]6 '0+5=-r:5.
4.3. O vértice da parábolaOuÌIo ponto norável da parábola é o seu véÌlice. CoÌno obrê lo?No exempìo anÌeÌioÌ vimos que o esboço gÍáfico da função )Ì: Ì1 6r + 5 é.
O \í r i .c v Ja Fraboid pe ence uo e' \o desiÌÌetr-iâ e. l-ogo. sua úscissâ é a do ponto médrodo segmento de extremos (1, 0) e (5. 0). ou seja,
Substitü;ndoÌpor3 emJ: Ì, 6j + 5. obte-Ínos a o cnadado véÌlice:
)=r ' o r+: ì+Ì=-4.
Po.lanro o rèruce dâ pír;botJ e o ponv(3, 4).
Percebemo,. por e$e c\emplo. que. quanuuuma pJribolJ i!ìrercepra o ei(o O.rem dor. ponto,di . ì inro ' , rorna^e ÍJcr l dereminrr J5 coordenadr..r, e )Ìv de seu véÍÌce.
172
Funçãô quâdrálìca ou do 2e grau
Pensemos agoÌa na lunção ) : -.r, + 4Ì - 4, cujo gráfico él
QuaÌ é o véÌlice dessâ pâráboÌâ? Clâro que é o ponto de tângênciâ (2, 0).Esse câso âìndâ se mostrou simples. Analisemosentão um câso mâis compl;câdo, ou seja. uÌÌâpaníboÌa que não intercepre o eixo OÌ. Por exem-plo:)=Í ' :+2r+zl
FazendoJ = 0, ÌemosÌr + 2t + 4= 0.
L,=b, 4acé A,=21 4.1.4: 12.
Como 0ea 0. a paÍdbola nào po*urponto em comum com o eixo oi e sua conca-vidâde é voltada paÍa cima, confome gráfiso âoÌâdo.
Como determimr o véÍtice dessâ prráboÌâ? TÌâcemos peÌo
Dererminemo, o, vâìore. de , de modo q e í , . . , .
seja ponto dâ parábolâ, oì.r sejâ:
)-: a -+ x2 + zÍ + y'=/..-v:+ 2r = 0 . '.-r(.,r + 2) : 0+Ì=0our:-2
ponto (0, 4) urnâ reta paÌalelâ ao ei{o Or:
173
Funçãó quadrálica ou do 2! grau
O véÌ.ìce y peÌlence ao eixo de simetria da parábola; Ìogo, süâ âbscissâ é â do ponÌo médio do segmenlode extrcmos (-2.0) e (0,0), is to é, Ì = 1.
Sübstituindo -r por - 1 em I : Ì, + 2,Ì + 4. obtemos a ordenada do vériice:r : ( l Ì+2( l )+4.. . )=3.
Logo. o váÌice dâ paÌábola é o ponÌo y( 1, 3).Vêmos plovâÌ geneÌicamente que:
DemonstraçáoConsideremos â função ) = &t1+ bt+ c,comla,b,.l C R e a + 0. Sendo À : òr 4d.. Ìemos
lrês casos: À > 0 (I); Á : 0 (I)i eA < 0 (ID.
Lrro: - : 'Nesse câso a função tem duas raízes reâis e distintas:
h+. lL' ,= n ," ,= bJtr
2a
A parábola intercepÌa o eixo OÌ nos ponios (.Ì1, 0) e (-r,, 0):
O véÍice y da paÍáboÌâ peíence âo eixo de simetria e. Logo, a abscissâ Ìy é a do ponto médio do seg-menio d€ extÌ€mos (irj 0) e (r:, 0). Essa abscissa é a méúa aritÌnéÌica das abscissas r, e -rr, ou seja:
rv = ---- =
h+JL b-4tr 2b------+_--=- ---
2a-2a2a2a
Subsiituindo na tunção ]' : dÌ2 + tÌ + c a variável .r por - 3, obternos a oraenâdâ 1,, do véÍice:
"Jv:
+.,b
2a
b'
b ' 2b'+ 4dc4a
(b'1 4ac) A
174
(c.q.d.)
Função quad.ática ô! dô 2qgraú
ÌüÌ4*,, jÌ
Nesse caso â função tem duas nízes reâis e iguâis Ìr = i!,
o.r no ponto ale âbscissâ Ì , : "' = -
,oL.
2dA paÌáboÌa é tângente âo eixo
(c.q.d.)
A*im, a ab.cr.sã \ . do veí ice I e - - : . Vimo' no ca'o ( | | que..ubsl i ru i ído nâ run!ào
) = a1'z+ ó.ï +. avariáv.l tp", +,
Nola
obtém-selv: ad
0.
Nesse caso a função não tem mízes reâis; poÍanto a pâÍáboÌâ não tem ponto eO:Í:
Como ^
= 0, tremos que ), =
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo O) é (0, c).
L
175
Função quadrálica o! do 2!grâr
Nota
É cÌâÍo que o gÌáfico podeÌiâ estaÌ em umaposição diferente dessâs. Estâmos iÌustÍândo apena$ paetàcÌÌitaÌ o râciocínio.
Consideremos a reta que pas$a pelo ponro (0. c) e é paralela ao eixo Or.
Parâ deteminarmos as cooÌdenadas dos pontos da parábola que têm ordenadâ .. basta substiruirmosna 1ìrnção ] = ar'z + ór + c a vêriável J por.:
y' : d + hx + y ' . .o: ax.+ b\ . .0: Ì (aÌ+r,) . . "=o *,= a.
Como o v&úce y peÍence âo eixo de simetriâ s, temos qüe à âbscissâ Ìy é a do ponto médio do seg/Àì
menro de extremos (0,0ì e | ; ,0.1
ou serr
o*í aì\ a) h
2a'
Colno vinosno caso (I), subsÌiruindo na tunção J : at' + àÌ + . a variável.,v por - f, "tt.*
*,
^
176
Funçàô quâdÍáiicá ou do 2qgrau
Exercícios resolvidosEin'a: Esboçd o gúnco da tunção) = Ì'1 6Ì + 8. dando sen domínio e conjunto imagem.
ResoluçãoFazendoÌ = 0, tenos:rl - 6Ì + 8 = 0 + , = 2 ou Ì:4.
' Logo, a püáboÌa inteMpta o eixo OÌ nos potrtos (2, 0) e (4, 0).Frzendo a = 0, temos ) = 02 - 6 0+8 + l=8.Logo, a püáboÌa intercepta o eixo O) no potrto (0, 8).A abscÌssa ry do !éíice é a do ponto médio do segmento de extremoi (2, 0) e (4. 0). Isto é:
, - ï - ,
A oidemda)vdo véltice é obtìdâ substituindeset por 3 em) = ai óÌ+8.htoé:
)v=32 ó 3+8r yv= I
Logô, o véÍice é o ponto Y(1. l).
O doÍúnio da fDnção é R, pojs lda quaÌquer Ã Ì € lR, existe f real tal que ) = a1 6Ì + 8.O conjmlo iMgen da füÍção é aquele fomado pèhs ordenadâs de todos os potrtos do gútico Essasordenadas são todos os números reais maiores ou iguais a l
In={}€RlÌ> 1} ou Im : t -1, +-t .
Êiz*i',r Esboçe o erá1ìco da função y : .É + 4, 5. dúdo seu domínio e conjulo imsem
ResoluçãoFendo ) = 0,temos -rl + 4Í 5 = 0.
À =:P 4( l ) ( -5) . ' . Á = 4.
Cono ^
< 0, a função úo t€m nrízes reais: poÍanto a pdáhola não intercepta o ei\o or'FâzendoÌ:0. temosl ' = ( t+4 0 5+l : -5Logo, a pdáboÌa intercepta o ei{o t}] no ponto (0. - 5 )PaÌì delenindmos o vénic€ V(Ì', rv). vmos usâr âs fónulas:
' ' ' 21 2( ì )
a _ ( 4) _. _ ,t ' 4u - ìq t l - "
Temos então q& V(2, 1).
E
.E
177
Função q!âdráricâ óu do 2qs6!
E
E
O esboçÒ do eÌánco ó:
B:3':ì:l o gránco da lmçãolt) = d1 + ,a + . é ilâdÒ do lado.De1enim..óe..
(0,2)€l + 2=d 02+à 0+..(1.0)e/ + 0:4. r r+á. 1 +. .(4.0) € í + o = d. 41 Í b. 4 +. : .
remosentãoa= i , o : -1, , - ,
Rt4:,,: pm que ratores reais de u a função /(r) =
Uma função do 2q sran,/(a) : a\1+ bx +ou *jar È: - 4a. > 0.
Asim. !âú dcterminüd. à e.. basrâ Íesorvemos o sisrem" { I *=r1 !t'= n,rt,L ióa+4ò+.:0. ( I l l )
Substituindo . por 2 eft (ll) e (1Í). e, a segulJ, nDlriplicdndo lor 4 ambos os menbrcs de (Ìl). Lemos:
Somando. membro a memhÍÒ, esas dlas úÌtimas equâções, renosr i2a ó = 0 e a =
sou'r i , ' inoo. ". i Iq. , po. | ", ,po.2..r 'r".*, |
*r,+z:o = l= ].
O domíúo da função é R.o conjunto imasem é In: l--, 11.
}Ir+ 5Ì + n + 3 admiledua$raÍzes reàis edisrinlnsl
.i. admile duas mízes Êais è distìúas se, € somelte se, Á > 0.
la+b+2= o.( 4) | 4a-4ó-u:ol l6a+4ó+2 - 0 l lóz+4r+2:( ì
I
2
Natunção/(-Ì) = ãr + 5Ì + / + 3, Ìemoí:\= b) 4ac
- a:5: 4 . 2(n + 3)
. .4=25 8(u +3). ' .4:25 8n 2:1 . . ,1=l 8n.
lmpondoA O.rem,F: l 8a 0, . f - . - r . .V, f , , r l
Loso. a função/ rem duas raízes r€aìs c disiintas para rod.. e r".. f,.
174
Funçào quadÌári.â ou dô 2! OÉu
:Ëì5i' o cránco da fuçãolk) = eÌ7+ r l, t € R, é uftâ !âíhola que posui dois ponros distintos em comumcom o eixo Or. Deteminü os po$ívçis vãiôÍes dè t.
ResolusãoPa.a quê o eúôco de/ seja uma pdáboÌa. devemos impor ünâ condição pda B:Ìmtir quefé tunção do2q gra!. Esa condição éì
:.-i +í:: rrrPda que a pddbola teúa dois pontos distinros em conüú com o eixo Or, a funçao/ deye tcr duas rdzesreais e distinllsi lorlanlo devemos tor A > 0.
L:b,_4dc + ^=1'
4.À,( t ) . . .Â=1+4n.
r r . "ndoa , , . 'emo\: | !Á 0. . r r . . r , i i l i * : , " ': . i : : l+: i :1 _
Por í I ì e í Ì Ì ì . km.\ Í > - e t +{J.
rEiF.'li DeLemiid ô onjunro imasem da tunçãol : [ 2, 2t -
R ta] q!e/(Ì) Ìr 2.r 3.
Consideremos a função 8: R- R tai que 8(r) = Ì' 2r - 3.
A,=b1 4ac- ^=(
21 1,1.( 3). .À=16.
- ,x,LT ( 2) 1 JLt= , , - r= : . r
Ao resirlngimos o domínio da tNção s ao intdalo [ 2. 2t. oblemos a função /, ou sejâ:
/ r I 2.2t- R 1al que/(a) = Ì r 2t 3 '
. f ( 2)=\ 2) ' 2( 2)-3 r / ( 2)=5 efQ)=t 2.2 3 +JQ)= 3
Loso. o conjunto imasèú de/ él
Im=l)€rRl 4<:r '<51 ou Im=l 4,51.
179
Funçãô quadráticã ou do 2'gÌâu
Exercíc,ios básicosi$fi:i'i o'i,*" . g.ri"" a" cada una das ruções. dúdo seu domínio e conjunto imase6:
f ) r=zÌr 2t+l9J : 5rr+ 2r I
i ) r : r t 4x 4) ) : Ì r -6r+5
Ì) )= 3a'+5ì'm)t = Ì '+ 41+ 5n) ] : 2r '? 18
*jË-i!l o eranco aa ruçao i, : 62 + bt + c é:
'ì) os valores dc a, b e.l
b) o corju.to inaeen de$a turyão.
ffi:fi O gráfico da fmção I : N1+ bx + c é:
DereDìne os valores de a, à e .
f f iÉ o eráf ico da fução/(Ì) =ú2+tu+cé:
a) Detemine os valores de a, à e..b) calcuÌe /(4).
ÉF;# rta que ralores rcais de u a função /(r) = m, + 3Ì + I possui duas raíz€s reais e disrinras?
Bì$ã# para que vatoes reals dcn a função/(Ì): r: + m + n 1 admire .tuâs raías eais e iguais?'ôi..,'i.f r-" qr"
'a.r"r.""isdena fungao/(Ì) = (u 2h, + 2M + t + 3
'ã,o ̂ dnite raLes reais?
í80
Função quadrática ou do 2egrau
E x e rcício s c omple me ntare sSendo {a, à,.} c R. coma + 0. o eránco dafuçao/G)=d'z+ór+.é:
:ÇriË;i
:C:â;osúf icÒddfunçãÒ/(r) :3Ì , - ( i+2I Ì+Ì- l , t€R,énnapdábolãcujovédiceperrenceaoexo
das abs.issar. Deremine o valor de t.
Ce;l O gúfìco d! lìnção /(r) - kÌ'1 Qr + 4F + t + 4,t € R. jn1érèp1â o eixo das abscissâs em dois ponÌosJinrnro. Detenne o. pn*r \er. valôF' dê / .
4-i+::1 OCráficodafunção/o)=rr+r+21 3, t € lR, não inle.ceptâ o eixo {t6 abscissas. DeÌemine os possíveis valorcs de À
€*ii Conslaere o con;unto A : t-1,21èafmção/:Á -Rtalque/(r) =rr 7r+ 12. Derernine o conjúnto
inasem dè /.
:GlÊ.* ouentu o conjunto imasem da tunçao/r f0,4t - R 1âl qüè/(ì) = Í: 21 3
:@Ê senoo o con;untoa = 10, +-teaiìnção/;Á- R tâl qúe/('): -Í'?+ 4r, qlal é o conjunlo imrsem
Questões dos ve stibulare s:Èì4Ì (Fuvesr-SP) O súfìco de/(, =
': + br + ., onde à e. são constantes reais, pussaleÌos pontosÁ(o,0) e
ro,e.e'".r( f ) "a",
CÌdsinque como V ou F câda ma das afimações:
d) O núnero reaÌ. é legaiivo.b) O número reaÌa élosilivo.c) A abscissa do véíice y é negaiiva.d) O númcrorcalò énesâtivo.
er,q. oraeraaa ao,e,t*". íò 44'ì4,
f) Odisdinindtedaeqnação/(r) : 0énü]o.
e)4" ,3:iitáÊli 6uu"rt s4 conri t"re a ptrábola de equação ) = x2 + N + 4m.
ã) Ache a iÍtúsecção da pdábola com o eixo OÌ, quddo n = 2.b) Dehine o conjÌnro dos vrlores de a paÍa os quais a ldábola não intercepta o ejxo O-Ì.
i i i .g l l * (UFAC) Dud"u- loção^: Í ( ' , r ) €Á x B talque J: a '?- 6a + 5l . en que Á = I 1,71c Ì l = t0,5t .consÌrua o eÌáfico. dê o doftínìo e o conjunlo lmagem deÃ.
:ÌÌl'Èii: Orucl o ""':'"r"
de lodos os mlores reais de /, pda os qlais o co':iunto imsen de
t/^ r ' ru f_
f taB tr-rB.r . 2 e:
-2
a) (ol
b) \ 2.21
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o{ '5. '5 id) {-,6 , "6 l") l ,ilo , "/iõ J
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