Conceito de funções

INTRODUÇÃO

Queremos estabelecer um exemplo motivacional para o estudo de funções, e nada melhor que estudar a relação

existente entre as grandezas espaço e tempo. Queremos concluir que o espaço percorrido pode ser obtido como

função do tempo gasto por um atleta, conforme descrito abaixo.

Exemplo: Numa esteira ergométrica, um atleta treina com uma velocidade constante para uma maratona. Seu

treinador observa, a cada 10 minutos, o espaço percorrido e anota em uma tabela seu desempenho. Observe:

Instante (minutos) Distância (m)

10 1 500

20 3 000

30 4 500

40 6 000

50 7 500

60 9 000

A cada instante (x), em minutos, corresponde a uma única distância (y), em metros. Dizemos então que a

distância percorrida pelo atleta encontra-se em função do instante de tempo gasto em seu treinamento. Como a

cada 10 minutos são percorridos 1500 metros; a cada minuto, 150 metros são percorridos, assim a fórmula que

relaciona espaço e tempo pode ser descrita por y = 150x.

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada

elemento x∈A, um único elemento y∈B. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de

valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma

que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O

conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto

imagem, denotado por Im(f).

Vejamos um exemplo através da representação por diagramas, onde podemos observar a definição descrita:

Representação por diagramas: Cada elemento do conjunto A (domínio da função) está relacionado a um, e somente um, elemento do conjunto

B (contradomínio da função). Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos

elementos de A, ou seja, a imagem de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e imagem de 0 é 0. Podemos

perceber, nesse caso, que a imagem de cada elemento do conjunto A equivale ao quadrado do seu valor. Logo,

podemos concluir que a lei de formação dessa função pode ser definida por f(x) = x².

Dom (f) = {-3,-2,-1,0}

CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

IM (f) = {0,1,4,9}

Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?

a)

b)

c)

d)

De acordo com a definição de função apresentada anteriormente, os gráficos que representam funções são as

letras: a e c. Consequentemente, os que não representam são as letras b e d, pois no item b o elemento 0 do

conjunto A não se relacionou com nenhum elemento do conjunto B, contrariando a definição de função. Já na

letra D, o elemento 4 do conjunto A se conectou com dois elementos do conjunto B, o que também não pode.

Observação: o que podemos concluir, caros alunos? Que cada elemento do conjunto A deve mandar uma e

somente uma flecha para o conjunto B para a relação se tornar uma função. Jamais um elemento do conjunto A

pode mandar 2 flechas ou deixar de mandar.

Exemplo: vamos entender melhor o que significa o domínio D e a imagem Im observando o gráfico abaixo:

De acordo com que falamos acima, quando queremos saber sobre o domínio, devemos olhar para o eixo x e,

quando falamos em imagem, devemos olhar pata o eixo y. Desse modo todos os valores utilizados sobre o eixo

x representam o maior domínio dessa função, ou seja, D=[0,4] e todos ou valores utilizados sobre o eixo y

representam a imagem, o que podemos concluir

Im=[0,2]

Exemplo: vamos determinar o maior domínio das funções abaixo:

1º) f(x) = 3x

Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero.

Nesse caso, temos que ter x≠0 para que 2x seja possível em IR

Lodo o domínio são os reais não nulos.

2º) f(x) = x−4−−−−−√

Sabemos que no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo.

Portanto, temos que ter x−4≥0 para que seja possível em IR

Daí, x−4≥0⟺x≥4

Logo, D(f) = [4, + ∞[

3º) f(x) = 1−x√x−2√

Nesse caso, devemos ter:

(I) 7−x≥0⟺−x≥−7⟺x≤7

(II) x−2>0⟺x>2

Ou seja, x∈ ]2, 7]. Para cada x∈ ]2, 7], f(x) existe e é único.

Logo, D(f) = ]2, 7].

Vamos observar agora mais um exemplo cotidiano onde a função se faz presente:

Uma barraca de praia, em Salvador, vende picolés ao preço de R$ 1,75 a unidade. Para não precisar fazer

contas a todo momento, o proprietário da barraca montou a seguinte tabela:

Número de picolés Preço (R$)

1 1,75

2 3,50

3 5,25

4 7,00

5 8,75

6 10,50

7 12,25

8 14,00

Note que o número de picolés é o domínio da função, e o preço correspondente à quantidade de picolés, o

contradomínio. Logo, podemos observar que:

Dom (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

CD (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}

Im (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}

Como todos os elementos do contradomínio são imagens, podemos concluir que o conjunto imagem é

igual ao conjunto contradomínio.

Sendo assim, é possível observar facilmente a lei de formação dessa função. O total (y) a ser pago será

R$ 1,75 multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, podemos concluir que y = 1,75.x.

Observação:

Seja f : R → R uma função. Tal representação pode ser descrita por D → CD onde D são os elementos do

domínio e CD elementos do contradomínio. Sendo I o conjunto imagem, podemos dizer que I é subconjunto de

CD, ou seja, I⊂CD.

Classificação de uma função: As funções podem ser classificadas em injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou bijetiva.

Uma função é:

- Injetora ou injetiva quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2);

Exemplo:

- Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja,

possuem os mesmos elementos;

Exemplo:

Funções (Foto: Colégio Qi)

- Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.

Exemplo:

Funções (Foto: Colégio Qi)

Função Exponencial CONCEITO

A função exponencial ocorre quando temos uma variável no expoente e o número é determinado como base.

Veja dois exemplos de gráficos de funções exponenciais:

Gráfico de função exponencial (Foto: Colégio Qi)

Temos os gráficos de f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2 - x (vermelho). Observando esses dois gráficos poderemos

entabular algumas propriedades gerais importantes, vejamos:

-Os gráficos estão passando pelo ponto (0,1);

-Para quaisquer valores de x os valores de f(x) serão positivos. Denomina-se o eixo dos x como “assíntotas

horizontais”;

Obs.: Reta assíntota (ou assintótica) é uma reta tal que a distância de um ponto de uma curva a essa reta tende

para zero quando o ponto se afasta ao infinito sobre a curva. A reta assintótica e a curva ficam arbitrariamente

próximas conforme se afastam da origem do sistema de coordenadas.

-O gráfico de f(x) = 2x é nitidamente crescente, isso vai ocorrer toda e qualquer vez que a > 1, já o gráfico de

g(x) = 2 - x tem o aspecto de uma função decrescente e isso vai ocorrer toda e qualquer vez em que 0 < a < 1;

-O domínio das duas funções é o conjunto dos números reais, porém a imagem será determinada por ]0,+∞[

Função exponencial (Foto: Colégio Qi)

Observe agora o gráfico ao lado e note as funções f(x) = 2

EXERCÍCIOS

(PUC-RJ 2012)

A equação 2x2−14=11024 . A soma das duas soluções é

a) – 5 b) 0 c) 2 d) 14 e) 1024 Resposta: Letra B. Reduzindo à mesma base e igualando os expoentes, obtemos:

2x2−14=11024

2x2−14=2−10

x2−14=−10

x2−4=0

x=±4√

x=±2

Como a questão pede a soma, + 2 + (-2) = 0.

(CFTMG 2013) O produto das raízes da equação exponencial 3∙9x−10∙3x+3=0 é igual a

a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. Resposta: Letra B.

3∙(3x)2−10∙3x+3=0

3x=10±86

3x=3 ou 3x=3−1

Logo, o produto das raízes será dado por 1 ∙ (-1) = -1.

(UFSJ 2012) A interseção dos gráficos das funções h(x)=2x+1 e s(x)=2x+1 é o ponto que tem a

soma de suas coordenadas igual a a) 2 e pertence à reta v = x + 2 b) 1 e pertence à reta v = x + 1 c) 2 e pertence à reta v = x - 2 d) 1 e pertence à reta v = x - 1 Resposta: Letra A. Igualando as funções, temos:

2x+1=2x+1

2x+1=2x∙2

2x=1

Então a soma de suas coordenadas é 2 e este ponto pertence à reta v = x + 2. Podemos novamente observar essa solução graficamente, veja:

Gráfico da questão (Foto: Colégio Qi)

Função de 2º Grau

INTRODUÇÃO

Para a entender a Função de 2º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo.

Função Quadrática (Foto: Colégio Qi) Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x)

relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A.x2 + B.x, na qual A é uma constante que depende do ângulo de

tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.

DEFINIÇÃO

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:

f(x) = ax2 + bx + c,

onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

a) y = x2 – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6

b) y = - x2 + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4

c) y = 3x2 – 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0

d) y = 2x2 – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1

PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo

y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola.

Função Quadrática (Foto: Colégio Qi) Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Observe isso atentamente agora. Concavidade da parábola A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:

a > 0 a < 0 Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):

A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a Repare que, sendo ∆ = b

2 – 4ac, podemos ter:

Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox.

Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox.

Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Observe as possibilidades descritas abaixo:

Figura (Foto: Colégio Qi) INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):

A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c.

Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c). VÉRTICE DA PARÁBOLA:

O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Vamos determinar o xv: Como o eixo de simetria passa pelo vértice e é equidistante as raízes, temos que o xvé a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Então, o xv será: xv = −

EXERCÍCIO

1 - (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente

proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11000 b) 22000 c) 33000 d) 38000 e) 44000 Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x)

R(x) = -kx2 + 44 000kx

Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000 Letra B.

Função de 1º Grau

INTRODUÇÃO

Gráfico da função identidade (Foto: Colégio Qi) Função é uma relação entre dois conjuntos. Começaremos destacando a função polinomial de 1º grau mais simples, a função identidade, onde y = f(x) = x. A função ao lado, que apresenta sua imagem geométrica na forma de uma reta, também é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares, pois passa pelo eixo (0,0), dividindo dois quadrantes ao meio. Além da estrutura mais geral da função do 1º grau, y = f(x) = ax + b, temos uma estrutura mais simples, do tipo y = f(x) = ax.

O gráfico a seguir apresenta as funções f(x) = 1x (em azul), f2x = 3x (em verde) e f3x = -2x (em vermelho):

Gráfico com as três funções (Foto: Colégio Qi) Observamos que o coeficiente a determina a inclinação da reta e também é chamado de coeficiente angular da reta. Se a > 0, a reta é crescente. Caso a < 0, a reta será decrescente.

ESTUDO DOS SINAIS

Vamos estudar os zeros ou raízes, sinais e crescimento (ou decrescimento) da função f(x)=x⋅sen x:

Estudo da função f(x) = x . sen x (Foto: Colégio Qi)

Com x⋅sen x=0↔x=kπ (k∈Z),i.e.,x∈ {0,±π,2π,...}, com isso determinamos no gráfico as raízes (ou zeros) da

função. Como y = f(x), é fácil percebermos no gráfico as regiões em que a função é positiva ou negativa. Esse procedimento é usado para funções do 1º grau, veja o exemplo a seguir: f(x) = 3x + 3 x = 0 y = 3 x 0 + 3 = 3

par ordenado: (0,3) f(x) = 3x + 3 3x + 3 = 0

3x = -3 x = -1

par ordenado: (-1,0)

Gráfico da função (Foto: Colégio Qi)

EXERCÍCIOS

(UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.

Gráfico com venda de mercadorias (Foto: Reprodução/UERJ) Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: (A) 4,50 (B) 5,00 (C) 5,50 (D) 6,00 Gabarito

Letra A. Pelo gráfico, temos: P (5, 50)

↔ 150 = a⋅5+b (I) e

Q (30, 50)

↔ 50 = a⋅30+b (II).

Fazendo (II) - (I):

25 a = -100 ↔ a = -4

Em (I) = 150=(−4)⋅5+b↔b=150+20

b = 170

f(x) = -4x + 170 f(20) = -4 (20) + 170 = 90

9020=4,5

As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vencedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:

QO= -20 + 4P

QD= 46 – 2P

Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontraram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando

QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

(A) 5 (B) 11 (C) 13 (D) 23 (E) 33 Gabarito

Letra B. Pelo enunciado, temos que o preço de equilíbrio é tal que

QO=QD↔−20+4P=46−2P

↔6P=66↔P=11