Unidade 2 Conceito de FunesConceitoSistema Cartesiano OrtogonalEstudo do domnio, contradomnio e imagem de funoRepresentaes de funes por meio de tabelas, grficos e frmulas

Conceito de Funo Situao 1: Um vendedor, em dias de jogos de futebol, vende

cachorros-quentes ao preo de R$1,80 a unidade. Ele deixa uma tabela exposta para que os clientes

saibam quando ser a conta, dependendo do nmero de cachorros-quentes consumidos.

Com essa tabela, os clientes no precisam fazer clculos para saber qual ser o valor da conta.

Pelo menos, se o consumo for de at cinco cachorros-quentes.

Essa situao que envolve a relao de dependncia entre duas grandezas: a quantidade de cachorros-quentes vendidos e o valor a ser cobrado.

Situao 2: Alguns paraquedistas caem em queda livre,

sujeitos apenas ao da gravidade, de uma altura inicial igual a 1000 metros.

Desprezando a resistncia do ar, observe a altura em que eles se encontram aps alguns segundos de queda.

Mais uma vez, existe uma relao de dependncia entre o tempo de queda e a altura em que se encontra os paraquedistas.

Se conhecssemos essa relao, poderamos, por exemplo, encontrar o instante em que atingiram o solo, caso nusassem o parequedas.

Podemos utilizar a linguagem dos conjuntos para representar essa situao, de tal forma que, para cada elemento do conjunto A (tempo de queda), exsiste um nico elemento do conjunto B (altura em relao ao solo) associado a ele.

Se representar o tempo pela letra t e a altura pela letra h, dizemos que as grandezas t e h esto relacionadas, ou seja, que existe uma correspondncia entre t e h.

Em outras palavras, dizemos que h(altura) uma funo de t (tempo).

Conceito

xde funo uma y (x) f y :escrevemos smbolos, Em

B. y entecorrespond elemento nico umA x elemento cada a associa que relao uma B, A :fpor mosrepresenta

B, emA de f funo uma B, eA vazios,no conjuntos dois Dados

=

Sistema Cartesiano Ortogonal Em 1596, em La Haye, Frana, nasceu uma pessoa

fascinante, digna dos mais efusivos elogias. Ren Descartes (1596 1650), conhecido como o pai

da Filosofia moderna, considerado um dos maiores pensadores da Histria.

Alm de interessantes trabalhos publicados em Filosofia e Teologia, Descartes acreditava que somente por meio da Matemtica seria possvel compreender o mundo.

Em sua extensa obra, nosso interesse ser focado em uma das sua maiores invenes: o sistema cartesiano ortogonal.

Esse sistema constitudo por um plano em que existem dois eixos orientados e perpendiculares.

Sobre esse plano, podemos representar pontos constitudos de duas coordenadas.

O eixo horizontal ser denominado eixo das abscissas e o eixo vertical denominado, eixo das ordenadas.

Para localizar um ponto, preciso conhecer as coordenadas (x; y).

A coordenada x, chamada de abscissa do ponto, ser representada no eixo da horizontal;

A coordenada y, chamada de ordenada do ponto, ser representada no eixo das vertical.

xy P (x; y)

Eixo das abscissas

Eixo das ordenadas

0

1 QuadranteP (+ ; +)

2 QuadranteQ ( - ; +)

3 QuadranteP (- ; -)

4 QuadranteP (+ ; -)

Q (x; y)

R (x; y) S (x; y)

Estudo do domnio, contradomnio e da imagem de uma funo Numa funo, importante saber no apenas a

lei (ou expresso matemtica) que permite relacionar as grandezas, mas tambm quais nmeros cada uma delas pode assumir e quais so efetivamente relacionados.

Para tanto, precisamos conhecer de domnio, contradomnio e conjunto-imagem de uma funo.

Estudo do domnio, contradomnio e da imagem de uma funo Considere a funo f ilustrada a seguir.

1.2.3.4.

A

Domnio de f

5.6.7.

8.

5.6.7.

B

Contradomnio de f

Imagem de f

f: A B

Estudo do domnio, contradomnio e da imagem de uma funo O domnio de f o conjunto A, considerado o

conjunto de partida ou campo de existncia de f. O contradomnio de f o conjunto B, formado

conjunto de chegada. O subconjunto de A, e denominado conjunto-

imagem de f. Domnio de f: D(f) = A = {1, 2, 3, 4} Contradomnio de f: CD(f) = B = {5, 6, 7, 8} Imagem de f: Im(f) = {5, 6, 7}

Estudo do domnio, contradomnio e da imagem de uma funo

Estudo do domnio, contradomnio e da imagem de uma funo

( )( )( )( )( ) 74

635251yx

=

=

=

=

=

fffff

Elementos y pertencentes imagem

Elementos x pertencentes aodomnio

Representaes de funes por meio de tabelas, grficos e frmulas As funes podem ser aplicadas em

inmeras situaes que so descritas por meio de modelos matemticos.

Em experincias cientficas por exemplo, frequente a utilizao de relaes matemticas envolvendo grandezas com objetivo de estudar um determinado fenmeno.

A usina Hidreltrica de Itaipu foi construda no Rio Paran na dcada de 70 do sculo XX e hoje responsvel por 25%de energia consumida no Brasil e por 95% da demanda do Paraguai.

Sua obra monumental foi considerada por uma revista especializada dos EUA uma das setes maravilhas do mundo moderno.

Atualmente, ela gera, em mdia, cerca de 8GW (gigawatts) de energia por hora.

Sendo t o tempo em horas e E = f(t) a energia gerada pela hidreltrica, a lei E = 8t

Relaciona a energia E em funo do tempo t. Se, para cada valor de t, temos em correspondncia um

nico valor de E, podemos associar para cada par de valores (t; E) um ponto P(t; E) no plano cartesiano ortogonal.

Representaes de funes por meio de tabelas, grficos e frmulas Assim, por intermdio da funo, podemos calcular a

energia gerada em um instante qualquer. E = f(t) = 8 . t

gerado) foi nada 0, instante (No)0;0(00.8)0(0 ==== fEt

gerados) foram energia de8GW hora, 1 (Aps)8;1(81.8)1(1 ==== fEt

gerados) foram energia de16GW hora, 2 (Aps)16;2(162.8)2(2 ==== fEt

gerados) foram energia de24GW hora, 3 (Aps)24;3(243.8)3(3 ==== fEt

Representaes de funes por meio de tabelas, grficos e frmulas Procedendo dessa

maneira, podemos encontrar mais coordenadas de pontos.

Localizando os pontos por meio de suas coordenadas cartesianas, podemos construir o grfico da funo e ter uma ideia de seu comportamento.

Os pontos esto alinhados, j que, par acrscimos iguais a t, temos acrscimos iguais a E.

varivel t (tempo) foram atribudos apenas alguns valores.

Se atribumos tambm todos os infinitos valores reais positivos para t, teremos uma semirreta formada por infinitos pontos.

O grfico da funo uma semirreta com extremidade na origem.

Todas as vezes que construmos o grfico, importante observar qual o domnio dessa funo.

Como t assume apenas valores reais no negativos, ou seja, t 0, temos:

Os valores de E associados a t constituem o conjunto-imagem.

Pelo grfico, observamos que E assume valores positivos ou nulos.

O contradomnio, quando no declarado, considerado o conjunto formado por todos os nmeros reais.

Ento nesse caso;

( ) +== }0/{ tttD

( ) +== }0/{Im EEt

( ) =tCD

Concluso

Por intermdio do grfico de uma funo, podemos compreender o comportamento de uma varivel em relao outra, alm de observar tendncias.

Podemos tambm obter o domnio e a imagem dessa funo.