derivadas parciais

Calculo 2 - Captulo 2.4 - Derivadas parciais 1

Captulo 2.4 - Derivadas parciais

2.4.1 - Introducao 2.4.3 - Significado geometrico das derivadas parciais2.4.2 - Derivadas parciais

Veremos agora como aplicar algumas das ferramentas do Calculo Diferencial e Integral a funcoes de maisde uma variavel. Definiremos as chamadas derivadas parciais, que sao o equivalente da derivada para funcoesde mais de uma variavel e tambem veremos como aplica-las a alguns exemplos economicos.

2.4.1 - Introducao

Neste captulo, vamos generalizar o conceito de derivada para funcoes de mais de uma variavel. No entanto,vamos primeiro analisar um problema em que se calcula taxas de variacao de uma funcao de duas variaveis.

Investimento em producao. Considere que voce tenha uma empresa cuja producao possa ser modelada pelaseguinte funcao de Cobb-Douglas: P (K,L) = 10K0,4L0,6, onde P (K,L) e o valor da producao (medido emmilhares de reais), K e o investimento feito em infra-estrutura e maquinario e L e o investimento feito em mao-de-obra (ambos medidos em milhares de reais). A caracterstica dessa funcao e que a producao de sua empresadepende mais da mao-de-obra do que da infra-estrutura e maquinario. No momento, voce tem R$ 100.000investidos em infra-estrutura e maquinario e R$ 200.000 investidos em mao-de-obra. Existe a possibilidade deinvestir mais R$ 10.000 em infra-estrutura ou em mao-de-obra, mas nao em ambas simultaneamente e nao devehaver parcelamento do investimento nessas duas areas. Em qual das duas areas o investimento devera ser feito?

A resposta pode ser obtida se calcularmos o quanto a producao deve variar caso seja feito o investimentoem uma determinada area: infra-estrutura ou mao-de-obra. Para isto, devemos calcular a variacao da funcaoproducao com relacao a uma variacao no capital investido em infra-estrutura e maquinario e a variacao dafuncao producao com relacao a uma variacao no gasto com mao-de-obra. Para uma variacao K = 10 milreais no capital investido em infra-estrutura e maquinario, temos

P = P (K+K,L)P (K,L) = P (100+10, 200)P (100, 200) = 101100,4 2000,6101000,4 2000,6 58, 901 .

Para uma variacao L = 10 mil reais no gasto com mao-de-obra, temos

P = P (K,L+L)P (K,L) = P (100, 200+10)P (100, 200) = 101000,4 2100,6101000,4 2000,6 45, 027 .

Portanto, um gasto deR$ 10.000 em infra-estrutura e maquinario aumenta a producao em aproximadamenteR$ 59.000, enquanto um gasto de R$ 10.000 em mao-de-obra aumenta a producao em aproximadamenteR$ 45.000. Portanto, o dinheiro deve ser investido em infra-estrutura e maquinario.

O resultado pode surpreender pelo fato do trabalho ter um peso maior na funcao de producao, mas naodevemos nos esquecer que ja tinha sido investido o dobro do dinheiro em mao-de-obra (200.000 reais) que eminfra-estrutura e maquinario (100.000 reais). Isto foi importante para o resultado obtido atraves das taxas devariacao.

Note que, na primeira variacao, variamos K e mantivemos L fixo; na segunda variacao, variamos L emantivemos K fixo. Isto e um procedimento muito comum em Economia, onde os efeitos da mudanca dealguma variavel sobre alguma funcao sao calculados considerando que todas as outras variaveis das quais afuncao dependa permanecam constantes. Este e chamado de princpio do ceteris paribus, que significa tudomais igual em latim.

Observacao: o princpio ceteris paribus e, em geral, pronunciado como se le em Portugues, mas em latim

restaurado, que e o que se entende hoje que seja a pronuncia mais correta do latim na epoca em que ele era

falado, se pronuncia keteris paribus.


A variacao da funcao de producao com relacao a uma variacao K ou a uma variacao L e as taxas de

variacao relativas a elas,P

KeP

L, estao diretamente relacionadas ao conceito de derivadas de funcoes de

duas variaveis reais, como sera visto a seguir.

2.4.2 - Derivadas parciais

Vamos comecar relembrando o conceito de derivada parafuncoes de uma variavel real. A taxa de variacao de umafuncao f(x) com relacao a uma mudanca x em sua variavelindependente e

f

x=

f(x+x) f(x)

x.

A derivada e o limite dessa taxa de variacao para quandox 0, isto e,

f (x) =df

dx= lim

x0

f

x,

onde utilizamos as notacoes de Newton f (x) e de Leibnizdf

dxpara a derivada.

y

x

b

bf(x+x)

f(x)

x x+x

Vamos, agora, considerar uma funcao geral de duas variaveis, f(x, y). Podemos variar essa funcao comrelacao a` variavel x mantendo a variavel y fixa ou variar a variavel y mantendo x fixa. Fazendo isto, obtemosduas taxas de variacao, uma com relacao a uma variacao x em x e a outra com relacao a uma variacao yem y:

f

x=

f(x+x, y) f(x, y)

x,

f

y=

f(x, y +y) f(x, y)

y.

Do mesmo modo como a derivada de uma funcao de uma variavel foi definida como a taxa de variacaode f(x) com relacao a x mediante uma variacao infinitesimal de x, podemos definir derivadas com relacao a`sduas variaveis independentes de f(x, y). Portanto, podemos derivar essa funcao com relacao a` variavel x oucom relacao a` variavel y. A primeira indica qual a taxa de variacao de f(x, y) quando x tem uma variacaoinfinitesimal dx e y permanece sem alteracao. A segunda indica a taxa de variacao da funcao quando x nao sealtera e y sofre uma variacao infinitesimal dy. Elas sao definidas em termos algebricos a seguir.

Definicao 1 - Dada uma funcao f(x, y), a derivada parcial de f com relacao a` variavel x e definidacomo

f

x= lim

x0

f

x= lim

x0

f(x+x, y) f(x, y)

x,

quando esse limite existir.

Definicao 2 - Dada uma funcao f(x, y), a derivada parcial de f com relacao a` variavel y e definidacomo

f

y= lim

x0

f

y= lim

y0

f(x, y +y) f(x, y)

y,


O smbolo , chamado del ou d-romb, e usado para diferenciar a derivada parcial da derivada comum ee resultado de uma alteracao da letra d (um d rombudo ou arredondado).


Vamos, agora, aplicar esse conceito de derivadas parciais a um exemplo especfico.

Exemplo 1: usando a definicao de derivada, calcule as derivadas parciais de f(x, y) = xy2+2x com relacaoa x e a y.

Solucao: primeiro, vamos calcular as taxas de variacao de f com relacao a x e com relacao a y:

f

x=

f(x+x, y) f(x, y)

x=

(x+x)y2 + 2(x+x) xy2 2x

x=

=xy2 +x y2 + 2x+ 2x xy2 2x

x=

x y2 + 2x

x= y2 + 2 ,

f

y=

f(x, y +y) f(x, y)

y=

x(y +y)2 + 2x xy2 2x

y=

=x

[y2 + 2yy + (y)2

] xy2

y=

xy2 + 2xyy + x(y)2 xy2

y=

2xyy + x(y)2

y=

= 2xy + xy .

Agora, calculamos as derivadas parciais:

f

x= lim

x0

f

x= lim

x0(y2 + 2) = y2 + 2 e

f

y= lim

y0

f

y= lim

y0(2xy + xy) = 2xy .

Note que o resultado da derivada da funcao f(x, y) = xy2 + 2x com relacao a` variavel x e o mesmo que sederivassemos f(x, y) somente com relacao a x, considerando y como uma constante. A derivada de xy2 ficaria,entao, a derivada de x vezes a constante y2, o que resulta em (xy2) = y2. A derivada de 2x fica, simplesmente,2. Desse modo, temos que

f

x= y2 + 2 .

Fazendo o mesmo para a derivada com relacao a y (considerando x como uma constante), temos que a derivadade xy2 fica 2xy e que a derivada de 2x (a derivada de uma constante) e 0. Sendo assim, temos que

f

y= 2xy ,

exatamente o mesmo resultado obtido usando a definicao de derivada parcial.

Como, daqui em diante, utilizaremos as derivadas de diversas funcoes, seguem as derivadas de algumasfuncoes basicas de uma variavel real e as principais regras de derivacao.

f(x) f (x)

xn nxn1

ax ax ln aloga x

1

x ln a

senx cosxcos x senx

Regra da cadeia: df (g(x)) =df

dg

dg

dx

Derivada do produto: (uv) = uv + uv

Derivada do quociente:(uv

)

=uv uv

v2

Nos proximos exemplos, as derivadas parciais sao calculadas de forma mais direta, considerando a variavely como uma constante e derivando com relacao a x e depois considerando x uma constante e derivando comrelacao a y.

Exemplo 2: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y) = x cos y + 2x 4y2.

Solucao:f

x= 1 cos y + 2 0 = cos y + 2 ,

f

y= x( sen y) + 0 8y = x sen y 8y .


Exemplo 3: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y) = x3 ey y2.

Solucao:f

x= 3x2 ey 0 = 3x2 ey ,

f

y= x3 ey 2y .

O proximo exemplo utiliza a regra da cadeia para a derivada de funcoes compostas:df (g(x))

dx=

df

dg

dg

dx.

Exemplo 4: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y) = ln(x3 y2).

Solucao:f

x=

1

x2 y2 3x2 =

3x2

x3 y2,

f

y=

1

x2 y2 (2y) =

2y

x3 y2.

O exemplo a seguir utiliza a regra da derivada do produto de funcoes, (uv) = uv + uv, em conjunto coma regra da cadeia.

Exemplo 5: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y) = x cos(x2 + y2).

Solucao: f

x= 1 cos(x2 + y2) + x

[ sen (x2 + y2)

] 2x = cos(x2 + y2) 2x2 sen (x2 + y2) ,

f

y= x

[ sen (x2 + y2)

] 2y = 2xy sen (x2 + y2) .

De modo mais geral, podemos ter funcoes de n variaveis reais, que poderao ter n derivadas parciais, umapara cada variavel independente. A definicao de tais derivadas parciais e feita a seguir.

Definicao 3 - Dada uma funcao f(x1, , xn), a derivada parcial de f com relacao a` variavel xi edefinida como

f

xi= lim

xi0

f

xi= lim

xi0

f(x1, , xi +xi, , xn) f(x1, , xi, , xn)

xi,


Por exemplo, para uma funcao f(x, y, z) de tres variaveis, teremos as derivadas parciais com relacao a x, ay e a z, como no exemplo a seguir.

Exemplo 6: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y, z) = x ln(yz).

Solucao:f

x= 1 ln(yz) = ln(yz) ,

f

y= x

1

yz z =

x

y,

f

z= x

1

yz y =

x

z.

O proximo exemplo utiliza a regra da derivada do quociente de funcoes,(uv

)

=uv uv

v2.

Exemplo 7: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y, z) =2x

yz3 4x.

Solucao:f

x=

2x ln 2(yz3 4x) 2x(4)

(yz3 4x)2,

f

y=

0 (yz3 4x) 2x z3

(yz3 4x)2,

f

z=

0 (yz3 4x) 2x 3yz2

(yz3 4x)2.

2.4.3 - Significado grafico das derivadas parciais

Tal como a derivadadf

dxe o coeficiente angular da reta tangente a` funcao f(x) no ponto onde a derivada

e calculada, as derivadas parciais de uma funcao de mais de uma variavel tambem tem um significado grafico.Os proximos dois exemplos ilustram o significado grafico das derivadas parciais.


Exemplo 1: calcule as derivadas parciais da funcao f(x, y) = 4 x2 y2.

Solucao:f

x= 2x e

f

y= 2y .

Exemplo 2: dada a funcao f(x, y) = 4 x2 y2, representada por um paraboloide, se fixarmos a variavel

y em 1, temos uma parabola contida no plano y = 1 dada pela equacao f(x) = 4 x2 12 = 3 x2.Podemos derivar essa parabola com relacao a` variavel x, obtendo f (x) = 2x. Essa derivada, quandocalculada para um determinado x = x0, pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangentea` parabola em x = x0, como mostra a primeira figura a seguir (na figura, x0 = 0, 5).

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.01.0

2.0

3.0

4.0

b

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.01.0

2.0

3.0

4.0

b

Caso fixemos a variavel x em x = 1, temos a parabola f(y) = 4 12 y2 = 3 y2. Derivando agoracom relacao a` variavel y, temos f (y) = 2y. Quando calculada em um determinado y = y0, esta derivadasignifica o angulo de inclinacao da reta tangente a` parabola resultante da escolha x = 1. O grafico dessaparabola e da reta tangente a ela (em y0 = 0, 5) estao feitos na segunda figura acima.

Podemos ver que, fixando uma variavel de uma funcao f(x, y), a derivada da funcao com relacao a` variavelremanescente e o coeficente angular da reta tangente a` superfcie formada pelo grafico de f(x, y) no ponto ondefoi fixada a primeira variavel. Esta nocao pode ser levada ao caso de funcoes com mais de duas variaveis reais,onde nao e possvel ter uma visao geometrica, mas onde a intuicao adquirida para tres dimensoes e uma boaguia.

Resumo

Derivadas parciais de funcoes de duas variaveis: dada uma funcao f(x, y), suas derivadasparciais sao definidas como

f

x= lim

x0

f(x+x, y) f(x, y)

x,

f

y= lim

y0

f(x, y +y) f(x, y)

y,

quando esse limites existirem.

Derivadas parciais de funcoes de n variaveis: dada uma funcao f(x1, , xn), a derivadaparcial de f com relacao a` variavel xi e definida como

f

xi= lim

xi0

f

xi= lim

xi0

f(x1, , xi +xi, , xn) f(x1, , xi, , xn)

xi,



Leitura Complementar 2.4.1 - Produtividadesmarginais

Uma aplicacao de derivadas e na aproximacao de taxas de variacao muito utilizadas em Economia e Ad-ministracao. Uma dessas taxas de variacao ocorre quando consideramos alguma funcao como a da producaoP (de um pas ou de uma fabrica) como funcao do capital K investido e da forca de trabalho L. A funcao deproducao mais conhecida e a de Cobb-Douglas, dada por P (K,L) = AKL1, onde 0 < < 1.

A taxa de variacao de uma funcao de producao com relacao a uma variacao K no capital investido echamada produtividade marginal do capital e e dada por

P

K=

P (K +K,L) P (K,L)

K.

De modo semelhante, a taxa de variacao de uma funcao de producao com relacao a uma variacao L naforca de trabalho e chamada produtividade marginal do trabalho e e dada por

P

L=

P (K,L +L) P (K,L)

L.

No caso especfico da funcao de producao de Cobb-Douglas, temos

P

K=

P (K +K,L) P (K,L)

K=

A(K +K)L1 AKL1

K,

P

L=

P (K,L+L) P (K,L)

L=

AK(L+L)1 AKL1

L.

Exemplo 1: uma empresa tem a producao modelada pela funcao P (K,L) = 20K0,6L0,4. O nvel de investi-mento atual e de R$ 25.000 em capital (infra-estrutura e maquinario) e de R$ 30.000 em trabalho. Calculea produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho quando ha um aumento de milreais nesses investimentos.Solucao: temos

P

K=

20 260000,6 300000,4 20 250000,6 300000,4

1000 12, 8065 ,

P

L=

20 250000,6 310000,4 20 250000,6 300000,4

1000 7, 1006 .

Note que as produtividades marginais dependem tanto das variacoes K e L quanto do nvel de investi-mento anterior a essas variacoes. Isto significa que, mesmo que o capital seja mais importante que o trabalhoem uma determinada empresa, se ja esta sendo feito bastante investimento em capital e pouco investimentoem trabalho, entao a produtividade marginal do capital sera menor que a produtividade marginal do trabalhodados esses nveis de investimentos.

Exemplo 2: a mesma empresa do exemplo anterior tem agora R$ 70.000 em capital e de R$ 10.000 em tra-balho. Calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho quando ha umaumento de mil reais nesses investimentos.

Solucao: temosP

K=

20 710000,6 100000,4 20 700000,6 100000,4

1000 5, 4942 ,

P

L=

20 700000,6 110000,4 20 700000,6 100000,4

1000 24, 9800 .

Do mesmo modo que ocorre para funcoes de uma variavel real, as derivadas parciais costumam ser boasaproximacoes para taxas de variacao quando essas variacoes forem pequenas com relacao aos valores sobre os


quais ocorrem essas variacoes. Nesses casos, podemos escrever, para uma funcao f(x, y),

f(x, y)

x

f(x, y)

xe

f(x, y)

y

f(x, y)

y.

Mas o que define o que e pequeno nesse caso? Na verdade, isto depende de varios fatores, como o tipode funcao, por exemplo. A regra geral e que, quanto maiores forem as variacoes, masi distantes as derivadasparciais estarao dos valores verdadeiros das taxas de variacao.

Para a funcao de producao de Cobb-Douglas, P (K,L) = AKL1, temos

P

K= A K1L1 = A

1

K1L1 = A

(L

K

)1,

P

L= AK(1 )L = (1 )AK

1

L= (1 )A

(K

L

).

Essas expressoes sao usadas a seguir para aproximar taxas de variacao.

Exemplo 3: considere a empresa dos exemplos 1 e 2 cuja producao e modelada pela funcao de Cobb-DouglasP (K,L) = 20K0,6L0,4. O nvel de investimento atual e de R$ 25.000 em capital e de R$ 30.000 em trabalho.Calcule as derivadas parciais de P com relacao a K e a L para esse nvel de investimento e compare essesresultados a`s produtividades marginais calculadas no exemplo 1.

Solucao: usando as derivadas ja calculadas, temos

P

K= 0, 6 20

(30000

25000

)0,4= 12

(6

5

)0,4 12, 9078 e

P

L= 0, 4 20

(25000

30000

)0,6= 8

(5

6

)0,6 7, 1710 .

Comparando a`s taxas de variacaoP

K 12, 8065 e

P

L 7, 1006, podemos ver que as derivadas parciais sao

uma boa aproximacao.

Por serem boas aproximacao para as produtividades marginais, as derivadas parciaisP

KeP

Lsao fre-

quentemente chamadas de produtivade marginal do capital e de produtividade marginal do trabalho, respecti-vamente, no lugar das taxas de variacao que elas aproximam para pequenas variacoes de K e de L. Podemos,entao, escrever

P

K

P

K P

P

KK e

P

L

P

L P

P

LL

para calcularmos o efeito da producao de um aumento K ou L, respectivamente.

Exemplo 4: considere uma empresa cuja producao e modelada por P (K,L) = 0, 5K0,3L0,7, ondeK = 10.000e L = 20.000. Calcule, aproximadamente, usando derivadas parciais, o aumento da producao relativa a umaumento de 1.500 reais no capital investido.

Solucao: a derivada parcial de P com relacao a K para esses valores de K e de L fica

P

K= 0, 35 100000,7 200000,7 = 0, 35

(20000

10000

)0,7= 0, 35 20,7 0, 5686 .

Como a derivada parcial e uma aproximacao da produtividade marginal do capital, temos

P

K

P

K P

P

KK P 0, 5686 1500 852, 86 .


Leitura Complementar 2.4.2 - Elasticidades

Outra medida bastante utilizada em economia do quanto uma funcao e sensvel com relacao a uma oumais de suas variaveis e a elasticidade, que e definida para funcoes de uma variavel como a taxa de variacaopercentual da funcao com relacao a uma variacao percentual de sua variavel independente. Em termos de umaformula, isto fica

=f/f

x/x=

f

x

x

f.

A elasticidade de uma funcao com relacao a` sua variavel independente pode ser aproximada, para pequenasvariacoes desta, por uma expressao envolvendo sua derivada, como mostrado a seguir:

=f

x

x

f

df

dx

x

f.

Para uma funcao de duas variaveis reais, f(x, y), podemos ter duas medidas distintas de elasticidade:

x =f

x

x

fe y =

f

y

y

f.

Essas elasticidades podem ser aproximadas, para pequenas variacoes, por expressoes envolvendo derivadasparciais:

x =f

x

x

f

f

x

x

fe y =

f

y

y

f

f

y

y

f.

No caso particular da funcao de producao de Cobb-Douglas, temos

K P

K

K

P=

AL1

K1K

AKL1= e L

P

L

L

P=

(1 )AK

LL

AKL1= 1 .

Portanto, as constantes e 1 assumem significados economicos: elas sao aproximacoes das elasticidadesda funcao de producao de Cobb-Douglas.

Exemplo 1: calcule, usando derivadas parciais, as elasticidades aproximadas da funcao de producaoP (K,L) = 20K0,6L0,4 e os compare a`s elasticidades verdadeiras para K = 25000, L = 30000, K = 1000e L = 1000.Solucao: usando as derivadas parciais, temos K 0, 6 e L 0, 4. Os valores exatos sao

K =P

K

K

P 12, 8065

25000

537826, 8785 0, 5953 e L =

P

L

L

P 7, 1006

30000

537826, 8785 0, 39607 .

Portanto, as elasticidades calculadas usando as derivadas parciais sao boas aproximacoes para as elasticidadesverdadeiras.

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