Equação Do 2 Grau
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Equações de segundo grau
Profª. Drª. Soraya Regina Sacco
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a
equação do tipo:
Com a, b e c números reais e
02 cbxax
0a
Equação na forma canónica
0cbxax2
Termo em x2 Termo em x Termo independente
Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?
EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO
• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda
equação que assume a forma:
ax² + bx + c = 0
Onde:
x é a incógnita
a, b e c são números reais, com a ≠ 0
a é coeficiente do termo em x²
b é coeficiente do termo em x
c é o coeficiente do termo independente de x
x
y
-2 -1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
-2 -1 0 1 2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Complete a tabela:
Equação do
2º grau
Equação na
forma canónica a b c
082 x
523 2 xx
02 x
2
2
1xx
33
15 2 xx
0523 2 xx
082 x
02 x
02
1 2 xx
033
15 2 xx
1
1
1
0
0 0
0
8
3 2 5
2
1
53
1 3
Termo em x e/ou o termo independente
são nulos.
Equações do
2º grau
Completas
Incompletas
Todos os termos são diferentes de zero.
0523 2 xx
033
15 2 xx
082 x
02 x
02
1 2 xx
Equações Incompletas
Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:
0 e com , 0 2 cacax1.
0 com , 0 2 aax2.
0 e com , 0 2 babxax3.
, a e c IR
, a IR
, a e b IR
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0.
a) O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número.
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x obtemos a equação:
x² = 5x
x² - 5x = 0 - Forma reduzida.
x.(x – 5) = 0 - Fator comum em evidência.
Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo:
x = 0 - Uma raiz da equação.
ou
x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 5.
Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.
RESOLUÇÃO
3m² - 21m = 0
m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência.
m = 0 - Uma raiz da equação.
ou
3m – 21= 0
m = 7 - Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 7.
Resposta: Os números procurados são 0 e 7.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0. a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é
esse número?
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x, obtemos a equação:
x² - 2 = 34
x² - 2 – 34 = 0
x² - 36 = 0
x² = 36
x = + = +6 , pois (+ )² = 36
x = - = - 6 , pois (- )² = 36
x = ± 6
As raízes da equação são -6 e 6.
Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.
36
36
36
36
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ?
RESOLUÇÃO
x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções.
x = - ou x = +
x = - ou x = +
x = ±
As raízes da equação são - e +
RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .
=3
15
x
x
45 45
3 5 3 5
3 5
3 5 3 5
3 5 3 5
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?
RESOLUÇÃO
m² + 9 = 0
m² = - 9
m = - ou m = +
Temos que: não representa um número real.
RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal
equação.
- 9 - 9
- 9
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Seja a equação do 2º grau na forma normal:
ax² + bx + c = 0, com a≠0.
• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,
utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:
• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e
representado pela letra grega delta ( ). Assim:
b b² 4.a.cx
2.a
b
x2.a
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
• Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.
• Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”.
• Se (negativo) , a equação não terá raízes reais: e .
0
0
0
x' x"
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.
- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.
- Calculando o discriminante da equação, obtemos:
- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:
- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.
b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16
9
1
2
b ( 5) 9 5 3x
2.a 2.1 2
5 3 8x 4
2 2
5 3 2x 1
2 2
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.
- Calculando o discriminante, obtemos:
- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.
6² 4.3.3 36 36
0
1
2
6 0 6 0p
2.3 6
6p 1
6
6p 1
6
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.
- Calculando o discriminante da equação:
- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:
- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de
índice par de radicando negativo.
- Logo, a equação não tem raízes reais.
( 2)² 4.4.1 4 16
12
( 2) 12y
2.4