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ESTATÍSTICA BÁSICA

1.1. Introdução Em qualquer das ciências, tais como engenharia, psicologia, medicina, economia, biologia, etc., modelos são usados para descrever fenômenos. Esses modelos são criados com base em um certo número de dados obtidos de experiência específica de uma dada área da ciência. Esses dados são representados por uma n-upla de valores que podem ser colocados num gráfico n-dimensional (pontos) para melhor visualização do comportamento do fenômeno em estudo. Através de um modelamento matemático, obtém-se uma curva que descreve aproximadamente o comportamento do fenômeno, ou seja, o comportamento dos dados obtidos experimentalmente. A curva do modelo que melhor representa os dados, fará com que alguns pontos da experiência estejam abaixo e outros acima do gráfico da aproximação. A diferença entre o ponto experimental e o ponto da curva é o erro de aproximação do modelo estabelecido. Quanto mais preciso for o modelo, menor será a soma de todos os erros de aproximação Quando se tenta aplicar esse modelo para descrever tanto os pontos da experiência como outros pontos diferentes daqueles obtidos experimentalmente, erros podem aparecer que devem ser avaliados e quantificados. A Figura 1.1 apresenta os valores experimentais da temperatura versus o tempo de aquecimento de um forno (pontos), assim como um modelo linear obtido para essa experiência (linha cheia). As linhas pontilhadas representam a distância máxima acima e abaixo que os pontos experimentais estão da reta (modelo linear), para efeito de comparação entre os dados experimentais e os do modelo.

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Figura 1.1 Temperatura versus o tempo de aquecimento de um

forno; valores experimentais (pontos) e modelo linear (reta)

Em toda ciência, uma grande quantidade de dados é usada e

um tratamento matemático sempre é requerido, de modo a correlacionar esses dados entre si. Métodos estatísticos são utilizados para esses fins. A estatística pode ser enfocada segundo três aspectos: • Probabilidade – é a medida quantitativa da chance de um dado

valor no contexto de uma experiência em observação. Essa metodologia permite, por exemplo, a descrição da variação aleatória em sistemas. Ex.: determinar, através do uso de um modelo analítico, o número ideal de linhas telefônicas de modo a atender a contento todas as ligações dos usuários, ou seja, tempo de demora da conexão telefônica menor do que um valor pré estabelecido;

• Estatística Descritiva – analisa e descreve um conjunto de

pontos (amostra) sem no entanto extrapolar para a população, ou seja, sem tirar conclusões para outros valores que não foram obtidos experimentalmente. Ex.: calcular a média da amostra;

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• Inferência Estatística ou Estatística Indutiva – usa dados de uma amostra para obter conclusões gerais acerca da população da qual a amostra foi coletada. Ex.: contar o número de lâmpadas defeituosas em uma amostra e inferir o número total de lâmpadas defeituosas para todo o lote.

1.2. Amostragem

A amostragem é uma parte importante da coleta de dados estatísticos pois as amostras obtidas têm que ser representativas da população. Existem técnicas específicas para se obter amostras representativas da população que podem ser estudadas em bibliografia específica. Como exemplo afim de esclarecer a importância da amostragem, considere a observação do rendimento médio da populaçào de uma dada cidade que tem 5.000.000 de habitantes. Suponhamos que nessa cidade existam bairros de situação financeira alta (rendimento médio acima de R$ 30.000,00 – chamemos de classe A) e existam outros de situação financeira baixa (rendimento médio abaixo de R$ 300,00 – chamemos de classe D). Vamos entrevistar 5.000 pessoas (tamanho da amostra) para sabermos seus rendimentos e obtermos o rendimento médio. Se escolhermos as 5.000 pessoas somente dentro de um desses bairros, certamente o rendimento médio obtido não é representativo da população da cidade em questão. Verifica-se que certos cuidados devem ser tomados antes da amostragem. Especificamente nesse caso, teríamos que já saber a priori, como se distribuem (proporções) as diversas classes de rendimento antes de fazer a coleta. Caso não saibamos, teríamos que proceder a um censo estatístico (tamanho de amostragem da ordem de 80% ou mais da população, nesse caso teríamos que entrevistarmos cerca de 4 mihões de pesoas). Esse censo estatístico, de modo geral, quem faz é o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – orgão oficial do Governo

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Federal) que coleta diversos dados característicos da população brasileira, entre eles o rendimento da população. É claro que uma amostragem errônea pode ser feita de má fé, como por exemplo em algumas campanhas eleitorais, de modo a levar uma informação falsa para fins eleitoreiros.

Como afirmado anteriormente, o estudo da inferência estatística usa o conceito de amostras que devem ser tiradas de uma população. As conclusões acerca da população dependem do modo como a amostra foi selecionada. Essa amostra tem que ser representativa da população. A maioria das técnicas estatísticas considera que as amostras são aleatórias. Pode-se usar tabelas de números aleatórios, de modo a gerar amostras quando a população é pequena. Associa-se um número a cada elemento da população e escolhe-se, pela tabela de números aleatórios, um conjunto de números de modo a gerar uma amostra. A noção de pequena ou grande está relacionada à experiência em observação. Por exemplo, numa turma de 50 alunos (população em estudo) de uma dada disciplina, a observação da altura de 5 alunos, pode ser um tamanho pequeno de amostra, enquanto 20 alunos já pode ser considerada grande. Já nesta mesma disciplina, a observação do número de alunos e alunas da turma, com um tamanho de amostra igual a 5 já poderia ser considerada razoável. 1.3. Descrição de Dados

Os dados para serem analisados podem ser numéricos ou não; por exemplo: cor dos olhos, país, datas, idades, número de pessoas com catapora, etc. Esses dados recebem o nome de variáveis. Essas podem ser discretas ou contínuas.

As variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas. As

variáveis qualitativas são aquelas descritas por dados não numéricos, como por exemplo nomes de países, tipos de

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catalisador (A, B, C), tipos de máquinas (máquina 1, máquina 2), etc. As variáveis quantitativas são representadas por um valor numérico, como temperatura, pressão, índice de inflação, diâmetro de partículas, etc. As variáveis qualitativas podem ser tratadas como quantitativas caso um número seja conferido à informação (mapeamento de um espaço não numérico para um outro espaço numérico); por exemplo, país de nascimento: Brasil = 1, Bélgica = 2; catalisador A = 1, catalisador B = 2. 1.4 Representação dos Dados

Dados coletados através de pesquisas podem ser descritos na forma de tabelas ou de gráficos. 1.4.1 Distribuiçaõ de Frequências

Considere os dados da pressão sangüínea de uma amostra de 10 indivíduos: Tabela 1.1 – Pressão sangüínea de 10 indivíduos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 83 88 90 92 96 103 113 114 123 135

De modo geral, quando a sequência de dados da população é muito extensa, pode-se distribuir os valores obtidos através de intervalos. Sabendo-se os valores máximo e mínimo da amostragem, obtém-se a diferença entre eles (intervalo entre máximo e mínimo) e pode-se obter os intervalos de frequência de acontecimento, pela divisão dessa diferença pelo número de intervalos desejado. O número de intervalos é escolhido de tal forma que o formato da distribuição de frequências tenha a característica conhecida da população em estudo (por exemplo,

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uma curva normal). A distribuição de frequências facilita os cálculos estatísticos.

A Tabela 1.2 apresenta a distribuição de freqüências para os dados da pressão sangüínea provenientes da Tabela 1.1. A coluna da freqüência representa o número de pessoas que possuem pressão sangüínea no respectivo intervalo. A freqüência relativa é a informação mais importante, pois independe do tamanho da amostra. Se muitos intervalos de classe forem escolhidos, a distribuição de freqüências será praticamente igual à Tabela 1.1. Se poucos intervalos de classe forem escolhidos, muita informação ficará concentrada nos poucos intervalos, o que pode causar um grande erro nos cálculos estatísticos.

Tabela 1.2 – Distribuição de freqüências das pressões sangüíneas provenientes da Tabela 1.1

Intervalo Ponto Médio

Freqüência

Freqüência Relativa

(%)

Freqüência Cumulativa

(%) 80-95

ou 80 ≤ x < 95 87,5 4 40 40

95-110 ou 95 ≤ x < 110

102,5 2 20 60

110-125 ou 110 ≤ x < 125

117,5 3 30 90

125-140 ou 125 ≤ x < 140

132,5 1 10 100

Total 10 100

As tabelas por intervalos de frequência foram concebidas, conforme afirmado anteriormente, para facilitar os cálculos estatísticos. Com advento dos computadores de grande porte e posteriormente dos computadores pessoais, esse procedimento na maioria dos casos fica sem sentido pois pode-se fazer os cálculos estatísticos dentro da precisão dos valores obtidos na amostragem,

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sem necessidade de divisão por intervalos. É claro que em algumas aplicações, quando se supõe a divisão por intervalos, está sendo suposto que o ponto médio do intervalo é o valor verdadeiro do evento em aferição e os valores que estão no intervalo são os erros na aferição em relação ao valor vardadeiro. E nesse caso a representação por frequências relativas, demonstra a distribuição de probabilidades dos valores, que será visto mais adiante. De tudo que foi exposto conclui-se que, a divisão por intervalos de frequência não pode ser feita de qualquer forma, devendo ser levado em consideração o evento que está sendo aferido, ou seja, a variável aleatória em estudo. 1.4.2 Diagrama de Ramo e Folhas

Uma outra maneira de colocar dados tabelados é conhecida como Diagrama de Ramo e Folhas (Stem and Leaf). Ele é de fácil construção, ordena o conjunto de dados e elucida de forma simples o conceito de mediana e moda de uma distribuição, que serão vistos mais adiante. Imagine que uma pessoa coletou 20 pedras com pesos diferentes e queira ordenar esse conjunto de valores:

33 47 14 25 38 30 24 26 29 15 34 40 45 52 17 42 44 56 50 39

O diagrama de ramo e folhas deverá ser arrumado conforme os números amostrados forem sendo encontrados, de forma que as dezenas (ramo) fiquem separadas das unidades (folhas).

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Figura 1.2 Diagrama de ramos e folhas Pode-se observar que a maior freqüência está na região

central. O diagrama de ramo e folhas é um passo entre a tabela de freqüências e o histograma que será visto a seguir. 1.4.3 Histograma

Os dados de freqüências relativa e cumulativa são facilmente visualizados através de histogramas (Figura 1.3), principalmente para amostras grandes.

70 80 90 100 110 120 130 140 150

Pressão

0

1

2

3

4

Freq

uênc

ia R

elat

iva

Figura 1.3 – Histograma para freqüência relativa – caso com 4 intervalos de classes.

Ramo Folhas 1 4 5 7 2 5 4 6 9 3 3 8 0 4 9 4 7 0 5 2 4 5 2 6 0

9

A influência do número de intervalos de classe pode ser verificada através da Figura 1.4. Devido a esse fato, todos os resultados apresentados a seguir se baseiam nessa informação.

Figura 1.4 – Histograma para freqüência relativa – caso com 5 intervalos de classes. Se os pontos médios dos retângulos forem conectados por uma curva suave usando 6 intervalos de classes, o polígono de freqüência é encontrado, como mostrado na Figura 1.5.

70 80 90 100 110 120 130 140

Pressão

0

1

2

3

Freq

uênc

ia R

elat

iva

Figura 1.5 – Histograma para freqüência relativa – caso com 6 intervalos de classes.

Pressao

Freq

uenc

ia R

elat

iva

0

1

2

3

70 80 90 100 110 120 130

10

A representação por histograma é uma maneira útil de se visualizar a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória, conforme será visto mais adiante. Essa representação em alguns casos, depende do número de classes escolhido para se fazer o histograma, ou seja, o histograma é muito dependente do número de classes. Segue-se um exemplo (ver anexo I) onde foram obtidos 3000 amostras de um sinal aleatório X para ser representado através de um histograma. O menor valor gerado é - 4,0 e o maior foi 4,0. O intervalo (-4 , 4) pode ser dividido em classes. Caso façamos 5 classes, teremos as seguintes variações da variável X: [-4,0 ; -2,4) [-2,4 ; -0,8) [-0,8 ; 0,8) [0,8 ; 2,4) [2,4 ; 4,0)

Verificam-se quantos números caiu em cada classe e faz-se o histograma. Seguem-se vários histogramas com diversas classes:

Figure 1.6 Histograma projetado com 5 classes

11

Figure 1.7 Histograma projetado com 10 classes

Figure 1.8 Histograma projetado com 50 classes

12

Figure 1.9 Histograma projetado com 100 classes

Figure 1.10 Histograma projetado com 150 classes

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Histogramas podem ser usados com dados qualitativos, como categorias de uma classe (homem, mulher ou ensinos fundamental, médio e superior). Um histograma de ocorrências por categoria (em que as categorias são ordenadas pelo número de ocorrências) é chamado de gráfico de Pareto. Esse tipo de gráfico é muito usado em controle de qualidade; por exemplo, pode-se plotar o número de defeitos produzidos em uma determinada peça. No histograma, os fatos que ocorrerem com maior freqüência devem ficar sempre mais à esquerda na abscissa, de modo que se possa identificar facilmente aquele item que causa maior custo ou defeito. Existe um dogma associado ao princípio de Pareto (V. Pareto, economista italiano): uma minoria de fatores causa a maioria dos problemas. A Figura 1.5 apresenta um exemplo do gráfico de Pareto.

Figure 1.11 Histograma projetado com 150 classes com superposição da curva Normal

14

Figura 1.12 – Gráfico de Pareto – defeitos em um circuito 1.4.4 Diagrama de Espalhamento ou Dispersão Há uma outra forma de correlacionar dados. Por exemplo, o peso e a pressão sangüínea de uma série de pessoas podem ser relacionados através do gráfico de dispersão (scatter diagram), Figura 1.6. Pode ser visto que não existe uma tendência de comportamento.

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Peso

80

90

100

110

120

130

140

Pre

ssão

Figura 1.13 Diagrama de espalhamento ou dispersão (Scatter Diagram)

Valor Percentagem CumulativaCategorias (variavel: Nenhum Defeito)

Val

ores

Perc

enta

gem

4020

7 6 5 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1020406080100

0102030405060708090

100

Sold

._In

suff

icie

ntSo

ld._

Col

d_Jo

int

Sold

._O

pens

Com

p._I

mpr

oper

_1So

ld._

Spla

tter

TST_

Mar

k_W

hite

_Mar

kTs

t._M

ark_

EC_M

ark

Raw

_CD

_Shr

oud_

Re.

Com

p._E

xtra

_Par

tC

omp.

_Mis

sing

Com

p._D

amag

edSt

ampi

ng_O

per_

IDSt

ampi

ng_M

issi

ngSo

ld._

Shor

tW

ire_I

ncor

rect

Raw

_Cd_

Dam

aged

15

1.4.5 Gráficos em Colunas

É a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.

As regras para a construção são as mesmas do gráfico em curvas. As bases das colunas são iguais e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. Exemplo: Tabela 1.3 Produção de soja do Município X - 1991-1995

Anos Quantidade (ton.)

1991 117.579 1992 148.550 1993 175.384 1994 220.272 1995 265.626

Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura Para cada ano é construído uma coluna, variando a altura (proporcional a cada quantidade). As colunas são separadas uma das outras. Observação: O espaço entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna.

16

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Tone

lada

s

1991 1992 1993 1994 1995

Gráfico 4.2. Produção de Soja do Município X - 1991-1995

Figura 1.14 Gráfico de colunas da produção de soja do Município X entre 1991 e 1995 Uso do gráfico em colunas para representar outras séries estatísticas

Tabela 1.4 Áreas (Km2) das regiões fisiográficas - Brasil - 1966

Regiões Fisiográficas

Área (Km2)

Norte 3.581.180 Nordeste 965.652 Sudeste 1.260.057 Sul 825.621 Centro-oeste 1.879.965

Brasil 8.511.965 Fonte: IBGE.

17

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000Km2

Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste

Grafico 4.3. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.

Figura 1.15 Gráfico das regiões fisiográficas do Brasil em 1966 – áreas em km2

Obs: Na tabela as regiões são apresentadas em ordem geográficas. No gráfico as colunas são ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para a direita. 1.4.6 Gráficos em Barras

As alturas dos retângulos são iguais e arbitrárias e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.

As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espaço de forma que as inscrições identifiquem as diferentes barras. O espaço entre as barras pode ser a metade (½) ou dois terços(2/3) de suas larguras.

As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente para facilitar a comparação dos valores. A categoria “outros” (quando existir) são representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra.

Outra representação gráfica da Tabela 1.15:

18

0500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000

Km2

Norte

Centro-Oeste

Sudeste

Nordeste

Sul

Grafico 4.4. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.

Figura 1.16 Gráfico das regiões fisiográficas do Brasil em 1966 – áreas em km2

Tabela 1.5 Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino – Brasil – 1995

Ramos de ensino Matrículas Filosofia, Ciências e Letras 44.802 Direito 36.363 Engenharia 26.603 Administração e Economia 24.027 Medicina 17.152 Odontologia 6.794 Agricultura 4.852 Serviço Social 3.121 Arquitetura e Urbanismo 2.774 Farmácia 2.619 Demais ramos 11.002 Total 180.109

Fonte: Fictícia

19

05000

1000015000

2000025000

3000035000

4000045000

Matrículas

F i lo so f ia, C iências e Let ras

D ireit o

Engenharia

A d minist ração e Econô mia

M ed icina

Od o nt o lo g ia

A g ricult ura

Serviço Social

A rq uit et ura e U rb anismo

Farmácia

D emais ramo s

Grafico 4.5. Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino - Brasil - 1999.

Figura 1.17 Gráfico do número de matrículas efetivas no Ensino Superior OBS: Quando a variável em estudo for qualitativa e os nomes das categorias for extenso ou as séries forem geográficas ou específicas é preferível o gráfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da coluna. 1.4.7 Gráfico em Colunas Múltiplas (agrupadas)

É um tipo de gráfico útil para estabelecer comparações entre as grandezas de cada categoria dos fenômenos estudados.

A modalidade de apresentação das colunas é chamado de Gráfico de Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaços sendo mais indicado quando a série apresenta um número significativo de categorias. Exemplo:

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Tabela 1.6 Entrada de migrantes em três Estados do Brasil entre 1992 e 1994

Número de migrantes

Anos Total Estados

Amapá São Paulo Paraná 1992 4.526 2.291 1.626 609 1993 4.633 2.456 1.585 592 1994 4.450 2.353 1.389 708

Fonte: Fictícia

0

500

1000

1500

2000

2500

Qua

ntid

ade

1992 1993 1994

Gráfico 4.6. Entrada de migrantes em três Estados do Brasil1992-1994.

Amapá São Paulo Paraná

Figura 1.18 Número de migrantes em três Estados do Brasil entre 1992 e 1994 1.4.8 Gráfico em Barras Múltiplas (agrupadas)

Útil quando a variável for qualitativa ou os dizeres das categorias a serem escritos são extensos. Exemplo:

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Tabela 1.7 Importação Brasileira de vinho e champanhe proveniente de várias origens em 1994

Países

Importação (1.000 dólares)

Vinho Champanhe Portugal 220 15 Itália 175 25 França 230 90 Argentina 50 5 Chile 75 20 Espanha 110 16

Fonte: Fictícia

0 50 100 150 200 250

1000 dólares

França

Portugal

Itália

Espanha

Chile

Argentina

Gráfico 4.7. Importação Brasileira de vinho e champanhe proveniente de várias origens - 1994.

Vinho Champanhe

Figura 1.19 Importação de vinho e champanhe em 1994

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1.4.9 Gráfico em Setores É a representação gráfica de uma série estatística em um

círculo de raio qualquer, pôr meio de setores com ângulos centrais proporcionais às ocorrências.

É utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o total.

O total da série corresponde a 360° (total de graus de um arco de circunferência).

O gráfico em setores representam valores absolutos ou porcentagens complementares.

As séries geográficas, específicas e as categorias em nível nominal são mais representadas em gráficos de setores, desde que não apresentem muitas parcelas (no máximo sete).

Cada parcela componente do total será expressa em graus, calculada através de uma regra de três:

Total - 360° Parte - x°

Exemplo: Tabela 1.8 Produção Agrícola do Estado A – 1995

Produtos Quantidade (t) Café 400.000 Açúcar 200.000 Milho 100.000 Feijão 20.000 Total 720.000

Fonte: Fictícia

23

Gráfico 4.8. Produção Agrícola do Estado A - 1995.

Café55%Açucar

28%

Milho14%

Feijão3%

Figura 1.20 Produção agrícola do Estado A Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 1.8:

050.000

100.000150.000200.000250.000300.000350.000400.000

Quantidade (t)

Café Açucar Milho Feijão

Gráfico 4.9. Produção Agrícola do Estado A - 1995.

Figura 1.21 Produçaõ agrícola do Estado A

050.0

00

100.00

0

150.0

00

200.000

250.0

00

300.000

350.0

00

400.000 Quantidade (t)

Café

Açucar

Milho

Feijão

Gráfico 4.10. Produção Agrícola do Estado A - 1995.

Figura 1.22 Produçaõ agrícola do Estado A

24

1.5 A descrição numérica dos dados apresentados anteriormente é feita através do uso de certos índices, chamados estatísticas, conforme será visto a seguir. 1.5.1 Medidas da Tendência Central

i) Média Aritmética (Sample Mean) ou Primeiro Momento Central

Obtém-se através do seguinte cálculo:

=∑a

ni

i

XX n (1)

onde n é o número total de dados amostrais e Xi são os valores das amostras. Para o exemplo da pressão, a média é 103,7. Se os dados forem representados em termos de freqüência, fica-se com:

1 1

1

= =

=

= =∑ ∑

∑f

m mj j j j

j jm

jj

f X f XX n

f (2)

onde m é o número de intervalos de classe, jX é o valor médio do

intervalo de classe que corresponde à freqüência fj. A Equação (2) representa uma média ponderada. Para os dados de pressão, a média ponderada é igual a 104, valor esse muito próximo da média aritmética.

25

ii) Média Geométrica: usada normalmente em economia; é sempre menor que a média aritmética e é calculada da seguinte maneira:

1 1

1 2= =

= =∏ ∏=g ... j

n n nn m fi j

i jX XnX X X X (3)

Ex.: Uma empresa se expande 10% no primeiro ano, 20% no segundo ano e 50% no terceiro ano. Qual é a taxa anual média de expansão ?

3 3X = 1,1 × 1,20 × 1 ,5 = 1,98 = 1,256

iii) Média Harmônica: É o inverso da média aritmética dos inversos dos valores sendo então calculada como:

11

1

1 11

==

=

= = =

∑∑ ∑

h mjn ji m

j jii

j

nX f fX X Xn

n

(4)

Exemplo: Obtém-se uma amostra a cada tempo de um lote de material até que se encontre um item com defeito. A primeira vez consegue-se uma peça com defeito, após 200 tentativas. Na segunda vez, obtém-se após 300 e na terceira, após 400 vezes. Qual o número médio de itens defeituosos que você espera encontrar? Solução: É importante ter amostras do mesmo tamanho para fins de cálculo. A primeira amostra tem 0,5% das peças com defeito. A segunda tem 0,33% e a terceira tem 0,25%.

A média de defeitos na amostra de tamanho 100 é (0,5 + 0,3333 + 0,25) / 3 = 0,361. A média harmônica será:

26

36003 276 921 200 1 300 1 400 13= = =+ +

( ) ,/ / / ( )hitens bonsX itens defeituosos

iv) Moda: a moda corresponde ao dado que tem maior freqüência; ou seja, que mais ocorre. Se existirem dois valores com igual número de ocorrência, diz-se que a distribuição é bimodal; para mais de dois valores, tem-se a distribuição multimodal. Quando não há um valor que ocorra com mais freqüência, então essa distribuição não tem moda. No exemplo dado da Tabela 1.1, não existe moda. Porém, quando os dados são expressos como na Tabela 1.2 (ou na Figura 1.3), a moda é igual a 87,5 correspondendo ao valor médio do maior pico. A moda não é uma boa medida da tendência central, visto que ela depende do grupo de dados; ou seja, depende de como os dados são agrupados. No mesmo exemplo, usando-se a Figura 1.4 a moda vale 85, o que demonstra a não representatividade da medida.

v) Mediana: é o ponto que divide o conjunto dos valores

da amostragem em duas metades. Por exemplo, tendo-se um conjunto de observaçõescom valores: 10, 50, 25, 60 e 45, a mediana é igual a 45, depois de rearranjar em ordem crescente os dados. O número 45 divide ao meio a amostra. No exemplo da Tabela 1.1 dado anteriormente, tem-se um número par de dados. Nesse caso, deve-se fazer a média aritmética entre o valor correspondente ao meio do intervalo e o valor imediatamente posterior. Assim, a mediana é igual a 99,5. A fórmula geral é:

12

12 2

2

+

+

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

= +

n

n n

para

para

X n ímparM X X

n par (5)

27

A mediana tem a vantagem de não ser muito influenciada pelos valores extremos. Por exemplo, considere as seguintes amostras: 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8. A média é igual a 4,43 e a mediana é igual a 4. Mas se ao invés de 8 o valor for 80, a média será 16,14 e a mediana continuará a ser 4. Enquanto a média é um operador linear a mediana é não linear.

vi) Quartis: são os pontos que dividem a amostra (em ordem crescente) em 4 partes iguais; assim, tem-se o quartil de 25% (quartil inferior), o quartil de 50% (a própria mediana) e o quartil de 75% (quartil superior). Por exemplo, para o conjunto de observações 30, 54, 78, 102, 165 e 180, os quartis de 25% e de 75% são iguais a 54 e 165, respectivamente. Ou seja, 25% dos dados estão abaixo de 54 e 75% dos dados estão abaixo de 165.

A mediana e os quartis podem ser calculadas usando-se a distribuição acumulada e uma interpolação linear na classe de obtenção da medida desejada. 1.5.2 Medidas de Dispersão

Às vezes, a medida da tendência central não fornece informação suficiente. O exemplo abaixo ilustra a importância de um índice de dispersão.

Amostra 1: 230 250 245 258 265 240 Amostra 2: 190 228 305 240 265 260 Média Aritmética é idêntica nas duas amostragens acima, ou seja, vale 248 psi. A amostra 2 é bem mais dispersa que a primeira. Dessa forma define-se parâmetros para se quantificar a dispersão das amostras.

28

i) Variância Verdadeira ou Segundo Momento Central Verdadeiro:

22 1

1=

−= −

∑_

( )n

iia

X Xs n (6)

onde Xi (i=1, n) são os valores amostrais e X é a média da amostra.

A razão para o denominador ser igual a n-1 é que existe uma medida de tendenciosidade que será vista mais adiante. Dessa forma, usando-se n-1 a variância é dita não tendenciosa e nesse caso ela é chamada de variância verdadeira; caso usássemos como denominador o valor n a variância seria dita tendenciosa.

Para dados agrupados em classes, fica-se com:

( )

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑∑

p

k ik=1

jj f

f XX -

nX -X

=p2

pp

jj=1j

j=1

22 ff

s = n-1 n-1 (7)

onde jX j=1,p são os pontos centrais das classes e fX é a

média conforme Equação 2. ii) Desvio-padrão verdadeiro: 2s s= (8) onde s2 representa 2

as ou 2ps .

iii) Amplitude (Sample Range): Só fornece informação entre os valores extremos. Para o exemplo anterior, ou seja:

29

Amostra 1: 230 250 245 258 265 240

Amostra 2: 190 228 305 240 265 260 a amplitude da amostra seria igual a 35, para o primeiro caso, e 115 para o segundo, mostrando assim que a segunda amostra tem maior variabilidade.

= −max( ) min( )i iR X X (9) iv) Covariância Verdadeira: Dado duas amostragens diferentes, Xi e Yi (i=1,n) é obtida como a média dos produtos dos desvios da média X e Y de cada amostra.

11

=− −

=−

∑( )( )n

i ii

XY

X X Y Y

nσ (10)

A covariância fornece uma medida do grau de relacionamento entre X e Y. A covariância pode ser positiva, negativa ou nula. A covariância positiva indica que quando os valores de X crescem, os de Y também crescem e negativa em caso contrário. Se a covariância for nula pode ser que as variáveis X e Y sejam independentes, ou seja, não haverá um relacionamento entre elas. Quando as variáveis são independentes, a covariância é nula mas o oposto pode não ser verdade. v) Coeficiente de Correlação: mede o grau de associação entre duas variáveis (duas amostras)

30

ni i

i 11/2 1/2

n n2 2

i ii 1 i 1

(X X)(Y Y)r

(X X) (Y Y)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

= =

− −=

− −

∑

∑ ∑

(11)

O coeficiente de correlação tem módulo menor ou igual a 1, ou seja, r 1≤ .

O erro-padrão é definido como o desvio-padrão dividido pela

raiz quadrada do número de observações. Quando uma das variáveis é o tempo, a dispersão é analisada através do gráfico seqüencial ou em linha. A abscissa corresponde ao tempo em que um evento (escala vertical) ocorre. Dessa forma, tendências podem ser facilmente detectadas, como pode ser visualizado pela Figura 1.23. Esse gráfico é conhecido como Forecasting.

Figura 1.23 – Gráfico Seqüencial - forecasting

Meses

Infla

ção

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Jane

iroFe

vere

iro

Mar

coA

bril

Mai

oJu

nho

Julh

oA

gost

oSe

tem

bro

Out

ubro

Nov

embr

oD

ezem

bro

31

1.5.3 Medidas de Forma

As medidas associadas de forma são conhecidas como assimetria (skewness), relacionada ao terceiro momento central, e curtose (kurtosis), relacionada ao quarto momento central.

Se os dados forem simétricos, então a média, a mediana e a moda coincidirão, conforme na Figura 1.24; porém, se a distribuição for assimétrica, essas estatísticas não coincidirão, ficando-se com uma distribuição assimétrica para a esquerda (negativamente assimétrica) ou uma distribuição assimétrica para a direita (positivamente assimétrica), conforme Figuras 1.25 e 1.26, respectivamente. Explicando melhor, dizemos que uma distribuição é positivamente (negativamente) assimétrica porque a “cauda” maior está direcionada para a direita (esquerda), como mostrado na Figura 1.27.

Freq

uênc

ia

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5 10 15 20 25 30 35 40 45 Figura 1.24 – Distribuição Simétrica

Freq

uênc

ia R

elat

iva

02468

101214161820

10 15 20 25 30 35 40

32

Figura 1.25 – Distribuição Assimétrica para a Esquerda (Negativamente Assimétrica)

Freq

uênc

ia R

elat

iva

02468

101214161820

10 15 20 25 30 35 40 Figura 1.26 – Distribuição Assimétrica para a Direita (Positivamente Assimétrica)

(a) (b) (c) Figura 1.27 – Assimetrias (a) positiva, (b) negativa e (c) simétrica Como regra geral, a média é maior (menor) do que a mediana em distribuições positivamente (negativamente) assimétricas. A Figura 1.12 ilustra melhor.

Figura 1.28 Distribuições assimétricas O desvio da simetria de uma distribuição pode ser medido através de uma estatística chamada skewness (termo proposto por Pearson em 1895). A fórmula de cálculo é dada na equação 12.

Assimetria positiva

Assimetria negativa

Simétrica

33

3

11 3

µ

σ=

−= =

∑( )n

ii

xAssimetria g

n (12)

em que n = número de pontos experimentais, xi = valor do i-ésimo ponto experimental, x = média e σ2 = variância da população. Uma distribuição normal tem assimetria igual a zero. Considera-se que uma distribuição seja assimétrica quando a assimetria for maior do que 1 (positivamente) ou -1 (negativamente).

A medida do achatamento/alongamento (ou deformação) da curva de uma distribuição é medida através da estatística chamada curtose (kurtosis), palavra que vem do grego e significa curvatura ou convexidade. A distribuição será mais achatada (chamada de distribuição platicúrtica; do grego, platys = largo, amplo) ou mais alongada (chamada de distribuição leptocúrtica; do grego, leptós = delgado, fino), dependendo se o valor da kurtosis for negativo ou positivo, respectivamente. O cálculo dessa estatística é dado na equação 13.

41

2 4 3µ

σ=

−= = −

∑( )n

ii

xCurtose g

n (13)

Se o valor da curtose for igual a zero, então a distribuição será normal (chamada de distribuição mesocúrtica). Existem autores que chamam a relação expressa pela Eq. (13) como sendo excesso de curtose. Nesse caso, a distribuição normal teria curtose igual a 3 e o excesso seria zero. Usando a Eq. (13), dizemos que uma distribuição não pode ser considerada normal se a curtose for menor ou igual a +1 (mais alongada) ou -1 (mais achatada).

34

Alguns autores adotam 1β como uma medida da assimetria e 2β como uma medida da curtose. Se 1β = 0, a distribuição será

simétrica e se 2β = 3, a distribuição não apresentará curtose. As Equações (14) e (15) expressam esses parâmetros.

11

21

−=

−( )

( )N gN N

β (14)

22

2 3 3 11 1 1

− − −= ++ − +

( )( ) ( )( )( ) )

N N g NN N Nβ (15)

1.6 Exercícios 1) Os seguintes dados são as temperaturas, em dias consecutivos, do efluente na descarga de uma unidade de tratamento de esgoto:

43 47 51 48 52 50 46 49 45 52 46 51 44 49 46 51 49 45 44 50 48 50 49 50 (a) Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio-padrão

da amostra. (b) Você poderia afirmar que a amostra é proveniente de uma

população normal? 2) Os seguintes dados são os números de ciclos até falhar, de corpos de prova de alumínio, sujeitos a uma tensão alternada repetida, de 21.000 psi e 18 ciclos por segundo. a) Construa uma distribuição de freqüências e histograma. b) Encontre a mediana e os quartis inferior e superior.

35

3) Considere as duas amostras dadas abaixo: Amostra 1: 10; 9; 8; 7; 8; 6; 10 e 6. Amostra 2: 10; 6; 10; 6; 8; 10; 8 e 6.

(a) Calcule a amplitude para ambas amostras. Você concluiria que ambas amostras exibem a mesma variabilidade? Explique.

(b) Calcule o desvio-padrão de ambas amostras. Essas quantidades indicam que ambas amostras têm a mesma variabilidade? Explique.

4) Um artigo em Quality Engineering (Vol. 4, 1992, p. 487-495) apresenta dados de viscosidade de um processo químico em batelada. Uma amostra desses dados é apresentada a seguir.

(a) Considere a noção de que as 40 primeiras observações (as duas primeiras colunas) foram geradas a partir de um processo específico, enquanto que as 40 últimas observações foram geradas a partir de um processo diferente. O gráfico indica que os dois processos geram resultados similares?

(b) Calcule a média e a variância das 40 primeiras observações; então, calcule esses valores para as 40 últimas observações. Essas quantidades indicam que ambos os processos resultam no mesmo nível de média? E a mesma variabilidade? Explique.

36

5) A porcentagem de algodão no material usado para fabricar camisas de homens é dada a seguir. Encontre a mediana, a moda e a média da amostra. Explique como essas três medidas de localização descrevem diferentes características dos dados.

37

ANEXO I

Tabela I.1 Amplitudes de um sinal aleatório (3000 amostras) -1.8801 -0.4274 0.9332 1.7078 -0.9459 0.1578 -0.2759 0.8309 2.1716 -0.6519 -0.1471 -0.3750 2.1304 0.6941 0.1575 0.2377 2.3127 0.4363 0.1596 -1.0218 1.3903 1.1175 0.3650 1.3822 1.3322 -2.7325 1.1204 0.0801 1.3118 -0.4248 -0.6189 -0.0243 -0.0992 -1.3050 -1.4931 0.6275 0.4137 0.9532 0.7268 1.8160 2.0845 0.7491 0.0139 0.6871 -0.8584 -0.1148 -0.2694 0.0994 0.5606 -0.9986 -1.0787 -2.5641 -0.2222 0.3291 0.4870 -1.1602 -0.1342 0.2873 0.3694 0.1258 0.1914 -0.6223 -0.8081 -0.8724 0.1395 0.6093 -0.0882 0.3409 -0.1624 1.1217 1.3971 -1.2660 -0.1098 0.6463 1.3021 1.1463 0.7845 -1.0783 -1.8219 -0.4125 0.1811 -1.1707 -0.4379 -0.4645 2.0800 -0.9921 -1.0566 1.8428 1.9562 0.7879 -1.1701 -0.3985 -1.7987 -1.0149 -0.9461 1.0956 -0.7870 0.3094 1.5499 0.4371 -0.5341 -0.5225 -0.7382 -0.6060 0.3916 0.0725 -1.1545 1.4426 -0.2096 0.3469 1.9961 1.0330 1.5985 -1.2742 -2.1335 0.3965 -0.7261 0.0386 0.1118 0.3642 -1.1400 0.9144 0.2445 0.1228 -0.8301 1.1004 -0.0128 -0.0619 0.2492 -0.1877 0.0960 -0.0691 -0.0383 1.2199 0.3078 -1.6976 1.4120 -0.0626 1.3940 -0.6442 -2.4781 0.4005 -0.4490 -0.7535 -0.7373 -1.0483 0.6430 0.7753 -1.1193 -0.9531 -0.2307 -0.8366 -1.6770 0.7213 0.6715 0.0322 0.8633 -0.4690 0.1925 0.4912 0.2671 -0.8797 -0.7355 -0.3880 -0.6996 -1.5707 0.7555 0.5290 -0.5982 1.4821 -0.0576 1.2962 1.0692 -0.3396 -0.5271 1.0574 0.5824 -0.7325 -0.7845 1.0941 -0.4980 -0.6577 -0.0352 0.7629 -0.2600 0.8753 -0.3071 -0.4640 -0.4415 -1.9816 0.9957 -0.0966 -0.1193 -0.9125 -0.0282 0.3529 2.8142 1.3001 0.5103 -0.3339 -2.1682 1.8443 -1.1537 0.4909 0.7653 -1.2674 -2.0090 1.0405 -0.1432 1.0191 -0.8361 0.3434 -0.2750 0.0615 0.7857 0.1217 -1.3955 -0.6346 1.8439 -0.1483 -0.1872 0.1554 1.8540 -2.2791 -0.6660 -1.7742 0.0575 -0.4683 0.9107 -0.4812 0.2886 -0.2994 -0.6380 0.4162 2.2683 0.4314 -2.4611 -1.3557 -1.6040 1.6457 0.1719 0.7760 -0.9476 -0.0743 -0.4433 -1.1247 -1.6053 -0.5665 0.2655 0.7931 -0.6037 -1.7869 -0.5451 1.1801 0.9399 -1.1559 -0.0919 -0.8554 0.6166 -0.2457 0.1200 -0.2547 0.8318 -0.4420 -0.0647 -1.0167 -0.2212 -0.2283 -1.3031 1.7313 -1.9836 -1.1625 0.8021 -0.9434 0.9393 -0.2411 -1.2583 -1.5846 1.0907 0.6187 0.4486 0.1764 -1.3570 1.1934 0.6275 -1.1301 -0.6554 -0.3625 -0.5708 -1.6521 -2.3882 -0.3879 -1.7763 -0.2747 2.1030 -0.5271 1.0667 0.5354 -0.5812 0.9472 0.3590 -0.0080 1.2754 0.5898 2.9863 -0.3603 -0.2489 0.7880 -1.0097 0.5378 0.9106 -0.3868 1.2035 1.9726 -1.3235 0.4983 0.5486 0.0921 -0.9724 1.7001 1.1446 0.8619 1.2606 1.6304 -1.4975 -0.6636 -0.6806 -0.7697 -1.0648 -0.3462 -0.6524 1.3140 0.1118 0.7005 2.1333 -1.0379 0.4732 -0.5513 0.8625 -1.5517 0.5461 -0.8867 -0.2701 0.4471 1.5864 -0.1765 0.4409 0.6455 -1.6356 -2.4972 -0.8756 0.6686 -0.2063 1.6404 -0.7800 -0.3446 1.2904 0.8407 -0.5277 -0.5113 0.3326 -0.0244 -0.6620 -1.1656 -0.8930 -1.3970 0.4068 -1.3676 -1.1816 1.5603 2.1565 2.2956 -0.6431 -1.4058 1.3159 -1.4420 0.1993 1.1287 0.4584 -1.3146 -0.2707 1.0990 0.3292 0.1337 -0.3725 0.2018 1.4385 0.0411 1.5439 0.6666 0.5233 -0.5077 -0.8414 -0.2422 -0.0057 0.9512 1.4292 -0.2839 -1.4458 -1.0439 1.9771 -0.6968 -1.5114 -0.2019 0.0519 -0.0840 -2.3427 -1.0573 -0.1735 -2.0741 1.5520 -1.3840 -0.6381 -0.7119 0.9819 0.5584 -0.1061 -0.4715 0.0662 1.3261 0.3569 -0.5389 1.1310 -0.4274 -0.4933 0.0006 2.6296 2.6309 0.1227 0.9385 0.0274 0.0182 -0.2961 -1.3934 -1.7418 -1.1164 0.5979 1.5961 0.5694 -1.7461 -0.3004 -1.5920 1.4156 -0.2969 -1.1621 0.7393 0.1036 1.1100

38

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