GABARITO

1Matemática E

Matemática E – Extensivo – V. 6

Exercícios

01) a) P(1) é sempre igual à soma dos coeficientes de P(x).b) P(0) é sempre igual ao termo independente de P(x).c) P(2) é a raiz de P(x), pois P(2) = 0.

a) P(1) = 1³ + 7 . 1² − 17 . 1 −2 P(1) = 1 + 7 − 17 − 2 P(1) = −11b) P(0) = 0³ + 7 . 0² − 17 . 0 − 2 P(0) = 0 + 0 − 0 − 2 P(0) = −2c) P(2) = 2³ + 7 . 2² − 17 . 2 − 2 P(2) = 8 + 28 − 34 − 2 P(2) = 0

02) D

Com 24 dólares é fixo para 30 min, então 24 é termo independente. Mas pagamos 3 dólares para cada hora e excedemos os 30 min, ou seja, o valor da hora extra é dado por 3x, em que x é o número de horas que excede 30 min.

Portanto, a expressão que relaciona o valor da utilização da bicibleta é:

f(x) = 3x + 24

03) V – V – V – F

(V) Para m = − 3 P(x) = ((−3)² − 9)x³ + ((−3) + 3)x² + ((−3) + 7)x − 2 P(x) = 0x³ + 0x² + 4x − 2 P(x) = 4x − 2 ⇒ grau 1(V) Para m = 3 P(x) = (3² − 9)x³ + (3 + 3)x² + (3 + 7)x − 2 P(x) = 0x³ + 6x² + 10x − 2 P(x) = 6x² + 10x − 2 ⇒ grau 2(V) Para que P(x) tenha grau zero devemos ter P = –2,

ou seja, (m2 – 9)x2 + (m + 3)x2 + (m + 7)x = 0 Daí concluímos que:

m i

m ii

m iii

2 9 0

3 0

7 0

− =+ =+ =

( )

( )

( )

Note que não existe m tal que satisfaça simultanea-mente (i), (ii) e (iii).

Portanto, P(x) nunca terá grau zero.(F) Como queremos somar os coeficientes, logo: m² − 9 + m + 3 + m + 7 − 2 ⇒ m² + 2m − 1 Vamos supor que a soma dos coeficientes dê −6,

logo:

m² + 2m − 1 = −6 m² + 2m + 5 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara: Δ = 2² − 4 . 1 . 5 Δ = 4 − 20 Δ = −16

Observe que Δ = −16, sendo assim a equação não possui raízes reais. Logo, a soma dos coeficientes nunca poderá ser −6.

04) 1024 e 1

P(x) = (3x − 1)10

Soma dos coeficientes: P(1) = (3 . 1 − 1)10

P(1) = 210

P(1) = 1024

Termo independente: P(0) = (3 . 0 − 1)10

P(0) = (−1)10

P(0) = 1

05) A

Expressão custo da primeira empresa. P1(n) = 350 000 + 100 000n

Expressão custo da segunda empresa. P2(n) = 150 000 + 120 000n

Equação que torna indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas.

P1 = P2

350 000 + 100 000n = 150 000 + 120 000n . (10–3) 350 + 100n = 150 + 120n

06) C

P(x) = (a − 2)x³ + (1 − b)x + (c − 3) Q(x) = 2x³ + (3 + b)x − 1

Logo: a − 2 = 2 ⇒ a = 4 1 − b = 3 + b ⇒ b = −1 c − 3 = −1 ⇒ c = 2

GABARITO

2 Matemática E

07) a = 4 e b = 8

P(x) = (a + b − 12)x² + (2a − b)x + 2a − b

Se P(x) é identicamente nulo, logo todos os seus coe-ficientes são iguais a zero. Temos:

a + b − 12 = 0 ⇒ a + b = 12 (i) 2a − b = 0 (ii)

Montando um sistema com (i) e (ii) e solucionando pelo método da adição, temos:

a b

a b

a

a

+ =− =

=

=

12

2 0

3 12

4 ⇓ a + b = 12 ⇒ 4 + b = 12 ⇒ b = 8

08) V = x3 + 8x2 + 15x

5 + x3 + x

x

x ( 3 + x ) ( 5 + x )V=

(3x + x ) ( 5 + x )2V=

V = 15x + 3x2 + 5x2 + x3

V = x3 + 8x2 + 15x

09) 66

P(x) = ax² + (b + c)x − 2a − 3x² + 3cx + 3b + 1 P(x) = (a − 3)x² + (b + c + 3c)x + (−2a + 3b + 1) P(x) = (a − 3)x² + (b + 4c)x + (−2a + 3b + 1)

Como P(x) é idêntico a Q(x), temos:

a − 3 = 10 ⇒ a = 13

−2a + 3b + 1 = 29 −2 . 13 + 3b + 1 = 29 −26 + 3b + 1 = 29 3b = 54 ⇒ b = 18

b + 4c = 158 18 + 4c = 158 4c = 140 ⇒ c = 35 Portanto, a + b + c = 13 + 18 + 35 = 66

10) D

(x² + x − 2) . (x − 4) − (x + 1) . (x² − 5x + 3) = x³ + x² − 2x − 4x² − 4x + 8 − (x³ − 5x² + 3x + x² − 5x + 3) = x³ − 3x² − 6x + 8 − (x³ − 4x² − 2x + 3) = x³ − 3x² − 6x + 8 − x³ + 4x² + 2x − 3 = 0x³ + 1x² − 4x + 5

Logo, a = 0, b = 1, c = −4 e d = 5. Temos que b + d = 1 + 5 = 6.

11) C

P(x) − P(−x) = x³

ax³ + bx² + cx + 2 − (−ax³ + bx² − cx + 2) = x³ ax³ + bx² + cx + 2 + ax³ − bx² + cx − 2 = x³ 2ax³ + 2cx = x³

Logo: 2a = 1 ⇒ a = −

12

e 2c = 0 ⇒ c = 0

Temos: P(−1) = −a + b − c + 2 = 0 b = a + c − 2

b = −

12

+ 0 − 2

b = −

32

P(1) = −

12

− −

32

+ 0 + 2 = 1

P(2) = 8 . −

12

+ 4 . −

32

+ 2 . 0 + 2 = 0

12) D

V = 10 000 . 1,5 V = (10 000 + 100) (1,50 – 0,01) V = (10 000 + 100 . 2) (1,50 – 0,01 . 2) (10 000 + 100 . 3) (1,50 – 0,01 . 3) V = (10 000 + 100 . x) (1,50 – 0,01 . x)

Segue,

V = (10 000 + 100 x ) ( 1,5 – 0,01 . x )

V = 15 000 – 100x + 150x – x2

V = 15 000 + 50x – x2

GABARITO

3Matemática E

13) A

P(x) = (ax² − 2bx + c + 1)5

P(1) = 32 (a . 1² − 2b . 1 + c + 1)5 = 32 (a − 2b + c + 1)5 = 32

a − 2b + c + 1 = 325

a − 2b + c + 1 = 2 (i)

P(0) = 0 (a . 0² − 2b . 0 + c + 1)5 = 0 (c + 1)5 = 0

c + 1 = 05

c + 1 = 0 c = − 1 (ii)

P(−1) = 0 (a . (−1)² − 2b . (−1) + c + 1)5 = 0 (a + 2b + c + 1)5 = 0

a + 2b + c +1 = 05

a + 2b + c + 1 = 0 (iii)

Substituindo (ii) em (i) e (iii): a − 2b + c + 1 = 2 a − 2b − 1 + 1 = 2 a − 2b = 2 (iv)

a + 2b + c + 1 = 0 a + 2b − 1 + 1 = 0 a + 2b = 0 (v)

Montando um sistema linear com (iv) e (v):

a b

a b

a

a

− =+ =

==

2 2

2 0

2 2

1 ⇓

a − 2b = 2 ⇒ 1 − 2b = 2 ⇒ b = −

12

Portanto, a + b + c = 1 −

12

– 1 = −

12

14) D

f(0) = a . 03 – 02 + 12 . 0 + b = 450 b = 450

f(8) = a . 83 – 82 + 12 . 8 + b = 994 512a – 64 + 96 + 450 = 994 512a + 482 = 994 512a = 994 – 482 512 a = 512 a = 1

Logo, f(x) = x3 – x2 + 12x + 450

Então,

f(12) = (12)3 – ( )12 2 + 12 12. + 450

f(12) = 1728 + 450 f(12) = 2178

15) D

f(x) = (x + b)³, desenvolvendo (x + b)³: f(x) = x³ + 3bx² + 3b²x + b³

Como f(x) = x³ − 6x² + mx + n, temos que: 3b = −6 ⇒ b = −2

3b² = m ⇒ 3 . (−2)² = m ⇒ m = 12

b³ = n ⇒ (−2)³ = n ⇒ n = − 8

Temos m = 12 e n = −8

16) a = b = 1

a

xb

xsoma de fração

( ) ( )−+

+1 1 =

212

xx( )−

a x b x

x x( ) ( )( ) . ( )+ + −− +

1 11 1

= 2

12

xx( )−

ax a bx b

x+ + −−( )2 1

= 2

12

xx( )−

(a + b)x + (a − b) = 2x

a b

a b

a

a

+ =− =

==

2

0

2 2

1 ⇓ a + b = 2 ⇒ 1 + b = 2 ⇒ b = 1

17) A = C = −

12

e B = −

12

x

x x( ) . ( )− +1 12 =

Ax

Bx Cx

soma de fração

( ) ( )−+

++1 12

x

x x( ) . ( )− +1 12 =

A x Bx C xx x

. ( ) ( ) . ( )( ) . ( )

2

2

1 11 1

+ + + −− +

x

x x( ) . ( )− +1 12 =

Ax A Bx Bx Cx Cx x

2 2

21 1+ + − + −

− +( ) . ( )

x

x x( ) . ( )− +1 12 = ( ) ( ) ( )

( ) . ( )A B x C B x A C

x x+ + − + −

− +

2

21 1

GABARITO

4 Matemática E

x = (A + B)x² + (C − B)x + (A − C)

Logo:

A + B = 0 ⇒ A = −B (i) C − B = 1 ⇒ C = 1 + B (ii) A − C = 0 ⇒ A = C (iii)

De (i) e (iii) temos que C = −B. Substituindo em (ii): C = 1 + B −B = 1 + B −1 = 2B

B = −

12

A = −B

A = − −

12

A = −

12

A = C

C = −

12

18) B

(x + a)3 – (x – b)3

x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 – (x3 – 3x2b + 3xb2 – b3)

x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 – x3 + 3x2b – 3xb2 + b3

(3a + 3b)x2 + (3a2 – 3b2)x + (a3 + b3) 9x2 – 63x + c

Logo,

3 3 9 3 3

3 3 63 212 2 2 2

3 3

a b a b a b i

a b a b ii

a b c iii

+ = ⇒ + = ⇒ = −− = − ⇒ − = −

+ =

( )

( )

( ))

Substituindo (i) em (ii), obtemos:

(3 – b)2 – b2 = –21

9 – 6b + b2 – b2 = –21 –6b = –21 – 9 –6b = –30 .(–1) 6b = 30

b = 306

b = 5 Substituindo b = 5 em (i), teremos:

a = 3 – 5 = – 2

Assim,

a3 + b3 = c (–2)3 + (5)3 = c –8 + 125 = c c = 117

Portanto,

|a + |b| – c| = |–2 + |5| – 117| = = |–2 + 5 – 117| = |–114| = 114

19) D

Axx x

Bx

Cx x cx x x

−+ +

+−

= − −+ + −

23 2 1

92 5 32

2

3 2

( )( ) ( )( )( )

Ax x B x xx x x

Cx x Cx x x

− − + + ++ + −

= − −+ + −

2 2 1 33 2 1

92 5 3

2

2

2

3 2

2 4 2 3

2 5 3

9

2 5 3

2 2

3 2

2

3 2

Ax Ax x Bx Bx B

x x x

Cx x C

x x x

− − + + + ++ + −

= − −+ + −

(2A + B)x2 + (–A – 4 + B)x + (2 + 3B) = Cx2 – 9x – C

Daí, temos:

2

4 9 5

2 3 1 3 2

A B C i

A B B A

B C C B iii

+ = +− − + = − ⇒ − = −

+ = − − ⇒ = − −

( )

.( ) ( )

Substituindo (iii) em (i), obtemos:

2A + B = –3B – 2 2A + 4B = –2 (÷2) A + 2B = –1

Assim,

A B iv

B A v

+ = −− = −

2 1

5

( )

( )

Somando (iv) e (v), obtemos:

3B = –6

B = −63

B = –2

Substituindo B = –2 em (iv), teremos:

A + 2 . (–2) = –1 A = –1 + 4 A = 3

GABARITO

5Matemática E

Substituindo A = 3, B = –2 em (i), teremos:

C = 2 . 3 – 2 C = 6 – 2 C = 4

Portanto,

A + B + C = 3 – 2 + 4 = 7 – 2 = 5

20) D

4x + 3x + 52

–4x + 2x + 22

5x + 7 R(x)

2x x – 12–

2

Do enunciado temos:

f(g(x)) = r(x) f–1(f(g(x))) = f–1(r(x)) g(x) = f–1(r(x))

Vamos calcular a inversa de f(x):

f(x) = 2x + k y = 2x + k x = 2y + k x – k = 2y

y = x k−2

f–1(x) = x k−2

Daí, temos:

g(x) = 5 72

x k+ −

Queremos g(x) ≥ 10, então:

5 72

x k+ − ≥ 10

5x + 7 – k ≥ 20 5x ≥ 20 – 7 + k

x ≥ 135+ k

Como a solução é S = {x ∈ R / x ≥ 3}, então

135+ k = 3

13 + k = 15 k = 15 – 13 k = 2

21) 07

01. Correta. Usando binômio de Newton, encontramos: P(x) = (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.02. Correta. Raiz x = –1 tem multiplicidade 4.04. Correta. K(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 3

K(x) = ( )( )

xP x

+1 4

+ 2

P (x)

y

x–1

y

x1

2

O mínimo de K(x) = 2.08. Incorreta. P(x) . (x – 1)2 = (x + 1)4 . (x – 1)4 = (x2 – 1)4

= x8 – 4x6 + 6x4 – 4x2 + 1,

que não admite termo em x5.

22) Ex x x x x x x

x x x

5 4 3 2 2

3 4 3

0 0 3 0 1 0 1

0

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ −

− + ⋅ +

x x

x x x

x x x

3

3 2

3 2

3

3 0 1

0

+ −

− + ⋅ +

− + ⋅ +

− + +

+ + ⋅ −

− ⇒

3 1

3 0 3

2

2

2

x x

x x

x reesto

23) D

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

7 9 2 1

2 6

8 9

2

+ − + + + +

− − − − −

− − + + ⇓

+ +

qquociente

x x

x x

x

resto

− + +

+ +

+⇓

6 2 9

6 12 6

14 15

2

2

GABARITO

6 Matemática E

24) B

(x + 1) ( x – 2 ) = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2

Segue,

x x x x x

x x x x

x x

3 2 2

3 2

2

2 5 6 2

2 3

3 6

3

+ − − − −

− + + + ⇒

− −

−

quociente

3

xx x2 3 6

0

+ +

Logo, q(x) = x + 3.

25) A

6 3 5 2 4 5 3 2

6 0 4

5 4 3 2 3

5 4 3

x x x x x x x

x x x

+ + − − + −

− + ⋅ + 2x

2

4 3 2

4 3 2

3

3 9 2 4 5

3 0 2

+ +

+ + − − +

− + ⋅ +

x

x x x x

x x x

9 4 5

9 6

3

3

x x

x x

− +

− +

2 5x+

Logo, Q(x) = 2x2 + x + 3. Portanto, o produto entre o maior e o menor dos coefi-

cientes é:

3 . 1 = 3

26) B

O grau do polinômio P(x) é: gr(P) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

27) C

Sabemos que P(x) = D(x) . Q(x) + R(x): P(x) = (x² + 4x + 7) . (x² + 1) + (x − 8) P(x) = x4 + x² + 4x³ + 4x + 7x² + 7 + x − 8 P(x) = x4 + 4x³ + 8x² + 5x − 1

Logo, o coeficiente de 8x² é 8.

28) B

Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.

29) B

P(x) = (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (−x + 2) P(x) = 6x4 + 2x² − 9x³ − 3x + 3x² + 1 − x + 2 P(x) = 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3

6 9 5 4 3 1

6 6 6 3 2 2

3 5 4 3

3 3

4 3 2

4 3 3 2

3 2

3

x x x x x

x x x x x

x x x

x x

− + − + −

− + − + −

− + − +

− 22

2

2

2 4 3

2 2

2 3

2 2

1

x x

x x

x

x

− +

− +

− +−

30) B

x x x x x x

x x x x

x x

x x q

x

r

4 3 2 2

4 3 2 2

2

2

0 2 4 0 1

0 3

3 4

3 0 3

1

+ − + − + +

− + − −

− + − ⇓

+ +

−⇓

x x x

x x x

x

x

resto

2

2

0 3 1

1

3

1

2

+ − −

− + +

−− +

−⇓

31) D

x x x x x

x x x x

x x

3 2 2

3 2

2

0 1 1

1

2

+ ⋅ − + + +

− − − −

− − +

11

1

2

2

+ + +

− + ⇒

x x

x resto

Portanto, r(x) = – x + 2

GABARITO

7Matemática E

32) E

Basta fazer a divisão do polinômio x3 + 7x2 +14x + 8 por x + 1.

x x x x

x x

3 2

3 2 2

7 14 8 1

6

+ + + +

− − +

x xx

x x

x x

x

+

+ +

− −

+

8

14 8

6

8 8

2

2

6

6

0 0

− −8 8x

Portanto, a área é dada por A(x) = x2 + 6x + 8.

35) D

f(x) = x x xx x

3 2

2

4 43 2

+ − −+ +

f(x) = x – 2

3

y

A

y = x –2

O 2

–2

C

5

B

y – 3 = 0

x

Área do trapézio AOCB.

A = ( )5 2 32

7 32

212

+ ⋅=⋅= = 10,5

33) A

x x kx x x

x x x x

x k x

x x

k

3 2 2

3 2

2

2

2 3 3

3 1

3 3

3

3 1

− + − − +

− + − −

− + − −

− +

− −⇓

( )

( )

k − 3 − 1 = 0 ⇒ k − 4 = 0 ⇒ k = 4

34) a − b = 4

2x³ − ax² + bx + 2 = (2x² + 5x − 2) . (cx + d) + 0resto�

2x³ − ax² + bx + 2 = 2cx³ + 2dx² + 5cx² + 5dx − 2cx − 2d 2x³ − ax² + bx + 2 = 2cx³ + (2d + 5c)x² + (5d − 2c)x − 2d Logo:

2c = 2 ⇒ c = 1 −2d = 2 ⇒ d = −1 2d + 5c = −a ⇒ −2 + 5 = −a ⇒ a = −3 5d −2c = b ⇒ −5 − 2 = b ⇒ b = − 7 a – b = – 3 – (–7) = – 3 + 7 = 4

36) D

x4 + 4x³ + px² + qx + r = (x³ + 3x² + 9x + 3)(ax + b) + 0 x4 + 4x³ + px² + qx + r = ax4 + bx³ + 3ax³ + 3bx² + 9ax²

+ 9bx + 3ax + 3b x4 + 4x³ + px² + qx + r = ax4 + (3a + b)x³ + (9a + 3b)x²

+ (3a + 9b)x + 3b Logo:

a = 1 3a + b = 4 ⇒ 3 . 1 + b = 4 ⇒ b = 1 9a + 3b = p ⇒ 9 . 1 + 3 . 1 = p ⇒ p = 12

GABARITO

8 Matemática E

37) C

Para que 5 82

4 2

2

x x mx nx

+ + ++

seja um polinômio, devemos ter r(x) = 0.

5x4 + 8x2 + mx + n = (x + 2) ( ax + bx + c ) + 02 2

5x4 + 8x2 + mx + n = ax4 + bx3 + cx2 + 2ax2 + 2bx + 2c5x4 + 8x2 + mx + n = ax4 + bx3 + (2a + c)x2 + 2bx + 2c

Da igualdade de polinômios, temos:a = 5b = 02a + c = 8 ⇒ 2 . 5 + c = 8 ⇒ c = 8 – 10 ⇒ c = –22b = m ⇒ m = 2 . 0 ⇒ m = 02c = n ⇒ n = 2 . (–2) ⇒ n = –4Portanto, m = 0 e n = –4.

38) E

2 5 13 7 1

2 2 2 2 2 2

2010 2 2

2010 2009 2008 2008 2007

x x x x x

x x x x x

− − + + +

− − − − + xx x x x x

x x x x

x

2005 2004 4 3

2009 2008 2

2009

2 2 2 2 7

2 2 5 13 7

2

− + + − + −

− − − − +

…

++ +

− − +

− − −

−

2 2

2 5 13 7

2 2 2

2

2008 2007

2007 2

2007 2006 2005

200

x x

x x x

x x x

x 66 2005 2

2006 2005 2004

2004 2

2 5 13 7

2 2 2

2 5 13 7

2

− − − +

+ +

− − +

x x x

x x x

x x x

x

�55 4 3

3 2

3 2

2

2

2 2

2 5 13 7

2 2 2

7 15 7

7 7 7

8 14

+ +

− − +

− − −

− − +

+ +

− +

x x

x x x

x x x

x x

x x

x

Logo, r(x) = − 8x + 14, calculando r(2) temos: r(2) = − 8 . 2 + 14 = − 16 + 14 = − 2.

39) a + b + c + d = 21

x x ax x b x x

x x x x x a

x a x x b

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

0 0 2 4

2 4 2

2 4 0

2

+ + + + + +

− − − − +

− + − + +( )

xx x x

ax x b

ax ax a

a x b a

3 2

2

2

4 8

8

2 4

8 2 4

+ +

+ +

− − −

− + −( )

GABARITO

9Matemática E

Como a divisão é exata, temos: 8 − 2a = 0 ⇒ 8 = 2a ⇒ a = 4 e b − 4a = 0 ⇒ b − 4 . 4 = 0 ⇒ b = 16.

x cx dx x x

x x x x c

c x d x

c x c

3 2 2

3 2

2

2

3 2

2 1

1 2 3

1

+ + − − +

− + − + +

+ + − −

− + +

( ) ( )

( ) ( ++ − +

+ − − −

1 2 1

1 2 5

) ( )

( )

x c

c d x c

Como o resto é igual a −5, temos: −2c − 5 = − 5 ⇒ c = 0 e c + d − 1 = 0 ⇒ 0 + d − 1 = 0 ⇒ d = 1.

Portanto, a + b + c + d = 4 + 16 + 0 + 1 = 21

40) R(4) = 17

Pela divisibilidade, P(x) = Q(x) . D(x) + R(x), temos: (x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x² − 7x + 12) + R(x) (x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x− 3) . (x − 4) + R(x) (x − 3)9 . (x² + 1) = Q(x) . (x − 4) + R(x) Como buscamos o valor de R(4), temos: (4 − 3)9 . (4² + 1) = Q(4) . (4 − 4) + R(4) 19 . 17 = Q(4) . 0 + R(4) 17 = R(4)

41) a) Q(x) = 7x² + 15x + 20 e R(x) = 39b) Q(x) = x³ – 2x² + 5x – 7 e R(x) = 20

c) Q(x) = 2x4 + x³ + 3x + 52 e R(x) =

72

d) Q(x) = 3x² +12x + 30 e R(x) = 59e) Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2 e R(x) = –5

a) 2 7

7

1

15

–10

20

–1

39

b) –3 1

1

1

–2

–1 –1

5 20

8

–7

c) 1

2

7

2

4

4

0

2

–1 2 1

0 5

6

6

Q'(x) = 4x4 + 2x³ +6x + 5 dividindo por 2 temos:

Q(x) = 2x4 + x³ + 3x + 52

d) 6 1

1

–2

4

–14

10

–1

59

Q'(x) = x² + 4x + 10 multiplicando por 3 temos: Q(x) = 3x² +12x + 30

e) 2 1

1

–2 –6 –1

0 –2 –5

1

1

0

2

Q'(x) = x4 + x² + 2x − 2 multiplicando por −1 temos: Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2

42) D

x x ax bx cx dP x D x Q x

4 3 21 1− ≡ − + + +( ) ( ) ( )

( ) . ( )� � ��� ��� � ���������� �����������

x4 − 1 ≡ ax4 + (b − a)x³ + (c − b)x² + (d − c)x − d

Logo, a = b = c = d = 1. Temos que Q(x) = x³ + x² + x + 1 ⇒ Q(−1) = (−1)³ +(−1)² + (−1) + 1 = 0

ou

1 1

1

0 –1

1 0

0

1

0

1

Logo, Q(x) = x³ +x² + x + 1 ⇒Q(−1) = 0.

43) f(x) = x2 – 2x + 3

1 1

1

–3

–2

5

3

–3

0

Logo, f(x) = x x xx

3 23 5 31

− + −−

= x2 – 2x + 3.

44) E

y 1 a 2a –2a 8

–4 0

Conseguimos descobrir o valor de y do método, pois y . (−4) + 8 = 0 ⇒ y = 2. Assim, completando o método:

2 1 a 2a –2a 8

2+a 4+4a –4 01

Temos: 2 . (4 + 4a) − 2a = −4 8 + 8a − 2a = −4 8 + 6a = −4 6a = − 12 a = − 2

Temos assim os coeficientes do divisor: 1, −2, −4, 4 ,8. Logo, D(x) = x4 − 2x³ − 4x² + 4x + 8.

GABARITO

10 Matemática E

45) E

1 1 –2 0 0 –1 m

–1 –1 –1 –2 –2+m1

Como o resto deve ser zero, temos que −2 + m = 0 ⇒ m = 2.

46) A

2 2 0 –4 a

4 4 8+a2

Como P(x) é divisível por D(x), logo o resto é zero. Temos assim que 8 + a = 0 ⇒ a = −8.

47) B

–2 1 –5 p 2

–7 14+p –26 –2p1

Como P(x) é divisível por x + 2, o resto é zero. Temos assim que −26 − 2p = 0 ⇒ −26 = 2p ⇒ p = −13.

48) 31

m 1 a a –a

3

–6

0

Sabemos que m = 2, pois m . 3 − 6 = 0 ⇒ 3m = 6 ⇒ m = 2. Completando o método, e substituindo m por 2, temos:

2 1

1

a

2+a

a

4+3a

–a

3

–6

0

Assim: 2 . (4 + 3a) − a = 3 8 + 6a − a = 3 8 + 5a = 3 a = −1

Com esses resultados sabemos que: P(x) = x4 − x³ − x² + x − 6 Q(x) = x³ + x² + x + 3

01. Verdadeiro. P(x) é um polinômio de 4° grau.02. Verdadeiro. P(x) é divisível por x − 2, pois m = 2.04. Verdadeiro. P(0) = 04 − 0³ − 0² + 0 − 6 = −608. Verdadeiro. P(1) = 14 − 1³ − 1² + 1 − 6 = −616. Verdadeiro. Q(x) = x³ + x² + x + 3

49) A

1 1

1

–k 6 –1

1–k 7–k 6–k

Como P(x) é divisível por x − 1, o resto é zero. Temos assim que 6 − k = 0 ⇒ k = 6.

Se k = 6, então Q(x) = x² + (1 − k)x + (7 − k) ⇒ Q(x) = x² − 5x + 1.

50) D

Divisão de x³ + px + q por x + 1:

–1 1

1

0 p q

–1 1+p –1–p+q

Como o resto é 4, temos −1 − p + q = 4 ⇒ −p + q = 5 (i). Divisão de x³ + px + qx por x − 1: 1 1

1

0 p q

1 1+p 1+p+q

Como o resto é 8, temos que: 1 + p + q = 8 ⇒ p + q = 7 (ii).

De (i) e (ii), temos que p = 1 e q = 6.

51) E

Sabendo que P(x) = D(x) . Q(x) + R(x). Logo: P(x) = (x² − x) . (6x² + 5x + 3) + (−7x) = 6x4 − x³ − 2x² − 10x

Dividindo P(x) por 2x + 1:

6

6

–1

–4

1

2– –2 0

0 5

–10

–10

Logo, o resto é igual a 5.

52) Q(x) = x i

x2

323

2+ − .

Observe que a raiz de 3x − 6i é: 3x − 6i = 0 3x = 6i x = 2i

Logo:

2i 1

1

0

2i

–2

–6

3

–12i+3

GABARITO

11Matemática E

Observação: 2i . 2i = 4i², mas i² = −1. Logo, 4i² = −4.

Temos que:

Q'(x) = x² + 2ix − 6 ⇒ Q(x) = x i

x2

323

2+ − .

53) C

1 1

1

0

1

0

1

0

1

...

...

0 1

1 2

Temos que Q(x) = x49 + x48 + x47 + … + 1 e R(x) = 2.

Logo, Q(x) = xn

n

+=∑ 1

1

49

, mas 1 = x0.

Então, Q(x) = xn

n=∑

0

49

.

54) R(x) = 23

Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2 P(2) = 2³ + 2 . 2² + 5 . 2 − 3 = 8 + 8 + 10 − 3 = 23

55) R(x) = 52

Pelo teorema do resto, x + 2 = 0 ⇒ x = −2 P(−2) = (−2)6 − (−2)4 + (−2)² = 64 − 16 + 4 = 52

56) Verdadeira.

Pelo teorema do resto: i) x − 1 = 0 ⇒ x = 1

ii) 2x + 3 = 0 ⇒ x = −

32

De i: P(1) = 2 . 1³ + 5 . 1² − 1 − 6 = 2 + 5 −1 − 6 = 0

De ii:

P −

32

= 232

532

32

63 2

. .− + −

− −−

P −

32

= − + + −274

454

32

6 = 0

Como P(1) = 0, logo P(x) é divisível por x − 1.

Como P −

32

= 0, logo P(x) é divisível por 2x + 3.

57) A

Pelo teorema do resto, x − 3 = 0 ⇒ x = 3

P(3) = 4 ⇒ a . 3³ − 2 . 3 + 1 = 4 27a − 6 + 1 = 4 27a − 5 = 4 27a = 9

a = 13

58) A

Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 P

P ( x ) é d i v i s í v e l

( )1 0=

⇓ P(1) = 14 − k . 1³ + 5 . 1² + 5 . 1 + 2k = 0 1 − k + 5 + 5 + 2k = 0 11 + k = 0 k = − 11

59) E

Pelo teorema do resto x + 1 = 0 ⇒ x = − 1

P(x) = (x² − x − 2) . Q(x) + (2x − 1) P(−1) = ((−1)² − (−1) − 2) . Q(−1) + (2 . (−1) − 1) P (−1) = (1 + 1 − 2) . Q (−1) + (−2 − 1) P (−1) = 0 . Q (−1) + (−3) P (−1) = 0 − 3 ⇒ P (−1) = −3

60) B

P(x) = (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (− x + 2) P(x) = 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3

Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 P(1) = 6 . 14 − 9 . 1³ + 5 . 1² − 4 . 1 + 3 P(1) = 6 − 9 + 5 − 4 + 3 = 1

61) A

f(x) = (−x² −1) . (x + 2) + (2x + k) f(x) = −x³ −2x² + x − 2 + k

Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 Como f(x) é divisível por x − 1, então f(1) = 0: f(1) = 0 ⇒ f(1)= −1³ −2 . 1² + 1 − 2 + k = 0 −1 − 2 + 1 − 2 + k = 0 −4 + k = 0 k = 4

GABARITO

12 Matemática E

62) C

Pelo teorema do resto, 2x + 3 = 0 ⇒ x = −

32

P −

32

= 0

⇓

P −

32

= −10 . −

32

2

− a −

32

+ 3 = 0

−10 . 94 +

32a + 3 = 0

− 904

+ 32a + 3 = 0

a = 13

63) D

P(−1) = Q(−1) . D(−1) + R(−1) P(−1) = ((−1)³ − 2 . (−1) − 1) . D(−1) + (5 . (−1) + 8) P(−1) = (−1 + 2 − 1) . D(−1) −5 + 8 P(−1) = 0 . D(−1) − 5 + 8 P(−1) = 0 − 5 + 8 P(−1) = 3

64) CTemos:x – 2 = 0 ⇒ x = 2Pelo teorema do resto, temos:P(2) = 4 . 23 + m22 – 3.2 + 4 = 18 32 + 4m – 6 + 4 = 18 30 + 4m = 18 4m = 18 – 30 4m = –12

m = −124

m = 3

65) D ERRATA: Para resolução do problema, considere o

trinômio x2 + ax + b.

x + 2 = 0 ⇒ x = –2x – 1 = 0 ⇒ x = 1Pelo teorema do resto, temos:P(–2) = (–2)2 + a(–2) + b = 0 ⇒ –2a + b = –4 (i)P(1) = 12 + a . 1 + b = 0 a + b = –1 (ii)De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema:− + =−+ =−

2 4

1

a b

a b

(i)

(ii)

Fazendo (ii) – (i), obtemos:3a = 3

a = 33

a = 1Substituindo a = 1 em (ii), teremos:

1 + b = -1b = – 1 – 1b = – 2

Portanto, a – b = 1 – (–2) = 1 + 2 = 3.

66) 1001. Incorreta. (x – 2)4 = 1.x4.(–2)0 + 4.x3.(–2)1 + 6x2 (–2)2 + 4.x1(–2)3

+ 1x0(–2)4

(x – 2)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 1604. Incorreta. P(1) = 14 – 5.13 + 10.12 – 5.1 + d = 0 1 – 5 + 10 – 5 + d = 0 1 + d = 0 d = –1 Logo, para que x = 1 seja raiz do polinômio P(x)

devemos ter d = –1.02. Verdadeiro. P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x P(0) = 04 − 5 . 0³ + 10 . 0² − 5 . 0 P(0) = 008. Verdadeiro. P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x −21 Pelo teorema do resto, x + 1 = 0 ⇒ x = −1 P(−1) = (−1) 4 − 5 . (−1) ³ + 10 . (−1) ² − 5 . (−1) −21 P (−1) = 1 + 5 + 10 + 5 − 21 P (−1) = 0

67) C

Como p(x) é divisível por x + 3, x − 1 e x + 5, então p(x) é divisível por (x + 3) . (x − 1) . (x + 5), que possui grau 3. Logo, o grau de p(x) é maior ou igual a 3.

68) C

P(x) = (x³ + 3x² + 5) . k(x) + (x² + x + 7) Pelo teorema do resto, k(0) = 2. Logo: P(0) = (0³ + 3 . 0² + 5) . k(0) + (0² + 0 + 7) P(0) = (0 + 0 + 5) . 2 + (0 + 0 +7) P(0) = 5 . 2 + 7 P(0) = 17

69) p = −7 e q = −10

Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2 P(2) = 0 ⇒ P(2) = 2 . 2³ + p . 2² + 11 . 2 + q = 0 16 + 4p + 22 + q = 0 4p + q = − 38 (i)

GABARITO

13Matemática E

P(1) = −4 ⇒ P(1) = 2 . 1³ + p . 1² + 11 . 1 + q = −4 2 + p + 11 + q = − 4 p + q = −17 (ii)

De (i) e (ii), temos p = − 7 e q = −10.

70)B

p'(1) = 0 ⇒ p'(1) = 3 . 12 + 2b . 1 + c = 0 3 + 2b + c = 0 2b + c = −3 (i)

p'(−1) = 4 ⇒ p'(−1) = 3 . (−1)2 + 2b . (−1) + c = 4 3 − 2b + c = 4 −2b + c = 1(ii)

De (i) e (ii), temos b = c = − 1 Vamos descobrir o valor de d:

Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 p(1) = 2 ⇒ p(1) = 1³ − 1 . 1² − 1 . 1 + d = 2 1 − 1 − 1 + d = 2 d = 3

Temos assim que p(x) = x³ − x² − x + 3.

71) 05 ERRATA: Para resolução do exercício, considere

P(2) = Q(1), em vez de P(x) = Q(1).

P(2) = Q(1)23 + a.22 + 2b – 2 = 12 + a.1 + b8 + 4a + 2b – 2 = 1 + a + b4a + 2b – a – b = 1 – 8 + 23a + b = –5 (i)Temos ainda:Q(0) = 402 + a.0 + b = 4b = 4Substituindo b = 4 em (i), teremos:3a + 4 = –53a = –9

a = –93

a = –3Logo,P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2Q(x) = x2 –3x + 4

01. Correta.P(x) + Q(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 + x2 – 3x + 4P(x) + Q(x) = x3 – 2x2 + x + 2

02. Incorreta.Q(x) = x2 – 3x + 4a = 1b = –3c = 4Δ = b2 – 4acΔ = (–3)2 – 4 . (1) . 4Δ = 9 – 16Δ = –7 < 0Logo, não possui raiz real.

04. Correta. De fato,P(1) = 13 – 3 . 12 + 4 . 1 – 2P(1) = 1 – 3 + 4 – 2P(1) = 5 – 5P(1) = 0

08. Incorreta.x + 1 = 0 ⇒ x = –1Pelo teorema do resto, temos:P(1) = (–1)3 – 3(–1)2 + 4(–1) – 2P(–1) = – 1 – 3 – 4 – 2P(–1) = –10

16. Incorreta.x x x x x

x x x x

resto

3 2 2

3 2

3 4 2 3 4

3 4

2

− + − − +

− + −

− →/ / /

Como r(x) ≠ 0, então P(x) não é divisível por Q(x).

72) D

P(x) = Q(x) . (3x − 2) + 1

P23

= Q

23

. 0 + 1

P23

= 0 + 1

P23

= 1

(x² − 1) . P(x) = Q1(x) . (3x −2) + k

23

12

−

. P

23

= Q1

23

. 0 + k

23

12

−

. P

23

= 0 + k

− 59 . 1 = K

− 59 = k

GABARITO

14 Matemática E

73) a + b = 1 + 4 = 5

Do enunciado temos:P(–1) = 3P(2) = 6 (teorema do resto)

Temos ainda:P(x) = (x + 1)(x – 2)Q(x) + ax + b

Daí,P(–1) = (–1 + 1) . (–1 – 2) Q(–1) + ax + b = 3

0 . (–3) Q(–1) + a(–1) + b = 3– a + b = 3 (i)

P(2) = (2 + 1) . (2 – 2) Q(2) + ax + b = 63 . Q(2) + a2 + b = 62a + b = 6 (ii)

De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema linear:− + =+ =

a b i

a b ii

3

2 6

( )

( )

Fazendo (ii) – (i), teremos:3a = 3

a = 33

a = 1

Substituindo a = 1 em (i), obtemos:–1 + b = 3b = 4Portanto, a + b = 1 + 4 = 5.

74) R(x) = 34x +

114

P(x) = (x − 3) . Q(x) + ax + b = 5 P(3) = (3 − 3) . Q(3) + a . 3 + b = 5 0 . Q(3) + 3a + b = 5 3a + b = 5 (i)

P(x) = (x + 1) . Q(x) + ax + b = 2 P(−1) = (−1 + 1) . Q(−1) + a(−1) + b = 2 0 . Q(−1) − a + b = 2 − a + b = 2 (ii)

De (i) e (ii) temos que a = 34 e b =

114

.

75) C

Sabendo que: P(x) = (x² + x) . (x² − 3) + ( )

( )

ax bR x

+� ���� ����

P(x) = x4 − 3x² + x³ − 3x + ax + b P(x) = x4 + x³− 3x² + (− 3 + a)x + b

Pelo teorema do resto, temos x − 1 = 0 ⇒ x = 1. P(1) = 0 ⇓ P(1) = 14 + 1³− 3 . 1² + (− 3 + a) . 1 + b = 0 1 + 1− 3 + (− 3 + a) + b = 0 − 1 − 3 + a + b = 0 a + b = 4 (i)

Se R(x) = ax + b, então R(4) = 4a + b = 10 (ii).

De (i) e (ii), temos que a = 2. Logo, o termo de grau 1 é −3 + a = −3 + 2 = −1.

76) B

2 3 2 1

2 2 2 3

3 2 2

3 3

2 1

4 3 3

4

3

2

x x mx x

x x x

x m x

x

m x

− + − +

− − −

− + − −

+ +

− +

( )

( )

Logo, r(x) = (m – 2)x + 1 Para que o resto seja independente de x, devemos ter: m – 2 = 0 m = 2

77) V - V - V - V

Verdadeira. Seja ax + b um polinômio qualquer de grau 1. Efetuando a divisão por D(x), temos:

ax b x

ax a a

a b

resto

+ −

− +

+⇓

1

Note que o resto é igual à soma dos coeficientes.

Verdadeira.

Seja P(x) = a xkk

nk

=∑

0

Pelo teorema do resto temos: x = 0 (raiz do polinômio x) ⇒ P(0) = a0 + a1 . 0

1 + … + an0n

P(0) = a0

Então podemos afirmar que o resto vai ser igual ao termo independente.

GABARITO

15Matemática E

Verdadeira. Da 1a afirmação temos que o resto da divisão de P(x) por um binômio D(x) = x − 1 é igual à soma dos

coeficientes. Então R(x) é igual a ( ) .5 10

40

n xn

n+=∑ , porém os coeficientes desse polinômio são os termos de uma P.A. de

razão igual a 5. Logo:

S41 = ( ) .1 201 41

2+

= 4141

Verdadeira. Pelo teorema do resto: x + 1 = 0 ⇒ x = −1 Substituindo em P(x), temos:

P(−1) = 29

10

29

nn

n

−

=∑ . ( ) desenvolvendo

P(− 1) = 29

0

(−1)0 +

29

1

(−1)1 + … +

29

28

(−1)28 + 29

29

(−1)29 =

29

0

−

29

1

+ … +

29

28

− 29

29

Note que os elementos desse somatório são os mesmos do triângulo de Pascal. E sabemos que os coeficientes binomiais equidistantes pertencentes à mesma linha possuem valores numéricos iguais, ou seja:

29

0

−

29

29

= … = −

29

1

+

29

28

= 0.

Então P(−1) = 0. Logo P(x) é divisível por D(x).

78) −2

P(x) = x³ − 1000x² − 10002x + 9999. Escrevendo os coeficientes em potência de 10, temos: P(x) = x³ −104 . x² − (104 + 2)x + (104 − 1)

Pelo teorema do resto, x − 10001 = 0 ⇒ x = 104 + 1. Logo: P(104 + 1) = (104 + 1)³ −104 . (104 + 1)² −(104 + 2) . (104 + 1) + (104 − 1) = (104 + 1)² . [104 + 1 − 104] − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1 =108 + 2 . 104 + 1 − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1 = − 2