Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação...

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação

Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

Guilherme Cardoso de Salles

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola

Politécnica, Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessários para obtenção

do título de Engenheiro.

Orientador:

Prof. José Antônio Fontes Santiago,

D. Sc.

Rio de Janeiro

Março 2015

ii

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação

Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas


PROJETO DE GRADUAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. José Antônio Fontes Santiago, D.Sc. (Orientador)

________________________________________________

Prof. Ricardo Valeriano Alves, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO 2015

iii

de Salles, Guilherme Cardoso

Formulação Forte do Método sem Malha

usando Colocação Aplicado a Problemas de

Potencial e Propagação de Ondas/ Guilherme

Cardoso de Salles - Rio de Janeiro: UFRJ/Escola

Formulação Forte do Método sem Malha

usando Colocação Aplicado a Problemas de

Potencial e Propagação de Ondas/ Guilherme

Cardoso de Salles - Rio de Janeiro: UFRJ/Escola

Politécnica, 2015.

IX, 86 p.: il.; 29,7 cm

Orientador: José Antônio Fontes Santiago

Projeto de Graduação – Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,

Curso de Engenharia Civil, 2015

Referências Bibliográficas: pág 94-96

1 – Métodos sem Malha. 2 – Método da

Colocação. 3 – Método dos Mínimos Quadrados

Móveis

I. Santiago, José Antônio Fontes. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro III.

Formulação Forte do Método sem Malha usando

Colocação Aplicado a Problemas de Potencial e

Propagação de Ondas

iv

“Now we grow as we show that the morals we must know

Will be shaken and mistaken by the falls along the way”

Bad Religion

v

AGRADECIMENTOS

O primeiro agradecimento tem que ser a minha família, pois sem eles jamais

teria chegado até aqui.

Aos amigos de infância, de longa data por estarem sempre comigo, eles sabem

quem são. Aos grandes amigos que fiz nesses 5 anos de graduação na UFRJ.

Aos professores do curso de Engenharia Civil em especial aos que realmente

tiveram papel de professor, aqueles que sempre incentivaram a busca pelo

conhecimento e me inspiram para ser um grande profissional. Felizmente a maioria

dos professores teve esse perfil.

Ao Augusto, Oswaldo e todos da TECTON Engenharia por terem me recebido

e tratado sempre tão bem, mais do que os ensinamentos de engenharia (que foram

muitos) ficarão os exemplos de honestidade, humanidade, caráter, dedicação e bom

humor.

Ao Prof. Santiago, pela grande competência, paciência e tranquilidade para me

conduzir nesse projeto, além de ser um exemplo de grande professor e pessoa.

Por último mas não menos importante (ao contrário), o agradecimento aos

meus 3 orientadores fundamentais: minha mãe, Claudia, meu pai, Gil, e meu irmão,

Daniel, que serão sempre meus guias e protetores. Como diria uma música: “They’re

all looking down on you. Inside they know what’s best for you”.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a

Problemas de Potencial e Propagação de Ondas


Março/2015

Orientador: Prof. José Antônio Fontes Santiago, D.Sc.

Curso: Engenharia Civil

Os Métodos sem Malha (MSM), recentemente pesquisados, apresentam

conceitos inovadores que permitem sua aplicação a classes de problemas resolvidos

pelos métodos tradicionais e, principalmente, a outras classes de problemas que esses

métodos têm dificuldades de simular, por sua formulação dependente de malha.

Esse projeto trata de uma introdução a um Método sem Malha específico,

estabelecendo seus conceitos fundamentais, suas limitações e campos de aplicação.

Apresenta-se o Método sem Malha obtido através da formulação forte que utiliza o

Método dos Resíduos Ponderados com funções de aproximação construídas pelo

Método dos Mínimos Quadrados Móveis. Essa formulação é aplicada para problemas de

distribuição de temperatura (Equação de Laplace), problemas de peso próprio (Equação

de Poisson) e de propagação de ondas (Equação de Helmholtz) para comparação com as

soluções analíticas.

Palavras-chave: Métodos Numéricos, Métodos sem Malha, Método da

Colocação, Mínimos Quadrados Móveis

vii

Abstract of the Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Civil Engineer.

Strong Formulation of the Meshless Method using Collocation Applied

to Potential Problems and Waves Propagation


March/2015

Advisor: José Antônio Fontes Santiago (D.Sc.)

Course: Civil Engineering

The recently researched Meshless Methods (MSM) present innovative concepts

allowing their application to problems solved by traditional methods and, especially, to

other types of problems which the latter have difficulties to simulate, due to their mesh-

dependent formulation.

This work deals with an introduction to Meshless Methods, establishing their

fundamental concepts, limitations and fields of application. The Meshless Method

obtained by means of strong formulation is presented using the Weighted Residual

Methods with approximation functions constructed by the Moving Least Squares

Method. This formulation is applied to problems of temperature distribution (Laplace’s

equation), self-weight problems (Poisson's equation) and wave’s propagation

(Helmholtz equation) in order to compare with analytical solutions.

Keywords: Numerical Methods, Meshless Methods, Collocation Method,

Moving Least Square Approximation

viii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................... 10

1.1 MOTIVAÇÃO ............................................................................................................... 10

1.2 OBJETIVOS .................................................................................................................. 11

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO .................................................................................... 11

CAPÍTULO 2 – MÉTODOS SEM MALHA (MESHLESS METHODS) ...................... 12

2.1 DEFINIÇÃO E CAMPO DE DESENVOLVIMENTO ............................................................. 12

2.2 MÉTODOS SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................... 12

2.3 EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS SEM MALHA ..................................................................... 15

2.4 FORMULAÇÕES FORTES E FRACAS ............................................................................... 16

CAPÍTULO 3 – MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO ....................................................... 18

3.1 INTERPOLAÇÃO UTILIZANDO FUNÇÕES DE BASE RADIAL (FBR) .................................... 18

3.1.1 Considerações Iniciais ....................................................................................................... 18

3.1.2 Funções de Base Radial ..................................................................................................... 18

3.1.3 Formulação da Interpolação para Função Multiquádrica ................................................. 19

3.1.4 Determinação dos Coeficientes .................................................................................. 19

3.1.5 Função de Interpolação ..................................................................................................... 20

3.1.6 Aplicação do Método ........................................................................................................ 20

3.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS (MMQM) ........................................... 23

3.2.1 Considerações Iniciais ....................................................................................................... 23

3.2.2 Formulação Básica ............................................................................................................. 23

3.2.3 Determinação da função de interpolação ......................................................................... 24

3.2.4 Função Peso ...................................................................................................................... 28

3.2.5 Aplicação do Método ........................................................................................................ 32

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS RESÍDUOS PONDERADOS EM

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ........................................................................ 36

ix

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ........................................................................................... 36

4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................ 36

4.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MRP .................................................................................... 37

4.3.1 Método da Colocação........................................................................................................ 39

4.3.2 Método de Galerkin .......................................................................................................... 41

4.3.3 Método da Subregião ou Subdomínio............................................................................... 42

CAPÍTULO 5 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ........................................................ 43

5.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS ........................................................... 43

5.1.1 Dados de Entrada .............................................................................................................. 43

5.1.2 Algoritmo ........................................................................................................................... 44

5.2 MÉTODO DA COLOCAÇÃO ........................................................................................... 45

5.2.1 Dados de Entrada .............................................................................................................. 45

5.2.2 Algoritmo ........................................................................................................................... 45

CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS ................................................................ 47

6.1 EQUAÇÃO DE LAPLACE ................................................................................................ 47

6.1.1 Aplicação 1 ........................................................................................................................ 47

6.1.2 Aplicação 2 ........................................................................................................................ 54

6.2 EQUAÇÃO DE POISSON ............................................................................................... 63

6.2.1 Aplicação 1 ........................................................................................................................ 65

6.2.2 Aplicação 2 ........................................................................................................................ 71

6.3 EQUAÇÃO DA ONDA ................................................................................................... 79

6.3.1 Frequência de 0,1 Hz ......................................................................................................... 81

6.3.2 Frequência 20 Hz ............................................................................................................... 83

6.3.3 Frequência de 50 Hz .......................................................................................................... 86

6.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ......................................................................................... 88

CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 93

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 94

10

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

O presente Projeto de Graduação é dirigido para o estudo dos relativamente

recentes Métodos sem Malha (Meshless Methods), que representam uma área ainda

bastante inexplorada, mas com grande potencial de aplicação a problemas de

engenharia.

1.1 MOTIVAÇÃO

Na engenharia civil, sobretudo na análise estrutural, a forma de modelagem de

problemas mais utilizada é a por Elementos Finitos. Desenvolvido a partir da análise

matricial de estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) apresenta maior

generalidade que o primeiro ao permitir também análise de estruturas contínuas bi e

tridimensionais. Além disso, sua metodologia herdada da análise matricial de montagem

de matrizes de rigidez e vetores de cargas nodais equivalentes facilita a implementação

computacional. Basicamente o MEF aplicado à análise estrutural parte da discretização

do meio contínuo e matrizes de interpolação para determinar deslocamentos em um

ponto interior do elemento em função dos seus deslocamentos nodais.

A análise por elementos finitos foi largamente difundida, existem inúmeros

softwares no mercado (Ansys, SAP e Abaqus para citar alguns) que utilizam este

método para os mais diversos problemas de engenharia desde estruturas mais simples,

com não linearidade física e geométrica até problemas geotécnicos, de fluxos térmico e

hidráulico.

Entretanto para análises de fenômenos de formação e propagação de

descontinuidades, por exemplo, de propagação de fissuras, BARROS (2002) ressalta

que é necessária uma série de artifícios numéricos, sobretudo a redefinição da malha,

para que as singularidades possam ser adequadamente simuladas pelo MEF. Nesse

contexto, os métodos sem malha tornam-se uma ferramenta mais adequada que os

métodos dos elementos finitos.

11

1.2 OBJETIVOS

O objetivo primário desse projeto é apresentar os conceitos básicos e definidores

dos Métodos sem Malha (MSM), estabelecendo-se comparações com os métodos mais

tradicionais. Existem várias vertentes dos MSM, porém não é objetivo do trabalho fazer

uma extensa revisão de todas as metodologias, mas sim apresentar uma visão global dos

Métodos, que permita a compreensão dos conceitos inovadores desse campo.

Para consolidar a apresentação teórica, aplicações de uma modalidade de

Métodos sem Malha a problemas clássicos de Engenharia são feitas, através de

programas desenvolvidos com o software Matlab (R2011a).

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

No capítulo 2, são apresentados a definição de um Método sem Malha, as

principais áreas de aplicação, tipos de formulação possíveis e um breve histórico dos

métodos. Além disso, são traçadas comparações entre MSM e o MEF.

O capítulo 3 contempla os métodos de interpolação, especificamente os por

Função de Base Radial (FBR) com suporte global e dos Mínimos Quadrados Móveis

(MMQM) com suporte local, ambos são utilizados como funções de aproximação sem

Malha.

No Capítulo 4, o Método dos Resíduos Ponderados em Equações Diferenciais é

descrito com especial atenção ao Método da Colocação, que será empregado na

aplicação numérica.

A implementação numérica dos Métodos da Colocação e dos Mínimos

Quadrados Móveis é feita no Capítulo 5, com a descrição dos algoritmos aplicados.

Os exemplos de aplicação numérica a Equações de Poisson, Laplace e de

propagação de ondas com o programa desenvolvido no MATLAB (R2011a) são

apresentados no Capítulo 6.

Finalmente, o capítulo 7 apresenta as conclusões e futuros caminhos de estudo.

12

CAPÍTULO 2 – MÉTODOS SEM MALHA (MESHLESS

METHODS)

2.1 DEFINIÇÃO E CAMPO DE DESENVOLVIMENTO

Segundo DUARTE (1995), Métodos sem Malha são métodos numéricos para

solução de problemas de valor de contorno, PVC, cujas equações básicas de governo do

modelo discreto independem da definição de uma malha.

O principal campo de utilização dos Meshfree Methods é nas simulações de

processos de extrusão e moldagem, análises de formação e propagação de

descontinuidades, as chamadas Mecânica do Dano Contínuo (MDC) e Mecânica da

Fratura, problemas de grandes deformações e de contornos variáveis. Por construírem

aproximações apenas em termos dos nós, os métodos sem Malha são ideais para essa

classe de fenômenos (BELYTSCHKO et al, 1996).

2.2 MÉTODOS SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS

A definição dos Métodos sem Malha evidencia a principal diferença para o

Método dos Elementos Finitos. Para o último é fundamental a definição da malha de

elementos e pontos e o estabelecimento das conectividades entre os mesmos.

Ao contrário dos Métodos sem Malha, a utilização dos Métodos dos Elementos

Finitos para os problemas citados anteriormente exige a redefinição da malha a cada

evolução do problema de forma a coincidir com as descontinuidades ou contornos, isso

pode gerar a degradação da precisão dos resultados além de dificultar a implementação

computacional e tornar o processo como um todo mais lento (BELYTSCHKO et al,

1996).

Outra limitação do Método dos Elementos Finitos (LIU, 2010) reside no fato que

o lançamento de uma boa malha é um pré-requisito do método e esse é um processo que

depende basicamente do usuário, sua automação é algo complicado de realizar.

Ao construir aproximações dependentes apenas de pontos, os Meshless Methods

contornam grande parte dos problemas descritos no parágrafo anterior. Entretanto,

13

BELYTSCHKO et al.(1996) ressalta que em vários dos Métodos Sem Malha, algumas

etapas necessitam da definição de uma malha, sobretudo na fase de integração no

domínio do problema em formulações enfraquecidas. Deve ser observado que as malhas

passam a desempenhar um papel coadjuvante, a qualidade delas não é fundamental para

a solução. Nesse contexto, LIU (2010) define informalmente Meshfree Methods como

métodos em que malhas podem ser geradas automaticamente, não têm importância vital

para a solução e as operações numéricas (integração, interpolação etc) não dependem do

estabelecimento de elementos como no MEF.

A primeira vista parece ser então mais vantajoso utilizar amplamente os

Métodos sem Malha, já que apresentam maior versatilidade, entretanto estes ainda não

apresentam um nível de desenvolvimento/estudo comparável ao MEF e, portanto, são

mais lentos e menos robustos, o que ainda não compensa totalmente seu uso. Dessa

forma, a técnica mais vantajosa é acoplar os dois métodos no mesmo problema,

utilizando o Meshless apenas nos sub-domínios em que são esperados problemas de

descontinuidades (BELYTSCHKO et al., 1996).

Existe ainda o chamado Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG),

que pode ser considerado um meio termo entre o MEF e os Métodos Sem Malha, pois

emprega estratégias do último dentro de uma estrutura típica do primeiro mas

minimizando a importância da malha. Como referência podemos citar BARROS (2002)

que apresenta a formulação do MEFG e o aplica a problemas de mecânica do dano

contínuo.

O fluxograma abaixo (figura 2-1) traduzido de LIU (2010) resume as principais

diferenças entre as duas abordagens para formulações enfraquecidas de problemas da

mecânica dos sólidos.

14

Figura 2-1 Fluxograma MEF e Meshless

Aspectos relevantes em relação às funções de forma e aos métodos de integração

das duas abordagens podem ser apontados:

Quanto às funções de forma

No Método dos Elementos Finitos, as funções de forma dependem do tipo de

elemento adotado. Existe uma biblioteca de elementos consagrados já com funções de

forma definidas, por exemplo, Elementos CST, Isoparamétricos, Elementos da Família

Serendipity, da Família de Lagrange. Cabe ao usuário identificar qual tipo de elemento

melhor simulará a estrutura a ser analisada. Para os Métodos sem Malha, as funções de

forma variam de acordo com a localização do ponto e dependem dos pontos vizinhos a

15

ele, conhecidos como suporte local. Essa característica confere grande flexibilidade à

construção de funções de forma nos processos sem Malha.

Quanto à integração no domínio do problema

No MEF, a forma de integração é bem estabelecida e confiável, a integral é feita

por métodos numéricos, principalmente pela Quadratura Gaussiana, em cada elemento,

e a soma delas fornece a integral em todo o domínio. Já nos Métodos sem Malha, a

integração exige maiores cuidados e geralmente recorre-se a criação de background

cells, uma espécie de malha. Formas de definição dessa malha variam de acordo com o

método.

Para a grande maioria dos pesquisadores que trabalham nesta área, o verdadeiro

Método sem Malha é aquele que não utiliza nenhum tipo de elementos com suas

conectividades e muito menos células, dividindo toda a região, para a integração

numérica.

2.3 EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS SEM MALHA

Os Métodos sem Malha surgiram na década de 70, entretanto até 1990 não houve

grande interesse em pesquisas para seu desenvolvimento. O ponto de partida para o

Método foi o Smooth Particle Hydrodinamics (SPH), apresentado por LUCY (1977) e

utilizado na modelagem de fenômenos astrofísicos sem contornos como explosões de

estrelas e nuvens de poeira. Somente na década de 90 surgiu uma nova vertente para a

elaboração dos Meshfree Methods, que utilizava o Moving Least Square Approximation

(MLS) ou Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM). Originalmente, o

MMQM foi proposto por matemáticos (LANCASTER e SALKAUSKAS 1981) para

ajuste de curvas e superfícies.

NAYROLES et al.(1992) foram os primeiros a utilizar o MLS no chamado

Método dos Elementos Difusos (Diffuse Element Method). Posteriormente,

BELYTSCHKO et al. (1994) modificou o método, o que deu origem ao método

Element-free Galerkin (EFG). BABUSKA e MELENK (1995) e LIU et al.(1996) foram

os primeiros a provar a convergência dos métodos. Estudos mais recentes focam na

16

integração numérica aplicada nos Meshless Methods, como os de BABUSKA et al.

(2009), KHOSRAVIFARD e HEMATIYAN(2010) e RACZ e BUI(2012).

Abordagens sem malha voltadas para resolução de Equações Diferenciais

Parciais, que são o foco desse trabalho, tiveram seus primeiros registros em HARDY

(1971), com o uso de Funções de Base Radial para interpolação e em KANSA (1990),

com a aplicação em equações diferenciais.

2.4 FORMULAÇÕES FORTES E FRACAS

Duas abordagens podem ser utilizadas para a resolução de um problema de

engenharia governado por uma Equação Diferencial Parcial (EDP), a formulação forte e

a formulação fraca.

Na primeira, o objeto de estudo é diretamente a EDP, isto é, a partir da

discretização do fenômeno são aplicados métodos para resolução da Equação

governante. Essa formulação será aplicada nos problemas apresentados nesse trabalho.

Nas formulações fracas, primeiro é estabelecida uma forma alternativa de equações que

governam o fenômeno e essas equações são resolvidas. Em geral, as equações

“enfraquecidas” são da forma integral, ou seja, a resolução avalia o comportamento

global do sistema e busca a solução que melhor balanceia esse comportamento (LIU

2010).

A abordagem por energia é um exemplo de formulação variacional, considerada

como fraca por alguns pesquisadores, por exemplo em LIU (2010). Nela calcula-se a

Energia Potencial Total do sistema e aplica-se o princípio da Energia Potencial Total

Estacionária para determinar o campo de deslocamentos que extremiza a Energia Total.

A avaliação por energia exige apenas a existência de derivadas primeiras das tensões e

deformações, uma condição que justificaria sua eventual classificação como formulação

fraca.

Sobre as duas abordagens, LIU (2010) afirma que formulações enfraquecidas são

mais confiáveis, estáveis, robustas, eficientes e precisas.

17

O método dos Elementos Finitos possui formulação enfraquecida, já os Métodos

sem Malha podem ser formulados das duas formas.

Os principais Métodos sem Malha com Formulação Enfraquecida são:

Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) – LUCY (1977) e MONAGHAN

(1982): utiliza aproximação por partículas e funções de Kernel para

aproximar parâmetros físicos

Diffuse Element Method (DEM) – NAYROLES et al.(1992): utiliza

funções de forma construídas pelo Método dos Mínimos Quadrados

Móveis e formulação de Galerkin

Element-free Galerkin (EFG) – BELYTSCHKO et al. (1994): semelhante

ao DEM, apresenta algumas modificações como utilização de mais

pontos de integração e consideração mais precisa das derivadas das

funções de aproximação

Partition of Unity Methods – BABUSKA e MELENK (1995)

Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) – SLADEK et al. (2013)

Podemos citar como Métodos sem Malha com Formulação Forte:

Finite Point Method – ONATE et al.(1996): gera funções pelo Moving

Least Square Approximation e utiliza o método da Colocação

Stabilized local collocation method – LIU e KEE (2006), KEE et

al.(2007)

Método das Nuvens hp – DUARTE e ODEN (1995): utiliza funções de

forma construídas a partir de Partições da Unidade. Pode ter também uma

formulação enfraquecida.

A parte dos métodos já conhecidos e bem estabelecidos, qualquer método que se

proponha a analisar um fenômeno sem depender fundamentalmente do estabelecimento

de elementos (grid), mas apenas em termos de pontos é considerado um Método sem

Malha.

18

CAPÍTULO 3 – MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra

função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça

algumas propriedades (RUGGIERO e LOPES, 1996). Para fazer essa aproximação são

conhecidos os valores de f(x) para N pontos distintos x1, ..., xN e a função g(x) deve

atender a g(xi) = f(xi) para i = 1, ..., N.

Existem diversos meios de interpolar curvas e superfícies, nesse trabalho nos

interessam os métodos empregados por formulações sem Malha.

3.1 INTERPOLAÇÃO UTILIZANDO FUNÇÕES DE BASE

RADIAL (FBR)

3.1.1 Considerações Iniciais

O primeiro trabalho de pesquisa usando Funções de Base Radial para métodos de

interpolação foi o de HARDY (1971), que desenvolveu o método para aproximação de

superfícies geográficas. MICCHELLI (1986) mostrou que a interpolação por FBR

sempre resulta em um sistema que pode ser resolvido. Posteriormente, KANSA (1990)

aplicou com sucesso o método a equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas

e elípticas.

3.1.2 Funções de Base Radial

Funções de Base Radial podem ser definidas como funções que apresentam

simetria radial, isto é, dependem apenas da distância de um ponto genérico x ao centro

da função xj. Essas funções podem ter suporte global (definidas em todo o domínio) ou

local (compactas).

Alguns exemplos de funções de base radial são:

Multiquádrica - , sendo c uma constante

Multiquádrica Recíproca –

, sendo c uma

19

constante

Gaussiana – , sendo c uma constante

3.1.3 Formulação da Interpolação para Função

Multiquádrica

Considera-se uma função aproximadora de f(x) da seguinte forma:

(3.1)

Onde N é o número de pontos xj distribuídos no domínio e contorno cujos

valores de f(xj) são conhecidos.

é a função de base radial utilizada (multiquádrica):

A constante c deve atender:

são os coeficientes a determinar que combinam as funções de base radial

3.1.4 Determinação dos Coeficientes

Será adotado um suporte global, isto é, serão considerados todos os N pontos sob

influência do ponto de interesse xi. Deve-se verificar para interpolação:

(3.2)

Para i=1, ..., N

Sendo os valores conhecidos da função nos pontos .

20

Expandindo em matrizes a equação 3.2, tem-se então um sistema linear para

determinar :

3.1.5 Função de Interpolação

A função aproximada em 3.1 pode ser reescrita da seguinte forma:

(3.3a)

Sendo a função de interpolação:

A equação (3.3a) escrita matricialmente é da forma:

(3.3b)

3.1.6 Aplicação do Método

A seguir é apresentado um exemplo de aplicação do método:

A função a ser interpolada é:

para

Obtém-se as seguintes aproximações, para as quantidades N de pontos

igualmente espaçados:

21

N=5

Figura 3-1 Interpolação por FBR N=5

N=10


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)

Interpolação com FBR N=5

Pontos Considerados

Função Aproximada

Função Exata

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)


Pontos Considerados

Função Aproximada

Função Exata

22

N=20


N=40


Claramente, com o aumento da quantidade de pontos a função de aproximação se

aproxima da solução exata.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)


Pontos Considerados

Solução Aproximada

Solução Exata

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)


Pontos Considerados

Função Aproximada

Função Exata

23

3.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS

(MMQM)

3.2.1 Considerações Iniciais

O Método dos Mínimos Quadrados Móveis é uma variação do bastante

conhecido método dos Mínimos Quadrados (RIVLIN, 1969). A grande diferença entre

os dois reside na utilização de uma função peso no MQM que acompanha o ponto a ser

aproximado.

Figura 3-5 Função Peso para cada Ponto

Para a implementação computacional desse projeto, empregou-se para construção

das funções de aproximação o Método dos Mínimos Quadrados Móveis, além disso,

diversos Métodos sem Malha utilizam essa formulação para as funções de forma.

3.2.2 Formulação Básica

Uma determinada função u(x), com valores conhecidos em determinados pontos

do domínio (xj, u(xj)) é aproximada pela função aproximada , dada conforme

abaixo:

24

(3.4a)

Ou na forma matricial:

(3.4b)

Onde pi(x) corresponde a uma base completa de m monômios e ai(x) são os

coeficientes a determinar que combinam os monômios. Alguns exemplos de bases de

monômios são:

Base linear unidimensional: pT

= (1,x) m=2

Base linear bidimensional: pT

= (1,x,y) m=3

Base quadrática unidimensional: pT

= (1,x,x²) m=3

Base quadrática bidimensional: pT

= (1,x,y,x²,xy,y²) m=6

Para casos bidimensionais a fórmula abaixo pode ser utilizada para determinar o

número de termos da base de monômios:

Sendo

mb = 1 para base linear

mb = 2 para base quadrática

mb = 3 para base cúbica e assim sucessivamente

3.2.3 Determinação da função de interpolação

Para o suporte local de x, isto é, o subdomínio onde é interpolado a partir

dos pontos conhecidos xj, podemos reescrever a função aproximada como

no ponto x com a contribuição dos monômios aplicados em xj :

25

(3.5)

Adota-se um raio do suporte Rj para o estabelecimento do suporte local de cada

ponto x. Esse raio deve garantir no mínimo um número de pontos n(x), tal que n(x) ≥

m dentro do suporte.

Figura 3-6 Suporte local para um ponto genérico (x,y)

Uma função J(x) de resíduo quadrático ponderado pode ser construída usando os

valores aproximados :

(3.6)

26

Sendo:

n a quantidade de pontos no suporte local de x

a função peso

o valor conhecido de u(x) no ponto xj

Substituindo a expressão 3.5 de na fórmula 3.6 do Resíduo:

(3.7)

Matricialmente J(x) pode ser escrito conforme abaixo:

(3.8)

Onde:

(n x m)

Matriz Diagonal (n x n)

Matriz Coluna (n x 1)

Matriz Coluna (m x 1)

O valor de a(x) será aquele que minimizar J(x):

27

Derivando a expressão 3.8 e igualando a zero, chega-se a:

(3.9)

(3.10)

Fazendo os produtos de matrizes em 3.10, tem-se:

(3.11)

Sendo:

Matriz (m x n)

Matriz Simétrica (m x m)

Finalmente a(x) é obtido de 3.11:

(3.12)

Retornando à expressão inicial 3.4b de :

(3.13)

A função de interpolação pode ser definida como:

(3.14)

Sendo Matriz Linha (1 x n)

Substituindo 3.14 na expressão 3.13, a função aproximada terá a seguinte forma:

28

(3.15a)

ou algebricamente:

(3.15b)

O cálculo da inversa de A(x) para cada ponto analisado é uma das etapas mais

custosas computacionalmente do método e está diretamente ligada à escolha do raio do

suporte Rj. A condição de n(x) ≥ m é necessária, mas não suficiente para a existência de

A-1

(x) (DUARTE 1996). Por outro lado, raios muito elevados podem levar a perda de

localidade da aproximação. Essas restrições afetam a liberdade de definição da

distribuição nodal.

Uma alternativa para o enriquecimento da aproximação é a introdução de novos

termos de graus mais elevados na base de monômios, o que pode levar a matrizes A de

elevada ordem, representando outra possível dificuldade computacional (BARROS

2002).

3.2.4 Função Peso

A escolha da função peso (w) é um dos fatores mais importantes para a

qualidade da aproximação pelo Moving Least Square, pois é o que garante a localidade

do suporte e a compatibilidade das funções de forma do método. Em FERREIRA

(2003) um exemplo simples, reproduzido a seguir, ratifica essa afirmação. Para

aproximar o valor de ln(10) foram utilizadas duas funções peso diferentes e mantendo-

se os demais parâmetros iguais, a saber, mesma base de monômios (linear) e mesma

quantidade de pontos de amostragem (0, 0.01, 1, 2, 3, ...19, 20). No primeiro caso, a

função peso adotada foi uma função constante, ao passo que no segundo, foi adotada

uma função peso nula em todos os pontos exceto para valores de x entre 7 e 11.

Nos gráficos a seguir, as curvas em azul são as funções a serem aproximadas,

com os pontos conhecidos marcados, as curvas em rosa são as funções peso e em

vermelho são os polinômios de 1º grau calculados pela aproximação.

29

Figura 3-7 Gráficos de aproximação para Funções Peso distintas (Ferreira(2003))

A primeira função peso tratou indiscriminadamente pontos próximos de x=10 e

pontos distantes na minimização do erro; já a segunda função considerou apenas os

pontos mais próximos de x=10 ao ser nula fora das proximidades dele. Como

consequência disso, os resultados ficaram muito mais próximos do correto na segunda

situação.

Genericamente, a função peso deve possuir um formato de “sino”, isto é, deve

possuir um valor máximo no centro e um decaimento rápido. Se ,

então a interpolação dos pontos de amostragem é alcançada (FERREIRA, 2003). Como

as funções peso em geral não atendem a essa última condição, o MMQM aproxima os

pontos da amostragem, ainda assim o método é frequentemente referido como uma

interpolação. LANCASTER e SALKAUSKAS (1981) propõem a introdução de

singularidades nas funções peso para garantir a condição de interpolação.

Para ser válida, a função peso deve atender às seguintes exigências

(MONAGHAN, 1982):

(Positividade) dentro do domínio Ω

fora do domínio Ω

deve ser um função monótona decrescente, a partir do

centro.

30

quando

Existem inúmeras funções que atendem às condições descritas acima. Serão

apresentadas a seguir três das funções mais utilizadas.

Função Gaussiana Simples

Tem a seguinte fórmula geral para o caso bidimensional:

Onde é a amplitude

e são constantes

A função para , considerando y=cte=0 e centrada em xj=5, está

representada graficamente na figura 3-8.

Figura 3-8 Função Gaussiana Simples

Função Gaussiana com Raio

Tem a seguinte fórmula geral:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

w(x

)

Função Gaussiana Simples y=0 0<x<10

31

Sendo P o ponto em estudo,

Pj o centro do suporte

a distância euclidiana entre os dois pontos

Rj é o raio adotado para o suporte

c uma constante arbitrária

A função com variáveis (x,y) para , Rj=5 considerando y=cte=0 e

centrada em xj=5 está representada na figura 3-9.

Figura 3-9 Função Gaussiana com Raio

Função Spline

Tem a seguinte fórmula geral:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

w(x

)

Função Gaussiana com Raio=5 y=0 0<x<10

32

A função com variáveis (x,y) para Rj=5 considerando y=cte=0 e centrada em xj=5

está representada na figura 3-10.

Figura 3-10 Função Spline

3.2.5 Aplicação do Método

Como exemplo, a mesma função utilizada no exemplo para interpolação por FBR

é analisada pelo MMQM:

para

A função Gaussiana Simples é utilizada como função peso, definida conforme

anteriormente.

Obtém-se as seguintes aproximações, para as quantidades N de pontos

igualmente espaçados no intervalo em estudo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

w(x

)

Função Spline com Raio=5 y=0 0<x<10

33

N= 5

Figura 3-11 Aproximação pelo MMQM para N=5

N=10


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)

MMQM N=5

pontos considerados

Solução Exata


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)

MMQM N=10

Pontos considerados

Solução Exata


34

N=20


N=40


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)

MMQM N=20

Pontos considerados

Solução Exata


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

f(x)

MMQM N=40

Pontos considerados

Solução Exata


35

Figura 3-15 Erro Relativo da Aproximação para N=40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x

Err

o

Erro Relativo MMQM N=40

36

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS

RESÍDUOS PONDERADOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

PARCIAIS

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

O Método dos Resíduos Ponderados (MRP) é uma ferramenta numérica para

resolução de equações diferenciais parciais que pode ser utilizado para resoluções de

problemas com formulação forte ou fraca. O método consiste em aproximar a solução

de uma EDP por combinações de funções conhecidas com coeficientes a determinar

(LEMOS, 2007).

A substituição da aproximação na EDP gera um resíduo, a partir da distribuição

desse resíduo nos domínio e contorno do sistema é possível determinar os coeficientes

da solução aproximada. LEMOS (2007) resume o método em três etapas fundamentais:

1. Escolha da função tentativa (função de aproximação)

2. Escolha de um critério de ponderação para o cálculo da média ponderada

do resíduo

3. Obtenção da solução aproximada

O mesmo trabalho ressalta que a seleção da função tentativa depende da intuição

e da experiência do usuário, o que representa a maior limitação do método.

Antes de proceder à formulação do Método dos Resíduos Ponderados, será feita

uma breve revisão da classificação das Equações Diferenciais.

4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

As equações diferenciais podem ser classificadas como ordinárias ou parciais: a

primeira envolve apenas derivadas de uma função de uma só variável já a segunda

envolve derivadas parciais de funções de mais de uma variável.

37

Uma equação diferencial parcial (EDP) de 2ª ordem com duas variáveis

independentes x,y tem a seguinte fórmula geral, utilizando notação indicial para as

derivadas:

Onde a, b, c, d, e, f, g são constantes ou funções das variáveis independentes e

u(x,y) é também função das variáveis independentes

Os coeficientes a, b e c devem atender:

Para coeficientes a, b e c constantes, as EDPs podem ser classificadas conforme

abaixo:

Hiperbólicas: se - Ex: Equação da Onda

Parabólicas: se - Ex: Equação de Fourier

Elípticas se: - Ex: Equação de Laplace/Equação de Poisson

4.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MRP

Dada uma equação diferencial, aplicada em um domínio Ω e contorno Γ:

Figura 4-1 Domínio e Contornos do Problema

38

Sendo um operador diferencial

u(x) e g(x) funções da variável independente x

No contorno (Γ= Γd Γn ), temos as seguinte condições:

Dirichlet em Γd (essenciais ou diretas)

Neumann em Γn (naturais)

A solução aproximada é da forma:

(4.1)

Sendo , k=1,2,...N os pontos da colocação

e a função de interpolação que dependerá do Método sem malha

aplicado

A função resíduo no domínio e no contorno surgirá da aplicação da

equação diferencial e das condições de contorno na solução aproximada.

No domínio:

(4.2a)

No contorno:

(4.2b)

(4.2c)

39

No domínio, substituindo 4.1 em 4.2a:

Uma função de ponderação w(x) pode ser definida para distribuir o resíduo:

Sendo coeficientes arbitrários

funções linearmente independentes e

N o número de equações obtidas nos pontos do domínio

Os resíduos ponderados serão:

(4.3)

Os resíduos podem ser tratados de diferentes formas de acordo com o método

utilizado: método da Penalidade, Multiplicadores de Lagrange, Método da Colocação,

Método de Galerkin ou Método de Subregião. Trataremos a seguir apenas dos três

últimos citados, mas com atenção especial ao Método da Colocação.

4.3.1 Método da Colocação

Nesse caso, a função escolhida para ponderar o resíduo obriga que este seja nulo

nos pontos escolhidos do domínio (pontos da colocação), ou seja, a equação diferencial

é atendida nesses pontos. Além disso, opta-se por garantir o atendimento às condições

de contorno. A imposição dessas condições leva a um sistema linear para determinação

dos coeficientes que fazem parte da solução aproximada do problema.

40

No contorno o resíduo será nulo, portanto o resíduo total em 4.3 será apenas o do

domínio (4.2a):

A função escolhida para ponderar a distribuição do resíduo é a seguinte:

(4.4)

Sendo constantes arbitrárias e

funções Delta de Dirac

A função Delta de Dirac tem as seguintes propriedades:

para x≠ xi

para x= xi

O produto interno do Resíduo e da Função de Ponderação, isto é, a média

ponderada do Resíduo, deve ser nulo:

(4.5)

Substituindo as expressões 4.2a e 4.4 em 4.5:

(4.6)

41

Aplicando a terceira propriedade da função Delta de Dirac, o resultado será:

(4.7)

Para a equação 4.7 temos a solução trivial ( ) ou:

(4.8)

Para i=1, ..., N

Introduzindo nesse sistema de equações (4.8) também as condições de contorno,

o sistema pode ser resolvido e assim os valores de são determinados. Em resumo, a

solução aproximada atende às condições de contorno e à equação diferencial nos pontos

da colocação.

É importante notar que a função de ponderação escolhida eliminou a necessidade

de integração do Método.

4.3.2 Método de Galerkin

No Método de Galerkin, utilizam-se as próprias funções de interpolação como

função de ponderação:

Nesse caso é necessário resolver a integral de forma numérica.

42

4.3.3 Método da Subregião ou Subdomínio

Nesse método as funções ponderadoras são a unidade, , o que equivale

a exigir que a integral do resíduo seja nula em determinados intervalos do domínio:

Para i=1, ..., N

Semelhante ao método de Galerkin, é necessário resolver a integral.

43

CAPÍTULO 5 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Os métodos dos Mínimos Quadrados Móveis e da Colocação foram programados

utilizando o MATLAB (R2011a) para funções de duas variáveis. Os algoritmos

aplicados para o desenvolvimento desses programas são apresentados a seguir.

5.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS

5.1.1 Dados de Entrada

O programa recebe como dados de entrada:

Coordenadas dos pontos conhecidos, na forma X = [ x1 y1 ; x2 y2; ... ; xN

yN ], matriz (N x 2)

Coordenadas dos pontos que se deseja aproximar o valor da função, na

forma Z = [ x’1 y’1 ; x’2 y’2; ... ; x’v y’v ], matriz (v x 2)

Base de Monômios escolhida (1- Base Linear / 2- Base Quadrática)

44

5.1.2 Algoritmo

LER NÚMERO DE LINHAS DAS MATRIZES X e Z

INICIALIZAR O PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA MENOR DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:

DEFINIR VARIAVEL distanciamínima = 1

PARA avanço = 1,..., v FAZER:

CALCULAR DISTANCIA ENTRE (x1,y1) E ( x’avanço, y’avanço ) =

SE DISTANCIA< distanciaminima:

distanciaminima=DISTANCIA

FIM DO PARA avanço = 1,..., v FAZER

FIM DO CALCULO DA MENOR DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA FUNÇÃO APROXIMADA NO PONTO (x’I, y’I):

PARA I = 1, ..., v FAZER:

DEFINIR VARIÁVEL RAIO=distanciaminima

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA VERIFICAÇÃO DO RAIO:

SE QUANTIDADE DE PONTOS DENTRO DO SUPORTE DE (x’I, y’I) FOR MENOR QUE O NÚMERO MÍNIMO DE

PONTOS DE ACORDO COM A BASE (3 PARA BASE LINEAR E 6 PARA BASE QUADRÁTICA):

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.X E REFAZER O PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

FIM DO PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

INICIALIZAR PROCESSO DE MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u:

PARA i=1,..., N FAZER:

SE DISTANCIA ENTRE (x’I, y’I) E (xi, yi) FOR MENOR QUE RAIO:

ADICIONAR ELEMENTOS NAS MATRIZES W, P, u RELACIONADOS A (xi, yi)

FIM DO PARA i=1,..., N

FIM DO PROCESSO DE MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u

CALCULAR A=PT*W*P

SE A NÃO FOR INVERTIVEL:

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.05 E REFAZER LAÇO PARA i=1,..., N FAZER - MONTAGEM DE W, P, u

CALCULAR B

MONTAR p MATRIZ LINHA DE MONÔMIOS APLICADOS NO PONTO (x’I, y’I):

CALCULAR VALOR DA FUNÇÃO APROXIMADA=p*A-1*B*u

IMPRIMIR O VALOR DA FUNÇÃO APROXIMADA

FIM DO PARA I = 1, ..., v FAZER

FIM DO PROCESSO ITERATIVO DE CÁLCULO DA FUNÇÃO APROXIMADA NO PONTO (x’I, y’I)

FIM

45

5.2 MÉTODO DA COLOCAÇÃO

5.2.1 Dados de Entrada

O programa recebe como dados de entrada:

Coordenadas dos pontos da colocação, da forma X = [ x1 y1 ; x2 y2; ... ; xN

yN ], matriz Nx2

Base de Monômios escolhida (1- Base Linear/ 2- Base Quadrática)

5.2.2 Algoritmo

O algoritmo está reproduzido na página seguinte.

46

LER NÚMERO DE LINHAS (N) DA MATRIZ X

INICIALIZAR O PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA MENOR DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:

distanciamínima = 1

PARA avanço = 1,..., N FAZER

CALCULAR DISTANCIA ENTRE (x1,y1) E ( xavanço, yavanço ) =

SE DISTANCIA< distanciaminima:

distanciaminima=DISTANCIA

FIM DO PARA avanço = 1,..., N

FIM DO CALCULO DA MENOR DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS.

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA MONTAGEM DAS MATRIZES R E Y QUE FORMARÃO O SISTEMA DE EQUAÇÕES:

INICIALIZAR MATRIZES R e Y

PARA I = 1, ..., N FAZER:

INICIALIZAR MATRIZ W, P, A, B, u

DEFINIR VARIÁVEL RAIO=distanciaminima

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA VERIFICAÇÃO DO RAIO:

SE QUANTIDADE DE PONTOS DENTRO DO SUPORTE DE (xI, yI) FOR MENOR QUE O NÚMERO MÍNIMO DE PONTOS

DE ACORDO COM A BASE (3 PARA BASE LINEAR E 6 PARA BASE QUADRÁTICA):

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.X E REFAZER O PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

FIM DO PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u:

PARA i=1,..., N FAZER:

SE DISTANCIA ENTRE (xI, yI) E (xi, yi) FOR MENOR QUE RAIO:

ADICIONAR ELEMENTOS NAS MATRIZES W, P, u RELACIONADOS A (xi, yi)

CALCULAR DERIVADAS DE W

FIM DO PARA i=1,..., N MATRIZES W E SUAS DERIVADAS, P, u MONTADAS

CALCULAR A=PT*W*P

SE A NÃO FOR INVERTIVEL:

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.05 E REFAZER LAÇO PARA i=1,..., N FAZER - MONTAGEM DE W, P, u

CALCULAR B

MONTAR p MATRIZ LINHA DE MONÔMIOS APLICADOS NO PONTO (xI, yI)

SE PONTO (xI, yI) ESTIVER NO CONTORNO:

MONTAR PRODUTO=p*A-1*B E ARMAZENÁ-LO NA LINHA I DA MATRIZ R

ARMAZENAR VALOR DE CONTORNO NA LINHA I NA MATRIZ Y

SE NÃO:

APLICAR FUNÇÃO APROXIMADA NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL E ARMAZENAR NA LINHA I DA MATRIZ R

ARMAZENAR 0 NA LINHA I NA MATRIZ Y

FIM DO PARA I = 1, ..., N FAZER

FIM DO PROCESSO ITERATIVO PARA MONTAGEM DAS MATRIZES R E Y

RESOLVER O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

IMPRIMIR k

FIM

47

CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS

Para as aplicações numéricas desse projeto foi utilizado um Método sem Malha

baseado na formulação do Método da Colocação utilizando o Método dos Mínimos

Quadrados Móveis para as funções de aproximação.

6.1 EQUAÇÃO DE LAPLACE

A equação de Laplace governa diversos problemas: distribuição de temperatura,

potencial (eletromagnético, gravitacional), torção em barras etc. Pode ser escrita da

seguinte forma para duas variáveis:

Duas aplicações para a equação de distribuição de temperatura são consideradas:

Em uma chapa quadrada com dois lados com temperaturas constantes e

demais lados isolados (Aplicação 1)

Em uma chapa quadrada com um dos lados com distribuição senoidal de

temperatura e demais lados isolados (Aplicação 2)

A influência do refinamento dos pontos considerados na distribuição de

temperatura será verificada, plotando as soluções exatas e aproximadas e os erros

absolutos da aproximação.

6.1.1 Aplicação 1

É considerada uma chapa quadrada de lado medindo 5m, conforme figura 6-1,

submetida às seguintes condições de contorno:

48

Figura 6-1 Geometria e Condições de Contorno do Problema

A solução exata é uma variação linear de temperatura de 100 (y=6) a 10 (y=1),

independente da variável x, representada graficamente na figura 6-2:

Figura 6-2 Solução Exata

12

34

56

12

34

5

60

20

40

60

80

100

x

Gráfico da Solução Exata

y

u(x

,y)

49

Através do Método da Colocação a função de interpolação é obtida, depois com

essa função aproxima-se o valor da função exata, avaliando essa aproximação para

x=cte= 3,5.

Em todas as simulações são aplicadas a base quadrática de monômios e a função

Gaussiana com Raio (c=100) como Função Ponderadora.

9 pontos

A distribuição de pontos de colocação, conforme figura 6-3, foi de 8 pontos nos

contornos e 1 ponto no domínio.

Figura 6-3 Distribuição de 9 Pontos

O número de pontos para formação dos suportes locais foi 9.

A distribuição de temperatura para x=3,5 é apresentada na figura 6-4.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 61

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)

Distribuição dos Pontos

50

Figura 6-4 Aproximação para 9 Pontos

A seguir, a figura 6-5 apresenta os erros absolutos: .

Figura 6-5 Erro Absoluto para 9 Pontos

Máximo Erro Absoluto = 1,73 x 10-8

Menor Raio do Suporte = 2,85

16 Pontos

A distribuição de pontos de colocação, conforme figura 6-6, foi de 12 pontos nos

contornos e 4 pontos no domínio.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 610

20

30

40

50

60

70

80

90

100

y(m)

T(°

C)

Distribuição de Temperatura N=9


Solução Exata

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-8

y(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

51


O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 8 a 11.



A seguir, a figura 6-8 apresenta os erros absolutos: .

Máximo Erro Absoluto = 5,41x10-9


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 61

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x(m)

y(m

)


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

y(m)

T(°

C)



Solução Exata

52


25 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-9, foi de 20 pontos nos contornos e 5

pontos no domínio.




1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

1

2

3

4

5

6x 10

-9

y(m)

Err

o(°

C)

Erro Absoluto

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 61

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x(m)

y(m

)


53


A seguir são apresentados os erros absolutos (figura 6-11) e relativos (figura 6-

12).




1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

y(m)

T(°

C)



Solução Exata

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-9

y(m)

Err

o(°

C)

Erro Absoluto

54

Figura 6-12 Erro Relativo para 25 Pontos

6.1.2 Aplicação 2

Nesse caso, é analisada uma chapa quadrada de lado medindo 6m, submetido às

seguintes condições de contorno:

A solução exata é da forma:

Sendo A(n):

Alternativamente:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-11

y(m)

Err

o

Erro Relativo

55

Para n=1, 2, 3, ...

O gráfico da solução exata é apresentado na figura 6-13:

Figura 6-13 Solução Exata

Deve ser observado que as condições de contornos possuem uma

descontinuidade no ponto (6,6), dessa forma a solução analítica apresenta leve

descontinuidade da derivada no gráfico próximo ao ponto referido. Em comparação a

solução analítica, a solução aproximada sempre traça a curva mais suave, como ficará

mais claro a seguir.

Será estudado como a solução se comporta para uma distribuição uniforme de

625 pontos (25x25), ver figura 6-14 com o sentido de numeração dos pontos, e para os

pontos localizados nos eixos y=3 e x=6. A influência do aumento da quantidade de

pontos considerados na precisão da solução também é verificada.

01

23

45

6

0

2

4

6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x(m)

Gráfico de u(x,y)

y(m)

u(°

C)

56

Figura 6-14 Numeração dos Pontos

Através do Método da Colocação, a solução aproximada é obtida e depois

aplicada nos 625 pontos. A soma dos erros absolutos dos pontos é um indicativo da

qualidade da aproximação.

Em todas as simulações, utiliza-se a função Gaussiana com Raio como Função

Ponderadora e o parâmetro c=r/2, sendo r o raio do suporte.

168 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-15, foi de 48 pontos nos contornos e

120 pontos no domínio.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)

25 x 25 = 625 Pontos

1

25 625

57


A figura 6-16 apresenta o gráfico de erros absolutos da aproximação em cada

ponto.


As aproximações para x=6m e y=3m são apresentadas nas figuras 6-17 e 6-18,

respectivamente.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


0 100 200 300 400 500 600 7000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Pontos

Err

o(°

C)

Erro Absoluto

58



Soma dos Erros Absolutos = 7,67



0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y(m)

u(°

C)

Distribuição de Temperatura em x=6


Solução Exata

0 1 2 3 4 5 6-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

x(m)

u(°

C)

Distribuição de Temperatura em y=3


Solução Exata

59

255 Pontos





ponto.


0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


0 100 200 300 400 500 600 7000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Pontos

Err

o(°

C)

Erro Absoluto

60


respectivamente.






0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y(m)

u(°

C)



Solução Exata

0 1 2 3 4 5 6-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

x(m)

u(°

C)



Solução Exata

61

440 Pontos




A seguir, são apresentados os gráficos de erros absolutos (figura 6-24) e relativos

(figura 6-25) da aproximação em cada ponto.


0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


0 100 200 300 400 500 600 7000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

Pontos

Err

o(°

C)

Erro Absoluto

62



respectivamente.


0 100 200 300 400 500 600 7000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

Pontos

Err

o

Erro Relativo

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y(m)

u(°

C)



Solução Exata

63





6.2 EQUAÇÃO DE POISSON

A equação de Poisson para duas variáveis tem a seguinte forma:

Neste item, aplicações da Equação de Poisson para o caso de uma barra

engastada e livre, conforme figura 6-28, submetida ao seu peso próprio são

contempladas. A equação diferencial e as condições de contorno que governam esse

problema são as seguintes:

(força aplicada na extremidade na barra nula)

0 1 2 3 4 5 6-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

x(m)

u(°

C)



Solução Exata

64

A última condição de contorno equivale a:

Sendo a massa específica

g a aceleração da gravidade, adotada 9,8 m/s²

E o módulo de elasticidade do material, adotado 70 kPa

L o comprimento da barra, adotado 4m

A dimensão transversal da barra é de 1 m.

Figura 6-28 Geometria e Condições de Contorno do Problema

Dois casos de massa específica são analisados:

Massa específica com variação linear (Aplicação 1)

65

Massa específica com variação senoidal (Aplicação 2)

É verificado como os deslocamentos ao longo da barra se comportam com o

refinamento dos pontos considerados, plotando as soluções exatas e aproximadas para

variações em x e os erros absolutos da aproximação.

6.2.1 Aplicação 1

A solução analítica para o peso próprio variando de forma linear é:

Em todas as simulações foi utilizada a função Gaussiana com Raio (c=100) como

Função Ponderadora.

16 Pontos




A figura 6-30 apresenta os deslocamentos ao longo do comprimento da barra.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(m)

y(m

)


66



ponto.


Máximo Erro Absoluto= 2,12x10-4


O número de pontos para formação dos suportes locais foi de 8 (pontos nos

contornos) e 11 (pontos no domínio).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3 Peso Próprio Linear N=16

x(m)

u(m

)


Solução Exata

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

x 10-4

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

67

56 Pontos






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(m)

y(m

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

x(m)

u(m

)

Peso Próprio Linear N=56


Solução Exata

68


ponto.




O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 11 pontos.

140 Pontos



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-5

x(m)

Err

o(m

)Erro Absoluto

69




As figuras 6-37 e 6-38 apresentam os gráficos de erros absolutos e relativos,

respectivamente, da aproximação em cada ponto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(m)

y(m

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

x(m)

u(m

)

Peso Próprio Linear N=140


Solução Exata

70






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

-6

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Err

o

x(m)

Erro Relativo

71

6.2.2 Aplicação 2

A solução analítica para o peso próprio variando de forma senoidal é:

Adotado L= 4m.

Em todas as simulações é utilizada a função Gaussiana com Raio como Função

Ponderadora, com parâmetro c=R/2, sendo R o raio do suporte.

16 Pontos

A distribuição de pontos foi de 14 pontos nos contornos e 2 pontos no domínio

como na Aplicação 1 (item 6.2.1).




ponto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-4

x(m)

u(m

)

Peso Próprio Senoidal N=16


Solução Exata

72




O número de pontos para formação dos suportes locais foi de 8 (pontos nos

contornos) e 11 (pontos no domínio).

56 Pontos




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

x 10-4

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

73



ponto.





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

x(m)

u(m

)



Solução Exata

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-5

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

74

140 Pontos






ponto.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

x(m)

u(m

)



Solução Exata

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

75




280 Pontos





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(m)

y(m

)


76



ponto.





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

x(m)

u(m

)



Solução Exata

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

-5

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

77

420 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-48, foi de 120 pontos nos contornos

e 300 pontos no domínio.






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(m)

y(m

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

x(m)

u(m

)



Solução Exata

78






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-6

x(m)

Err

o(m

)

Erro Absoluto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3

x(m)

Erro Relativo

Err

o

79

6.3 EQUAÇÃO DA ONDA

A equação da onda no domínio do tempo é da forma:

(6.1)

Onde é o potencial, é a fonte e c é a velocidade de

propagação da onda.

Para passar a equação para o domínio da frequência (independente do tempo)

considera-se a seguinte separação de variáveis:

(6.2)

onde a função do tempo é considerada harmônica:

(6.3)

Sendo a frequência angular e

Portanto, a expressão do potencial pode ser reescrita substituindo 6.3 em 6.2. De

forma análoga, a fonte pode ser expressa da seguinte forma:

(6.4)

(6.5)

Substituindo 6.4 e 6.5 na equação 6.1:

(6.6)

80

Definindo o número de onda k como:

(6.7)

Onde f é a frequência em Hz.

Finalmente obtém-se a equação no domínio da frequência, conhecida como

Equação de Helmholtz:

(6.8a)

Utilizando o operador de Laplace ( ), a equação pode ser reescrita como:

(6.8b)

Onde é o potencial e é uma fonte harmônica.

A situação a ser analisada é uma sala quadrada de lado 6m onde uma onda

acústica se propaga, sujeita às seguintes condições de contorno (potencial de velocidade

não nulo em uma parede e duas paredes com isolamento acústico):

A velocidade da onda é adotada c=343 m/s e considera-se a frequência para os

seguintes valores f= 0,1 Hz, 20 Hz e 50 Hz.

A solução exata para esse problema é:

81

Como a solução varia apenas com a variável x, a aproximação é avaliada para o

plano y=3.

6.3.1 Frequência de 0,1 Hz

Para este caso, emprega-se uma distribuição de 32 pontos, conforme figura 6-52,

sendo 16 no contorno e 16 no domínio.

A função Gaussiana com Raio foi aplicada como função de ponderação com

c=100.


Na figura 6-53, estão os gráficos das soluções exata e aproximada.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


82





0 1 2 3 4 5 6-50

0

50

100

150

200

250

300

350

x(m)

u

Frequência f=0,1 Hz


Solução Exata

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-5

x(m)

Err

o

Erro Absoluto

83





6.3.2 Frequência 20 Hz

Para este caso, emprega-se uma distribuição de 323 pontos, conforme figura 6-

56, sendo 68 no contorno e 255 no domínio.


c=R/2, sendo R, os raios dos suportes considerados.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-6

x(m)

Err

o

Erro Relativo

84






0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

x(m)

u

Frequência f=20 Hz


Solução Exata

85



Máximo Erro Absoluto = 0,54



0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x(m)

Err

o

Erro Absoluto

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

x(m)

Err

o

Erro Relativo

86

6.3.3 Frequência de 50 Hz

Para este caso, emprega-se uma distribuição de 399 pontos, conforme figura 6-

60, sendo 76 no contorno e 323 no domínio.


c=R/3, sendo R, os raios dos suportes considerados.




0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x(m)

y(m

)


0 1 2 3 4 5 6-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

x(m)

u

Frequência f=50 Hz


Solução Exata

87





Máximo Erro Absoluto = 1,36



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x(m)

Err

oErro Absoluto

0 1 2 3 4 5 60

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

x(m)

Err

o

Erro Relativo

88

6.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

A tabela 6.4.1 resume os resultados das aplicações numéricas e os parâmetros

mais relevantes.

Os resultados obtidos foram satisfatórios, os erros relativos foram sempre

menores que 1% exceto para a última aplicação da Equação de Helmholtz, em que os

maiores erros verificaram-se em pontos cujos valores reais são próximos de zero, o que

causa distorções nos erros relativos; fora desses pontos a grande maioria apresentou

erros menores que 0,5%.

Os exemplos feitos para esse projeto evidenciaram dois fatores relevantes para as

respostas obtidas pela aproximação, a saber, o parâmetro c da Função Gaussiana com

Raio e o incremento aplicado no Raio para que se atinja o número mínimo de pontos

para formação do suporte. Por esse motivo, na descrição do algoritmo no Capítulo 5, o

incremento foi definido genericamente como 1.X.

Em todas as aplicações desse projeto, esses dois fatores mencionados

invariavelmente apresentaram forte influência sobre a qualidade do método. Entretanto

para basear as análises a seguir, mostramos apenas para um caso como esses fatores

afetam o resultado.

Parâmetro c

Para fins de comparação, apresentamos na figura 6-64 a aproximação para a

Equação de Helmholtz com f=50 Hz, com os mesmos parâmetros utilizados em 6.3.3

alterando apenas o parâmetro c para c=100.

1 (5x5)

2 (6x6)

1(4x1)

2(4x1)

f=0,1 Hz(6x6)

f=20 Hz(6x6)

f=50 Hz(6x6)

*R= Raio do Suporte

Tabela 6.4.1 - Resumo dos Resultados

AplicaçãoMáximo Número de

Pontos Utilizados

Máximo Erro

Relativo (%)Parâmetro c

Número de Pontos

para Suporte Local

Incremento do

Raio

1,05

440 0,97 R/2 8-13 1,4

Equação de

Laplace

25 0,00 100 16-19

1,4

420 0,87 R/2 9-17 1,25

Equação de

Poisson

140 0,20 100 8-10

1,7

1,05

323 0,62 R/2 8-11 1,1Equação de

Helmholtz

32 0,00 100 7-9

399 3,75 R/3 19-54

89


A aproximação visivelmente perde muita precisão, isso nos leva a analisar com

mais atenção a função Gaussiana com Raio para diferentes valores de c. Para isso,

plotamos a função com centro em x=5 e raio R=5 para 3 valores distintos de c, c=100

(figura 6-65), c=R/2 (figura 6-66) e c=R/5 (figura 6-67).

Figura 6-65 Gaussiana com Raio c=100

0 1 2 3 4 5 6-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

x(m)

u

Equação de Helmholtz f= 50 Hz - c=100


Solução Exata

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Função Gaussiana com Raio c=100

x

w(x

)

90

Figura 6-66 Gaussiana com Raio c=R/2

Figura 6-67 Gaussiana com Raio c=R/5

A diminuição do valor de c aumenta o decaimento da função à zero. Para o

MMQM, isso implica que o resíduo quadrático será distribuído numa região menor, em

outras palavras, a diminuição do c dará ainda mais importância na aproximação aos

pontos mais próximos do ponto em estudo e menos importância aos pontos distantes. O

parâmetro c é responsável por definir esse grau de importância.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

w(x

)

Função Gaussiana comn Raio c=R/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

w(x

)

Função Gaussiana com Raio c=R/5

91

Analisando os gráficos acima, para c=100 o ponto x=3 terá w(x) 0,8, já para

c=R/2 w(x) 0,5 e para c=R/5 w(x) 0,03, ou seja, há uma perda progressiva da

importância do ponto de amostragem xj=5 no suporte do ponto x=3.

Para funções que apresentam variações significativas de valor, caso da Aplicação

2 de Laplace (item 6.1.2) e da Equação de Helmholtz com f=50 Hz (item 6.3.3), a

definição de um parâmetro c reduzido, R/2 e R/3 respectivamente, garantiu que o

método reproduzisse com sucesso as variações da solução analítica. Já para funções

sem variações acentuadas, caso da Aplicação 1 de Laplace (item 6.1.1) e da Equação de

Helmholtz com f=0,1 Hz (item 6.3.1), que possuem soluções lineares em uma direção, o

parâmetro c não impacta decisivamente na qualidade da aproximação.

Incremento do Raio

Novamente para fins de comparação, apresentamos na figura 6-68 a Aplicação 2

da Equação de Poisson com 420 pontos (item 6.2.2) alterando apenas o incremento do

raio para 1,4.


Menor Raio do Suporte (Incremento de 1,4) = 0,1882

Máximo Erro Absoluto (Incremento de 1,4) = 4.7029x10-6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

x(m)

u(m

)

Peso Próprio Senoidal N=420 - Incremento = 1,4


Solução Exata

92

Menor Raio do Suporte (Incremento de 1,25) = 0,1863

Máximo Erro Absoluto (Incremento de 1,25) = 2,2570x10-6

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 18 pontos,

sendo que apenas dois pontos no contorno tiveram suporte de 18 pontos. Para

incremento de 1,25, o número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a

17 pontos.

A figura 6-69 mostra os novos erros absolutos.


Ressalta-se que os erros cresceram globalmente, não se verificou um aumento

localizado dos erros.

O aumento do incremento implicou no pequeno aumento dos Raios dos Suportes,

mas isso não implicou no aumento do número de pontos de cada suporte, já que a

diferença entre os incrementos é pequena. Apenas para dois pontos no contorno o

número de pontos do suporte local aumentou, de 17 para 18. A variação do raio do

suporte reflete no valor da função peso para cada ponto.

As aplicações numéricas feitas sugerem que a faixa de variação dos incrementos

com melhores resultados é de 1,05 a 1,9, mas nada de definitivo pode-se concluir.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-6

x(m)

u(m

)

Erro Absoluto

93

CONCLUSÃO

Esse trabalho teve dois objetivos principais: fazer uma breve introdução aos

Métodos sem Malha e aplicar um desses métodos a problemas governados por equações

diferenciais parciais.

Para o primeiro objetivo, foram apresentados os conceitos básicos, exemplos de

métodos e a evolução cronológica dessa área de conhecimento.

Na segunda parte, foram apresentados dois métodos de interpolação para

Métodos sem Malha, a interpolação por Funções de Base Radial e o Método dos

Mínimos Quadrados Móveis, com foco nesse último. O Método dos Resíduos

Ponderados para resolução de Equações Diferenciais Parciais foi detalhado com

especial atenção ao Método da Colocação.

Foi formulado um Método sem Malha, utilizando o MMQM com Método da

Colocação. Essa formulação forte foi implementada com o uso do software MATLAB

(R2011a) e foi testada para diversos problemas de engenharia.

Os resultados obtidos foram satisfatórios provando a eficiência do método, que

não apresenta grandes custos computacionais, as fases mais custosas são a inversão da

matriz A, que tem seu condicionamento relacionado ao Raio do Suporte, e a resolução

de um sistema de equações lineares, que se estiver bem formulado pode ser resolvido

por métodos computacionais convencionais. Nos programas desenvolvidos, foi aplicado

o Método de Fatoração LU com Pivoteamento Parcial.

Estudos mais aprofundados da influência do parâmetro c na Função Gaussiana

com Raio para o MMQM podem permitir a automação da escolha do valor de c de

acordo com o problema. Não foi o escopo desse trabalho, que utilizou apenas uma

função Peso, mas um estudo comparativo das diferentes funções peso também pode

aprimorar o método.

Por último, ficou comprovado que a definição dos Raios para formação dos

suportes locais tem papel central nesse tipo de método, por isso devem ser o foco de

trabalhos futuros.

94

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BABUSKA, I., MELENK, J. M., 1995, The Partition of unity finite element

method. Technical Report BN-1185, Institute for Physical Science and Technology,

University of Maryland.

BABUSKA, I., BANERJEE, U., OSBORN, J. E., et al., 2009, “Effects of

numerical integration on meshless methods”, Computer Methods in Applied Mechanics

and Engineering, v. 198, n. 37 (Aug.), pp 2886-2897.

BARROS, F.B., 2002, Métodos sem Malha e Método dos Elementos Finitos

Generalizado em Análise não-Linear de Estruturas. Tese de D.Sc., Escola de

Engenharia de São Carlos/USP, São Carlos, SP, Brasil.

BELYTSCHKO, T., LU, Y.Y., GU, L., 1994, “Element Free Galerkin methods”,

International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 37, n.2 (Jan), pp 229-

256.

BELYTSCHKO, T., KRONGAUZ, Y., ORGAN, D., et al., 1996, “Meshless

Methods: An Overview and Recent Developments”, Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering, v. 139, n.1-4 (Dec), pp 3-47.

DUARTE, C.A., 1995, A Review of Some Meshless Methods to Solve Partial

Differencial Equations, Technical Report 06, Texas Institute for Computational and

Applied Mathematics, University of Texas at Austin,Austin, USA.

DUARTE, C.A., ODEN, J.T., 1995, Hp Clouds – A Meshless Method to Solve

Boundary-Value Problem. Technical Report 05, Texas Institute for Computational and

Applied Mathematics, University of Texas at Austin, Austin, USA.

DUARTE, C.A., 1996, The hp-cloud method. Tese de D.Sc., University of Texas

at Austin, Austin, USA.

FERREIRA, C.A., 2003 Um algoritmo para reconstrução de curvas a partir de

pontos esparsos. Tese de M.Sc., Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio

de Janeiro, RJ, Brasil.

95

HARDY, R.L., 1971, “Multiquadric equations of topography and other irregular

surfaces”, Journal of Geophysical Research, v. 76, n.8 (March), pp 1905-1915.

KANSA, E.J., 1990, “Multiquadrics – A scattered data approximation scheme

with applications to computational fluid-dynamics – II: Solutions to parabolic,

hyperbolic and elliptic partial differential equations”, Computer & Mathematics with

Applications, v. 19, n. 8-9 (Jun), pp 147-161.

KEE, B.B.T., LIU, G.R., LU, C., 2007, “A regularized least-squares radial point

collocation method (RLS-RPCM) for adaptive analysis”, Computational Mechanics, v.

40, n. 5 (Nov), pp 837-853.

KHOSRAVIFARD, A., HEMATIYAN, M. R., 2010, “A new method for

meshless integration in 2D and 3D Galerkin meshfree methods”, Engineering Analyis

with Boundary Elements, v.34, n.1 (Jan), pp 30-40.

LANCASTER, P., SALKAUSKAS, K., 1981, “Surfaces Generated by Moving

Least Squares Methods”, Mathematics of Computation, v. 37, n. 155 (July), pp 141-158.

LEMOS, E.M., 2007, Implementação dos Métodos dos Resíduos Ponderados por

Quadraturas Gaussianas. Tese de M. Sc., COPPE/Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

LIU, G.R., KEE, B.B.T., 2006, “A stabilized least-squares radial point

collocation method (LS-RPCM) for adaptive analysis”, Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering, vol. 195, n.37 (July), pp 4843-4861.

LIU, G.R., 2010, Meshfree Methods: moving beyond the Finite Elements

Method. 2 ed. Boca Raton, CRC Press.

LIU, W.K., CHEN, Y., CHANG, C.T., et al., 1996, “Advances in multiple scale

kernel particle methods”, Computational Mechanics, v.18, n.2 (Jan), pp 73-111.

LUCY, L.B., 1977, “A Numerical approach to the testing of the fission

hypothesis”, The Astronomical Journal, v.82, n. 12 (Dec), pp 1013-1024.

96

MICCHELLI, C.A., 1986, “Interpolation of scattering data: distance matrices

and conditionally positive definite functions”, Constructive Approximation, v.2, n.1

(Dec). pp 11-22.

MONAGHAN, J.J., 1982, “Why particle methods work”, SIAM Journal of

Scientific and Statistical Computing, v.3, n.4 (Jan), pp 422-433.

NAYROLES, B., TOUZOT, G., VILLON, P., 1992, “Generalizing the finite

element method: diffuse approximation and diffuse elements”, Computational

Mechanics, v. 10, n. 5 (Jan), pp 307-318.

ONATE, E., IDELSOHN, S., ZIENKIEWICZ, O.C., et al., 1996, “A finite point

method in computational mechanics applications to convective transport and fluid

flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 39, n.22 (Nov),

pp 3839-3866.

RACZ, D., BUI, T. Q., 2012, “Novel adaptive meshfree integration techniques in

meshless methods”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 90,

n. 11 (Jun), pp 1414-1434.

RIVLIN, T.J., 1969, An Introduction to the Approximation of Functions, 1 ed.,

Waltham, Massachusetts, Blaisdell Publishing Company.

RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R., 1996, Cálculo Numérico: Aspectos

Teóricos e Computacionais. 2 ed. São Paulo, MAKRON Books.

SLADEK, J., STANAK, P., HAN, Z-D., et al., 2013, “Applications of the MLPG

Method in Engineering & Sciences: A Review”, Computer Modeling in Engineering &

Sciences, v.92, n.5, pp 423-475.

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação...

Documents

Transcript of Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação...