FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Def: Uma função f de várias variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de

números reais (x,y) de um conj. D, um único valor real denotado por f(x,y). O conj. D é o

domínio de f e sua imagem é o conj. de valor se possíveis de f.

O Volume de um cilindro circular 𝑉 = 𝜋𝑟2𝑕 que depende de seu raio r e altura

h.

A temperatura T = f(x,y) que pode depender de uma longitude x e latitude y.

Uma função de duas variáveis é aquela cujo domínio é um subconjunto de R2 e cuja

imagem é um subconj. de R. Uma maneira de visualizar essa função é pelo diagrama de

setas ( z = f(x,y)), onde o domínio D é representado como um subconj. do plano xy.

Ex: Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥+𝑦+1

𝑥−1

Sol:

𝑓 3,2 = 6

2

𝐷 = (𝑥, 𝑦)/𝑥 + 𝑦 + 1 ≥ 0, 𝑥 ≠ 1

𝑦 ≥ −𝑥 − 1 → pontos acima da reta 𝑦 = −𝑥 − 1

𝑥 ≠ 1 → pontos sobre a reta 𝑥 = 1 são excluídos do domínio.

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑦2 − 𝑥

Sol:

𝑓 3,2 = 3 ln 1 = 0

𝑦2 − 𝑥 > 0 → 𝑥 < 𝑦2

𝐷 = (𝑥, 𝑦)/𝑥 < 𝑦2 → Conj. de ptos à esquerda da parábola 𝑥 = 𝑦2.

GRÁFICOS

Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conj.

de tdos os ptos (x, y, z) em R3 / z = f(x,y) e (x,y) pertençam a D.

O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície S com equação

z = f(x,y).

Ex: Determine o domínio e a imagem de 𝑔 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2

𝐷 = (𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 → círculo com centro (0,0) e raio 3.

𝐼𝑚 = 𝑧/𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2, (𝑥, 𝑦)𝜖𝐷

𝑧 ≥ 0 → 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ≤ 9 → 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ≤ 3

𝐼𝑚 = 𝑧/0 ≤ 𝑧 ≤ 3

Ex: Determine o domínio e a imagem de 𝑕 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 + 𝑦2.

O domínio não tem restrições, portanto D = R2 (todo plano xy).

𝑥2 ≥ 0 𝑒 𝑦2 ≥ 0 → 𝐼𝑚 = 𝑕(𝑥, 𝑦) ≥ 0

CURVAS DE NÍVEL

As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com

equação f(x,y) = k, onde k é uma constante (na imagem de f).

Pela figura podemos observar a relação entre as curvas de nível e os traços

horizontais. As curvas de nível f(x,y) = k são apenas traços do gráfico de f no plano

horizontal z = k projetado sobre o plano xy.

Curvas Isotérmicas:

Temperaturas médias

ao nível do mar (oC).

Ex: Esboce o gráfico das curvas de nível função 𝑔 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 para

k = 0,1, 2, 3.

Sol: 9 − 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑘 ou 𝑥2 + 𝑦2 = 9 − 𝑘2 (família de circunferências com

centro (0,0) e raio 9 − 𝑘2.

FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS

Uma função f com três variáveis é uma regra que associa, a cada tripla ordenada (x, y, z)

em um domínio D ∁ R3 um único valor real denotado por f(x, y, z).

Por ex., a temperatura T = f(x, y, t) que pode depender de uma longitude x e latitude y no

tempo t.

Ex: 1. Determine o domínio de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑧 − 𝑦 + 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑧.

Solução: 𝑧 − 𝑦 > 0 → 𝑑 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/𝑧 > 𝑦

Ou seja, é o semi-espaço constituído por tds os ptos que estão acima do plano z = y.

2. Determine as curvas de superfície da função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 para k = 1, 4, 9.

Sol: Neste caso as superfícies de nível são

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑘 → formam uma família de

esferas com raio 𝑘.

.

k = 3 k = 2

k = 1

k = 0

(0,3)

x

y

As funções com qq numero de variáveis também podem ser consideradas. Uma função

com n variáveis é uma regra que associa um número real z = f(x1, x2, ..., xn) à n-upla (x1,

x2, ..., xn) de números reais. Denotamos de Rn o conjunto de todas as n-uplas.

LIMITES E CONTINUIDADE

Def: Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém ptos arbitrariamente

próximos de (a,b). Dizemos que o limite de f(x, y) qdo (x,y) tende a (a,b) é L e

escrevemos:

lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

se para td 휀 > 0 existe um número correspondente 𝛿 > 0/ 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 휀 sempre que

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 e 0 < (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿.

Significa que a distância entre f(x,y) e L pode ser arbitrariamente pequena se tomarmos

a distância entre (x, y) e (a,b).

Se 𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿1, qdo 𝑥, 𝑦 → (𝑎, 𝑏)

ao longo do caminho C1 e

𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿1, qdo 𝑥, 𝑦 → (𝑎, 𝑏)

ao longo do caminho C2, com 𝐿1 ≠ 𝐿2,

então lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) não existe.

Ex: O limite da função abaixo existe?

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Para 𝑦 = 0 → 𝑓 𝑥, 0 = 0𝑥2 = 0

𝑓 𝑥, 𝑦 → 0 qdo 𝑥, 𝑦 → 0,0 ao longo do eixo 𝑥.

Para 𝑥 = 0 → 𝑓 0, 𝑦 = 0𝑦2 = 0

𝑓 𝑥, 𝑦 → 0 qdo 𝑥, 𝑦 → 0,0 ao longo do eixo 𝑦.

Para 𝑥 = 𝑦 → 𝑓 𝑥, 𝑥 =𝑥2

𝑥2+𝑥2= 1

2

𝑓 𝑥, 𝑦 → 12 qdo 𝑥, 𝑦 → 0,0 ao longo de 𝑦 = 𝑥.

Portanto este limite não existe, pois obtivemos valores diferentes para

caminhos diferentes.

CONTINUIDADE

Def: uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a,b) se

lim 𝑥 ,𝑦 → 𝑎 ,𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑎, 𝑏).

Dizemos que f é contínua em D se for contínua em td ponto (a,b) de D.

Qq polinômio pode ser obtido a partir de funções f(x,y) = x, g(x,y) = y e h(x,y) = c (c é

uma constante) por meio de multiplicação e adição. Por isso, segue que tds os

polinômios são funções contínuas em R2. O mesmo acontece para as funções racionais,

que são continuas em seu domínio, já que elas são o quociente de funções contínuas.

Exemplos:

Limite (Substituição direta):

lim 𝑥 ,𝑦 →(1,2)

𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 + 3𝑥 + 2𝑦 = 11

Se

𝑔 𝑥, 𝑦 =

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2, se 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)

0, se 𝑥, 𝑦 = (0,0)

Aqui g está definida em (0,0), mas é descontínua pois seu limite em (0,0)

não existe.