Função Quadrática ou Função do 2º...
Transcript of Função Quadrática ou Função do 2º...
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Bhaskara
Babilônia (1.800 a.C) algunsmétodos de resolução deequações de 2º grau já eramconhecidos.
Egípcios: já trabalhavam comequações lineares e usavamincógnitas em seus problemas(Papiro de Rhind)*
* Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes -1.650 a.C - cópia de um trabalho aindamais antigo. Detalha a solução de 85problemas (aritmética, frações, cálculode áreas, volumes, equações lineares,geometria; dentre outros.
Um pouco de História...
Fonte:http://www.navegandodelpasadoalfuturo.net/babilonia
Fonte: http://www.matematica.br/historia/prhind.html2
Um pouco de História...
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tartaglia
Fonte: http://www.mathworks.com/matlabcentral
Europa
Século XVI: Del Ferro, Tartaglia, Cardano,Ferrari dentre outros, iniciaram estudossobre equações de terceiro e quartograus.
Século XIX: Galois resolveu um antigoproblema em aberto envolvendo as raízesde um polinômio e cria um novo campoda álgebra abstrata: a teoria dos grupos.
3
4
Definição
Denomina-se função quadrática na variável x toda função na forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 com x R, a 0
Gráfico da Função Quadrática: sempre é uma parábola.
a: é sempre o coeficiente de x2
b: é sempre o coeficiente de xc: é o coeficiente ou termo independente
Exercitando....
Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função.
a) f(x) = x2 - 6x +8 a = ____; b = ____; c = ____
b) y = -3x2 + 4x – 4 a = ____; b = ____; c = ____
c) f(x) = x2 – 6 a = ____; b = ____; c = ____
d) y = -2x2 + 8x a = ____; b = ____; c = ____
e) f(x) = x2 – 1 a = ____; b = ____; c = ____
ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU
São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
1º caso: b = 0• Igualar a função a zero• Isolar a variável x e o termo independente
x2 – 1= 0
x2 = 1
x = +/-√1
x = +/- 1
x2 – 9 = 0
x2 = 9
x = +/-√9
x = +/- 3
2x2 – 14 = 0
2x2 = 14
x2 = 14/2
x =+/- √7
x2 + 9 = 0
x2 = - 9
x =+/- √-9
Não existe solução
a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = x2 – 9 c) f(x) = 2x2 – 14 d) f(x) = x2 + 9
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 – 16 b) y = -x2 + 36
c) f(x) = 2x2 – 8 d) y = -2x2 + 10
e) f(x) = 2x2 – 6 f) y = x2 + 10
a) 4;b) 6; c) 2; d) 5; e)R 3; f): 10
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
2º caso: c = 0• Igualar a função a zero
• Colocar a variável x em evidência.
x2 – 5x = 0
x(x – 5) = 0
Raízes:
x = 0x = 5
x2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
Raízes:
x = 0x = -2
2x2 + 6x = 0
2x(x + 3) = 0
Raízes:
x = 0x = -3
a) f(x) = x2 – 5x b) f(x) = x2 + 2x c) f(x) = 2x2 + 6x
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 + 3x b) y = x2 + 4x
c) f(x) = x2 – 4x d) y = x2 - 5x
e) f(x) = 2x2 – 12x f) y = 2x2 – 2x
R: a) x’= 0 e x’’ = -3; b) x’= 0 e x’’ = -4; c) x’= 0 e x’’ = 4; d) x’= 0 e x’’ = 5; e) x’= 0 e x’’ = 6; f) x’= 0 e x’’ = 1;
Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara
3º caso: cálculo das raízes da função completa
x =−b ± ∆
2ax =
−b ± b2 − 4ac
2a
∆ = b2 − 4ac
Fórmula de Bháskara
Gráficos da função quadrática
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
x2 – 7x + 6 = 0 9x2 + 6x + 1 = 0 -2x2 + 3x – 5 = 0
Não existe solução que satisfaça f(x) = 0
a) f(x) = x2 – 7x + 6 b) f(x) = 9x2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x2 + 3x - 5
2
2( 7
b
)
4
4.1.6
49 24
25
.a.c
( 7) 25x
2.1
7 5x ' 6
2
7 5x '' 1
2
2
2
(6) 4.9.1
36 3
b 4.
0
a c
6
.
6 0x
2.9
6 0 1x '
18 3
6 0 1x ''
18 3
2
2
(3) 4.( 2).( 5)
9 40
b 4.a.c
31
14
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² + 3x – 10
b) f(x) = 4x² – 4x + 2
c) y = 2x2 - 4x + 5
d) y = -x² - 6x + 5
e) y = -x² + 6x + 5
f) f(x) = -x2 + 12x + 20
g) f(x) = 2x2 - 3x + 5
h) f(x) = 5x2 + 10x + 5
Cálculo do Vértice de uma ParábolaValor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática
Valor Máximo
Valor Mínimo
v
v
bx
2a
y4a
Exemplos
1) Qual é o vértice da parábola y = x2 – 2x + 5?
2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x2 – 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:
Letra A
17
3) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x2 – 2x – 3 e diga se é um ponto de máximo ou mínimo da função.
a) V (1, -4); ponto de mínimob) V (2, 4); ponto de máximoc) V (-1,-4); ponto de máximod) V (2,-4); ponto de mínimo
18
Exercitando....
Em cada um dos itens abaixo ache o vértice e classifique como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
a) f(x) = x2 + 8x + 9 b) f(x) = -x2 + 4x + 4
c) f(x) = 4x2 + 8x - 3 d) f(x) = -x2 + 2x - 1
e) f(x) = -x2 + 9 f) f(x) = -x2 - 9x
Gabarito:a) (-4, -7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximoc) (-1, -7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximoe) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, -9), ponto de máximo
19
Domínio e Imagem da função quadrática
D(f) = R
Im(f) = y ≥ 2 ou [2, [
20
Exemplo 1:
O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:
a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo?
b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos?
Aplicações
21
Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades
Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima temposição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t – 5t2 onde aaltura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos.Calcule:
a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.a) A altura máxima atingida pelo objeto.
v
b ( 0,6)x 50 km / h
2a 2.0,006
1. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo?
a) 46 km/hb) 47 km/hc) 48 km/hd) 49 km/he) 50 km/h
Exemplos: Máximo e Mínimo
a) 2 s
b) 8 m
2. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t2 + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule:
a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima;b) A altura máxima atingida pela bola.
3. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: T(t) = 2 + 4t – t2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?
a) 1,0 s d) 2,5 sb) 1,5 s e) 3,0 sc) 2,0 s
Letra C
4. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n2 + 50n + 6.000. Calcule:a) A produção se o número de operadores for 4.b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.
25
Ler a teoria na pág. 86 a 95
Fazer os exercícios das pág. 96 e 97:
1 ao 12
Ler a teoria na pág. 98 a 100
Fazer os exercícios da pág. 101:
14 ao 22
Ler a teoria na pág. 102 a 105
Fazer os exercícios das pág. 106 e 107:
25 ao 37