CATÓLICA Prof. Cláudio MacielGeometria Analítica 1ª Lista de exercícios: Coordenadas retangulares, Distância entre dois pontos, Vetores em R2 e R3.

Coordenadas na Reta ( Reta Numérica)

Coordenadas sobre uma reta: representar os pontos da reta por meio de números reais, toma-se um desses pontos como origem e associar a ele o número 0 e em seguida escolhe-se uma unidade de comprimento e faz-se corresponder um ponto P à direita e um ponto Q à esquerda deste 0. à direita faz-se corresponder um número real positivo x = d (O,P) e a esquerda um número real negativo x1 = d (O,Q) e assim temos uma reta orientada ao escolhermos um sentido de percurso, chamado positivo e o sentido inverso negativo.. A esta reta orientada, de origem 0 e uma correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais R, chamamos de eixo e o número real x , que corresponde ao ponto P do eixo chama-se coordenada desse ponto. Num eixo, como os números ( x ) são representados por pontos, é costume designá-los por “ ponto x”. Q P x1 0 x

Figura 1: x = d(O,P) e x1 = – d(0,Q).

Coordenadas no Plano: Aos pontos de um plano também podemos associar coordenadas, tomando-se dois eixos no plano, com a mesma origem e mutuamente perpendiculares → Sistema Cartesiano Ortogonal ou de Eixos ( Cartesiano: De Renatus Cartesius forma latinizada de René Descartes)

P2 P (x,y)

y

O x P1

Existe uma correspondência, , e a cada par (x,y) corresponde um, e somente um, ponto P e a pares distintos correspondem pontos distintos → “ ponto (x,y) “ .

Aplicação: Plotar dispersões e dados tabulares

Tabela: Velocidade classificatória nas 500 milhas de Indianápolis. Ano t → Velocidade S (mi/h)

1975 193,9761976 188.9751977 198,8841978 202,1561979 193,7361980 192,2561981 200,5461982 207,0041983 2007,3951984 210,029

1985 212,5831986 216,8281987 215,3901988 219,1981989 223,8851990 225,3011991 224,1131992 232,4821993 223,9671994 228,001.

1

Plotagem de dispersão de S versus t S

235

225

215

205

195

185

t 1975 1980 1985 1990 1995

Gráfico de linhas S

235

225

215

205

195

185 t 1975 1980 1985 1990 1995

Gráfico de barras S

235

225

215

205

195

185 t 1975 1980 1985 1990 1995

Distância entre dois Pontos

I ) Sejam P( x1, y1 ) e Q( x2 , y2 ) pontos do R2.

II) Sejam P( x1, y1, z1 ) e Q( x2 , y2 , z2 ) pontos do R3.

Ponto de divisão de um segmento numa razão dada

Y

y2 P2

y2 – y1

y P N x2 – x y – y1

y1 P1 M x – x1

0 x1 x x2 X

Considere a segmento orientado P1P2 e o ponto P (x,y) um ponto que divide o segmento na

razão e dos triângulos semelhantes, temos:

Exercícios.

1) Um cubo de lado 4 tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos cantos.

2) Mostre que A(4,5,2), B(1,7,3) e C(2,4,5) são vértices de um triângulo eqüilátero.

3) Mostre que A(2,1,6), B(4,7,9) e C(8,5,-6) são vértices de um triângulo retângulo. Que vértice está no ângulo reto? Determine a área do triângulo.

4) Calcule a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC. Dados A(0,1), B (2,9) e C (5, -1).

5) Determine um ponto que dista 20 unidades do ponto A(0,0) e 15 do ponto B(25,0).

6) Determine o ponto do eixo das abscissas que é eqüidistante dos pontos A(1,-1) e B(5,7).

7) Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que eqüidista de P(0,1) e A(7,0).

8) Obter o vértice C de um triângulo retângulo, sabendo que C pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares e que a hipotenusa tem extremidades A(2,1) e B(5,2).

9) Determinar o ponto eqüidistante de A(0,1) e B(4,-1) e cuja ordenada é o triplo da abscissa.

10) Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistante dos pontos Q(1,4,-2) e R(3,7,5).

11) Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto eqüidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4).

12) Determinar o ponto eqüidistante de A ( 1,7 ), B ( 8, 6 ) e C ( 7, – 1 ).

13) Calcular o perímetro do triângulo cujos vértices são: A ( – 2 , 5 ), B ( 4, 3 ) e C ( 7, – 2 ).

14) Obtenha os vértices de um triângulo sendo dados os pontos médios dos lados: M ( a, 0 ), N ( 3a, 0 ) e P ( 2a, a ).

15) Para que valores de x o triângulo de vértices A ( - 6, 0 ) , B(0, 6 ) e C( x, - x ) é eqüilátero.

16) Determinar a equação da circunferência C (x0, y0 ) que passa pelo ponto A (x1, y1 ).

17) Determinar a equação da circunferência C ( 2, 5 ) que passa pelo ponto A ( 4, 1 ).

18) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos, cujas distâncias a A( 2, – 3 , 4 ) são duas vezes maiores que as distâncias a B( – 1 , 2 , – 2 ).

19) Determine a equação da mediatriz do segmento que une os pontos A( 2, – 1 ) e B( – 4 , 2 ).

20) Determinar a equação do lugar geométrico, sabendo-se que as somas das distâncias de seus pontos a A( 0, 3, 0 ) e B(0, – 3, 0 ) são iguais a 10.

21) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A( 1, 3, 8 ) , B( – 6 ,– 4,2 ) e C( 3, 2, 1 ).

22) Deduzir a equação da esfera de centro C ( x0, y0, z0 ) que passa pelo ponto A( x1, y1, z1 ).

23) Instituir a equação da esfera de centro em C( 2 , – 2 , 3 ), que passa por A( 7, – 3 , 5 ).

24) Um ponto móvel P(x,y) se desloca de tal forma que sua distância a C( 2, -1) é sempre igual a 5. Determinar a equação do lugar geométrico descrito.

25) Um ponto P(x,y) que se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a A(0,0) e B(2, -4) é sempre igual a 20. Deduzir a equação do lugar geométrico descrito.

26) Um ponto P( x,y) que se move de modo que a soma de suas distâncias aos eixos de coordenadas é igual ao quadrado de sua distância à origem. Determinar a equação do lugar gerado pelo ponto.

27) Deduzir a equação do lugar geométrico de um ponto móvel P(x,y), cuja distância ao ponto A( 3 , 2 ) é sempre igual a sua distância ao eixo dos y.

28) Determine a equação da esfera de centro em C( 2, -2, 3 ) tangente ao plano XY.

29) Determinar as coordenadas do centro e o raio da esfera x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 8z = 7.

30) Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto móvel, sabendo que sua distância ao eixo dos z é igual a três vezes sua distância ao ponto ( -1, 2, - 3 ).

31) Determinar as coordenadas do ponto P(x,y), que divide o segmento de extremidades A(1,7) e B (6, - 3) na razão r = 2/3.

32) Determinar as coordenadas do ponto P(x,y), que divide externamente o segmento que une A( - 2, 1 ) e B (3, - 4) na razão r = – 8/3 .

33) Seja o triângulo ABC de vértice A(-3,1,4), B(-4,-1,0) e C(-4,3,5). Calcular a medida da altura relativa ao lado BC e calcular sua área.

VETORES1) Sejam os pontos P(x1 , y2 , z3 ) e Q (x2 , y2 , z2 ). Mostre que 2) Sejam u = <1,3> , v = <2,1> e w = <4,-1>. Determine o vetor x tal que 2u – v + x =7x + w.

3) Determine u e v se u + 2v = 3i – k e 3u – v = i + j + k.

4) Use vetores para determinar o comprimento das diagonais do paralelogramo que tem lados adjacentes i + j e i – 2j.

5) a) Dado que , determine todos os valores de k tal que b) Dado k = -2 e , determine .

6) Determine o ângulo entre o vetor u = i –2j + 2k e: a) v = – 3i + 6j + 2k b) w = 2i + 7j + 6k c) z = – 3i + 6j – 6k

7) Determine o produto escalar dos vetores e o co-seno do ângulo entre eles.

a) u = i + 2j, v = 6i – 8j

b) u = -7i – 3j e v = j

c) u = i –3j + 7k e v = 8i –2j –2k

d) u = -3i + j + 2k e v = 4i + 2j –5k

8) Determinar um vetor unitário na direção do vetor:

a) a = 2i –3j +2k

b) b = i +5j –k

9) Verificar se os vetores são ortogonais.

a) u = 7i + 3j + 5k e v = -8i + 4j + 2k

b) u = 6i + j + 3k e v = 4i – 6k

c) u = i + j + k e v = - i

d) u = 4i + j + 6k e v= -3i + 2k

10) Determine k tal que o vetor que parte do ponto A ( 1, -1, 3) a B (3,0,5) é ortogonal ao vetor que parte de A ao ponto P(k,k,k).

11) Prove que

12) Determine u x v , e verifique que é ortogonal a u e v.

a) u = i + 2j – 3k ; v = -4i + j + 2k

b) u = 3i = 2j – k ; v = -i –3j + k

c) u = j –2k; v = 3i – 4k

d) u = 4i + k ; v = 2i – j

13) Determine dois vetores unitários que são ortogonais aos vetores u = -7i + 3j + k e v = 2i + 4k, simultaneamente.

14) Determine a área do paralelogramo definido por u e v adjacentes.

a) u = i –j + 2k e v = 3j + k

b) u = 2i + 3j e v = -i + 2j –2k

15) Determine a área do triângulo com vértices P, Q e R.

a) P (1, 5, -2) , Q ( 0, 0, 0) e R ( 3, 5, 1).

b) P (2, 0, -3) , Q ( 1, 4, 5) e R ( 7, 2, 9)

16) Determine u . ( v x w )

a) u = 2i –3j + k , v = 4i + j –3k, w = j + 5k

b) u = i –2j + 2k, v = 3j + 2k, w = -4i + j –3k

c) u = 2i + j, v = i –3j + k, w = 4i + k

d) u = i, v = i + j , w = i + j + k

17) Calcule o volume do paralelepípedo definido por u, v e w adjacentes.

a) u = 2i –6j + 2k, v = 4j –2k, w = 2i +2j –4k

b) u = 3i + j + 2k, v = 4i + 5j + k, w = i + 2j + 4k

18) Verificar se os vetores situam-se no mesmo plano.

a) u = i –2j + k, v = 3i –2k , w = 5i – 3j

b) u = 5i –2j + k, v = 4i –j + k, w = i – j

c) u = 4i –8j + k, v = 2i + j –2k, w = 3i –4j 12k

19) Sejam a = <2, 5, -3> e b = < -4, 1, 7> , determine: a) a + b b) 2a –3b c) d)

20) Dados os vetores a = ( 3, -4, 2) e b = ( -2, 3, 4), encontre vetores unitários, sendo um com a mesma direção de a e o outro de b.

21) Esboce os vetores a, b, 2 a , -3b , a + b e a – b, para: a) a = 2i + 3j + 4k b = i –2j +2k

b) a = -i + 2j + 3k b = -2j + k

22) Determine os valores de c para que os vetores a e b sejam ortogonais. a) a = ci –2j + 3k b = ci + cj –5k b) a = 4i + 2j + ck b = i + 22j – 3ck

23) Dados os pontos P ( 3, -2, -1) , Q (1, 5, 4) , R ( 2, 0 ,-6) e S ( -4, 1, 5), calcule.

24) Mostre que os vetores são paralelos. a) a= – 6i – 10j + 4k b = 3i + 5j – 2k b) a = 2i – j + 4k b = – 6i +3j – 12k

25) a) Determine um vetor normal ao plano definido por P, Q e R. b) Calcule a área do triângulo PQR.

I ) P ( 4,0,0) , Q ( 0, 5, 0) e R ( 0, 0, 2)II ) P ( -1, 2, 0) ,Q ( 0,2,-3) e R ( 5, 0, 1)III ) P ( 3, 1, -2) , Q ( 2,5,1) e R ( -1, 4, 2)

26) Calcule o volume da caixa de lados adjacentes AB AC e AD a) A (2, 1, -1) , B (3, 0, 2) , C( 4, -2, 1) e D ( 5, -3, 0) b) A ( 0,1,3) , B ( -1, 3, 4) , C ( 0, 4,0) e D ( 2,-3, 1)

27) Resolver o sistema , sendo

28) Dados os vetores u = < 1, 2, 0 >, v = < 3, -2, 4 >, w = < -1, -2, 3 > e os escalares a = 3 e b = 2 Verificar as propriedades: Soma: Produto 1a) u + v = v + u 1 b) ( ab) u = a (bu) 2 a) ( u + v) + w = u + ( v + w ) 2 b) ( a + b ) u = au + bu 3 a) u + 0 = u 3 b) a ( u + v ) = au + av 4 a) u + ( - u) = 0 4 b) 1. u = u