Geometria analítica

Definição

A palavra “geometria” vem do grego “geometrien” onde “geo” significa terra e “metrien” medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras.

O historiador grego Heródoto (500 a.C.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas informações geométricas.

Definição

Geometria plana

A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.

Definição

Geometria espacial

Ramo da geometria que estuda a medida do espaço ocupado por um sólido. Cálculo dos volumes de um cubo, prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera e de um paralelepípedo.

Definição

Axioma

O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova.

Exemplos: 1 - Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma única reta que os contém

2 – Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos

3 - Dois segmentos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida.

4 - Dois ângulos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida.

Observação. Usamos o termo congruentes, e não iguais, para distinguir do termo “igual”, que significa, matematicamente, o “mesmo objeto matemático”.

Definição

Definição

Alguns símbolos usados em geometria

A, B, C,.... ponto

r, s, t,... reta

AÔB, DÔE,... Ô ângulo do vértice O ou medida de ângulo

Definição

𝐴𝐵,... segmento de extremidade A e B, ou reta que passa por A,B

𝛥 ABC triângulo de vértices A,B,C

AB ≡ CD segmento AB congruente ao segmento CD

VETORES

Grandezas físicas

Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente.

Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas.

São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais.

Vetores e Escalares

Um vetor possui módulo assim como direção e sentido. Uma grandeza vetorial possui tanto módulo (valor numérico) quando direção e sentido, portanto, pode ser representado por um vetor.

Exemplo: deslocamento, velocidade e aceleração.

Nem toda grandeza física envolve uma direção e/ou um sentido. Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Que são grandezas que só possuem um valor e uma unidade:

Exemplo: temperatura, massa, tempo.

Representação de um vetor

É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas.

Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta)

Tem uma direção (plano em que se analisa)

E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).

Exemplo:

Módulo

Sentido

Direção da

Reta Suporte

Representação de uma Grandeza Vetorial

As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma...

𝑣 𝑩

𝑨

𝐹 𝑶 𝑷

𝑑

𝑴

𝑵

Comparação entre vetores

Vetores iguais

Mesmo Módulo

Mesma Direção

Mesmo Sentido

O vetor 𝑎 é igual ao vetor 𝑏.

a

b

r

s

𝑎 = 𝑏

Comparação entre vetores

Vetores Opostos

Sobre os vetores 𝑏 e 𝑐 podemos afirmar:

Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos

opostos.

O vetor 𝑐 é oposto aos vetores 𝑎 e 𝑏 .

a

b

r

s

c t

𝑎 = 𝑏 = −𝑐

Vetores

Observações

a) Quando escrevemos: 𝑣 = 𝐴𝐵, estamos dizendo que um vetor 𝑣 é determinado pelo segmento orientado AB.

b) Quando dois vetores são paralelos, indicamos por 𝑢//𝑣 .

Exemplo:

𝑣 = 𝐴𝐵

𝑎 //𝑏

Exemplo:

Vetores

c) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais, e indica-se por 𝑢 = 𝑣 , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido; Observe:

d) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0 ou 𝐴𝐴 (a origem coincide com a extremidade). Por não possuir direção e sentidos definidos, considera-se paralelo a qualquer vetor

𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 = 𝒗

𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟: 0 𝑜𝑢 𝐴𝐴 𝐴

Sentidos opostos Módulos diferentes Direções e sentidos

diferentes Módulo, direção e

sentido iguais.

Vetores

e) A cada vetor não-nulo 𝑣 corresponde um vetor oposto −𝑣 , de mesmo módulo e mesma direção de 𝑣 , porém, de sentido contrário. Se 𝑣 = 𝐴𝐵 , o vetor 𝐵𝐴é o oposto de 𝐴𝐵 , isto é, 𝐴𝐵 = −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.

𝑣 = 𝐴𝐵=−𝐵𝐴

Vetores

f) - O vetor 𝑢 é unitário se 𝑢 = 1.

- A cada vetor 𝑣 , com 𝑣 ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de 𝑣 𝑢 e −𝑢 . Na figura, vemos 𝑣 = 6 e 𝑢 = −𝑢 = 1

- O vetor 𝑢 unitário que tem o mesmo sentido de 𝑣 é chamado versor de 𝑣 .

Vetores

g) Quando dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais, e indica-se por 𝑢 ⊥ 𝑣 .

i) Dois vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados

𝑢 ⊥ 𝑣

Exercícios

1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruente. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações.

A B C D

L M N E

J I H G

K P O F

Exercícios

2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações

A B

C D

E

H G

F

Soma vetorial

Considere os vetores 𝑢 e 𝑣 cuja soma 𝑢 + 𝑣 pretendemos encontrar.

Tomando um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado AB representante do vetor 𝑢. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de 𝑣 .

O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de 𝑢 e 𝑣 , isto é:

A

B

C

𝑢

𝑣

𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ou

Soma vetorial

Sendo 𝑢 //𝑣 , a maneira de se obter o vetor 𝑢 + 𝑣 é a mesma, como mostra a figura abaixo:

𝑢 𝑣

𝑢 + 𝑣

𝑣

𝑢 + 𝑣

𝑢

𝑢 e 𝑣 de mesmo sentido

𝑢 e 𝑣 de sentidos contrários

Soma vetorial

Há duas regras para realização da soma vetorial:

Regra do paralelogramo;

Regra do polígono.

Soma vetorial regra do paralelogramo

Neste caso os vetores são transpostos de forma a fecharem um paralelogramo, esta regra é eficaz somente com dois vetores.

OBS: Paralelogramo porque traça-se uma reta paralela saindo da origem do outro seguimento

𝑎

𝑏 𝑎

𝑏

+ =

𝑆

Soma vetorial regra do polígono

Nesta regra o vetor posterior “sai” da extremidade do primeiro

𝑎 𝑏

𝑆

𝑏

𝑎 + =

Soma vetorial regra do polígono

Exemplo: Dado os vetores 𝑢, 𝑣 , 𝑤 e 𝑡 , determine:

a) 𝑣 + 𝑢 + 𝑤

𝑣

𝑢

𝑤

𝐴

𝐵 C

D 𝑣 + 𝑢 + 𝑤

𝑣

𝑢

𝑤

𝑡

Soma vetorial regra do polígono

b)

𝑤

𝑣 + 𝑢 + 𝑤 + 𝑡

𝑣

𝐴

𝐵 𝑢 𝐶

𝐷 𝑡

𝐸

Soma vetorial

Propriedades

Sendo 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:

i. Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

ii. Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)

iii. Elemento neutro: 𝑢 + 0 = 𝑢

iv. Elemento oposto: 𝑢 + (−𝑢) = 0

Soma vetorial

O vetor 𝑢 + (−𝑣 ), escreve-se 𝑢 − 𝑣 .

Exemplo: Considerando os vetores do exercício anterior, determine:

a) 𝑣 + 𝑢

b) 𝑣 − 𝑢

𝑣

𝐴

𝐵 𝑢 𝐶

𝑣

𝐴

𝐵 𝑢 𝐶

𝑣 − 𝑢

Exercícios

3) Com base na Figura abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

Exercícios

4) Com base na figura abaixo, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

Exercícios

5) Dado dois vetores 𝑢 e 𝑣 não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores 𝑢 + 𝑣 , 𝑢 − 𝑣 , 𝑣 − 𝑢 e −𝑢 − 𝑣 , todos com origem em um mesmo ponto.

𝑣

𝑢

−𝑣

−𝑢

Componentes de vetores Uma técnica mais organizada para somar vetores envolve

álgebra, mas exigem que vetores sejam colocados em sistema de coordenadas. Um componente de um vetor é a projeção do mesmo sobre o eixo.

ax=componente de 𝑎 na coordenada x ay=componente de 𝑎 na coordenada y

𝑎 𝑦

𝑎 𝑥

𝑎

Este processo é chamado de decomposição de vetores. Portanto:

sin 𝜃 =𝑎𝑦

𝑎 cos 𝜃 =

𝑎𝑥

𝑎 tan 𝜃 =

𝑎𝑦

𝑎𝑥

𝑦

𝑥 𝜃

Módulo de um vetor

Considere o vetor no plano cartesiano:

O módulo do vetor 𝑣 , pode ser encontrado através de uma simples relação trigonométrica, conhecida como teorema de Pitágoras. Fazendo:

Podemos então dizer que, para encontrarmos o módulo de um vetor basta elevarmos seus componentes ao quadrado, soma-los e logo tirar a raiz:

4 𝑣

𝑦(𝑚)

𝑥(𝑚) 3

𝑎² = 𝑏² + 𝑐² → 𝑣 2 = 3² + 4² → 𝑣 = 9 + 16 → 𝑣 = 5𝑚

𝑣 = 𝑣²𝑥 + 𝑣²𝑦

Observações

a. Se todos os vetores são paralelos e não-nulos, proporcionais a 𝑣 podemos ordena-los na mesma reta

Por outro lado, supondo 𝑢//𝑣 , com 𝑣 ≠ 0, sempre existe um número real ∝ tal que 𝑢 =∝ 𝑣

Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao

vetor 𝐴𝐵 ( 𝐴𝐵 = 2), tem-se

𝐴𝐵 =3

2𝐴𝐵 𝐵𝐷 = −2 𝐴𝐵 𝐶𝐷 =

−5

2𝐴𝐵

Observações

b. Sabemos que cada vetor 𝑣 , 𝑣 ≠ 0 , é possível associar dois vetores unitários paralelos a 𝑣 .

O vetor unitário 𝑎

𝑣𝑣 ou

𝑣

𝑣 de mesmo sentido de 𝑣 é versor de 𝑣 .

Exemplo:

- Se 𝑣 = 5, o versor de 𝑣 é 𝑣

5;

- Se 𝑣 =1

3, o versor de 𝑣 é 3𝑣 ;

- Se 𝑣 = 10, o versor de 𝑣 é 𝑣

10.

𝑣

𝑢

−𝑢

Exemplo

Exemplo:

VETORES UNITÁRIOS

Vetores Unitários

Um vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a 1. Sua única função é especificar uma direção e um sentido, ou seja, ele não possui dimensão e nem unidade.

São representados da seguinte maneira:

𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘

Vetores Unitários

Podemos expressar qualquer vetor deste sistema de coordenadas. Por

exemplo 𝑎 𝑒 𝑏 abaixo:

Este sistema é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro;

𝑎𝑥 e 𝑎𝑦 são chamados de componentes escalares (ou como dito antes, simplesmente componentes);

𝑎𝑥𝑖 𝑒 𝑎𝑦𝑗 são vetores, chamados componentes vetoriais de 𝑎 .

Exemplo:

𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘

Somando os vetores componente a componente

Dado os vetores 𝑎 𝑒 𝑏, calcule soma: 𝑅 = 𝑎 + 𝑏

Sendo:

Se calcularmos a diferença, teremos:

𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘 𝑅 = 𝑅𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑗 + 𝑅𝑧𝑘

𝑅𝑥 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 𝑅𝑦 = 𝑎𝑦𝑗 + 𝑏𝑦𝑗 𝑅𝑧 = 𝑎𝑧𝑘 + 𝑏𝑧𝑘

𝑅 = 𝑎 − 𝑏 𝑅 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 𝑘

Exercício

Dado os vetores realize a soma e faça um gráfico contendo cada um e a resultante:

𝑎 = 4,2 𝑖 − 1,5 𝑗

𝑏 = −1,6 𝑖 + 2,9 𝑗 𝑐 = −3,7 𝑖