Introdução à Geometria Plana

Professor: Antonio Carlos Barros

São os elementos matemáticos que não possuem

definição.

✓ Ponto → nomeado por letra Latina maiúscula.

Entes Primitivos

✓ Reta → nomeado por letra Latina minúscula.

✓ Plano → nomeado por letra grega minúscula.

Entes Primitivos

✓ Reta → infinita nos dois

sentidos.

✓ Semirreta → infinita em

apenas um dos sentidos.

Tem um ponto inicial ou

final.

✓ Segmento de reta →

possui ponto inicial e

final.

Posições relativas no plano

1) Ponto e Reta

Posições relativas no plano

2) Entre duas retas

Posições relativas no plano

2) Entre duas retas

ÂngulosDuas semirretas de mesma origem formam duas

regiões. A medida dessa região é chamada de ângulo.

º π

••

••

•

Classificações dos Ângulos1) Ângulo de uma volta ou cheio:

mede 360º.

2) Ângulo de meia volta ou raso:

mede 180º.

3) Ângulo reto: mede 90º.

Classificações dos Ângulos4) Ângulo agudo: Tem valor

menor que 90º.

5) Ângulo obtuso: mede mais

que 90º e menos que 180º.

6) Ângulo não-convexo: tem

medida maior que 180º.

Pares de Ângulos1) Ângulos Complementares: quando dois ângulos tem

soma igual a 90º, dizemos que eles são

complementares.

2) Ângulos Suplementares: quando dois ângulos tem

soma igual a 180º, dizemos que eles são suplementares.

3) Ângulos Replementares: quando dois ângulos tem

soma igual a 360º, dizemos que eles são replementares.

Submúltiplos do GrauPara aumentar a precisão da medida, foram criados

valores menores que 1º.

1) Minuto: 1º = 60’

2) Segundo: 1’ = 60”

Podemos representar a medida de um ângulo por graus,

minutos e segundos ou pela forma decimal do grau.

Ex.: 123,5º = 123º 30’

Submúltiplos do GrauPara converter uma medida de parte decimal para

minutos e segundos, basta multiplicar a parte decimal

por 60. Essa será a resposta em minutos.

Se ainda houver parte decimal após a multiplicação,

multiplicamos novamente por 60. Esse será o valor dos

segundos.

Ex.: 43,57º = 43º 34’ 12”

Operações com ângulosEntre ângulos existem apenas duas operações: adição e

subtração.

Mas podemos multiplicar ou dividir o ângulo por

números reais.

1) Adição e Subtração: Colocamos as unidades

correspondentes uma embaixo da outra e realizamos

as operações. Devemos ter cuidado na conversão ou

ao “pegar emprestado”, pois 1º=60’ e 1’ = 60”.

Também não podemos ter, na resposta final, os

valores dos minutos e segundos maiores que 59.

Operações com ângulos

Ex.: Vamos somar e depois subtrair os ângulos de

68º23’49” e 37º36’28”

Operações com ângulos

2) Multilplicação e Divisão: Realizamos as operações de

cada unidade separadamente. Devemos ter cuidado na

conversão do resto da divisão, pois 1º=60’ e 1’ = 60”.

Também não podemos ter, na resposta final, os valores

dos minutos e segundos maiores que 59.

Ex.: Vamos multiplicar e depois dividir o ângulo de

78º23’40” por 4.

Observações sobre ângulos

Assim como o ponto médio divide um segmento em

duas partes iguais, chamamos de bissetriz o segmento

de reta que divide o ângulo ao meio.

O segmento CE é bissetriz

do ângulo ACD.

Ângulos

Voltando a ideia de retas concorrentes, note que elas

formam 4 ângulos.

O que nós podemos falar

sobre os ângulos verde e

preto ou azul e

vermelho?

Ângulos opostos pelo

vértice são congruentes.

Os ângulos adjacentes

são suplementares.

Retas Paralelas cortadas por transversalPodemos dizer que duas retas paralelas possuem a

mesma inclinação relativa.Note como nós só

temos dois conjuntos

de ângulos

congruentes. Se os

ângulos não forem

congruentes, então

eles serão

suplementares

Ao observarmos dois ângulos

quaisquer, podemos classifica-los da

seguinte forma:

Retas Paralelas cortadas por transversal

Correspondentes: Se

eles estiverem na

mesma posição

relativa, mas em

retas paralelas

distintas.

Em relação à transversal:

• Colaterais: Se estiverem do mesmo lado da transversal.

• Alternos: Se estiverem de lados opostos da transversal.

Em relação às paralelas:

• Internos: Se estiverem entre as duas paralelas.

• Externos: Se estiverem fora das duas paralelas.

Exemplo

Calcule o valor de x, sabendo que r//s.

Exemplo

Calcule o valor de m, sabendo que r//s.

Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? Como

podemos provar isso?