GERENCIAMENTO DAS DIRETRIZES E DA ROTINA FEG – UNESP Bruno Franco 2011.
Limites e Derivadas · (FEG), no Departamento de Matemática (2006), onde lecionou a disciplina...
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: Limites e Derivadas
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CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL: Limites e Derivadas
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JULIANA BOKOR VIEIRA XAVIER
CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL: Limites e Derivadas
1ª Edição
Editora da Universidade de Taubaté
EDUNITAU
2017
3
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reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade.
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Autor
Profa. Ma. Ely Soares do Nascimento
Profa. Ma. Márcia Regina de Oliveira Profa. Ma. Márcia Regina de Oliveira
Profa. Ma. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira
Me. Benedito Fulvio Manfredini Bruna Paula de Oliveira Silva
Juliana Bokor Vieira Xavier
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SIBi – Sistema integrado de Bibliotecas – UNITAU
X3c Xavier, Juliana Bokor Vieira Cálculo diferencial e integral: limites e derivadas. / Juliana Bokor Vieira Xavier. Taubaté: UNITAU, 2017.
151f. : il. ISBN 978-85-9561-010-1
Bibliografia
1. Limites. 2. Derivadas. 3. Funções. I. Universidade de Taubaté. II. Título
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PALAVRA DO REITOR
Palavra do Reitor
Toda forma de estudo, para que possa dar certo,
carece de relações saudáveis, tanto de ordem
afetiva quanto produtiva. Também, de
estímulos e valorização. Por essa razão,
devemos tirar o máximo proveito das práticas
educativas, visto se apresentarem como
máxima referência frente às mais diversificadas
atividades humanas. Afinal, a obtenção de
conhecimentos é o nosso diferencial de
conquista frente a universo tão competitivo.
Pensando nisso, idealizamos o presente livro-
texto, que aborda conteúdo significativo e
coerente à sua formação acadêmica e ao seu
desenvolvimento social. Cuidadosamente
redigido e ilustrado, sob a supervisão de
doutores e mestres, o resultado aqui
apresentado visa, essencialmente, a orientações
de ordem prático-formativa.
Cientes de que pretendemos construir
conhecimentos que se intercalem na tríade
Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de
forma responsável, porque planejados com
seriedade e pautados no respeito, temos a
certeza de que o presente estudo lhe será de
grande valia.
Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa
leitura.
Bons estudos!
Prof. Dr. José Rui Camargo
Reitor
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Prefácio
No prefácio do livro Cônicas e Quádricas, de Jacir Venturi, o autor apresenta o seguinte
texto:
“Conta uma fábula grega que os deuses do Olimpo estavam preocupados com a evolução
do homem. Este estava se desenvolvendo tanto pelo uso de sua inteligência que em breve
alcançaria os imortais deuses. Era preciso reagir. O todo poderoso Zeus, senhor dos
deuses e do mundo, vociferou: ‘Vamos esconder do homem o seu talento, e ele jamais
nos alcançará’.
Mas onde esconder o talento do homem? Posseidon, deus dos mares, sugeriu as
profundezas dos oceanos. Apolo, deus da luz, no topo da montanha. Deméter, deusa da
terra, em vales recônditos. Hefesto, deus do fogo, em magmas vulcânicas. Ares, deus da
guerra, nas geleiras eternas.
Impávido, Zeus declara: ‘Nada disso, o melhor esconderijo do homem é o interior do
próprio homem. Ele jamais há de procurar o que está dentro de si.’”
Esta fábula, não só enaltece a busca do homem do autoconhecimento e do
desenvolvimento das próprias potencialidades, mas também retrata a saga intelectual do
povo grego e sua contribuição para a evolução da Matemática.
A participação de vocês neste curso reflete a luta de cada um para o desenvolvimento de
suas potencialidades e o amadurecimento de metodologias. Tenho certeza de que serão
capazes de transmiti-las a seus alunos.
Bom estudo a todos!
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Sobre o autor
JULIANA BOKOR VIEIRA XAVIER: Possui graduação em Matemática pela
Universidade de Taubaté (1988), graduação em Engenharia Civil pela Universidade de
Taubaté (1998) e mestrado em Física na área de Astronomia Dinâmica pela Universidade
Estadual Paulista (UNESP - FEG) - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá (2005).
Tem experiência na área de Matemática, Desenho Geométrico, Física, Dinâmica Orbital
e Mecânica Celeste, tendo atuando principalmente nos seguintes temas: Satélites
Artificiais, Perturbações Orbitais e Maré Terrestre. Foi professora bolsista na
Universidade Estadual Paulista (UNESP) – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
(FEG), no Departamento de Matemática (2006), onde lecionou a disciplina Vetores e
Geometria Analítica. Foi professora de Matemática e Física no ensino Fundamental e
Médio da Rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo (1987-2003). Atua de
Engenharia Civil (1998-2002) desde 1998. Foi Professora Titular I da ETEP Faculdades
de Taubaté (2011-2012). Lecionou também Matemática e Física no Colégio de Aplicação
Dr. Alfredo José Balbi (2010-2013). Foi Docente Orientadora do curso a distância (EAD)
da UNITAU, na área de Matemática (2013-2014). Foi Professora Universitária da
FATEC de Taubaté, onde lecionou as disciplinas de Cálculo Diferencial Integral, Física
e Matemática Discreta (2015-1016). Atualmente é Professora Auxiliar II da Universidade
de Taubaté, onde leciona as seguintes disciplinas: Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra
Linear, Vetores e Geometria Analítica, Fundamentos da Matemática Elementar,
Estatística, Métodos Numéricos e Física.
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Caros(as) alunos(as),
Caros( as) alunos( as)
O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se
como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais
diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta com
profissionais capacitados e se apoia em base sólida, que advém da grande experiência
adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação, ao longo de
mais de 35 anos de História e Tradição.
Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial.
Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, livros-texto e Web
interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação a
distância, apoiados por livros-texto produzidos por uma equipe de profissionais preparada
especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais.
A estrutura interna dos livros-texto é formada por unidades que desenvolvem os temas e
subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como
subsídio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e
atividades aplicadas, cada livro-texto apresenta sínteses das Unidades, dicas de leituras e
indicação de filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo
estudado.
Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para
a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de
blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados
ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem.
Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua
disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais
atores desta formação.
Para todos, os nossos desejos de sucesso!
Equipe EAD-UNITAU
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Sumário
Palavra do Reitor .............................................................................................................. 5
Prefácio ............................................................................................................................. 7
Sobre o autor ..................................................................................................................... 9
Caros(as) alunos(as) ....................................................................................................... 11
Ementa ............................................................................................................................ 15
Objetivos ......................................................................................................................... 17
Unidade 1 Limite e Continuidade .............................................................................. 25
1.1 Limites laterais ......................................................................................................... 25
1.2 Propriedade algébrica de limites............................................................................... 30
1.3 Noção intuitiva de limites ......................................................................................... 36
1.4 Continuidade de funções .......................................................................................... 38
1.5 Cálculo de limites ..................................................................................................... 44
1.6 Assíntotas ................................................................................................................. 62
1.7 Limites de uma função exponencial ......................................................................... 69
1.8 Limites fundamentais ............................................................................................... 71
1.9 Síntese da Unidade ................................................................................................... 78
1.10 Para saber mais ....................................................................................................... 79
1.11 Atividades ............................................................................................................... 80
Unidade 2 Derivadas ................................................................................................... 83
2.1 O Problema da reta tangente ..................................................................................... 83
2.2 Leis operatórias......................................................................................................... 91
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2.3 Derivada da função composta................................................................................... 97
2.4 Derivadas das funções elementares .......................................................................... 99
2.5 Derivação Implícita ................................................................................................ 104
2.6 Equações da reta tangente e da reta normal ............................................................ 106
2.7 Síntese da Unidade ................................................................................................. 110
2.8 Para saber mais ....................................................................................................... 111
2.9 Atividades ............................................................................................................... 113
Unidade 3 Aplicação de Derivadas .......................................................................... 114
3.1 Taxa de variação ..................................................................................................... 114
3.2 Derivações sucessivas e gráficos ............................................................................ 121
3.3 Derivações sucessivas e o significado físico .......................................................... 136
3.4 Problemas de máximos e mínimos ......................................................................... 143
3.5 Regras de L’Hospital .............................................................................................. 146
3.6 Síntese da Unidade ................................................................................................. 147
3.7 Para saber mais ....................................................................................................... 148
3.8 Atividades ............................................................................................................... 150
Referências ................................................................................................................... 149
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Cálculo Diferencial e Integral – Limites e
Derivadas
Ementa
ORGANIZE-SE!!!
Você deverá usar de 3
a 4 horas para realizar
cada Unidade.
EMENTA
Conceito e noção intuitiva de limite. Continuidade; Cálculo e Aplicação das
Derivadas. Antiderivadas. Máximos e Mínimos. Problemas de Taxa de
Variação.
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Objetivo Geral
Introduzir noções básicas sobre cálculo diferencial e integral. Mostrar a
importância e a aplicação de conceitos tais como limites e derivadas, como
ferramentas indispensáveis na resolução de problemas em várias áreas do
conhecimento.
Obj eti vos
Objetivos Específicos
• Proporcionar fundamentação teórica sobre limites e derivadas, bem
como suas aplicações.
• Definir e calcular limites.
• Definir e calcular a derivada de uma função.
• Aplicar as regras de derivação nas diversas ciências.
• Aplicar os conhecimentos sobre derivada em situações reais.
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Introdução
Tão correto e tão bonito
O infinito é realmente
Um dos deuses mais lindos!
(Renato Russo)
“O infinito! Nenhuma outra questão tem tocado tão profundamente o espírito do
homem; nenhuma outra ideia tem estimulado de forma tão frutífera seu intelecto;
no entanto, nenhum outro conceito permanece com tanta necessidade de
esclarecimento que o de infinito” (Hilbert 1926,1963 )
Segundo a Wikipédia, Infinito (do latim infinítu, símbolo: ∞) é um adjetivo que denota
algo que não tem início nem fim, ou não tem limites, ou que é inumerável. É também um
nome que representa o que não tem limites. Usado em sentido figurado pode significar
Deus, o Absoluto ou o Eterno.
É um conceito usado em vários campos, como a matemática, a filosofia e a teologia. É
representado com o símbolo ∞, e na matemática é uma noção quase numérica usada em
proposições. Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual.
O infinito pode ser visto de muitas perspectivas. A intuição percebe-o como uma espécie
de "número" maior do que qualquer outro. Para algumas tribos primitivas é algo maior
que três, representando "muitos", algo incontável. Para um fotógrafo o infinito começa a
dez metros da lente, ao passo que para um cosmólogo pode não ser suficiente para conter
o universo. Para um filósofo é algo que tem a ver com a eternidade e a divindade. Mas é
na matemática que o conceito tem as suas raízes mais profundas, sendo a disciplina que
mais contribuiu para a sua compreensão.
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No seu trabalho, “Infinitos e Infinitésimos – Um problema matemático”, Felipe Sobreira
Abrahão (2009) nos conta que foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão
dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo* e ao infinitésimo em busca de uma
explicação para o movimento e transformações dos seres. Porém, muito se relutou em
adotar plenamente o estudo de tais fenômenos como fonte real de conhecimento como,
por exemplo, era considerada a astronomia na época.
Possivelmente, a crise dos incomensuráveis, datada no seio da escola pitagórica, veio a
resultar, por meio das polêmicas entre os filósofos pré-socráticos, em questões de diversas
naturezas sobre o mundo físico.
Demócrito, aparentemente, no século V a.C., foi o primeiro a falar sobre os infinitésimos
com a sua doutrina atomista, na qual o mundo seria todo composto de partículas
infinitamente pequenas, juntamente com o vácuo. O atomismo transfere o problema
metafísico sobre a imutabilidade e mudança, conforme Parmênides e Heráclito,
respectivamente, para o plano físico. Com a inclusão do vácuo para explicar o movimento
da natureza, a teoria atomista trouxe, agregada a ela, a problemática da existência de um
não existente (o vácuo verdadeiro).
Tais ideias geraram bastante controvérsia, principalmente na escola filosófica de Eléia,
pela influência das ideias de Parmênides. Estas chamavam a atenção para as contradições
e os paradoxos que surgiriam em torno de considerar o mundo como composto por
partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Zenão, um aluno de Parmênides, ficou
historicamente mais famoso nessa problemática com seus quatro paradoxos sobre a
impossibilidade do movimento contínuo.
Dentre esses paradoxos, o da Dicotomia e, semelhantemente, o famoso Aquiles e a
Tartaruga, ressaltam a impossibilidade de se percorrer uma distância contínua, ou seja,
divisível infinitamente, em um tempo finito. Uma solução para esse problema vem com
o advento do Cálculo Diferencial e Integral: no aspecto físico, pela matemática da
integração – a soma infinita de partes infinitamente pequenas pode resultar numa
quantidade finita em um intervalo de tempo finito; no aspecto metafísico, pelas Mônadas
de Leibniz – o espaço contínuo pode ser constituído de partes indivisíveis, infinitamente
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pequenas, sem necessidade do vácuo.
Muito se deve a Zenão e seus paradoxos sobre o dito Horror ao Infinito que surgiu na
cultura grega antiga, apesar de Hermann Weyl considerar que a grande conquista dos
gregos tenha sido a construção de uma interação frutífera para a aquisição de
conhecimento entre o finito e o infinito. De fato, eles mostram uma dificuldade inerente
ao se compreender intuitiva e logicamente as noções de infinito e infinitamente pequeno.
“As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a
segmentos de reta.
Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por
segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o
mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da
Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números
e devia ser tratado por métodos geométricos.” (Boyer)
Euxodo, aluno de Platão, mesmo com seu Método da Exaustão não propõe ir até o infinito
para resolver algumas questões entre números e grandezas geométricas. Ele exclui o uso
de infinitésimos com seu axioma enunciado por Euclides e que acabará sendo conhecido,
posteriormente, como o postulado de Arquimedes,
“se da maior subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, e
do que restou subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade,
repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que
será menos que a menos grandeza dada.” ( Euclides)
Aristóteles considerava o infinito somente como um potencial, um vir-a-ser, e não como
perfeito real: “Uma sucessão de pontos não gera um intervalo”; “como os pontos estão
contidos em um intervalo” (Metaphysics, A 9, 992ª).
Arquimedes de Siracusa, datado por volta do ano 287 a. C., incorporou o Método da
Exaustão em seus trabalhos mecânicos e físico-matemáticos de forma mais ampla, por
exemplo, achando a área sobre a parábola e antecipando, dessa forma, mais de dezessete
séculos os resultados do Cálculo Integral.
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Galileu, que deixou as fundações da mecânica moderna (incluindo a dinâmica), não temia
o emprego de infinitesimais, conforme visto no “Discursi” (1635). Para ele, a linha
contínua é um agregado de infinitos pontos, ou seja, um infinito real. Ele e outros, como
Simon Stevin, Kepler e Fermat, ainda vieram a dar contribuições para a matemática e
para a física usando métodos infinitesimais semelhantes ao de Arquimedes.
É remetido a Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716 d. C.), nascido em Leipzig na
Alemanha, e igualmente ao seu contemporâneo Isaac Newton (1642-1727), nascido na
Inglaterra, a autoria do Cálculo Diferencial e Integral, a qual os dois desenvolveram
paralelamente entre as décadas de 1660 e 1680.
A problemática do infinitamente pequeno já se encontra justamente nessa dualidade entre
os criadores do Cálculo. Para Newton, conforme Boyer, as noções estavam ligadas a uma
propriedade Contínua. Se satisfazendo a noção de Velocidade. As quantidades
representadas pelas variáveis x e y nas equações, por exemplo, eram consideradas como
fluentes, sujeitas a uma taxa de variação ou sendo fluxos. Ele relutava em agregar
infinitésimos como constituintes das variáveis. Seu tratamento matemático era voltado
para uma descrição mecânica e cinemática, considerando a derivada uma velocidade
finita, e não propriamente uma razão entre infinitesimais. É interessante notar que Jahnke
no seu livro “A History of Analysis” argumenta que o contínuo a que tanto Newton quanto
Leibniz se referiam não era o da reta real e sim o geométrico e cinemático.
Em seu artigo de 1965 “Metafísicas do Cálculo”, apresentado em um colóquio devotado
à Filosofia da Ciência, Abraham Robinson analisa as fundações do cálculo na história e
percorre seus autores discutindo os aspectos matemáticos e ontológicos dos infinitesimais
e dos infinitos.
Quanto a Newton e Leibniz, ele vê o primeiro numa tentativa de alguma forma ambígua
no tratamento do cálculo – hora por limites, hora por quantidades ínfimas -, e ao segundo,
explicitando claramente sua preferência pelo seu ponto de vista, atribui uma tentativa
clara e não ambígua de fundar o cálculo incluindo quantidades infinitamente pequenas.
Embora o Cálculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz que, apesar de muito
instrumentalismo e tecnicismo matemático, permitiu uma enorme gama de
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desenvolvimentos tecnológicos, uma explicação bem definida desse nosso ranço lógico
do discreto e do finito, até mesmo numa construção formal incluindo infinitos e
infinitésimos, se estendendo, consequentemente, por exemplo, aos conceitos físicos de
espaço, ainda é pendente.
* contínuo – sem interrupção, sem mudança brusca.
Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o ferramental matemático
para a construção do cálculo diferencial para funções de uma variável real. Este livro-
texto apresenta a parte inicial do estudo de cálculo básico e as ferramentas algébricas com
que ele foi formado.
Na primeira Unidade apresentaremos a noção intuitiva de limites e suas propriedades, o
conceito de função contínua e o cálculo de limites. As regras para superar as
indeterminações aparentes e as indeterminações que geram limites infinitos.
Apresentaremos também o conceito de curvas assintóticas e o método de cálculo de uma
reta assíntota.
Na segunda Unidade, apresentaremos o conceito de derivada mostrando o problema da
reta tangente. Veremos as leis operatórias para cálculo das derivadas de várias funções.
Mostraremos a derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva e calcularemos
a equação dessa reta tangente. Mostraremos como uma função pode ser escrita de forma
implícita e calcularemos as derivadas dessas funções.
Na terceira Unidade, veremos a derivada como taxa de variação. Resolveremos
problemas utilizando principalmente a Regra da Cadeia. Apresentaremos o significado
físico e gráfico das derivadas até segunda ordem. Estudaremos os pontos críticos das
funções e desenharemos seus gráficos. Mostraremos o cálculo de maximização e
minimização em diversos problemas de várias áreas da atividade humana.
Autor: Richard Morris
Coleção: Ciência e Cultura
Assunto: Ciências
Uma Breve História do Infinito- Dos
Paradoxos de Zenão ao Universo Quântico. Há
aproximadamente 2.500 anos, ao propor seu
famoso paradoxo envolvendo Aquiles e a
24
25
Unidade 1
Unidade 1 . Limite e Continuidade
Nesta primeira Unidade, estudaremos limites e continuidade de uma função. Inicialmente
desenvolveremos a ideia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função
y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu
domínio.
1.1 Limites laterais
O dicionário define como “contínuo” algo “em que não há interrupção; seguido,
sucessivo”.
Informalmente, função contínua é aquela cujo gráfico pode ser traçado sem que a caneta
saia do papel. Nem todas as funções possuem essa propriedade. Uma função não é
contínua quando sua função possui um “buraco” ou um “salto”.
Por exemplo, a Figura 1.1 mostra o gráfico do estoque I em função do tempo “t” para
uma companhia que repõe o estoque até o nível 1L sempre que o estoque cai abaixo de
certo nível mínimo 2L .
26
Esta forma de gerenciar o estoque é conhecida como “just in time”, que significa “em
tempo hábil”.
Suponha que a primeira reposição ocorra no instante 1tt = .
Quando 1tt → do lado esquerdo, o valor limite é 2L , mas quando 1tt → do lado direito,
o valor limite é 1L .
Para descrever limites laterais, usaremos a notação a seguir:
• Definição de Limites Laterais
Se ( )xf tende a “L” quando x tende a “a” pela esquerda ( ax ), escrevemos:
( ) Lxfax
=−
→lim
Figura 1.1: Gráfico do estoque em função do tempo.
Fonte: Figura extraída do livro “Cálculo”, de Hoffmann & Bradley.
27
Se ( )xf tende a “M” quando x tende a “a” pela direita ( ax ), escrevemos:
( ) Mxfax
=+
→lim
Usando esta notação no exemplo do estoque, temos:
( ) 21
lim LtItt =−→ e ( ) 1
2
lim LtItt =−→
Exemplo:
Seja o gráfico abaixo:
Determine:
a) ( ) 4lim2
=−
→xf
x
b) ( ) 8lim2
=+
→xf
x
Figura 1.2: Gráfico de uma função definida por duas sentenças.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
28
c) ( ) =→
xfx 2
lim
Observação: Para o cálculo do limite de ( )xf quando 2→x , entendemos que “tanto
pela esquerda quanto pela direita” o limite deverá ser o mesmo. Como, neste exemplo,
são diferentes, dizemos que este limite não existe.
d) ( ) 82 =f (ponto fechado).
• CONCLUSÕES IMPORTANTES
i. O valor do limite num ponto só existe se os limites laterais existirem e forem
iguais.
Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto a, exceto possivelmente no ponto
a, então ( ) Lxfax =→lim se e somente se ( ) Lxfax
=+
→lim e ( ) Lxf
ax=−
→lim
.
ii. O valor do limite de uma função não seu valor dependente do valor da função.
Ex: ( ) =→
xfx 2
lim (não existe) embora ( ) 82 =f
iii. De modo intuitivo temos que o limite de uma função num ponto nada mais é do
que a tendência de ( )xf .
Exemplo:
(a) Dada a função ( )xf dada por ( )
−+
+=
121
21
2 xexsex
xsexxf
Representá-la graficamente e verificar no gráfico os limites:
a) ( )xfx 2
lim−→
d) ( )xfx
−
→2lim
b) ( )xfx 0
lim→
e) ( )xfx
+
→2lim
29
c) ( )xfx 1
lim−→
f) ( )xfx 2
lim→
Solução:
Construindo o gráfico da função ( )xf , temos:
a) ( ) 5lim2
=−→
xfx
d) ( ) 5lim2
=−
→xf
x
b) ( ) 1lim0
=→
xfx
e) ( ) 3lim2
=+
→xf
x
c) ( ) 2lim1
=−→
xfx
f) ( ) =→
xfx 2
lim
Figura 1.3: Gráfico de uma função definida por uma parábola e uma reta.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
30
1.2 Propriedade algébrica de limites
Vamos estudar agora algumas propriedades que admitiremos verdadeiras sem efetuarmos
suas demonstrações.
Consideremos, então, as funções )(xf e )(xg , definidas num domínio D, tal que:
( ) axfxx =→ 0lim e ( ) bxgxx =→ 0
lim k uma constante real
• Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante, isto é, kkxx =→ 0lim
Figura 1.4: Gráfico da função constante f(x) = 2, isto é k=2
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
-4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
31
Exemplos:
(a) 1010lim 3 =→x (b) 2)2(lim 1 −=−→x 5
2
5
2lim)( 1 =−→xc
• Limite da soma
O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções, isto é:
( ) ( ) xgxfxx +→ 0lim = ( )xfxx 0
lim → + ( )xgxx 0lim → = ba +
Exemplo:
6111.31
limlim3limlim)13(lim
23
112
13
123
1
=+++=
+++=+++ →→→→→ xxxxxxx xxxxx
axlim ax =→
Figura 1.5: Gráfico da função identidade f(x) = x
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
-4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
32
• Limite da diferença
O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções, isto é:
( ) ( ) xgxfxx −→ 0lim = ( )xfxx 0
lim → - ( )xgxx 0lim → = ba −
Exemplo: 1422.4lim)4(lim)4(lim 22
22
22 =−=−=− →→→ xxxx xxx
• Limite do produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
( ) ( ) xgxfxx .lim0→ = ( )xfxx 0
lim → . ( )xgxx 0lim → = ba.
Exemplo: 122.3lim.3lim3lim 2222
22 === →→→ xx xxx
• Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é igual à quociente dos limites dessas funções, isto
é:
( )( )
→
xg
xfxx 0
lim = ( )
( )xg
xf
xx
xx
0
0
lim
lim
→
→= 0, bcom
b
a
Exemplo: 4
15lim
2
2+
+−→
x
xxx =
4lim
15lim
2
22
+
+−
→
→
x
xx
x
x = 6
5
42
12.522
−=+
+−
• Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite
dessa função, isto é:
nxx xf )(lim0→ = nxfxx )(lim
0→= na se a>0
Exemplo: 25)1.5()5(lim)5(lim 221
21 === →→ xx xx
33
• Limite de uma raiz
O limite de uma raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função,
isto é:
nxx xf )(lim
0→ = n xx xf )(lim0→ = n a se 0a e *n
Exemplo: 282.44lim4lim 3332
32 ==== →→ xx xx
➢ Limite de um logaritmo
O limite de um logaritmo de uma função é igual o logaritmo do limite dessa função, isto
é:
)(loglim0
xfbxx→ = )(limlog0
xfxxb → , com 10 b e 0)(lim0
→ xfxx
Exemplo: 24log16log
)2.42(log)]4([limlog)4(loglim
244
34
324
342
==
=+=+=+ →→ xxxx xx
• Limite de uma função polinomial
O limite de uma função polinomial 011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
− , definida em
, quando x tende à x0 é igual a f(x0), isto é:
)()(lim 00xfxfxx =→
Exemplo: ( )843lim 3
1 +−−→ xxx ( ) ( ) 81.4133
+−−−= 9=
• Limite de uma função racional
Se e ( )xq são funções polinomiais, então: ( )xp
34
( )( )
( )( )0
00
limxq
xp
xf
xpxx =→ , para ( ) 00 xq
Exemplo: 2
83lim
3
1−
−−→
x
xx
21
8)1(3 3
−−
−−=
3
11=
Mais exemplos:
1) Se 1lim 0 =→x
senxx , considere as propriedades dos limites para determinar os
seguintes limites:
a) x
senxxx
+→0lim
2
11
limlim
limlim
00
00
=
+=
+=
+=
+
→→
→→
x
senx
x
x
x
senx
x
x
x
senxx
xx
xx
b) 2
2
0
cos1lim
x
xx
−→
=2
2
0limx
xsenx→ =
x
senx
x
senxx .lim 0→
=x
senxx 0lim → .
x
senxx 0lim →
=1.1
35
=1
c) 3
3
0limx
senxx→
= 30
30 limlim
x
senx
x
senxxx →→ =
= 3 1 =1
2) Calcule os limites por substituição:
a) x
tgxex
x 20cos
lim−
→
=x
tgxe
x
tgxe
x
x
x
x
x
x
x
2
0
00
2
0
0
coslim
limlim
coslim
)(lim
→
→→
→
→ −=
−
=0cos
02
0 tge +
=1
01−
=1
c) n
nx
2
16log
lim →
=n
n
x
x
216
16
loglim
lim
→
→
=16loglim
16lim
216
16
→
→
x
x
36
=4
4
=1
1.3 Noção intuitiva de limites
Dada a função ( )63
2 23
−
−=
x
xxxf (função racional), em que o domínio dessa função é
. Isso significa que 2 não está no domínio de ( )xf , pois se fizermos 2=x
obtemos a indeterminação 0
0.
Observemos a tabela abaixo:
Tabela 1.1: valores atribuídos a x tendendo a dois, pela esquerda e pela direita de dois.
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 2
( )xf 1,20333333 1,32003333 1,33200033 1,33320000 1,33332000 X
x tende à 2 pela esquerda →
x 2,000001 2,00001 2,0001 2,001 2,01 2,1
( )xf 1,3333346
7
1,3333466
7
1,3334666
7
1,3346670
0
1,467000
0
1,4700
0000
x tende aa 2 pela direita
Obs: 3
4 é a fração geratriz da dízima 1,333333= 1+ 0,33333..... = 1+
9
3 = 1+
3
1
Parece que quanto mais próximo 2 está de x, mais próximo 3
4 está ( )xf .
2/ xRx
37
Para termos certeza disto, usaremos um artifício matemático:
→ Fatoramos (transformamos em produto) o numerador e o denominador de ( )xf :
( )( )( )23
22
−
−=
x
xxxf , então, se 2x , ( )
3
2xxf = .
Assim, o gráfico de ( )xf é a parábola 3
2xy = com o ponto
3
4,2 omitido (em aberto).
Geometricamente, quanto mais próximo x estiver de 2, mais próximo de 3
4 estará ( )xf
Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo um número
real a, exceto possivelmente no próprio a, podemos perguntar:
1. À media que x está cada vez mais próximo de a (mas ax ), o valor de ( )xf
tende para um número real L?
Figura 1.6: Gráfico da parábola mostrando uma descontinuidade removível em x=2.
Figura
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
38
2. Podemos tornar o valor da função ( )xf tão próximo de L quanto queiramos,
escolhendo x suficiente próximo de a (mas ax )?
Se a resposta a estas perguntas é afirmativa, escrevemos:
( ) Lxfax =→lim
e dizemos que o limite de ( )xf , quando x tende para a é L, ou que ( )xf se aproxima de
L quando x se aproxima de a.
Usando essa notação de limite, podemos denotar o resultado da nossa ilustração como se
segue:
3
4
63lim
23
2 =−
−→
x
xxx
1.4 Continuidade de funções
Dizemos que a função f é contínua num ponto a se as seguintes condições forem
satisfeitas.
i. ( )af é definida;
ii. )(lim xfax→ existe;
iii. )()(lim afxfax =→
Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, dizemos que a função é
descontínua em a. Observemos os gráficos a seguir:
39
Tabela 1.2: Tabela de descontinuidades.
Existe o )(lim xfax→
e ( )af é definida,
mas )()(lim afxfax →
a função é descontínua
OBS: Este gráfico não é contínuo, pois
existe um “buraco” em x=a. Portanto,
se estamos estudando o comportamento
dessa função f para valores de x
próximos de a, não podemos assegurar
que os valores f(x) estarão próximos a
f(a). Nesse caso, f(x) é maior do que
f(a) para x próximo de a, Isso é
chamado descontinuidade removível
porque o gráfico pode ser “remedado”
(ou “consertado”), redefinindo f(a).
Existe o )(lim xfax→ ,
mas ( )af não é definida
a função é descontínua
OBS: Este gráfico também apresenta
uma descontinuidade removível em
x=a. Se estamos estudando o
comportamento dessa função f para
valores de x próximos de a,
40
continuamos sem poder assegurar que
os valores f(x) estarão próximos a f(a),
porque, neste caso, f(a) não existe. É
removível porque poderíamos redefinir
f(a) completando o “buraco” e fazer f
contínua em x=a.
Não existe o )(lim xfax→
e ( )af é definida,
a função é descontínua
OBS: Neste exemplo, está uma
descontinuidade que não é removível.
É uma descontinuidade de pulo
porque existe mais de um “buraco” em
x=a. Existe um pulo (ou salto) nos
valores da função que fazem com que o
espaço seja impossível de completar
com um simples ponto (a,f(a)).
Não existe o )(lim xfax→
e ( )af não é definida,
a função é descontínua
OBS: É uma função com uma
descontinuidade infinita em x=a. Não
possível fazer nada do que citamos
anteriormente.
41
Existe o )(lim xfax→,
( )af é definida,
e )()(lim afxfax =→
a função é contínua
OBS: Este gráfico, além de ser
contínuo em x=a, é contínuo em todo
x. Note que o gráfico não tem quebra.
Isso significa que, se estamos
estudando o comportamento da função
f para os valores de x próximos a
qualquer número real a, podemos
assegurar que os valores f(x) estarão
próximos a f(a).
Fonte: Flemming e Gonçalves – Pearson – 6ª edição
Exemplo 1: Verificar se a função ( ) 5+= xxf é contínua em x=2.
(i) ( ) 752)2( =+== faf
(ii) 752)5(lim)(lim 2 =+=+= →→ xxf xax
(iii) )5(lim 2 +→ xx = )2(f
42
Como as 3 condições foram satisfeitas, a função é contínua em x=2.
Exemplo 2: Verificar se a função ( )
=
−
−
=
5,6
5,5
252
xpara
xparax
x
xf é contínua em x=5.
(i) ( ) 6)5( == faf
(ii) ( )
( ) 10555lim5
5)5(lim)(lim 55 =+=+=
−
−+= →→→ x
x
xxxf xxax
(iii) )5(lim 2 +→ xx )5(f
A 3ª condição não foi satisfeita, portanto a função é descontínua em x=5.
Figura 1.7: Gráfico de uma função contínua em x=2.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
6
8
43
Exemplo 3: Verificar se a função ( )
−
−=
3,5
3,23
xparax
xparaxxf é contínua em x=3.
(i) ( ) 235)3( =−== faf
Vamos verificar se os limites laterais existem:
(ii) 235)5(lim
723.3)23(lim
3
3
=−=−
=−=−
+
−
→
→
x
x
x
x
Como os limites laterais são diferentes, então )(lim3
xfx→
não existe, logo a função é
descontínua em x=3.
Figura 1.8: Gráfico mostrando uma descontinuidade removível em x=5
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
O gráfico da função
5
25)(
2
−
−=
x
xxf
equivale ao gráfico da
função 5)( += xxf ,
mas com o ponto aberto
em x=5.
44
1.5 Cálculo de limites
Antes de apresentar os exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre
expressões indeterminadas.
As sete formas clássicas de indeterminação são:
00 , 1 ,0 ,0 , , ,0
0−
Vejamos, por exemplo, 0
0.
Sejam f e g funções tais que ( )xfax→lim = ( )xgax→lim =0. Nada se pode afirmar, a
priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir
qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de
Figura 1.9: Gráfico mostrando uma descontinuidade de salto em x=3
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
45
indeterminação.
A partir desses exemplos vamos mostrar artifícios matemáticos como forma de superar
todas as indeterminações possíveis.
1º caso: O numerador e o denominador tendem a zero
Técnica de Resolução: Fatorar, se possível, o numerador e o denominador da
fração simplificada. Ou ainda, multiplicar e dividir a fração pelo “conjugado”
do numerador ou do denominador.
a) Calcule 0
0
23
1lim
2
2
1 =+−
−→
xx
xx (indeterminação)
( )( )( )( )21
1.1lim 1
−−
−+→
xx
xxx
( )( )2
1lim 1
−
+= →
x
xx
( )( )21
11
−
+=
2−=
b) Calcule 0
0
8
23lim
3
2
2 =−
+−→
x
xxx (indeterminação)
( )( )( )( )422
21lim
22+−−
−−→
xxx
xxx
( )
( )42
1lim
22+−
−= →
xx
xx
( )
( )42.22
122 +−
−=
Fatorando o
numerador e o
denominador da
função racional.
Fatorando o
numerador e o
denominador da
função racional.
46
4
1=
c) Calcule 0
0
16
2lim
42 =−
−→
x
xx (indeterminação)
Fatorando denominador da função racional, temos:
( )( )44
2lim
222−+
−→
xx
xx
( )( )( )224
2lim
22−++
−= →
xxx
xx
( )( )24
1lim
22++
= →xx
x
( )( )2242
1
2 ++=
32
1=
d) Calcule 0
0
34
23lim
2
2
1 =+−
+−→
xx
xxx
( )( )( )( )31
21lim 1
−−
−−→
xx
xxx
( )( )3
2lim 1
−
−= →
x
xx
( )( )31
21
−
−=
2
1=
Fatorando o
numerador e o
denominador da
função racional.
47
d) Calcule 0
0)1(lim
2
=−
−−+→
ax
axaxax
Fatorando, temos:
ax
xaxax
−
−−→
)1)((lim = =−→ )1(lim xax 1−a
e) Calcule 0
0
36254
20173lim
2
2
4 =+−
+−→
xx
xxx
Fatorando, temos:
=−−
−−→
)4)(94(
)4)(53(lim 4
xx
xxx 1
7
7
94.4
54.3
)94(
)53(lim 4 ==
−
−=
−
−→
x
xx
f) Calcule 0
016)2(lim
4
0 =−+
→h
hh
Nesse caso, faremos uma mudança de variáveis:
Vamos chamar de u=2+h. Portanto, se 0→h , então, 2→u .
Então o limite fica:
2
16lim
4
2−
−→
u
uu
Fatorando duas vezes, temos:
2
)4)(2)(2(lim
2
)4)(4(lim
2
2
22
2−
++−=
−
+−→→
u
uuu
u
uuuu =
32)42).(22()4)(2(lim 222 =++=++→ uuu
48
Exemplo 5:
Calcule:
a) 0
0
2
16lim
2
4 =−
−→
x
xx (indeterminação)
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado 2+x temos:
2
2.
2
16lim
2
4+
+
−
−→
x
x
x
xx
( )( )4
216lim
2
4−
+−= →
x
xxx
Fatorando 162 −x , temos:
( )( )( )4
244lim 4
−
++−= →
x
xxxx
( )( )24lim 4 ++= → xxx
( )( )2444 ++=
32=
b) 0
0
7
345lim 7 =
−
+−→
x
xx
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado x345 ++ temos:
( ) ( )( )x
x
x
xx
345
345
7
345lim 7
++
++
−
+−→
=( )
( )( )xx
xx
3457
3425lim 7
++−
+−→
Produto da soma
pela diferença de
dois termos.
49
=( )( )xx
xx
3457
321lim 7
++−
−→
Fatorando o numerador, temos:
=( )( )xx
xx
3457
)7(3lim 7
++−
−→
=( )x
x345
3lim 7
++→
=( )7.345
3
++
=10
3
c) Calcule 0
028lim
3
0 =−+
→h
hh
Neste caso, podemos fazer a mudança de variáveis do radicando por uma variável, cujo
expoente do radicando é múltiplo do índice do radical.
Então chamaremos de 88 33 −=+= xhhx . Portanto, Portanto, se 0→h , então,
2→x .
Então o limite fica:
=−
−→
8
2lim
3
3 3
2x
xh
)42)(2(
2lim
22+−−
−→
xxx
xh =
12
1
)42.22(
1
)42(
1lim
222 =+−
=+−
→xx
h
d) Calcule 0
0
1
1lim
3
1 =−
−→
x
xx
50
Neste caso, usaremos a fórmula 2 da tabela 4, logo abaixo.
Escreveremos o limite como se segue: 1
1lim
33
1−
−→
x
xx
Multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
3 233 2
3 233 233
1
)1(
)1(.
)1(
)1(lim
++
++
−
−→
xx
xx
x
xx =
3 233 21
)1)(1(
)1(lim
++−
−→
xxx
xx
Agora, multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado de 1−x :
)1(
1.
)1)(1(
)1(lim
3 233 21
+
+
++−
−→
x
x
xxx
xx
Rearranjando o limite acima:
3 233 21
)1)(1)(1(
)1)(1(lim
+++−
+−→
xxxx
xxx =
3 233 21
)1)(1(
)1)(1(lim
++−
+−→
xxx
xxx =
3
2
111
11
)1(
)1(lim
1 233 23 233 21 =
++
+=
++
+→
xx
xx
51
• Limites para x tendendo ao infinito e limites infinitos
o Regras das Potências Inversas
Se A e k são constantes com e, é definida para qualquer x:
2º caso: O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de + ou -
Técnica de Resolução: Neste caso, o limite é sempre igual a zero.
Produtos Notáveis
1) ( ) ( )( )21
2 xxxxacbxaxxf −−=++= , em que 21 x,x são os zeros da função.
2) ( )( )bababa 22 −+=−
3) ( )( )2233 babababa ++−=−
4) ( )( )2233 babababa +−+=+
5) )ba)(ba(ba 222244 +−=−
6) ( ) ( ) ( )( )1xax1xa1xxaaxxx 2 −+=−+−=−+−
Divisão de Polinômios: Dividendo ( )( )xq = Divisor ( )( )xp Quociente + Resto, Se
( ) 1xxxp −= , o resto é igual a zero.
Conjugados
1) Conjugado de baéba +− , pois ( )( ) bababa −=+− .
2) Conjugado de 3 233 233 babaéba ++− , pois
( )( ) babababa −=++− 3 233 233
52
Exemplo 6:
• Consideremos agora, uma função polinomial )(xf , de grau n, com 0na .
011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
−
Colocando nx em evidência, temos:
++++=
−
−
nn
nn
n
x
a
x
a
x
aaxxf 0
1
11 ...)(
Fazendo →x , cada um dos termos, x
an 1− ,..,1
1−nx
a,
nx
a0 tendem à zero, logo:
++++=
−
−→→
00
1
01
01 ...lim)(lim
nn
nn
nxx
x
a
x
a
x
aaxxf
)(lim xfx → = nnx xa→lim
Tabela 1.5: Gráficos apresentando três descontinuidades infinitas.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
a) 01
lim =→x
x
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
b) 02
lim2=→
xx
-4 -2 2 4x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
.
01
lim3=−→
xx
-4 -2 2 4x
-4
-2
2
4
y
53
Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de na e a paridade de n.
O limite da função polinomial em x, para x tendendo a mais ou menos infinito, é
igual ao termo de maior grau.
• Limites Infinitos
Dizemos que ( )xfax→lim é um limite infinito se ( )xf aumenta ou diminui sem limites
quando ax→ .
Tabela 1.3: Tabela de indeterminações. Extraído do livro Cálculo A
( )xflim ( )xglim ( )xh ( )xhlim simbolicamente
±∞ ±∞ f+g ±∞ ±∞∙±∞=±∞
+∞ +∞ f-g +∞-∞ indeterminação
+∞ k f+g +∞ +∞+k=+∞
-∞ k f+g -∞ -∞+k=-∞
+∞ +∞ f ∙ g +∞ +∞∙+∞=+∞
-∞ +∞ f ∙ g -∞ +∞ ∙ -∞=-∞
+∞ k > 0 f ∙ g +∞ +∞ ∙ k=+∞, k>0
+∞ k < 0 f ∙ g -∞ +∞ ∙ k=-∞, k<0
±∞ 0 f ∙ g ±∞ · 0 indeterminação
K ±∞ f / g 0 k / ±∞ = 0
±∞ ±∞ f / g ±∞ / ±∞ indeterminação
k > 0 0+ f / g +∞ k / 0+= +∞
+∞ 0+ f / g +∞ +∞ / 0+ = +∞
k > 0 0- f / g - ∞ k / 0-= - ∞
+∞ 0- f / g -∞ +∞ / 0- = -∞
0 0 f / g 0/0 indeterminação
Fonte: Flemming e Gonçalves – Pearson – 6ª edição
54
Exemplo 7:
Determinar
++→ 2
3
0
1lim
xxxx
Temos,
++→ 2
3
0
1lim
xxxx
=0lim →x
3x +0lim →x x +
0lim →x 2
1
x
++= 00
=
Exemplo 8:
Determinar
−−
→ 1
2lim
1 x
x
x
Nós queremos determinar se o resultado é + ou − . Como −
→1x (x tende a 1 pela
esquerda), tome um valor próximo a 1 e menor do que 1, por exemplo, tome 9,0=x .
Então,
( )18
1
8,1
19,0
9,0.2
1
2−=
−=
−=
−x
x
Daí
−=
−−
→ 1
2lim
1 x
x
x
Exemplo 9:
Determinar
−+
→ 1
2lim
1 x
x
x
55
Nós queremos determinar se o resultado é + ou − . Como +
→1x (x tende a 1 pela
direita), tome um valor próximo a 1 e maior do que 1, por exemplo, tome .1,1=x
Então,
( )22
1,0
2,2
11,1
1,1.2
1
2==
−=
−x
x
Daí
+=
−+
→ 1
2lim
1 x
x
x
3º caso: A função polinomial f(x) se aproxima de + ou -
Técnica de Resolução: Colocar em evidência a maior potência de x.
Exemplo 10: Dada a função 1252)( 23 −+−= xxxxf , calcular:
a) )(lim xfx +→
Solução: Colocando em evidência a maior potência de x:
)1252(lim 23 −+−+→ xxxx =
)1
252(lim333
2
3
33
xx
x
x
x
x
xxx −+−+→ =
Simplificando temos:
)125
2(lim3
0
2
003
xxxxx −+−+→ =
32lim xx +→ = +
b) )(lim xfx −→
Como o resultado é
positivo o limite
também o é.
56
Solução: Da mesma forma temos:
32lim xx −→ = −
Exemplo 11: Determinar ( )143lim 35 +−→ xxx
Neste caso obtemos uma indeterminação do tipo − . Para determinar esse limite
vamos multiplicar e ao mesmo tempo dividir a função por 5x (maior expoente de x da
função).
( )143lim 35 +−→ xxx =
+−→ 5
3
55
5 143lim
xx
x
xxx
=
+−→ 52
5 143lim
xxxx
( )003. +−+=
+=
• Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a infinito.
4º caso: O numerador e o denominador se aproximam de
+ ou -
Técnica de Resolução: Divida todos os termos de ( )xf pelo x de maior
potência que aparece no denominador.
Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a + , podemos
aplicar a seguinte regra prática:
57
=
=++++
++++
−−
−−
+→
qpse
qpseb
a
qpse
bxbxbxb
axaxaxa
q
p
pp
pp
x
,0
,
, -ou +
...
...lim
011
1
011
1
No primeiro caso, para p>q, o limite tende para mais infinito ou menos infinito, segundo
os sinais de ap e bq.
Analogamente para x tendendo a - .
Exemplo 12:
Calcule 2
2
1lim
xx
xx
++→
Dividimos todos os termos de ( )xf pelo x de maior potência que aparece no
denominador, ou seja, por 2x . Isto nos permite determinar o valor de
aplicando a regra das potências inversas:
2
2
22
2
2
1lim
x
x
x
x
x
x
x
x
++
→
111
1lim
2++
= →
xx
x
111
1
2+
+
=
100
1
++=
( )xflimx −→
58
=1
Exemplo 13:
Calcule
=
+−
++→
253
132lim
2
2
xx
xxx
222
2
222
2
253
132
lim
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
+−
++
= →
2
2
253
132
lim
xx
xxx
+−
++
= →
2
2
253
132
+
−
+
+
=
3
2=
Exemplo 14: Encontre
=
−
+→
52
43lim
2x
xx
Artifício: Dividimos o numerador e o denominador da fração por x. No denominador
tomamos 2xx = , pois estamos considerando somente os valores positivos de x.
Solução:
Façamos,
=−
+→
52
43lim
2x
xx
( )
( ) 22 /52
/43lim
xx
xxx
−
+→
59
2/52
/43lim
x
xx
−
+= →
2/52
/43
−
+=
02
03
−
+=
2
3=
Exemplo 15: Encontre
=
−
+−→
52
43lim
2x
xx
A função é a mesma do exemplo 7. Entretanto, uma vez que estamos considerando valores
negativos de x, então xx −=2 , ou seja, xx =− 2 . Assim, quando dividimos o
numerador e o denominador por x, tomamos 2xx −= no denominador e temos:
=−
+−→
52
43lim
2x
xx
( )
)/(52
/43lim
22 xx
xxx
−
−
+−→
2/52
/43lim
x
xx
−−
+= →
2/52
/43
−−
+=
02
03
−−
+=
2
3−=
Exemplo 16: Calcular xxxx −+++→ 32lim 2
60
Solução: Temos um limite na forma ( )− que é indeterminado.
Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir ( xxx −++ 322 ) por
( xxx +++ 322 ).
Então, o limite fica:
xxxx −+++→ 32lim 2= xxxx −+++→ 32lim 2
.
xxx
xxx
+++
+++
32
32
2
2
=
xxx
xxxx
+++
−+++→
32
32lim
2
22
=
xxx
xx
+++
++→
32
32lim
2
Colocando a potência de maior grau em evidência:
xxx
x
xx
x
+++
+
+→
)32
1(
)3
2.(
lim
2
2
=
1)32
1(
)3
2.(
lim
2+++
+
+→
xxx
xx
x
Quando x é um número muito grande ( +→x ), os números x
3,
x
2e
2
3
xse tornam
números muito próximos de zero.
Então, o limite fica:
11
2lim
++→x =1
Exemplo 17: Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é N, a
produtividade Y pode ser modelada pela função de (Michaelis-Menten):
( )NB
ANNY
+= , 0N
61
onde A e B são constantes positivas. O que acontece com a produtividade quando o teor
de nitrogênio aumenta indefinidamente?
Solução:
Façamos,
N
N
N
BN
AN
N
+→lim
1
lim
+
= →
N
B
AN
10 +=
A
A=
Resposta: Quando o teor de nitrogênio aumenta indefinidamente a produtividade é igual
à constante A.
Exemplo 18: O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação
de um novo produto, o número de unidades fabricadas deve ser P milhares onde:
( )( )2
2
1
56
+
+=
t
tttP
O que acontece com a produção a “longo prazo” (ou seja, para →t )?
Solução:
12
56lim
2
2
++
+→
tt
ttt
62
222
2
22
2
12
56
lim
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
++
+
= →
2
121
56
lim
tt
tt
++
+
= →
6=
Resposta: A produção atinge 6 mil unidades.
1.6 Assíntotas
Em aplicações práticas, encontramos, com muita frequência, gráficos que se aproximam
de uma reta à medida que x cresce ou decresce.
63
Estas retas são chamadas de assíntotas.
• Assíntotas Horizontais
A reta by = é uma assíntota horizontal da curva ( )xfy = se
( ) bxfx =+→lim ou ( ) bxfx =−→lim
Exemplo 19: Considere a função ( )1
32 +
=x
xxf e determine sua assíntota horizontal, se
existir. Construa o gráfico.
•
x
x
xx
x
x
x
xx 11
3
lim1
3
lim
2
2
2
+
=
+
+→+→
01
0== (fica próximo de zero quando x é grande)
Figura 1.10: Assíntotas - Extraído do livro Cálculo A
Fonte: Flemming e Gonçalves – Pearson – 6ª edição
64
•
x
x
xx
x
x
x
xx 11
3
lim1
3
lim
2
2
2
+
=
+
−→−→
01
0== (fica próximo de zero quando x é pequeno)
Tabela de valores de x (arbitrários) e de f(x) da função ( )1
32 +
=x
xxf
X -2 -1 0 1 2
f(x) -1,2 1,5 0 1,5 1,2
65
Quando mais próximo x se aproxima do infinito, tanto pela direita como pela esquerda,
mais a curva se aproxima da reta y=0 (o próprio eixo x). Portanto, a reta y=0 é a assíntota
horizontal da função dada.
Exemplo 20: Considere a função ( )1
32
3
+=
x
xxf e determine suas assíntotas horizontais,
se existirem. Construa o gráfico
•
xxx
x
x
x
xx 11
3lim
1
3
lim
2
2
2
2
+
=
+
→→
Figura 1.11: Reta Assíntota Horizontal y=0.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
66
31
3== (fica próximo da reta constante y=3 quando x é grande ou pequeno)
Portanto a reta y=3 é a assíntota horizontal da função dada.
Observação: A curva de uma função ( )xf jamais atravessa uma assíntota vertical ax =
já que pelo menos um dos limites laterais ( )xfax−
→lim e ( )xf
ax+
→lim é infinito. Por
outro lado, nada impede que a curva de uma função atravesse uma assíntota horizontal.
• Assíntotas Verticais
A reta ax = é uma assíntota vertical da curva da função ( )xf se:
( ) )(lim −+=−
→ouxf
ax ou ( ) )(lim −+=+
→ouxf
ax
Exemplo 21: Considere a função ( )x
xf1
= e determine sua assíntota vertical, se existirem.
Construa o gráfico.
Figura 1.12: Reta Assíntota Horizontal y=3.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
O gráfico passa pela
origem, pois f(0)=0 e como
a assíntota é y=3, a curva
só pode tender para essa
reta, tanto pela direita
como pela esquerda.
67
Repare que o domínio dessa função }0{)( = xxfD . Isso significa que x pode
assumir qualquer valor real menos o zero. Portanto, a assíntota vertical dessa função é a
reta x=0, ou seja, o próprio eixo dos y.
Exemplo 22: Considere a função ( )( )22
1
−=
xxf e determine sua assíntota vertical, se
existirem. Construa o gráfico.
Tabela 1.4 Gráfico da função ( )x
xf1
=
( ) −=−
→xf
x 0lim
( ) +=+
→xf
x 0lim
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
68
Repare que o domínio dessa função }2{)( = xxfD . Isso significa que x pode
assumir qualquer valor real menos o dois. Portanto, a assíntota dessa função é a reta,
paralela ao eixo dos y, x=2.
Exemplo 23: Considere a função ( )2
32
+
+=
x
xxf e determine todas as suas assíntotas.
Construa o gráfico.
Repare que o domínio dessa função }2{)( −= xxfD . Portanto, a assíntota dessa
função é a reta paralela ao eixo dos y, x=-2.
Tabela 1.5: Gráfico da função ( )( )22
1
−=
xxf .
( ) +=−
→xf
x 2lim
( ) +=+
→xf
x 2lim
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
69
Assíntota vertical (x=-2)
( ) +=−
−→xf
x 2lim
( ) −=+
−→xf
x 2lim
Assíntota horizontal (y=2)
22
32lim =
+
++→
x
xx
22
32lim =
+
+−→
x
xx
1.7 Limites de uma função exponencial
Considerando os gráficos da função exponencial ( ) xaxf =
Figura 1.13: Retas Assíntotas da Função ( )2
32
+
+=
x
xxf
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
70
Exemplo 24:
A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária e equivocada de
um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-
se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Suponha que a quantidade de um medicamento, em miligramas, presente na corrente
sanguínea de uma pessoa com t horas, após a sua ingestão, é dada por:
82.50)(t
tQ−
=
a) Qual a quantidade inicial de medicamento presente na corrente sanguínea da pessoa?
b) Nessas condições, qual o tempo necessário para que essa quantidade se reduza a
6,25mg?
Tabela 1.9: Gráfico da função ( ) xaxf = .
a>1
0<a<1
Analisando os gráficos da função
exponencial acima temos:
• +=+→
x
x alim
• 0lim =−→x
x a
Analisando os gráficos da função
exponencial acima temos:
• 0lim =+→x
x a
• +=−→x
x alim
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
71
c) O que acontece com a quantidade de medicamento presente na corrente sanguínea no
decorrer do tempo?
d) Que quantidade de medicamento há na corrente sanguínea quando o tempo tende ao
infinito?
Solução:
(a) mgQt 50)0(0 ==
(b) 82.5025,6t−
= 8250
25,6 t−= 82
5000
625 t−= 8
3
4
210.5
5 t−=
83
3
210
5 t−= 8
3
210
5 t−=
8
3
22
1 t−=
( ) 8
31 22t−− =
83 22t−− =
83
t−=− ht 24=
(c) diminui
(d)
8/
2
1.50lim
t
t
→
8/
2
1.50lim
tt → 2
1.50 00.50 = (tende à zero)
1.8 Limites fundamentais
Proposição - x
senxx 0lim → é igual a 1.
Teorema do Confronto: Dadas as funções f, g e h. Tem-se que )()()( xgxhxf .
Suponha que Lxfxx =→ )(lim0
e Lxgxx =→ )(lim0
, onde L é um número real. Então
Lxhxx =→ )(lim0
72
Em outras palavras, o teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma
função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada
(inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.
Prova: Vamos provar através de um argumento geométrico:
Consideremos uma circunferência de raio igual a 1.
Seja x a medida em radiano do arco MOA
. Limitamos a variação de x ao intervalo ]2
,0[
.Observando a figura acima, escrevamos as desigualdades equivalentes:
área MOA área do setor circular MOA < área MAOT
2
.
2
'. MAOAMMOA
<2
.ATOA
ATMAMM
'
tgxxsenx
Figura 1.14: Circunferência de raio 1
Fonte: Figura extraída do livro Cálculo A –
Flemming e Gonçalves
73
Dividindo a última desigualdade por senx, já que senx>0 para
2,0
x , temos
xsenx
x
cos
11
Invertendo todas as frações teremos:
xx
senxcos1
Como 1cos
1lim)(lim 00 == →→
xxf xx e
11lim)(lim 00 == →→ xx xg , o Teorema do Confronto nos assegura que:
1lim)(lim 00 == →→x
senxxh xx
Portanto
1lim 0 =→x
senxx
Figura 1.15: Gráfico da função x
senxy =
Figura 1.16: Figura desenhada pela própria autora.
-15 -10 -5 5 10 15
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
74
Exemplos:
a) Determinar x
xsenx
2lim 0→
Faremos uma troca de variáveis, onde u é uma função de x:
→→
==
00
22
xquandou
uxxu
Portanto, 21.2lim22/
lim2
lim 000 ==== →→→u
usen
u
usen
x
xsenuux
b) Determinar xsen
xsenx
4
3lim 0→
Neste caso, faremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue:
xx
xsen
xx
xsen
xsen
xsenxx
4.4
4
3.3
3
lim4
3lim 00 →→ =
x
xsen
x
xsen
x
4
4
3
3
lim4
30→=
1
1.
4
3=
4
3=
c) Determinar x
xtgx 0lim →
Multiplicamos e
dividimos o numerador
e o denominador pelo
valor dos argumentos
correspondentes
75
Temos, nesse caso,
x
x
xsen
x
xtgxx
coslimlim 00 →→ =
xx
xsenx
cos
1.lim 0→=
11.1 ==
• Número “e” ou número de Euler
Na matemática, o número de Euler (e), denominado em homenagem ao matemático
suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número
incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante
matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada
em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No
entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de
logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi
descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte
expressão (muito comum no cálculo de juros compostos), cujo valor é aproximadamente
2,718 281 828 459 045 235 360 287.
Fonte: Wikipédia - http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler
Proposição ex
x
x =
+→
11lim onde e é o número irracional neperiano cujo valor
aproximado é 2,718281828459... .
A prova desta proposição envolve noções de séries, por este motivo será aqui omitida.
Exemplos
(i) Provar que ( ) ex xx =+→
1
0 1lim .
76
Em primeiro lugar provaremos que ( ) ex xx
=++→
1
01lim .
De fato fazendo t
x1
= temos que +→t quando +→ 0x . Logo,
( ) et
x
t
tx
x =
+=+ +→→
11lim1lim
1
0
Da mesma forma, prova-se que ( ) ex xx
=+−→
1
01lim .
Portanto, ( ) ex xx =+→
1
0 1lim .
(ii) Determinar ( ) .1lnlim1
0t
t t+→
( ) ( ) ]1lnln[lim1lnlim1
0
1
0t
tt
t tt +=+ →→ =
= 1ln =e .
• Proposição )1,0(ln1
lim 0 =−
→ aaax
a x
x .
Prova: Fazendo 1−= xat , temos:
1+= ta x
Aplicando os logaritmos neperianos na igualdade acima, vem:
)1ln(ln += ta x
)1ln(ln += tax
a
tx
ln
)1ln( +=
Quando 0→x temos que 0→t e então podemos escrever
77
a
t
t
x
at
x
x
ln
)1ln(lim
1lim 00 +
=−
→→=
=
t
ta t )1ln(
1lim.ln 0 +→
=
=
t
ta
t
t
)1ln(lim
1lim.ln
0
0
+→
→ =
=t
t
t
ta
/1
0
0
)1ln(lim
1lim.ln
+→
→
Considerando o Exemplo (ii), logo acima, concluímos que:
ax
a x
x ln1
lim 0 =−
→
Exemplos:
(i) x
ba xx
x
−→0lim
Temos,
x
b
ab
x
bax
xx
x
xx
x
−
=−
→→
1
limlim 00
x
b
a
b
x
x
x
x
1
lim.lim 00
−
→→
b
aln.1
78
b
aln .
(ii) 1
lim2
11
1−
− −−
→x
ae xx
x
Nesse exemplo, utilizaremos artifícios de cálculo para aplicarmos a proposição acima.
( ) ( )( )( )11
11lim
1lim
11
12
11
1−+
−−−=
−
− −−
→
−−
→xx
ae
x
ae xx
x
xx
x
( )( )( )
( )( )
−
−−
−
−
+
−
→
−
→→1
1lim
1
1lim.
1
1lim
1
1
1
11x
a
x
e
x
x
x
x
xx
( )( )
( )( )
−
−−
−
− −
→
−
→1
1lim
1
1lim.
2
1 1
1
1
1x
a
x
e x
x
x
x
Fazemos 1−= xt e consideramos que, quando 1→x , temos 0→t
Portanto,
−−
−=
−
−→→
−−
→t
a
t
e
x
ae t
t
t
t
xx
x
1lim
1lim
2
1
1lim 002
11
1
ae lnln2
1−
( )aln12
1−
1.9 Síntese da Unidade
Veja algumas das abordagens mais usadas para o cálculo de limites, resumindo o que foi
79
estudado até o momento:
Caso Técnica de Resolução
A função existe, isto é, está definida no
ponto considerado.
Calcular o valor numérico da função no
ponto considerado, ou seja, substituir o
valor de x.
O numerador e o denominador tendem a
zero.
Fatorar, se possível, o numerador e o
denominador da fração e simplificá-la.
Ou ainda, multiplicar e dividir a fração
pelo “conjugado” do numerador ou do
denominador.
Na função polinomial f(x) tende a + ou
− .
Colocar em evidência a maior potência
de x.
O numerador tende a um número real e o
denominador se aproxima de + ou −
Neste caso, o limite é sempre igual a
zero.
O numerador e o denominador tendam a
+ ou − .
Divida o numerador e o denominador
pela maior potência de x e faça a
substituição.
1.10 Para saber mais
• Variáveis e Constantes
Quando numa investigação figura uma grandeza à qual se pode dar um número ilimitado
de valores, diz-se que a grandeza é uma variável. Se a grandeza figura com valor fixo,
diz-se que ela é uma constante. Uma constante em todos os problemas, como .,7,5,2 etc
diz-se absoluta.
• Impossibilidade da divisão por zero
80
O quociente de dois números a e b é um número x tal que a=bx. Desta definição resulta
que a divisão por zero é impossível, pois se b=0, o produto de b por um número qualquer
é zero e, portanto não existe x, se 0a e x pode ser um número qualquer se 0=a . As
operações 0
a e
0
0 são, pois, impossíveis.
Sites
• http://ecalculo.if.usp.br/
Site que tem como objetivo o apoio ao curso de Licenciatura em Matemática e Estatística
da Universidade do Estado de São Paulo (USP).
1.11 Atividades
1. Determinar m , de modo que a função
=
+−=
4,3
4,65)(
2
xsem
xsexxxf , seja
contínua em x=4.
Resposta: 3
2=m
2. Um determinado tipo de árvore cresce de acordo com a função 2
424)(
+
+=
t
tth , em
que h representa a altura da árvore, em metros, e o tempo t, em anos, desde que
foi plantada.
a) Qual a altura da árvore quando foi plantada?
b) Quanto tempo leva para a árvore atingir 22 metros de altura?
81
c) Qual é a altura máxima que essa árvore pode atingir?
d) Que altura tem uma árvore que plantada a 86 anos?
3. Calcule 2
...321lim
n
nx
+++++→
Resposta: 1/2
4. Calcular:
a) x
xsenx
10
3lim 0→
b)
x
xx
31
1lim
+→
Resposta: (a) 3/10 (b) 3e
5. Calcular x
xx
−
−
→1
11
lim 1
Resposta: ½
6. As curvas logísticas são usadas na definição de modelos de crescimento
populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da
população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo,
estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma
forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é
aproximadamente t
N5,010.191
20
−+= . De acordo com a estimativa, responda:
a) Quantas pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da
gripe?
b) Quantas pessoas haviam contraído a doença, decorridas quatro semanas da
82
constatação da existência da gripe?
c) O que acontece com o número de pessoas que contrairão a doença ao logo do
tempo? Qual será o número máximo de pessoas contaminadas?
Respostas: (a) 1000 (b) Aproximadamente 16800 (c) Aumenta; 20000
83
Unidade 2
Derivadas
Nesta Unidade, vamos estudar o conceito de derivada como coeficiente angular da reta
tangente, suas leis operatórias e as ferramentas algébricas necessárias para o cálculo das
derivadas.
2.1 O Problema da reta tangente
Seja ( )00 , yxP um ponto arbitrário fixado sobre a parábola 2xy = . Vamos calcular o
coeficiente angular da tangente à parábola no ponto dado P. Para começar o processo
escolhemos um segundo ponto próximo ( )yxQ , , genérico, sobre a curva, pelo qual passa
uma reta secante, que também passa por P.
84
Lembremos que para calcular o coeficiente angular dessa reta secante que passa pelo
segmento PQ fazemos:
0
0sec
xx
yym
−
−= (1)
Raciocinemos da seguinte forma:
Façamos 1x se aproximar de 0x , de modo que Q caminhe até o ponto P, que é o ponto
fixo. Quando isso acontece, a secante muda de direção e se aproxima visivelmente da
tangente em P como sua posição-limite.
Figura 2.1: Figura mostrando uma reta secante interceptando a parábola y=x2. Os pontos de
intersecção são os pontos, P conhecido e Q genérico.
Fonte:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm
Acesso em: 25 jun. 2017.
85
Então, podemos dizer que:
0
0sec 01
limlimxx
yymm xxPQtg
−
−== →→
Desse modo, 0
0lim
0
0
0=
−
−→
xx
yyxx
que é uma indeterminação.
Continuaremos o raciocínio utilizando de um artifício matemático de forma a superar essa
indeterminação aparente.
Como P e Q estão sobre a curva 2xy = , temos:
( )
( )
=
=
xfxy
xfxy
2
0
2
00 Assim, da equação (1) temos:
Figura 2.2: Figura mostrando as várias inclinações da reta
tangente ao ponto P0.
Fonte:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calcul
o/derivada/derivada1.htm Acesso em: 25 jun. 2017.
86
0
2
0
2
secxx
xxm
−
−=
( )( )
0
00sec
xx
xxxxm
−
+−=
( ) 00 2lim0
xxxxx
=+→
Assim 02xm = é o coeficiente angular da reta tangente à curva 2xy = no ponto ( )00 , yxP
.
• Introduzindo a Notação Delta
Variando-se a variável independente x de um primeiro valor 0x para um segundo valor
para 1x , podemos escrever:
0xxx −= e também que:
xxx += 0 (2)
em que x é chamado “incremento de x”. Substituindo (2) em (1) temos:
( ) ( ) ( )
+=
−++=
−+=
x
xxx
x
xxxx
x
xxxm 0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0sec
22
xxm += 0sec 2
Fatorando o
numerador da
função.
87
Mas se 0xx → , é equivalente a dizer que 0→x .
Assim ( ) 000 22lim xxxm xtg =+= →
O cálculo que acabamos de realizar para a parábola 2xy = pode ser em princípio descrito
para o gráfico de qualquer função )(xfy = . Primeiro calculamos o coeficiente da secante
que passa pelos pontos P e Q, correspondentes à 0x e xx +0 ,
( )x
xfxxfm
−+= 00
sec
)(
Depois de calcularmos o limite de secm quando 0→x , obtemos um número m que
interpretamos geometricamente como sendo o coeficiente linear da tangente à curva no
ponto P:
( )x
xfxxfm x
−+= →
000
)(lim
Figura 2.3: Figura mostrando a reta r, secante à função f(x) e a reta t, tangente à
função f(x) no ponto P0.
Fonte: www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/matematica/unidade11/explica.htm
88
O valor desse limite é usualmente denotado pelo símbolo )(' 0xf , que se lê “f linha de x
zero”, enfatizando sua dependência do ponto 0x e da função )(xf . Assim, por definição
temos:
( )x
xfxxfxf x
−+= →
0000
)(lim)(' (3)
Fazendo ,00 xxxxxx +=−= podemos concluir que se x tende a zero equivale a
dizer que x tende a 0x . Substituindo na expressão (3) temos:
( )
0
00
)(lim)('
0 xx
xfxfxf xx
−
−= →
(4)
• A Definição de Derivada
Se separarmos da fórmula (3) da sua motivação geométrica e também retirarmos o índice
em 0x , chegaremos a nossa definição básica:
( )x
xfxxfxf x
−+= →
)(lim)(' 0 (4)
A colocar esse limite, x é mantido fixo enquanto x tende a zero.
O limite indicado pode existir para alguns valores de x e deixar de existir para outros. Se
o limite existe para x=a, então a função se diz derivável (ou diferenciável) em a.
Uma função derivável (ou diferenciável) é aquela que é derivável em cada ponto do seu
domínio.
• Observação sobre notação
Vimos anteriormente que a derivada de uma função )(xf foi denotada acima por )(' xf
Então, como )(xfy = , podemos usar 'y , frequentemente usado no lugar de )(' xf .
Notação de Leibniz
Tomemos o quociente da diferença:
89
( )x
y
x
xfxxf
=
−+ )( onde ( )xfxxfy −+= )(
Leibniz escreveu o limite desse quociente de diferenças, que naturalmente é a derivada
)(' xf , na forma dx
dy(leia-se “dy sobre dx” ou, simplesmente “dy,dx”). Nessa notação, a
definição de derivada torna-se:
x
y
dx
dyx
= → 0lim (5)
Figura 2.4: Figura mostrando os declives da reta secante e tangente.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
90
e este é o coeficiente angular (declive) da tangente na figura acima. Duas formas
equivalentes um pouco diferentes de dx
dysão:
dx
xfd )( e )(xf
dx
d
Na segunda notação, o símbolo dx
ddeve ser encarado como uma operação que pode ser
aplicada à função )(xf para levar a sua derivada )(' xf como é sugerida pela equação:
)(')( xfxfdx
d=
O símbolo dx
dpode ser lido “a derivada em relação à x de...” qualquer que seja a função
de x que siga.
Exemplo:
Determinar a derivada da função xxxf 2)( 2 −= no ponto de abscissa .40 =x
Solução:
84.24)4()( 2
0 =−== fxf
Aplicando a definição (fórmula 4):
( )
−
−= →
0
00
)(lim)('
0 xx
xfxfxf xx
4
82lim)4('
2
4−
−−= →
x
xxf x
( )( )4
24lim)4(' 4
−
+−= →
x
xxf x
( ) 624)4('2lim)4(' 4 =+=+= → fxf x
Veja outra maneira:
91
)4()( 0 xfxxf +=+ = ( )xx +−+ 42)4( 2 = ( ) ( ) ( )xxx −−++ 288162
=
= ( ) ( )268 xx ++
( ) ( ) ( )x
xx
x
xfxxfxf xx
−++=
−+= →→
868lim
)(lim)('
2
000
00=
=( ) ( )
x
xxx
−++→
868lim
2
0=
( ) ( )x
xxx
+→
2
0
6lim =
( )( )x
xxx
+→
6lim 0
= ( ) .6)4('6lim 0 =+→ fxx
2.2 Leis operatórias
Sendo )(xuu = , )(xvv = e )(xww= , funções deriváveis de x, são válidas as seguintes
regras:
Dica de Leitura
Issac Newton e sua Maçã.
Em 2001, Kjartan Poskitt publicou mais um de seus livros
irreverentes, Isaac Newton e sua maçã da coleção “Mortos
de Fama”. Com uma capa bonita e de tamanho pequeno, o
livro conta toda a história de Newton. Começando antes
mesmo de ele nascer, até sua morte, apresentando todos
seus estudos e descobertas no seu período de vida. O livro
é divido em 31 capítulos todos com ótimas ilustrações, o
mesmo que ocorre em todas as outras 192 páginas de uma
agradável leitura.
92
(I) 0=kdx
d ou 0'=k onde k é constante
Exemplo 1 : Se 5=y , determine dx
dy.
0=dx
dy
Exemplo 2 : Se 2)( =xf , determine )(' xf .
0)(' =xf
Exemplo 3 : Ache 6−dx
d.
06 =−dx
d
Exemplo 4: Se =y , determine 'y .
0'=y
(II) 1. −= nnxnx
dx
d ou 1.)'( −= nn xnx sendo n um
número real
Exemplo 1: Se 5xy = , determine 'y .
415 5.5' xxy == −
Exemplo 2 : Se 2)( xxf = , determine )(' xf .
xxf 2)(' =
Exemplo 3 : Se xxf =)( , determine )(' xf .
93
11.1.1.1)(' 011 ==== − xxxf
Exemplo 4 : Se 3)( −= xxf , determine )(' xf .
44
413 31.333)('
xxxxxf −=−=−=−= −−−
Exemplo 5 : Se x
xf1
)( = , determine )(' xf .
Primeiro escrevemos f(x) na forma: 1)( −= xxf
2
11 1.1)('
xxxf −=−= −−
Exemplo 6 : Se xxf =)( , determine )(' xf .
Primeiro escrevemos f(x) na forma: 2/1)( xxf =
xx
xxxf2
11.
2
1.
2
1.
2
1)('
2
12
11
2
1
====−−
(III) dx
dukuk
dx
d.. = ou '.)'.( ukuk = onde k é
constante
Exemplo 1 : Se 43)( xxf = , determine )(' xf .
314 12.4.3)(' xxxf == −
Exemplo 2 : Se 8
4
1)( xxf = , determine )(' xf .
77 2.8.4
1)(' xxxf ==
94
Exemplo 3 : Se 32
1)(
xxf = , determine )(' xf .
Primeiro escrevemos f(x) na forma: 3
2
1)( −= xxf
4
4
2
3
2
3)('
xxxf −=−= −
Exemplo 4 : Se 2.)( rrf = , determine )(' rf .
rrf 2)(' =
Exemplo 5 : Se 26)( xxf = , determine )1('f .
121.1212)(' === xxf
Exemplo 6 : Se 3
2
3)( ttg = , determine )2('g .
364.2
332.
2
33
2
33)(' 22 ==== ttg
(IV) dx
dw
dx
dv
dx
duwvu
dx
d−+=−+ ou
'''' wvuwvu −+=−+
Exemplo 1 : Se 254)( 23 +−+= xxxxf , determine )(' xf .
583)(' 2 −+= xxxf
Exemplo 2: Se 52)( 2 +−= tttg , determine )2('g .
22)(' −= ttg
( ) 222.2)2(' =−=g
95
Exemplo 3 : Se 453)( 2 +−= xxxf , determine )1('f .
56)(' −= xxf
15)1.(6)1(' =−=f
(V) Derivada do produto: dx
duv
dx
dvuvu
dx
d... += ou
'.'.'. uvvuvu +=
Exemplo 1: Dado 53 .xxy = , calculo 'y usando a derivada do produto.
Chamaremos de 23 3' xuxu ==
45 5' xvxv ==
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ na fórmula (V) temos:
7772543 8353.5.' xxxxxxxy =+=+=
78' xy =
Exemplo 2: Dado ( )( )1.2)( 2 ++= xxxxf , calculo )1('f .
Chamaremos de 22'22 +=+= xuxxu
1'1 =+= vxv
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ na fórmula (V) temos:
( ) )22).(1(1.2)(' 2 ++++= xxxxxf
( ) ( )( ) ( ) ( ) 1183)212).(11(1.121)1('2
=+=++++=f
(VI) Derivada do quociente: 2
..
v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d+
=
ou
96
2
'''
v
uvvu
v
u −=
Exemplo 1: Dado 2
5
x
xy = , calculo 'y usando a derivada do quociente.
Chamaremos de 45 5' xuxu ==
xvxv 2'2 ==
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ na fórmula (VI) temos:
( )2
4
6
4
66
22
542
33252.5.
' xx
x
x
xx
x
xxxxy ==
−=
−=
Exemplo 2: Dado 3
5)(
xxg = , calculo )(' xg usando a derivada do quociente.
Chamaremos de 0'5 == uu
23 3' xvxv ==
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ na fórmula (VI) temos:
( ) 46
2
23
23 15153.50.)('
xx
x
x
xxxg −=
−=
−=
Exemplo 3: Dado 72
53)(
−
+=
x
xxf , calculo )3('f usando a derivada do quociente.
Chamaremos de 3'53 =+= uxu
2'72 =−= vxv
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ na fórmula (VI) temos:
97
( ) ( ) ( )22272
31
72
106216
72
2).53(3).72()('
−−=
−
−−−=
−
+−−=
xx
xx
x
xxxf
( )( ) ( )31
1
31
732
31)3('
22−=
−−=
−−=f
2.3 Derivada da função composta
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde )(ugy = e )(xfu = .
Para todo x tal que )(xf podemos escrever )]([)( xfgugy == , isto é, uma função
composta.
• Proposição 1 (Regra da Cadeia): Se )(ugy = e )(xfu = e as derivadas du
dye
dx
du, então a função composta )]([)( xfgugy == tem derivada e é dada por:
dx
du
du
dy
dx
dy.=
ou )(').(')(' xfugxy =
Exemplo 1: Se ( )52 12 ++= xxy , determine dx
dy.
Chamaremos de 22122 +=++= xdx
duxxu
45 5udu
dyuy ==
Utilizando a Regra da Cadeia, temos:
98
( )+== 22.5. 4 xudx
du
du
dy
dx
dy ( ) ( )22.12.552 +++= xxx
dx
dy
Exemplo 2: Se ( )22 4
1)(
xxxf
+= , determine ).(' xf
( ) 22 4)(−
+= xxxf
Chamaremos de 4242 +=+= xdx
duxxu
32 2 −− −== udu
dyuy
Utilizando a Regra da Cadeia, temos:
( )=+−== − 42.2.)(' 3 xudx
du
du
dyxf ( ) ( )42.4.2
32 ++−−
xxx
( )32 4
)42(2)('
xx
xxf
+
+−=
• Regra da Potência Generalizada
Proposição 2: Se )(xgu = é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo,
então:
Exemplo1: Dada a função 35)( 2 += xxf , determinar )(' xf .
Assim,
( ) xxxf 2.32
1.5)('
2/12 −+=
( ) ( )xgxgnxgdx
d nn'..)(
1−=
99
=3
5
2 +x
x
Exemplo 2: Dada a função 3 3
2
1)(
+=
t
ttg , determinar )(' tg .
Escrevendo )(tg como produto, temos:
( ) 3/132 1.)(−
+= tttg
Assim,
( ) ( ) ttttttg 2.13.1.3
1)('
3/13213/132 −−−+++
−=
( ) ( ) 3/133/434 1.21−−
+++−= tttt
Colocando o fator comum ( ) 3/43 1−
+t em evidência, temos:
( ) ( ) 433/43 1).2(1 tttt −++=−
( ) 3/43
4
1
2
+
+=
t
tt
=( )( )3 43
3
1
2
+
+
t
tt
2.4 Derivadas das funções elementares
• Proposição (Derivada da função exponencial)
100
Se ( )10, = aeaay u então ( )10,'.ln' = aeauaay u
Caso particular: Se ,uey = então '.''.ln.' ueyueey uu == , onde e é o número
neperiano.
• Proposição (Derivada da função logarítmica)
Se ( )10,log = aeauy a então ( )10,log'
' = aeaeu
uy a
Caso particular: Se ,ln uy = então u
ue
u
uy
'ln.
'' ==
Exemplo1: Determinar a derivada das seguintes funções:
(i) 132 2
3 −+= xxy
Chamaremos de 34'132 2 +==−+= xudx
duxxu
'.3ln.33 udu
dyy uu ==
Então,
( )34.3ln.3' 132 2
+= −+ xy xx
(ii)
x
y
=
2
1
Chamaremos de xdx
duxu
2
1==
'.2
1ln.
2
1
2
1u
du
dyy
uu
=
=
Então,
101
=
xy
x
2
1.
2
1ln.
2
1'
(iii) 1
1
−
+
= x
x
ey
Chamaremos de ( ) ( )
( )21
1.11.1
1
1
−
+−−=
−
+=
x
xx
dx
du
x
xu
'.uedu
dyey uu ==
Então,
( )
−
−= −
+
2
1
1
1
2.'
xey x
x
(iv) xxey ln.=
Chamaremos de 1.ln1
.ln. xx
xdx
duxxu +==
'.uedu
dyey uu ==
Então,
( )xey xx ln1.' ln. +=
(v) ( )173log 2
2 −+= xxy
Chamaremos de 76173 2 +=−+= xdx
duxxu
eu
u
du
dyuy 22 log.
'log ==
Então,
102
exx
xy 22
log173
76'
−+
+=
(vi)
+=
1ln
x
ey
x
Chamaremos de ( )
( )21
1..1
1 +
−+=
+=
x
eex
dx
du
x
eu
xxx
u
u
du
dyuy
'ln ==
Então,
( )( )
1
1
1
1..1
'2
+=
+
+
−+
=x
x
x
e
x
eex
yx
xx
• Proposição (Derivada da função seno)
Se useny = então '.cos' uuy =
• Proposição (Derivada da função cosseno)
Se uy cos= então '.' uuseny −=
Seguem as derivadas das funções trigonométricas mais utilizadas:
Se utgy = então '.sec' 2 uuy =
Se ugy cot= então '.cos' 2 uuecy −=
Se uy sec= então '..sec' utguuy =
Se uecy cos= então '.cot.cos' uuguecy −=
103
Exemplo2: Determinar a derivada das seguintes funções:
(i) )5()( xsenxf =
xuusenxf 5;)( ==
'.cos)(' uuxf =
5)].5[cos( x=
)]5[cos(.5 x=
(ii)
=
xy
1cos
xuuy
1;cos ==
( ) '.' uuseny −=
−
−=
2
1.
1
xxsen
=
xsen
x
112
(iii) ( )xsenxf 3)( 2=
Podemos dizer que ( ) ( ) 22 33)( xsenxsenxf ==
Utilizando a regra da potência generalizada ( ) ( )xgxgnxgdx
d nn'..)(
1−= , temos:
( ) ( )3.3cos.32)('12
xxsenxf−
=
( ) ( )xxsenxf 3cos.3.6)(' =
104
(iv) ( )xsenexf x 4.)( 2=
Chamaremos de xx eueu 22 2'==
)4cos(.4')4( xvxsenv ==
Substituindo os valores de u, u’, v e v’ da fórmula derivada do produto '.'.'. uvvuvu +=
temos:
( ) ( ) xx exsenxexf 22 2.44cos4.)(' +=
( ) ( )( )xsenxexf x 44cos22)(' 2 +=
2.5 Derivação Implícita
Quando uma relação entre x e y é dada por uma equação da forma 0),( =yxf , diz-se que
é uma função implícita de x.
Exemplo: 072 2 =− yx
yx 72 2 =
7
2 2xy =
Quando y é definida como função implícita de x, geralmente, ou é impossível ou então
muito complicado exprimir y como função explícita de x, ou x como função explícita de
y.
Desse modo, para obter a derivada da função implícita, aplicamos a regra:
“Derivamos os membros da equação dada, considerando y como função de x e depois
Função na forma
Implícita
f(x,y)=0
Função na forma
Explícita
y=f(x)
105
achamos o valor de dx
dy ou 'y .”
Exemplo 1: Determinar dx
dy para 422 =+ yx
Utilizando a regra da potência generalizada '..)'( 1 uunu nn −= , temos:
dx
d
dx
yd
dx
xd 4][ 22
=+
0'22 =+ yyx
y
xy
2
2' −=
y
xy −='
Exemplo 2: Determinar dx
dy para 94 22 =+ yx
dx
d
dx
yd
dx
xd ]9[4][ 22
=+
0'82 =+ yyx
y
xy
4'=
Exemplo 3: Determinar dx
dy para 34 22 =++ yxyx
Nesse caso usaremos também a derivada do produto para derivar o termo
“ xy4 ”
106
dx
d
dx
yd
dx
xyd
dx
xd ]3[][][ 22
=−+
0'2.2 =−
++ yy
dx
dxy
dx
dyxx
0'21.'.2 =−++ yyyyxx
yxyxy −−=− 2)2('
yx
yxy
2
2'
−
+−=
Exemplo 4: Determinar )1,1('y para 0432 =−+ yyx
0]4[]3[][ 2 =−+dx
dy
dx
dyx
dx
d
00'32.'2 =−++ yxyyx
( ) 023' 2 =++ xyxy
( )3
2'
2 +−=
x
xyy
( )2
11,1' −=y
2.6 Equações da reta tangente e da reta normal
Se a reta t tangente à curva )(xf não é vertical, sua equação será obtida pela lei:
)( 00 xxmyy −=− (5)
107
onde m é o coeficiente angular da reta tangente => tgm =
108
Como já vimos anteriormente:
• tg é o coeficiente angular da reta t
• x
ytg
=
• Se →→→ etrx 0
• x
ytg x
= → 0lim )(' 0xftg =
Portanto, outra maneira de escrever a equação (5) é:
))((' 000 xxxfyy −=− (6)
Figura 2.5: Figura mostrando a reta r, secante à função f(x) e a reta t, tangente à
função f(x) no ponto P0.
Fonte:
https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/matematica/unidade11/explica.htm.
Acesso em: 25 jun. 2017.
109
Como a reta normal n é perpendicular à reta tangente t, então a equação da reta normal é:
)()('
10
0
0 xxxf
yy −−=− (7)
Exemplo: Obter as equações das retas tangente e normal à curva 1022 ++−= xxy no
ponto )7,1(−P .
102)( 2 ++−= xxxf
22)(' +−= xxf
42)1.(2)1(')(' 0 =+−−=−= fxf
Substituindo o ponto )7,1(−P e 4)(' 0 =xf na fórmula (6) temos:
))1(.(47 −−=− xy
Portanto, 114 += xy é a equação da reta tangente à curva em x=-1.
Substituindo o ponto )7,1(−P e 4)(' 0 =xf na fórmula (7) temos:
Figura 2.6: Figura mostrando a reta tangente perpendicular à
reta normal
Fonte:
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_dif
erencial_I/aula_04-3256/01.html
110
)1(4
17 +−=− xy
Portanto, 4
27
4+−=
xy é a equação da reta normal à curva em x=-1.
2.7 Síntese da Unidade
• Resumo da Definição de Derivada
Aproximando P de 0P sobre a curva de )(xf , o ponto P torna-se infinitamente próximo
de 0P , então teremos x tendendo para zero, ou seja, .0→x
• Tendências
Figura 2.7: Figura mostrando a reta r, secante à função f(x) e a reta t, tangente à função
f(x) no ponto P0.
Fonte: Figura extraída do site:
https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/matematica/unidade11/explica.htm. Acesso
em: 25 jun. 2017.
111
0PP → ... tr → ... tgtg → ... ts mm → ...
00 xxx →+ ... .0→x
• Razão Incremental ou Taxa de Variação
=
x
y=
−
−
01
01
xx
yy=
−
−
01
01 )()(
xx
xfxf=
−+
−+
xxx
xfxxf )()(
x
xfxxf
−+ )()(
• Coeficientes Angulares
• Reta secante: == tgms =
x
y
x
xfxxf
−+ )()(
Reta tangente x
ym xxt
= → 01lim = 01lim xx → =
−
−
01
01 )()(
xx
xfxf
=x
xfxxfx
−+→
)()(lim 0 = )(́xf = DERIVADA
2.8 Para saber mais
• O que é declive de uma reta?
O declive é utilizado para medir a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas
(eixo dos x). Por exemplo, em linguagem corrente pode ser explicado da seguinte forma:
por cada duas unidades que a reta “sobe” na vertical, ela “avança” uma unidade na
horizontal.
112
Observando o gráfico da figura 2.8, temos que a reta “sobe” 2 unidades na vertical, e
“avança” 1 uma unidade na horizontal.
Podemos calcular o declive das seguintes maneiras:
• Dada a equação reduzida da reta nmxy += , o declive é o coeficiente do x que é
o valor numérico que a letra m representa. Também chamado coeficiente angular
da reta. Na figura 21, o coeficiente angular da reta é m=2.
• Dados dois pontos pertencentes à reta 12 += xy , como por exemplo (0,1) e (1,3),
podemos encontrar o declive substituindo os pontos na seguinte fórmula:
o 210
31
0
0 =−
−=
−
−= mm
xx
yym
• Outra forma de encontrar o valor do declive é derivando a equação da reta:
212 =+= xdx
dm
Figura 2.8: Gráfico do declive da reta
Fonte: www.matematica.pt/faq/declive-reta.php Acesso em: 25
jun. 2017.
113
2.9 Atividades
1. Considere as funções definidas em por 14)( += xxg e 32)( −= xxh .
a) Calcule )(́xf , sabendo que )]([)( xhgxf = .
b) Calcule ).2(́f
Resposta: a) 8 b) 8
2. Determine as equações, no ponto de abscissa 0=x , da reta tangente e da reta
normal à curva: 1sin52)( −+= xxxf .
Resposta: 52
1+− x
3. Calcule a derivada ´y das funções:
a) 21ln xy −= Resposta: 1
'2 −
=x
xy
b) xxy ln.= Resposta: xy ln1' +=
c) x
xy
2cos1
2sin
+= Resposta: xy 2sec'=
d) )ln(cosxy = Resposta: tgxy −='
4. Calcular )0(́f , xexf x 3cos.)(́ −=
Resposta:-1
5. Dado 0132 22 =+−+ xxyy , calcule dx
dypor derivação implícita.
Resposta: )21(2
23 2
xy
y
dx
dy
+
−=
114
Unidade 3
Aplicação de Derivadas
Nesta Unidade, vamos estudar as aplicações de derivadas. Essas aplicações são variadas,
sempre relacionadas a uma taxa de variação. Entendemos derivada como coeficiente
angular da reta tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico
apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações de
derivada podemos citar problemas relacionados a: tempo, temperatura, volume, custo,
pressão, ou qualquer que seja a quantidade representada por uma função.
3.1 Taxa de variação
Quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento )(tss =
a sua velocidade é dada por )(' tsv = .
A velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do
tempo. Assim a derivada )(' ts é a taxa de variação da função )(ts por unidade de
variação t.
O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por )(' tva = . Ela representa a razão de
variação da velocidade )(tv por unidade de variação de tempo t.
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função
)(xfy = , dizemos que )(' xf é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de
variação de y em relação à x.
115
Em símbolos temos:
• x
y
é a taxa de variação média
• x
y
dx
dyx
= → 0lim é a taxa de variação instantânea
A interpretação da derivada como razão de variação tem aplicações práticas nas mais
diversas ciências. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores da saúde
calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido
em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por:
364)(
3tttf −=
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=4?
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=8?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
Solução:
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função f(t) em
relação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por:
264)(' ttf −=
(a) No tempo t=4, temos:
481664)4(' =−=f
Logo, no tempo t=4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por dia.
(b) No tempo t=8, temos:
116
06464)8(' =−=f
Portanto, no tempo t=8 a epidemia está totalmente controlada.
(c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia
corresponde à variação de t de 4 para 5.
O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia será dado por:
−−
−=−
3
44.64
3
55.64)4()5(
33
ff
3
64256
3
125320 +−−=
43
No item (a), vimos que no tempo t=4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a uma taxa
de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5° dia 43 pessoas serão
atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou
no decorrer do dia.
Exemplo 2: Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de
água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por:
( )28050 tV −=
Determinar:
(a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10
primeiras horas de escoamento.
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.
Solução:
117
(a) A taxa de variação média do volume nas 10 primeiras horas é dada por:
( ) ( )10
0805010805022
−−−=
t
v
( ) ( )10
8050705022
−=
)150.(50 −=
horalitros /7500−=
O sinal de negativo aparece porque o volume de água está diminuindo com o tempo.
(b) A taxa de variação do volume de água num tempo qualquer é dada por:
( ) )1.(80.2.50 −−= tdt
dv
)80(100 t−−=
No tempo t=8, temos:
)880(100)8(
−−=dt
dv
)72(100−=
horalitros /7200−=
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas é dada por:
( ) ( )2275.5080.50)5()0( =− vv
litros38750=
Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função composta.
Nestes casos, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra de cadeia.
118
Vejamos o exemplo que segue:
Exemplo 3: Um quadrado de lado está se expandindo segundo a equação 22 t+= ,
onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse
quadrado no tempo t=2.
Solução: Seja A a área do quadrado. Sabemos que 2=A e que 22 t+= . A taxa de
variação em relação ao tempo, num tempo t qualquer é dada por dt
dA.
Usando a regra da cadeia, vem:
dt
d
d
dA
dt
dA
.=
t2.2=
t.4=
( ) tt .242
+=
No tempo t=2, temos:
( )2.224)2(
2+=dt
dA
tempounidáreaunid ./.48=
• Teorema de Rolle
Seja f uma função definida e contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Se f(a) = f(b) = 0
então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que .0)(' =cf
Sob as mesmas hipóteses o Teorema de Rolle pode ser estendido para funções tais que
.0)()( = bfaf
119
As figuras abaixo mostram exemplos de funções em que o Teorema de Rolle é válido.
• Funções Crescentes e Decrescentes
Definição 1 – Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste
intervalo se para quaisquer Ixx 21 , , 21 xx temos ( ) ( )21 xfxf .
Definição 2 - Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste
intervalo se para quaisquer Ixx 21 , , 21 xx temos ( ) ( )21 xfxf .
Figura 3.1: Retas tangentes horizontais.
Fonte: Extraído do livro Cálculo A – Flemming e Gonçalves – Pearson, 6.ed
120
Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é monótona neste
intervalo.
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os intervalos onde
uma função derivável é crescente ou decrescente.
Proposição – Se f uma função contínua o intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b).
(i) Se 0)(' xf para todo ),( bax então f é crescente em [a,b];
(ii) Se 0)(' xf para todo ),( bax então f é decrescente em [a,b].
Exemplo 4: Determine os intervalos em que 17123 +− xx é crescente e os intervalos em
que é decrescente, esboçando seu gráfico.
Solução:
Calculando f’(x), resulta: 123 2 −x
Estudando o sinal de f’ (x), resulta:
)(
22
04
0123
0)('
2
2
xf
xoux
x
x
xf
−
−
−
é crescente para 2x ou para 2−x .
)(
22
04
0123
0)('
2
2
xf
x
x
x
xf
−
−
−
é decrescente para 22 − x .
No ponto onde 2−=x , )(xf passa de decrescente a decrescente, sendo nula a derivada
)2(' −f . No ponto onde 2=x , a função passa de decrescente a crescente, sendo 0)2(' =f
. Através dessas informações, e calculando os valores de )2(f e )2(−f , podemos esboçar
o gráfico de )(xf .
121
3.2 Derivações sucessivas e gráficos
Dada uma função )(xf , sua derivada em um ponto genérico é também uma função de x,
sendo representada por )(' xf .
A derivada de )(' xf , por sua vez, é chamada derivada de segunda ordem de f(x), ou
simplesmente derivada segunda de f(x) , sendo representada por )('' xf , e chamaremos
de derivada terceira de )(xf . Generalizando, a derivada de ordem n de )(xf é
representada por )()( xf n .
Exemplo 5:
a) Sendo 7)( xxf = , temos:
67)(' xxf =
Figura 3.2: Intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
122
56.7)('' xxf =
45.6.7)(''' xxf =
3)4( 4.5.6.7)( xxf =
b) Sendo 174)( 2 +−= xxxf , temos:
78)(' −= xxf
8)('' =xf
0)(''' =xf
0)()( =xf n para 3n
• Derivadas Sucessivas – significado
Sabendo que o sinal de )(' xf fornece informações sobre o crescimento ou decrescimento
de )(xf , sendo I um intervalo, temos:
o Se 0)(' xf em I )(xf é crescente em I.
o Se 0)(' xf em I )(xf é decrescente em I.
Analogamente o sinal de )('' xf fornece informações sobre o crescimento ou
decrescimento de )(' xf :
o Se 0)('' xf em I )(' xf é crescente em I.
o Se 0)('' xf em I é decrescente em I.
)(' xf
123
Como já vimos, o fato de )(' xf ser crescente ou decrescente em I significa que o gráfico
de )(xf tem ali a concavidade para cima; o decrescimento de )(' xf em I significa que o
gráfico de )(xf tem ali uma concavidade para baixo. Podemos então associar esses dois
resultados e concluir:
• Se 0)('' xf em I o gráfico de )(xf tem a concavidade para cima.
• Se 0)('' xf em I o gráfico de )(xf tem a concavidade para baixo.
Exemplo 6:
Figura 3.3: Representação gráfica da derivada segunda.
0)('' xf em I
)(' xf é crescente em I.
)(xf tem a concavidade para cima em
I
0)('' xf em I
)(' xf é decrescente em I.
)(xf tem a concavidade para baixo
em I.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
124
Quadro 3.1: Representação gráfica da função e suas derivadas.
Consideremos a função 17123)( 2 +−= xxxf .
Vamos determinar sua derivada segunda e determinar
a concavidade do gráfico )(xf :
Temos:
=
+=
6)(''
126)('
xf
xxf
Como 0)('' xf para todo x, concluímos que o gráfico
de )(xf tem a concavidade voltada para cima para
todo x.
A comparação dos três gráficos ))(''),('),(( xfxfxf
pode ser muito útil para reforçar a compreensão do
significado de cada um deles isoladamente:
• 0)('' xf para todo x
)(' xf é crescente para todo x
gráfico de )(xf tem concavidade para
cima
• 0)(' xf para 2x
)(xf é decrescente para 2x
• 0)(' xf para 2x
)(xf é crescente para 2x
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
125
• Ponto de Inflexão
Num ponto de abscissa 0x em que muda a concavidade do gráfico de uma função )(xf ,
a derivada segunda )('' xf deve mudar o sinal.
Quando )(' xf varia continuamente, assumindo todos os valores possíveis entre os
valores positivos, de um lado, e os valores negativos, de outro, isto se traduz como uma
“colagem” perfeita das duas partes do gráfico de )(xf , antes e depois de 0x . Neste caso,
devemos ter 0)('' =xf , ou seja, a derivada segunda se anula nos pontos em que ocorre
uma mudança “suave” na concavidade. Esses pontos são chamados pontos de inflexão de
gráfico de )(xf .
Figura 3.4: Gráfico representando um ponto de inflexão.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
126
Figura 3.5: Gráfico representando um ponto de não inflexão.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
127
Em um ponto de inflexão podemos ter ou não 0)(' =xf embora sempre tenhamos
0)('' =xf . Quando, em um ponto de inflexão, temos simultaneamente 0)('' =xf e
0)(' =xf , dizemos que o ponto de inflexão é horizontal.
Figura 3.6: Gráfico representando um ponto de inflexão
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
128
Exemplo 7:
Figura 3.7: Gráfico representando um ponto de inflexão inclinado
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
129
Vamos caracterizar os pontos de inflexão do gráfico de .1512)( 3 +−= xxxf
Temos:
=
−==
xxf
xxfxf
6)(
123)()(
''
2'
Uma vez que:
==
00)(''
00)(''
00)(''
xparaxf
xparaxf
xparaxf
Figura 3.8: Gráfico representando os pontos de máximo, mínimo e de inflexão
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
130
Concluímos que 0x corresponde a um polinômio no gráfico )(xf . Como 12)0(' −=f ,
esse ponto de inflexão não é horizontal.
Figura 3.9: Gráfico representando o gráfico 123)( 2' −= xxf .
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
Figura 3.10: Gráfico representando o gráfico xxf 6)('' = .
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
131
• Esboço do gráfico de f(x)
Conhecendo a lei )(xfy = , para uma função com derivadas de todas as ordens, são como,
por exemplo, as polinomiais. É simples estabelecer um roteiro para o esboço do seu
gráfico:
1º) Calculamos )(' xf
Nos intervalos em que )(' xf >0, )(xf é estritamente crescente; onde )(' xf <0, )(xf é
estritamente decrescente.
Nos pontos em 0)(' =xf a reta tangente ao gráfico )(xf é horizontal; esses são chamados
pontos críticos de f(x) e podem ser de três tipos:
Quadro 3.2: Representação gráfica da função )(xf e suas derivadas.
• Pontos de máximo local
Nesses pontos )(xf passa de crescente
para decrescente.
• Pontos de mínimo local
Nesses pontos )(xf passa de
decrescente para crescente.
132
• Pontos de Inflexão
)(xf permanece crescente – ou
decrescente – antes ou depois de pontos
desse tipo.
Fonte: Elaborado pela autora.
2º) Calculamos f’’(x)
Nos intervalos em que 0)('' xf , a concavidade do gráfico de )(xf está voltada para
cima; onde 0)('' xf , a concavidade do gráfico )(xf está voltada para baixo.
Nos pontos de abscissa 1x em que 0)('' 1 =xf , tendo antes de 1x um sinal e depois de
1x um sinal oposto, ocorre uma mudança de concavidade do gráfico e esse ponto é um
ponto de inflexão.
Figura 3.11: O ponto de abscissa é ponto de inflexão de f(x).
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
133
Em particular, calculando )('' xf nos pontos críticos de )(xf , podemos obter as seguintes
conclusões sobre sua natureza:
→ 0)('' xf concavidade para cima – ponto de mínimo local
→ 0)('' xf concavidade para cima – ponto de máximo local
→= 0)('' xf )('' xf muda de sinal – ponto de inflexão horizontal
)('' xf não muda de sinal – sinal de )('' xf indica a concavidade.
3º) Calculamos f(x) nos pontos críticos, nos pontos de inflexão, nas intersecções dos
gráficos de f(x) com o eixo y e, quando possível, com o eixo x.
Temos, com isso, os elementos para um esboço do gráfico )(xfy = , figura 36.
Apesar de não conhecermos as raízes de f(x)=0, é possível concluir pela figura 3.13 que:
• Uma delas é menor que -2;
Figura 3.12: O ponto de abscissa não é ponto de inflexão de
f(x)
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
134
• Outra é compreendida entre -2 e 0;
• A terceira raiz é maior que 2.
Exemplo 8:
Encontre os pontos críticos, ou seja, os extremos relativos (pontos de máximo e mínimo
e os pontos de inflexão), e faça um esboço da curva da seguinte função
( ) 2x9x3
1xf 3 +−= .
Passo 1: Derive a função, iguale a zero e determine o valor de x.
092 =−x , então 31 =x ou 31 −=x
Os valores encontrados 3 e -3 correspondem aos extremos relativos. De forma prática,
verificamos qual é o ponto máximo e/ou qual é o ponto mínimo através da derivada
segunda.
Figura 3.13: Gráfico da função 1512)( 3 +−= xxxf do
exemplo 7.
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
135
Passo 2: Derive a função duas vezes temos:
( ) xxf 2´́ =
Substituindo agora 31 =x , temos ( ) 63´́ =f , esse valor é positivo e significa que 3 é um
ponto mínimo.
Substituindo agora 32 −=x , temos ( ) 63´́ =−f , esse valor é positivo e significa que -3
é um ponto máximo.
Passo 3: Derive a função duas vezes e iguale a zero.
002 3 == xx
O 03 =x determinado é o ponto de inflexão.
Passo 4 : Determine para cada valor de x encontrado o seu f(x) correspondente.
( ) 293
1 3
1 +−= xxxf ( ) 1623.933
13 3 −=+−=f
( ) 293
1 3
2 +−= xxxf ( ) ( ) ( ) 2023.933
13
3=+−−−=−f
( ) 293
1 3
3 +−= xxxf ( ) ( ) ( ) 220.903
10
3=+−=f
Conclusão: Existe um máximo em (-3,20), um mínimo em (3,-16) e um ponto de inflexão
em (0,2).
136
3.3 Derivações sucessivas e o significado físico
O problema fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um ponto
móvel quando é conhecida a equação do seu movimento, ou seja, o espaço em função do
tempo:
( )tfs =
A noção de velocidade deriva da apreciação quantitativa do movimento e exprime, de um
modo geral, a razão de variação do espaço em relação ao tempo. Quando a razão é
constante, o movimento se diz uniforme e a velocidade se define como espaço percorrido
na unidade de tempo. Se o móvel percorre um espaço s (metros) em t segundos, a
velocidade v é dada pelo quociente (razão de variação constante);
t
sv =
Quando, porém, a variação de s relativamente a t não se conserva constante, isto é, quando
Figura 3.14: Representação gráfica da função com seu
ponto de máximo, mínimo e de inflexão
Fonte: Figura desenhada pela própria autora.
137
os espaços percorridos em tempos iguais não são iguais, o movimento resulta variado e
torna-se importante distinguir velocidade média de velocidade instantânea.
Se um automóvel gasta uma hora para fazer o percurso de 60 km, a rigor não podemos
concluir deste fato que a velocidade foi de 60 km/h. O velocímetro nos permite constatar,
com efeito, que a velocidade do automóvel durante o trajeto passa por variações
frequentes, ora crescentes, ora decrescentes. Neste caso só se pode falar em velocidade
média que é, por definição, o espaço total percorrido dividido pelo tempo gasto em
percorrê-lo. Mas o velocímetro marca em cada instante uma velocidade perfeitamente
determinada a que se dá o nome de velocidade instantânea.
A B
O 1s 2s
De um modo geral, se um móvel ocupa uma posição A de abscissa 1s , num instante
1t , e
outra posição B de abscissa 2s no instante
2t , percorrendo o espaço (*)
12 sss −=
no intervalo de tempo 12 ttt −= , dizemos que a sua velocidade média no referido
intervalo de tempo é:
Partindo deste conceito de velocidade média, podemos estabelecer a noção matemática
de velocidade instantânea, supondo que o intervalo de tempo t tenda a zero. Quanto
menor for o intervalo t , tanto menor será o aumento da velocidade neste intervalo. E
como s , tende a zero com t (o espaço percorrido tanto é menor quanto for o intervalo
de tempo correspondente), segue-se que o limite da razão:
t
s
quando t tende a 0, exprime a velocidade instantânea do móvel no instante 1t , o que se
t
svm
=
138
traduz simbolicamente escrevendo:
dt
ds
t
sv t =
= → 0lim
Dada a função ( )tfs = quociente t
s
se diz a razão incremental s e t ou a função de s
em relação a t, e o símbolo
dt
ds
limite dessa razão incremental, se diz a derivada da função de s em relação à variável
independente t , ou simplesmente, a derivada de s em t.
Aparentemente, o limite da razão incremental t
s
se reduz à forma indeterminada
0
0,
posto que s tende a 0 conjuntamente com t . O símbolo dt
dsestá a indicar o resultado
da superação desta indeterminação aparente.
Exemplo 1. Cálculo da velocidade em queda livre.
Seja determinar a velocidade adquirida por um corpo em queda livre ao cabo de 5s,
contados a partir do instante em que o corpo foi abandonado. O espaço percorrido por um
corpo em queda livre é dado pela equação (lei de Galileu):
2
2
1gts =
(2)
onde 2.8,9 −= smg é a aceleração da gravidade e t é o tempo de queda. Para chegar ao
limite que nos dá a velocidade instantânea, submetemos a função dada (equação de
movimento) às seguintes operações:
I. Atribuímos ao tempo t (variável independente) um acréscimo t , o que
acarreta um acréscimo s do espaço s (variável dependente), o que dá a nova
expressão de (2):
139
( )2
2
1ttgss +=+
(3)
(esta operação equivale a passar pelo ponto C, correspondente ao instante t ao ponto D,
atingindo no instante tt + . Desenvolvendo o quadrado e abrindo os parênteses,
obtemos sucessivamente:
( )22 22
1ttttgss ++=+
22
2
1
2
1tgtgtgt ++=
II. Isolamos s no primeiro membro, subtraindo membro a relação (2) da relação
(3):
Figura 3.15: Velocidade em queda livre
Fonte: MAURER, A. Willie. Cálculo
Diferencial e Integral, 1968.
140
=
++=+
2
22
2
1
2
1
2
1
gts
tgtgtgtss
2
2
1tgtgts +=
III. Dividimos os dois membros dessa igualdade por t , a fim de obter a razão
incremental t
s
, que exprime, como sabemos, a velocidade média no
intervalo de tempo t :
t
tg
t
tgt
t
s
+
=
2
2
1
tggt +=2
1
IV. Passamos ao limite, fazendo t tender a zero, o que nos dá a velocidade
instantânea, correspondente ao tempo t:
gtdt
ds
t
sv t ==
= → 0lim
(4)
(o termo →tg2
1 0com →t 0). Para st 5= , lembrando que 2.8,9 −= smg temos:
1.4958,9 −== smv
que é a velocidade procurada.
Exemplo 2. Aceleração 2ª derivada.
Seguindo a mesma ordem de ideias, podemos definir a aceleração média num intervalo
de tempo t .
141
Seja 1v a velocidade de um móvel no instante
1t e 2v a sua velocidade em outro instante
2t . Chama-se aceleração média no intervalo de tempo 12 ttt −= , a razão entre o
acréscimo da velocidade 12 vvv −= e o acréscimo de tempo
12 ttt −= :
t
vam
=
A aceleração no instante 1t será o limite desta razão incremental quando t tende a zero.
E como t tendo a zero com t , este limite é a derivada da velocidade v em relação ao
tempo t (concebida a velocidade como função do tempo):
dt
dv
t
va t =
= → 0lim
Consideremos a equação (4) que exprime a velocidade em função do tempo. Submetendo-
a às quatro operações que nos levam de uma função (primitiva) a sua derivada, obtemos
sucessivamente:
I. ( )ttgvv +=+
tggt +=
✓ Dando os acréscimos t e t a t e
v respectivamente (efetuando a
multiplicação por g)
II. tgv = ✓ Subtraindo membro a membro
gtv =
III. gt
v=
✓ Dividindo os dois membros por
t
IV. gt
v
dt
dva t =
== → 0lim
✓ Passando ao limite
142
(o 2º membro é uma constante independente de t e permanece inalterada quando
t 0).
Este resultado foi obtido calculando a derivada da função gtv = , que por sua vez é a
derivada de dt
ds, da equação 2
2
1gts = e se diz, por isso, a 2ª derivada do espaço em
relação ao tempo; simbolicamente, escrevemos:
2
2
dt
sd
dt
ds
dt
d
dt
dva =
==
Exemplo: A função horária das posições de um ciclista em movimento retilíneo é
tts 5200)( −= no SI .
a) Qual a velocidade escalar instantânea desse ciclista?
A velocidade escalar instantânea é a derivada primeira de )(tfs = . Assim
temos:
smtstv /5)(')( ==
b) Qual a aceleração escalar instantânea desse ciclista?
A aceleração escalar instantânea é a derivada primeira de )(tfv = . Assim
temos:
0)(')( == tvta
Se a velocidade é constante, a aceleração é nula.
143
3.4 Problemas de máximos e mínimos
Exemplo 1: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços de
12 cm quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento
do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa, cujo volume seja o maior
possível.
Sejam,
x = o número de centímetros no comprimento do lado do quadrado a ser cortado.
V = o número de centímetros cúbicos no volume da caixa.
As dimensões em centímetros da caixa são ( ) ( )xexx 212212, −− .
O volume da caixa é o produto de três dimensões, e assim V é uma função de x, dada por:
( )( )xxxxV 212.212.)( −−= (1)
Se x=0, V=0 e se x=6, V=0. O valor de x que queremos encontrar está no intervalo
fechado [0,6]. Como V(x) é uma função contínua no intervalo [0,6], para encontrarmos
os números críticos de V, determinamos )(' xV , e depois os valores de x para os quais
0)(' =xV ou )(' xV não existe.
Da equação (1) temos:
32 448144)( xxxxV +−=
Portanto,
21296144)( xxxV +−=
)(' xV existe para todos os valores de x. Estabelecendo 0)(' =xV , temos:
144
0)128(12 2 =+− xx , do qual obtemos 26 == xex
Os números críticos de V são 2 e 6, ambos do intervalo fechado [0,6]. O valor máximo
de V em [0,6] deve ocorrer num número crítico ou num dos extremos do intervalo. Como
0)0( =V e 0)6( =V , enquanto 128)2( =V , concluímos que o valor máximo de V em
[0,6] é 128 e ocorre em 2. Portanto, o máximo volume é de 3128 cm e este é obtido
quando o comprimento do lado do quadrado cortado for de 2 cm.
Exemplo 2: Numa indústria o gasto para se produzir x produto é dado, em reais, por
++ 2535
4
1 2 xx e o preço da venda de cada produto, em reais, é
− x
2
150 .
Pede-se:
a) Qual deve ser a produção diária para se obter um lucro máximo na venda de x
produtos?
b) Qual é o custo unitário de cada produto para ter um lucro máximo?
Solução:
Observação: Lucro =Produto. Preço de Venda - Gasto
=)(xC
++ 2535
4
1 2 xx
=)(xP
− x
2
150
a) Lucro de x produtos:
.)( xxL =
− x
2
150 -
++ 2535
4
1 2 xx
= 253542
5022
+−−− xxx
x
145
Então 0352
50)(' =−−−=x
xxL
10303152
3=−=−−=
− xx
xprodutos.
b) =)(xC
++ 2535
4
1 2 xx
O custo para 10 produtos, equivalente ao lucro máximo, obtemos fazendo x=10 na função
acima.
=)10(C
++ 2510.3510
4
1 2
=)10(C 4002535025 =++
O custo unitário obtemos fazendo: 4010
400)10( ==CU reais por peça.
Exemplo 3: Derminar o raio da base de uma lata de leite de refrigente cilíndrica de
volume 350 ml de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo
)11( 3cmml = .
2
22 350350
RhhRhRV
===
222 RRhAT +=
222 RRhAT +=
146
3.5 Regras de L’Hospital
• Poposição (Regras de L’Hospital) - Sejam f e g funções deriváveis num intervalo
aberto 𝐼, exceto, possivelmente, em um ponto 𝑎 ∈ 𝐼. Suponhamos que 𝑔′(𝑥) ≠ 0
para todo 𝑥 ≠ 𝑎 em 𝐼.
(i) Se 0)(lim)(lim == →→ xgxf axax e Lxg
xfax =→
)('
)('lim , então
Lxg
xf
xg
xfaxax == →→
)('
)('lim
)(
)(lim
(ii) Se == →→ )(lim)(lim xgxf axax e Lxg
xfax =→
)('
)('lim , então
Lxg
xf
xg
xfaxax == →→
)('
)('lim
)(
)(lim
Exemplos
1. Determinar 1
2lim 0
−→ xx
e
x
Quando 0→x , o quociente 1
2
−xe
x toma forma indeterminada
00 . Aplicando a regra de
L’Hospital, vem:
222
lim1
2lim
000 ===−
→→ee
x
e
xxxxx
2. Determinar 23
6lim
2
2
2+−
−+→
xx
xxx
O limite toma forma indeterminada 0
0 . Aplicando a regra de L’Hospital, temos:
147
532.2
12.2
32
12lim
23
6lim 22
2
2 =−
+=
−
+=
+−
−+→→
x
x
xx
xxxx
3. Determinar: 2
)sin(lim 0
−+
−−→ xxx
ee
xx
Nesse caso, temos uma indeterminação do tipo 0
0 . Aplicando a regra de L’Hospital uma
vez, temos:
xxxxxxee
x
ee
xx−→−→
+
−=
−+
− 1)cos(lim
2
)sin(lim 00
Como o último limite ainda toma a forma indeterminada 0
0 , podemos aplicar novamente
a regra de L’Hospital. Temos:
02
0)cos(lim
1)cos(lim 00 =
−=
+
−=
+
−−→−→ xxxxxx
ee
x
ee
x
Logo, 02
)sin(lim 0 =
−+
−−→ xxx
ee
xx
3.6 Síntese da Unidade
Vimos nessa Unidade que, em matemática, um ponto crítico, também chamado
de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada
é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou
pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua
segunda derivada (a curvatura) da função. A implicação inversa também é verdadeira para
extremos locais, ou seja, um ponto é um máximo ou mínimo relativo, se e só se for um
ponto crítico.
1. Onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir,
148
chamados máximos locais da função;
2. Onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos
locais da função;
3. Em pontos de inflexão (horizontais) da função, ocorrem onde a concavidade da
função muda.
3.7 Para saber mais
Veja algumas notações para a função derivada e por quem foram introduzidas:
)(xf•
ou •
y Newton (1642 – 1727)
dx
dyou
dx
xfd )]([
Leibnitz (1646-1716)
)(́xf ou ´y Lagrange (1736-1813)
)(xDf Arbogast (1759-1803)
)(xfDx Cauchy (1789-1857)
Documentário
• Isaac Newton: A Gravidade do Gênio
Neste documentário, especialistas relatam a vida daquele que foi o maior cientista de
todos os tempos. "Se eu vi mais longe, foi por estar de pé sobre ombros de gigantes"
149
(Isaac Newton). Link: https://www.youtube.com/watch?v=BvAu6qY9ETQ
Site que tem como objetivo o apoio ao curso de Licenciatura em Matemática e Estatística.
Livros
• Isaac Newton: O Último Feiticeiro
Autor: Michael White
Editora: Record
Esta biografia escrita por Michael White oferece um novo perfil de Isaac Newton, bem
diferente do tradicionalmente conhecido. Nesta obra, o leitor irá conhecer um Isaac
Newton que não era simplesmente um cientista de grande erudição, mas também um
alquimista praticante que lidava com o oculto. Irá também descobrir que, ao contrário do
que muitos pensam, Newton não descobriu a gravidade observando a queda de uma maçã,
sendo este um mito criado para esconder a verdade. Nesta revolucionária análise da vida
do cientista mais famoso da História, o autor reinterpreta o volumoso material da época,
incluindo os trabalhos originais de Newton, para revelar, em todas as suas contradições,
um homem cuja imagem foi distorcida durante quase três séculos.
Sites
• http://www.calculo.iq.unesp.br/calculodif1.html
Site para ensino e apoio na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral da UNESP.
• http://julianabokor.wixsite.com/coisas-que-eu-sei
Blog de Matemática e Astronomia da Profª Ma. Juliana Bokor Vieira Xavier.
150
3.8 Atividades
1. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população
será 1
520)(
+−=
ttp milhares.
a) Daqui a 18 meses, qual a taxa de variaçâo de população desta comunidade?
b) Qual será a variação real sofrida durante o 18° mês?
Resposta: a) 0,8 milhares de pessoas/ano. b) 0,068 milhares de pessoas
2. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 21
5 tt − litros no recipiente. Qual
a taxa de gotejamentos de líquido no recipiente em h/ quando t=16 horas?
Resposta: h/875,4
3. Uma pulga, ao saltar do solo, verticalmente para cima, teve sua posição h no espaço
descrita em função do tempo t, pela fórmula (no SI).
a) Em que instante a pulga atinge a altura máxima?
b) Qual a altura máxima atingida em relação ao solo?
Respostas: a) 0,45s b)1,0125m
4. Um fazendeiro deseja construir um depósito em forma de prisma reto de base
quadrada, aberto em cima com capacidade mínima de 64 3m . Determine suas
dimensões “a” e “b” de modo que o material necessário para construí-lo seja mínimo.
Respostas: 3 24=a 3 22=b
5. Encontre os pontos críticos, ou seja, os extremos relativos e os pontos de inflexão, e
faça um esboço da curva das funções abaixo:
a) ( )32 5)( −= xxf
151
b) ( )342)( += xxxf
Respostas:
a) Existe um ponto mínimo em )125,0( − e pontos de infleção em )0,5(− , )0,5( ,
)0,5( , )64,1( −− e )64,1( − .
b) Existe um mínimo em (-1,-54) e pontos de inflexão em (-4,0) e (-2,-32).
152
Referências
BOULOS, Paulo. Cálculo I.
DEMANA, WAITS, FOLEY & KENNEDY. Pré-Cálculo. 2.ed. São Paulo: Pearson,
2013.
FLEMMING & GONÇALVES - Cálculo A. 6.ed. São Paulo: Pearson.
GEORGE B. THOMAS. Cálculo 1.
GIOVANNI & BONJORNO. Matemática Completa. Vol.3.
LAURENCE D. HOFFMANN & GERALD L. BRADLEY. Cálculo – um curso
moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, 2.ed. São Paulo: Harper
& Row do Brasil, 1977.
MACHADO, Nilson José. Noções de Cálculo. São Paulo: Scipione, [s.a.]
MAURER, A. Willie. Cálculo Diferencial e Integral, 1968.
STEWART, J. Cálculo. Vol.I.7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
153
Tabela de Derivadas
Sejam 𝑢 e 𝑣 funções deriváveis de x, e n e c constantes:
1. 𝑦 = 𝑐 → 𝑦′ = 0
2. 𝑦 = 𝑥 → 𝑦′ = 1
3. 𝑦 = 𝑐. 𝑢 → 𝑦′ = 𝑐. 𝑢′
4. 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′ + 𝑣′
5. 𝑦 = 𝑢𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢
6. 𝑦 =𝑢
𝑣→ 𝑦′ =
𝑢′𝑣−𝑣′𝑢
𝑣2
7. 𝑦 = 𝑢𝑛 → 𝑦′ = 𝑛𝑢𝑛−1𝑢′
8. 𝑦 = 𝑎𝑢 → 𝑦′ = 𝑎𝑢(𝑙𝑛𝑎)𝑢′, (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
9. 𝑦 = 𝑒𝑢 → 𝑦′ = 𝑒𝑢𝑢′
10. 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 → 𝑦′ =𝑢′
𝑢𝑙𝑜𝑔𝑎𝑒
11. 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 → 𝑦′ =𝑢′
𝑢
12. 𝑦 = 𝑢𝑣 → 𝑦′ = 𝑣. 𝑢𝑣−1. 𝑢′ + 𝑢𝑣. 𝑙𝑛𝑢. 𝑣′, (𝑢 > 0)
13. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 → 𝑦′ = 𝑢′. 𝑐𝑜𝑠𝑢
14. 𝑦 = cos 𝑢 → 𝑦′ = −𝑢′. 𝑠𝑒𝑛 𝑢
15. 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑢 → 𝑦′ = 𝑢′. 𝑠𝑒𝑐2 𝑢
16. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 → 𝑦′ = −𝑢′. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑢
17. 𝑦 = sec 𝑢 → 𝑦′ = 𝑢′. sec 𝑢 . 𝑡𝑔 𝑢
154
18. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 → 𝑦′ = −𝑢′. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢
19. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑢 → 𝑦′ =𝑢′
√1+𝑢2
20. 𝑦 = arccos 𝑢 → 𝑦′ = −𝑢′
√1−𝑢2
21. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢 → 𝑦′ =𝑢′
1+𝑢2
22. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 → 𝑦′ = −𝑢′
1+𝑢2
