Lista7 Alg Linear GA e Calculo Vetorial 2-2010[1]
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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO 7a Lista de exerccios de lgebra Linear, Geometria Analtica e Clculo Vetorial Assunto: Reta 1) Seja a reta r que passa pelos pontos A = (1,1,2) e B = ( 2,1,0) . Determine: (a) uma equao vetorial de r; (c) equaes simtricas de r; (b) equaes paramtricas de r; (d) equaes reduzidas na varivel z de r.
2) Determine uma equao vetorial da reta r definida pelos pontos A = ( 2,3,4) e B = (1,1,2) e verifique se os pontos C = ,4,5 e D = (1,3,4) pertencem a r.
5 2
3) Escreva equaes paramtricas da reta s que passa por A = (1,2,3) e paralela reta r : ( x, y , z ) = (1,4,3) + t (0,0,1) .
4) Para cada uma das retas r abaixo, determine um ponto A pertencente a r e um vetor diretor v de r (ou seja, um vetor que tem a mesma direo da reta r).
r
(a) r : ( x, y , z ) = (1,0,6) + t (3,2,5)
x = 2t (b) r : y = 3 t z = 4 (d) r :
(c) r :
x2 y+3 z = = 1 3 2
y = 2x 3 z = x + 1
x = 1 + 3t 5) A reta r passa pelo ponto A = ( 4,3,2) e paralela reta s : y = 2 4t . Se P = ( m, n,5) z = 3 t pertence reta r, determine o valor de m e de n.
6) Verifique se os pontos P = (5,5,6) e Q = ( 4,1,12) pertencem reta r :
x 3 y +1 z 2 . = = 2 2 1
x = 2 t 7) Obtenha equaes reduzidas na varivel x da reta r : y = 3t . z = 5 + 4t
1
8) Na reta r :
y = 2x + 3 , determine o ponto de: z = x 1
(a) ordenada igual a 9 (ordenada a coordenada do eixo y); (b) abscissa igual ao dobro da cota (abscissa a coordenada do eixo x e cota a coordenada do eixo z); (c) ordenada igual ao triplo da cota.
9) Determine o ngulo entre as seguintes retas:
x = 2 t (a) r : y = t z = 3 2t
e
s:
x y + 6 z 1 = = 2 1 1
x = 4 (b) r : y = t z = 1 t x4 y z +1 (c) r : = = 1 2 2
e
y = 2 x + 3 s: z = x 2 x = 1 s : y = 4t z = 2 + 3t
e
10) Sabendo que as retas valor de m.
x = 3 + 2mt r : y = 1 + 3t z = 4t
e
x = 2 y 1 so ortogonais, determine o s: z = y + 4
11) Determine equaes paramtricas da reta r que passa por A = (0,0,0) e ortogonal s retas
x y z 3 r1 : = = 2 1 2
e
x = 3t r2 : y = 1 t . z = 2 x = 5 + 6t s : y = 1 + mt z = 1 + 4t
x = 3t 12) Calcule o valor de m para que as retas r : y = 3 + 2t z = 4 2t paralelas.
e
sejam
2
x = t 13) Calcule o valor de m para que as retas r : y = 1 + 2t z = 2t coplanares. 14) Determine o valor de m para que as retas r : concorrentes.
e
s:
x y 2 z +1 = = 1 m 3
sejam
y = 2x 5 z = x + 2
e
y = mx 5m sejam s: z = x 6
15) Dadas as retas r1 :
y = 2x 3 e z = x + 5
y = 3 x + 7 r2 : , z = x + 1
(a) verifique que elas so coplanares; (b) decida se elas so paralelas ou concorrentes; (c) caso elas sejam concorrentes, determine o ponto de interseo.
x 3 y +1 z 2 16) Dadas as retas r1 : e = = 3 2 4
x = 1 + t r2 : y = 4 t , z = 8 + 3t
(a) verifique que elas so coplanares; (b) decida se elas so paralelas ou concorrentes; (c) caso elas sejam concorrentes, determine o ponto de interseo.
x = 2 + t x 3 y 3 z +1 17) Dadas as retas r1 : y = 4 t e r2 : , verifique que elas so paralelas e = = 2 2 2 z = t decida se elas so coincidentes ou no.
x = 0 + t x + 2 y 1 z 18) Dadas as retas r1 : y = 2 3t e r2 : = = , verifique que elas so paralelas e 2 4 6 z = 5 + 2t decida se elas so coincidentes ou no.
x = t 19) Dados o ponto A = (0,2,1) e a reta r : y = 2 t , determine os pontos de r que distam z = 2 + 2t de A. A distncia do ponto A reta r maior, menor ou igual a
3
3 . Justifique sua resposta. 3
Respostas:
1) (a) r : ( x, y , z ) = (1,1,2) + t (1,2,2)
x = 1 + t (b) r : y = 1 + 2t z = 2 2t 1 x = z + 2 (d) r : 2 y = z + 1
x 1 y +1 z 2 (c) r : = = 1 2 22) r : ( x, y , z ) = ( 2,3,4) + t ( 1,2,2)
C r
e
Dr
x = 1 3) r : y = 2 z = 3 + t 4) (a) A = (1,0,6) (c) A = ( 2,3,0) 5) m = 13 e 7) r :
r v = (3,2,5) r v = (3,1,2)
(b) A = (0,3,4) (d) A = (0,3,1)
r v = (2,1,0) r v = (1,2,1)
n = 15
6) P r e Q r
y = 3 x + 6 z = 4 x + 3(b) P = ( 2,7,1) (b) = 30 o (c) P = (6,15,5) (c) = cos 1 48,19o
8) (a) P = (3,9,2) 9) (a) = 60 o
2 3
7 10) m = 415) (b) concorrentes 17) so coincidentes
x = 2t 11) r : y = 6t z = 5t (c) P = ( 2,1,3)
12) m = 4
13) m = 3
14) m = 3
16) (b) concorrentes
(c) P = (1,2,2)
18) no so coincidentes
19) P = (1,1,0) . A distncia de A at r igual a distncia de A at P
3 , pois s existe um ponto P sobre r para o qual a
3.
4