ListÒo - Cßlculo Integral[1]

LISTÃO PROVA COLEGIADA Centro Universitário UNA

Cálculo Integral

1

Questões subjetivas

01. A função que descreve a velocidade de uma partícula é dada em metros

por segundo por 𝑣(𝑡) = 3𝑡 − 5. Considerando o movimento desta partícula no

intervalo de [0, 3] segundos é possível determinar seu deslocamento neste

intervalo. Sendo assim podemos afirmar que este deslocamento (em metros) é:

(A) 32

(B) − 32

(C) 3

(D) 4

02. Considerando a mesma função velocidade dada no exercício anterior, é

possível determinar também a distância percorrida pela partícula. Lembrando

que a distância percorrida não considera apenas as posições final e inicial da

partícula, a distância, em metros, que a partícula percorreu foi de:

(A) 32

(B) 503

(C) 253

(D) 416

03. A função aceleração (𝑒𝑚 𝑚/𝑠2) e a velocidade inicial de uma partícula

movendo-se ao longo de uma reta são descritas respectivamente por:

𝑎(𝑡) = 𝑡 + 4 e 𝑣(0) = 5 num intervalo de 0 a 10 segundos. Podemos afirmar

que a função que descreve a velocidade da partícula (𝑒𝑚 𝑚/𝑠) no instante 𝑡 é:

(A) 𝑣(𝑡) = 1

(B) 𝑣(𝑡) = 𝑡2

2+ 4𝑡

(C) 𝑣(𝑡) = 𝑡2

2+ 4𝑡 + 5

(D) 𝑣(𝑡) = 𝑡2

2


Cálculo Integral

2

04. Considerando os dados da questão anterior podemos afirmar que a

distância percorrida durante o intervalo dado é de:

(A) 𝑑 = 12503

(B) 𝑑 = 16

(C) 𝑑 = 21

(D) 𝑑 = 11003

05. Durante um intervalo de 0 a 3 segundos, uma partícula move-se em linha

reta e sua aceleração (𝑒𝑚 𝑚/𝑠2) instante 𝑡 é dada pela função 𝑎(𝑡) = 2𝑡 + 3.

Sabendo que a velocidade inicial da partícula é 𝑣(0) = −4, a função que

descreve sua velocidade (𝑒𝑚 𝑚/𝑠) no instante 𝑡 é descrita por:

(A) 𝑣(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 + 4

(B) 𝑣(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 − 4

(C) 𝑣(𝑡) = 2

(D) 𝑣(𝑡) = −8

06. A distância percorrida no intervalo de 0 a 3 segundos da partícula do

exercício anterior em metros é de:

(A) 𝑑 = 332

(B) 𝑑 = 9

(C) 𝑑 = 5

(D) 𝑑 = 896


Cálculo Integral

3

07 - Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade

𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡, onde v é medida em metros por segundo. A distância percorrida

pela partícula durante o intervalo [0,5] corresponde, aproximadamente, a:

(A) 29,2 m

(B) 54,2 m

(C) 100 m

(D) 150 m

08 - Uma mina produz mensalmente 500 toneladas de um certo minério.

Estima-se que o processo extrativo dure 30 anos (360 meses) a partir de hoje e

que o preço por tonelada do minério daqui a t meses seja 𝑓(𝑡) = −0,01𝑡² +

10𝑡 + 300 unidades monetárias. Qual a receita (em reais) que será gerada pela

mina ao longo dos 360 meses?

(A) 1000000

(B) 300240000

(C) 500000

(D) 20000000


Cálculo Integral

4

09 - Na figura abaixo, a curva q = f (p) é a função de demanda de um produto.

Para um nível de preço p0, o consumo é q0. Aumentando-se o preço, a

quantidade procurada diminui, isto é, apenas parte dos compradores está

disposta a pagar o novo preço. A área sombreada na figura representa o

excedente do consumidor, ou seja, o total procurado pelos compradores

quando o preço se desloca a partir de p0.

O excedente do consumidor para um produto cuja demanda é dada pela função 𝑞 = 16 – 𝑝² para p variando no intervalo de [1, 4] é

(A) 14.

(B) 18

(C) 27

(D) 64.

10. A densidade linear de um objeto é dada pela razão entre sua massa e seu

comprimento linear. Para um barra de 4𝑚 de comprimento, a densidade linear,

𝜌(𝑥), é dada pela expressão: 𝜌(𝑥) = 9 + 2√𝑥 medida em quilogramas por

metro, onde 𝑥 é a medida em metros a partir de um extremo da barra.Sendo

assim, a massa total desta barra é:

(A) 36

(B) 1163

(C) 1403

(D) 92


Cálculo Integral

5

11. A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de

𝑟(𝑡) = 200 − 4𝑡 litros por minutos, onde 0 ≤ 𝑡 ≤ 50. Encontre a quantidade de

água que flui do tanque durante os primeiros dez minutos.

(A) 0

(B) 1800

(C) 200

(D) 400

12 - Temos que o coeficiente angular 𝑚(𝑥) de uma curva y = f(x) é obtido

através de sua derivada, isto é, 𝑚(𝑥) = 𝑓′(𝑥). Se uma determinada curva tem

como coeficiente angular 𝑚(𝑥) = 6√𝑥 e passa pelo ponto P(4,2), podemos

dizer que esta curva tem por lei a função:

304)()( 3 −= xxfA

xxfB 3)()( =

34)()( xxfC =

2213)()( +=

xxfD

13 - A aceleração de uma partícula obedece à equação 𝑎(𝑡) = 12𝑡2 − 36𝑡 + 24

determine a equação velocidade da partícula, sabendo que 𝑣(0) = −36:

(𝐴) 𝑣(𝑡) = 𝑡4 – 6𝑡3 + 12𝑡2 − 36

(𝐵) 𝑣(𝑡) = 4𝑡3 − 18𝑡2 + 24𝑡 − 36

(𝐶) 𝑣(𝑡) = 12𝑡3 − 36𝑡2 + 24𝑡 − 36

(𝐷) 𝑣(𝑡) = 24𝑡 − 36


Cálculo Integral

6

14 – Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada

pela função 𝑣(𝑡) = 𝑡³− 2𝑡² + 1, sendo t dado em segundos e a velocidade em

metros por segundo. Se a posição do corpo no instante 0 seg é 1 m, a função

posição dessa partícula será:

(A) ttts 43)( 2 −=

(B) 13

24

)(34

++−= tttts

(C) 13

24

)(34

+−=ttts

(D) 127

32

4)(

34

−+−= tttts

15 - Um reservatório de água apresenta um pequeno vazamento na sua parte

inferior. Água flui do fundo do reservatório a uma taxa de ttr 4200)( −= litros

por minuto onde 500 ≤≤ t minutos. Mantida esta taxa, qual o volume de água,

em litros, que flui do reservatório nos primeiros 10 minutos?

(A) 1800

(B) 1600

(C) 180

(D) 160


Cálculo Integral

7

16. A área de uma região está à direita do eixo 𝑦 e à esquerda da parábola

𝑥 = 2𝑦 − 𝑦2 (a região sombreada na figura). Imagine que esta região

representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemos

afirmar que tal área é de:

(A) 43

𝑢.𝑎

(B) 32

𝑢.𝑎

(C) 5 𝑢. 𝑎

(D) 7 𝑢. 𝑎


Cálculo Integral

8

17 - A curva que descreve a parte frontal de um túnel é dada por: 𝑦 = − 𝑥2 +

6𝑥 – 5. A figura mostra este túnel no sistema cartesiano considerando o chão

sobre o eixo 𝑜𝑥.

Podemos afirmar que a área desta parte frontal do túnel é:

(A) 8 𝑢.𝑎

(B) 6 𝑢.𝑎

(C) au.

320

(D) au.

332

18 - Na construção de um espaço de lazer, ou seja um parquinho para crianças

num condomínio, um engenheiro se depara com a necessidade de calcular a

área existente entre duas curvas. A primeira curva é dada por: y = 1 – x2 e a

segunda é dada por y = -3. Ao apresentar os cálculos da área a ser construída,

o engenheiro errou os cálculos e apontou como resposta 12m2 . Quantos

metros ele calculou a mais.

(A) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1, 67m2

(B) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1,33m2

(C) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 4 m2

(D) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1 m2


Cálculo Integral

9

19 - (ENADE-2011) Considere a função f : R → R definida por 𝑓(𝑥) =

𝑥4 – 5𝑥2 + 4, para cada x ∈ R. A área da região limitada pelo gráfico da

função 𝑦 = 𝑓(𝑥), o eixo 𝑂𝑥 e as retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2 é igual a:

(A) 1538

unidades de área

(B) 1516

unidades de área

(C) 1544

unidades de área

(D) 1560

unidades de área

20 - A igreja de São Francisco de Assis, cartão postal de Belo Horizonte,

localiza-se no conjunto arquitetônico da Lagoa da Pampulha. Marco do

Modernismo, ela foi projetada por Oscar Niemeyer e construída durante o

governo de Juscelino Kubistchek a frente da Prefeitura Municipal. Foi também

alvo de polêmica, visto que Dom Cabral recusou-se a consagrá-la ao uso

eclesiástico, considerando-a apenas um galpão. Com painéis de azulejos de

Portinari e jardins de Burle Marx, tem a sua vista frontal construída como um

arco de parábola.


Cálculo Integral

10

Considere, por suposição, que o arco de parábola que modela tal construção

tenha equação 𝑦 = −27𝑥2 + 4𝑥, no intervalo real em que as ordenadas são

positivas, com 𝑥 e 𝑦 medidos em metros. O cálculo da área da fachada da

igreja, segundo esta função resulta em:

(A) 2

3392 m

(B) 392𝑚2

(C) 2

31568 m

(D) 2

31120 m

21 - (Cesgranrio 2012, Engenheiro de Petróleo) A figura a seguir mostra uma

parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x3 e g(x)

= x2. A parte pintada representa a região do plano R2 em que ,

com . Se o quadrado formado pelos pontos (0,0) ; (0,1); (1,1) e (1,0) tem

área igual a 1 u.a, quantas unidades de área tem a região pintada ?

(A) 121

(B) 61

(C) 51

(D) 41


Cálculo Integral

11

22 - Uma área de lazer localizada em um condomínio está limitada pelas

curvas 𝑦 + 𝑥2 – 6 = 0 e 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0, como mostra a figura abaixo. O valor da

área da região sombreada na figura corresponde a

(A) 3

22

(B) 3

32

(C) 3

58

(D) 3

104

23 - Um fornecedor de peças para a indústria automobilística projetou uma

peça para determinado modelo de veículo conforme a figura abaixo – constitui-

se de uma região delimitada pelos eixos x e y e pelo gráfico da função 29)( xxfy −== .

A área da peça é:

(A) 9 unidades de área.

(B) 18 unidades de área.

(C) 24 unidades de área.

(D) 27 unidades de área.


Cálculo Integral

12

24. Uma peça mecânica será construída e seu formato é obtido através da

revolução da curva 𝑦 = 𝑥3 em torno do eixo 𝑂𝑥, no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Considerando 𝑥 e 𝑦 expressos em centímetros, o volume desta peça em 𝑐𝑚3 é:

(A) 8

(B) 24

(C) 128𝜋7

(D) 4𝜋

25. Uma peça será produzida através da rotação da regiao limitada pelas

curvas 𝑦2 = 𝑥, 𝑥 = 2𝑦 em torno do eixo y. Para calcular o preço da fabricação

desta peça é necessário saber a quantidade de matéria prima que sera

utilizada. Sendo assim podemos afirmar que o volume da peça, em unidades

de volume é:

(A) 6415𝜋

(B) 252𝜋

(C) 72𝜋

(D) 52𝜋

26 - Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução, em torno

do eixo 𝑦, do gráfico de 𝑦 = 𝑥2

2 entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = 5. Podemos afirmar que o

volume desta tigela é:

(A) 5 unidades cúbicas

(B) π6

125unidades cúbicas

(C) 3

310unidades cúbicas

(D) 25𝜋 unidades cúbicas


Cálculo Integral

13

27 - Ao construir um parquinho a empresa responsável pela execução do

projeto tem que se preocupar com a fixação de alguns brinquedos. Entre eles,

um brinquedo que imita um sólido de revolução gerado pela região limitada

pela parábola cúbica 𝑦 = 𝑥3, pelo eixo vertical e pela reta 𝑦 = 8 que gira em

torno do eixo vertical. O engenheiro com o intuito de saber quantos metros de

areia deve ser colocado no parquinho necessita saber o volume deste

brinquedo quando rotacionado em torno do eixo vertical. (use π = 3,14)

(A) Aproximadamente 50 m3

(B) Aproximadamente 64 m3

(C) Aproximadamente 512 m3

(D) Aproximadamente 60 m3

28 - Maria quer armazenar água para o período de seca. Preocupada com a

situação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela

rotação da região abaixo em torno do eixo y e obteve:

Determine o volume de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame:

(A) 2 𝜋 unidades de volume

(B) π8 unidades de volume

(C) π3

16 unidades de volume

(D) 2048 𝜋 unidades de volume


Cálculo Integral

14

29 - Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica

maciça que corresponde ao solido gerado pela revolução da região sob a

função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3, no intervalo [1,2] em torno do eixo x, sendo assim

determine o volume desta peça.

(𝐴)127𝜋

7 𝑢. 𝑣

(𝐵) 7𝜋 𝑢. 𝑣

(𝐶)15𝜋

4 𝑢. 𝑣

(𝐷)128𝜋

7 𝑢. 𝑣

30 - Sabendo-se que a construção de um funil é baseada na rotação da curva

2

41 xy = sob o eixo 0x e limitada pelas retas x = 1 e x = 4. Considerando a

unidade de medida em centímetros, qual o volume de líquido necessário para

preencher o funil caso este esteja fechado? Considere π =3,14.

(A) 40,15 cm3

(B) 12,79 cm3

(C) 3,0 cm3

(D) 5,25 cm3

31. Um pesquisador estima que 𝑡 horas após a meia-noite, em um período

típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada, em graus Celsius,

pela função: 𝑇(𝑡) = 3 − 23

(𝑡 − 13)2, sendo 0 ≤ 𝑡 ≤ 24. A temperatura média na

cidade entre 6h da manhã e 4h da tarde é:

(A) a temperatura média no período é 5,22 .

(B) a temperatura média no período é − 5,22 .

(C) a temperatura média no período é − 24,4222.

(D) a temperatura média no período é 24,4222.


Cálculo Integral

15

32. Os registros mostram que 𝑡 meses após o início do ano, o preço, em reais,

de um determinado produto vendido nos supermercados a granel foi

representado por: 𝑃(𝑡) = 0,09𝑡2 − 0,2𝑡 + 1,6 o quilo. O preço médio deste

produto durante os 3 primeiros meses do ano foi de:

(A) 1,56 reais

(B) 4,70 reais

(C) 1,57 reais

(D) 4,71 reais

33. Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma cultura

após 𝑡 minutos foi 𝑄(𝑡) = 2000𝑒0,05𝑡. O número médio aproximado de bactérias

presentes nesta cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento é:

(A) 10.272

(B) 2.272

(C) 2.275

(D) 10.273

34 - Suponha que a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um

eixo seja 𝑣(𝑡) = 3𝑡3 + 2, medida em metros por segundo. A velocidade média

da partícula no intervalo de 1 segundo a 4 segundos é de:

(A) sm /4

789

(B) sm /4

263

(C) sm /9

(D) sm /2

199


Cálculo Integral

16

35 - Um engenheiro estuda o comportamento de um gás ideal, ao se expandir

passando por pequenos orifícios, fenômeno denominado de efusão gasosa. Ao

realizar um experimento, o engenheiro constata que o vazamento de gás a alta

pressão, através de um orifício de um cilindro de alumínio, é modelado pela

função 𝑣(𝑡) = 2𝑒−𝑡, em que 𝑣(𝑡) representa o vazamento instantâneo de gás

em um determinado instante de tempo 𝑡. Calculando o vazamento médio entre

os instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 2, este engenheiro encontrou o valor:

(A) 2

11e

−

(B) 2

22e

−

(C) 112 −e

(D) 222 −e

36 - Um tanque contém 25g de sal dissolvido em 100 litros de água. Uma

solução de sal em água, com 1/4 g de sal por litro entra no tanque a uma vazão

de 3 litros por minuto e a solução do

tanque, bem misturada, sai com a

mesma vazão.

Considerando todos os dados

relatados acima encontrou-se a

expressão que dá a quantidade de

sal Q(t) no tanque no instante t que

é:

𝑄(𝑡) = 75− 50𝑒− 𝑡100


Cálculo Integral

17

Determine o valor médio da quantidade sal neste tanque, nos primeiros 10 minutos.

Sabe-se que o valor médio de uma função em um intervalo [a,b] é dado por

𝑓𝑚𝑒𝑑 =1

𝑏 − 𝑎� 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

(A) 75,5𝑔

(B) 27,4𝑔

(C) 3,0𝑔

(D) 122,6𝑔

37. A função custo marginal de uma empresa é representada por 𝐶 ′ onde

C´(𝑥) = ln𝑥, onde 𝑥 representa o número de peças produzidas sendo 𝑥 ≥ 1.

Considerando 𝐶𝑇(1) = 5 , podemos afirmar que a função que representa o

custo total 𝐶𝑇(𝑥) da produção de 𝑥 unidades é dada por:

(A) CT(x) = xlnx − x + 6

(B) CT(x) = xlnx − x3

3+ 16

3

(C) CT(x) = xlnx + x + 4

(D) CT(x) = xlnx + x3

3+ 14

3

38. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada pela

função v(t) = t². ln (t), sendo t dado em segundos e a velocidade em metros

por segundo. Se a posição do corpo no instante 1 seg é 0 m, a função posição

dessa partícula será:

(A) s(t) = t³3

ln(t)− t³9

+ 19

(B) s(t) = t³3

ln(t)− t³9− 1

9

(C) s(t) = t³3

ln(t)− t³3

+ 19

(D) s(t) = t³3

ln(t)− t³9


Cálculo Integral

18

39 - Se uma partícula se move ao longo de uma reta com velocidade igual a

v(t) = t e- t m/s após t segundos, então a distância percorrida durante o

primeiros 5 segundos é:

(A) 4e- 5 + 1

(B) - 6 e- 5 -1

(C) - 6 e- 5 + 1

(D) - e- 5

40. Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o

petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t) = sen²t quilolitros por minuto.

Quanto petróleo vazou, aproximadamente, na primeira hora?

(A) 29783 litros de petróleo

(B) 273 litros de petróleo

(C) 29854 litros de petróleo

(D) 29,854 litros de petróleo

41. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade xxsentv 23 cos)( = . Através do Cálculo de integral é possível obter a função

posição s = f(t) desta partícula. No instante que f(0) = 0, a função que descreve a posição da partícula é

(A) 5

cos3

cos 53 xxs −=

(B) 5

cos3

cos 53 xxs +−=

(C) 152

5cos

3cos 53

+−=xxs

(D) 152

5cos

3cos 53

++−=xxs


Cálculo Integral

19

42 - Uma estufa para cultivo de hortaliças foi dimensionada com uma

configuração esférica. Foram instalados três sensores de temperatura, dois nos

pontos A (1, 7, 2) e B(2, 4, 2) e o terceiro no centro da esfera como mostra a

figura abaixo.

A distância entre o os sensores C e B é de:

(A) 5 unidades de comprimento

(B) 10 unidades de comprimento

(C) 9 unidades de comprimento

(D) 3 unidades de comprimento


Cálculo Integral

20

43. As equações paramétricas e

Representam duas retas concorrentes que descrevem o movimento retilíneo de

duas partículas que colidem.

Apesar de serem vetores diferentes, suas magnitudes são iguais, portanto as

partículas se deslocam com a mesma velocidade em suas respectivas retas, a

partir de pontos iniciais que estão à mesma distância do ponto de cruzamento

das trajetórias, possibilitando assim a colisão. As equações vetoriais

resultantes das retas paramétricas são respectivamente;

Descrição das alternativas

(A) r: (x, y, z) = (0,0,3) + t (0,-1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,3) + u (3,2,1).

(B) r: (x, y, z) = (0,0,2) + t (0,1, 3) e s: (x, y, z,) = (0,2,1) + u (3,1,3).

(C) r: (x, y, z) = (0,0,0) + t (0,-1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,1) + u (3,2,1).

(D) r: (x, y, z) = (0,0,3) + t (0, 1, 2) e s: (x, y, z,) = (0,1,3) + u (3,3,1).


Cálculo Integral

21

44. Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A

demanda do produto com marca A depende do seu preço e do preço da marca

competitiva B. A demanda do produto com marca A é DA = 1 300 – 50 x + 20 y

unidades/mês, e do produto com marca B é DB = 1 700 + 12x – 20 y

unidades/mês, onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B.

A função que expressa a receita total mensal da loja, obtida com a venda do

produto P será

(A) 𝑅(𝑥, 𝑦) = 12𝑥2 + 20𝑦2 – 70𝑥𝑦 + 1 700𝑥 + 1 300𝑦

(B) 𝑅(𝑥,𝑦) = − 50𝑥2 + 20𝑦2 + 8 𝑥𝑦 + 1 300𝑥 – 1 700𝑦

(C) 𝑅(𝑥,𝑦) = − 38𝑥 + 3 000

(D) 𝑅(𝑥,𝑦) = − 50𝑥2 – 20𝑦2 + 32 𝑥𝑦 + 1 300𝑥 + 1 700𝑦

45 - Consideremos um sólido metálico no qual a temperatura (em graus

Celsius) em um de seus pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dada por 2221),,(

zyxxyzzyxT

+++= .

A taxa de variação da temperatura com relação a coordenada 𝑥 é dada por:

(A) 2222

222

)1()1(

zyxxzyyz

+++−++

(B) 2222

222

)1()31(

zyxxzyyz

++++++

(C) x

yz2

(D) 22221 zyxyz

+++


Cálculo Integral

22

46 - De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão a temperatura e o volume

de um gás estão relacionados por VKTP = , sendo K uma constante de

proporcionalidade. Suponha que V é medido em polegadas cúbicas pol3, T é

medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de

proporcionalidade é k = 10 pol.lb/K. Determinar, em Kpol

lb.2

a taxa de variação

instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o

volume permanecer fixo em 50 pol3.

(A) 258

(B )501

(C) 2501

(D) 51

47 - A tensão V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à

medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar

com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para encontrar

como a corrente I está variando no momento em que 𝑅 = 400Ω, I=0,08A, 𝑑𝑉𝑑𝑡

= −0,01𝑉/𝑠 e 𝑑𝑅𝑑𝑡

= 0,03𝛺/𝑠.

(A) – 1 A/s

(B) 10 A/s

(C) -0,000031 A/s

(D) – 0,1 A/s


Cálculo Integral

23

48 - Uma mancha de óleo tem formato retangular. A que taxa está variando a

área da mancha de óleo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a

uma taxa de 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros está crescendo a

uma taxa de 2 m/s.

(A) 36

(B) 6

(C) 48

(D) 34

49 - A temperatura em um ponto (𝑥, 𝑦) é 𝑇(𝑥,𝑦), medida em graus Celsius. Um

inseto rasteja de modo que sua posição depois de 𝑡 segundos seja dada por

𝑥 = √1 + 𝑡 , 𝑦 = 2 + 13𝑡, onde 𝑥 e 𝑦 são medidos em centímetros. A função

temperatura satisfaz 𝑇𝑥(2,3) = 4 e 𝑇𝑦(2,3) = 3. Quão rápido a temperatura

aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?

(A) 2 ºC/s

(B) 4 ºC/s

(C) 8 ºC/s

(D) 17 ºC/s

50. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 cm/s ao passo

que sua altura está decrescendo à uma taxa de 2,5 cm/s. A que taxa o volume

do cone está mudando quando o raio vale 120 cm e a altura 140 cm?

(A) 20160𝜋 𝑐𝑚3/𝑠

(B) 8160𝜋 𝑐𝑚3/𝑠

(C) 12000𝜋 𝑐𝑚3/𝑠

(D) 40807 𝜋 𝑐𝑚3/𝑠


Cálculo Integral

24

51. A tensão 𝑉 em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à

medida que a bateria se descarrega. A resistência 𝑅 está aumentando devagar

com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, 𝑉 = 𝑅𝐼, para achar

como a corrente 𝐼 está variando no momento em que 𝑅 = 400Ω, 𝐼 = 0,08𝐴, 𝑑𝑉𝑑𝑡

= −0,01𝑉/𝑠 e 𝑑𝑅𝑑𝑡

= 0,03Ω𝑠

.

(A) −0,000031 𝐴/𝑠

(B) 0,000031 𝐴/𝑠

(C) −0,000015 𝐴/𝑠

(D) 0,000015 𝐴/𝑠

52. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 𝑘𝑃𝑎/𝑠, e

a temperatura é elevada à taxa de 0,15 𝐾/𝑠. Utilize a equação 𝑃𝑉 = 8,31𝑇 para

achar aproximadamente a taxa de variação do volume quando a pressão é

20kPa e a temperatura é de 320K.

(A) −0,15 L/s

(B) −0,03 L/s

(C) −0,48 L/s

(D) −0,27 L/s


Cálculo Integral

25

53. A temperatura 𝑇, em graus, em qualquer ponto (𝑥,𝑦) de uma placa plana é:

𝑇(𝑥, 𝑦) = 54−23 𝑥

2 − 4𝑦2.

Se a distância for medida em centímetros, a taxa de variação da temperatura

em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos

positivos 𝑥 e 𝑦, respectivamente, no ponto (3,1) é:

(A) −4° cm; −8° cm

(B) 4° cm; 8° cm

(C) − 43

° cm; −24° cm

(D) 43

° cm; 24° cm

54. Uma caixa retangular com tampa tem sua superfície total de 64𝑐𝑚2. Uma

empresa usará esta caixa para o estoque de um de seus produtos e para isso

pretende encontrar as dimensões desta caixa, em centímetros, quando seu

volume atinfir seu valor máximo. Podemos afirmar que tais dimensões

correspondem a:

a) 8√6

, 8√6

𝑒 8√6

b) 4, 4 𝑒 4

c) √6,√6 𝑒 √6

d) 8, 8 𝑒 8

55 - Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Para

minimizar a quantidade de papelão utilizado, devemos ter comprimento, largura

e altura da caixa, respectivamente, iguais a:

(A) 40cm, 40cm, 20cm

(B) 40cm, 40cm, 40cm

(C) 203 4 cm, 20 3 4 cm, 20 3 4 cm

(D) 20cm, 40cm, 40cm


Cálculo Integral

26


1. A corrente elétrica de um fio condutor é definida como a derivada da

quantidade de carga, ou seja, 𝐼(𝑡) = 𝑄´(𝑡). Supondo que, em certo circuito uma

corrente varia com o tempo 𝑡 de acordo com a função 𝐼(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡3

4. Determine

a quantidade de carga transportada neste circuito entre um intervalo de 1 e

5 segundos.

2. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade

𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡

onde v é medida em metros por segundo. Determine:

(a) o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo [0, 5].

(b) a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo [0, 5].

3. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A

figura mostra os gráficos de suas velocidades.

a) Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique.

b) Qual o significado da área da região sombreada?

c) Qual carro estará na frente após 2 segundos?

d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado.


Cálculo Integral

27

4. Uma partícula de massa 𝑚 que se move através de um fluido está submetida

a uma resistência 𝑅 devido à viscosidade, a qual é função da velocidade 𝑣. A

relação entre a resistência 𝑅, a velocidade 𝑣 e o tempo 𝑡 está dada pela

equação a seguir.

𝑡 = �𝑚𝑅(𝑣)𝑑𝑣

𝑣(𝑡)

𝑣(𝑡0)

Suponha-se que 𝑅(𝑣) = −𝑣√𝑣 para um determinado fluido, onde 𝑅 é dado em

Newtons e 𝑣 em 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔. Sendo 𝑚 = 10 𝑘𝑔 e 𝑣(0) = 10 𝑚/𝑠, estime o

tempo requerido para que a partícula diminua sua velocidade para 5 𝑚/𝑠.

5. Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de 2𝑐𝑚 /𝑠2. No

instante 𝑡 = 0, a partícula passava pela marca 10 𝑐𝑚 da trajetória, com

velocidade de 5𝑐𝑚 /𝑠.

A. Determine a velocidade da partícula em função do tempo.

B. Determine a posição da partícula em função do tempo.

C. Determine o tempo necessário para que a partícula passe pela marca de

103,75 cm.

6. Estima-se que daqui a t meses a população de um pequeno bairro estará

variando a uma taxa de tdtdP 62 += pessoas por mês. A população atual do

bairro é de 5000 pessoas. Qual será a população deste bairro daqui a 9

meses?

7. Um fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de um

certo produto é dado por 400603 2 +−= qqdqdC reais por unidade. O custo para

produzir as 2 primeiras unidades é de R$ 900,00. Determine o custo total para

produzir as 12 primeiras unidades.


Cálculo Integral

28

8. Um reservatório deve ser dimensionado para uma capacidade de 310m e

deve ter a forma de um parabolóide de revolução, observe a figura abaixo.

Desta maneira, qual deve ser o valor da constante C?

9. Deseja-se conhecer o volume um tanque com 3 metros de profundidade e

sua forma determinada pela revolução da função x = �2y em torno do eixo y.

Use a integral para determinar o volume.

10. Um reservatório de água, com 2m de altura, tem o formato mostrado na figura

a seguir que foi obtida girando-se a curva 𝑥 = 8𝑦2 + 1 em torno do eixo y.

Encontre o volume total de água suportado pelo reservatório.

y

y

C x

y = x2 x = y

x


Cálculo Integral

29

11. Um reservatório tem a forma de um parabolóide de revolução obtido

girando-se o gráfico de 𝑦 = 𝑥² em torno do eixo y. Determine o volume de

água no instante em que seu nível está a 4 metros de altura em relação ao

solo.

12. A posição é dada pela integral da velocidade. Um móvel se desloca e tem

sua velocidade dada por v(t) = 2t cos t2dt. Calcule sua função de posição,

sabendo que instante t = �π2 sua posição era 2.

13. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de forma que sua velocidade

em cm/s seja representada por v . Após decorridos um tempo em segundos

representado por t, a velocidade é expressa por:

v(t) =−t + 1

(t + 2)(t + 1)

A fórmula da distância percorrida pela partícula do instante t = 0 ao instante

t = t1 é:


Cálculo Integral

30

14. Uma equação que descreve o crescimento de uma população é dada por: 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 0,08𝑃 �1 −

𝑃1000� 𝐸𝑞. 1

Na busca da solução desta equação, a mesma pode ser escrita como: 1000

𝑃(1000− 𝑃)𝑑𝑃 = 0,08 𝑑𝑡 𝐸𝑞. 2

O método de resolução desta equação envolve o cálculo da integral em ambos

os lados.

Desenvolva a integral apenas do termo do lado esquerdo da Eq. 2:

15. Atualmente os sistemas algébricos computacionais tem um comando

(com nomes tais como “Apart” ou “Parfrac”) que fornece decomposições em

frações parciais. Por exemplo, o comando: Apart [(x^2 – 2)/((x+2) (x^2 + 4)^ 3)],

fornece a seguinte decomposição em frações parciais:

𝑥2 − 2(x + 2)(x2 + 4)3 =

1256(2 + 𝑥) +

3 (x – 2)32(4 + x2)2 +

2 – x256(4 + 𝑥2)

Contudo, um sistema algébrico computacional não consegue fornecer uma

decomposição em frações parciais em que Q(x) não possa ser fatorado

explicitamente. Por este motivo precisamos aprender a fazer contas muitas

vezes trabalhosas para encontrar a decomposição de frações parciais.

Utilizando estes conhecimentos calcule:

∫ 𝑑𝑥x2−7x+10


Cálculo Integral

31

16. A esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução que

tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro.

A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em

torno do diâmetro. Uma esfera de centro sobre 𝑂𝑧 e no plano 2𝑥 – 3𝑦 + 4𝑧 = 6,

é tangente ao plano 𝑥𝑂𝑦. Como a esfera é tangente à 𝑥𝑂𝑦, temos que a cota

do seu centro é o próprio valor do raio. Determine a equação esfera.

.

17. Dois objetos podem ser localizados no espaço tridimensional através de

dois pontos. O primeiro objeto, pelo ponto, P(2,1,5) e o segundo objeto,

através do ponto Q(-2,3,0). A distância entre eles, é :

18. A temperatura em um ponto (𝑥,𝑦) é 𝑇(𝑥, 𝑦), medida em graus Celsius. Um

inseto rasteja de modo que sua posição depois de 𝑡 segundos seja dada por

𝑥 = √1 + 𝑡, e 𝑦 = 2 + 13𝑡, onde 𝑥 e 𝑦 são medidas em centímetros. A função

temperatura satisfaz 𝑇𝑥(2, 3) = 4 e 𝑇𝑦(2, 3) = 3. Quão rápido a temperatura

aumenta no caminho do inseto depois de 3𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠?

19. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 𝑘𝑃𝑎/𝑠, e

a temperatura é elevada à taxa de 0,15 𝐾/𝑠. Sabendo que para um mol de gás

ideal a pressão 𝑃, o volume 𝑉 e a temperatura 𝑇, estão relacionadas através da

fórmula 𝑃𝑉 = 8,31𝑇, encontre a taxa de variação do volume quando a pressão

é de 20 𝑘𝑃𝑎 e a temperatura é de 320𝐾.


Cálculo Integral

32

20- A lei dos gases ideais é a equação de estado do gás ideal, um gás

hipotético formado por partículas pontuais, sem atração nem repulsão entre

elas e cujos choques são perfeitamente elásticos (conservação do momento e

da energia cinética). Os gases reais que mais se aproximam ao

comportamento do gás ideal são os gases monoatômicos em condições de

baixa pressão e alta temperatura. Empiricamente, observam-se uma série de

relações entre a temperatura, a pressão e o volume que dão lugar à lei dos

gases ideais, deduzida pela primeira vez por Émile Clapeyron, em 1834.

A lei de um gás ideal confinado é P V = k T, onde P é a pressão, V é o volume,

T é a temperatura e

k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de 2 graus/min e a

pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certo instante, a temperatura é

de 200 graus e a pressão é de 10 kg/cm2, ache a razão com que varia o

volume para k = 8.

21. Um engenheiro deseja encontrar três medidas (números positivos) de modo

que o produto entre elas seja máximo. Sabe-se que a soma destas três

medidas é 100 u.c. A medida de cada uma destas medidas é de?

http://pt.wikipedia.org/wiki/G%C3%A1s_ideal

http://pt.wikipedia.org/wiki/G%C3%A1s

http://pt.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://pt.wikipedia.org/wiki/Press%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Volume

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Clapeyron

http://pt.wikipedia.org/wiki/1834


Cálculo Integral

33

Respostas

Questões objetivas

01) B 02) D 03) C 04) A

05) B 06) D 07) A 08) B

09) C 10) C 11) B 12) A

13) B 14) B 15) A 16) A

17) D 18) B 19) D 20) A

21) A 22) B 23) B 24) C

25) A 26) D 27) D 28) B

29) A 30) A 31) B 32) C

33) B 34) B 35) A 36) B

37) A 38) A 39) C 40) C

41) D 42) D 43) A 44) D

45) A 46) D 47) C 48) D

49) A 50) B 51) A 52) D

53) A 54) A 55) A


Cálculo Integral

34


1) 73

unidades de carga

2) Deslocamento = 1756≅ 29,2 metros ; Distância = 59

2= 29,5metros

3) a) O carro A pois a área sob a curva A é maior que a área sob a curva B.

b) A área da região sombreada tem valor numérico SA – SB, que é a distância

em que A está a frente de B depois de 1 minuto.

c) Depois de dois minutos, o carro B está viajando mais rápido do que o carro A

e sendo assim ganhou uma certa distância em comparação com o carro A, mas

a área sob a curva de A a partir de t = 0 a t = 2 é ainda maior do que a área

correspondente à curva de B, e então o carro A ainda está a frente de B.

d) Em aproximadamente 2,2 minutos.

4) Em aproximadamente 2,6197 segundos.

5) a) ⇒ v(t) = 2t + 5 b) s(t) = t2 + 5t + 10 c) 7,5 segundos

6) 5.126 pessoas

7) R$ 2420,00

8) C = √20π

9) V = 9π

10) V = 574π15

11) V = 8π m3

12) s(t) = sen t2 + 1

13) ln(t1+1)2

(t1+2)3+ ln8


Cálculo Integral

35

14) ou ainda ln � P1000−P

�

15) − 13

ln | x – 2| + 13

ln | x – 5| + C

16) 𝑥2 + 𝑦2 + �𝑧 – 32�2

= 94

17) 6

18) 2oC/s

19) Aproximadamente −0,27L/s

20) min/5

32 3cm−

21) x = y = z = 1003

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