Clculo Diferencial e IntegralFrancisco Jlio Sobreira de Arajo Corra

Universidade Federal do ParFaculdade de MatemticaAv. Augusto Corra, 01 Cidade Universitria Prof. Jos Silveira Netto, Guam Belm, PA CEP 66075-110

Diretor Geraldo Mendes de Arajo Vice-diretor Manoel Silvino Batalha de Arajo

Material DidticoFrancisco Jlio Sobreira de Arajo CorraREVISO MATEMTICA ELABORAO DE CONTEDO

Juaci Picano da Silva

REVISO ORTOGRFICA

Jos dos Anjos Oliveira

ILUSTRAO CAPA

Joelma Morbach Silvrio Sirotheau Corra Neto

Ao Leitor Que Stendhal confessasse haver escrito um de seus livros para cem leitores, cousa que admira e conse terna. O que no admira, nem a provavelmente consternar se este ae outro livro no tiver os cem leitores a de Stendhal, nem cinqenta, nem u vinte, e quando muito, dez. Dez? Talvez cinco. (Machado de Assis em Memrias Pstumas de Brs o o a Cubas.)

Indice1 Motivao e o conceito de funo ca ca 1 Introduao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c O problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O problema da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os problemas de extremos: mximos e m a nimos . . . . . . O problema das reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a O problema do comprimento de curvas . . . . . . . . . . . O problema inverso da determinao da tangente . . . . . ca O problema da posio (o problema inverso ao da velocidade) ca 2 3 4 5 6 O que uma funao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e c Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A Matemtica e suas origens . . . . . . . . . . . . . . . . . a Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Limites: motivaoes geomtrica e cinemtica c e a 1 2 3 4 O problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O problema da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . Um pouco de generalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 7 7 8 8 9 10 11 11 12 12 21 24 26 28 28 31 32 34 35

37 37 44 45 49

5 6 7

Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Apolnio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O mtodo de Descartes para o traado de tangentes . . . . e c Contradiao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c

51 53 54 54 54 57 66

3 Limite trigonomtrico fundamental e limites innitos e 1 2 3 4 5 6 7 Limite trigonomtrico fundamental . . . . . . . . . . . . . e O problema do comprimento e da rea . . . . . . . . . . . a Limites innitos e limites no innito . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos Limites via . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Funoes cont c nuas 1 2 3 Funes cont co nuas: denio e exemplos . . . . . . . . . . ca Mximos e m a nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos 4 . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joseph-Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nmeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5 A derivada 1 2 Nooes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Regras bsicas de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca2

67 67 70 71 76 79 80 81 81 83

85 85 92 95 95 97 98 98 99 99

103 103 108

3 4 5 6 7 8

Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . Outras regras de derivaao . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Fermat e a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O mtodo dos uxes de Newton . . . . . . . . . . . . . . e o

112 113 115 115 117 118 118 119

6 A derivada: propriedades e aplicaoes c 1 2 3 4 5 6 7 8 O teorema do valor mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Aplicaoes do teorema do valor mdio . . . . . . . . . . . . c e Extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concavidade e pontos de inexo . . . . . . . . . . . . . . a Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Michel Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Aplicaes da derivada co 1 2 3 4 5 6 7 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de otimizaao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Traado de grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c a Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Mximos e m a nimos no ensino mdio . . . . . . . . . . . . e 8 Mais aplicaes da derivada co 1 2 Aproximaao de funoes por polinmios . . . . . . . . . . . c c o Expresses indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o3

121 121 124 126 132 134 135 137 138 138

139 139 142 145 151 154 156 161 161

165 165 175

3 4 5 6 7

Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regras prticas para levantamento de indeterminaao . . . a c Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Marqus de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Maclaurin e Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176 176 180 181 183 184 184 186

9 A integral de Riemann: noes iniciais co 1 Quadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A quadratura do retngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a A quadratura do tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2 3 4 5 6 7 8 A quadratura da lnula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Area sob uma curva: o caso geral . . . . . . . . . . . . . . A denio de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Area entre duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A quadratura da parbola segundo Arquimedes . . . . . . a 10 Clculo de primitivas ou de antiderivadas a 1 2 3 4 5 6 7 Regras elementares para clculo de primitivas . . . . a Mtodo da substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ca Integraao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Funes trigonomtricas inversas co e . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . .

189 189 189 190 191 197 199 201 207 208 210 211 211

215 215 217 219 222 225 226 228

11 O logaritmo natural4

231

1 2 3 4 5 6 7

O logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivao logar ca tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integraao por fraoes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . c c Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Histria dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

231 237 238 241 243 245 246 246

12 A funo exponencial e a funo logar ca ca tmica 1 2 3 4 5 6 7 8 A funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca A funo exp e o nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca u A funo exponencial de base a . . . . . . . . . . . . . . . ca A funo logar ca tmica de base a . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Como construir uma tbua de logaritmos . . . . . . . . . . a 13 Aplicaoes da integral c 1 Clculo de reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a Area abaixo de grco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Area entre grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Integrais imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume de slidos de revoluao . . . . . . . . . . . . . . . o c Trabalho mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos exerc cios propostos . . . . . . . . . . . . . Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Mtodos numricos para clculo de integrais . . . . . . . . e e a5

249 249 252 256 258 259 261 263 266 266

269 270 270 272 275 280 282 284 286 288 290 294 294

2 3 4 5 6 7 8 9

6

Aula 1 Motivao e o conceito de ca funo caObjetivos Conhecer os principais problemas que motivaram o desenvolvimento do Clculo. a Estudar o conceito de funo. ca

1

Introduo caMatemtica uma palavra a e de origem grega, derivada de Mathematikos e que signicava disciplina mental, aprendizado, principalmente aprendizado matemtico. a Plato, lsofo grego, achava a o que ningum pode ser consie derado educado se no tiver a aprendizado matemtico. a Clculo uma palavra latina a e que signica pequena pedra que os antigos romanos usavam para fazer contagens. Grosso modo. Locuo latina ca (de modo grosseiro), que signica por alto, resumidamente, de modo geral.

O objetivo da disciplina Clculo estudar o chamado Clculo Difea e a rencial e Integral, conhecido em tempos idos por Clculo Innitesimal, de a funoes de uma ou mais variveis o qual, alm de sua importncia histrica c a e a o e pedaggica, vem a ser uma das pedras angulares do progresso cient o co e tecnolgico. O Clculo, cujas origens remontam ao mundo grego antigo, o a repousa sobre dois alicerces bsicos: o conceito de funao e o de limite, a c a partir dos quais sero desenvolvidos os de continuidade, derivabilidade, a integraao, etc. Grosso modo, nesta introduo, podemos dizer que o c ca Clculo trata de problemas em que h variaoes, as quais so traduzidas a a c a por meio de funes e, motivados por estas anlises variacionais, somos co a levados a estudar vrios problemas que ao longo da Histria determinaram a o o desenvolvimento da Cincia, mostrando assim um intercmbio e uma e a das interdependncias das mais saudveis entre a Matemtica, que uma e a a e Cincia bsica e lida com conceitos abstratos, com os mais variados ramos e a da Cincia Aplicada e da Tecnologia. e Enumeremos alguns problemas motivadores do desenvolvimento do Clculo. a7

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O problema da tangenteDeterminar a reta tangente a uma curva em um dado ponto. Um exemplo concreto, que ser visto com detalhes na Aula 2, a e o de determinar a reta tangente ao grco da funo f (x) = x2 a ca em um dado ponto (x, x2 ). Tal problema, facilmente solvel, quando se trata, por exemplo, de uma u circunferncia, em que a reta tangente aquela que a intersecta em apenas e e um ponto, gera interessantes questes quando tratamos com outras curvas o e que nos levam ao conceito de limite, o qual, por sua vez nos motiva a denir o que vem a ser derivada. Veja as guras 1.1(a),(b) e (c) e decida, inicialmente de maneira intuitiva, qual (ou quais) da(s) reta(s) r abaixo e tangente ` respectiva curva C. ar r C C r C

Fig. 1.1(a)

Fig. 1.1(b)

Fig. 1.1(c)

O problema da velocidadeDeterminar a velocidade instantnea de um corpo em movia mento. Um caso concreto de um problema como este surge em cinemtica a em que a equao horria de um corpo em movimento, em alca a guns casos, pode ser escrita como s = s(t) = s0 + v0 t + at2 , 2

em que s = s(t) representa o deslocamento do corpo no instante t. Aqui os mtodos clssicos, entendidos como aqueles desenvolvidos ane a tes do advento do Clculo, mostram-se insucientes para tratar problemas a em que haja variaes de velocidade, como o que ocorre com um corpo co em queda livre ou quando ele se move em trajetrias curvil o neas, como o e caso dos planetas, que se deslocam segundo trajetrias el o pticas. Deve-se ressaltar que o estudo das trajetrias de corpos celestes desenvolveu-se pari o

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passu com o Clculo Diferencial e Integral, produzindo um dos cap a tulos mais marcantes da Histria da Cincia, no qual a Matemtica mostra-se o o e a instrumento mais adequado para anlise e interpretao do mundo f a ca sico. Veja gura 1.2.0 x (t)

Pari passu. Locuo latina ca que signica a passo igual, ao mesmo tempo, simultaneamente.

h

v (t)

Fig. 1.2

Os problemas de extremos: mximos e m a nimosCalcular os valores mximos e m a nimos de uma determinada funao. c Um exemplo geomtrico interessante, relacionado com este e problema, o de determinar as dimenses de um retngulo e o a de rea mxima que pode ser inscrito em um c a a rculo de raio R. Este problema est intimamente ligado `s origens do Clculo Difea a a rencial. Acredita-se que Pierre de Fermat (1601-1650) - veja apndice -, e matemtico francs, foi o verdadeiro criador do Clculo Diferencial, sendo a e a tal crena corroborada por Laplace, pois foi de sua lavra a elaboraao das c c idias em que se usava, ainda que de maneira embrionria, tcnicas que e a e levaram ` soluao, por meio de innitsimos, do seguinte problema: a c e Dentre todos os retngulos de mesmo per a metro, determinar aquele de rea mxima. a a Este um caso particular dos chamados Problemas Isoperimtricos. e e Vide guras 1.3(a), (b) e (c) em que as regies possuem reas distintas, o a muito embora estejam limitadas por curvas de mesmo comprimento, da o nome isoperimtrico. eTal problema est ligado ` a a fundao da cidade de Carca tago. Foi prometida ` Elisa, a personagem Dido da Eneida de Virg lio, a extenso de a terra que ela pudesse envolver com uma tira de couro feita a partir do couro de uma vaca. De todas as regies que ela o poderia envolver com tal tira, ela escolheu, de maneira correta, o c rculo que , dentre e todas as guras com mesmo per metro, a que engloba a maior rea. a

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Fig. 1.3(a)

Fig.1.3(b)

Fig.1.3(c)

Pierre Simon de Laplace (1749-1827), conhecido como o Newton da Frana, foi um c matemtico de raro talena to. Publicou obras primas que marcaram poca, dene tre elas Trait de Mcanique e e Cleste, que compreende toda e a Mecnica Celeste da poca. a e

O problema das reas aDeterminar a rea de uma regio limitada por uma curva a a fechada. E o que acontece quando queremos determinar reas de c a rculos, de regies compreendidas por segmentos de parbolas, etc. o a Quando trabalhamos com pol gonos, isto , guras que podem ser dee compostas em um nmero nito de tringulos, o problema das reas u a a e perfeitamente solvel por intermdio da Geometria desenvolvida na Grcia u e e Antiga. Euclides - vide apndice -, em seus Elementos, faz a quadratura e (ou seja, constri, usando apenas rgua e compasso, um quadrado com o e rea igual ` da gura dada) de guras, usando apenas a Geometria de a a sua poca. No entanto, quando a gura era curvil e nea (lembre-se das Lnulas, da Parbola, etc.), os mtodos dispon u a e veis na Geometria Clssica a mostravam-se insucientes. Tais questes aigiram os gregos antigos, que o se viram envolvidos com problemas para alguns dos quais foram fornecidas soluoes de maneira satisfatria, enquanto para outros suas solues c o co foram procrastinadas at o per e odo renascentista, quando ento surge o a Clculo Innitesimal no concerto da Cincia. a e Alguns matemticos gregos tentaram, com xito, obter a quadratura a e o caso de Hipcrates de Quios que conde certas guras curvil neas. E o seguiu, usando mtodos elementares, porm elegantes e criativos, efetuar e e a quadratura da Lnula ou Luna, que a regio em forma de Lua, da o u e a seu nome, limitada por dois c rculos no concntricos que se intersectam. a e No entanto, foi Arquimedes, matemtico grego - veja apndice -, o mais a e afortunado nestas tentativas, pois conseguiu introduzir um mtodo para e realizar a quadratura de um segmento de parbola, e, desta feita, produziu a o grmen daquilo que, com Leibniz, Newton e vrios outros matemticos, e a a seria o Clculo Integral. Na verdade, o mtodo descrito por Arquimedes a e consiste fundamentalmente em aproximar uma determinada gura por outras mais simples como tringulos, retngulos, etc., cujas reas sabea a a mos calcular, conforme guras 1.4. Na verdade, o leitor observar que os a processos de aproximao constituem o leitmotiv do Clculo Diferencial e ca a Integral.

Quadratura termo originae do do latim quadratum quadrado. Quadratura, em sentido mais geral, signica o processo de encontrar um quadrado cuja rea seja igual a ` de uma dada regio. Na a a Grcia antiga a quadratura e presumia o uso apenas de re gua sem escala e compasso.

Hipcrates de Quios (c. 440 o a.C.) matemtico grego que a realizou a quadratura de certas L nulas ou Lunas. u

Leitmotiv. Pronuncia-se laitmotif e signica tema ou idia sobre a qual se insiste e com freqncia. ue

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Fig.1.4(a)

Fig 1.4(b)

Fig.1.4(c)

Fig.1.4(d)

Deve-se ressaltar que os problemas 1, 2 e 3 so t a picos do Clculo Dia ferencial, ao passo que o problema 4 e o 5, a seguir, esto inclu a dos no Clculo Integral. a

O problema do comprimento de curvasDeterminar o comprimento de uma curva descrita por uma ou mais equaes. co Um exemplo t pico o de calcular o comprimento do arco e de uma parbola limitado entre dois de seus pontos. a Aqui, usa-se um procedimento semelhante ao da quadratura. Mais precisamente, dada uma certa curva, cujo comprimento deve ser calculado, aproximamo-la por meio de segmentos de retas. Veja guras 1.5.

Fig. 1.5(a)

Fig.1.5(b)

Fig. 1.5(c)

Fig.1.5(d)

Observe que, ` medida que o nmero de lados da poligonal aumenta, a u ela vai cando cada vez mais prxima da curva. o Novamente temos aqui um problema do Clculo Integral mas, devemos a enfatizar, estes ultimos esto intimamente ligados ao Clculo Diferencial a a por meio de um resultado, chamado Teorema Fundamental do Clculo, o a qual torna, em um certo sentido, as operaes de derivao e integrao co ca ca inversas uma da outra.

O problema inverso da determinao da tangente caDeterminar uma curva tal que a tangente a ela em qualquer ponto esteja predeterminada por alguma condiao. c Por exemplo, determinar a curva tal que em cada ponto (x, y) a sua inclinaao seja igual a 2x. Vide gura 1.6. c

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x 22

2

x 2

0

x

Fig. 1.6

O problema da posio (o problema inverso ao da veca locidade)Determinar a posio de um corpo sabendo-se a sua veloca cidade instantnea em cada instante e a sua velocidade inicial. a Os dois ultimos problemas so t a picos das chamadas Equaoes Difec renciais Ordinrias os quais, entre vrios outros, sero vistos em aulas a a a espec cas. Com os exemplos acima esperamos ter despertado a curiosidade do leitor para os cursos de Clculo que ora iniciam. a

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O que uma funo? e ca

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig, Alemanha. Seu talento desenvolveu-se de maneira bastante precoce a ponto de, aos doze anos de idade, dominar toda a Matemtica de sua poca. a e Outro ponto a ser ressaltado que as notaes usuais do e co Clculo Diferencial e Integral a so devidas a Leibniz. Em a virtude da importncia de a Leibniz, dedicaremos a ele um apndice na aula 3. e

Como dissemos rapidamente na Introduo, o Clculo Diferencial e Inca a tegral tem como pilares bsicos os conceitos de funo e de limite. Nesta a ca seo estudaremos as noes bsicas de funoes partindo de exemplos conca co a c cretos simples. O termo funao, como entidade matemtica, foi usado pela c a primeira vez, em 1673, em uma carta escrita por Gottfried Wilhelm Leibniz, matemtico e lsofo alemo, que compartilha com Isaac Newton, a o a matemtico ingls, a glria de ter criado o Clculo Diferencial e Integral, a e o a ambos trabalhando de maneira independente um do outro. Para mais informaes sobre a evoluao do conceito de funao o leitor poder consultar co c c a Siu1 . No Clculo tradicional uma funo denida como sendo uma relaao a ca e c entre dois termos, chamados variveis. Chamemo-los de x e de y. Se a a cada valor de x, que pertence a um dado conjunto X, estiver associado, por meio de uma regra, um unico valor y, pertencente a outro conjunto Man-Keung Siu, Concept of Function - Its History and Teaching, Learn from the Masters, The Mathematical Association of America, 1995, 105-121.1

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Y , diz-se que est denida uma funao e escreve-se y = f (x), o que se a c l y funo de x. Neste caso, x chamada varivel independente e y e e ca e a varivel dependente. O conjunto ao qual x pertence chamado dom a e nio da funo f e o conjunto de valores da forma y = f (x), quando x varia ca em todo o dom nio de f , chamado imagem de f . A notaao usual para e c funoes como acima dada por c e f : X Y ou X Y Deve-se ressaltar que nem toda funo denida por meio de uma ca e frmula. No que se segue, estaremos interessados apenas nas chamadas o funoes reais de uma varivel real, ou seja, aquelas cujos dom c a nios e imagens so subconjuntos de R. No entanto, para que seja ressaltado o fato a de que a noao de funo surge nas atividades mais comezinhas do nosso c ca dia-a-dia, daremos exemplos de funoes cujos dom c nios ou imagens no a so necessariamente subconjuntos dos nmeros reais. a u Exemplo 1. Uma pesquisa eleitoral A revista CartaCapital, em uma edio de julho de 2002, em pleno ca per odo eleitoral, divulgou um quadro que representava a evoluao mensal c de intenao de votos, de fevereiro de 2002 a junho de 2002, de um certo c candidato ` presidncia da repblica, a qual podia ser representada pela a e u tabela a seguir, em que na coluna da esquerda representam-se os meses do per odo acima e na da direita exprimem-se os respectivos percentuais de intenao de votos. c Fevereiro Maro c Abril Maio Junho 32 29 32 43 40f

V-se assim que temos denida uma funo, cujo dom e ca nio um cone junto de meses do ano de 2002, {Fevereiro, Maro, Abril, Maio, Junho}, e c tendo como imagem o subconjunto dos nmeros reais {32, 29, 32, 43, 40}, u pois a cada ms do conjunto acima est associado apenas um nmero, que e a u o percentual de eleitores que pretendem votar no referido candidato. e Exemplo 2. A funo am ca O exemplo mais simples de funao, que o leitor j deve ter encontrado c a em cursos de Geometria Anal tica, o de funes da forma y = f (x) = e co ax + b, em que a e b so constantes reais, x a varivel independente e y a e a a varivel dependente. Claramente, o dom e a nio de tal funo, chamada ca funo am, constitu pelo conjunto dos nmeros reais. Se a = 0 a ca e do u sua imagem tambm R e se a = 0 a funo ser constante, ou seja, para e e ca a qualquer valor de x o y correspondente sempre valer b. a

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Pode-se, graas a um procedimento introduzido pelo matemtico e c a lsofo francs Ren Descartes (vide apndice na aula 2 para mais detalhes o e e e sobre a vida e obra deste matemtico), visualizar o comportamento desta a funo no chamado plano Cartesiano atribuindo-se valores a x, calculanca do-se os correspondentes de y, e marcando-se no plano acima mencionado os pontos da forma (x, y). Como a funo em estudo representa uma reta, ca suciente marcar apenas dois pontos como os descritos anteriormente e para termos o seu grco. No entanto, tal procedimento no vale para a a outros casos. Veja as guras 1.7, a seguir, que descrevem os vrios pers a grcos da funo am. a cay y y

0

x

0

x

0

x

Fig. 1.7(a)Robert Hooke (1635-1703) matemtico e f a sico ingls e mais conhecido por sua Lei da Elasticidade, mas tambm, e entre outras coisas, inventou o pndulo cnico e realizou e o pesquisas sobre a lei de atrao de corpos que, somente ca mais tarde, foi desenvolvida por Newton.

Fig.1.7(b)

Fig.1.7(c)

Funoes deste tipo surgem em vrias situaes f c a co sicas e do dia-a-dia. Um dos exemplos mais conhecidos o que ocorre em elasticidade linear, e traduzida pela Lei de Hooke, dada por f (x) = kx em que x designa a magnitude da deformaao de um corpo elstico - dentro dos limites de c a elasticidade - e k > 0 a constante de elasticidade do corpo. As guras e 1.8(a), 1.8(b) e 1.8(c) representam um corpo elstico sendo deformado. a

Fig. 1.8(a)

Fig. 1.8(b)

Fig. 1.8(c)

Uma outra situaao interessante na qual surge uma funao am no c c e estudo do movimento retil neo uniforme. Suponhamos que um corpo se desloque em uma trajetria retil o nea com velocidade constante v. Designando por x(t) a distncia percorrida pelo referido corpo em um tempo t a teremos x(t) = x0 + vt

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em que x0 designa a posiao inicial do corpo. O grco da funo x(t) c a ca e dado pela semi-reta e representado pela gura 1.9, na qual v, do ponto e de vista geomtrico, signica a inclinaao da semi-reta. Deve-se observar e c que o grco da funo x(t) uma semi-reta, pois a varivel independente a ca e a t, por representar o tempo, maior do que ou igual a zero. e

x x00

t

Fig. 1.9

Exemplo 3. Medida de temperatura Nos pa que adotam o sistema mtrico decimal, como o caso do ses e e Brasil, a temperatura ambiente sempre medida em graus cent e grados (ou 0 graus Celsios) designada por C. Outros pa ses, entre os quais os Estados Unidos, por no adotarem o sistema mtrico decimal, medem a tempea e ratura em graus Farenheit (0 F). Para relacionar a temperatura em graus Celsios e Farenheit, usa-se a expresso a C F 32 = 5 9 Assim, 5 150 C= F 9 9 que uma funao am. e c Exemplo 4. Conta de luz Nas contas de energia eltrica emitidas mensalmente por determinadas e concessionrias, existe um quadro, designado por histrico de consumo de a o energia eltrica - kWh, o qual descreve o consumo de energia eltrica de e e cada residncia, nos ultimos doze meses. No grco desse quadro tem-se e a a gura

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HISTRICO DE CONSUMO DE ENERGIA ELTRICA - kWh800

640

480

320

160

Out/06 655

Nov/06 Dez/06 684 681

Jan/07 Fev/07 744 571

Mar/07 Abr/07 Mai/07 Jun/07 518 603 660 620

Jul/07 Agos/07 Set/07 584 675 797

MDIA DOS 3 LTIMOS CONSUMOS DE ENERGIA

685,33 kWh

que mostra o quanto foi gasto de energia eltrica de outubro de 2006 a see tembro de 2007. Assim, temos uma funao do conjunto {outubro/2006, c novembro/2006, dezembro/2006, janeiro/2007, fevereiro/2007, maro/2007, abriu/2007, maio/2007, junho/2007, julho/2007, agosto/2007, c setembro/2007}. A cada um desses meses est associado um nmero, que a u o consumo referente ao ms correspondente. Desse modo e e outubro/2006 novembro/2006 dezembro/2006 janeiro/2007 fevereiro/2007 maro/2007 c abril/2007 maio/2007 junho/2007 julho/2007 agosto/2007 setembro/2007 o que dene uma funao. c Exemplo 5. Alguns exemplos de funes da Geometria co Considere um quadrado de lado x. Sua rea dada por x2 e dea e signando-a por A(x), teremos A(x) = x2 , denindo, assim, uma funo ca que nos permite calcular a rea de um quadrado conhecendo-se o seu a lado. Evidentemente, o dom nio da funao A - o conjunto de todos os c poss veis valores que podem ser atribu dos ` varivel x - o conjunto dos a a e nmeros reais positivos, haja vista que tal varivel representa o lado de u a 655 684 681 744 571 518 603 660 620 584 675 797

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um quadrado. Claramente, se x cresce a rea A(x) tambm cresce e, por a e este motivo, diz-se que tal funao crescente. c e Inversamente, dado um quadrado com uma determinada rea A, ena contramos um unico nmero positivo x que representa o seu lado e assim u x = A, o que nos diz que o lado de um quadrado funao de sua rea. e c a Veja as guras 1.10 nas quais esto representados os grcos das funes a a co acima.A(x) x

0

x

0

A

Fig. 1.10(a)

Fig. 1.10(b)

Outro exemplo geomtrico de funao o da rea do c e c e a rculo com relao ca ao seu raio. Como sabido da geometria elementar, a rea de um c e a rculo de 2 raio r dada por r e, designando por S(r) tal rea, teremos S(r) = r2 , e a em que r, evidentemente, um nmero maior que zero. Esta funo possui e u ca um comportamento semelhante ao da que dene a rea do quadrado em a funao de seu lado. c Na verdade, os exemplos acima so casos particulares da funao a c y = f (x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c so constantes reais e x a varivel que, mais geralmente, a e a pode assumir qualquer valor real. No entanto, nos casos espec cos acima a varivel independente sempre positiva. a e Exemplo 6. Forma impl cita Nos casos anteriores tivemos exemplos de funes nas quais a varivel co a dependente y encontrava-se escrita explicitamente como funo de x. Enca tretanto, nem sempre isto acontece. Consideremos, ` guisa de exemplo, a a equaao x2 + y 2 = 4 que, como sabemos da Geometria Anal c tica, descreve uma circunferncia com centro no ponto (0, 0) e de raio 2. Caso queiramos e explicitar o valor de y em funao de x teremos y = 4 x2 e assim, c para cada valor admiss de x, correspondem dois valores simtricos de vel e y, o que viola o conceito de funo. Portanto, para cada valor de x pertenca e cente ao intervalo [2, 2] teremos um valor y = 4 x2 e o seu simtrico y = 4 x2 , o que nos leva a concluir que a relao acima dene duas ca funoes que so representadas, respectivamente, pelas partes superior e c a pela inferior da circunferncia. Em ambos os casos, o dom e nio o intere valo [2, 2] e as imagens so, respectivamente, os intervalos [0, 2] e [2, 0]. a Veja as guras 1.11.

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y

y

0

x

0

x

Fig. 1.11(a)

Fig. 1.11(b)

No entanto, deve-se observar que existem relaoes envolvendo as varic veis x e y que, por serem bastantes complicadas, no nos permitem fazer a a a manipulao acima para explicitar y em funo de x, mesmo obtendo ca ca dois valores de y para cada x. Tente explicitar y como funao de x, ou x c como funao de y, nas expresses abaixo: c o x2 y + y 3 x4 + 3 xy 1/3 = 9 ou x + y2 + x+y = x4 . x2 + y 2

x+y+

Exemplo 7. Funoes de vrias variveis c a a Um cidado chamado Devenildo Falidus tomou um emprstimo a juros a e de taxa 10% ao ms. Ao nal do primeiro ms, a d e e vida de Devenildo ser a de R$ 10.000, 00 + 1.000, 00 = R$ 11.000, 00 Ao nal do segundo ms, supondo que a d e vida tenha sido rolada por mais um ms, esta ser de e a R$ 11.000, 00 + 110, 00 = R$ 11.100, 00 Como as nanas do Sr. Falidus continuaram em pssimas condioes, a c e c d vida foi rolada por mais um ms, de modo que, ao trmino do terceiro e e ms, sua d e vida era de R$ 11.100, 00 + 111, 00 = R$ 11.210, 00 O endividado senhor, assustado com o crescimento do seu dbito, resolveu e aprender um pouco de Matemtica Financeira e cou pasmado com o a resultado obtido. Mas precisamente, Devenildo sups que tivesse uma o d vida inicial C0 a taxa de i, mensal. Ao nal do primeiro ms sua d e vida C1 ser a C1 = C0 + iC0 = (1 + i)C0

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Ao nal do segundo ms sua d e vida C2 ser a C2 = = = = C1 + iC1 (i + i)C0 + (1 + i)C0 (1 + i)(1 + i)C0 (1 + i)2 C0

prosseguindo dessa maneira, sua d vida Cn ao nal do n-simo ms ser e e a Cn = C0 (1 + i)n ou seja, provavelmente Devenildo Falidus continuar falido. a Observemos que obtemos uma funao que a cada ms nos fornece o c e valor da d vida contra a taxa i com juros compostos. Da prxima vez da o que algum for solicitar um emprstimo, pense no drama de Devenildo. e e Exemplo 8. Funes de vrias variveis co a a Existem casos, que no sero estudados de imediato, mas devem ser a a citados, em que as funes dependem de mais de uma varivel indepenco a dente. Por exemplo, considerando-se um tringulo retngulo cujos catea a tos medem x e y, a sua hipotenusa z medir z = a x2 + y 2 , ou seja, a hipotenusa depende de duas variveis que podem percorrer livremente a todos os nmeros reais positivos. u Se x e y representarem lados de um retngulo, a sua rea z ser dada a a a por z = xy e novamente temos uma funao de duas variveis. No caso em c a que x, y e z representarem os lados de um paralelep pedo, o seu volume V ser V = xyz, o que nos mostra que tal volume uma funao de trs a e c e variveis. a Outros exemplos de funes deste tipo sero estudados oportunamente. co a Antes de partirmos para a descriao de outros exemplos, introduzirec mos alguns conceitos que faro parte do nosso cotidiano. a Funo injetiva ou injetora. Uma funao f : X Y dita injetiva ca c e ou injetora se x1 , x2 X, x1 = x2 , implicar que f (x1 ) = f (x2 ). As funoes f (x) = x2 , x 0, g(x) = x3 , x R e h(x) = ax + b, em c que a e b so constantes reais com a = 0, so t a a picos exemplos de funoes injetivas. Tente justicar isso. Por outro lado f1 (x) = x2 , c 1 a a para todo x R, g1 (x) = cos(x) e h1 (x) = 1+x2 no so injetivas. Veja as guras a seguir em que voc ter uma noo geomtrica e a ca e sobre a injetividade.

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Fig. 1.12(a)

Fig. 1.12(b)

Funo sobrejetiva ou sobrejetora. Uma funao f : X Y dita ca c e sobrejetiva ou sobrejetora se, para cada y Y , existir x X tal que y = f (x). A funao f : R R dada por f (x) = x3 , para todo x R, c e sobrejetiva. A funao g : R R dada por g(x) = cos(x) no sobrejetiva. No c a e entanto, se a considerarmos dada por g : [0, ] [1, 1] ela ser a sobrejetiva.

Fig. 1.13

Funo bijetiva ou bijetora. Uma funo f : X Y que seja, simulca ca taneamente, injetiva e sobrejetiva chamada bijetiva ou bijetora e (tambm usa-se o termo bijeao). e c Este o caso de f (x) = x3 , para todo x R. e No insistiremos mais com outros exemplos, pois eles surgiro natua a ralmente ao longo do curso. Neste ultimo caso (funao bijetiva) pode-se denir uma funo c ca f 1 : Y X, chamada funo inversa de f : X Y , da seguinte ca maneira: x = f 1 (y) se, e somente se, y = f (x).

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Com relaao ao se, e somente sedesta deniao e vrias outras coisas c c a 2 usuais em Matemtica, veja Morais Filho . a Exemplo 9. A funo F : R R dada por F (x) = x3 injetiva e ca e 1 sobrejetiva, ou seja, uma bijeao, e sua inversa dada por F : R R, e c e 1 1/3 F (x) = x . A funao f : [0, +) R dada por c f (x) = injetora mas no sobrejetora. e a e Se considerarmos g : R R dada pela mesma expresso acima, isto , a e g(x) = 1 x2 + 1 x2 1 +1

ela no ser nem injetiva e nem sobrejetiva. a a Observe que a funao f diferente da funo g pois, mesmo sendo c e ca denidas por expresses semelhantes, seus dom o nios so distintos. a Tomemos, agora, a funao h : [0, +) (0, 1] dada por c h(x) = x2 1 +1

tem-se que ela injetiva e sobrejetiva e, portanto, admite uma inversa. e Determine uma expresso para tal inversa. a

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Exerc cios resolvidos1. Suponhamos que um carro esteja em movimento retil neo uniforme com velocidade constante igual a 60km/h. Supondo que a posio ca do corpo no instante t = 0 x0 = 100km, ache uma equaao para x e c em funao de t e faa um grco da posiao versus tempo. c c a c Soluo. Desde que no instante t = 0 o corpo se encontra na posiao ca c x0 = 100km, segue-se que a distncia percorrida pelo corpo em um a tempo t ser x(t) 100 e, desse modo, a velocidade (constante) a v = 60km/h ser expressa por a 60 = e da teremos x(t) = 100 + 60t. O grco desta equao a reta esboada na gura 1.14. a ca e c x(t) 100 t

Daniel Cordeiro de Morais Filho, Um Convite ` Matemtica, 2a edio, Campina a a ca Grande, EDUFCG, 2007.

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Fig. 1.14

2. Determine os dom nios das funoes a seguir. Deve-se observar que, c ao dizermos dom nio de uma funao dada por uma expresso, querc a emos dizer, na maioria das vezes, encontrar o seu dom maximal. nio (a) y = (b) y = 4 x2 ,

1 , x2 9 x (c) y = 2 . x +4

Soluo. ca (a) Como y um nmero real, 4 x2 0, ou x2 4. Conseqene u u temente, o dom nio desta funo o intervalo 2 x 2. ca e (b) A funao dada por uma frao cujo denominador x2 9 c e ca e o qual deve ser diferente de zero. Portanto, o dom nio dessa funo constitu pelos valores de x R que sejam diferentes ca e do de 3. (c) Como x2 + 4 = 0, para todo x R, o dom nio o conjunto de e todos os nmeros reais. u 3. Se f (x) = x2 + 2x, calcule f (a + h) f (a) e interprete o resultado. h Soluo. Calculemos, inicialmente, o quociente acima: ca f (a + h) f (a) [(a + h)2 + 2(a + h)] (a2 + 2a) = = 2a + 2 + h. h h Vejamos, agora, a interpretaao geomtrica. Sobre o grco de f c e a (veja g. 1.15), localize os pontos P e Q cujas abscissas so, respeca tivamente, a e a + h. A ordenada de P f (a) e a de Q f (a + h). e e

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Fig. 1.15

Assim,

f (a + h) f (a) diferena das ordenadas c = h diferena das abscissas c = inclinaao da reta P Q. c 4. De cada um dos cantos de um quadrado de papelo, de 12 cm de a lado, veja gura 1.16, so removidos quadrados cujos lados possuem a comprimentos iguais a x cm e, a seguir, os retngulos remanescentes a so dobrados para cima de modo que seja formada uma caixa sem a tampa. Expresse o volume V da caixa, em cm3 , como uma funo ca de x. Soluo. A caixa possui base quadrada cujo lado mede 12 2x e ca altura x. Veja gura 1.16.

Fig. 1.16

O volume da caixa dado por V = x(12 2x)2 = 4x(6 x)2 . O e dom da funao V = V (x) o intervalo 0 < x < 6, haja que vista nio c e que V deve ter sempre valor positivo. Veja gura 1.17.

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Fig. 1.17

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Exerc cios propostos1. Em cada um dos itens abaixo, determine o dom nio e a imagem da funao correspondente. c (a) f1 (x) = 4 x2 (b) f2 (x) = 2 x (c) f3 (x) = |x 1| (d) f4 (x) = [2x] = o maior inteiro 2x (e) f5 (x) = |x| 2x (f) f6 (x) =|x| x

2. Em um jogo de futebol o goleiro do Paysandu Sport Club bate um tiro de meta. A bola sobe e desce na intermediria do time adversrio. a a Considere a funao que a cada instante (desde a batida do tiro de c meta) associa a altura em que a bola se encontrava naquele instante. Tal funao injetora? Justique sua resposta. c e

Fig. 1.18

3. Dada a funao c

x1 x+1 calcule os seus valores em x = 0, 1, 2, 2, 1 + h, 2 + h, a/b. f (x) = x1 , x+1

4. Dada a funao c f (x) =

1 1 1 calcule f ( 1+x ), f ( 1x ), f (x), f ( x ). Mostre que f (1/x) = f (x) e f (f (x)) = 1/x.

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5. Mostre que a funao c y = f (x) = coincide com a sua inversa. 6. Dada a funo ca x , 1 + x2 denida para todo x real, verique que sua inversa a funao e c y = f (x) = x = g(y) = denida para |y| < 1. 7. Sabendo-se que ` temperatura de 25o C, o volume V (em cm3 ) de a certa quantidade de gs dado pela lei: V = 36 , em que P a a e e P presso do gs (em atm), determine o volume de tal massa gasosa a a `s presses 3, 4 e 5 atm. a o 8. Suponhamos que em uma determinada cidade existia, no ano de 2000, 500.000 ratos e, no per odo 2000-2003, a populao desse roeca dor tenha aumentado, anualmente, 40%. Considere a funo que ca fornece tal populaao de ratos na dependncia do tempo. Deterc e mine: a) a lei dessa funo ca b) um esboo do grco dessa funo. c a ca y 1 y2 , x+2 2x 1

9. Colocando numa panela 500g de gua, inicialmente a 50o C, sua tema peratura vai caindo at atingir a temperatura ambiente de 20o C. e Supondo que este resfriamento seja processado de acordo com a lei T = T (t) = 20 + 30 10t em que T = T (t) a temperatura da gua, em o C, t horas aps o e a o in da experincia, faa um esboo do grco da temperatura da cio e c c a gua em funao do tempo. a c

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Respostas dos exerc cios propostos1. Exerc 1. cio (a) Dom nio: R. Imagem: (, 4] (b) Dom nio: [0, ) = {x R; x 0}. Imagem: (, 0] (c) Dom nio: R. Imagem: [0, ) (d) Dom nio: R. Imagem: Z (e) Dom nio: R. Imagem: R

Fig. 1.19(f) Dom nio: R {0}. Imagem: {1, 1} 2. Exerc 2 cio Basta observar o grco da gura 1.18. a 3. Exerc 3. cio 1, 0, 1/3, 3, 4. Exerc 4. cio 5. Exerc 5. cio Basta explicitar x em funao de y e vericar que x = c 6. Exerc 6. cio Proceda como no exerc anterior. cio 7. Exerc 7. cio 12, 9, 36/5y+2 2y1

h 3 + h a b , , 2 + h 1 + h a + b

x x x 1 1 x , , , 2 + x 2 x x + 1 1 + x

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8. Exerc 8. cio 7 f (t) = 500000 5(t2000)

Fig. 1.20

9. Exerc 9. cio

Fig. 1.21

Nesta aula voc aprendeu: e quais foram os principais problemas que motivaram o desenvolvimento do Clculo; a o conceito de funao. c

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Apndice e

A Matemtica e suas origens aA inuncia dos gregos antigos na sociedade ocidental algo sobee e jamente conhecido. Da Filosoa ao Teatro, passando pela Matemtica, a Medicina, Histria, Mitologia, F o sica. Enm, em todas as reas do coa nhecimento, temos o renamento intelectual da Grcia Antiga a inspirar e o desenvolvimento das mais variadas aventuras do esp rito humano. Na Matemtica, em particular, a obra grega profundamente seminal. Evia e dentemente, a Matemtica no comeou com os gregos antigos. As oria a c gens da Matemtica seguramente se perdem nas brumas da aurora da a humanidade. O ser humano, desde o mais primitivo, ao abrir os olhos se d conta das diversas formas espaciais; ao deslocar-se entre duas posies, a co ele o faz de forma a minimizar o seu esforo, escolhendo a distncia mais c a curta. E, assim, esse nosso ancestral estava a desenvolver uma forma primitiva de Geometria intuitiva. No entanto, a utilizao da Matemtica ca a de uma forma deliberada talvez tenha sido realizada pela primeira vez associada a processos de contagem que estavam relacionados a problemas prticos. Veja Corra-Almeida3 . a e Neste sentido, relacionar os elementos de uma determinada coleao ao c nmero de dedos das mos e dos ps pode ter sido a primeira tentativa u a e de fazer uma contagem. Porm, se o conjunto a ser contado fosse muito e grande, esse mtodo tornar-se-ia impraticvel. Nesse caso, o homem prie a mitivo poderia valer-se de um conjunto de pedrinhas e coloc-lo em cora respondncia, por exemplo, com os componentes de um rebanho. eHomero (sculo VIII a.C.) e um poeta grego (segundo a tradio era cego) que escreca veu duas obras primas da literatura: Il ada e Odissia. Ese ta ultima descreve as aven turas de Ulisses (em grego, Odysseus).

Seminal. Inspirador, prof cuo, proveitoso.

Assim fazia o personagem Polifemo, o gigante de apenas um olho da Odissia4 , do escritor grego Homero5 . O gigante, morador da ilha de e Cyclops, aps ter sido cegado por Ulisses, postava-se todas as manhs ` eno a a trada de uma caverna, tocando cada ovelha que dali sa sse, associando-a a uma pedrinha. Ao nal da tarde, cada ovelha que retornasse era novamente relacionada a uma pedrinha do conjunto obtido pela manh; caso a esse ultimo fosse completamente exaurido, o gigante estaria seguro de que seu rebanho teria retornado integralmente ` caverna. a Esses processos precisavam ser registrados e, para isso, o homem necessitava criar s mbolos de modo que os dados coletados no se perdessem. a A princ pio, esses registros eram efetivados fazendo marcas em bastes ou o em pedaos de ossos. Sobre isso transcrevemos, a seguir, um trecho de c a Boyer6 , pg 3:Francisco Julio S. A. Corra e Arthur C. Almeida, Papiro Rhind e as Fraes e co Unitrias, Revista do Professor de Matemtica-SBM, N o 35, 1997,2-8. a a 4 Homero, Odissia, Abril Cultural, 1979. e 5 Pierce Vidal-Naquet, O Mundo de Homero, Companhia das Letras, 2002. 6 Carl B. Boyer, Histria da Matemtica, Edgard Blcher, 1974. o a u3

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Poucos desses registros existem hoje, mas na Checoslova quia foi achado um osso de lobo com profundas incises, em o nmero de cinqenta e cinco; estavam dispostas em duas sries, u u e com vinte e cinco numa e trinta na outra, com os riscos em cada srie dispostos em grupos de cinco. Tais descobertas arqueole o gicas fornecem provas de que a idia de nmero muito mais e u e antiga do que progressos tecnolgicos como o uso de metais ou o de ve culos de rodas. Precede a civilizao e a escrita, no senca tido usual da palavra, pois artefatos com signicado numrico, e tais como o osso anteriormente descrito, vm de um per e odo de cerca de trinta mil anos atrs. a V-se assim que a pr-histria da Matemtica recua no tempo para muito e e o a antes de Homero, cujas obras datam do sculo VIII a.C. e Deve-se ressaltar que o desenvolvimento da Matemtica acompanha a pari passu o da sociedade em geral. Em virtude disso que os povos e razoavelmente desenvolvidos tiveram que incrementar um aparato matemtico que possibilitasse fazer face aos desaos que o progresso suscitava. a Isso foi, em particular, o que ocorreu com os antigos eg pcios que desenvolveram, assim como babilnios, indianos e chineses, uma Matemtica o a bastante sosticada. O historiador Herdoto, assim como outros intelectuais gregos, viajou o por vrios lugares, entre os quais o Egito, e, sobre um certo rei eg a pcio de nome Sesstris, Herdoto nos diz: o o Esse rei realizou a partilha das terras, concedendo a cada eg pcio uma porao igual, com a condiao de lhe ser pago todos c c os anos um certo tributo; se o rio carregava alguma parte do lote de algum, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o e acontecido. O soberano enviava agrimensores ao local para determinar a reduao sofrida pelo lote, passando o dono a pagar c um tributo proporcional ` porao restante. Eis, segundo me a c parece, a origem da Geometria, que teria passado desse pa s para a Grcia. e Plato, em sua obra Fedro, tambm atribui aos eg a e pcios a criaao da c Matemtica. Mais precisamente, ele diz: a Na cidade eg pcia de Nucratis, existiu um antigo e famoso a deus, cujo nome era Thoth; o pssaro chamado a bis lhe era consagrado e ele foi inventor de muitas artes, tais como a Aritmtica, a arte de calcular, a Geometria, a Astronomia e os e dados, mas sua maior descoberta foi o uso das letras.Plato (428 - 347 a.C.), a cujo verdadeiro nome era Aristcles, foi um lsofo greo o go fundador da Academia e autor da monumental A Rep blica. u Herdoto (C. 484 - C. 425 o a.C.) foi um historiador que escreveu a obra-prima Histo rias.

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Aristteles (384/383 - 322 o a.C.) foi, talvez a mente losca mais universal dos greo gos. Dante Alighieri o deniu como o mestre daqueles que sabem.

Aristteles, por sua vez, sugere que a Matemtica tenha origem eg o a pcia como conseqncia da ascenso de uma classe sacerdotal, que dispunha ue a de tempo suciente para o estudo, contrastando, assim, com a tese de Herdoto, que apontava origens prticas para a Matemtica. o a a Independentemente da nalidade com que a Matemtica surgiu, Hea rdoto, Plato e Aristteles localizam sua origem no Egito, embora todos o a o concordem com a armaao de que a prtica matemtica se deu antes da c a a civilizao eg ca pcia. Porm, a Matemtica eg e a pcia, assim como de resto todas as suas contemporneas, tinham, ao que parece, objetivos meramente a pragmticos. E o que se deduz de seus papiros ainda hoje conservados em a vrias bibliotecas americanas e europias. Vejamos algumas observaes a e co sobre o Papiro de Rhind ou de Ahmes. No inverno de 1858, o jovem antiqurio escocs A. Henry Rhind, de a e passagem por Luxor, cidade eg pcia `s margens do Nilo, adquiriu um paa piro (30cm de altura e 5m de comprimento) que havia sido encontrado nas ru nas de uma antiga edicao em tebas. Com a morte de Rhind, ocorca rida cinco anos aps, vitimado por tuberculose, o seu papiro foi adquirido o pelo Museu Britnico. a

Tales de Mileto

Algumas datas so escritas a como c. 230 a.C., por exemplo, Eudoxo (c. 400347). Este c. indica que a data no exata, referea e se a um per odo aproximado. O c. vem da palavra latina circa, que quer dizer aproximadamente, por volta de. Veja Daniel C. de Morais Filho, Como Escrever um Texto Matemtica. a Geometria um substantivo e derivado do grego e composto de geo, que signica terra, e metron que signica medida, ou seja, etimologicamente, Geometria signica medida de terras, o que vem ao encontro do que se disse previamente sobre a medida de terras efetuada pelos eg pcios.

Esse documento, que passou a ser chamado Papiro de Rhind, foi escrito por volta de 1700 a.C. por um escriba chamado Ahmes, Ah-mose (sendo por isso tambm conhecido como Papiro de Ahmes), por solicitao de um e ca certo rei Hyksos que reinou no Egito em algum per odo entre 1788 e 1580 a.C. Ahmes relata que o material provm de um outro manuscrito proe duzido em alguma poca entre 2000 e 1800 a.C. Assim, o documento mais e antigo da Matemtica tem cerca de 4000 anos, sendo Ahmes a primeira a gura da Matemtica registrada na Histria. a o O Papiro Rhind uma coleo ou, mais precisamente, um manual, cone ca tendo problemas prticos de natureza aritmtica, algbrica e geomtrica a e e e com instruoes para soluoes, sem que haja vest c c gio de demonstraoes c ou formalismos, coisas s registradas muito tempo depois pelos gregos, a o partir de Tales. Tales de Mileto (c. 546 a.C.), considerado o pai da Geometria Demonstrativa, foi um dos sete sbios da antiguidade. a Tendo dedicado parte de sua vida ao of cio de mercador, tornou-se sucientemente rico para devotar-se posteriormente ao estudo e `s viaa gens. De suas visitas ao Egito levou a Mileto os conhecimentos de Geometria adquiridos pelos eg pcios, tendo conquistado o respeito de seus concidados no apenas como matemtico mas tambm como estadista, a a a e conselheiro, engenheiro, homem de negcios, lsofo e astrnomo. o o o E conhecido como o primeiro matemtico cujo nome est ligado a a a teoremas, por isso mesmo o seu ep teto de pai da Geometria Demonstrativa (ou dedutiva, ou sistemtica) que desaguou em Os Elementos de Euclides, a

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obra na qual sistematizada a Matemtica nos moldes que a conhecemos e a nos dias de hoje. A Tales de Mileto so creditadas as demonstraes dos a co seguintes resultados: 1. Qualquer dimetro de um c a rculo divide-o em duas partes iguais. 2. Os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais. a a o a 3. Angulos opostos pelo vrtice so iguais. e a 4. Se dois tringulos tm dois ngulos e um lado em cada um deles, a e a respectivamente, iguais, ento esses tringulos so congruentes. a a a 5. Um ngulo inscrito num semic a rculo reto (veja gura 1.22). e

Fig. 1.22

A postura inaugurada por Tales de Mileto uma das pedras angulares e da Matemtica. Observe que o resultado 1 descrito linhas atrs extremaa a e mente bvio. Contudo, mais importante do que o prprio resultado foi a o o percepo de Tales de que ele podia (ou deveria) ser demonstrado. ca

Arquimedes

Arquimedes, que viveu e morreu em Siracusa, cidade localizada na ilha da Sic lia, atualmente pertencente ` Itlia, muito embora no tenha a a a a nascido, foi, provavelmente, o maior matemtico da antiguidade clssica. a a

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Alm da Quadratura da Parbola, Arquimedes escreveu outras obras ime a portantes, entre as quais destacamos: Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre Espirais, Sobre Equil brio de Corpos Planos, etc. A obra de Arquimedes que mais o aproxima do Clculo que comearemos a estudar a c a Quadratura da Parbola, na qual se encontram as ra e a zes do Clculo a Integral, pois o que ele fez foi aproximar um segmento de parbola por a tringulos nela inscritos e assim exaurindo-a de modo que os tringulos a a evidente que por mais que aumentemos o nmero de a preenchessem. E u tringulos inscritos, sempre a rea total da parbola ser maior que a rea a a a a a da totalidade de tringulos inscritos e a que entra em cena o conceito de a e integral, com a sua subjacente noao de limite para justicar as passagens c do nmero nito de tringulos para o clculo preciso da rea. Tornaremos u a a a as idias acima mais precisas no estudo da Integral. e Com relaao a Arquimedes, o matemtico ingls do sculo XX, G. c a e e H. Hardy disse: Arquimedes ser lembrado quando Esquilo j tiver sido a a esquecido, porque as l nguas morrem, mas as idias matemticas no. De e a a maneira semelhante Voltaire observou: havia mais imaginao na cabea ca c de Arquimedes do que na de Homero. Veja Eves7 . Sobre os lsofos citados aqui, e vrios outros, o leitor pode consultar o a 8 a excelente obra de Reale-Antiseri .

Uma conjectura um conjune to de idias que, em conjunto, e constitui uma hiptese. Uma o conjectura pode ser falsa ou verdadeira. Um exemplo t pico o Ultimo Teorema de e Fermat que, antes de ser demonstrado, era apenas uma conjectura. Uma conjectura famosa a chamada conjece tura de Goldbach: Todo n mero par maior do que 2 u pode ser escrito como a soma de dois n meros primos. u

Fermat

Diofanto de Alexandria (c. 250 a.C.) foi um matemtia co grego que escreveu trs e trabalhos: Aritmtica, Sobre e N meros Poligonais e Porisu mas, que tiveram grande importncia para o desenvolvia mento da Algebra e da Teoria dos N meros. u

Pierre de Fermat (1601-1650), matemtico francs, que no dizer de a e Laplace foi o verdadeiro inventor do Clculo Diferencial, era advogado, a formado em Toulouse, o qual, alm de suas contribuies para o desene co volvimento do Clculo e da Geometria Anal a tica, deixou como legado um problema, chamado Ultimo Teorema de Fermat, formulado em 1630, que foi alvo da ateno de vrios matemticos, prossionais ou amadores, o ca a aHoward Eves, Introduo ` Histria da Matemtica, 3a Edio, Editora ca a o a ca UNICAMP, 2002. 8 Giovanini Reale e Dario Antiseri, Histria da Filosoa, vol. I, Edio Paulinas o ca 1990.7

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qual foi resolvido completamente por Andrew Wiles, apenas em 1995, ou seja, mais de trs sculos depois de ter sido conjecturado. Tal conjectura e e foi enunciada por Fermat ` margem de seu exemplar da Aritmtica de a e Diofanto, obra traduzida por Bachet, ao lado do Problem 8 do Livro II: Dado um nmero quadrado, dividi-lo em dois quadrados. u Na nota marginal de Fermat l-se, e Dividir um cubo em dois cubos, uma quarta potncia ou, e em geral, uma potncia qualquer em duas potncias da mesma e e denominaao acima da segunda imposs c e vel, e eu seguramente encontrei uma prova admirvel desse fato, mas a margem a e demasiado estreita para cont-la. e Ser sempre um mistrio saber se Fermat estava blefando ou no. a e a A verdade que tal problema foi alvo da ateno de vrios eminentes e ca a matemticos. Reproduzamos, abaixo, o que dito por Eves9 , em um livro a e escrito antes do trabalho de Andrew Wiles: Ser sempre um enigma saber se Fermat tinha ou no, reala a mente, uma demonstrao correta de sua armao. O fato ca ca que, desde ento, muitos dos mais brilhantes matemticos e a a empenharam seu talento na resoluo do problema, mas a ca conjectura geral ainda permanece aberta. Em algum lugar Fermat demonstrou o caso n = 4; e Euler forneceu uma prova (depois melhorada por outros) para n = 3. Por volta de 1825, Legendre e Dirichlet demonstraram independentemente o caso n = 5; o teorema foi provado em 1839 por Lam para e n = 7. O matemtico alemo E. Kummer (1810-1893) ema a preendeu avanos signicativos no estudo do problema. Em c 1843 submeteu uma pretensa prova do teorema a Dirichlet que localizou nela um erro de racioc nio. Kummer retornou ento ao problema com vigor renovado e, em poucos anos, dea pois de desenvolver um importante aliado na lgebra superior, a um assunto chamado teoria dos ideais, deduziu condioes de c insolubilidade muito gerais para a relao de Fermat. Quase ca todos os progressos subseqentes na resoluao do problema u c basearam-se nas investigaoes de Kummer. Sabe-se agora que c o ultimo teoremade Fermat efetivamente verdadeiro para e n < 125.000 e para muitos outros valores especiais de n. Em 1908 o matemtico alemo Paul Wolfskehl legou 100.000 mara a cos ` Academia de Cincias de Gttingen como prmio para a e o eHoward Eves, Introduo ` Histria da Matemtica, Traduo de Hygino H. ca a o a ca Domingues, Coleo Repertrios, Editora da UNICAMP. ca o9

Um Porisma uma proposie o que expressa uma condica o que se traduz num cerca to problema sol vel, tendo u o problema ento innitas a solues. Vide Eves, para co mais detalhes.

Andrew Wiles, matemtico a ingls que concluiu a dee monstrao do Ultimo Teca orema de Fermat, seguindo o improvvel caminho inicia almente apontado pelos japoneses Yutaka Taniyama e Goro Shimura.

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a primeira demonstraao completa do teorema. O resultado c foi uma avalanche de supostas provas motivadas pela glria e o pelo dinheiro; inclusive, desde ento, o problema tem obcecado a amadores, como o da trissecao do ngulo e o da quadratura c a do c rculo. O ultimo teoremade Fermat ganhou a distinao c de ser o problema matemtico com maior nmero de demonsa u traoes incorretas publicadas. c

Euclides

Euclides (. 300 a.C.), matemtico grego, cuja obra principal, conhea cida como Os Elementos, uma coletnea constitu de 13 volumes que e a da envolvem geometria plana, propores, Aritmtica, teoria das propores co e co e geometria espacial. Estudou em Atenas e provavelmente foi disc pulo de Plato. Foi contratado como um dos matemticos do Museum de a a Alexandria, se constituindo em um dos primeiros matemticos prossioa nais de que se tem conhecimento sendo que o Museum deve ter sido uma das primeiras, seno a primeira, Universidade em toda a Histria da a o humanidade, pois l cultivava-se o ensino e a pesquisa, que so atividades a a que caracterizam as modernas Universidades. Deve-se ressaltar que nem todos os resultados de Os Elementos so devidos a Euclides. Esta sua a obra , tambm, uma compilao de vrios resultados obtidos at ento. e e ca a e aEuclides em A Escola de Atenas, detalhe de afresco pintado por Rafael.

No entanto, a obra de Euclides foi fundamental para o desenvolvimento da Matemtica e ela , depois da B a e blia, o livro mais editado em todo o mundo.

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Isaac Newton

Existem alguns gigantes da Cincia sobre os quais as informaes no e co a podem se restringir a meras notas marginais. Precisamos nos alongar um pouco mais para podermos fornecer uma idia que no seja muito e a imprecisa sobre suas vidas e, principalmente, suas obras. Este o caso de e Isaac Newton. Isaac Newton nasceu, prematuramente, no dia de Natal de 1642, no mesmo ano da morte de Galileu Galilei (1564-1642), tambm uma das e guras mais proeminentes da Cincia, em Woolsthorpe, cerca de 90 km e de Cambridge. Newton estudou em escolas locais at os doze anos de idade, quando e ento deslocou-se 11km ao norte, at Grantham, onde residiu com o a e boticrio local. Quatro anos depois, em 1658, retornou ` casa materna a a (seu pai faleceu em outubro de 1642, antes, portanto, do nascimento de Newton). Em 1661, aos dezoito anos de idade, matriculou-se no Trinity College, a mais famosa faculdade da Universidade de Cambridge. No vero de a 1665, virtualmente quase todos abandonaram a Universidade em virtude da peste bubnica. No ms de maro de 1666 a Universidade conclama o e c estudantes e professores sob o argumento de que a peste havia sido debelada. Mas, em junho deste mesmo ano, vericou-se que este no era o caso. a A praga ainda estava presente e novamente a Universidade esvaziou-se; o retorno ocorreu somente na primavera de 1667. Em particular, Newton havia partido para Woolsthorpe em agosto de 1665. Quando retornou para Cambridge ele j havia escrito o seu tratado a sobre Clculo, o qual foi conclu em maio de 1666. a do Tornou-se Professor Lucasiano (t tulo esse em homenagem a Henry Lucas, fundador do cargo) em 29 de outubro de 1669, com apenas vinte e seis anos de idade, tendo sucedido a Isaac Barrow (1630-1677). Esse cargo forneceu a Newton segurana, independncia intelectual e um bom c e salrio. Durante os primeiros dezessete anos de seu cargo como professor, a

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ele depositava de trs a dez trabalhos de pesquisa por ano, mas depois e disso nada mais foi depositado. Foi diretor da Casa da Moeda, dedicou-se ` Alquimia e possu um a a temperamento extremamente dif cil, vivendo praticamente recluso. Em James Gleick10 dito: e Descartes era um sonhador; Newton um sbio. Descartes a experimentou a poesia e o amor; Newton, no. Voltaire, a lsofo francs, que se encontrava em Londres por ocasio do o e a funeral de Newton, nos diz: No curso de uma vida to longa, ele no teve paixes nem a a o fraquezas; nunca chegou perto de uma mulher. E isso me foi conrmado pelo mdico e pelo cirurgio que presenciaram sua e a morte. Morreu em 1727 deixando-nos um legado, talvez o mais importante da Cincia, no qual se inclui os estudos sobre o Clculo Diferencial e Integral, e a a Lei da Gravitaao Universal, Otica e vrios outros que tm norteado c a e o desenvolvimento cient co e tecnolgico. Armou certa vez que havia o conseguido enxergar mais longe por ter cado em p sobre ombros de e gigantes, frase esta no original pois em Jacques Le Go11 encontra-se a a seguinte citao de Bernard de Chartres, ainda na Idade Mdia: ca e Somos anes carregados nos ombros de gigantes. Assim o vemos mais longe do que eles, no porque nossa viso seja mais a a aguda ou nossa estatura mais elevada, mas porque eles nos carregam alto e nos levantam acima de sua altura gigantesca ...

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James Gleick, Isaac Newton, Uma Biograa, Companhia das Letras, 2003. Jacques Le Go, Os Intelectuais na Idade Mdia, Jos Olympio, Editores. e e