LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

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LIVRO PROPRIETRIO Calculo Diferencial e Integral II

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  • Captulo 1 FUNES VETORIAIS

    1.1 Clculo vetorial: funes a valores vetoriais

    No Clculo Diferencial e Integral I, trabalhamos, de forma exclusiva, com quantidades, tais como deslocamento (distncia), tempo, velocidade, intensidade de corrente eltrica, resistncia eltrica, fora, potncia, ngulo, entre tantas outras, e que so todas possveis de se representar como pontos em uma escala numrica. Essas quantidades so denominadas escalares. Mas em diversas aplicaes dos mais variados setores do conhecimento, nos deparamos com grandezas que no so representadas apenas como um ponto em uma escala. So grandezas que alm de serem expressas por uma quantidade, tambm apresentam direo e sentido. Essas grandezas so denominadas vetores ou grandezas vetoriais. Alguns dos exemplos citados no primeiro pargrafo podem tambm ser reprentados como vetores. O deslocamento de um mvel, por exemplo, pode ser dado por um valor que indica o quanto esse mvel percorreu (medida de comprimento, que escalar), mas tambm por uma seta indicando a direo e o sentido do deslocamento. Na Figura 1.1 h alguns exemplos de ilustrao do deslocamento dos mveis A, B, C e D. Note que os mveis A e B deslocaram-se em direo e sentido diferentes, mas o espao percorrido foi o mesmo, pois as setas que indicam seus deslocamentos tm o mesmo tamanho. J os mveis C e D deslocaram-se na mesma direo (setas paralelas), mas em sentidos opostos e, alm disso, percorreram distncias diferentes (setas de tamanhos diferentes).

    Figura 1.1 Um vetor um segmento orientado que possui uma origem (ponto inicial) e uma extremidade (ponto terminal). Neste livro, para diferenciar um vetor de um escalar, utilizaremos uma seta acima da letra para representar que a grandeza representada um vetor. Por exemplo, para reprentar escalares utilizamos a, b, c, etc. Para representar vetores, fazemos a! , b

    !, c! . Quando a indicao do vetor se

    A B

    C

    D

  • d pelos seus pontos de origem e terminal, A e B, por exemplo, ento a representao tema a forma AB. Da mesma forma que conseguimos realizar operaes com escalares, tambm possvel realizar algumas delas com os vetores. A seguir, apresentaremos situaes em que as operaes com vetores podem ser aplicadas, alm de definir tais operaes. Considere uma partcula que se desloca do ponto A at o ponto B. Podemos representar esse deslocamento atravs do vetor AB, que tem origem em A e termina em B, como mostra a Figural 1.2. A magnitude desse vetor representa a distncia percorrida pela partcula.

    Figura 1.2 Mas, se antes de chegar ao ponto B, essa partcula passa pelo ponto C, ento o trajeto pode ser mostrado pelos vetores AC e CB , como na Figura 1.3.

    Figura 1.3 Afirmar que a partcula sofre deslocamento de A para B significa que ela parte de A e chega a B, no importanto seu trajeto. Mesmo passando por C, o deslocamento dessa partcula ser representado pelo vetor AB. Dizemos, nesse caso, que o vetor AB igual soma dos vetores AC e CB. Como a representao dos vetores ocorre a partir de pontos do plano ! , ento convm que representemos os vetores no sistema de eixos cartesianos. Considere, portanto, os seguintes pontos do plano:

    A = (1,2), B = (6,7) e C = (2,5).

    Vimos que uma partcula que parte de A, passa por C e chega a B tem deslocamento representado pelo vetor AB, como mostrado na Figura 1.4. Podemos, ento, escrever:

    A

    B

    A

    B

    C

  • CBACAB += .

    Figura 1.4

    Para facilitar a representao e as operaes com vetores, costumamos

    represent-los utilizando apenas uma letra com uma seta sobreposta, tal como v! . Mas, nesse tipo de representao, como podemos identificar os pontos de origem e terminal do vetor? Sim, podemos. Veja como, a seguir.

    Vamos considerar novamente os pontos A=(1,2), B=(6,7) e C=(2,5). Se subtrairmos uma unidade da abscissa do ponto A e duas unidades de sua ordenada, obtemos o ponto A=(0,0). Fazendo as mesmas operaes com as coordenadas dos pontos B e C, teremos B=(61,72)=(5,5) e C=(21,52)=(1,3). Na Figura 1.5, temos a representao dos pontos A, B, C, A, B e C e dos vetores B'C' e C'A' ,B'A' ,CB ,AC ,AB . Note que cada um dos pares

    C'A' e AC , B'C' e CB , B'A' e AB apresentam vetores que so paralelos, com mesma direo e mesmo sentido.

    Compare as Figuras 1.4 e 1.5 e veja que h pares de vetores paralelos e o tringulo ABC congruente e est na mesma posio que o tringulo ABC.

    Vetores que possuem mesma direo, sentido e magnitude so considerados vetores iguais. Portanto, se representarmos todos os vetores com origem no ponto (0,0) teremos facilitada a representao vetorial e tornaremos os clculos vetoriais muito mais rpidos e eficientes. Se considerarmos que todos os vetores com os quais trabalharemos tero origem em (0,0), ento podemos represent-los somente por suas extremidades (pontos terminais).

  • Podemos representar os vetores

    AC! "!!

    , CB! "!!

    e AB! "!!

    , respectivamente, como:

    )3,1(=u! , )2,4(=v! e )5,5(=w! .

    Veja, na Figura 1.6, os vetores u! , v! e w! e seus respectivos vetores equivalentes AB e CB ,AC .

  • Figura 1.6

    Se uma partcula sai do ponto A e chega ao ponto B, seu deslocamento tem a mesma magnitude, direo e sentido do deslocamento de uma partcula que sai do ponto (0,0) e chega ao ponto (5,5). Ento, podemos considerar que tais deslocamentos so iguais.

    Dado um vetor ),( yxu =! , a sua magnitude, que a partir de agora iremos denominar mdulo, dada por:

    22 yxu +=! . (1.1)

    Box explicativo

    Para obter a frmula do mdulo de um vetor ),( yxu =! s precisamos aplicar o Teorema de Pitgoras. Considere a representao desse vetor no plano xy e as suas projees nos eixos x e y.

    No tringulo retngulo formado pelo vetor, a sua projeo no eixo x e o segmento que une a extremidade do vetor ao eixo x, temos:

    222 yxu +=! . Da que resulta a frmula apresentada em (1.1).

    Considerando, portanto, a representao de um vetor apenas por sua extremidade, a soma de dois vetores ),( 11 yxu =

    ! e ),( 22 yxv =! dada por

    u!

    x

    y

  • ),(),(),(

    2121

    2211

    yyxxyxyxvu

    ++=

    +=+!!

    Graficamente, podemos utilizar a regra do paralelogramo para obter o vetor soma. Dados dois vetores u! e v! , trace uma linha paralela ao vetor v! que passe pela extremidade de u! e, depois, trace outra linha paralela ao vetor u! e que passe pela extremidade de v! . A interseo dessas duas linhas a extremidade do vetor soma vu !! + . Veja a representao da Figural 1.7

    Figura 1.7

    Exemplo 1.1 Determine, algebricamente, a soma dos )6,2(=u! e )4,3( =v! . Em seguida, represente graficamente vuvu !!!! e , + . A soma dada por:

    )2,1())4(6,32()4,3()6,2(

    =

    ++=

    +=+ vu !!

    A representao grfica dos vetores e de sua soma mostrada na Figura 1.8.

    u!

    v!

    vu !! +

  • Figura 1.8

    Outra operao elementar que pode ser realizada com vetores a multiplicao por escalar. Dado um vetor ),( 11 yxu =

    ! e um escalar real a a multiplicao ua ! dada por:

    ),( 11 ayaxua =! .

    V-se claramente que multiplicar o vetor por uma escalar implica em multiplicar suas coordenadas por esse escalar. Mas, graficamente, qual o efeito disso? Uma coisa certa: sempre que multiplicamos um vetor por um escalar no nulo, o resultado um outro vetor de mesma direo. O sentido do vetor resultante depende do valor de a. Veja:

    Se 0>a , ento ua ! tem o mesmo sentido de u! . Se 0

  • A Figura 1.9 apresenta o vetor )2,3(=u! e o seu produto com cada um dos

    escalares 2 e 21

    .

    Para obt-los algebricamente, basta efetuar as multiplicaes seguintes:

    )4,6()22,32()2,3(22 ===u! ;

    =

    == 1,

    232

    21,3

    21)2,3(

    21

    21 u! .

    Figura 1.9

    Observe que o vetor u!2 tem mesma direo e mesmo sentido que u! e seu

    mdulo o dobro. J o vetor u!21

    tem a mesma direo, mas sentido contrrio e

    seu mdulo igual metade do mdulo de u! . Se multiplicarmos um vetor qualquer u! pelo inverso de seu mdulo, obteremos o seu versor, que um vetor unitrio (tem mdulo igual a 1) que possui a mesma direo e sentido de u! . O versor do vetor u! , portanto, dado por:

    uu!!

    .

    Exemplo 1.3 Dado o vetor )3,4(=u! , determine:

    a) um vetor unitrio que tenha a mesma direo e o mesmo sentido de u! ; b) um vetor unitrio que tenha a mesma direo e sentido oposto ao de u! ;

    u!

    u!2

    u!21

  • c) um vetor de mdulo igual a 3 e que tenha mesma direo e sentido que u! .

    Todos os vetores solicitados nos itens acima podem ser obtidos a partir do versor de u! . Para responder ao item (a), basta calcular o seu versor que :

    ==

    +=

    53,

    54

    5)3,4(

    34)3,4(22u

    u!!

    .

    No item (b), o vetor solicitado exatamente o oposto do versor de u! . Ento basta multiplicar o versor obtido em (a) por 1. O resultado :

    =

    =

    53,

    54

    53,

    54)1()1(

    uu!!

    .

    No item (c), para se obter o vetor solicitado, temos que multiplicar o versor de u! por 3, como mostrado a seguir:

    =

    =

    59,

    512

    53,

    5433

    uu!!

    .

    Se escolhermos dois vetores no nulos e no paralelos ),( 11 yxu =

    ! e ),( 22 yxv =

    ! , podemos escrever qualquer vetor do ! como combinao linear desses dois vetores, isto , qualquer que seja o vetor ),( yxw =! , existem os escalares a e b tais que:

    vbuaw !!! += .

    Dizemos, ento, que o conjunto de vetores u! e v! constitui uma base do !. Veja como escrever um ve