Manual Formando

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IEFP - ISG

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

Ficha Técnica

Colecção MANUAIS PARA APOIO À FORMAÇÃO EM CIÊNCIAS EMPRESARIAIS

Título Cálculo Comercial e Financeiro Suporte Didáctico Guia do Formando

Coordenação e Revisão Pedagógica IEFP – Instituto do Emprego e Formação Profissional - Departamento de Formação Profissional

Coordenação e Revisão Técnica ISG – Instituto Superior de Gestão Autor Gracinda Santos/ISG Capa IEFP

Maquetagem ISG Montagem ISG

Impressão e Acabamento JERAMA – Artes Gráficas, Lda. Propriedade Instituto do Emprego e Formação Profissional, Av. José

Malhoa, 11 1099-018 Lisboa Edição Portugal, Lisboa, Dezembro de 2004

Tiragem 1000 exemplares Depósito Legal 218236/04

ISBN 972-732-908-X

Copyright, 2004 Todos os direitos reservados ao IEFP

Nenhuma parte deste título pode ser reproduzido ou transmitido, por qualquer forma ou processo sem o conhecimento prévio, por escrito, do IEFP

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ÍNDICE GERAL IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

Índice Geral

I. MÉDIAS ARITMÉTICAS ............................................................................................... 1

1. Média Aritmética Simples...................................................................................................................... 5 2. Média Aritmética Ponderada............................................................................................................... 10 3. Média Aritmética para Variáveis Continuas........................................................................................ 15 4. Propriedades da Média Aritmética...................................................................................................... 19

• Resumo............................................................................................................................................... 23

• Questões e Exercícios ........................................................................................................................ 26

• Resoluções ......................................................................................................................................... 30

II. PROPORCIONALIDADE ............................................................................................ 35

1. Proporcionalidade Directa................................................................................................................... 46 2. Proporcionalidade Inversa .................................................................................................................. 47 3. Proporcionalidade Composta.............................................................................................................. 48

• Resumo............................................................................................................................................... 52

• Questões e Exercícios ........................................................................................................................ 54

• Resoluções ......................................................................................................................................... 56

III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS.................................................................................... 63

1. Formas de Aplicação .......................................................................................................................... 67 2. Depósito .............................................................................................................................................. 69 3. Empréstimo ......................................................................................................................................... 72

• Resumo............................................................................................................................................... 76

• Questões e Exercícios ........................................................................................................................ 78

• Resoluções ......................................................................................................................................... 79

IV. REGIME DE JURO SIMPLES..................................................................................... 81

1. Noções Relativas ao Juro Simples ..................................................................................................... 85 2. Expressão Algébrica do Juro Simples ................................................................................................ 86 3. Expressões Algébricas do Capital, Tempo e Taxa............................................................................. 88 4. Processos Práticos para Cálculo dos Juros ....................................................................................... 93

• Resumo............................................................................................................................................... 99

• Questões e Exercícios ...................................................................................................................... 103

• Resoluções ....................................................................................................................................... 106

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IEFP ÍNDICE GERAL

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES....................................................................111

1. Expressão Algébrica do Capital Acumulado..................................................................................... 115 2. Expressões Algébricas Decorrentes................................................................................................. 118

• Resumo............................................................................................................................................. 129

• Questões e Exercícios ...................................................................................................................... 132

• Resoluções ....................................................................................................................................... 134

VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO............................................................139

1. Expressão Algébrica do Valor Actual ............................................................................................... 143

• Resumo............................................................................................................................................. 157

• Questões e Exercícios ...................................................................................................................... 159

• Resoluções ....................................................................................................................................... 162

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES .........................169

1. Realização Antecipada de Efeitos Comerciais - Desconto .............................................................. 173 2. Realização Diferida de Efeitos Comerciais - Reforma ..................................................................... 183 3. Equivalência de Capitais................................................................................................................... 195

• Resumo............................................................................................................................................. 213

• Questões e Exercícios ...................................................................................................................... 220

• Resoluções ....................................................................................................................................... 226

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO ..............................................................................235

1. Capitalização a Juro Composto........................................................................................................ 238 2. Taxas Equivalentes........................................................................................................................... 245

• Resumo............................................................................................................................................. 257

• Questões e Exercícios ...................................................................................................................... 259

• Resoluções ....................................................................................................................................... 261

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................267

GLOSSÁRIO......................................................................................................................269

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CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

I. MÉDIAS ARITMÉTICAS

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I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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Objectivos

• No final desta unidade temática, o formando deve estar apto a:

• Calcular e interpretar a média aritmética simples;

• Calcular e interpretar a média aritmética ponderada;

• Calcular e interpretar a média aritmética de variáveis continuas;

• Enumerar e aplicar as propriedades relativas à média;

• Identificar os problemas da média como unidade de medida;

• Equacionar e resolver situações diárias de natureza estatística.

Temas

1. Média aritmética simples

2. Média aritmética ponderada

3. Média aritmética com variáveis continuas

4. Propriedades da média aritmética

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

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IEFP I. MÉDIAS ARITMÉTICAS

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Neste capitulo vamos estudar a medida estatística - Média Aritmética, ferramenta muito útil que nos permite tratar de uma forma simplificada conjuntos vastos de informação.

É usual ouvirmos expressões como:

• velocidade média de circulação;

• preço médio da carne de vaca;

• idade média dos alunos do ensino superior;

e tantas outras que nos chegam pelos jornais pela rádio e pela televisão, no dia - a - dia, em qualquer tipo de situação e referente a qualquer informação.

Vamos aprender a formar de obter essa medida - média - e interpretar o seu significado, porque, qualquer conjunto de dados só tem interesse desde que permita a sua mensuração, só desta forma se poderão efectuar cálculos e trabalhos.

Não seria útil, nem prático, enumerar as idades de 20 alunos de uma turma, perde-se tempo e interesse na análise, torna-se muito mais útil transformar esse conjunto de dados num único dado ou valor e referir a idade média desses 20 alunos.

A Média Aritmética é característica de um tipo de medidas estatísticas, de tendência central, e de entre estas a mais usual.

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I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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1. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Começamos por estudar a média aritmética simples, que se obtém através da divisão da soma do conjunto de dados de que dispomos pelo seu número total.

Tendo o conjunto Χ={ x1 , x2, x3,....., xn}

Em que (1,2,3, .... n), são os elementos que compõem o conjunto N, e N representa o número total de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ vamos definir:

Média Aritmética Simples - MAS como a soma de todos os valores observados dividida pelo numero de observações

∑=

n

1i

iX

MAS =

N

Vamos em primeiro lugar explicar o sentido da expressão :

n

∑ Xi - representa o Somatório dos termos x com inicio no 1 e fim no n

i =1

Ou seja o símbolo ∑ (Somatório) representa o total num conjunto de valores, por exemplo:

O somatório de 1 a 5 pode escrever-se da seguinte forma: 5 ∑ x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 1

Calculemos os seguintes somatórios:

Exercício 1 6 ∑ j = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 j=2

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Exercício 2 4 2j-1 (2x2 -1) (2x3 - 1) (2x4 - 1) 3 5 7 ∑ 3 = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 + 3 = 2.457 j=2

Exercício 3 4 ∑ j x (j + 2) = (1x(1+2)) + (2x(2+2)) + (3x(3+2)) + ( 4x(4+2)) = j=1

= 3 + 8 + 15 + 24 = 50

Exercício 4 3 ∑ (48 + 2j) = (48+2x1) + (48 + 2x2) + (48+2x3) = j=1

= 50 + 52 + 54 = 156

Percebido o significada expressão Somatório, vamos aplica-la como parte integrante de outros cálculos.

Exercício 5

Os ordenados dos empregados de determinada unidade produtiva durante o mês de Dezembro foram de 800 u.m., 780 u.m., 820 u.m., 810 u.m. e 790 u.m..

Qual o valor do ordenado médio praticado no mês de Dezembro?

800+780+820+810+790 MAS = -= 800 u.m. 5

O ordenado médio durante no mês de Dezembro para esta unidade produtiva foi de 800 u.m..

Exercício 6

Considerando os mesmos dados do exemplo 5 vamos considerar que havia mais um nível salarial (passando N de 5 para 6), sendo o ordenado praticado neste nível de 2.000 u.m..

Qual teria sido neste caso o valor do ordenado médio no mês de Dezembro?

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I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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800 + 780 + 820 + 810 + 790 + 2.000 MAS = - = 1.000 u.m. 6

Pela observação do valor do ordenado médio conclui-se que o nível de ordenados desta unidade produtiva é em média de 1.000 u.m., esta conclusão está correcta?

Não está correcta, porque:

Há 5 níveis salariais abaixo do valor médio e apenas um acima.

Exercício 7

Os preços de seis modelos de T- Shirt vendidos num Centro Comercial são os seguintes:

Modelo Preço em u.m.

A 2.700

B 5.850

C 2.650

D 5.005

E 4.975

F 11.750

Qual o preço médio das T-Shirts?

2.700 + 5.850 + 2.650 + 5.005 + 4.975 + 11.750 MAS = -------------------------------------------------------------------- = 5.488 u.m. 6

Que conclusões se podem tirar?

Das T Shirts disponíveis cada uma custa em média 5.488 u.m.; se tiver 5.488 u.m. posso comprar qualquer T Shirt?

Não apenas aquela que custar menos ou igual que 5.488 u.m., ou então posso comprar duas desde que a soma dos seus preços seja 5.488. Nunca poderei adquirir a T Shirt F

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Exercício 8

Calcular a média para cada um dos seguintes conjuntos de dados:

1. 20,22,20,18,25,23,27,24,24,28,20

2. 20,22,20,18,25,23,27,24,24,200,20

3. 5,4,5,7,2,1,8,4,9,5,4,1,1,4,5,1

4. 113,105,108,107,110,105,113,109

Resolução:

1. 20+22+20+18+25+23+27+24+24+28+20 251 MAS = -------------------------------------------------------- = ------- = 22,818 11 11

2. 20+22+20+18+25+23+27+24+24+200+20 423 MAS = -------------------------------------------------------- = ------- = 38,455 11 11

Podemos reparar nestas duas séries de números e constatar que o facto de um dos número ser 200 em vez de 28 provoca um acréscimo no valor médio de 22,818 para 38, 455.

3. 5+4+5+7+2+1+8+4+9+5+4+1+1+4+5+1 66 MAS = -------------------------------------------------------- = ------- = 4,125 16 16

113+105+108+107+110+105+113+109 870 MAS = -------------------------------------------------------- = ------- = 108,75 8 8

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Exercício 9

Consideremos os preços dos seguintes automóveis disponíveis para venda no passado mês de Março em determinado salão:

Modelo - Cilindrada Preço Quantidade Vendida

Renault Clio - 1.200 cc 3.000 u.m. 6

BMW - 2.000 cc 8.000 u.m. 0

Mercedes - 2.000 cc 9.000 u.m. 2

Opel Corsa - 1.100 cc 2.500 u.m. 5

Vamos calcular qual o preço médio dos modelos disponíveis:

3.000 + 8.000 + 9.000 + 2.500 MAS = = 5.625 u.m. 4

Pela média apurada ficamos a saber que o preço médio dos modelos disponíveis naquele salão automóvel é de 5.625 u.m..

Esta informação não é suficientemente elucidativa sobre os modelos disponíveis.

Será útil calcular o preço médio dos modelos de alta cilindrada e o preço médio dos modelos de baixa cilindrada.

Podemos assim calcular dois preços médios:

8.000 + 9.000

MAS = = 8.500 u.m. será o preço médio dos modelos de alta cilindrada 2

3.000 + 2.500 MAS = = 2.750 u.m. será o preço médio dos modelos de baixa cilindrada 2

Esta informação foi calculada com os mesmos dados da anterior mas presta ao consumidor um serviço mais elucidativo e completo.

No entanto, não é ainda uma informação completa, não dá qualquer informação sobre o número de carros vendidos.

Para dar resposta mais consentânea a esta e outras questões vamos aprofundar o nosso estudo introduzindo o conceito de Média Aritmética Ponderada.

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2. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Como vimos anteriormente, calcular um valor médio não basta.

Se tivermos presente o exemplo das T Shirts podemos constatar que o preço médio não nos informa sobre o preço médio das T Shirts vendidas, se por exemplo só foram vendidas, T Shirts simples de 2.700 o preço médio serão 2.700.

Na Média Aritmética Ponderada vamos efectuar a ponderação do número de elementos observados, pelos valores que assumem e ainda pelo número de vezes que ocorrem, ou seja:

Tendo o conjunto Χ={ x1 , x2, x3,....., xn} em que N representa o número total de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ, e o conjunto F = { f1 , f2, f3,....., fn} em que cada elemento representa o número de vezes que ocorre o respectivo elemento pertencente ao conjunto Χ,

Vamos definir:

Média Aritmética Ponderada - MAP como a soma de todos os valores observados , multiplicados pelo número de ocorrências

verificadas, e dividida pelo numero de observações:

∑=

n

1i

iiFX

MAP =

N

Exercício 10

Voltando ao exercício 5 vamos introduzir o número de empregados que se encontram em cada nível salarial:

Nível Salarial Número Empregados (Xi)

Ordenado praticado (Fi)

1 2 800

2 8 780

3 1 820

4 5 810

5 4 790

Total 20

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Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do numero de ocorrências (número de empregados) pelo ordenado praticado:

Nível Salarial Núm. Empregados Ordenado Praticado

Numero x Ordenado

Xi x Fi

1 2 800 1.600

2 8 780 6.240

3 1 820 820

4 5 810 4.050

5 4 790 3.160

Totais 20 15.870

15.870 MAP = = 793,5 u.m. 20

Conclui-se assim que dos 20 empregados o ordenado médio auferido durante o mês de dezembro foi 793,5 u.m.

Exercício 11

No seguimento do exercício anterior e do exercício 6 vamos agora introduzir o número de empregados que auferiram 2.000 u.m. durante o mês de Dezembro:

Nível Salarial Número Empregados Ordenado praticado

1 2 800

2 8 780

3 1 820

4 5 810

5 4 790

6 1 2.000

Total 21

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Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do numero de ocorrências (número de empregados) pelo ordenado praticado:

Nível Salarial Núm. Empregados Ordenado praticadoNumero x Ordenado

Xi x Fi

1 2 800 1.600

2 8 780 6.240

3 1 820 820

4 5 810 4.050

5 4 790 3.160

6 1 2.000 2.000

Total 21 17.870

17.870 MAP = = 850,95 u.m. 21

Conclui-se assim que dos 21 empregados o ordenado médio auferido durante o mês de Dezembro foi 850,95 u.m.

Sabemos que esta informação não é a mais correcta do ponto de vista real, pois apenas 1 empregado auferiu mais do que 820 u.m. mas é mais correcta do ponto de vista estatístico. Sendo o valor apurado pela Média Aritmética Ponderada (850,95) mais aproximado da realidade do que o apurado pela Média Aritmética Simples (1.000).

Exercício 12

Vamos voltar ao exercício 7 - T Shirt - vamos introduzir as quantidades vendidas de cada modelo:

Modelo Preço Quantidade Vendida

A 2.700 15

B 5.850 5

C 2.650 10

D 5.005 8

E 4.975 6

F 11.750 6

Total 50

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Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do numero de ocorrências (quantidade vendida) pelo preço unitário:

Modelo Preço Quantidade vendida Preço x Quantidade

1 2.700 15 40.500

2 5.850 5 29.250

3 2.650 10 26.500

4 5.005 8 40.040

5 4.975 6 29.850

6 11.750 6 70.500

Total 50 236.640

236.640 MAP = = 4.732,8 u.m. 50

Conclui-se assim que das 50 T Shirt vendidas o preço médio foi de 4.732,8 u.m..

Exercício 13

Voltemos ao exemplo dos automóveis disponíveis onde já se dispunha da indicação das quantidades vendidas, podemos assim construir a tabela seguinte:

Modelo Preço Quantidade vendida

Preço * Quantidade

Renault Clio 3.000 6 18.000

BMW 8.000 0 0

Mercedes 9.000 2 18.000

Opel Corsa 2.500 5 12.500

Total 13 48.500

48.500 MAP = = 3.730,77 u.m. 13

Conclui-se assim que dos 13 carros vendidas o preço médio foi de 3.730,77 u.m..

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Este resultado é diferente do obtido no cálculo da Média Aritmética Simples, 5.625 u.m. porque não entramos em linha de conta com um dos modelos mais caros e que não teve qualquer venda, e também porque os preços estão ponderados pelas quantidades vendidas.

Exercício 14

Dispondo dos resultados de um inquérito a uma amostra de 5.000 pessoas retirada do universo dos espectadores portugueses sobre o número de idas ao cinema durante uma semana, pretende-se que calcule o número médio de idas ao cinema utilizando a Média Aritmética Ponderada:

Xi Fi

0 2914

1 1532

2 381

3 101

4 72

5000

(0 x 2914)+(1 x 1532)+(2 x 381)+(3 x 101)+(4 x 72)

MAP = ------------------------------------------------------------------ = 0,577

5.000

Temos estado a analisar situações em que dispomos de observações concretas, ou seja as pessoas vão ao cinema exactamente uma vez por semana, ou duas vezes por semanas.

No entanto podemos ter respostas dadas em intervalos, por exemplo as pessoas vão de uma a duas vezes ao cinema por semana.

Neste segundo exemplo estamos a falar de vaiáveis contínuas, ou seja, não têm um valor concreto.

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3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA VARIÁVEIS CONTINUAS

As variáveis continuas aparecem-nos expressas em classes, por exemplo os escalões de consumo de electricidade, os consumos entre 100 e 120 custam 15 u.m.:

Limites de Classe : C1 e C2

classe 100 a 120

Nestas situações não se podem aplicar linearmente as fórmulas aprendidas anteriormente, é preciso calcular em primeiro lugar o centro da classe, no exemplo será ( 100 + 120 ) / 2 = 110:

Centro da Classe = ( C1 + C2 ) / 2

o centro da classe 100 a 120 é 110

Depois de determinado o centro de cada classe podemos aplicar as fórmulas anteriormente estudadas, em que o valor central da classe passa a representar o valor de x no conjunto Χ.

Χ={ x1 , x2, x3,....., xn}

Exercício 15

Consideremos as seguintes classes de preços dos andares praticados na zona da EXPO 98 e respectivo número de andares vendidos em cada classe:

Preço praticado(mil u.m.) (Classe) Quantidade vendida

Limite Inferior Limite Superior n

25.000 30.000 5

30.000 35.000 8

35.000 40.000 5

40.000 45.000 2

45.000 50.000 5

Total 25

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Vamos em primeiro lugar calcular o centro de cada classe:

Preço praticado (mil u.m.) - Classe Quantidade vendida - n

Limite Inferior Limite Superior Centro da Classe

25.000 30.000 27.500 5

30.000 35.000 32.500 8

35.000 40.000 37.500 5

40.000 45.000 42.500 2

45.000 50.000 47.500 5

Estamos finalmente em condições de calcular o preço médio dos andares vendidos:

Preço praticado (mil u.m.) - Classe Quantidade vendida - n Xi x Fi

Limite Inferior

Limite Superior

Centro da Classe

25.000 30.000 27.500 5 137.500

30.000 35.000 32.500 8 260.000

35.000 40.000 37.500 5 187.500

40.000 45.000 42.500 2 85.000

45.000 50.000 47.500 5 237.500

Total 25 907.500

907.500 MAP = ----------------- = 36.300 u.m. 25

o preço médio dos andares vendidos foi de 36.300 mil u.m..

Podemos fazer este cálculo apresentando a noção de frequência relativa (fi) em que (f i ) corresponde à parte representada por cada F i no seu total, ou seja:

F i f i =

N

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Retomando o nosso exemplo teríamos:

F I - Número andares vendidos f i - distribuição de frequências

5 5 / 25 = 0,200

8 8 / 25 = 0,320

5 5 / 25 = 0,200

2 2 / 25 = 0,080

5 5 / 25 = 0,200

25 1,000

Exercício 16

Consideremos que o valor diário de vendas de um loja, ao longo de 30 dias teve a seguinte distribuição de frequências:

Vendas Vendas

Limite Inferior Limite Superior Numero dias

110 120 5

120 130 1

130 140 2

140 150 3

150 160 10

160 170 4

170 180 5

Total 30

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Vamos construir a seguinte tabela de trabalho:

Classe Frequência

Limite inferior

Limite superior

Ci - Centro cl. Fi fi fi x Ci

110 120 115 5 0,167 19,205

120 130 125 1 0,033 4,125

130 140 135 2 0,067 9,045

140 150 145 3 0,100 14,500

150 160 155 10 0,333 51,615

160 170 165 4 0,133 21,945

170 180 175 5 0,167 29,225

Total 30 1,000 149,660

O valor médio de vendas desta loja é de 149,66 u.m. por dia.

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I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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I

19

4. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA

Primeira Propriedade

A média dos desvios do valor da variável em relação à média é nula:

∑=

=−n

in

)MXi(fi 0

Ou seja, a média representa o ponto equidistante de todos os outros pontos, pelo que a soma das diferenças entre esses pontos e a média é sempre nula, por exemplo:

Sendo o conjunto de elementos X = {5, 4, 4, 7, 5}

A Média será ( 5+4+4+7+5) / 5 = 5

Pela aplicação desta propriedade queremos demonstrar que:

( 5 - 5 ) +( 4 - 5 ) + ( 4 - 5 ) + ( 7 - 5 ) +( 5 - 5 ) = 0

Efectuando as diferenças encontramos:

0 + ( -1) + ( -1) + 2 + 0 = 0 como se queria demonstrar.

Segunda Propriedade

Média ponderada de todas as médias - a média de todos os elementos de vários conjuntos é igual à média dos valores médios de cada conjunto

∑=

n

1j

jj n.x

x =

∑=

k

1j

jn

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I

20

Se tivermos os 3 conjuntos de elementos seguintes:

Conjunto Elementos N Média

X 1 10, 40, 70, 80 4 50

X 2 5, 15, 20, 30, 40 5 22

X 3 1, 2, 3, 10, 12, 20 6 8

A média será:

4 x 50 + 5 x 22 + 6 x 8 x = = 23,866(7) 4 + 5 + 6

seria o mesmo resultado obtidos se calculássemos:

10+40+70+80+5+15+20+30+40+1+2+3+10+12+20 x = = 23,866(7) 15

Terceira Propriedade

Somando-se ou subtraindo-se, um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de números, a média aritmética fica somada ou subtraída por essa constante:

M = M1 + x0

M = M1 - x0

Considerando o mesmo conjunto de dados X, vamos em primeiro lugar somar duas unidades a cada um desses elementos, e concluir que a média desse novo conjunto será sete (média do conjunto anterior adicionada de dois):

Sendo o conjunto de elementos X = {5, 4, 4, 7, 5}

Teremos o novo conjunto resultante de X+2 = {7, 6, 6, 9, 7}

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I

21

A Média será ( 7+6+6+9+7) / 5 = 7

Ou seja 7 = 5 + 2

Vamos passar a subtrair duas unidades a cada um desses elementos, e concluir que a média desse novo conjunto será três (média do conjunto anterior subtraída de dois):

Sendo o conjunto de elementos X = {5, 4, 4, 7, 5}

Teremos o novo conjunto resultante de X-2 = {3, 2, 2, 4, 3}

A Média será ( 3+2+2+4+3) / 5 = 3

Ou seja 3 = 5 - 2

Quarta Propriedade

Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de números por um valor constante e arbitrário, a média multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Sendo X = {x1, x2, .... xn} e uma constante k

y = k X

M = M1 * x0

M = M1 / x0

Considerando o mesmo conjunto de dados X, vamos em primeiro lugar multiplicar cada um desses elementos pela constante (k) dois, e concluir que a média desse novo conjunto será dez (média do conjunto anterior multiplicada por dois):

Sendo o conjunto de elementos X = {5, 4, 4, 7, 5}

Teremos o novo conjunto resultante de X*2 = {10, 8, 8, 14, 10}

A Média será ( 10+8+8+14+10) / 5 = 10

Ou seja 10 = 5 x 2

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22

Vamos passar a dividir cada um desses elementos pela constante (k) dois, e concluir que a média desse novo conjunto será dois e meio (média do conjunto anterior dividida por dois):

Sendo o conjunto de elementos X = {5, 4, 4, 7, 5}

Teremos o novo conjunto resultante de X/2 = {2.5, 2, 2, 3.5, 2.5}

A Média será ( 3+2+2+4+3) / 5 = 3

Ou seja 3 = 5 - 2

Page 29: Manual Formando

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I

23

5. RESUMO

Média Aritmética Simples (MAS)

Medida estatística que transforma um conjunto de elementos dispersos componentes de um mesmo conjunto, num único valor expressivo do seu total.

A média aritmética simples, obtém-se através da divisão da soma do conjunto de dados de que dispomos pelo seu número total:

Tendo o conjunto Χ={ x1 , x2, x3,....., xn}

Em que (1,2,3, .... n), são os elementos que compõem o conjunto N, e N representa o número total de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ vamos definir:

∑=

n

1i

iX

MAS =

N

Média Aritmética Ponderada (MAP)

Na Média Aritmética Ponderada vamos efectuar a ponderação do número de elementos observados, pelos valores que assumem e ainda pelo número de vezes que ocorrem, ou seja:

Tendo o conjunto Χ={ x1 , x2, x3,....., xn}

em que N representa o número total de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ,

e o conjunto F = { f1 , f2, f3,....., fn} em que cada elemento representa o número de vezes que ocorre o respectivo elemento pertencente ao conjunto Χ,

vamos definir:

∑=

n

1i

iiFX

MAP = N

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24

Cálculos de Médias Aritméticas utilizando variáveis continuas

As variáveis continuas aparecem-nos expressas em classes em que:

Limites de Classe : C1 e C2

classe 100 a 120

Cálculo do valor central de cada classe:

Centro da Classe = ( C1 + C2 ) / 2

o centro da classe 100 a 120 é 110

Depois de determinado o centro de cada classe podemos aplicar as fórmulas anteriormente estudadas, em que o valor central da classe passa a representar o valor de x no conjunto Χ.

Χ={ x1 , x2, x3,....., xn}

Propriedades da Média Aritmética:

A média dos desvios do valor da variável em relação à média é nula:

∑=

=−n

ini )MX(fi 0

A média ponderada de todas as médias, corresponde ao valor médio do conjunto de valores individualmente considerados:

∑=

n

1j

jj n.x

x =

∑=

k

1j

jn

Page 31: Manual Formando

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25

Somar ou subtrair uma constante ao conjunto de dados é somar ou subtrair essa constante à média:

M = M1 + x0

M = M1 - x0

Multiplicar ou dividir o conjunto de dados por uma mesma constante é multiplicar ou dividir a média por essa constante:

Sendo X = {x1, x2, .... xn} e uma constante k

y = k X

M = M1 * x0

M = M1 / x0

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I

26

6. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Calcular as médias aritméticas e observar os resultados:

25, 28, 31, 24, 30

305, 269, 427, 499, 385, 377, 280, 316, 392, 454

5.6, 4.5, 7.2, 0.6, 3.2, 2.1, 1.9, 3.8

12, 15, 32, 21, 29, 40, 0

120, 5, 56,131, 99, 62, 19, 107

40, 40, 40, 40, 80, 80, 80

Exercício 2

Considere o seguinte quadro de indemnizações pagas em consequência de acidentes de viação:

Indemnização ( mil u.m.) Número de Acidentes

0 a 25 20

25 a 50 60

50 a 75 40

75 a 100 35

100 a 125 25

125 a 150 20

Calcule a indemnização média paga pelas seguradoras.

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27

Exercício 3

Conhecendo os salários pagos a um conjunto de 100 empregados em número de salários mínimos, determine o número médio de salários mínimos auferidos por cada um deles:

De 0 a 2 - 40 operários

De 2 a 4 - 30 operários

De 4 a 6 - 10 operários

De 6 a 8 - 15 operários

De 8 a 10 - 5 operários

Exercício 4

Tendo presente os resultados percentuais de 25 análises para detecção de uma substância química apresente o resultado médio.

De 0 a 16% - 3 resultados

De 16 a 32% - 3 resultados

De 32 a 48% - 6 resultados

De 48 a 64% - 8 resultados

De 64 a 80% - 4 resultados

De 80 a 96% - 1 resultado

Exercício 5

Conhecendo as estaturas de 100 alunos de uma classe, determine a estatura média desses alunos:

Estaturas (metros) - Número de alunos

de 1,4 a 1,5 5

de 1,5 a 1,6 10

de 1,6 a 1,7 30

de 1,7 a 1,8 40

de 1,8 a 1,9 10

de 1,9 a 2,0 5

Page 34: Manual Formando

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28

Exercício 6

Calcule a média das exportações de 50 empresas electrónicas em 1998 conhecendo o seguinte quadro de distribuição por volume exportado:

Volume exportado - Número de empresas

50.000 a 60.000 5

60.000 a 70.000 10

70.000 a 80.000 20

80.000 a 90.000 10

90.000 a 100.000 5

Exercício 7

O responsável pela gestão hospitalar de uma unidade de cuidados médicos intensivos obteve a seguinte distribuição referente ao tempo de internamento dos doentes daquela unidade. Calcular o número de médio de dias de internamento ( Média Aritmética de variáveis continuas):

Dias de internamento Número de doentes

0 a 5 48

5 a 10 33

10 a 15 27

15 a 20 18

20 a 25 15

25 a 30 9

Total 150

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29

Exercício 8

É a seguinte a distribuição de frequência do rendimento mensal per capita das 22.007 famílias de um concelho nortenho.

Qual o rendimento médio mensal das famílias deste concelho?

Rendimento (mil u.m.) Número de famílias

17,5 20 635

20 25 1470

25 30 1410

30 35 1670

35 40 1950

40 45 1530

45 50 1490

50 55 1280

55 60 1170

60 65 2110

65 70 1760

70 80 2560

80 100 1400

100 120 956

120 150 616

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I

30

7. RESOLUÇÕES

Exercício 1

25 + 28 + 31 + 24 + 30 138

MAS = ------------------------------------- = ------------- = 27,6

5 5

305 + 269 + 427 + 499 + 385 + 377 + 280 + 316 + 392 + 454

MAS = ------------------------------------------------------------------------------------ =

10

3.704

= ----------------- = 370,4

10

5,6 + 4,5 + 7,2 + 0,6 + 3,2 + 2,1 + 1,9 + 3,8

MAS = --------------------------------------------------------------- = 3,6125

8

12 + 15 + 32 + 21 + 29 + 40 + 0

MAS = ----------------------------------------------------= 21,28571

7

120 + 5 + 56 + 131 + 99 + 62 + 19 + 107

MAS = ----------------------------------------------------------= 74,875

8

40 + 40 + 40 + 40 + 80 + 80 + 80

MAS = ----------------------------------------------------- = 57,14

7

Analisar cada um dos valores de média obtido com os valores componentes do conjunto.

Page 37: Manual Formando

I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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I

31

Exercício 2

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

0 25 12,5 20 0,100 1,2500 25 50 37,5 60 0,300 11,2500 50 75 62,5 40 0,200 12,5000 75 100 87,5 35 0,175 15,3125

100 125 112,5 25 0,125 14,0625 125 150 137,5 20 0,100 13,7500

Total 200 1,000 68,1250

Exercício 3

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

0 2 1 40 0,400 0,4000 2 4 3 30 0,300 0,9000 4 6 5 10 0,100 0,5000 6 8 7 15 0,150 1,0500 8 10 9 5 0,050 0,4500

Total 100 1,000 3,3000

Exercício 4

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

0 16 8 3 0,120 0,9600 16 32 24 3 0,120 2,8800 32 48 40 6 0,240 9,6000 48 64 56 8 0,320 17,9200 64 80 72 4 0,160 11,5200 80 96 88 1 0,040 3,5200

Total 25 1,000 46,4000

Page 38: Manual Formando

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I

32

Exercício 5

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

1,4 1,5 1,45 5 0,050 0,0725

1,5 1,6 1,55 10 0,100 0,1550

1,6 1,7 1,65 30 0,300 0,4950

1,7 1,8 1,75 40 0,400 0,7000

1,8 1,9 1,85 10 0,100 0,1850

1,9 2,0 1,95 5 0,050 0,0975

Total 100 1,000 1,7050

Exercício 6

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

50000 60000 55000 5 0,100 5500 60000 70000 65000 10 0,200 13000 70000 80000 75000 20 0,400 30000 80000 90000 85000 10 0,200 17000 90000 100000 95000 5 0,100 9500 Total 50 1,000 75000

Exercício 7

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

0 5 2,5 48 0,320 0,8000

5 10 7,5 33 0,220 1,6500

10 15 12,5 27 0,180 2,2500

15 20 17,5 18 0,120 2,1000

20 25 22,5 15 0,100 2,2500 25 30 27,5 9 0,060 1,6500

Total 150 1,000 10,7000

Page 39: Manual Formando

I. MÉDIAS ARITMÉTICAS IEFP

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I

33

Exercício 8

Limite inferior da

classe

Limite superior da

classe Centro da

classe Fi fi fi x centro

17,5 20,0 18,75 635 0,029 0,5410

20,0 25,0 22,50 1470 0,067 1,5029

25,0 30,0 27,50 1410 0,064 1,7619

30,0 35,0 32,50 1670 0,076 2,4663

35,0 40,0 37,50 1950 0,089 3,3228

40,0 45,0 42,50 1530 0,070 2,9547

45,0 50,0 47,50 1490 0,068 3,2160

50,0 55,0 52,50 1280 0,058 3,0536

55,0 60,0 57,50 1170 0,053 3,0570

60,0 65,0 62,50 2110 0,096 5,9924

65,0 70,0 67,50 1760 0,080 5,3983

70,0 80,0 75,00 2560 0,116 8,7245

80,0 100,0 90,00 1400 0,064 5,7255

100,0 120,0 110,00 956 0,043 4,7785

120,0 150,0 135,00 616 0,028 3,7788

Total 22007 1,000 56,2742

Page 40: Manual Formando
Page 41: Manual Formando

CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

II. PROPORCIONALIDADE

Page 42: Manual Formando
Page 43: Manual Formando

II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 37

Objectivos

No final desta unidade temática, o formando deve estar apto a:

• Reconhecer situações de proporcionalidade directa, inversa e composta;

• Estabelecer e resolver equações com uma incógnita desde que se verifiquem relações proporcionais entre os termos;

• Exprimir sob a forma de percentagem números inteiros ou fraccionados;

• Aplicar estas grandezas nos contextos da vida prática;

• Aplicar estas grandezas no contexto económico - financeiro.

Temas

1. Proporcionalidade Directa

2. Proporcionalidade Inversa

3. Proporcionalidade Composta

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

Page 44: Manual Formando

IEFP II. PROPORCIONALIDADE

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II

38

Neste capítulo vamos estudar noções que nos permitem explicar como podem variar algumas grandezas em função de outras, como seja a proGporcionalidade e ainda expressar alguns valores em função de outros, como seja a percentagem.

Pagar juros a 10%;

Metade da população de Portugal não tem telefone;

Na turma A 40% dos alunos são rapazes;

Quem não escutou alguma vez expressões deste tipo?, ninguém!

Fazem parte dos nossos dias pelo que há que entender muito bem o seu significado.

Estes exemplos referem-se a medidas simples que permitem estabelecer comparações entre diversos grupos, entre as quais se encontram:

• A Proporção e a Razão

• A Percentagem

Proporção

A Proporção de indivíduos de uma dada categoria é definida através do quociente entre o número de indivíduos pertencentes a essa categoria e o número total de indivíduos considerados.

Devendo as categorias ser mutuamente exclusivas e exaustivas ( um indivíduo só pertence a 1 grupo de cada vez).

Consideremos que um certo número de pessoas foi classificado em 4 categorias.

Essas categorias são, naturalmente mutuamente exclusivas e exaustivas, ou seja um indivíduo não pode pertencer a mais do que uma categoria ao mesmo tempo:

N1 - Pessoas incluídas na categoria 1

N2 - Pessoas incluídas na categoria 2

N3 - Pessoas incluídas na categoria 3

N4 - Pessoas incluídas na categoria 4

N - Número total de pessoas e

N= N1 +N2+N3+N4

Page 45: Manual Formando

II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 39

A proporção de pessoas pertencentes a cada categoria é determinada mediante o cálculo ni/N, ou seja:

• Proporção de pessoas incluídas na categoria 1 = N1 / N

• Proporção de pessoas incluídas na categoria 2 = N2 / N

• Proporção de pessoas incluídas na categoria 3 = N3 / N

• Proporção de pessoas incluídas na categoria 4 = N4 / N

O somatório das proporções é a unidade ( 1 ):

N1 N2 N3 N4 N + + + = = 1 N N N N N

Analisemos o seguinte exemplo para compreendermos melhor este conceito:

Consideremos o número de sócios praticantes e não praticantes de futebol em 2 clubes:

Sócios Clube 1 Clube 2

Praticantes exclusivos de:

Futebol de salão 580 680

Futebol de campo 430 1369

Não praticantes 4810 10811

Total 5820 12860

Em primeiro lugar vamos calcular a tabela de proporções dos sócios praticantes e não praticantes:

Forma de cálculo Clube 1 Forma de cálculo Clube 2

Prat.Fut. Salão 580/5820 0,100 680/12860 0,053

Prat.Fut.Campo

430/5820 0,074 1369/12860 0,106

Não Praticantes

4810/5820 0,826 10811/12860 0,841

Total 1,000 1,000

Page 46: Manual Formando

IEFP II. PROPORCIONALIDADE

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II

40

Como se lê o resultado desta tabela:

0,100 do total de sócios do Clube 1 pratica Futebol de Salão;

0,074 do total de sócios do Clube 1 pratica Futebol de Campo;

0,826 do total de sócios do Clube 1 não são praticantes;

0,053 do total de sócios do Clube 2 pratica Futebol de Salão;

0,106 do total de sócios do Clube 2 pratica Futebol de Campo;

0,841 do total de sócios do Clube 2 não são praticantes;

Podemos ainda elaborar a tabela de proporções dos sócios praticantes de cada modalidade em cada clube:

Clube 1 Clube 2

Pratic. F. cálculo Proporção Pratic. F. cálculo Proporção

Fut.Salão 580 530/1010 0,574 680 680/2049 0,332

Fut.Campo 430 430/1010 0,426 1369 1369/2049 0,668

Total 1010 1,000 2049 1,000

Esta tabela pode ser lida da seguinte forma:

0,574 do total de sócios praticantes do Clube 1 pratica Futebol de Salão;

0,426 do total de sócios praticantes do Clube 1 pratica Futebol de Campo;

0,332 do total de sócios praticantes do Clube 2 pratica Futebol de Salão;

0,668 do total de sócios praticantes do Clube 2 pratica Futebol de Campo;

Page 47: Manual Formando

II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 41

Uma terceira análise pode ser a tabela de proporções dos sócios praticantes no total de sócios de cada clube:

Clube 1 Clube 2

Número F. cálculo Proporção Número F. cálculo Proporção

Praticantes 1010 1010/5820 0,174 2049 2049/12860 0,159

Não praticantes 4810 4810/5820 0,826 10811 10811/12860 0,841

Total 5820 1,000 12860 1,000

O resultado desta tabela será:

0,174 do total de sócios do Clube 1 são praticantes;

0,826 do total de sócios do Clube 1 não são praticantes;

0,159 do total de sócios do Clube 2 são praticantes;

0,841 do total de sócios do Clube 2 não são praticantes;

Razão

O valor da proporção pode também ser denominado Razão, isto é a proporção entre duas variáveis, ou seja a expressão proporção é também a igualdade expressa entre duas razões.

Quando dizemos 4 é o dobro de 2, estamos a calcular a razão entre estes dois números, quatro a dividir por dois é dois (4 /2=2), a razão é 2, ou o dobro.

Quando dizemos 9 é o triplo de 3, estamos a calcular a razão entre 9 e 3, nove a dividir por três é três (9/3=3), ou o triplo.

Podemos ainda pares de números diferentes cuja razão é a mesma, por exemplo 2 e 1, 6 e 3 porque:

2 6

---- = ------ = 2

1 3

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II

42

Considerando as seguintes expressões:

a c

=

b d

a e d são os extremos da proporção

b e c são os meios da proporção

a/b e c/d dão-nos a razão da proporção

Se multiplicarmos os meios, o seu produto será igual ao produto dos extremos:

a . d = b . c

No caso concreto das seguintes expressões:

20 100 = 10 50

20 e 50 são os extremos

10 e 100 são os meios

a razão as proporção é 20/10, ou 100/50, ou seja 2

e 20 × 50 = 10 × 100

Podemos resolver equações através da utilização destas noções

Se estivermos perante a seguinte questão, se duas pessoas comerem 6 bolachas por dia quantas bolachas são necessárias para alimentar 10 pessoas?

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 43

A razão entre o número de pessoas 2 para 10 terá que ser a mesma que se vai estabelecer entre o número de bolachas, 6 para α, assim:

2 6

10 α

2 6

ou seja =

10 α

2 × α = 10 × 6 , logo α = 60/2 α = 30

a razão da proporção é de 1/5

Exercício 1

Concluir se se verifica proporcionalidade entre os seguintes conjuntos de números, identificando-a quando possível:

A = (4, 5, 6, 7, 8, 9 ) e B = (8, 10, 12, 13, 16, 18)

8 10 12 16 18

----- = --- = --- = --- = --- = 2

4 5 6 8 9

Não se verifica proporcionalidade porque 13/7 não apresenta a mesma razão de 2.

C = (1/2, 1/3, ¼, 1/5) e D = ( 1 , 2/3 , 2/4, 2/5 )

½ 1/3 1/4 1/5

--------= ------ = ------ = ----- = 1/2

1 2/3 2/4 2/5

Verifica-se proporcionalidade pois a razão é sempre ½.

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II

44

Exercício 2

Calcular a razão de duas quantidades, expressas na mesma unidade pelo seu quociente:

a razão de 15 para 105?

15 1

É ------ = -----

105 7

a razão de 136 para 16 ?

136 17

É ------- = --------- = 8,5 16 2

Exercício 3

Em 1997 o rendimento de uma casa alugada foi de 45.000 u.m., o valor aplicado na construção dessa casa foi de 315.000 u.m., qual a razão do rendimento para o custo da casa?

45.000 1

É ------------ = --------

315.000 7

Exercício 4

Uma sapataria tinha um stock médio de 30.000 u.m., realizou um lucro de 36.000 u.m. sobre um total de vendas de 120.000 u.m. em 1998.

Qual a razão do total de vendas para o stock médio?

Total Vendas 120.000 4

------------------- = --------------= -------- = 4

Stock Médio 30.000 1

Qual a razão do lucro para o total de vendas?

Lucro 36.000 3 1

---------- = ----------- = ----- = --------

Vendas 120.000 10 3 1/3

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 45

Exercício 5

Um investimento de 4.000 u.m. proporciona um rendimento de 240 u.m.:

Qual o rendimento sobre um investimento de 7.000 u.m.?

240 α

=

4.000 7.000

240 x 7.000

α = = 420 u.m.

4.000

Exercício 6

Considerando o mesmo investimento de 4.000 u.m. que proporciona um rendimento de 240 u.m. determine quanto deveria ter investido P para receber 600 u.m.?

240 600

=

4.000 α

4.000 x 600

α = = 10.000 u.m

240

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II

46

1. PROPORCIONALIDADE DIRECTA

Quando as duas variáveis de uma proporção aumentam uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Directa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são directamente proporcionais.

Sejam as duas variáveis x e y

vamos definir y como função de x tal que y seja igual a k vezes x, em que k é a razão da proporção

o valor de y será sempre maior que x, tomemos por exemplo os seguintes valores:

x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

sendo k = 3 , obtemos os seguintes valores para y :

y = 3 , 6 , 9 , 12, 15

Expressões como o dobro, o triplo, o quádruplo, são indicadores de proporcionalidade directa.

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 47

2. PROPORCIONALIDADE INVERSA

Quando as duas variáveis de uma proporção diminuem uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Inversa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são inversamente proporcionais.

Sejam as duas variáveis x e y:

Vamos definir y como função de x tal que y seja igual a k vezes x, em que k é a razão da proporção expressa em 1 a dividir por k, ou o inverso de k

o valor de y será sempre menor que x,

tomemos por exemplo os seguintes valores:

x = 2 , 4 , 6 , 8 , 10

sendo k = 1/2 obtemos os seguintes valores para y :

y = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

Expressões como metade, a terça parte, a dizima, etc., são indicadores de proporcionalidade inversa.

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IEFP II. PROPORCIONALIDADE

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II

48

3. PROPORCIONALIDADE COMPOSTA

Diz-se que há proporcionalidade composta entre y e diversas variáveis, quando é definida uma proporcionalidade directa ou inversa, de y com cada uma dessas variáveis em separado.

Se y é directamente proporcional a z e u é inversamente proporcional a v e t,

então y = k x z e K = u / v t

Para entendermos esta noção consideremos o seguinte exemplo:

A proporcionalidade entre o dinheiro que se ganha (y) e o valor da renda da casa (z) é dada pela relação de proporcionalidade existente entre comprar comida (u) e poupar dinheiro (v) e investir em terrenos (t).

Se considerarmos:

u = 0,1

t = 0,4

v = 0,08

teremos K = 0,08 / ( 0,1 x 0,4) = 2

logo y = 2 x z

se z = 50

Y = 100

Percentagem

A expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa centésimos.

Assim, 25% é simplesmente outra maneira de exprimir 25 a dividir por 100 (25/100), ou 0,25 ou ¼.

Quando dizemos: O senhor Joaquim cobra 10% de comissão em cada andar que vende;

Queremos dizer: O senhor Joaquim exige 10 por cada 100 do preço do andar que vende.

Quando dizemos: certo investimento produz 6% ao ano;

Queremos dizer: o investimento produz 6 por cada 100 investidos.

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 49

Qualquer número expresso na notação decimal, pode ser escrito como uma percentagem, deslocando-se simplesmente a virgula duas casas para a direita e acrescentando o símbolo %, ou multiplicando o número por 100 e acrescentando o símbolo %.

Exemplificando:

½ = 0,5 = 50%

1/8 = 0,125 = 12,5%

11/4 = 2,75 = 275%

3 = 3,00 = 300%

9/8 = 1,125 = 112,5%

Inversamente para exprimir dada percentagem como um número suprimimos o sinal % e deslocamos a virgula duas casas para a esquerda, ou dividindo o número por 100 e eliminando o símbolo %.

Exemplificando:

75% = 0,75 = 75 / 100

8% = 0,08 = 8 / 100

5 ¼ % = 0,0525 = 525 / 1000

154% = 1,54 = 154/100

1000% = 10 = 1000/100

Os exercícios seguintes destinam-se a praticar estes cálculos:

Exercício 1 Calcular:

4 % de 725

0,04 x 725 = 29

175% de 800

1,75 x 800 = 1.400

2 ½ % de 35.640,80

0,025 x 35.640,80 = 897,02

¾% de 12.000,00

0,0075 x 12.000,00 = 90,00

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II

50

Exercício 2 Exprimir em percentagem:

Quantos por cento de 40 são 20?

20 / 40 = 0,5 = 50%

Quantos por cento de 31 são 620?

620 / 31 = 20 = 2.000%

Quantos por cento de 1500 são 75?

75 / 1500 = 0,05 = 5%

Quantos por cento de 2500 são 137,5?

137,5 / 2.500 = 0,055 = 5,5%

Exercício 3 Achar Y, sabendo que 7% de Y são 5.25?

Y x 0.07 = 5,25

Y= 75

Exercício 4 Calcular:

25% de que número são 20?

20 / 0,25 = 80

3,5% de que quantia são 42?

42 / 0,035 = 1.200

125% de que quantia são 531,55?

531,55 / 1,25 = 425,24

Exercício 5

Sobre um investimento de 2.500 Maria realizou um lucro de 131,15. Quantos por cento lucrou no investimento?

131,25 quantos por cento são de 2.500?

são 131,25/2.500= 5,25%

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 51

Exercício 6

Um advogado consegue receber 90% de uma questão avaliada em 3.000 u.m. e cobra 15% da quantia recebida a titulo de honorários.

Que soma receberá o cliente?

E quantos por cento é do valor inicial?

O advogado recebe 0,9 de 3.000 , ou seja 2.700 u.m.

O advogado cobra 0,15 da importância recebida, ou seja dos 2.700 u.m., cobra 405 u.m.

O cliente recebeu 2.700 menos 405 u.m. ou seja 2.295 u.m.

2.295 u.m. em 3.000 u.m. representa uma percentagem de 76,5%

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II

52

4. RESUMO

Proporção

A Proporção de indivíduos de uma dada categoria é definida através do quociente entre o número de indivíduos pertencentes a essa categoria e o número total de indivíduos considerados.

Devendo as categorias ser mutuamente exclusivas e exaustivas ( um indivíduo só pertence a 1 grupo de cada vez).

Razão

O valor da proporção pode também ser denominado Razão, isto é a proporção entre duas variáveis, ou seja a expressão proporção é também a igualdade expressa entre duas razões.

a c

=

b d

a e d são os extremos da proporção

b e c são os meios da proporção

a/b e c/d dão-nos a razão da proporção

a x d = b x c multiplicando os meios obtemos o produto dos extremos

Proporcionalidade

Quando as duas variáveis de uma proporção aumentam uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Directa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são directamente proporcionais.

y = K x

Quando as duas variáveis de uma proporção diminuem uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Inversa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são inversamente proporcionais.

y = 1/k x

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II 53

Diz-se que há proporcionalidade composta entre y e diversas variáveis, quando é definida uma proporcionalidade directa ou inversa, de y com cada uma dessas variáveis em separado.

y = k x z e K = u / v t

Percentagem

A expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa centésimos.

Assim, 25% é simplesmente outra maneira de exprimir 25 a dividir por 100 (25/100), ou 0,25 ou ¼.

Qualquer número expresso na notação decimal, pode ser escrito como uma percentagem, deslocando-se simplesmente a virgula duas casas para a direita e acrescentando o símbolo %, ou multiplicando o número por 100 e acrescentando o símbolo %.

Inversamente para exprimir dada percentagem como um número suprimimos o sinal % e deslocamos a virgula duas casas para a esquerda, ou dividindo o número por 100 e eliminando o símbolo %.

Aplicações diárias que exprimem os conceitos apresentados:

espaços percorridos e tempos gastos;

peso e volume de corpos de uma mesma substância;

custo e peso de uma mercadoria;

tempo gasto com um percurso e velocidades.

Aplicação na actividade financeira:

as taxas de juro;

o juro calculado sobre capitais emprestados e capitais aplicados;

a transformação de taxas de juro anuais em mensais, ou outras;

o crescimento do juro em função do aumento dos capitais aplicados.

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II

54

5. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Escrever cada um dos números seguintes sob a forma de percentagem:

0,05 0,08 0,055

0,082 0,76375 0,54545

1,2675 2,3784 1/5

1/6 5/8 7/8

8 1,25 7,2

Exercício 2

Exprimir cada uma das seguintes percentagens como fracção decimal.

4% 10% 62%

85% 0,5 0,75%

¼% 3/8% 1 ¾%

2 1/8% 87 ½% 127,5%

Exercício 3

Calcular:

3% de 200 5% de 800

12% de 3.000 18% de 4.000

4 ½ % de 12.500 33 1/3% de 21.720

2% de 7% de 5.000 3% de 5% de 12.000

10% de 20% de 250.000 15 % de 1000

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 55

Exercício 4

Que percentagem de:

20 são 10 10 são 20

1.200 são 108 4.800 são 168

1.664 são 35,36 0,28 são 0,0056

Exercício 5

Calcular:

20% de que número são 9 12 1/7% de que número são 9

2% de que quantia são 400 6 ¼% de que quantia são 2.000

3 ½ % de que quantia são 183,75 5 ¼% de que quantia são 275,10

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II

56

6. RESOLUÇÕES

Exercício 1

0,05 = 5%

0,08 = 8%

0,055 = 5,5%

0,082 = 8,2%

0,76375 = 76,275%

0,54545 = 54,545%

1,2675 = 126,75%

2,3784 = 237,84%

1/5 = 20%

1/6 = 16,667%

5/8 = 62,5%

7/8 = 87,5%

8 = 800%

1,25 = 125 %

7,2 = 720%

Exercício 2

4 4% = ---------- 100

10 10% = -------- 100

62

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 57

62% = --------- 1000

Page 64: Manual Formando

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II

58

85 85% = --------- 100

5 0,5 = --------- 10

0,75 0,75% = ----------- 100

0,25 ¼% = ----------- 100

0,375 3/8% = ------- 100

1,75 1 ¾% = ---------- 100

2,125 2 1/8% = ---------- 100

87,5 87 ½% = ----------- 100

127,5 127,5% = ---------- 100

Exercício 3

3% de 200 = 6

5% de 800 = 40

12% de 3.000 = 360

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 59

18% de 4.000 = 720

4 ½ % de 12.500 = 562,5

33 1/3% de 21.720 = 7.239

2% de 7% de 5.000 = 7

3% de 5% de 12.000 = 18

10% de 20% de 250.000 = 5.000

15 % de 1000 = 150

Exercício 4

Que percentagem de:

20 são 10

z x 20 = 10

z = 10 / 20

z = 0,5

z = 50%

10 são 20

z x 10 = 20

z = 20 / 10

z = 2

z = 200%

1.200 são 108

z x 1200 = 108

z = 108 / 1200

z = 0,09

z = 9%

Page 66: Manual Formando

IEFP II. PROPORCIONALIDADE

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II

60

4.800 são 168

z x 4800 = 168

z = 168 / 4800

z = 0,035

z = 3,5%

1.664 são 35,36

z x 1664 = 35,36

z = 35,36 / 1664

z = 0,02125

z = 2,125%

0,28 são 0,0056

z x 0,28 = 0,0056

z = 0,0056 / 0,28

z = 0,02

z = 2%

Exercício 5

20% de que número são 9

0,2 x z = 9

z = 9 / 0,2

z = 45

12 1/7% de que número são 9

0,1214286 x z = 9

z = 9 / 0,1214286

z = 74,11765

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II. PROPORCIONALIDADE IEFP

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II 61

2% de que quantia são 400

0,02 x z = 400

z = 400 / 0,02

z = 20.000

6 ¼% de que quantia são 2.000

0,0625 x z = 2.000

z = 2.000 / 0,0625

z = 32.000

3 ½ % de que quantia são 183,75

0,035 x z = 183,75

z = 183,75 / 0,035

z = 5.250

5 ¼% de que quantia são 275,10

0,0525 x z = 275,10

z = 275,10 / 0,0525

z = 5.240

Page 68: Manual Formando
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CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS

Page 70: Manual Formando
Page 71: Manual Formando

III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS IEFP

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III 65

Objectivos

No final desta unidade temática, o formando deve estar apto a:

• Identificar as principais formas de aplicações financeiras

• Distinguir os tipos de aplicações financeiras mais usuais:

• Depósitos

• Empréstimos,

• Caracterizando-as na óptica das famílias e empresas e na óptica das instituições financeiras

• Identificar as componentes básicas das operações - Capital , taxa de juro, prazo e juro gerado.

Temas

1. Formas de Aplicação

2. Depósitos

3. Empréstimos

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

Page 72: Manual Formando

IEFP III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS

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III 66

Neste capítulo vamos estudar as formas financeiras correntes de aplicar poupanças e colmatar necessidades financeiras sentidas pelas famílias e pelas empresas.

Page 73: Manual Formando

III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS IEFP

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III 67

1. FORMAS DE APLICAÇÃO

Num contexto económico de escassez e limitação de todo o tipo de recursos, o dinheiro posto à disposição de cada empresa tem que ter uma utilização optimizada e rentabilizada.

Vamos primeiro reflectir sobre o tipo de recursos colocados à disposição de cada entidade económica.

Quem são as entidades económicas?

As entidades económicas que melhor conhecemos são as famílias e as empresas.

Como é que as famílias geram recursos?

Ás famílias são entregues os rendimentos do trabalho desenvolvido (os salários) ou outro tipo de rendimentos proveniente do estado (caso de reformas, por exemplo).

Este rendimento é utilizado no dia - a - dia familiar nos diversos consumos necessários, no pagamento de impostos, etc.

Quando o saldo entre o rendimento auferido e os valores desembolsados é positivo, verifica-se a existência de um excedente que pode ser poupado. As famílias procuram aplicar esse excedente mediante uma determinada retribuição (juro bancário, por exemplo).

Essas aplicações podem apresentar várias formas, desde simples Depósitos a Prazo, Contas Poupança Habitação, Contas Poupança Reforma ou outro tipo de aplicações em títulos, nomeadamente acções, obrigações ou títulos de divida pública.

Como é que as empresas geram recursos?

As empresas apresentam um ciclo de geração de riqueza diferente, já que primeiro têm que se produzir bens ou prestar serviços, e só posteriormente estão em condições de receber os valores correspondentes a essas vendas ou prestações de serviços efectuadas.

Quando as empresas, após terem recebido os valores das suas vendas e pago os valores das matérias - primas, dos serviços e produtos comprados para a produção dos bens ou prestação dos serviços, detêm excedentes monetários podem aplicá-los. O prazo desta aplicação vai depender das perspectivas da empresa quanto à necessidade futura desses fundos.

Como podem as entidades económicas suprir as suas necessidades de recursos?

Ao invés, quando, quer as famílias quer as empresas pretendem fazer investimentos e não têm fundos suficientes, podem recorrer a empréstimos junto das entidades financeiras correspondentes, bancos ou sociedades especificas para a concessão de crédito ou vendas a crédito.

Page 74: Manual Formando

IEFP III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS

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III 68

Para facilitar o nosso estudo vamos agrupar estes tipos de aplicações em dois tipos:

• Os depósitos - quando as famílias ou as empresas detêm excedentes e procuram uma entidade financeira a quem entregam esses excedentes mediante o recebimento de uma compensação (o juro a receber ).

• Os empréstimos - quando as famílias ou as empresas têm necessidades de fundos e procuram uma entidade financeira para colmatar essa necessidade mediante o pagamento de uma compensação pela utilização desses valores (o juro a pagar).

Do que aqui fica dito pode-se concluir que um depósito de um particular ou empresa numa entidade financeira é uma aplicação financeira, colocada numa entidade financeira.

Enquanto que um empréstimo a uma empresa ou a uma família por parte de uma instituição financeira, é uma aplicação da entidade financeira, colocada nessa empresa ou família.

A título exemplificativo observemos o quadro do rendimento disponível dos particulares:

1995 Valor (Milhões de Euros)

Salários 32,3

Rendimentos da empresa e propriedade 24,1

Transferências internas 13,6

Transferências externas 2,5

Rendimento pessoal 72,6

Impostos directos 5,4

Contribuições sociais 10,1

Rendimento disponível 57,1

Consumo Privado 49,5

Poupança 7,6

Fonte: Banco de Portugal, Relatório do Conselho Administração, 1995

Este quadro dá-nos importantes indicações sobre grandezas económicas relacionadas com rendimentos e consumos, surgindo também a noção de poupança.

Com base neste quadro podemos por exemplo analisar:

1. O rendimento disponível dos particulares em 1995:

O Rendimento disponível calcula-se pela expressão:

Rendimento pessoal - impostos directos - contribuições sociais

Ou seja, no nosso caso = 72,6 –5,42 – 10,1 = 57,1

2. São os valores Poupados que deverão ser objecto de aplicação financeira, ou seja em 1995 os portugueses pouparam 7,6 milhões de Euros.

Page 75: Manual Formando

III. APLICAÇÕES FINANCEIRAS IEFP

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III 69

2. DEPÓSITO

Forma de aplicação financeira por excelência, verifica-se sempre que entregamos uma determinada quantia monetária à guarda de uma entidade e em contrapartida obtemos uma retribuição em função do tempo, esta retribuição é acordada entre as partes mediante a aplicação de uma determinada taxa.

As taxas de retribuição dos depósitos são denominadas por taxas de juro passivas, são as taxas que a entidade financeira utiliza para calcular os juros a pagar a quem lhe entrega os seus excedentes.

O montante entregue assume a denominação de Capital, a retribuição assume a denominação de Juro.

No final do prazo acordado verifica-se a devolução do capital entregue e o pagamento do respectivo juro, juro este calculado em função da taxa de juro e do prazo decorrido entre as duas datas.

No final de cada período o beneficiário pode receber os juros gerados ou mantê-los, aumentando assim o valor do seu depósito.

Os principais tipos de depósitos que existem actualmente são:

Depósitos bancários

• À ordem;

• Com pré – aviso;

• A prazo;

• A prazo mas com possibilidade de mobilização antecipada.

Depósitos com finalidades especificas:

• Poupança habitação;

• Poupança Reforma;

• Poupança Emigrante.

Existem aplicações com graus de risco diferentes, nomeadamente a compra de acções, que não serão focadas no âmbito deste curso.

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III 70

Vamos caracterizar cada um destes tipos de instrumento.

Depósitos Bancários

Os depósitos continuam a constituir a mais forte parcela de recursos entregues ás instituições financeiras.

Actualmente não há limitação ao nível de taxas de juros que as instituições financeiras podem oferecer aos aplicadores de recursos.

As modalidades de depósito autorizadas pela lei portuguesa são os seguintes:

À ordem

Este tipo de depósito está sempre disponível em qualquer momento.

È o tipo de depósito que se verifica quando se abre uma conta bancária num determinado banco, após o que são emitidos cheques e solicitados os cartões de débito ou de crédito, tão usuais actualmente.

Para captar mais fundos para as suas instituições são dadas remunerações pelos saldos constantes na conta à ordem, esta remuneração pode ser calculada pela aplicação de uma determinada percentagem ao saldo diário ou pela aplicação de várias taxas de juro em função de escalões de saldos.

Com pré - aviso

Este tipo de depósito não está sempre disponível como no caso anterior, a sua utilização depende de uma comunicação do depositante de que deseja utilizar os fundos, as instituições podem pedir alguns dias de antecedência.

A taxa de juro proporcionada por estes depósitos deverá ser superior à aplicada numa conta à ordem.

A prazo

Normalmente só são disponibilizados os fundos no fim do prazo por que foi constituído o depósito, podendo no entanto a instituição autorizar a sua desmobilização antecipada mediante a aplicação de uma penalização na taxa de juros.

Estes depósitos são muitas vezes renováveis automaticamente sendo os juros transferidos para a conta de depósito à ordem ou acumulados ao capital aplicado.

A prazo sem possibilidade de mobilização antecipada

Não poderão ser desmobilizados antes do prazo por que foram constituídos.

São pouco utilizados.

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III 71

Depósitos com Finalidades Específicas:

Trata-se de modalidades criadas pelos bancos com autorização do Banco de Portugal.

Poupança Habitação

Contas especiais que têm como objectivo o fomento da poupança que possibilite a aquisição, construção, beneficiação, ampliação de casa própria, arrendamento ou amortização das dívidas contraídas para esses fins.

Esta conta está associada a benefícios fiscais - diminuição do valor de IRS a pagar - desde que cumpridas determinadas premissas em termos de montante aplicado e prazo de movimentação.

Poupança Reforma

Estas contas têm por objectivo constituir um instrumento de poupança que beneficie da isenção de IRS sobre os juros, existe um montante máximo por titular para a constituição do respectivo depósito.

Poupança Emigrante

Trata-se de contas em que os titulares são exclusivamente emigrantes ou equiparados, estas conta dão direito a condições especiais de remuneração e de obtenção de créditos para determinadas finalidades.

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III 72

3. EMPRÉSTIMO

Forma de utilização de capitais que não nos pertencem.

Verifica-se sempre que solicitamos uma determinada quantia monetária a uma entidade, financeira ou equiparada, e em contrapartida pagamos uma retribuição em função do tempo, esta retribuição é acordada entre as partes mediante a aplicação de uma determinada taxa.

As taxas pagas pelos empréstimos são denominadas por taxas de juro activas, são as taxas que as entidades financiadoras cobram pelos montantes emprestados.

A taxa de juro activa é superior à taxa de juro passiva, ou seja os bancos pagam menos pelos depósitos que cobram pelos empréstimos.

O montante entregue assume a denominação de Capital, a retribuição assume a denominação de Juro.

No final do prazo acordado verifica-se o pagamento do capital utilizado e do respectivo juro, juro este calculado em função da taxa de juro e do prazo decorrido entre as duas datas.

Empréstimos das Empresas

Empréstimos de Curto Prazo

Consideram-se de curto prazo todos aqueles empréstimos que tem uma duração inferior a um ano.

Geralmente têm prazos fixados de 30, 60, 90, 120 ou 180 dias.

Visam fundamentalmente fazer face a necessidades pontuais de tesouraria.

Deste tipo de empréstimos salientamos:

Empréstimos em Conta Corrente

Figura normalmente conhecidas por Conta Corrente Caucionada, nestas a instituição bancária autoriza a utilização de um valor máximo, que pode ser utilizado por parcelas e pode também ser reembolsado em parcelas, diminuindo assim o custo financeiro para a entidade que se financiou.

Este tipo de empréstimo obriga à abertura de uma conta especial para o efeito.

Os juros só são pagos sobre os valores utilizados, podendo o seu pagamento ocorrer ao mês, ao trimestre ou ao semestre.

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III 73

Existe um contrato formal entre a entidade financeira e o cliente normalmente garantido por um título (livrança ou outro), daí ser uma conta caucionada.

O Descoberto Bancário

Possibilidade concedida a alguns clientes em função das suas características de movimentação, consiste numa autorização para que a empresa utilize dinheiro acima do seu saldo disponível até um certo limite e por um determinado prazo.

A movimentação é feita na conta normal de depósitos à ordem, não havendo abertura de qualquer conta para o efeito.

Imagine que têm um descoberto autorizado de 200 u.m., hoje passa um cheque de 100 u.m. quando só tem 20 u.m. de saldo na sua conta bancária e daqui a uma semana deposita 200 u.m..

Estas linhas são estabelecidas por seis meses ou por um ano, renováveis automaticamente.

A taxa de juro pode ser fixa ou variável e os juros podem ser pagos ao mês ou ao trimestre.

Empréstimos de Médio e Longo Prazo

Consideram-se empréstimos de médio prazo aqueles cujo prazo de vencimento se situa entre um e cinco anos.

Consideram-se empréstimos de longo prazo aqueles cujo prazo vai para além dos cinco anos.

Tem por objectivo reforçar a estrutura de capitais permanentes das empresas, uma vez que estes empréstimos permanecem na empresa vários ciclos de exploração.

Realçamos os seguintes:

Empréstimo Bancário

Podem ter prazo entre 3 e 7 anos e destinam-se a fazer face a investimentos.

Podem ser concedidos por uma só instituição financeira ou por um conjunto de instituições (Sindicato) que se agrupam para financiar um só cliente.

As taxas a aplicar e sua forma de definição, as formas de utilização, os períodos em que não se verificam amortizações de capital, os períodos de pagamento dos juros, as datas das amortizações, etc. , são elementos a acordar entre as partes.

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Empréstimos Obrigacionistas

Este tipo de empréstimo caracteriza-se pela emissão de obrigações.

As obrigações são títulos de crédito com força executiva que conferem aos seus detentores o direito de receber juros periodicamente, geralmente ao trimestre ou ao semestre, excepcionalmente ao ano, estando também definida a data de reembolso do capital.

As características principais das obrigações são o rendimento fixo, com taxa de juro fixa ou variável, a duração limitada, a possibilidade de negociar os títulos, pois os títulos são ao portador.

Permite distribuir um empréstimo por um conjunto múltiplo de financiadores.

Os empréstimos obrigacionistas são uma forma de financiamento muito utilizada quer pelas empresas quer pelo próprio Estado.

Diariamente ao abrirmos o jornal deparamos com anúncios de lançamentos de empréstimos deste tipo para as mais diversas entidades:

Empresas públicas ou privadas;

Tesouro - Obrigações de divida Publica;

Organismos de fundos públicos - Exemplo da JAE e do Governo Regional dos Açores;

Organismos internacionais - Exemplo do Banco Europeu de Investimentos (BEI).

Empréstimos das Famílias

Quem não conhece uma pessoa que tenha uma das seguintes modalidades de financiamento:

Empréstimo para compra de casa;

Empréstimo para compra de carro;

Outros empréstimos ao consumo, exemplo vendas as prestações de electrodomésticos;

Cartão de Crédito;

Conta Ordenado.

Estas formas de financiamento são distintas entre si:

• empréstimo à habitação é um empréstimo de médio e longo prazo, pode durar trinta anos, as taxas de juro podem ser fixas ou variáveis, as prestações podem ser constantes ou não, o banco fica com uma hipoteca sobre a casa até o financiamento estar integralmente pago;

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III 75

• empréstimo para aquisição de qualquer bem, seja um carro ou um electrodoméstico pode ser obtido por diferentes formas :

• Empréstimo directo - o banco empresta dinheiro directamente ao cliente para este efectuar a compra pretendida, as partes acordam entre si a forma de reembolso e a taxa a aplicar;

• Financiamento ao crédito a efectuar por Sociedades Financeiras de Aquisição a Crédito (SFAC) - o cliente escolhe um bem e existe uma sociedade que paga por ele ao vendedor, devendo o cliente posteriormente pagar o montante à sociedade financiadora, nos moldes em que acordarem, podem existir garantias;

• cartão de Crédito pode ser um produto de um banco ou de uma sociedade financeira, trata-se de uma possibilidade de substituir pagamentos directos de bens e serviços por utilização de montantes autorizados no cartão, posteriormente os utilizadores reembolsam o emitente do cartão nas condições, relativas a capital e juro, que estabelecerem entre si.

• A Conta Ordenado é uma forma de descoberto autorizado para famílias.

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III 76

4. RESUMO

Quem são as entidades económicas?

• famílias e empresas.

Como é que as famílias geram recursos?

• os salários ou outro tipo de rendimentos;

• excedente que pode ser poupado.

Essas aplicações podem apresentar várias formas, desde simples Depósitos a Prazo, Contas Poupança Habitação, Contas Poupança Reforma ou outro tipo de aplicações em títulos, nomeadamente acções, obrigações ou títulos de divida pública.

Como é que as empresas geram recursos?

Primeiro têm que se produzir bens ou prestar serviços, e só posteriormente estão em condições de receber os valores correspondentes a essas vendas ou prestações de serviços efectuadas.

Os excedentes monetários podem ser aplicados.

Como podem as entidades económicas suprir as suas necessidades de recursos?

Podem recorrer a empréstimos junto das entidades financeiras correspondentes, bancos ou sociedades especificas para a concessão de crédito ou vendas a crédito.

Depósito - Forma de aplicação financeira por excelência, verifica-se sempre que entregamos uma determinada quantia monetária à guarda de uma entidade e em contrapartida obtemos uma retribuição em função do tempo, esta retribuição é acordada entre as partes mediante a aplicação de uma determinada taxa.

As taxas de retribuição dos depósitos são denominadas por taxas de juro passivas.

O montante entregue assume a denominação de Capital, a retribuição assume a denominação de Juro.

Os principais tipos de depósitos que existem actualmente são:

Depósitos bancários

• À ordem;

• Com pré-aviso;

• A prazo;

• A prazo mas com possibilidade de mobilização antecipada.

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Depósitos com finalidades especificas:

• Poupança Habitação;

• Poupança Reforma;

• Poupança Emigrante.

Empréstimo - Forma de utilização de capitais que não nos pertencem.

Verifica-se sempre que solicitamos uma determinada quantia monetária a uma entidade, financeira ou equiparada, e em contrapartida pagamos uma retribuição em função do tempo, esta retribuição é acordada entre as partes mediante a aplicação de uma determinada taxa.

As taxas pagas pelos empréstimos são denominadas por taxas de juro activas, são as taxas que as entidades financiadoras cobram pelos montantes emprestados.

A taxa de juro activa é superior à taxa de juro passiva, ou seja os bancos pagam menos pelos depósitos que cobram pelos empréstimos.

O montante entregue assume a denominação de Capital, a retribuição assume a denominação de Juro.

Tipos de empréstimos

1. Empréstimos das Empresas

• Empréstimos de Curto Prazo;

• Empréstimos em Conta Corrente;

• O Descoberto Bancário.

• Tipo de Empréstimos de Médio e Longo Prazo:

• Empréstimo Bancário;

• Empréstimos Obrigacionistas.

2. Empréstimos das famílias

• Empréstimo para compra de casa;

• Empréstimo para compra de carro;

• Outros empréstimos ao consumo, exemplo vendas as prestações de electrodomésticos;

• Cartão de Crédito;

• Conta Ordenado.

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5. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

As situações seguintes são normais e pertencentes ao quotidiano das famílias e das empresas, o objectivo é identificar em cada uma delas a melhor solução de aplicação financeira:

1. No final do mês de Junho a empresa “Paga Tudo Lda.” não tinha fundos suficientes para efectuar os pagamentos dos vencimentos ao seu pessoal. O administrador imediatamente contactou o Banco Rapidez e a situação foi ultrapassada. Que se terá passado naquele telefonema, que solução terá sido adoptada?

2. Um jovem casal de namorados tem projectos de casamento para daqui a dois anos, como “Quem casa quer casa”, pensaram depositar algumas economias com essa finalidade. Que lhes sugere?

3. Imagine que o jovem casal tem um tio que vive no estrangeiro. Este tio pretende dar-lhes uma “ajudinha” oferecendo-lhes o mobiliário da casa. Sendo o tio emigrante o que será mais vantajoso para aplicar esse dinheiro?

4. Se a sua conta de depósitos à ordem tiver um saldo muito elevado que deverá fazer?

5. “Dinheiro gera dinheiro”, que entende por esta expressão?

6. A empresa “Lava Tudo Lda.” fez investimentos em máquinas novas para limpeza de prédios, no entanto teve que pedir empréstimo ao banco, o prazo para pagamento desse empréstimo são 4 anos, como o classifica?

7. Quem trabalha, sabe como é difícil fazer chegar o ordenado até ao fim do mês, para resolver este problema, alguns bancos possibilitam a utilização de certos valores (relacionados com os valores do ordenado mensal), antes do recebimento desse mesmo ordenado. Como se chama esta facilidade.

8. O que é mais lucrativo para um banco, emprestar dinheiro ou captar poupança.

9. Existe alguma aplicação mais favorável para captar as aplicações dos reformados? Qual?

10. Posso utilizar o dinheiro aplicado numa Conta Poupança Habitação para comprar um carro, sem perder qualquer benefício?

11. Quando uma entidade financeira concede um empréstimo a uma empresa, que recebe em troca?

12. E quando uma família vai depositar as suas poupanças, que recebe da instituição financeira?

13. São iguais as remunerações referidas em 11 e 12? Qual é maior?

14. O valor da remuneração obtida pela instituição financeira é igual para qualquer valor? E para qualquer espaço de tempo?

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III 79

6. RESOLUÇÕES

1. A empresa terá uma situação de descoberto autorizado no banco, no caso de já estar autorizada não seria preciso qualquer telefonema, no caso de não estar previamente autorizada tê-lo-à sido após o telefonema.

2. Uma Conta de Depósito Habitação, é uma forma de depósito com uma retribuição superior à de um depósito a prazo normal. No ano em que é constituída traz benefícios fiscais aos contribuinte

3. O tio deverá aplicar o dinheiro em seu nome numa conta Poupança Emigrante, aquando do casamento desmobiliza essa conta e transfere o dinheiro para os jovens.

4. Deverei efectuar uma aplicação, o tipo de aplicação dependerá das minhas perspectivas de utilização desses montantes em termos de valores e de tempo.

5. Dinheiro aplicado origina retribuição por parte das entidades financeiras, esta retribuição chama-se Juro, no final do prazo da aplicação o meu dinheiro é maior do que no seu inicio.

6. Trata-se de um empréstimo de médio prazo. Se durasse até um ano seria de curto prazo, se o seu prazo fosse superior a 5 anos seria de longo prazo.

7. Chama-se Conta Ordenado e trata-se de uma autorização para utilizar fundos que não se têm até um determinado limite que não exceda o valor do ordenado a receber.

8. Para um banco é mais lucrativo emprestar dinheiro.

9. Os reformados podem aplicar as suas poupanças em Contas Poupança Reforma, são contas com uma remuneração mais favorável, mas limitadas em termos numéricos por reformado.

10. Não, as Contas Poupança Habitação devem ser utilizadas para aquisição de casa ou realização de obras na habitação, e o depósito inicial tem que permanecer um ano sem ser desmobilizado. Ao pretender desmobilizar o depósito Poupança Habitação, independentemente de ter ou não decorrido o prazo inicial de uma ano, tem que ser entregue ao estado o IRS não pago no ano de constituição desse depósito.

11. Recebe o pagamento dos juros referentes aos montantes emprestados, estes juros resultam da aplicação de uma taxa de juro activa sobre os capitais em função do tempo decorrido.

12. Paga juros referentes aos montantes aplicados pelas famílias, estes juros resultam da aplicação de uma taxa de juro passiva sobre os capitais em função do tempo decorrido.

13. As remunerações não são iguais, a remuneração decorrente da aplicação da taxa activa (empréstimos) é superior.

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CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

IV. REGIME DE JURO SIMPLES

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IV 83

Objectivos

No final desta unidade temática, o formando deve estar apto a:

• Distinguir o regime de juro simples do regime de juro composto;

• Entender taxa de juro e juro como função de proporcionalidade directa do capital e do tempo;

• Expressar individualmente as componentes capital, tempo e taxa;

• Calcular taxas referidas a períodos diferentes;

• Aplicar o Método dos Divisores Fixos;

• Efectuar cálculos das grandezas mencionadas de forma expedita e prática.

Temas

1. Noções relativas ao juro simples

2. Expressão algébrica do juro simples

3. Expressões algébricas do capital, tempo e taxa

4. Processos práticos para cálculo de juros

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

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IV

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Neste capítulo vamos estudar a forma como os factores capital, tempo e taxa de juro se interligam.

Conforme referido no capitulo anterior sempre que recorremos a um empréstimo ou efectuamos uma aplicação estamos a incorrer em juros, no caso do empréstimo pagamos juros, no caso da aplicação recebemos juros.

Assim, serão tratadas as formas de cálculo destes mesmos juros e a caracterização das suas componentes individuais.

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IV 85

1. NOÇÕES RELATIVAS AO JURO SIMPLES

Existe mais do que um regime para calcular o valor dos juros a pagar ou a receber, dependendo dos valores de base para o cálculo:

• Regime de Juro Simples;

• Regime de Juro Composto.

Assim no regime de juro de juro simples, os juros são sempre calculados sobre o valor inicialmente aplicado ou emprestado.

No regime de juro composto em que os juros incidem sobre capital e juro que vai sendo gerado em cada momento.

Vamos aprofundar o estudo do regime de Juro Simples

Se dispuser de um valor para aplicar de 100 u.m. e os colocar no banco, ao fim de um ano pressuponha que recebe 5 u.m.. Poderá dispor imediatamente destas 5 u.m. e os 100 u.m. iniciais continuarão a render juros.

Se não utilizar as 5 u.m. não terá qualquer rendimento adicional porque não serão incluídas no montante aplicado.

No regime de juro composto no segundo ano os juros seriam calculados sobre o valor inicial acumulado com o valor dos juros gerados no primeiro ano.

No regime de juro simples somente o capital inicial produz juros durante toda a vida da transacção

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IV

86

2. EXPRESSÃO ALGÉBRICA DO JURO SIMPLES

Se em 1/1/98 aplicamos um capital 100 u.m. e em 31/12/98 temos um capital de 108 u.m. podemos dizer que durante o ano de 1998 o capital de 100 u.m. gerou um juro de 8 u.m., decorrendo que:

Juro = Capital Acumulado – Capital Inicial

De outra forma podemos expressar o juro em função do capital inicial, do prazo decorrido e da taxa a que esteve aplicado:

Juro = Capital Inicial x Taxa de juro x Prazo ou Tempo

No exemplo temos uma taxa de 8% para um ano completo.

Exercício 1

O senhor Joaquim emprestou ao senhor António 500.000 u.m., ao fim de um ano o Sr. António pagou ao Sr. Joaquim 550.000 u.m..

1. Quanto pagou de juros o Sr. António?

Juro = 550.000 - 500.000 = 50.000

2. Qual a taxa de juro cobrada?

Taxa de juro = 50.000 / 500.000 = 0,10 = 10%

3. E se o prazo tivesse sido de meio ano, qual era o montante de juros que o Sr. António pagaria?

Juro = 500.000 x 0,10 x ½ = 25.000

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IV 87

Exercício 2 Aplicou-se um capital de 100 u.m. à taxa anual de 15%.

Qual o juro produzido no 1º e 3º ano?

Juro = Capital x taxa de juro x prazo

Juro = 100 x 0,15 x 1 = 15

Desde que a taxa de juro aplicada seja a mesma, os juros são constantes, logo o juro do 3º ano é igual ao do 1º ano.

Exercício 3

Calcular os juros produzidos pelos seguintes valores:

Por um capital de 100 u.m. durante 4 anos à taxa anual de 15,5%.

100 x 0,155 x 4 = 62

Por um capital de 25 u.m. durante 3 anos e 6 meses à taxa anual de 16%.

25 x ( 3 + 6 / 12 ) x 0,16 = 14

Por um capital de 33 u.m. durante 4 meses à taxa anual de 17,5%.

3 x 4 x ( 0,175 / 12 ) = 1,925

Por um capital de 50 u.m. durante 190 dias à taxa anual de 16,5%.

50 x 190 x (0,165 / 365 ) = 4,29452

Por um capital de 70 u.m. durante 10 meses à taxa semestral de 14%.

70 x 10 x ( 0,14 / 6 ) = 16,333(3)

Por um capital de 20 u.m. durante 9 semestres à taxa quadrimestral de 12,5%.

20 x ( 9 x 6 ) x ( 0,125 / 4 ) = 33,75

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IV

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3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO CAPITAL, TEMPO E TAXA

Os factores tempo, capital e juro são conhecidos e usualmente tratados nos negócios e nas relações económicas, vamos por isso aprofundar o seu estudo.

C C+J

0 i 1 t

Sabendo que:

C - Capital Inicial

J - Juro gerado durante um momento à taxa i

t - número de momentos ou períodos da aplicação

J = C x i x 1

Logo podemos expressar cada uma destas variáveis em função das outras:

Juro C = Capital = -------------------- taxa x tempo Juro i = taxa = ------------------- Capital x tempo Juro t = tempo = ------------------- Capital x Taxa

Capital (C)

Capital é todo o conjunto de meios líquidos (moeda) cedidos durante um determinado espaço de tempo, temporária ou definitivamente, produzindo uma certa remuneração para o seu possuidor ou proprietário.

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O Capital Inicial é o valor entregue ou utilizado no momento t , é este o capital que vai vencer juros durante os n períodos, a duração destes períodos é de uma unidade de taxa, são n anos, ou n semestres ou n trimestres.

No momento (T+1), ou seja após ter decorrido um período de taxa de juro o capital C transformou-se em (C+J).

A expressão

Juro

Capital = --------------------

taxa x tempo

permite-nos apurar o valor do capital aplicado desde que conheçamos o valor de juro produzido, a taxa de juro aplicada e o prazo decorrido.

Exercício 1

Um capital aplicado à taxa anual de 18% durante 3 anos e 4 meses, rendeu 120.000 u.m. de juro.

Calcular o capital aplicado.

J = C x i x t J C = ------------ i x t 120.000 C = -------------------------------- = 200.000 u.m. 4 0,18 x ( 3 + -----) 12

Tempo (t)

Tempo é o prazo durante o qual o capital é aplicado, será dividido em parcelas mais ou menos longas em função da taxa à qual é referida a remuneração do capital.

A cada uma destas parcelas, denomina-se período.

O período pode ser anual, semestral, trimestral, etc., consoante a unidade de tempo for o ano, o semestre ou o trimestre.

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Exercício 2

Um capital de 120.000 u.m. aplicado em regime de juro simples à taxa trimestral de 2% produziu um juro de 10.400 u.m..

Calcular quantos meses esteve aplicado o referido capital.

J = C x i x t

J t = --------------- C x i 10.400 t = ------------------------ 120.000 x 0,02

t = 4, 333(3) trimestres ⇒ meses = 4,3333(3) x 3 = 13 meses

Taxa de juro (i)

Taxa de juro é o acréscimo sofrido por uma unidade de capital que esteja aplicada durante uma unidade de tempo.

Em termos práticos a taxa de juro é referida a 100 unidades de capital pois é apresentada em termos de percentagem, representa o rendimento de 100 unidades de capital aplicado durante uma unidade de tempo, ou seja, dizer que a taxa de juro é de 20% ao ano significa que durante um ano 100 unidades de capital produzem 20 unidades do mesmo sob a forma de juro.

Exercício 3

Um capital de 304 u.m. aplicado a uma determinada taxa anual durante 25 trimestres produziu um juro de 190 u.m.. Calcular a taxa anual.

J = C x i x t

J i = ------------ i x t

190 i = -------------- = 0,025 = 2,5% (taxa trimestral) 304 x 25

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IV 91

Para passar de taxa trimestral para taxa anual

Quantos trimestres cabem num ano ?

12/3 = 4, logo uma taxa anual será igual a uma taxa trimestral multiplicada por 4:

Taxa anual = 0,025 x 4 = 0,10 = 10%

Quando o período da taxa não corresponde ao período das aplicações surgem situações de:

• Capitais que vencem juros a uma taxa anual e são aplicados durante m meses,

• Capitais que vencem juros a uma taxa anual e são aplicados durante d dias.

A Adequação da Taxa de Juro ao Período de Cálculo

Se o tempo está expresso em meses:

m t = ------- 12

em que m é o número de meses em que o capital está aplicado, logo

Expressão que permite calcular o juro acumulado durante m meses pelo capital Co em regime de juro simples e à taxa anual i

m Jt = ------ x Co x i , ou

12

Co x i x m Jt = ----------------

1.200

Exercício 4

Calcular o juro vencido por um capital de 200 u.m. durante o período de 5 meses aplicado em regime de juro simples e à taxa de 21%.

200 x 21 x 5 J 5/12 = ---------------------- = 17,5 u.m. 1.200

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IV

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Se o tempo está expresso em dias:

d d

t = ------- ( ano civil) ou t = ----------- (ano comercial)

365 360

em que d é o número de dias em que o capital está aplicado, logo

Expressão que permite calcular o juro acumulado durante d dias pelo capital Co em regime de juro simples e à taxa anual i ( o ano civil é o mais utilizado):

d Jt = ----------- x Co x i , ou 365 Co x i x m t = ---------------- 36.500

Exercício 5

Calcular o juro vencido por um capital de 300 u.m. durante o período de 130 dias aplicado em regime de juro simples e à taxa de 20%.

300 x 20 x 130 J 130/365 = ---------------------- = 21,37 u.m. 36.500

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IV 93

4. PROCESSOS PRÁTICOS PARA CÁLCULO DOS JUROS

O Método dos Divisores Fixos

Normalmente utilizado pelas instituições bancárias para calcular os juros sobre os capitais emprestados ou sobre os capitais aplicados.

Principio do método - Efectua a decomposição da fórmula dos juros em dois factores:

1. factor composto pelos elementos variáveis da fórmula - denominado NÚMERO = N (Capital e Tempo)

2. factor composto pelos elementos fixos da fórmula - denominadoDivisor = D (taxa de juro i constante)

Co x i x t i

J = ---------------- ou J = Co x t x ----------

36.500 36.500 1 N ou ainda J = N x ------ donde J = -------- D D

Como o N é variável virá:

∑=

t

1i

iN t

J = ----------------

D

Em que D = 36.500 / i e N = Co x t

Page 100: Manual Formando

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IV

94

Em anexo são apresentados os Divisores Fixos para as taxas de 0,5% a 30%.

Exercício 1

Consideremos o seguinte extracto de conta da empresa W junto do Banco Q, como o seu saldo é sempre negativo, esta empresa tem negociado um descoberto autorizado com juros à taxa de 10% ao ano, sendo os juros pagos mensalmente.

Efectue os cálculos para os juros a apagar no mês em causa utilizando o Método dos Divisores Fixos.

Data Operação Débito Crédito Saldo

1 Saldo inicial - - -1.000

5 Levantamento - 5.000 -6.000

12 Depósito 1.000 - -5.000

31 Levantamento - 550 -5.550

Em primeiro lugar temos que construir uma nova tabela com mais duas colunas em que vamos calcular o número de dias de duração de cada saldo ou entre cada variação de saldos e os respectivos Números (é obtida pelo produto com sinal positivo das colunas dias e saldo):

Data Operação Debito Crédito Saldo Dias Numero

1 Saldo Inicial - - -1.000 4 4.000

5 Levantamento - 5.000 -6.000 7 42.000

12 Depósito 1.000 - -5.000 19 95.000

31 Levantamento - 550 -5.550 - -

Total 141.000

Em segundo lugar vamos calcular o D

36.500 365 D = ----------------- = 3.650 ou D = -------------- = 3.650 10 0,10

Em terceiro lugar vamos calcular o valor dos juros J

141.000 J = ------------------ = 38,63 3.650

Page 101: Manual Formando

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IV 95

Exercício 2

Utilizando o método dos divisores fixos resolva o seguinte problema:

Considere-se um contrato de empréstimo em conta corrente, vencendo juros à taxa anual de 10%, em que a entidade financiada dispõe do valor máximo de 1000 u.m., podendo fazer amortizações e utilizações de modo que o saldo não ultrapasse esse valor autorizado.

Os juros são contados trimestralmente e, no primeiro trimestre, verifica-se o seguinte:

• utilização inicial de - 500 u.m.

• pagamento ao fim de 15 dias - 100 u.m.

• pagamento ao fim de 35 dias - 250 u.m.

• utilização ao fim de 50 dias - 300 u.m.

• utilização ao fim de 60 dias - 200 u.m.

• pagamento ao fim de 90 dias - 125 u.m.

Pretende-se determinar os juros devidos ao fim do primeiro trimestre (que, para efeitos de simplificação, supomos ser de 90 dias).

Utilizações +500 +300 +200

Pagamentos -100 -250 -125

Saldo +500 +400 +150 +450 +650 +525

--------- --------- -------- --------- --------- ---------

Momento 0 15 35 50 60 90 dias

Cálculo dos juros pela fórmula normal:

500 x 0,10 x 15 400 x 0,10 x 20 150 x 0,10 x 15 450 x 0,10 x 10 J = --------------------- + ----------------------- + --------------------- + ----------------- 365 365 365 365

650 x 0,10 x 30 + ---------------------- = 11, 438 u.m. 365

Page 102: Manual Formando

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IV

96

Utilizando o método dos Divisores Fixos vem:

D = 365 / 0,10 = 3.650

1 J = ----------- ( 500 x 15 + 400 x 20 + 150 x 15 + 450 x 10 + 650 x 30 ) = 3650

= 11.438 u.m.

Ou ainda podemos recorrer a um folha de cálculo para efectuar a seguinte tabela:

Capitais Prazos Números Comerciais

Cp np (dias) Np = Cp x np

500 15 7500

400 20 8000

150 15 2250

450 10 4500

650 30 19500

41750

0,10 J = -------- x 41.750 = 11,438 u.m. 365

Sabendo que:

J = Juro

C = Capital

i = Taxa

n = prazo da aplicação ou empréstimo

A fórmula geral para cálculo de Juro é:

J = C x i x n

Page 103: Manual Formando

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IV 97

Exercício 3

Temos um capital de 1.000 u.m. aplicado no banco XPTO, por um ano, à taxa de juro de 4%, qual juro anual:

J = 1.000 x 0,04 x 1 = 40 u.m.

C - Capital

J

C = --------

i x n

Exercício 4

Sabendo que o Banco XPTO entregou de juros ao Senhor Alquimista a importância de 600 u.m., considerando uma taxa de 4% ao ano e ainda que o prazo da aplicação foi de um ano, Qual era o capital aplicado?

600

C = ----------------- = 15.000 u.m. 0,04 x 1

i = Taxa de Juro

J

i = ------------

C x t

Page 104: Manual Formando

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IV

98

Exercício 5

Voltemos ao nosso exemplo anterior e consideremos que os juros de 600 u.m. se referiam ao rendimento de uma aplicação pelo prazo de um ano de um capital de 12.500 u.m.. Qual era a taxa de juro aplicada?

600 i = -------------------- = 0,048 = 4,8 %

12.500 x 1

t - Tempo / prazo

J

t = -------------

C x i

Exercício 6

Sabendo que a utilização de um empréstimo de 10.000 u.m. obrigou a um pagamento de juros de 250 u.m. e que a taxa de juro é de 5% ao ano calcule o tempo em que esta utilização se verificou.

250 t = ------------------ = 0,5 ou seja meio ano o que equivale a um semestre 10.000 x 0,05

Page 105: Manual Formando

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IV 99

5. RESUMO

Existe mais do que um regime para calcular o valor dos juros a pagar ou a receber, dependendo dos valores de base para o cálculo:

• Regime de Juro Simples

• Regime de Juro Composto

Assim no regime de juro de juro simples, os juros são sempre calculados sobre o valor inicialmente aplicado ou emprestado.

No regime de juro composto em que os juros incidem sobre capital e juro que vai sendo gerado em cada momento.

Expressão algébrica do juro simples

Os factores tempo, capital e juro são conhecidos e usualmente tratados nos negócios e nas relações económicas, considerando:

C C+J

0 i 1 t

Sabendo que:

C - Capital Inicial

J - Juro gerado durante um momento à taxa i

t - número de momentos ou períodos da aplicação

J = C x i x 1

Juro = Capital Acumulado - Capital Inicial

Juro = Capital Inicial x taxa de juro x prazo

Juro => J = C x i x t

Page 106: Manual Formando

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IV

100

Expressão algébrica do capital

J

Capital => C = ----------

i x t

Expressão algébrica da taxa de juro

J

taxa de juro => i = --------

C x t

Expressão algébrica do tempo

J

tempo => t = --------

C x i

Expressão que permite calcular o juro acumulado durante m meses pelo capital Co em regime de juro simples e à taxa anual i

m Jt = ------ x Co x i , ou 12 Co x i x m Jt = ---------------- 1.200

Expressão que permite calcular o juro acumulado durante d dias pelo capital Co em regime de juro simples e à taxa anual i ( o ano civil é o mais utilizado):

d Jt = ----------- x Co x i , ou 365 Co x i x m t = ---------------- 36.500

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IV 101

O Método dos Divisores Fixos

Principio do método - Efectua a decomposição da fórmula dos juros em dois factores:

1. factor composto pelos elementos variáveis da fórmula - denominado NÚMERO = N (Capital e Tempo)

2. factor composto pelos elementos fixos da fórmula – denominado Divisor = D (taxa de juro i constante)

Co x i x t i

J = ---------------- ou J = Co x t x ----------

36.500 36.500

1 N

ou ainda J = N x ------ donde J = -------- D D

Como o N é variável virá:

∑=

t

1i

iN

J = ----------------

D

Em que D = 36.500 / i e N = Co x t

Page 108: Manual Formando

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IV

102

Anexo

DIVISOR FIXO (D)

Taxa D Taxa D Taxa D

0,5% 73.000,000 10,5% 3.476,190 20,5% 1.780,488

1,0% 36.500,000 11,0% 3.318,182 21,0% 1.738,095

1,5% 24.333,333 11,5% 3.173,913 21,5% 1.697,674

2,0% 18.250,000 12,0% 3.041,667 22,0% 1.659,091

2,5% 14.600,000 12,5% 2.920,000 22,5% 1.622,222

3,0% 12.166,667 13,0% 2.807,692 23,0% 1.586,957

3,5% 10.428,571 13,5% 2.703,704 23,5% 1.553,191

4,0% 9.125,000 14,0% 2.607,143 24,0% 1.520,833

4,5% 8.111,111 14,5% 2.517,241 24,5% 1.489,796

5,0% 7.300,000 15,0% 2.433,333 25,0% 1.460,000

5,5% 6.636,364 15,5% 2.354,839 25,5% 1.431,373

6,0% 6.083,333 16,0% 2.281,250 26,0% 1.403,846

6,5% 5.615,385 16,5% 2.212,121 26,5% 1.377,358

7,0% 5.214,286 17,0% 2.147,059 27,0% 1.351,852

7,5% 4.866,667 17,5% 2.085,714 27,5% 1.327,273

8,0% 4.562,500 18,0% 2.027,778 28,0% 1.303,571

8,5% 4.294,118 18,5% 1.972,973 28,5% 1.280,702

9,0% 4.055,556 19,0% 1.921,053 29,0% 1.258,621

9,5% 3.842,105 19,5% 1.871,795 29,5% 1.237,288

10,0% 3.650,000 20,0% 1.825,000 30,0% 1.216,667

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IV 103

6. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Um capital de 400.000 u.m. foi aplicado durante um prazo de seis anos, à taxa de juro de 2% trimestral.

1. Qual a taxa anual?

2. Qual o rendimento produzido por aquele capital durante o prazo da aplicação.

Exercício 2

O senhor Gil contraiu um empréstimo de 4.500.000 u.m. para compra de uma viatura, tendo-se comprometido a liquidar juros trimestrais de 101.250,00 u.m., a que taxa anual foi o empréstimo contraído.

Exercício 3

Uma entidade investiu 1.000 u.m. durante 3 anos, em regime de juro simples, à taxa de 10% ao ano.

Pretende-se calcular:

1. O valor acumulado no fim do prazo;

2. O juro total produzido pelo investimento;

3. O juro produzido no último ano do investimento.

Exercício 4

Uma entidade investiu 1.000 u.m. durante 3 anos, em regime de juro simples, à taxa de 2,5% ao trimestre.

Pretende-se calcular:

1. O valor acumulado no fim do prazo;

2. O juro total produzido pelo investimento;

3. O juro produzido no último período do investimento.

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IV

104

Exercício 5

Aplicou-se um capital de 380.000 u.m. durante 3 anos à taxa de 7%.

Determinar:

1. O juro periódico.

2. O valor total a receber no final dos três anos.

3. O juro total.

Exercício 6

Calcular a taxa de juro anual a que foi aplicado um capital de 125.000 u.m., sabendo que ao fim de três anos e três meses o investidor obteve um capital acumulado de 130.500 u.m.

Exercício 7

Um capital de 31.000.000 u.m. aplicado a uma determinada taxa anual durante 25 trimestres produziu um juro de 17.437.500 u.m..

Calcule a taxa anual.

Exercício 8

Calcule o número de anos de aplicação necessários para que um capital de 15.000.000 u.m., aplicado à taxa de 7,5% ao ano, se transforme num capital acumulado de 20.625.000 u.m..

Exercício 9

Determine, utilizando o método dos divisores fixos o juro obtido pelo Sr. Fernando Silva na sua conta de depósitos à ordem, que apresentou os seguintes saldos durante o ano de 1997, sabendo que a taxa de remuneração obtida junto do Banco “Poupe Milhões” é de 4% ao ano:

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IV 105

Data Descrição Débito Crédito Saldo

01-Jan Saldo Inicial 100.000

29-Fev Deposito 200.000 300.000

20-Mar Cheque 150.000 150.000

31-Mar Transferencia 7.000 143.000

05-Mai Cheque 25.000 118.000

20-Jun Cheque 50.000 68.000

02-Jul Deposito 300.000 368.000

10-Ago Cheque 75.000 293.000

15-Set Deposito 300.000 593.000

05-Nov Cheque 10.000 583.000

31-Dez Saldo Final 583.000

Page 112: Manual Formando

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IV

106

7. RESOLUÇÕES

Exercício 1

1. 12 / 3 = 4

i anual = i trimestral x 4

0,02 x 4 = 0,08 = 8%

2. Juro = J = 400.000 x 0,02 x 24 = 192.000 utilizando a taxa trimestral, ou

Juro = J = 400.000 x 0,08 x 6 = 192.000 utilizando a taxa anual.

Exercício 2

Co = 4.500.000

J trimestral = 101.250

101.250 Taxa de juro trimestral = i trimestral = ----------------- = 0,0225

4.500.000

Taxa de juro anual = i anual = i trimestral x 4 = 0,00225 x 4 = 0,09 = 9%

Exercício 3

1. O valor acumulado no fim do prazo;

Cn = 1.000 x (1 + 0,1 x 3 ) = 1.300 u.m.

Page 113: Manual Formando

IV. REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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IV 107

2. O juro total produzido pelo investimento;

J = Cn - Co = 1.300 - 1.000 = 300

ou

J = 1.000 x 0,1 x 3 = 300

3. O juro produzido no último ano do investimento.

Juro no último ano é igual ao juro de qualquer um dos anos:

J = 1.000 x 0,1 = 100

Exercício 4

1. Calcular o valor acumulado no fim do prazo.

Cn = 1.000 x ( 1 + 0,025 x ( 3 x 4 )) = 1.300

2. Calcular o juro total produzido pelo investimento.

J = 1.000 x 0,025 x ( 3 x 4 ) = 300

ou

J = 1.300 - 1.000 = 300

3. Calcular o juro produzido no último período do investimento.

Juro último período = Juro qualquer período = 1.000 x 0,025 = 25

Exercício 5

1. Cálculo do juro periódico

J = 380.000 x 0,07 = 26.600

2. Cálculo do valor total a receber no final dos três anos

Cn = 380.000 x ( 1 + 0,07 x 3 ) = 459.800

Page 114: Manual Formando

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IV

108

3. Cálculo do juro total

Juro total = 3 x Juro periódico = 3 x 26.600 = 79.800 ou

Juro total = 380.000 x ( 0,07 x 3 ) = 79.800

Exercício 6

t = 3 anos e três meses = 3 x 12 + 3 = 39 meses

Cn = 130.500

Co = 125.000

Juro total = 130.500 - 125.000 = 5.500

5.500 = 125.000 x i x 39

5.500 i mensal = -------------------------- = 0,00113

125.000 x 39

i anual = 0,00113 x 12 = 0,01356 = 1,356%

Exercício 7

Co = 31.000.000

i anual = ?

t = 25 trimestres

J = 17.437.500

17.437.500 = 31.000.000 x i trimestral x 25

17.437.500 i trimestral = ----------------------- = 0,0225

31.000.000 x 25

i anual = 0,0225 x 4 = 9%

Page 115: Manual Formando

IV. REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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IV 109

Exercício 8

Co = 15.000.000

i = 7,5%

t = ?

Cn = 20.625.000

Pela fórmula do Juro

20.625.000 - 15.000.000 = 15.000.000 x 0,075 x t

5.625.000 t = --------------------------------

15.000.000 x 0,075

t = 5 anos

Pela fórmula do capital acumulado

20.625.000 = 15.000.000 x ( 1 + 0,075 x t )

20.625.000 = 15.000.000 + 1.125.000 t

20.625.000 - 15.000.000 = 1.125.000 t

5.625.000 = 1.125.000 t

5.625.000 t = -------------------------

1.125.000

Page 116: Manual Formando

IEFP IV. REGIME DE JUROS SIMPLES

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IV

110

Exercício 9

Data Saldo Numero Números

Dias Comerciais

01-jan 100.000 58 5.800.000

28-fev 300.000 20 6.000.000

20-mar 150.000 11 1.650.000

31-mar 143.000 35 5.005.000

05-mai 118.000 46 5.428.000

20-jun 68.000 12 816.000

02-jul 368.000 39 14.352.000

10-ago 293.000 36 10.548.000

15-set 593.000 51 30.243.000

05-nov 583.000 56 32.648.000

31-dez

Total 112.490.000

0,04 Juro = ------------ x 112.490.000 = 12.327,67

365

Page 117: Manual Formando

CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES

Page 118: Manual Formando
Page 119: Manual Formando

V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES IEFP

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V 113

Objectivos

No final desta unidade temática, o formando deve estar apto a:

• Distinguir actualização de capitalização;

• Deduzir a expressão algébrica do valor acumulado;

• Resolver problemas em que a incógnita seja uma das diversas grandezas da fórmula de capitalização, nomeadamente:

Capital Inicial e Acumulado;

Juro;

Prazo.

Temas

1. Expressão algébrica do capital acumulado

2. Expressões algébricas decorrentes

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

Page 120: Manual Formando

IEFP V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES

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V

114

Neste capítulo vamos estudar a capitalização em regime de juros simples, isto é como se equacionam as diversas grandezas, capital, taxa de juro e tempo nesse regime.

O vencimento de juro, ou seja o incremento crescente e progressivo do valor de um capital, à medida que o tempo vai decorrendo, representa a capitalização.

Capitalizar é o processo de acumulação de capital ou de produção de juros.

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V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES IEFP

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V 115

1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA DO CAPITAL ACUMULADO

Um capital hoje cedido no valor de (Co) permitirá que decorrido um prazo n se disponha de um capital no valor de (Cn), sendo que Cn é maior que Co.

Assim vamos passar a considerar a seguinte nomenclatura:

Cn - Valor capitalizado de Co

Co - Capital Inicial

Cn - Co - Esta diferença toma o nome de capitalização, ou seja o Juro

i - Taxa de capitalização, representa o aumento apresentado por uma unidade de capital capitalizado durante uma unidade de tempo

m - período de taxa - unidade de tempo em que a unidade de capital está a ser capitalizada.

Já foi analisado anteriormente que no regime e juro simples que estamos a estudar, o capital é constante no inicio de cada período, logo se as taxas forem constantes, será constante o juro vencido em cada período, logo teremos

jo

i = ------- constante

Co

Se tivermos aplicado um capital de 80.000 u.m. durante um ano e obtivermos o juro de 14.000 u.m. poderemos calcular a taxa de juro a que esteve aplicado pela fórmula apresentada:

14.000

i = ------------- = 0,175 = 17,5% ao ano

80.000

Coloca-se a questão de calcular os juros para situações em que o período da aplicação não é unitário.

Consideremos que:

• Co - Capital aplicado no momento 0

• Cn - Capital acumulado no momento n

• i - taxa de juro para o período

• n - número de períodos , começa no 1 e termina no n (1,2,3......n)

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V

116

• J1 - Juro do momento 1

• J2 - Juro do momento 2

• J3 - Juro do momento 3

• Jn - Juro do momento n

• J1 = Co x i x 1

• J2 = Co x i x 2

• J3 = Co x i x 3

• ..

• Jn = Co x 1 x n

• Cn = Co + J1 + J2+ J3 +.....+Jn

• Cn = Co + Co x i x 1 + Co x i x 2 + Co x i x 3 +.......+ Co x i x n

• Cn = Co ( 1+ i x n )

Fórmula geral de capitalização em regime de juro simples que nos permite relacionar o capital no momento 0 com o capital no momento n.

Cn = Co x ( 1+ i x n )

Exercício 1

Aplicando um capital de 180.000 u.m. durante quatro anos à taxa anual de 15%.

Qual será o valor dos juros anuais?

E dos juros acumulados?

E o capital acumulado no final dos quatro anos se não forem levantados os juros entretanto vencidos anualmente?

Juro anual = J = 180.000 x 0,15 = 27.000

Juros acumulados = 180.000x0,15 x 4 = 108.000

Capital acumulado = 180.000 + 108.000 = 288.000

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V 117

Exercício 2

Um capital de 600 u.m. foi aplicado à taxa de 21% por 5 anos.

Calcular o capital acumulado no final do prazo.

Resolução:

600 x ( 1 + 0,21 x 5 ) = 1.230

Determinar os juros vencidos durante o mesmo período

Pela fórmula da diferença dos capitais:

J = Cn - Co

J = 1.230 - 600 = 630

Pela fórmula do juro:

J = Co x i x n

J = 600 x 0,21 x 5 = 630

Page 124: Manual Formando

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V

118

2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DECORRENTES

Capital Inicial

Sendo Cn = Co x ( 1 + i x t )

resolvendo em ordem a Co

Cn

Co = ------------------

( 1 + i x t )

Exercício 1

Sabendo que o capital acumulado de 288.000 u.m. resultava da aplicação durante 4 anos à taxa de 15% de um determinado capital. Qual tinha sido esse capital?

288.000

Co = -------------------- = 180.000 u.m.

( 1 + 0,15 x 4 )

Exercício 2

Um capital aplicado à taxa de 20% transformou-se ao fim de 3 anos no valor acumulado de 448, qual foi o capital inicialmente aplicado?

Resolução:

Se Cn = Co x ( 1 + i x n ) , então

Cn

Co = --------------------

1 + i x n

448

Co = -------------------- = 280

1 + 0,20 x 3

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V 119

Juro

Sabendo que Cn = Co x ( 1 + j x i )

J = Cn - Co

J = Co x i x t

Exercício 3

Se soubéssemos apenas que um capital de 180.000 u.m. esteve aplicado durante 4 anos à taxa de 15% ao ano.

Poderíamos saber o valor dos juros gerados:

J = 180.000 x 4 x 0,15 = 108.000 u.m.

Se soubéssemos ainda que o capital acumulado era de 288.000 u.m..

Os juros poderiam decorrer de:

J = 288.000 - 180.000= 108.000 u.m.

O juro anual é 108.000/ 4 = 27.000

Taxa de Juro

Pela expressão do capital Acumulado

Cn = Co x ( 1 + i x t )

Cn - Co

i = -----------------

n x Co

Pela Razão dos Juros

Jn = Co x i x n

Jn

i = ------------

Co x n

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V

120

Exercício 6

Sabendo que o capital acumulado de 288.000 u.m. resultava da aplicação durante 4 anos à taxa i de um capital de 180.000. Qual tinha sido essa taxa?

J = 288.000 - 180.000 = 108.000

108.000 288.000 - 180.000

i = ----------------- ou i = ---------------------------

180.000 x 4 180.000 x 4

i = 0,15 = 15%

Exercício 7

Um capital de 250 aplicado transformou-se ao fim de 3 anos num valor acumulado de 385, a que taxa esteve aplicado?

Resolução:

Pela fórmula do capital acumulado:

Cn = Co x (1 + i x n )

Cn = Co + Co x i x n

Cn - Co

i = ---------------------

Co x n

385 - 250

i = ------------------ = 0,18 = 18 %

250 x 3

Page 127: Manual Formando

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V 121

Pela razão dos juros

Jn

i = --------------

Co x n

. 135

i = ------------- = 0,18 = 18%

5 x 250

Prazo da Aplicação

Pela expressão do capital Acumulado

Cn = Co x ( 1 + i x t )

Cn - Co

n = -----------------

i x Co

Pela Razão dos Juros

Jn = Co x i x n

Jn

n = ------------

Co x i

Page 128: Manual Formando

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V

122

Exercício 8

Sabendo que o capital acumulado de 288.000 u.m. resultava da aplicação durante n anos à taxa de 15% ao ano, de um capital de 180.000. Qual era o número de anos?

J = 288.000 - 180.000 = 108.000

108.000 288.000 - 180.000

n = ----------------- ou n = ---------------------------

180.000 x 0,15 180.000 x 0,15

n = 4 anos

Exercício 9

Um capital de 120 u.m. aplicado à taxa anual de 15% transformou-se ao fim de n períodos no valor acumulado de 192 u.m..

Calcular o número de períodos de aplicação.

Resolução:

Pela fórmula do capital acumulado:

Cn = Co x ( 1 + i x t )

Cn

( 1 + i x n ) = ------

Co

Cn - Co

n = ------------------

i x Co

192 - 120

n = ------------------ = 4 anos

0,15 x 120

Page 129: Manual Formando

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V 123

Pela fórmula do juro :

Jn = n x Co x i

Jn

n = --------------

Co x i

192 - 120

n = ----------------- = 4 anos

120 x 0,15

Exercício 10

Uma entidade tinha disponível o capital de 4.000 u.m. que aplicou em regime de juro simples durante o prazo de uma ano em três modalidades distintas para dividir os seus riscos, e todas à mesma taxa de juro.

Ao fim do prazo de aplicação recebeu os seguintes valores acumulados:

1ª modalidade : 1.380 u.m.

2ª modalidade : 1.150 u.m.

3ª modalidade : 2.070 u.m.

Pretende-se determinar:

1. valor aplicado em cada modalidade;

2. A taxa de remuneração aplicada.

Resolução:

Vamos atribuir aos capitais desconhecidos as letras A, B e C e à taxa aplicada desconhecida a letra w, as equações que temos que resolver são:

A + B + C = 4.000

A ( 1 + w ) = 1.380

B ( 1 + w ) = 1.150

C ( 1 + w ) = 2.070

Page 130: Manual Formando

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V

124

De outra forma podemos escrever:

A + B + C = 4.000

1.380

A = ---------------

( 1 + w)

1.150

B = ---------------

( 1 + w)

2.070

C = ---------------

( 1 + w)

Substituindo na primeira equação as expressões de A, B e C, teremos:

1.380 1.150 2.070

-------------- + ------------- + ------------- = 4.000

( 1 + w ) ( 1 + w ) ( 1 + w )

Resolvendo em ordem a ( 1 + w ), vem:

= 4.000 x ( 1 + w )

4.600

1 + w = ------------

4.000

w = 0,15 = 15%

Os capitais aplicados em cada modalidade foram :

1.380

A = --------------- = 1.200 u.m.

1 + 0,15

Page 131: Manual Formando

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V 125

1.150

B = --------------- = 1.000 u.m.

1 + 0,15

2.070

C = --------------- = 1.800 u.m.

1 + 0,15

Exercício 11

Uma divida de 2.000 u.m. vence juros simples às seguintes taxas anuais:

12% no 1º ano e 10% no 2º ano.

Pretende-se calcular o valor de cada pagamento a efectuas em cada uma das seguintes modalidades:

1. pagamento semestral de juros e reembolso do capital no fim do segundo ano.

2. reembolso do capital em quatro prestações semestrais e iguais, acrescidas dos juros vencidos.

3. pagamento de uma só vez, no fim do 2º ano, do valor do capital e respectivos juros.

Resolução:

Pagamento semestral de juros e reembolso do capital no fim do segundo ano:

Nesta situação o valor a pagar no semestre 1, 2 e 3 será só o valor dos juros, apenas no semestre 4 pagamos o valor do capital.

0,12

Semestre 1 : J = 2.000 x --------- = 120

2

0,12

Semestre 2 : J = 2.000 x ---------- = 120

2

0,10

Semestre 3 : J = 2.000 x ---------- = 100

2

Page 132: Manual Formando

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V

126

0,10

Semestre 4 : J = 2.000 x -------- = 100 e também reembolso de capital de 2.000 u.m

2

O pagamento será de 2.100 u.m.

Reembolso do capital em quatro prestações semestrais e iguais, acrescidas dos juros vencidos.

Nesta situação o valor a pagar em cada um dos semestres será uma parcela de capital e os juros do capital que fica em divida em cada semestre:

Cálculo da amortização de capital a pagar em cada semestre:

2.000

Amortização = ------------- = 500

4

0,12

Semestre 1 : J = 2.000 x -------- = 120

2

Amortização = 500

Pagamento = 620

0,12

Semestre 2 : J = 1.500 x --------- = 90

2

Amortização = 500

Pagamento = 590

0,10

Semestre 3 : J = 1.000 x ---------- = 50

2

Amortização = 500

Pagamento = 550

Page 133: Manual Formando

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V 127

0,10

Semestre 4 : J = 500 x ---------- = 25

2

Amortização = 500

Pagamento = 525

Este tipo de exercícios pode ser resolvido em folha de cálculo construindo-se uma tabela com o seguinte teor:

Semestre Capital em divida no inicio

Amortização de capital

Capital em divida no final

Taxa de juro Montante dos juros

Total a pagar

(1) (2) (3)=(1)-(2) (4) (5)=(3)x(4) (2) + (5)

1 2000 500 1500 0,12/2 120 620

2 1500 500 1000 0,12/2 90 590

3 1000 500 500 0,10/2 50 550

4 500 500 0 0,10/2 25 525

Pagamento de uma só vez, no fim do 2º ano, do valor do capital e respectivos juros

Nesta situação não haverá pagamentos nos semestres 1, 2 e 3, apenas no semestre 4 pagamos o valor do capital e a totalidade dos juros.

0,12

Semestre 1 Juros vencidos mas não pagos : J = 2.000 x -------- = 120

2

0,12

Semestre 2 Juros vencidos mas não pagos : J = 2.000 x --------- = 120

2

0,10

Semestre 3 Juros vencidos mas não pagos : J = 2.000 x -------- = 100

2

0,10

Semestre 4 Juros vencidos : J = 2.000 x --------- = 100

2

Page 134: Manual Formando

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V

128

Pagamento de todos os juros e do capital:

J = 120 + 120 + 100+ 100 = 440 u.m.

Capital = 2.000 u.m.

Total = 2.440 u.m.

Também para este exercício podemos elaborar uma folha de cálculo, construindo-se uma tabela com o seguinte teor:

Semestre Capital em divida no

inicio Amortização

de capital Capital em divida

no final Taxa de juro Montante dos juros

Total a pagar

(1) (2) (3)=(1)-(2) (4) (5)=(3)x(4)

1 2000 0 2000 0,12/2 120 0

2 2000 0 2000 0,12/2 120 0

3 2000 0 2000 0,10/2 100 0

4 2000 2000 0 0,10/2 100 2.440

Page 135: Manual Formando

V. CAPITALIZAÇÃO AO JURO SIMPLES IEFP

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V 129

3. RESUMO

O vencimento de juro, ou seja o incremento crescente e progressivo do valor de um capital, à medida que o tempo vai decorrendo, representa a capitalização.

Capitalizar é o processo de acumulação de capital ou de produção de juros.

Expressão algébrica do capital acumulado

Um capital hoje cedido no valor de (Co) permitirá que decorrido um prazo n se disponha de um capital no valor de (Cn), sendo que Cn é maior que Co.

Assim vamos passar a considerar a seguinte nomenclatura:

Cn - Valor capitalizado de Co

Co - Capital Inicial

Cn - Co - Esta diferença toma o nome de capitalização, ou seja o Juro

i - Taxa de capitalização, representa o aumento apresentado por uma unidade de capital capitalizado durante uma unidade de tempo

m - período de taxa - unidade de tempo em que a unidade de capital está a ser capitalizada.

Fórmula geral de capitalização em regime de juro simples que nos permite relacionar o capital no momento 0 com o capital no momento n.

Cn = Co x ( 1+ i x n )

Expressões Algébricas decorrentes

Capital Inicial

Sendo Cn = Co x ( 1 + i x t )

resolvendo em ordem a Co

Cn

Co = ------------------

( 1 + i x t )

Page 136: Manual Formando

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V

130

Juro

Sabendo que Cn = Co . ( 1 + j . i )

J = Cn - Co

J = Co x i x t

Taxa de Juro

Pela expressão do capital Acumulado

Cn = Co x ( 1 + i x t )

Cn - Co

i = -----------------

n x Co

Pela Razão dos Juros

Jn = Co x i x n

Jn

i = ------------

Co x n

Prazo da Aplicação

Pela expressão do capital Acumulado

Cn = Co x ( 1 + i x t )

Cn - Co

n = -----------------

i x Co

Page 137: Manual Formando

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V 131

Pela Razão dos Juros

Jn = Co x i x n

Jn

n = ------------

Co x i

Page 138: Manual Formando

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V

132

4. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Um capital de 1.500 u.m. esteve colocado, em regime de juro simples, durante um certo prazo, ao fim do qual produziu o valor acumulado de 1.800 u.m..

Calcule o prazo de colocação em cada uma das seguintes situações:

1. taxa quadrimestral de 5% (em meses);

2. taxa trimestral de 4% (em meses);

3. taxa bimestral de 2% (em meses);

4. taxa anual de 18,25% (em dias utilizando o ano civil).

Exercício 2

Considere um investimento de 5.000 u.m. em regime de juro simples e calcule o valor acumulado produzido nas seguintes condições, usando sempre o ano comercial:

1. Ao fim de 7 meses com juros contados à taxa anual de 10%;

2. Ao fim de um ano e meio com juros contados à taxa quadrimestral de 4%;

3. Ao fim de dois anos com juros contados à taxa trimestral de 2,5%.

Exercício 3

Considere um capital de 3.000 u.m. aplicado num regime de juro simples nas seguintes condições, e determine o valor acumulado obtido em cada uma das hipóteses:

1. Durante 170 dias à taxa mensal de 1%, usando o ano civil;

2. Durante 190 dias à taxa bimestral de 1.5%, usando ano civil;

3. Durante um ano à taxa semestral de 6%, usando o ano civil;

4. Durante 18 meses à taxa de 12% referida ao período de nove meses, usando o ano comercial.

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V 133

Exercício 4

Uma entidade tinha disponível o capital de 10.500 u.m. e decidiu aplicá-lo em regime de juro simples durante o prazo de seis meses em três modalidades distintas .

Ao fim do prazo de aplicação recebeu os seguintes valores acumulados:

1ª modalidade - 4.200 u.m., sendo os juros contados à taxa (i);

2ª modalidade - 5.275 u.m., sendo os juros contados à taxa ( i x 1,1);

3ª modalidade - 1.590 u.m., sendo os juros contados à taxa anual ( i x 1,2);

Pretende-se calcular:

1. o valor aplicado em cada modalidade sabendo que o da primeira representa 80% do valor da segunda;

2. as taxas remuneratórias anuais de cada modalidade.

3. a taxa média anual das aplicações.

Exercício 5

Uma divida de 4.000 u.m. vence juros simples ás taxas de 10% no 1º ano e 8% no 2º.

Pretende-se calcular o valor da cada pagamento a efectuar em cada uma das seguintes modalidades:

1. pagamento de uma só vez no final do 2º ano do valor do capital e respectivos juros;

2. pagamento semestral de juros e reembolso do capital no final do segundo ano;

3. reembolso do capital em 8 prestações trimestrais e iguais, acrescidas dos juros vencidos em cada trimestre.

Exercício 6

Luísa efectuou uma aplicação pelo prazo de 14 meses.

Se a efectuasse por 18 meses teria obtido mais 2% do capital aplicado.

Calcular a taxa de juro anual a que ocorreu a aplicação.

Page 140: Manual Formando

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V

134

5. RESOLUÇÕES

Exercício 1

1. taxa quadrimestral de 5% (em meses);

J = 1.800 - 1.500 = 300

0,05 300 = 1.500 x ----------- x t

4

t = 16 meses

2. taxa trimestral de 4% (em meses);

J = 1.800 - 1.500 = 300

0,04 300 = 1.500 x ----------- x t

3

t = 15 meses

3. taxa bimestral de 2% (em meses);

J = 1.800 - 1.500 = 300

0,02 300 = 1.500 x ----------- x t

2

t = 20 meses

Page 141: Manual Formando

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V 135

4. taxa anual de 18,25% (em dias utilizando o ano civil).

J = 1.800 - 1.500 = 300

0,1825 300 = 1.500 x ----------- x t

365

t = 400 dias

Exercício 2

1. 5.000 x ( 1 + ( (0,10 / 360) x ( 7 x 30 ) )) = 5.291,66(7)

2. 5.000 x ( 1 + ( 0,04 / (4 x 30) x (18 x 30) )) = 5.900

3. 5.000 x ( 1 + ( 0,025 / (3 x 30) x ( 2 x 12 x 30) )) = 6.000

Exercício 3

1. 3.000 x (1 + (0,01 x 12 x ( 170 / 365 ) ) ) = 3.167,67

2. 3.000 x (1 + (0,015 x 6 x ( 190 / 365 ) ) ) = 3.140,548

3. 3.000 x (1 + (0,06 x 2 ) ) = 3.360

4. 3.000 x (1 + (0,012 x 2 ) ) = 3.720

Page 142: Manual Formando

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V

136

Exercício 4

1. Vamos denominar por:

A - Valor aplicado na 1ª modalidade

B - Valor aplicado na 2º modalidade

C - Valor aplicado na 3ª modalidade

Equações a formular:

(1) A + B + C = 10.500

(2) A = 0,80 x B

(3) A = 4.200 / ( 1 + i )

(4) B = 5.275 / ( 1 + 1,1 i )

C = 3.710 / ( 1 + 1,2 i )

Com as equações (2), (3) e (4) vamos efectuar um sistema de três equações a três incógnitas e calcular o i, o B e o A:

i = 0,05

B = 5.000

A = 4.000

Conhecendo A e B podemos determinar C na equação (1)

C = 1.500

Page 143: Manual Formando

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V 137

2. 1ª modalidade : 5% ao semestre - 10 % ao ano

2º modalidade : 5% x 1,1 = 5,5 % ao semestre - 11% ao ano

3ª modalidade : 5% x 1,2 = 6% ao semestre - 12% ao ano

3. Capital aplicado 10.500

Juro = 4.200 + 5.275 + 1.590 - 10.500 = 565

565 = 10.500 x ( i semestral)

i semestral = 0,05381 = 5,381%

i anual = 0,10762 = 10,762%

Exercício 5

1. Juros 1º ano = 4.000 x (0,10) = 400

Juros 2º ano = 4.000 x (0,08) = 320

Valor a pagar no final do 2º ano = 4.000 + 400 +320 = 4.720

2. Semestre Juros Capital Pagamento

1 4.000 x 0,05 = 200 200 2 4.000 x 0,05 = 200 200 3 4.000 x 0,04 = 160 160 4 4.000 x 0,04 = 160 4.000 4.160

Page 144: Manual Formando

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V

138

3.

Trimestre Capital em divida

Pagamento capital Taxa Juro Juro a

pagar Pagamento

total

1 4000,0 500,0 2,50% 100,0 600,0 2 3500,0 500,0 2,50% 87,5 587,5 3 3000,0 500,0 2,50% 75,0 575,0 4 2500,0 500,0 2,50% 62,5 562,5 5 2000,0 500,0 2,00% 40,0 540,0 6 1500,0 500,0 2,00% 30,0 530,0 7 1000,0 500,0 2,00% 20,0 520,0 8 500,0 500,0 2,00% 10,0 510,0

Exercício 6

O prazo diferencial é de ( 18 - 14 ) 4 meses;

A taxa diferencial para este período é de 2%, logo a taxa anual é de :

0,02 / 4 x 12 = 0,06 = 6%

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CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

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VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VI 141

Objectivos

No final desta unidade temática o formando deve estar apto a:

• Distinguir actualização de capitalização;

• Deduzir a expressão algébrica do valor actual:

1. Identificar Desconto Por Fora;

2. Identificar Desconto por Dentro;

3. Comparar criticamente os resultados obtidos com cada um dos tipos de desconto;

4. Transformar taxas nominais em taxas efectivas;

• Resolver problemas em que a incógnita seja uma das diversas grandezas da fórmula de actualização, nomeadamente:

1. Capital Inicial e Acumulado;

2. Juro;

3. Prazo.

Temas

1. Expressão Algébrica do valor actual

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

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IEFP VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VI

142

Neste capítulo será abordado os empréstimos com juro antecipado e a expressão algébrica do valor actual.

Temos falado de aplicações ou empréstimos que vencem juros, juros estes recebidos ou pagos na sua data de vencimento.

Vamos agora estudar a realidade inversa, ou seja determinar o valor hoje de determinado capital cuja valorização está referenciada a uma data futura.

Surge assim a expressão Valor Actual, ou seja, é o valor hoje de um capital vencível no futuro.

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VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 143

1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA DO VALOR ACTUAL

Co C1=Co+J1 Ct

0 i 1 t

Sabendo que:

Co - Capital Inicial aplicado no momento 0

Ct - Capital acumulado no momento t

Ct = Co x ( 1 + i x t )

Ct

Co = -----------------

1 + ( i x t )

Diz-se que no momento zero (0), Co é o valor actual de Ct se aplicado à taxa i, produzir durante o prazo t um valor acumulado igual a Ct.

Co é o valor que se pagaria ou receberia se o capital Ct fosse liquidado no momento 0, ou seja o seu valor actualizado ou descontado para aquele momento.

Exercício 1

Um capital Co aplicado em regime de juro simples produziu ao fim de 2 anos e 73 dias o capital acumulado de 25.141,50. Sabendo que a taxa aplicada foi de 5% ao ano, calcule aquele capital.

Resolução:

Vamos utilizar a fórmula do Ct = Co x ( 1 + i x t )

Ct

Expressando em ordem a Co vem Co = --------------

( 1 + i x t )

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IEFP VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

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VI

144

25.141,50

Logo Co = ---------------------------------------

73

( 1 + 0,05 x ( 2 + ----------) )

365

De onde Co = 22.650 u.m.

Exercício 2

Um determinado capital Co aplicado à taxa anual i durante 25 meses produziu o capital acumulado de 25,340 u.m.

Se o mesmo capital estivesse aplicado à mesma taxa, mas durante 26 meses, o referido capital acumulado seria acrescido numa quantia correspondente a 0,75% do capital inicial.

Calcule o capital inicial e a taxa a que esteve aplicado.

Resolução:

Estamos perante duas realidades semelhantes sobre o mesmo Capital inicial ( Co) e com a mesma taxa ( i ) que são as nossas incógnitas:

Situação 1 Situação 2

Capital Inicial - Co - ? Capital Inicial - Co - ?

Taxa - i - ? Taxa - i - ?

Prazo = 25 meses Prazo = 26 meses

Capital Acumulado - Ct = 25.340 u.m.

Capital Acumulado - Ct = 25.340 u.m. + 0,0075 Co

Vamos ter um sistema de duas equações para resolver:

Da situação 1:

25

25.340 = Co x ( 1 + i x -------)

12

Page 151: Manual Formando

VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 145

Da situação 2:

26

25.340 + 0,0075 x Co = Co x ( 1 + i x ------)

12

Vamos equacionar a 1ª situação em ordem a Co e substituir Co na 2ª situação por esse valor:

25.340

Co = -----------------

1 + i x (25/12)

25.340

25.340 = (( 1 + i x (26/12) ) - 0,0075 ) x ------------------

1 + i x (25/12)

Dividindo ambos os membros por 25.340 virá:

1

1 = (( 1 + i x (26/12) ) - 0,0075 ) x -----------------------

1 + ( i x ( 25/12))

Estamos perante uma equação em que a incógnita é a taxa de juro (i), para que consigamos determinar o seu valor temos que resolvê-la em ordem a i:

0,0075

i = ---------------------

26 - 25

--------------

12

i = 0,09 = 9%

Sabendo a taxa i podemos obter o valor de Co:

25.340

Co = -------------------------- = 21.336 u.m.

1 + 0,09 x (25/12)

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VI

146

Exercício 3

Um capital de 1.500 u.m. esteve aplicado à taxa semestral de 13%, durante um determinado prazo.

Tendo produzido um capital acumulado superior em 780 u.m. aquele que se obteria se o prazo fosse reduzido a metade.

Calcule em anos, aquele prazo, procurando escrever as equações que resolvem o problema de forma que o resultado surja directamente em anos.

Resolução:

Co = 1.500 u.m.

i = taxa semestral 13% - taxa anual de (2 x 13%) = 26%

t = tempo decorrido

Vamos ter duas equações para resolver este exercício:

1. Ct = 1.500.000 x ( 1 + ( t x 0,26 ))

2. Ct = 780.000 + 1.500.000 x ( 1 + ( t/2 x 0,26))

Como o valor de Ct nestas duas equações é igual podemos ter apenas uma equação resultante da igualdade destas:

1.500.000 x ( 1 + ( t x 0,26 )) = 1.500.000 x ( 1 + ( t x 0,26 ))

Resolvendo em ordem a t teremos:

t = 4 anos

Desconto por Dentro

Era o método usualmente utilizado, é o verdadeiro desconto financeiro.

Desconto por dentro (Dd) corresponde ao juro produzido pelo valor actual do capital durante o prazo que falta para o seu vencimento.

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VI 147

Dd = Ct - Co

Ct

Dd = Ct - -------------

1+ ( i x t )

Ct x i x t

Dd = ---------------

1 + ( i x t )

Ct

Dd = ----------------- x i x t

1 + ( i x t )

Dd = Co x i x t

Exercício 4

B tem a receber um crédito de 500 u.m. daqui a 2 anos, vencendo juros à taxa anual de 15%.

Admitindo que B pretendia receber hoje o equivalente ao seu crédito, determine o valor que iria receber:

500.000

Co = ------------------- = 384.615,40

1 + 0,15 x 2

O valor do desconto foi:

D = Ct - Co

D = 500.000 - 384.615,40 = 115.384,60

Desconto por Fora

Desconto por fora (Df) também designado desconto comercial, corresponde ao juro produzido pelo valor nominal do capital durante o prazo que falta para o seu vencimento.

É calculado sobre o valor nominal do capital:

Df = Ct x i x t

Df > Dd porque Ct > Co

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VI

148

Deduzindo ao valor nominal o valor do desconto por fora, obtêm-se o valor actual comercial.

Este desconto beneficia a entidade credora, porque paga hoje menos por um valor nominal futuro igual ao do desconto por dentro.

Exercício 5

Mantendo todos os pressupostos do exemplo 1, vamos efectuar os cálculos tendo por método, o desconto por fora.

B tem a receber um crédito de 500 u.m. daqui a 2 anos, vencendo juros à taxa anual de 15%.

Admitindo que B pretendia receber hoje o equivalente ao seu crédito, determine o valor que iria receber:

O valor do desconto foi:

Df = Ct x i x t

Df = 500.000 x 0,15 x 2 = 150.000,00

O montante recebido pelo senhor B é de

500.000,00 - 150.000, 00 = 350.000, 00

A taxa de juro efectivamente suportada foi:

Jt

i = -------------

t x Ct

150.000,00

i = --------------------- = 0,2124 = 21,24%

2 x 350.000,00

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VI 149

Comparação dos Dois Descontos

O legitimo desconto financeiro é o desconto por dentro.

No desconto por dentro, o devedor dispõe do capital actual (Co) e paga juros sobre esse capital (Co).

No desconto por fora, o devedor dispõe do capital actual (Co) , mas paga juros como se dispusesse do valor nominal (Ct).

Exercício 6

Vamos calcular pelos dois tipos de desconto qual seria o valor actual do desconto de um titulo de crédito de 600.000 u.m. quando falta 1 ano para o seu vencimento sendo a taxa praticada no mercado de 15%.

Utilizando Desconto por Dentro:

600.000

Co =------------------- = 521.739,13 1 + 0,15 x 1

Desconto por Dentro = 600.000,00 - 521.739,13 = 78.260,87

Utilizando Desconto por Fora

Co = 600.000,00 x ( 1 - 0,15 x 1 ) = 510.000,00

Desconto por Fora = 600.000,00 - 510.000, 00 = 90.000,00

Page 156: Manual Formando

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VI

150

Comentários:

Desconto por dentro Desconto por fora

Troca direito a receber 600.000,00 600.000,00

daqui a 1 ano 1 ano

pelo recebimento actual de 521.739,13 510.000,00

pagou de juros 78.260,87 90.000,00

os juros calculados sobre o valor actual são

521.739,13 x 0,15 = 78.260,87 510.000,00 x 0,15 = 76.500,00

a diferença entre juros pagos e juros calculados sobre o valor actual

78.260,87-78.260,87= 0,00 90.000,00-76.500,00= 13.500,00

taxa de juro suportada 15% 17,65%

Exercício 7

Um capital de valor nominal de 210.000 u.m. vence-se daqui a três meses, considerando a taxa de 14,5%. Calcule:

1. Valor actual racional e desconto por dentro;

2. Valor actual comercial e desconto por fora.

Resolução:

Valor Actual Racional - valor actual utilizando Desconto por dentro

VN

VAr = --------------------

i

1 + (------ x t )

12

210.000

VAr = --------------------------- = 202.653,80

0,145

1 + ( ----------- x 3)

12

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VI 151

Desconto por Dentro = Dd = 210.000 - 202.635,80 = 7.346,20

Valor Actual Comercial - valor actual utilizando Desconto por fora

i

VAc = VN x ( 1 - -------- x t )

12

VAc = 210.000 x ( 1 - ( 0,145 / 12 x 3)) = 202.387,50

Desconto por Fora = Df = 210.000 - 202.387,50 = 7.612,50

Exercício 8

O capital de 1.500 u.m. vence-se ao fim de seis meses.

Determine o valor actual e o respectivo prémio de desconto, à taxa de 15% ao ano para ambas as modalidades de desconto por dentro e desconto por fora.

Resolução:

Desconto por dentro

VN

VAr = --------------------

i

1 + (------ x t )

12

1.500

VAr = --------------------------- = 1.395

0,15

1 + ( --------- x 6)

12

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VI

152

Desconto por Dentro = Dd = 1.500 - 1.395 = 105

Valor Actual Comercial

i

VAc = VN x ( 1 - -------- x t )

12

0,15

VAc = 1.500 x ( 1 - ( --------- x 6)) = 112.5

12

Desconto por Fora = Df = 1.500 - 112,50 = 1387,50

Taxa Efectiva

Pelo que ficou mostrado, no desconto por fora existem duas taxas, a taxa nominal que é aplicada e a taxa efectiva que resulta do valor descontado.

Taxa efectiva - taxa que foi efectivamente suportado face ao montante de juros liquidados e o valor actual antecipado

O desconto que deveria ser suportado (financeiro):

Ct x i x t

Dd = ------------

1 + i x t

O desconto efectivamente suportado (comercial):

Df = Ct x i x t

Taxa efectiva - io

Ct x io x t

Ct x i x t = ----------------

1 + io x t

io x t

i x t = ----------

1 + io x t

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VI 153

i

io = -----------

1 - i x t

Exercício 9

Calcular as taxas efectivas anuais correspondentes ao desconto por fora nas seguintes hipóteses:

1. Desconto por fora a 12% ao ano, pelo prazo de uma ano;

2. Desconto por fora a 15% ao ano, pelo prazo de seis meses;

3. Desconto por fora a 12% ao ano, pelo prazo de 9 meses;

4. Desconto por fora a 18% ao ano, pelo prazo de 3 meses;

Resolução:

A taxa efectiva calcula-se pela fórmula:

i

io = ----------------

1 - 1 x t

Desconto por fora a 12% ao ano, pelo prazo de uma ano

0,12

i = ----------------------- = 0,13636 = 13,636%

12

1 - 0,12 x ------

12

Desconto por fora a 15% ao ano, pelo prazo de seis meses

0,15

i = ----------------------- = 0,16216 = 16,216%

6

1 - 0,15 x ------

12

Page 160: Manual Formando

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VI

154

Desconto por fora a 12% ao ano, pelo prazo de 9 meses

0,12

i = ----------------------- = 0,13187 = 13,187%

9

1 - 0,12 x ------

12

Desconto por fora a 18% ao ano, pelo prazo de 3 meses;

0,18

i = ----------------------- = 0,18848 = 18,848%

3

1 - 0,18 x ------

12

Exercício 10

Para o exercício anterior e para a modalidade de desconto por fora calcule a taxa efectiva anual da operação.

Resolução:

Df = 112,5

VN = 1.500

t = 6 meses

112,5 12

io = --------------------- x --------- = 0,16216 = 16,216 %

( 1500 - 112,5 ) 6

Page 161: Manual Formando

VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 155

Exercício 11

Considere-se uma divida de 2.000 u.m. que vai ser integralmente liquidada por meio dos seguintes pagamentos, que incluem juros à taxa juro anual de 12%:

1º de 300 u.m. vencível ao fim de 2 meses

2º de 500 u.m. vencível ao fim de 5 meses

3º de 700 u.m. vencível ao fim de 9 meses

4º de valor a determinar e vencível ao fim de 12 meses.

Pretende-se calcular o valor do último pagamento, utilizando e comparando os valores obtidos pelas duas modalidades de desconto, por dentro e por fora.

Resolução:

Cálculo do último pagamento e do valor do desconto

Utilizando desconto por dentro:

300 500 700 P

2000 = ---------------- + ---------------- + ---------------- + --------------------

2 x0,12 5 x 0,12 9 x 0,12 12 x 0,12

1 + ------------ 1 + ---------- 1 + ------------ 1 + -------------

12 12 12 12

Em que P é a incógnita que representa o último pagamento:

Simplificando teremos:

300 500 700 P

2000 = ---------------- + ---------------- + ---------------- + --------------------

1,02 1,05 1,09 1,12

P

2000 - 294,11765 - 476,19048 - 642,20183 = --------------

1,12

P = 587,49004 x 1,12 = 657,9884 = 658 u.m.

658 é o valor do último pagamento

O valor do desconto por dentro será:

Dd = 300 + 500 + 700 + 658 - 2.000 = 158

Page 162: Manual Formando

IEFP VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

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VI

156

Utilizando desconto por fora:

2 x 0,12 5 x 0,12

2.000 = 300 x ( 1 - --------------) + 500 x ( 1 - -----------------) +

12 12

9 x 0,12 12 x 0,12

+ 700 x ( 1 - ------------------ ) + P x ( 1 - -----------------)

12 12

2.000 = 300 x 0,98 + 500 x 0,95 + 700 x 0,91 + P x 0,88

2.000 = 294 + 475 + 637 + 0,88 P

0,88 P = 594

P = 675

Sendo o Desconto por fora de:

Df = 300 + 500 + 700+ 675 - 2.000 = 175

Page 163: Manual Formando

VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 157

2. RESUMO

Expressão algébrica do valor actual

Co C1=Co+J1 Ct

0 i 1 t

Sabendo que:

Co - Capital Inicial aplicado no momento 0

Ct - Capital acumulado no momento t

Ct = Co x ( 1 + i x t )

Ct

Co = -----------------

1 + i x t

Diz-se que no momento zero (0) , Co é o valor actual de Ct se aplicado à taxa i, produzir durante o prazo t um valor acumulado igual a Ct.

Co é o valor que se pagaria ou receberia se o capital Ct fosse liquidado no momento 0, ou seja o seu valor actualizado ou descontado para aquele momento.

Factor de actualização - A

1

A = -----------------

1 + ( i x t )

Denomina-se por Desconto (D) a diferença entre o capital acumulado ( Ct ) e o capital inicial (Co), ou seja é o prémio pago pelo facto de receber antecipadamente o valor de um capital, isto é por se receber um capital antes do seu vencimento.

Page 164: Manual Formando

IEFP VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

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VI

158

D = Ct - Co

Ct

podemos escrever D = Ct - ----------------

1 + ( i x t )

Existem duas formas de desconto, o desconto por dentro e o desconto por fora.

Desconto por dentro corresponde ao juro produzido pelo valor actual do capital durante o prazo que falta para o seu vencimento.

Dd = Ct - Co

Dd = Co x i x t

Desconto por fora também designado desconto comercial, corresponde ao juro produzido pelo valor nominal do capital durante o prazo que falta para o seu vencimento.

È calculado sobre o valor nominal do capital:

Df = Ct x i x t

Df > Dd porque Ct > Co

Deduzindo ao valor nominal o valor do desconto por fora, obtêm-se o valor actual comercial.

Comparação dos dois descontos

No desconto por dentro, o devedor dispõe do capital actual (Co) e paga juros sobre esse capital (Co).

No desconto por fora, o devedor dispõe do capital actual (Co) , mas paga juros como se dispusesse do valor nominal (Ct).

Taxa efectiva - taxa que foi efectivamente suportado face ao montante de juros liquidados e o valor actual antecipado

i

io = -----------

1 - i x t

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VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 159

3. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Um capital de 350 u.m. foi aplicado à taxa de juro i, transformando-se ao fim de quatro períodos num valor acumulado de 602 u.m.:

1. Determinar a taxa de juro a que esteve aplicado;

2. Determinar o juro acumulado no vigésimo ano.

Exercício 2

Um empréstimo contraído à taxa anual de 15% será liquidado de uma só vez, ao fim de 8 meses com o pagamento de 1.175 u.m., incluindo os juros de todo o prazo.

Calcular o valor do empréstimo sabendo que os juros foram calculados sobre o valor inicial.

Exercício 3

Um capital Co se fosse aplicado às taxas de 8% e 10% produziria ao fim do 4º período uma diferença de juro de 32 u.m. Determine Co.

Exercício 4

Calcular as taxas efectivas anuais correspondentes ao desconto por fora nas seguintes hipóteses:

1. desconto por fora a 15% ao ano, pelo prazo de 8 meses;

2. desconto por fora a 10% ao ano pelo prazo de 2 meses;

3. desconto por fora a 14% ao ano pelo prazo de 7 meses;

4. desconto por fora a 13% ao ano pelo prazo de 2 anos;

5. desconto por fora a 12% ao ano pelo prazo de 15 meses.

Exercício 5

Uma entidade obteve um empréstimo de 2.000 u.m. a liquidar de uma só vez ao fim de sete meses, com juros pagos antecipadamente à taxa anual de 13%.

Assim, pretende-se calcular:

1. O valor recebido pelo devedor na data do contrato

2. A taxa efectiva anual da operação.

Page 166: Manual Formando

IEFP VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO

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VI

160

Exercício 6

Um empréstimo contraído à taxa anual de 12% vai ser liquidado, de uma só vez, ao fim de 10 meses com o pagamento de 1.855 u.m., incluindo os juros de todo o prazo.

Os juros foram calculados sobre o valor acumulado.

Pretende-se:

1. determinar o valor do empréstimo;

2. calcular a taxa efectiva anual da operação.

Exercício 7

Uma divida de 600 u.m. vai ser liquidada por meio de três pagamentos vencíveis a dois, cinco e nove meses, contados a partir da data do contrato, de valores nominais iguais a 124 u.m., 243 u.m e P, respectivamente, incluindo juros à taxa de 20%.

1. Calcule o valor de P nas modalidades de desconto que conhece.

Exercício 8

Um determinado capital C vence juros, em regime de juros simples, à taxa anual i e sabe-se que:

• valor acumulado produzido ao fim de 4 meses é de 189 u.m.,

• valor acumulado de 189, aplicado por 8 meses à mesma taxa i, produz um novo valor acumulado igual a 207,9 u.m.

Pretende-se determinar:

1. a taxa i ;

2. o capital C.

Exercício 9

O senhor Alquimista resolveu colocar dinheiro no Banco a uma taxa de 8% ao ano durante 5 anos, de modo a que, exclusivamente com os juros que retirava integralmente no final de cada ano, poder oferecer ao seu filho 5.000 u.m. quando este atingir a maioridade.

Considere a operação em regime de juro simples e resolva as seguintes questões:

1. Que quantia deverá o Sr. Alquimista depositar no banco?

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VI. EMPRÉSTIMOS COM JURO ANTECIPADO IEFP

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VI 161

2. Se o Sr. Alquimista estivesse disposto a fazer um depósito maior, desde que, pudesse retirar metade do depósito ao fim de 2 anos (continuando sempre a retirar os juros no final de cada ano) quanto teria de depositar inicialmente?

3. Se o Sr. Alquimista apenas pudesse depositar inicialmente 24.940 €, mas - retirando sempre os juros - pudesse fazer um aumento do depósito ao fim de três anos, quanto teria de ser o aumento?

Exercício 10

O Sr. Joaquim recebeu um herança que decidiu depositar no banco em regime de juro simples à taxa semestral de 10% durante o tempo necessário até que o valor acumulado fosse o dobro do capital inicial.

Quanto tempo é necessário se o objectivo pretendido for 20.000 u.m.?

Exercício 11

Infelizmente para o Sr Joaquim, foi necessário pagar os impostos referentes à herança ao fim de 8 meses, para tal retirou 500 u.m. ao valor depositado.

Quanto tempo é agora necessário para obter 20.000 u.m.

Exercício 12

Um entidade possui um valor a receber daqui a seis meses no valor de 4.000 u.m., pretendendo comprar uma máquina, pode escolher uma das alternativas seguintes:

• descontar esse valor ( em desconto por fora) à taxa semestral de 8% e comprar a máquina que custa actualmente 3.000 u.m., depositando o restante no banco à taxa mensal de 1,5% no regime de juro simples.

• comprar a máquina daqui a seis meses, altura em que efectivamente precisará dela, mas pelo preço de 3.300 u.m.

1. Qual a solução por que se deverá optar?

2. 2. Qual o preço futuro da máquina que tornaria idênticas as duas alternativas?

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VI

162

4. RESOLUÇÕES

Exercício 1

1. 602 = 350 x ( 1 + 4 x i )

602 - 350 = 4 x 350 x i

1.400 x i = 252

i = 0,18 = 18%

2. Juro = 350 x 0,18 x 20

Juro = 1.260

Exercício 2

0,15

1.175 = Co x ( 1 + ( -----------x 8 ) )

12

1.175

Co = ------------- = 1.068,18

1,1

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VI 163

Exercício 3

Vamos ter duas equações:

Co x ( 0.08 x 4 ) = J e .............Co x ( 0.1 x 4 ) = J + 32

0,32 Co = J e .............0,4 Co = J + 32

substituindo J por 0,32 Co

-------------------- 0,4 Co = 0,32 Co + 32

---------------- ( 0,4 - 0,32 ) Co = 32

---------------- Co = 32 / 0,08

---------------- Co = 400

Exercício 4

1. 0,15

---------------------- = 0,1666(7) = 16,667%

0,15

1 - ---------- x 8

12

2. 0,1

---------------------- = 0,1016949 = 10,1695%

0,1

1 - ---------- x 2

12

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VI

164

3. 0,14

---------------------- = 0,15245 = 15,245%

0,14

1 - ---------- x 7

12

4. 0,13

---------------------- = 0,17568 = 17,568%

1 - 0,13 x 2

5. 0,12

---------------------- = 0,14118 = 14,118%

0,12

1 - ---------- x 15

12

Exercício 5

1. 0,13

2.000 - 2.000 x --------- x 7 = 1.848,333

12

2. 2.000 - 1.848,333 12

-------------------------- x --------- = 0,14067 = 14,067%

1.848,333 7

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VI 165

Exercício 6

1. 0,12

Juros = 1.855 x ----------- x 10 = 185,5

12

Valor do empréstimo = 1.855 - 185,5 = 1.669,5

2. 185,5 12

Taxa efectiva = ----------- x ---------- x 100 = 13,094%

1.700 10

Exercício 7

Vamos determinar o valor de P pela diferença entre o valor da dívida e o valor actual dos pagamentos que vão ser feitos:

Utilizando desconto por Dentro

124 243 P

600 = ------------------------- + ------------------------- + -------------------------

1 + ( 0,2/12 x 2 ) 1 + ( 0,2/12 x 5 ) 1 + ( 0,2/12 x 9 )

Resolvendo a equação em ordem a P teremos:

P

-------------- = 256

1,15

P = 256 x 1,15 = 294 u.m.

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VI

166

Utilizando desconto por fora

0,2 0,2 0,2

600 = 124 x ( 1 - ----- x 2 ) + 243 x ( 1 - ------- x 5 ) + P x ( 1 - ------- x 9 )

12 12 12

P = 303 u.m.

Exercício 8

1. C x ( 1 + 4 x i ) = 189

e

189 x ( 1 + 8 x i ) = 207,9

resolvendo em ordem a i teremos

i = 0,0125

2. Como se sabe o valor de i podemos calcular o valor de C

C x ( 1 + 4 x 0,0125 ) = 189

C = 180 u.m.

Exercício 9

1. Juros = 5.000

t = 5

i = 0,08

C x 0,08 x 5 = 5.000

C = 12.500

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VI 167

2. No 1º e no 2º ano os juros são referentes a uma quantia a determinar Z, no 3º, 4º e 5º anos os juros são referentes a metade desta quantia ( Z / 2 ).

5.000 = ( Z x 0,08 x 2 ) + ( (Z/2) x 3 x 0,08)

Z = 17.857 u.m.

3. Capital aplicado no ano 1, 2 e 3 - 5.000 u.m.

Capital aplicado no ano 4 e 5 - (5.000 + A) u.m.

5.000 = ( 5.000 x 0,08 x 3 ) + ( (5.000 + A) x 2 x 0,08 )

Resolvendo em ordem a A teremos:

A = 18.750 u.m.

Exercício 10

Se o capital final tem que duplicar o capital inicial, e se o capital final são 20.000 u.m. então o capital inicial são 10.000 u.m..

20.000 = 10.000 ( 1 + 0,10 x t )

20.000 = 10.000 + 1.000 t

t = 10 semestres

Exercício 11

Durante os primeiros 8 meses estarão aplicados as 10.000 u.m., após o mês 8 retiram-se 500 u.m. ficando aplicadas 9.500 u.m..

20.000 = ( 10.000 x 0,10/6 x 8 ) + (9.500 x 0,10 x t ) + 9.500

t = 9,64947

ou seja, 9 semestres, 3 meses e 27 dias.

O prazo total da aplicação serão 10 semestres, 5 meses e 27 dias.

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VI

168

Exercício 12

O valor actual de 4.000 u.m. a receber daqui a 6 meses com uma taxa de 8% semestral é de:

4.000 x ( 1 - 0,08 ) = 3.680 u.m.

Comprando a máquina por 3.000 sobra para aplicar:

3.680 - 3.000 = 680

No final dos seis meses teremos:

680 x ( 1 + 0,015 x 6 ) = 741,2 u.m.

Se receber daqui a seis meses as 4.000 u.m. e comprar a máquina por 3.300 u.m. quanto resta?

4.000 - 3.300 = 700 u.m.

É mais vantajoso a primeira hipótese pois o seu valor daqui a seis meses será maior.

Para ser indiferente a máquina teria que custar daqui a seis meses 3.258,8 u.m. ou seja, o valor da primeira hipótese apresentada.

4.000 - 741.2 = 3.258, 8 u.m.

Só assim seria indiferente comprar hoje ou daqui a seis meses, mantendo-se todos os pressupostos quanto aos valores e taxas.

Page 175: Manual Formando

CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES

Page 176: Manual Formando
Page 177: Manual Formando

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 171

Objectivos

No final desta unidade temática o formando deve estar apto a:

• Compreender a equivalência de capitais como processo de actualização de valores;

• Deduzir a fórmula do desconto comercial, comparando os dois tipos de desconto, por fora e por dentro;

• Deduzir a fórmula da reforma comercial, distinguindo reforma parcial de reforma total;

• Identificar os encargos a suportar em cada um dos casos consoante o momento do seu pagamento;

• Aplicar as fórmulas de equivalência de capitais e resolver problemas de substituição de capitais, tempos ou taxas.

Temas

1. Realização antecipada de efeitos comerciais (Desconto)

2. Realização diferida de efeitos comerciais (Reforma)

3. Equivalência de Capitais

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

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IEFP VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES

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VII

172

Tratamos no capitulo anterior a forma de cálculo do Valor Actual e de Desconto, vamos agora utilizar este conceito de uma forma mais integrada em problemas de natureza económico - financeira, nomeadamente o Desconto de Efeitos Comerciais, a Reforma de Efeitos Comerciais e a Equivalência de Capitais.

Neste capítulo vamos estudar a equivalência de capitais em regime de juro simples, isto é transformar um determinado capital noutro.

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 173

1. REALIZAÇÃO ANTECIPADA DE EFEITOS COMERCIAIS - DESCONTO

O Desconto de efeitos comerciais (letras), é uma operação bancária através da qual o portador de um efeito comercial pode antecipar o recebimento do seu valor junto de uma instituição bancária.

Esta operação acarreta encargos para a entidade que pretende antecipar o recebimento, é uma forma de financiamento das empresas, os denominados Encargos de Desconto.

Encargos do Desconto

Prémio de desconto - J

Engloba os juros relativos ao período compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento.

Engloba também eventuais sobretaxas que sejam cobradas por indicação das instituições financeiras centrais, nomeadamente a para o Fundo de Compensação do Banco de Portugal, ou outras que venham a ser criadas.

Estas taxas incidem sobre o valor nominal da letra apresentada a desconto.

Comissão - Cc

Encargo em beneficio da entidade de crédito, podendo ser negociada entre as partes.

Valor percentual que incide sobre o valor nominal da letra.

Imposto - I

Imposto de selo retido na fonte pela instituição de crédito, para posterior entrega nos cofres do estado.

A taxa de imposto incide sobre o prémio de desconto (J) e o montante da comissão (Cc).

Diversos - D

Engloba as diversas despesas cobradas pelos serviços prestados (portes, telefones, etc.,).

Não são valores percentuais, trata-se de valores fixos por transacção, por exemplo 500 u.m. por documento.

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VII

174

Expressão do Produto Liquido do desconto

Sendo:

Vt - valor nominal da Letra

t - prazo que falta para o vencimento (acrescentar sempre dois dias)

r - taxa de juro i% acrescentada da sobre taxa de y%

c - comissão de cobrança

I - imposto à taxa w

D - despesas diversas

Vo - Valor actual ou PLD - Produto Liquido de Desconto

E - Encargos do desconto

Teremos:

Vo = Vt - E

E = J + Cc + I + D

Vt x ( t + 2 ) x r

J = ----------------------

36.500

Cc = c x Vt

Vt x ( t + 2 ) x r

I = w x ( J + Cc ) = w x ( ---------------------- + c x Vt)

36.500

D = valor dos portes

Vt x ( t + 2 ) x r Vt x ( t+ 2 ) x r

E = ----------------------- + Vt c + w ( -------------------- + c Vt) + D

36.500 36.500

Page 181: Manual Formando

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 175

Vt ( t + 2 ) r

Colocando em evidência ------------------- + Vt c

36.500

vem Vt x ( t + 2 ) r

E = ( ------------------- + Vt c) ( 1 + w ) + D

36.500

Colocando Vt em evidência:

( t + 2 ) r

E = Vt ( ------------------- + c) ( 1 + w ) + D

36.500

Como Vo = Vt - E

Vem

( t + 2 ) r

Vo = Vt - Vt ( ------------------- + c) ( 1 + w ) + D

36.500

( t + 2 ) r

Vo = Vt [1 - ( ------------------- + c) ( 1 + w ) ] + D

36.500

Exercício 1

Descontou-se no banco Y uma letra com o Valor Nominal de 320.000 u.m., quando faltavam 78 dias para o seu vencimento. Os encargos de desconto são:

• juros à taxa anual de 20%

• sobretaxa de 0,5%

• comissão de 0,5%

• imposto de 9%

• portes de 14

Calcular o PLD - Produto Liquido de Desconto e o valor de E - Encargos suportados devidamente identificados.

Page 182: Manual Formando

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VII

176

(78 + 2 ) x 20,5

PLD = 320.000 x ( 1 - ( ----------------------- + 0,005)x (1+0,09) ) - 14

36.500

PLD = 302.569,90

O valor dos encargos foi:

E = Vt - PLD

E = 320.000,00 - 302.569,90

E = 17.430,10

Que se dividem da seguinte forma:

• Juro = ( 320.000 x (20+0,5) x (78 + 2)) / 36.500 = 14.378,10

• Comissão = 320.000 x 0,005 = 1.600

• Imposto = ( 14.378,10 + 1.600 ) x 0,09 = 1.438

• Diversos - 14

Exercício 2

O portador de uma letra com o valor nominal de 60.000 u.m. resolveu descontá-la quando faltavam 82 dias para o seu vencimento.

Sabendo que as condições de desconto foram as seguintes:

• Taxa de desconto de 16, 5% ao ano

• Prémio de transferência de 5 por mil

• Imposto de 9%

Determine a quantia recebida pelo portador da letra e a taxa efectivamente suportada.

Page 183: Manual Formando

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 177

Resolução:

À quantia recebida pelo portador da letra é dada a denominação de Produto Liquido de Desconto, utilizaremos a designação PLD.

( 82 + 2 ) x 16,5

PLD = 60.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,005) x 1,09)

36.500

PLD = 57.189,60

Taxa efectiva:

Encargos

Encargos = PLD x Taxa x Prazo ou seja a Taxa = --------------------

PLD x Prazo

Neste caso teremos:

E = 60.000 - 57.189,60 = 2.810,40

2.810,40 365

t = ----------------------- x ------- = 0,21353 = 21,353%

57.189,60 84

Exercício 3

Calcule o Produto Liquido do Desconto de uma letra de valor nominal de 622.440,00, quando faltavam 90 dias para o seu vencimento, tendo o portador suportado os seguintes encargos:

• Taxa de desconto de 18% ao ano

• Prémio de transferência de 4 por mil

• Imposto de 6%

• Portes de 200 u.m.

Resolução: ( 90 + 2 ) x 18

PLD = 622.440 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,004) x 1,06) -200

36.500

PLD = 589.666,44

Page 184: Manual Formando

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VII

178

Exercício 4

O portador de uma letra com o valor nominal de 250.000 u.m. resolveu descontá-la quando faltavam 73 dias para o seu vencimento.

Calcule o valor liquido de desconto, sabendo que as condições de desconto foram as seguintes:

• Taxa de desconto de 20, 5% ao ano

• Comissão de Cobrança de 0,2%

• Imposto de 9%

• Qual a taxa efectiva desta operação?

Resolução: ( 73 + 2 ) x 20,5

PLD = 250.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,002) x 1,09)

36.500

PLD = 237.976,40

250.000 - 237.976, 40 365

Taxa efectiva = ------------------------------- x ---------- = 0,24921 = 24.921%

237.976,40 75

Exercício 5

O portador de uma letra resolveu descontá-la quando faltavam 60 dias para o seu vencimento.

Depois de haver deduzido o desconto por fora à taxa de 16,5%, a comissão de cobrança de 0,5% e o imposto de 9%, o banco entregou ao portador a quantia de 120.500,00.

Calcule o valor nominal da letra.

Resolução: ( 60 + 2 ) x 16,5

120.500 = VN x ( 1 - ( ---------------------- + 0,005) x 1,09)

36.500

120.500

VN = ---------------

0,964

VN = 125.000 u.m.

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VII 179

Exercício 6

Uma pessoa solicitou a um banco um financiamento para fazer obras em casa no montante de 3.000.000 u.m. .

O banco anuiu ao financiamento pelo prazo de 180 dias, mediante a subscrição de uma livrança e os seguintes encargos:

• taxa de juro - 10%

• imposto de selo - 9%

Pretende-se:

1. Calcular o valor a pagar no fim do prazo, considerando que os juros são pagos postecipadamente;

2. Calcular o valor líquido a receber na data do empréstimo, considerando que os juros são pagos antecipadamente.

3. Calcular a taxa efectiva na questão 2.

Resolução:

Vamos em primeiro lugar calcular os encargos suportados nesta operação, para tal calculamos o Produto Liquido Desconto (PLD):

( 180 + 2 ) x 10

PLD = 3.000.000 x ( 1 - ( ----------------------) x 1,09)

36.500

PLD = 2.836.948

Os Encargos são calculados pela diferença entre o Valor Nominal e o Produto Liquido de Desconto:

E = VN - PLD

E = 3.000.000 - 2.836.948 = 163.052 u.m.

Quanto ao momento do pagamento dos juros podemos ter:

Os juros pagos postecipadamente - são aqueles que se pagam no final do período de divida

Os juros pagos antecipadamente - são aqueles que se pagam no inicio do período de divida.

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VII

180

Qual o valor do pagamento se os juros forem pagos postecipadamente?

No final do período de divida pagamos:

Capital - 3.000.000 u.m.

Juros - 163.052 u.m.

Total - 3.163.052 u.m.

Qual o valor do pagamento se os juros forem pagos antecipadamente?

No final do período de divida pagamos:

Capital - 3.000.000 u.m.

Total - 3.000.000 u.m.

Qual foi o recebimento de capital no momento em que foi efectuado o empréstimo sendo os juros pagos postecipadamente?

Recebimento de 3.000.000 u.m.

Qual foi o recebimento de capital no momento em que foi efectuado o empréstimo sendo os juros pagos antecipadamente?

Recebimento de 2.836.948 u.m.

Qual a taxa efectivamente paga em ambos os casos:

Juros pagos postecipadamente:

163.052 365

i = -------------------- x --------- = 0,109 = 10,9%

3.000.000 182

Esta é a taxa de 10% com 9% para imposto de selo.

Juros pagos antecipadamente:

163.052 365

i = -------------------- x --------- = 0,11526= 11,526%

2.836.948 182

Como se pode observar as conclusões são as mesmas que se tiram quando comparamos Desconto por Fora com Desconto por Dentro.

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 181

Exercício 7

Uma entidade tinha em carteira as seguintes letras que, nesta data, resolveu descontar:

• uma de 750.000 u.m. com vencimento daqui a 30 dias;

• uma de 400.000 u.m. com vencimento daqui a 45 dias;

• uma de 800.000 u.m. com vencimento daqui a 90 dias;

As condições de desconto foram as seguintes:

• Taxa - 13%

• Comissão de cobrança - 6 por mil

• Imposto de selo - 9%

• Portes 500 u.m.

Pretende-se calcular o produto liquido do desconto do conjunto de letras.

Resolução:

O Produto Liquido do Desconto de um conjunto de letras corresponde ao somatório dos produtos líquidos de desconto individuais.

Vamos calcular o PLD de cada uma das letras:

- uma de 750.000 u.m. com vencimento daqui a 30 dias;

( 30 + 2 ) x 13

PLD = 750.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,006) x 1,09) - 500

36.500

PLD = 735.277,74 u.m.

- uma de 400.000 u.m. com vencimento daqui a 45 dias;

( 45 + 2 ) x 13

PLD = 400.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,006) x 1,09) - 500

36.500

PLD = 389.585,48 u.m.

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IEFP VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES

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VII

182

- uma de 800.000 u.m. com vencimento daqui a 90 dias;

( 90 + 2 ) x 13

PLD = 800.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,006) x 1,09) - 500

36.500

PLD = 765.695,07 u.m.

O PLD das três letras será:

735.277,74 + 389.585,48 + 765.695,07 = 1.890.558, 29

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 183

2. REALIZAÇÃO DIFERIDA DE EFEITOS COMERCIAIS - REFORMA

Na data de vencimento de uma letra o aceitante pode não ter liquidez suficiente para pagar a letra na sua totalidade, necessitando de solicitar a sua Reforma.

A reforma consiste na substituição de uma letra, no todo ou em parte, por outra ou outras com um vencimento ou vencimentos posterior ou posteriores.

Face à impossibilidade de liquidação integral da letra a reformar a reforma deverá ser sempre solicitada antes do vencimento da letra a reformar.

A reforma diz-se parcial quando o aceitante paga parte da letras que se vai vencer.

A reforma diz-se total quando a letra é substituída na sua totalidade por outra ou outras.

A reforma origina encargos para o aceitante, em virtude do beneficiário da letra não poder ver os seus direitos reduzidos no todo ou em parte pela falta de cumprimento do aceitante.

A Forma de Regularização dos Encargos da Reforma

Reforma com Encargos Pagos Separadamente e à Data da Reforma

Quando os encargos não são englobados no valor da nova letra, sendo liquidados separadamente ao aceitante.

Consideremos:

Vo ou VN - valor nominal da letra a reformar ( valor actual na data da reforma)

A - Amortização da letra que se vence

Vt - Valor nominal da nova letra resultante da reforma

J - Juros à taxa r

Cc - Comissão à taxa c

I - Imposto à taxa w

D - Despesas diversas

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VII

184

Os encargos a liquidar serão sobre Vt, sendo Vt calculado:

Vt = Vo - A

(t+2) r

E = Vt ( ----------- + c ) (1 + w ) + D

36.500

Exercício 1

K solicitou a reforma do seu aceite vencível proximamente e com o Valo nominal de 200.000 u.m. nas seguintes condições:

• amortização de 20%

• aceite de nova letra a 60 dias pelo restante

• pagamento imediato dos encargos de uma possível negociação bancária com a nova letra:

• juros à taxa anual de 20,5%;

• Comissão de 0,5%;

• Imposto de 9%;

• despesas diversas de 100.

O valor da nova letra será:

Vt = 200.000 - 200.000 x 20% = 160.000

Os encargos a pagar de imediato são os seguintes:

( 60 + 2 ) x 20,5

E = 160.000 x ( ----------------------- + 0,005 ) x ( 1 + 0,09 ) + 100 = 7.044,50

36.500

Os encargos discriminados serão:

• Juro = ( 160.000 x (20,5) x (60 + 2)) / 36.500 = 5.571,50

• Comissão = 160.000 x 0,005 = 800,00

• Imposto = ( 5.5571,50 + 800 ) x 0,09 = 573,00

• Diversos – 100

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VII 185

Reforma com Encargos Englobados na Nova Letra

Quando os encargos são englobados no valor da nova letra.

O valor da nova letra ser-nos-à dado por

V’t = Vo - A + E

sendo E e V’t desconhecidos assim,

( t + 2 ) r

Vo - A = V’t ( 1 - ( ------------------ + c ) ( 1+ w ) ) - D

36.500

Vo - A + D

V’t = -------------------------------------------

( t + 2 ) x r

1 - ( --------------- + c ) ( 1 + w )

36.500

E’ = V’t - ( Vo - A )

Exercício 2

Considere os dados anteriores mas calculando agora o valor da nova letra com os encargos incluídos.

200.000,00 - 40.000,00 + 100,00

V’t = ---------------------------------------------------------------

( 60 + 2 ) x 20,5

1 - ( ------------------------- + 0,005 ) ( 1 + 0,09 )

36.500

V’t = 167.364,70

Encargos = 167.364,70 - 160.000,00 = 7.364,70

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VII

186

Os encargos discriminados serão:

• Juro = ( 167.364,70 x (20,5) x (60 + 2)) / 36.500 = 5.827,90

• Comissão = 167.364,70 x 0,005 = 836,80

• Imposto = ( 5.827,90 + 836,80 ) x 0,09 = 600,00

• Diversos - 100,00

Exercício 3

Uma letra de 5.000.000 u.m. foi reformada na data do seu vencimento nas seguintes condições:

• pagamento de 20%

• aceite de uma nova letra com vencimento a 3 meses e cujo valor nominal incluirá juros à taxa de 16%

Pretende-se calcular o valor dessa letra.

Resolução:

Montante da letra inicial = 5.000.000

Pagamento na data da reforma - 5.000.000 x 0,20 = 1.000.000

Valor em divida para nova letra = 4.000.000

Valor da nova letra L:

L x 0,16 x 3

4.000.000 = L - ---------------------

12

L = 4.166.666,6(6) u.m.

Exercício 4

Uma letra de 1.000.000 u.m. foi reformada na data do seu vencimento nas seguintes condições:

• pagamento de 20%

• aceite de duas novas letras com vencimento semestrais e cujo valor nominal incluirá juros à taxa de 20%, vencendo-se a primeira daqui a seis meses.

Pretende-se calcular o valor dessas letras.

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VII 187

Resolução:

Montante da letra inicial = 1.000.000

Pagamento na data da reforma - 1.000.000 x 0,20 = 200.000

Valor em divida para nova letra = 800.000

Valor da nova letra L:

L x 0,2 x 6 L x 0,2 x 12

800.000 = L - --------------------- + L - ---------------------

12 12

L x 0,20

800.000 = 2 L - ----------------- x ( 6 + 12 )

12

L = 470.588,24 u.m.

Exercício 5

Um letra de 2.500 u.m. foi reformada na data do seu vencimento nas seguintes condições:

• pagamento de 10% (sobre o valor nominal)

• aceite de uma nova letra com vencimento a 120 dias e cujo valor nominal incluirá os encargos inerentes à operação de desconto bancário, que são os seguintes:

• taxa de 16% ao ano;

• comissão de cobrança de 6 por mil;

• imposto de selo de 9%;

Pretende-se que calcule o valor da nova letra e a taxa efectiva a ser suportada pelo devedor.

Resolução:

Montante da letra inicial = 2.500.000

Pagamento na data da reforma - 2.500.000 x 0,10 = 250.000

Valor em divida para nova letra = 1.750.000

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VII

188

Valor da nova letra L:

( 16 x (120+2)

1.750.000 = L x(1- ( (--------------------------+ 0,006) x 1,09))

36.500

L = 1.871.323 u.m.

Pagamentos em Prestações

Prática comercial muito comum são as vendas em prestações de bens e serviços, constituindo um importante meio de sustentar e fomentar o seu consumo.

O pagamento em prestações é normalmente titulado com letras vencíveis em períodos equidistantes e com o mesmo valor nominal.

Podem surgir duas situações em função do tipo de encargos englobados nas letras:

• só estão incluídos os juros à taxa i e o respectivo imposto w para o estado, ou,

• as prestações incluem os encargos bancários de uma presumível negociação bancária do desconto dessas letras (juros, comissão de cobrança, imposto e diversos).

Os Encargos a Englobar

As Letras Englobam Apenas Juros e o Respectivo Imposto

Consideremos:

Co - Capital em divida

Vn - Valor nominal de cada prestação

tk - prazo de vencimento da késima prestação

i - taxa de juro

I - Imposto ( w % sobre o valor do juro)

Co = V1 ( 1 - t1 i (1+w)) + V2 (1-t2 i (1+w))+ .... + (Vn (1- tn i (1+w))

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VII 189

Como V1 = V2 = Vn

Co = Vn (( 1 - t1 i (1+w) + (1-t2 i (1+w)+ .... + (1 - tn i (1+w))

Co

logo ⇒ Vn =-----------------------------------------------------------------

(( 1 - t1 i (1+w) + (1-t2 i (1+w)+ .... + (1- tn i (1+w))

Concluindo:

Co

Vn = -------------------------------

n - ∑=

+n

1j

j )w1(it

Exercício 6

A entidade Y adquiriu uma viatura por 5.600.000 u.m., nas seguintes condições:

• pagamento de 60%;

• restante através de 12 prestações vencíveis de 30 em 30 dias, englobando juros à taxa de 20% e imposto de 9%;

Calcular o valor de cada prestação.

5.600.000 x 0,40

Vn = ----------------------------------

78 x 30 x 20 x 1,09

12 - ---------------------------

36.500

Nota: 78 representa o somatório dos N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

Vn = 211.273,00

Valor de encargos = 12 x 211.273,00 - 5.600.000 x 0,4 = 295.276,00

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VII

190

As Letras Englobam os Encargos de um Possível Desconto

Admita-se agora que as prestações são tituladas por letras, letras essas que englobam os encargos de uma possível negociação bancária, nomeadamente:

• juros

• comissão de cobrança

• imposto

• diversos

Co + n D

Vn = ----------------------------------------------------

∑=

+n

1j

j )2t(i

n - ( ------------------ + n c ) ( 1 + w )

36.500

Exercício 7

A sociedade B adquiriu por 1.600.000 u.m. o equipamento X nas seguintes condições:

• 20% no acto da compra;

• restante em 12 letras com vencimentos mensais consecutivos com o mesmo valor nominal e englobando os seguintes encargos:

• Juro a 20,55;

• comissão de 0,5%;

• imposto de 9%;

• portes de 30 u.m. por letra;

• a primeira letra vence-se 60 dias após a data de compra

Calcular o valor nominal de cada letra.

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VII 191

O valor em divida será = 1.600.000 x ( 1 - 0,2) = 1.280.000

1.280.000 + 30 x 12

Vn = ---------------------------------------------------------- = 124.751,10

2730 x 20,5

12 - ( ----------------- + ( 12 x 0,005 ) x 1,09

36.500

Valor de encargos = 12 x 124.751,10 - 1.280.000,00 = 217.013,20

Exercício 8

A sociedade Beta pretende adquirir um equipamento no valor de 15.000.000 u.m. nas seguintes condições:

• 20% no acto da compra

• restante através do aceite de três letras com o mesmo valor nominal, englobando juros à taxa anual de 21,5% e imposto de 9%, vencendo-se respectivamente a 2, 4 e 6 meses da data da compra.

Resolução:

Restante valor em divida = 15.000.000 x ( 1 - 0,8 ) = 12.000.000

12.000.000

Vn = ----------------------------------------------- = 4.338.943,80

( 2 + 4 + 6 ) x 30 x 21,5 x 1,09

3 - -----------------------------------------

36.500

Total de encargos = 1.016.831,00

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VII

192

Exercício 9

Uma pessoa pretende adquirir um frigorifico que tem marcado o preço de 50.000,00 u.m., conseguindo obter um desconto de 10%.

Quanto ao pagamento essa pessoa propõem-se:

• entregar imediatamente 50%, e

• aceitar 6 letras de igual valor nominal, vencíveis, respectivamente daí a 1,2,3,4,5 e 6 meses englobando os seguintes encargos : juro à taxa de 10% e imposto de 9%.

Resolução:

Preço do frigorifico com o desconto:

50.000 x ( 1 - 0,10) = 45.000

Pagamento imediato:

45.000 x 0,50 = 22.500

Pagamento em prestações:

45.000 - 22.500 = 22.500

Cálculo dos valor da prestação:

22.500

Vn = ------------------------------------------------------- = 3.987,57 u.m.

( 1+2+3+4+5+6 ) x 30 x 19 x 1,09

6 - ---------------------------------------------

36.500

Exercício 10

A sociedade Y adquiriu uma máquina industrial nas seguintes condições:

• sobre o valor inicial foi - lhe concedido um desconto sucessivo de 5% + 2%;

• pagamento imediato de 40% do valor da máquina (liquido do desconto),

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VII 193

• restante foi liquidado por 2 letras com o mesmo valor nominal a 5 e 10 meses da data da compra e englobando

• juros a 15,25% e 16,5% respectivamente a 5 e 10 meses,

• comissão de 0,5%,

• imposto de 9%,

Sabendo que as letras tinham o valor nominal de 118.295,30 determinar:

• Preço inicial da máquina.

• Importância entregue pela sociedade Y na data da compra.

Resolução:

Vamos em primeiro lugar determinar o valor em divida no momento do pagamento ( Co):

Co

118.295,30 = ------------------------------------------------------------------------- =

0,1525 0,165

2 - (( 5 x -------- + 10 x --------- ) + 0,005 x 2 ) x 1,09

12 12

Co = 209.378,00

Para determinar o valor da máquina vamos partir do valor em divida encontrado:

Há um primeiro desconto de 5%;

Sobre o valor encontrado há um segundo desconto de 2%;

Valor Inicial = Z

1º desconto = 0,05 Z

Valor após o 1º desconto = Z - 0,05 Z = 0,95 Z

2º desconto = 0,02 x 0,95 Z =0,019 Z

Valor após o 2º desconto = 0,95 Z - 0,019 Z = 0,931 Z

Pagamento inicial = 40% do valor do bem = 40% de 0,931 Z = 0,3724 Z

Divida após pagamento inicial = 0,931 Z - 0,3724 Z = 0,5586 Z

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VII

194

Como sabemos o valor da divida, através do cálculo inicialmente efectuado em que foi determinado o valor de 209.378,00 para Co, podemos igualar:

0,5586 Z = 209.378

Z = 374.826,30, que representa o valor do bem.

A importância entregue no acto da compra pode ser calculada de duas formas, a partir do momento em que conhecemos o valor do bem:

Valor do bem - 374.826,30

1º desconto - 374.823,30 x 0,05 = 18.741,30

Valor após 1º desconto - 374.826,30 - 18.741,30 = 356.084,00

2º desconto - 356.084,00 x 0,02 = 7.121,70

Valor após o 2º desconto - 356.084,00 - 7.121,70 = 348.962,30

Pagamento de 40% = 348.962,30 x 0,40 = 139.584,90

De outra forma

Podemos resolver a equação sobre o valor pago (0,3724 Z) após o momento em que sabemos o valor de Z:

0,3724 x 209.378 = 139.585, 00, valor este que representa a importância entregue no acto da compra.

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VII 195

3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Dois conjuntos de capitais dizem-se equivalentes num determinado momento quando as somas dos valores actuais dos capitais componentes desses conjunto também forem iguais, referidos a esse momento.

Consideremos dois conjuntos de capitais:

Conjunto A - C1, C2, Cn (Capitais)

t1 , t2 , tn ( Momentos de vencimento)

Conjunto B - C’1 , C’2 , C’m (Capitais)

t’1 , t’2 , t’m ( Momentos de vencimento)

Esquematicamente:

C1 C2 Cn

A

0 t1 t2 tn

C’1 C’2 C’m

B

0 t’1 t’2 t’m

Se ambos os capitais vencerem juros a uma mesma taxa i , cujo período coincide com a unidade de tempo em que se exprimem os vencimentos dos capitais.

Estes dois conjuntos dizem-se equivalentes no momento 0, quando a soma dos valores actuais referidos aquele momento dos capitais que compõem o conjunto forem iguais.

A fórmula de cálculo dos capitais equivalentes vai ser diferente consoante o tipo de desconto que estejamos a adoptar:

1. Desconto por Fora ou

2. Desconto por Dentro

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VII

196

Considerando Desconto por Fora

Equacionando as expressões de valor actual para cada um dos conjuntos de capital, teremos:

( C1 - C1 t1 i) + ( C2 - C2 t2 i) + .......+ (Cn + Cn tn i ) =

( C’1 - C1’ t1’ i) + ( C’2 - C’2 t’2 i) + .......+ (C’m + C’m t’m i )

Ou seja,

n n m m

∑ Cj - i ∑ Cj tj = ∑ C’j - i ∑ C’j t’j j=1 j=1 j=1 j=1

Sendo a taxa de juro anual i e os períodos de vencimento dos capitais dados em meses ou em dias, viriam as respectivas equações do valor:

Em meses:

n n m m

∑ Cj - i ∑ Cj tj = ∑ C’j - i ∑ C’j t’j . j=1 j=1 1200 j=1 j=1 1200

Em dias, considerando o ano civil: n n m m

∑ Cj - i ∑ Cj tj = ∑ C’j - i ∑ C’j t’j

j=1 j=1 36500 j=1 j=1 36500

Considerando Desconto por Dentro

Equacionando as expressões de valor actual para cada um dos conjuntos de capital, teremos:

C1 C2 Cn

+ + ........... + =

1+it1 1+it2 1+itn

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VII 197

C’1 C’2 C’m

+ + ........... + =

1+it’1 1+it’2 1+it’m

ou seja,

n Cj n Cj

∑ = ∑

j=1 1+i tj j=1 1+ i t’j

Em meses:

n Cj n Cj

∑ = ∑

j=1 1+ i tj / 1200 j=1 1+ i t’j /1200

Em dias:

n Cj n Cj

∑ = ∑

j=1 1+ i tj / 36500 j=1 1+ i t’j /36500

Exercício 1

Tomemos o seguinte exemplo para analisar os resultados obtidos:

• Capital de 3.000 u.m vencível daqui a 3 anos;

• Capital de 2.500 u.m vencível daqui a 2 anos;

• A taxa de juro é de 10 % ao ano

Teremos as seguintes variáveis:

Ct = 3.000

t = 3

i = 0,10

C’t = 2.500

t’ = 2

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VII

198

Em cálculo com Desconto por Dentro serão estes dois valores equivalentes?

Ct - Ct . t . i = (?) C’t - C’t . t’ . i

3.000 - 3.000 x 3 x 0,1 = (?) 2.500 - 2.500 x 2 x 0,1

2.100 = (?) 2.000

2.100 não é igual a 2.000 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Dentro.

Vamos agora efectuar o mesmo cálculo utilizando o Desconto por Fora:

Ct C’t

1+ i t = (?) 1 + i t’

3.000 / (1+ (3 x 0,1)) = (?) 2.500 / (1+( 2 x 0,1))

2.307,69 = (?) 2.083,33

2.307 não é igual a 2.083 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Fora.

Exercício 2

Repitamos agora os cálculos do exercício anterior mas para os seguintes capitais:

• Capital de 3.000 u.m vencível daqui a 3 anos;

• Capital de 2.625 u.m vencível daqui a 2 anos;

• A taxa de juro é de 10 % ao ano

Teremos as seguintes variáveis:

Ct = 3.000

t = 3

i = 0,10

C’t = 2.625

t’ = 2

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VII 199

Em cálculo com Desconto por Dentro serão estes dois valores equivalentes?

Ct - Ct x t x i = (?) C’t - C’t x t’ x i

3.000 - 3.000 x 3 x 0,1 = (?) 2.625 - 2.625 x 2 x 0,1

2.100 = (?) 2.100

2.100 é igual a 2.000 logo estes dois capitais são equivalentes através do cálculo com Desconto por Dentro.

Vamos agora efectuar o mesmo cálculo utilizando o Desconto por Fora:

Ct C’t

1+ i t = (?) 1 + i t’

3.000 / (1+ (3 x 0,1)) = (?) 2.625 / (1+( 2 x 0,1))

2.307,69 = (?) 2.187,50

2.307 não é igual a 2.187,5 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Fora.

Exercício 3

Repitamos agora os cálculos do exercício anterior mas para os seguintes capitais:

• Capital de 3.000 u.m vencível daqui a 3 anos;

• Capital de 2.500 u.m vencível daqui a 2 anos;

• A taxa de juro é de 10 % ao ano

Teremos as seguintes variáveis:

Ct = 3.000

t = 3

i = 0,10

C’t = 2.500

t’ = 2

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VII

200

Em cálculo com Desconto por Dentro serão estes dois valores equivalentes?

Ct - Ct x t x i = (?) C’t - C’t x t’ x i

3.000 - 3.000 x 3 x 0,1 = (?) 2.500 - 2.500 x 2 x 0,1

2.100 = (?) 2.000

2.100 não é igual a 2.000 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Dentro.

Vamos agora efectuar o mesmo cálculo utilizando o Desconto por Fora:

Ct C’t

1+ i t = (?) 1 + i t’

3.000 / (1+ (3 x 0,1)) = (?) 2.500 / (1+( 2 x 0,1))

2.307,69 = (?) 2.083,33

2.307 não é igual a 2.083 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Fora.

Exercício 4

Repitamos agora o exercício anterior com os seguintes valores:

• Capital de 2.857 u.m vencível daqui a 3 anos;

• Capital de 2.500 u.m vencível daqui a 2 anos;

• A taxa de juro é de 10 % ao ano

Teremos as seguintes variáveis:

Ct = 2.857

t = 3

i = 0,10

C’t = 2.500

t’ = 2

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VII 201

Em cálculo com Desconto por Dentro serão estes dois valores equivalentes?

Ct - Ct x t x i = (?) C’t - C’t x t’ x i

2.857 - 2.857 x 3 x 0,1 = (?) 2.500 - 2.500 x 2 x 0,1

2.000 = (?) 2.000

2.000 é igual a 2.000 logo estes dois capitais são equivalentes através do cálculo com Desconto por Dentro.

Vamos agora efectuar o mesmo cálculo utilizando o Desconto por Fora:

Ct C’t

1+ i t = (?) 1 + i t’

2.857 / (1+ (3 x 0,1)) = (?) 2.500 / (1+( 2 x 0,1))

2.197,69 = (?) 2.083,33

2.197 não é igual a 2.083 logo estes dois capitais não são equivalentes através do cálculo com Desconto por Fora.

Concluindo:

A equivalência de dois conjuntos de capitais é diferente consoante o tipo de desconto utilizado

Capital Único

Por capital único no momento t, devemos entender o valor do capital vencível no momento t, que substitui um conjunto de capitais vencíveis em momentos posteriores para uma dada taxa de juro.

Vamos considerar:

C - Conjunto de capitais - Ct, Ct+1, Ct+2, ..... Cn

t - Momentos de vencimento - t, t+1, t+2,...... n

Ct Ct+1 Ct+2 Cn

A ..............

0 t t+1 t+2 n

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VII

202

No momento t o capital único será o valor actual de todos os capitais vencíveis no futuro de (t+1) a n:

n n

Ct - Ct i t = ∑ Cj - i ∑ Cj tj

j=1 j=1

n n

Ct ( 1- i t) = ∑ Cj - i ∑ Cj tj

j=1 j=1

De onde resulta:

Para Cálculo em Desconto por Fora

∑=

−n

1j

jjj )itCC(

Ct =

1 - i t

Para Cálculo em Desconto por Dentro

Cj

Ct= ∑=

+n

1j

)it1_______(

1 + i ti

Exercício 5

Consideremos que Francisco tinha uma dívida representada por 2 capitais, de 20 e 30 u.m. vencíveis em 1/1/99 e 1/1/2000.

Sabendo que esta divida vencia juros à taxa de 9% ao ano e que Francisco propôs ao seu credor o reembolso total da divida em 1/1/98, pretende-se determinar a quantia a entregar por Francisco nesta data para liquidação do seu débito.

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VII 203

Utilizando desconto por Fora:

Ct ? 20 30

1/1/98 1/1/99 1/1/2000

Capital único no momento t:

( 20 + 30 ) - ( 20 x 0,09 x 1 + 30 x 0,09 x 2 )

Ct = --------------------------------------------------------- = 42,8 u.m.

1 - 0,09 x 0

Utilizando Desconto por Dentro:

Capital único no momento t:

Ct = ( 20 / ( 1+ 0, 09 x 1 ) + ( 30 / ( 1 + 0,09 x 2 ) = 43,76 u.m.

Exercício 6

Um divida de valor nominal igual a 1.500 u.m. deverá ser paga por meio de três pagamentos iguais a 500 u.m. cada um, com vencimentos daqui a 6, 12 e 18 meses, respectivamente.

Nesta data as partes acordaram entre si que o devedor efectuasse um pagamento único, para liquidar toda a sua divida, na data de vencimento do primeiro pagamento, contando-se juros à taxa de 10% e pelo método de desconto por fora.

Resolução:

Vamos substituir um conjunto de pagamentos por um único pagamento, esquematicamente podemos apresentar:

500 500 500 Situação inicial

X Situação alternativa

-------------------------------------------------------------

6 12 18 Meses

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VII

204

Teremos que determinar o Valor Actual de todos os pagamentos no mês 6:

O 1º pagamento não sofre actualização pois está na data devida.

O 2º pagamento deverá ser actualizado em 6 meses (de 12 para 6):

0,10

VA = 500 - 500 x -------- x 6 = 475

12

O 3º pagamento deverá ser actualizado em 12 meses ( de 18 para 6 meses):

0,10

VA = 500 - 500 x ------- x 12 = 450

12

O valor a pagar na data do vencimento do primeiro pagamento será:

500 + 475 + 450 = 1.425 u.m.

Vencimento Médio

Consiste em determinar o prazo, em que se deve vencer um capital por forma a que o seu valor actual seja idêntico ao de outro capital.

Vamos determinar o momento t, em que se deve vencer o capital Ct de forma a substituir o conjunto de capitais Cj’ aplicado a uma taxa de juro i.

Ct = ∑=

n

1j

jC

Em Desconto Por Fora

∑=

n

1j

j jtC

t = -----------------

∑=

n

1j

jC

Page 211: Manual Formando

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VII 205

Em Desconto por Dentro

∑=

n

1j

jC 1

t = ( ---------------------- - 1 ) x --------

Cj i

∑=

n

1j

_______

1 + i tj

Exercício 7

Tendo um conjunto de capitais de 100, 120 e 100 u.m., cujas datas de vencimento são 1/1/99, 1/2/99 e 1//3/99, e sabendo ainda que a taxa de juro mensal é de 1%, Vamos apurar o Vencimento Médio em 1/12/98:

Utilizando Desconto por Fora:

( 100 x 1 + 200 x 2 + 100 x 3 )

t = ----------------------------------------- = 2

100 + 200 + 100

Ou seja em função dos valores apresentados e dos seus vencimentos o vencimento médio são dois meses.

Utilizando Desconto por Dentro:

( 100 + 200 + 100 ) 1

t = ( ----------------------------------------- - 1 ) x ------- = 2, 04

100 + 200 + 100 0,01

-------- ------- ---------

1+0,01 1+0,01x2 1+0,01x3

Ou seja em função dos valores apresentados e dos seus vencimentos o vencimento médio são dois meses e um dia.

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VII

206

Taxa Média

Pretende-se apurar a taxa única que aplicada a um conjunto de capitais substitui um conjunto de taxas diferentes aplicadas a esses mesmos capitais.

Consideremos um conjunto de capitais - C1, C2, Cn

aplicado pelos prazos - t1, t2, tn

ás taxas - i1, i2, in

Vamos deduzir a fórmula que nos permite substituir as diversas taxas por uma única taxa, produzindo o mesmo rendimento:

O juro total produzido:

Jt = C1 . t1 . i1 + C2 . t2 . i2 + ...... + Cn . tn . in

Se as diversas taxas forem substituídas por uma única taxa i, teríamos o seguinte juro:

J’t = C1 . t0 . i + C2 . t2 . i + .........+ Cn . t0 . i

Pretende-se que os dois valores de juros sejam iguais pelo que devemos igualar as duas expressões:

Jt = J’t

C1 t1 i1 + C2 t2 i2 + .. + Cn tn in = C1 t1 i + C2 t2 i + ...+ Cn tn i

n n

∑ Cj tj ij = ∑ Cj tj i j=1 j=1

Concluindo:

n ∑ Cj tj ij

j=1

i = --------------------- n

∑ Cj tj j=1

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VII 207

Exercício 8

Calcular a taxa média do seguinte conjunto de aplicações efectuadas em 1/1/98:

Valor ( u.m.) Prazo ( anos) Taxa (%)

Aplicação A 700 1 3.5

Aplicação B 750 2 4

Aplicação C 900 3 4.5

700 x 0,035 x 1 + 750 x 0,04 x 2 + 900 x 0,045 x 3

i = ----------------------------------------------------------------------

700 x 1 + 750 x 2 + 900 x 3

i = 4, 2 %

Exercício 9

Duas letras, uma de 120.000,00 u.m. e outra de 121.538,5 vencem-se respectivamente, daqui a 3 e 6 meses.

1. Para que taxa de juro, as letras são equivalentes hoje?

2. Verificar se elas são equivalentes daqui a 2 meses à taxa calculada.

Resolução:

O valor actual da letra de 120.000 tem que ser igual ao valor actual da letra de 121.538,5 vamos equacionar as duas expressões:

1ª letra de 120.000,00

i

Valor Actual = 120.000 - 120.000 x 3x -------

12

2ª letra de 121.538,50

i

Valor Actual = 121.538,50 - 121.538,50 x 6 x --------

12

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VII

208

Para obteremos o valor da taxa que torna estas duas letras equivalentes, com o mesmo valor actual, vamos igualar as duas expressões:

i i

120.000 - 120.000 x 3x ------- = 121.538,50 - 121.538,50 x 6 x ------

12 12

Resolvemos em ordem a i :

(121.538,50 - 120.000) + i x ( 121.538,50 x 6 - 120.000 x 3 ) / 12 = 0

i x 30.769,25 = 1.538,50

1.538,50

i = -----------------

30.769,25

e teremos:

i = 0,05 = 5%

Vamos resolver a 2ª questão utilizando a taxa encontrada de 5%, calculando o valor actual de ambas as letras daqui a 2 meses:

Valor Actual da letra de 120.000 u.m. daqui a 2 meses:

0,05

VA = 120.000 - 120.000 x 3 x -------- = 119.500,00 u.m.

12

Valor Actual da letra de 121.538,50 u.m. daqui a 2 meses:

0,05

VA = 121.538,50 - 121.538,50 x 6 x ----------- = 119.513,00 u.m.

12

119.500 é diferente de 119.513 logo as duas letras não são equivalentes daqui a dois meses com a taxa de 5%.

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VII 209

Exercício 10

Os capitais de 100.000 u.m., 200.000 u.m., 300.000 u.m. e 400.000. u.m. encontram-se aplicados nas seguintes condições:

Capitais Prazos Taxas anuais

100.000 24 meses 8 %

200.000 1 ano e 3 meses 7 %

300.000 31 meses 9 %

400.000 5 semestre 6 %

Determine a taxa única para poder substituir todas estas taxas.

Resolução: 0,08 0,07

(100000 x ( ---------) x 24 ) + (200000 x ( --------) x 15 )

12 12 i = --------------------------------------------------------------------------- .....

24 15

(100000 x -----) + ( 200000 x -------)

12 12

0,09 0,06

((300000 x ( -----------) x 31 ) + (400000 x ( ---------) x (5 x 6))

12 12 ... ----------------------------------------------------------------------------- =

31 ( 5 x 6)

(300000 x --------) + ( 400000 x ------------- )

12 12

163.250 = ---------------------- = 0,07337 = 7,337%

2.225.000

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VII

210

Este exercício pode-se resolver utilizando uma folha de cálculo, construindo o seguinte quadro:

Montante Prazo Prazo 1 Taxa Juro Numero

(1) (2) (3)=(2) /12 (4) (5)=(1)x(3)x(4) (6)=(1)x(3)

100.000 24 24/12 0.08 16.000 200.000

200.000 15 15/12 0.07 17.500 250.000

300.000 31 31/12 0.09 69.750 775.000

400.000 30 30/12 0.06 60.000 1.000.000

Total 163.750 2.225.000

163.750 i = ----------------- = = 0,07337 = 7,337%

2.225.000

Taxas Equivalentes

Duas taxas diferentes, referidas a períodos diferentes dizem-se equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, produzirem, durante o mesmo prazo de tempo, o mesmo valor acumulado.

---------i--------

0 1

--i’--

0 1/m 1 (m/m)

Em que m representa o número de vezes em que o período de uma taxa cabe no período da outra, por exemplo uma taxa mensal tem m de 12 numa taxa anual.

período da taxa i m= ----------------------- período da taxa i’

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VII 211

( 1 + i ) = ( 1 +m i’)

1 + i = 1 + m i’

m i’ = i

i

i ‘ = ---------

m

Exercício 11

Uma entidade deve a outrém a quantia de 1.000 u.m. pagáveis em duas prestações de 400 e 600 u.m. com vencimentos daqui a 4 e 6 meses, respectivamente.

Verificando que a sua tesouraria não estaria preparada para estes pagamentos o credor propôs a substituição destes pagamentos por quatro de igual montante, incluindo os respectivos juros e vencimentos daqui a 7, 9, 11 e 13 meses.

O credor concordou com a proposta e foi acordado entre ambos as taxas a serem utilizadas:

• 9% como taxa de actualização;

• 12% como taxa de capitalização.

Pretende-se calcular o valor nominal de cada prestação, utilizando o desconto por fora.

Resolução:

Podemos representar esta situação esquematicamente:

+400 +600 - A -A -A -A -------------------------------------------------------------------

0 4 6 7 9 11 13

Para que o credor não fique prejudicado há que ter em atenção as taxas a aplicar, vamos calcular o valor actual dos pagamentos inicialmente acordados utilizamos a taxa de actualização (taxa passiva):

400 x 4 x 0,09 600 x 6 x 0,09 400 - ----------------------- + 600 - -------------------------- = 388 + 573 = 961 u.m.

12 12

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VII

212

No cálculo dos pagamento futuros vamos aplicar a taxa de capitalização de 12% (taxa activa):

A x 7 x 0,12 A x 9 x 0,12

961 = ( A - --------------------) + ( A - --------------------) +

12 12

A x 11 x 0,12 A x 13 x 0,12

+ ( A - --------------------) + ( A - --------------------) =

12 12

A x 0,12

961 = 4 A - ---------------- x ( 7 + 9 + 11 + 13 )

12

961 = 4 A - 0,4 A

A = 266,944 u.m.

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VII 213

4. RESUMO

O Desconto de efeitos comerciais (letras), é uma operação bancária através da qual o portador de um efeito comercial pode antecipar o recebimento do seu valor junto de uma instituição bancária.

Esta operação acarreta encargos para a entidade que pretende antecipar o recebimento, é uma forma de financiamento das empresas, os denominados Encargos de Desconto.

r - taxa de juro i% acrescentada da sobre taxa de y%

c - comissão de cobrança

I - imposto à taxa w

D - despesas diversas

Fórmula do Produto Liquido de Desconto

( t + 2 ) r

Vo = Vt (1 - ( ------------------- + c) ( 1 + w ) )+ D

36.500

A reforma consiste na substituição de uma letra, no todo ou em parte, por outra ou outras com um vencimento ou vencimentos posterior ou posteriores.

Face à impossibilidade de liquidação integral da letra a reformar a reforma deverá ser sempre solicitada antes do vencimento da letra a reformar.

A reforma diz-se parcial quando o aceitante paga parte da letras que se vai vencer.

A reforma diz-se total quando a letra é substituída na sua totalidade por outra ou outras.

A reforma origina encargos para o aceitante, em virtude do beneficiário da letra não poder ver os seus direitos reduzidos no todo ou em parte pela falta de cumprimento do aceitante.

Reforma com encargos pagos separadamente e à data da reforma

Quando os encargos não são englobados no valor da nova letra, sendo liquidados separadamente ao aceitante.

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VII

214

Consideremos:

Vo ou VN - valor nominal da letra a reformar ( valor actual na data da reforma)

A - Amortização da letra que se vence

Vt - Valor nominal da nova letra resultante da reforma

J - Juros à taxa r

Cc - Comissão à taxa c

I - Imposto à taxa w

D - despesas diversas

Os encargos a liquidar serão sobre Vt, sendo Vt calculado:

Vt = Vo - A

(t+2) r

E = Vt ( ----------- + c ) (1 + w ) + D

36.500

Reforma com encargos englobados na nova letra

Quando os encargos são englobados no valor da nova letra.

O valor da nova letra ser-nos-à dado por

V’t = Vo - A + E

sendo E e V’t desconhecidos assim,

Vo - A + D V’t = -------------------------------------------

( t + 2 ) r 1 - ( --------------- + c ) ( 1 + w )

36.500

E’ = V’t - ( Vo - A )

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VII 215

Pagamento em prestações

Prática comercial muito comum são as vendas em prestações de bens e serviços, constituindo um importante meio de sustentar e fomentar o seu consumo.

O pagamento em prestações é normalmente titulado com letras vencíveis em períodos equidistantes e com o mesmo valor nominal.

Podem surgir duas situações em função do tipo de encargos englobados nas letras:

• só estão incluídos os juros à taxa i e o respectivo imposto w para o estado, ou,

• as prestações incluem os encargos bancários de uma presumível negociação bancária do desconto dessas letras (juros, comissão de cobrança, imposto e diversos).

As letras englobam apenas juros e o respectivo imposto

Consideremos:

Co - Capital em divida

Vn - Valor nominal de cada prestação

tk - prazo de vencimento da késima prestação

i - taxa de juro

I - Imposto ( w % sobre o valor do juro)

Co Vn = -------------------------------

n -∑=

+n

1j

j )w1(it

Pagamento em prestações em que as letras englobam os encargos de um possível desconto

Admita-se agora que as prestações são tituladas por letras, letras essas que englobam os encargos de uma possível negociação bancária, nomeadamente:

• juros

• comissão de cobrança

• imposto

• diversos

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VII

216

Co + n D Vn = ------------------------------------------------------

∑=

+n

1j

j )2t(i

n - ( ------------------ + n c ) ( 1 + w ) 36.500

Equivalência de Capitais

Dois conjuntos de capitais dizem-se equivalentes num determinado momento quando as somas dos valores actuais dos capitais componentes desses conjunto também forem iguais, referidos a esse momento.

Consideremos dois conjuntos de capitais:

Conjunto A - C1, C2, Cn (Capitais)

t1 , t2 , tn ( Momentos de vencimento)

Conjunto B - C’1 , C’2 , C’m (Capitais)

t’1 , t’2 , t’m ( Momentos de vencimento)

Esquematicamente:

C1 C2 Cn

A

0 t1 t2 tn

C’1 C’2 C’m

B

0 t’1 t’2 t’m

Considerando Desconto por dentro

n n m m

∑ Cj - i ∑ Cj tj = ∑ C’j - i ∑ C’j t’j j=1 j=1 j=1 j=1

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 217

Considerando Desconto por fora

Cj Cj

∑=

n

1j

= ∑=

n

1j

1+ i tj 1+ i t’j

Capital Único

Por capital único no momento t, devemos entender o valor do capital vencível no momento t, que substitui um conjunto de capitais vencíveis em momentos posteriores para uma dada taxa de juro.

Vamos considerar:

C - Conjunto de capitais - Ct, Ct+1, Ct+2, ..... Cn

t - Momentos de vencimento - t, t+1, t+2,...... n

Ct Ct+1 Ct+2 Cn

A ..............

0 t t+1 t+2 n

No momento t o capital único será o valor actual de todos os capitais vencíveis no futuro de (t+1) a n:

Para Cálculo em Desconto por Fora

∑=

−n

1j

jjj )itCC(

Ct = 1 - i t

Para Cálculo em Desconto por Dentro

Cj

Ct = ∑=

n

1j

( 1 + i t)

1 + i tj

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VII

218

Vencimento Médio

Consiste em determinar o prazo, em que se deve vencer um capital por forma a que o seu valor actual seja idêntico ao de outro capital.

Vamos determinar o momento t, em que se deve vencer o capital Ct de forma a substituir o conjunto de capitais Cj’ aplicado a uma taxa de juro i.

Ct = ∑=

n

1j

jC

Em Desconto Por Fora

∑=

n

1j

jjtC

t = -----------------

∑=

n

1j

jC

Em Desconto por Dentro

∑=

n

1j

jC 1

t = ( ---------------------- - 1 ) x -------- Cj i

∑=

n

1j

----------

1 + i tj

Taxa média

Pretende-se apurar a taxa única que aplicada a um conjunto de capitais substitui um conjunto de taxas diferentes aplicadas a esses mesmos capitais.

Consideremos um conjunto de capitais - C1, C2, Cn

aplicado pelos prazos - t1, t2, tn

ás taxas - i1, i2, in

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VII 219

Vamos deduzir a fórmula que nos permite substituir as diversas taxas por uma única taxa, produzindo o mesmo rendimento:

∑=

n

1j

jjj itC

i = ---------------------

∑=

n

1j

jjtC

Taxa Equivalente

Duas taxas diferentes, referidas a períodos diferentes dizem-se equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, produzirem, durante o mesmo prazo de tempo, o mesmo valor acumulado.

i

i’ = -----

m

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VII

220

5. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Sobre Desconto de Efeitos Comerciais

Exercício 1

O portador de uma letra de valor nominal igual a 1.500.000 u.m. e vencimento em 15 de Dezembro, procedeu ao seu desconto no dia 18 de Agosto com as seguintes condições bancárias:

• Taxa de desconto de 12% ao ano

• Prémio de transferência de 1 por mil

• Imposto de 9%

• Portes de 500 u.m.

Calcular:

1. O produto liquido de desconto

2. A taxa efectiva da operação.

Exercício 2

Considere os mesmos dados do exercício anterior apenas considerando que o prazo em falta para o seu vencimento era de 350 dias.

Comente as diferenças encontradas.

Exercício 3

Uma letra vencível em 3 de Janeiro foi descontada no dia 10 de Setembro, tendo o portador recebido o produto liquido de 1.884.281 u.m..

A letra estava domiciliada num banco pelo que as condições foram as seguintes:

• Taxa de desconto de 15% ao ano

• Prémio de transferência de 5 por mil

• Imposto de 9%

Pretende-se calcular:

1. O valor nominal da letra descontada;

2. A taxa efectiva da operação.

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 221

Exercício 4

O portador de uma letra de valor nominal igual a 120.000 u.m. descontou-a quando faltavam 100 dias para o seu vencimento, tendo recebido o produto liquido de desconto de 110.593,50 u.m..

Sabendo que as condições de desconto incluíram, para além da taxa de desconto,

• Prémio de transferência de 3 por mil

• Imposto de 9%

Calcular:

1. A taxa de desconto convencionada;

2. A taxa efectiva da operação.

Exercício 5

Um letra de valor nominal igual a 600.000 u.m. foi descontada nesta data tendo o portador recebido o produto liquido de 575.550 u.m.. Sabendo que as condições de desconto foram:

• Taxa de desconto de 12% ao ano

• Prémio de transferência de 6 por mil

• Imposto de 9%

• Portes de 500 u.m.

Determine a data de vencimento da letra.

Sobre Reforma de Efeitos Comerciais

Exercício 6

Uma letra de 5.000.000 u.m. foi reformada na data do seu vencimento nas seguintes condições:

• pagamento de 30% (sobre o valor nominal)

• aceite de uma nova letra com vencimento a 3 meses e cujo valor nominal incluirá juros à taxa de 16% ao ano.

Pretende-se calcular o valor nominal da nova letra.

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VII

222

Exercício 7

Na data de vencimento de uma letra de 6.000 u.m. procedeu-se à sua reforma nas seguintes condições:

• devedor pagou uma amortização de 30%,e;

• aceitou uma nova letra de 4.555 u.m. vencível ao fim de 90 dias

Sabendo que os encargos foram calculados de acordo com o desconto bancário a que a nova letra foi sujeita:

• comissão de cobrança de 6 por mil

• Portes de 100

• Imposto de selo de 9%

1. Calcule a taxa de desconto utilizada pela entidade bancária.

2. Calcule a taxa efectiva suportada pelo devedor.

Exercício 8

Na data do vencimento de uma letra procede-se à sua reforma por uma outra de valor nominal igual a 772.418 u.m. e vencimento a 200 dias.

A reforma foi efectuada de acordo com as seguintes condições de desconto bancário da nova letra:

• amortização de 30% na data da reforma

• a letra substituída incluirá os juros contados à taxa de 16% e os seguintes encargos adicionais:

• comissão de cobrança de 3 por mil

• imposto de selo de 9%

Determinar:

1. O valor nominal da letra reformada

2. A taxa efectiva suportada pelo devedor

Page 229: Manual Formando

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 223

Exercício 9

Na data de vencimento de uma letra de 1.200.000 u.m. procedeu-se à sua reforma nas seguintes condições:

• amortização de 25%

• aceite de uma nova letra no valor de 1.056.272 u.m., incluindo, os seguintes encargos, inerentes à operação de desconto bancário a que será submetida a nova letra:

• juros à taxa de 26%

• comissão de cobrança de 6 por mil

• porte de 100 u.m. e imposto de selo de 9%.

Determine o prazo de vencimento da letra substituta.

Sobre Pagamentos em Prestações

Exercício 10

Uma empresa colocou no mercado uma nova marca de máquinas de café, proporcionando aos seus clientes uma das seguintes modalidades de pagamento:

• entrega do valor total no acto da compra 975 u.m.;

• entrega de 275 u.m. no acto da compra e 3 prestações mensais de 260 u.m..

A empresa diz que pretende ganhar espaço de mercado e que não retira qualquer proveito financeiro desta operação.

1. Averigúe da veracidade desta informação sabendo que a taxa de mercado é de 20%

Exercício 11

A empresa “Chapéus de Chuva Lda.” pretende adquirir um equipamento industrial no valor de 2.000 u.m., propondo-se liquidá-la da seguinte forma:

• entrega de 25%

• restante em duas quantias iguais vencíveis a 6 e 18 meses, englobando juros a 12%.

Determine o valor dessas quantias.

Page 230: Manual Formando

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VII

224

Exercício 12

Um entidade comprou um produto de 100.000 u.m nas seguintes condições:

• pagamento imediato: 50%

• restante será pago em 5 prestações mensais e iguais, vencendo-se a primeira um mês após a data do contrato;

• valor em divida será titulado por meio de letras que incluem juros à taxa de 15% ao ano.

Pretende-se calcular o valor de cada prestação sabendo que a empresa vendedora calcula os juros sobre o valor nominal e não existem outros encargos que não sejam os referidos juros.

Sobre Equivalência de capitais

Exercício 13

Um entidade tem uma divida de 50.000 u.m. que deverá satisfazer da seguinte forma:

• 10.000 u.m. daqui a 6 meses

• 20.000 u.m. daqui a 9 meses

• 20.000 u.m. daqui a 18 meses

O valor da divida inclui os respectivos juros contratuais, e nesta data as partes contratantes acordaram no pagamento imediato contando juros a favor do devedor à taxa anual de 12%.

Pretende-se calcular o valor que deverá ser pago imediatamente pelo devedor através das duas modalidades de desconto, por dentro e por fora, comparando os resultados obtidos.

Exercício 14

Uma divida de 5.000 u.m. de valor nominal deverá ser paga em três pagamentos de valores nominais iguais a 1.000, 1.750 e 2.250 u.m. vencíveis a 1, 2 e 3 anos respectivamente.

Qual será o valor a pagar hoje pelo devedor considerando o cálculo em desconto por dentro e uma taxa de 8% a favor do devedor.

Exercício 15

Uma divida de valor nominal igual a 1.500 u.m. deverá ser paga por meio de três pagamentos iguais a 500 u.m. cada um, com vencimentos daqui a 6, 12 e 18 meses, respectivamente.

Nesta data as partes acordaram entre si que o devedor efectuasse um pagamento único, para liquidar toda a sua divida, na data de vencimento do primeiro pagamento, contando-se juros à taxa de 10% e pelo método de desconto por fora.

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VII 225

Exercício 16

Uma divida de valor nominal igual a 1.600 u.m. deverá ser liquidada por meio de três pagamentos de 600, 580 e 420 u.m. com vencimentos a 4, 8 e 12 meses, respectivamente.

Todavia, nesta data as partes acordaram na liquidação total daqui a 7 meses, contando-se os juros à taxa anual de 12%.

Calcule o valor a pagar pelo devedor na data acordada, considerando o desconto por fora.

Exercício 17

Uma entidade aceitou quatro letras de valores nominais iguais a 300, 500, 600 e 1.200 u.m., com vencimentos a 1, 3, 4 e 6 meses, respectivamente.

Pretende nesta data substitui-las por outras duas de igual valor nominal, vencendo-se uma a seis meses e outra a um ano, contados a partir desta data.

Calcular o valor nominal de cada uma das letras substitutas admitindo a taxa comum de 15% no regime de juro simples e desconto por fora.

Exercício 18

Um comerciante solicitou um empréstimo cuja forma de liquidação era a seguinte:

• 600 u.m. vencíveis nesta data;

• 550 u.m. vencíveis daqui a 3 meses;

• 750 u.m. vencíveis daqui a 5 meses.

Como o negócio vai mal pretende satisfazer os seus compromissos mas de outra forma:

• pagamento imediato de 100 u.m.

• pagamento do restante em três prestações iguais, vencíveis a 6, 9 e 12 meses, contados a partir desta data.

O credor aceitou a proposta à taxa de 16% ao ano, com juros contados sobre o valor nominal.

Como o nosso comerciante aceitou há que determinar o valor dessas prestações.

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VII

226

6. RESOLUÇÕES

Exercício 1

1. ( 119 + 2 ) x 12

PLD = 1.500.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,001) x 1,09) -500

36.500

PLD = 1.432.823,36 u.m.

2. 1.500.000,00 - 1.432.823,36

--------------------------------------- x (365/121) = 0,1414 = 14,14%

1.432.823,36

Exercício 2

1. ( 350 + 2 ) x 12

PLD = 1.500.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,001) x 1,09) -500

36.500

PLD = 1.308.652,95 u.m.

2. 1.500.000,00 - 1.308.652,95

--------------------------------------- x (365/352) = 0,1516 = 15,16%

1.308.652,95

Quanto mais longe estiver o vencimento menor é o PLD e maior a taxa efectiva suportada.

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VII 227

Exercício 3 1. ( 115 + 2 ) x 15

1.884.281 = VN x ( 1 - ( ---------------------- + 0,005) x 1,09)

36.500

VN = 2.000.000 u.m.

1. 2.000.000 - 1.884.281

-------------------------------- x (365/117) = 0,1916 = 19,16%

1.884.281

Exercício 4

1. ( 100 + 2 ) x Z

110.596,50 = 120.000,00 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,003) x 1,09)

36.500

Z = 0,2466 = 24,66%

2. 120.000,00 - 110.593,50

--------------------------------------- x (365/102) = 0,30436 = 30,436%

110.593,50

Exercício 5

( Z ) x 12

575.550 = 600.000 x ( 1 - ( ---------------------- + 0,006) x 1,09) -500

36.500

Z = 91 dias

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VII

228

Exercício 6

Montante da letra inicial = 5.000.000

Pagamento na data da reforma - 5.000.000 x 0,30 = 1.500.000

Valor em divida para nova letra = 3.500.000

Valor da nova letra L:

( 16 x (90+2)

3.500.000 = L x(1- --------------------------)

36.500

L = 3.647.082,33 u.m.

Exercício 7

1. Montante da letra inicial = 6.000.000

Pagamento na data da reforma - 6.000.000 x 0,30 = 1.800.000

Valor em divida para nova letra = 4.200.000

Valor da nova letra 4.555.000

( Z x (90+2)

4.200.000 = 4.555.000 x(1- (--------------------------+ 0,006) x 1,09) - 100

36.500

Z = 18 %

2. 4.555.000 - 4.200.000 365

--------------------------------- x ------- = 0,3353 = 33,53%

4.200.000 92

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VII 229

Exercício 8

1. Montante da letra inicial = Z

Pagamento na data da reforma - Z x 0,30 = Y

Valor em divida para nova letra = PLD 772.418

Valor da nova letra 772.418

( 16 x (200+2)

PLD = 772.418 x(1- (--------------------------+ 0,003) x 1,09) - 100

36.500

PLD = 695.340,50

Como Z - Y = 695.340,50 e Y = 0,30 Z teremos:

Z - 0,30 Z = 695.340,50

695.340,50

Z = --------------------

0,70

Z = 993.343,60

2. 772.418,00 - 695.340,50 365

------------------------- -------- x ------- = 0,20 = 20%

695.340,50 202

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VII

230

Exercício 9

Montante da letra inicial = 1.200.000

Pagamento na data da reforma - 1.200.000 x 0,25 = 300.000

Valor em divida para nova letra = 900.000

( 26 x ( Z+2)

900.000 = 1.056.272 x(1- (--------------------------+ 0,006) x 1,09) - 100

36.500

Z = 180 dias

Exercício 10

Vamos verificar se para uma taxa de 20% ao ano o valor actual destes pagamentos é de 975 u.m.:

260 260 260

VA = 275 + -------------- + --------------- + ----------------

0,20 0,20 0,20

1+------- 1 + ---------- 1 + ----------

12 12 12

VA = 275,000 + 753,501 = 1.028,501

Como se constata 1.028,501 é superior a 975, não é verdade que a empresa não queira ganhar com esta operação.

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VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 231

Exercício 11

Valor do equipamento = 2.000.000 u.m.

Entrega actual = 2.000.000 x 0,25 = 500.000 u.m.

Valor a titular com letras = 2.000.000 - 500.000 = 1.500.000 u.m.

L x 0,12 x 6 L x 0,12 x 12

1.500.000 = L - -------------------- + L - ----------------------

12 12

L x 0,12

1.500.000 = 2 L - --------------- x ( 6 + 18 )

12

L = 852,27(7)

Exercício 12

Valor do equipamento = 100.000 u.m.

Entrega actual = 100.000 x 0,5 = 50.000 u.m.

Valor a titular com letras = 100.000 - 50.000 = 50.000 u.m.

L x 0,15 x (1+2+3+4+5)

50.000 = 5L - ---------------------------------------

12

L x 0,15 x 15

50.000 = 5L - --------------------------

12

L = 10.389,6

Page 238: Manual Formando

IEFP VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES

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VII

232

Exercício 13

Pagamentos 10.000 20.000 20.000

6 9 18

Desconto por dentro:

10.000 20.000 20.000

VA = ------------------------- + -------------------------- + ----------------------

0,12 0,12 0,12

(1 + ---------- x 6) ( 1 + -------- x 9 ) ( 1 + --------- x 18)

12 12 12

VA = 44.732 u.m.

Desconto por fora:

0,12 0,12 0,12

VA=10.000 x (1 - ------ x 6) + 20.000 ( 1 - ----- x 9 ) + 20.000 ( 1 + ----- x 18)

12 12 12

VA = 43.400 u.m.

Exercício 14

Desconto por dentro

1.000 1.750 2.250

VA = ------------------- + -------------------- + -------------------

( 1 + 0,08 x 1) ( 1 + 0,08 x 2 ) ( 1 + 0,08 x 3)

VA = 4.244,07 u.m.

Page 239: Manual Formando

VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES IEFP

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VII 233

Exercício 15

Vamos calcular o VA daqui a 6 meses, data do 1º pagamento:

0,10

VA = 500 + 500 x ( 1 - --------) + 500 x ( 1 - 0,10)

2

VA = 1.425 u.m.

Exercício 16

No momento 7 o valor resulta da capitalização do primeiro pagamento durante 3 meses e da actualização de 580 por um mês e de 420 por 5 meses:

0,12 0,12 0,12

P = 600 x ( 1 + ------- x 3 ) + 580 x ( 1 - -------) + 420 x ( 1 - ------ x 5)

12 12 12

P = 1.591,20 u.m.

Exercício 17

Vamos determinar o valor das novas letras cujo valor actual será o valor actual das quatro letras apresentadas:

0,15 0,15 0,15 0,15

VA=300x(1 - ------ ) +500( 1 - ---- x 3 )+600( 1 + ----- x 4)+1.200 ( 1 + ----- x 6)

12 12 12 12

VA = 2.457,50

O valor das duas letras (L) tem que ter este VA:

0,15 0,15

2.457,50 = L ( 1 - -------- x 6) + L ( 1 - --------- x 12 )

12 12

L = 1.384,50 u.m.

Page 240: Manual Formando

IEFP VII. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JURO SIMPLES

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VII

234

Exercício 18

Vamos em primeiro lugar determinar o Valor Actual da divida:

0,16 0,16

VA= 600 + 550 x (1 - ------ x 3 ) +750 ( 1 - ---- x 5 )

12 12

VA = 1.828 u.m.

Após o pagamento de 100 u.m. teremos uma divida de 1.728 u.m. a pagar em 3 prestações iguais com vencimentos a 6, 9 e 12 meses:

0,16 0,16 0,16

1.728 = L ( 1 - -------- x 6) + L ( 1 - ------- x 9 )+ L ( 1 - -------- x 12 )

12 12 12

L = 692,424 u.m.

Page 241: Manual Formando

CÁLCULO COMERCIALE

FINANCEIRO

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

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VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

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VIII 237

Objectivos

No final desta unidade temática o formando deve estar apto a:

• Identificar os casos de aplicação do regime de juro composto;

• Perceber o regime de juro composto distinguindo-o do regime de juro simples;

• Efectuar cálculo de juros;

• Calcular taxas referidas a períodos de capitalização diferentes;

• Resolver problemas em que uma das grandezas seja desconhecida.

Temas

1. Capitalização a juro composto

2. Taxas Equivalentes

• Resumo

• Questões e Exercícios

• Resoluções

Vamos estudar neste capítulo algumas noções básicas relativas ao regime de juro composto como complemento ao estudo já efectuado do regime de juro simples.

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IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

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VIII 238

1. CAPITALIZAÇÃO A JURO COMPOSTO

Noções Relativas ao Juro Composto

No regime de juro composto, contrariamente ao regime de juro simples, o juro produzido em cada período não é constante.

No final de cada período de contagem de juro, o juro gerado é adicionado ao capital aplicado no inicio desse mesmo período sendo o seu conjunto o novo capital que conta juros.

Se colocarmos 100 u.m. à taxa de 5% durante 3 anos, teremos:

• No 1º ano estão aplicadas 100 u.m. sendo o juro de 5 u.m. (100 x 0,05);

• No 2º ano estão aplicadas 105 u.m. (100 + 5), sendo o juro de 5,25 u.m. (105 x 0,05);

• No 3º ano estão aplicadas 110,25 u.m. ( 100 + 5 + 5,25 ), sendo o juro de 5,5125 u.m. (110,25 x 0,05);

• juro total gerado foi de 5 + 5,25 + 5,5125 = 15,7625;

Em regime de juro simples o juro seria sempre de 5 u.m. ao ano, sendo o juro acumulado de 15.

Expressão Algébrica do Juro Composto

Observemos a seguinte representação:

Co C1 C2 C t-1 C t

0 1 2 t-1 t

Co - representa o capital inicial e que gera juros no momento 1;

C1 - representa o capital inicial adicionado dos juros gerados no momento 1 e que gera juros no momento 2;

C2 - representa o capital do momento 1 adicionado dos juros gerados no momento 2 e que gera juros no momento 3;

i - representa a taxa de juro aplicada a cada período de tempo

Page 245: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 239

Ou seja:

C1 = Co + J1 = Co + ( Co x i x 1 ) = Co x ( 1 + i )

C2 = C1 + J2 = C1 + ( C1 x i x 1 ) = C1 x ( 1 + i ) = Co x ( 1 + i ) x ( 1 + i ) =

= Co x ( 1 + i )2

Fórmula geral de capitalização em regime de juro composto

Ct = Co x ( 1 + i ) t

Consideremos um capital de 1.500 u.m. que foi aplicado em regime de juro composto pelo prazo de 5 anos à taxa de 4% ao ano, vamos determinar o juro gerado:

Ct = 1.500 x ( 1 + 0,04 ) 5

Ct = 1.824,98 u.m.

Exercício 1

Um capital de 2.500 u.m. esteve aplicado durante 3 anos à taxa efectiva anual de 8,5% com capitalizações trimestrais. Qual o valor acumulado no final desse período?

Resolução:

Em primeiro lugar vamos calcular a taxa equivalente à taxa efectiva anual de 8,5%:

( 1 + 0, 085 ) 1/3 - 1 = 0,02757

Em segundo lugar vamos calcular o capital acumulado no final do 9 trimestres:

C9 = 2.500 x ( 1 + 0,02757 ) 9 = 3.193,33(3)

Expressões Algébricas do Juro e Capital Inicial

Sabemos que o juro corresponde à diferença entre o capital final e o capital inicial, podemos então determinar a fórmula do juro a partir de:

Juro = Ct - Co

Page 246: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

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VIII 240

Sendo Ct = Co x ( 1 + i ) t

virá Juro = Co x ( 1 + i ) t - Co

Jt = Co x ( ( 1+ i ) t - 1)

Calculemos o juro gerado por um capital de 2.000 u.m. que esteve aplicado durante 5 anos à taxa de 8%:

Jt = Co x ( ( 1+ i ) t - 1)

J5 = 2.000 x ( ( 1+ 0,08 ) 5 - 1)

J5 = 938,66 u.m.

Exercício 2

O capital de 1.750 u.m. foi aplicado em regime de juro composto à taxa anual de 5%.

Qual o juro produzido no 1º ano? e no 3º?

Resolução:

No primeiro ano o juro produzido foi de:

1.750 x 0,05 = 87,5 u.m.

No terceiro ano o juro produzido foi de:

1.750 x ( 1 + 0,05)2 x 0,05 = 96,47

Podemos ainda expressar o capital inicial em função das outras grandezas:

De Ct = Co x ( 1 + i ) t

teremos:

Ct

Co = ----------------

( 1 + i ) t

Page 247: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

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VIII 241

Se soubermos que um determinado capital esteve aplicado durante 3 anos à taxa de 5%, sendo o capital acumulado no final do 3º ano de 6.367 u.m., podemos calcular esse capital inicial:

6.367

Co = ----------------

( 1 + 0,05 ) 3

Co = 5.500 u.m.

Da mesma forma podemos também calcular a taxa de juro e o prazo de aplicação, decorrentes da fórmula:

Ct

( 1 + i ) t = -------

Co

A expressão da taxa de juro será:

i = t ot cc 1/ −

ou de outra forma:

i = ( Ct / Co ) 1/t

Para resolvermos estes problemas no tocante ao prazo podemos efectuar o recurso á tabela seguinte:

• em que t corresponde ao prazo, e

• ( 1 + i ) t é o factor de capitalização de valor ( Ct/ Co).

Para a taxa de 5%:

t ( 1 + i ) t

1 1,05

2 1,1025

3 1,15762

Page 248: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

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VIII 242

Se por exemplo quisermos saber qual o prazo de aplicação do capital de 500 u.m. que à taxa de 5% gerou um capital de 551,25 u.m. teremos:

551,25 = 500 x ( 1 + 0,05) t

( 1 + 0,05 ) t = 551,25 / 500

( 1 + 0,05 ) t = 1,1025

recorrendo à tabela referida constatamos que o prazo são 2 anos.

No final deste capítulo constam as tabelas referentes ás taxas (i) de 0,05% a 1 % a 30% para o período (t) de 1 a 25.

No entanto somos confrontados muitas vezes com situações em que as tabelas não respondem imediatamente ás nossas questões pelo que utilizamos a interpolação linear.

Interpolação consiste em intercalar valores num conjunto de outros conhecidos, ou seja conhecemos um limite inferior e um limite superior, vamos calcular uma realidade no seu intervalo.

Em que consiste a interpolação linear?

Nas tabelas constam duas realidades:

• momento t que vamos denominar de variável z;

• factor de capitalização (1+i)t que vamos denominar por variável y;

Vamos calcular um z’ sendo conhecido o factor y:

Sabendo que z’ está situado entre z1 e z2, a estes correspondem os factores y, y1 e y2, teremos:

(z2 - z1) x ( y - y1)

z’ = -------------------------- + z1

y2 - y1

Se quisermos saber o factor tempo para um factor de capitalização de 1,9548 sendo a taxa de 12% ao ano, vamos:

Em primeiro lugar observar na tabela de 12% e procurar o valor de 1,9548

os valores do factor próximos deste valor são:

para z1 = 5 ----- y1 = 1,7623

para z2 = 6 ----- y2 = 1,9738

Page 249: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

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VIII 243

Em 2º lugar vamos aplicar a fórmula:

( 6 - 5 ) x ( 1,9548 - 1,7623)

z’ = ---------------------------------------- + 5

1,9738 - 1,7623

z’ = 5,91017

O número inteiro representa o número de anos, ou seja 5 anos, vamos aplicar o que resta ao numero de meses:

12 meses x 0,91017 = 10 meses e 0,92204 de um mês

vamos saber quantos dias representam 0,92204 de um mês, consideremos o número de dias médio de 30 por mês:

30 dias x 0,92204 = 27,66120 dias ou seja 28 dias.

Temos então que a resposta são 5 anos 10 meses e 28 dias.

Podemos também calcular o valor do factor y sabendo o valor de z, teremos a seguinte fórmula:

(y2 - y1) x ( z - z1)

y’ = -------------------------- + y1

z2 - z1

Vamos calcular o factor correspondente a 5 anos e 3 meses para a taxa de 12%:

Em primeiro lugar observar na tabela de 12% e procurar os valores de 5 e 6 anos, pois 5 anos e 3 meses são 5,25 anos:

os valores do factor são:

para z1 = 5 ----- y1 = 1,7623

para z2 = 6 ----- y2 = 1,9738

Em 2º lugar vamos aplicar a fórmula:

( 1,9738 - 1,7623 ) x ( 5,25 - 5)

z’ = ------------------------------------------- + 1,7623

( 6 - 5 )

z’ = 1,81518

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VIII 244

Exercício 3

Um capital de 12.000 u.m. esteve aplicado à taxa de 4% ao ano sendo o capital acumulado de 17.079,7 u.m. qual foi o prazo da aplicação?

Resolução:

17.079,7 = 12.000 x ( 1 + 0,04) n

17.079,7

( 1 + 0,04) n = --------------

12.000

( 1 + 0,04) n = 1.42331

Consultando a tabela anexa na coluna dos 4% encontramos o factor 1.42331 para n igual a 9,

Logo o prazo de aplicação foi de 9 anos.

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VIII 245

2. TAXAS EQUIVALENTES

A Adequação da Taxa de Juro ao Período de Cálculo

O período da taxa de juro pode não coincidir com o período em que está expresso o factor tempo.

________m__________

0 1

________ ___________

0 1/m 1

Se considerarmos uma taxa anual (i) para ser aplicada a m meses vem:

m

t = -----

12

i m/n = ( 1 + i ) m/n - 1

Tomemos por exemplo o cálculo do juro produzido por um capital de 200 u.m., à taxa de 12% pelo prazo de 6 meses:

6

t = -----

12

J 6/12 = 200 x ( ( 1 + 0,12 ) 6/12 - 1 ) = 11,66%

Denomina-se taxa equivalente, a taxa a aplicar a um sub - período m, sendo m é uma parcela do período de capitalização n.

Lembramos que período de capitalização é o período de tempo em que se verifica o acréscimo dos juros ou seja é o período em que se aplica o factor de capitalização (1+i).

Por exemplo a taxa semestral equivalente à taxa de período de capitalização anual de 20% será:

Qual o valor de m? Quantas vezes cabe um semestre num ano?

m = 12 / 6 = 2

então:

i ‘2 = ( 1 + 0,2 ) ½ - 1

i ‘2 = 9,54 %

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VIII 246

Taxa Nominal e Taxa Efectiva

Taxa nominal é a taxa negociada para o período de capitalização respectivo, por exemplo:

• Taxa nominal anual de 20% com uma capitalização

• Taxa nominal anual de 20% com capitalização semestral

• Taxa nominal anual de 20% com capitalização trimestral

A taxa efectiva corresponde à taxa realmente utilizada no período da taxa em virtude do período de capitalização que se considera:

Sendo n o período da taxa e m o período de capitalização dessa mesma taxa teremos:

i n/m - taxa para o período n e m períodos de capitalização

i 1/m - taxa para cada período de capitalização

i

i 1/m = ( 1 + ------) 1/m - 1

m

ou de outra forma:

i 1/m = m mi 1)/(1 −+

No exemplo mencionado teremos:

• Taxa nominal anual de 20% com uma capitalização

Corresponde a 20% pois o 1/m é 1;

• Taxa nominal anual de 20% com capitalização semestral

Teremos uma taxa efectiva anual de:

0,20

i 2 = (1 + -------- ) 2 - 1 = 0,21 = 21%

2

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VIII 247

• Taxa nominal anual de 20% com capitalização trimestral

0,20

i 4 = (1 + -------- ) 4 - 1 = 0,21551 = 21,551%

4

Como podemos observar quanto maior for o número de períodos de capitalização maior é o valor da taxa efectiva face à taxa nominal.

Exercício 1

Um devedor assumiu pagar o valor de 1.500 u.m. no final de 3 anos com juros compostos à taxa nominal de 10% com capitalizações semestrais.

Calcule:

1. O valor a pagar pelo devedor.

2. Taxa efectiva da operação.

Resolução:

O valor a pagar pelo devedor:

Vamos em primeiro lugar transformar a taxa nominal anual em taxa nominal trimestral:

0,10 / 2 = 0,05

Quantos semestres cabem num ano? - 12/6 = 2, com temos 3 anos são 6 semestres.

Então:

C6 = 1.500 x ( 1 + 0,05) 6 = 1.501,34

Taxa efectiva da operação

Vamos calcular a taxa efectiva correspondente à taxa nominal de 5% ao semestre:

(1 + 0,05) 2 -1 = 0,1025 = 10,25%

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VIII 248

Exercício 2

Um certo capital esteve aplicado em regime de juro composto durante 3 anos tendo-se obtido o valor acumulado, no final do terceiro anos de 608,214 u.m..

As taxas da aplicação foram as seguintes:

• No 1º ano 6% ao ano com duas capitalizações anuais;

• No 2º ano 5% ao semestre;

• No 3º ano 4% efectiva ao ano.

Calcular o valor inicialmente aplicado.

Resolução:

Temos que calcular as taxas efectivas em cada ano.

1º ano : 0,06/2 = 0,03 ; (1+ 0,03) 2 - 1 = 0,06090

2º ano : (1 + 0,05) 2 - 1= 0,1025

3º ano : 0,04

Co x ( 1 + 0,0609) x ( 1 + 0,1025 ) x ( 1 + 0,04 ) = 608,214

Co = 500 u.m.

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VIII 249

Tabelas anexas

t ( 1 + i )

t / i 0.005% 0.010% 0.015% 0.020% 0.025% 0.030% 0.035% 0.040% 0.045% 0.050%

1 1.00005 1.00010 1.00015 1.00020 1.00025 1.00030 1.00035 1.00040 1.00045 1.00050

2 1.00010 1.00020 1.00030 1.00040 1.00050 1.00060 1.00070 1.00080 1.00090 1.00100

3 1.00015 1.00030 1.00045 1.00060 1.00075 1.00090 1.00105 1.00120 1.00135 1.00150

4 1.00020 1.00040 1.00060 1.00080 1.00100 1.00120 1.00140 1.00160 1.00180 1.00200

5 1.00025 1.00050 1.00075 1.00100 1.00125 1.00150 1.00175 1.00200 1.00225 1.00250

6 1.00030 1.00060 1.00090 1.00120 1.00150 1.00180 1.00210 1.00240 1.00270 1.00300

7 1.00035 1.00070 1.00105 1.00140 1.00175 1.00210 1.00245 1.00280 1.00315 1.00351

8 1.00040 1.00080 1.00120 1.00160 1.00200 1.00240 1.00280 1.00320 1.00361 1.00401

9 1.00045 1.00090 1.00135 1.00180 1.00225 1.00270 1.00315 1.00361 1.00406 1.00451

10 1.00050 1.00100 1.00150 1.00200 1.00250 1.00300 1.00351 1.00401 1.00451 1.00501

11 1.00055 1.00110 1.00165 1.00220 1.00275 1.00330 1.00386 1.00441 1.00496 1.00551

12 1.00060 1.00120 1.00180 1.00240 1.00300 1.00361 1.00421 1.00481 1.00541 1.00602

13 1.00065 1.00130 1.00195 1.00260 1.00325 1.00391 1.00456 1.00521 1.00587 1.00652

14 1.00070 1.00140 1.00210 1.00280 1.00351 1.00421 1.00491 1.00561 1.00632 1.00702

15 1.00075 1.00150 1.00225 1.00300 1.00376 1.00451 1.00526 1.00602 1.00677 1.00753

16 1.00080 1.00160 1.00240 1.00320 1.00401 1.00481 1.00561 1.00642 1.00722 1.00803

17 1.00085 1.00170 1.00255 1.00341 1.00426 1.00511 1.00597 1.00682 1.00768 1.00853

18 1.00090 1.00180 1.00270 1.00361 1.00451 1.00541 1.00632 1.00722 1.00813 1.00904

19 1.00095 1.00190 1.00285 1.00381 1.00476 1.00572 1.00667 1.00763 1.00858 1.00954

20 1.00100 1.00200 1.00300 1.00401 1.00501 1.00602 1.00702 1.00803 1.00904 1.01005

21 1.00105 1.00210 1.00315 1.00421 1.00526 1.00632 1.00738 1.00843 1.00949 1.01055

22 1.00110 1.00220 1.00331 1.00441 1.00551 1.00662 1.00773 1.00884 1.00995 1.01106

23 1.00115 1.00230 1.00346 1.00461 1.00577 1.00692 1.00808 1.00924 1.01040 1.01156

24 1.00120 1.00240 1.00361 1.00481 1.00602 1.00722 1.00843 1.00964 1.01086 1.01207

25 1.00125 1.00250 1.00376 1.00501 1.00627 1.00753 1.00879 1.01005 1.01131 1.01258

Page 256: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 250

t ( 1 + i )

t / i 0.055% 0.060% 0.065% 0.070% 0.075% 0.080% 0.085% 0.090% 0.095% 0.100%

1 1.00055 1.00060 1.00065 1.00070 1.00075 1.00080 1.00085 1.00090 1.00095 1.00100

2 1.00110 1.00120 1.00130 1.00140 1.00150 1.00160 1.00170 1.00180 1.00190 1.00200

3 1.00165 1.00180 1.00195 1.00210 1.00225 1.00240 1.00255 1.00270 1.00285 1.00300

4 1.00220 1.00240 1.00260 1.00280 1.00300 1.00320 1.00340 1.00360 1.00381 1.00401

5 1.00275 1.00300 1.00325 1.00350 1.00376 1.00401 1.00426 1.00451 1.00476 1.00501

6 1.00330 1.00361 1.00391 1.00421 1.00451 1.00481 1.00511 1.00541 1.00571 1.00602

7 1.00386 1.00421 1.00456 1.00491 1.00526 1.00561 1.00597 1.00632 1.00667 1.00702

8 1.00441 1.00481 1.00521 1.00561 1.00602 1.00642 1.00682 1.00722 1.00763 1.00803

9 1.00496 1.00541 1.00587 1.00632 1.00677 1.00722 1.00768 1.00813 1.00858 1.00904

10 1.00551 1.00602 1.00652 1.00702 1.00753 1.00803 1.00853 1.00904 1.00954 1.01005

11 1.00607 1.00662 1.00717 1.00773 1.00828 1.00884 1.00939 1.00994 1.01050 1.01106

12 1.00662 1.00722 1.00783 1.00843 1.00904 1.00964 1.01025 1.01085 1.01146 1.01207

13 1.00717 1.00783 1.00848 1.00914 1.00979 1.01045 1.01111 1.01176 1.01242 1.01308

14 1.00773 1.00843 1.00914 1.00984 1.01055 1.01126 1.01197 1.01267 1.01338 1.01409

15 1.00828 1.00904 1.00979 1.01055 1.01131 1.01207 1.01283 1.01359 1.01435 1.01511

16 1.00884 1.00964 1.01045 1.01126 1.01207 1.01288 1.01369 1.01450 1.01531 1.01612

17 1.00939 1.01025 1.01111 1.01197 1.01283 1.01369 1.01455 1.01541 1.01627 1.01714

18 1.00995 1.01086 1.01176 1.01268 1.01359 1.01450 1.01541 1.01632 1.01724 1.01815

19 1.01050 1.01146 1.01242 1.01338 1.01435 1.01531 1.01627 1.01724 1.01821 1.01917

20 1.01106 1.01207 1.01308 1.01409 1.01511 1.01612 1.01714 1.01815 1.01917 1.02019

21 1.01161 1.01268 1.01374 1.01480 1.01587 1.01694 1.01800 1.01907 1.02014 1.02121

22 1.01217 1.01328 1.01440 1.01551 1.01663 1.01775 1.01887 1.01999 1.02111 1.02223

23 1.01273 1.01389 1.01506 1.01622 1.01739 1.01856 1.01973 1.02091 1.02208 1.02325

24 1.01328 1.01450 1.01572 1.01694 1.01816 1.01938 1.02060 1.02183 1.02305 1.02428

25 1.01384 1.01511 1.01638 1.01765 1.01892 1.02019 1.02147 1.02274 1.02402 1.02530

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VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 251

t ( 1 + i )

t / i 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%

1 1.00500 1.01000 1.01500 1.02000 1.02500 1.03000 1.03500 1.04000 1.04500 1.05000

2 1.01003 1.02010 1.03023 1.04040 1.05063 1.06090 1.07123 1.08160 1.09203 1.10250

3 1.01508 1.03030 1.04568 1.06121 1.07689 1.09273 1.10872 1.12486 1.14117 1.15763

4 1.02015 1.04060 1.06136 1.08243 1.10381 1.12551 1.14752 1.16986 1.19252 1.21551

5 1.02525 1.05101 1.07728 1.10408 1.13141 1.15927 1.18769 1.21665 1.24618 1.27628

6 1.03038 1.06152 1.09344 1.12616 1.15969 1.19405 1.22926 1.26532 1.30226 1.34010

7 1.03553 1.07214 1.10984 1.14869 1.18869 1.22987 1.27228 1.31593 1.36086 1.40710

8 1.04071 1.08286 1.12649 1.17166 1.21840 1.26677 1.31681 1.36857 1.42210 1.47746

9 1.04591 1.09369 1.14339 1.19509 1.24886 1.30477 1.36290 1.42331 1.48610 1.55133

10 1.05114 1.10462 1.16054 1.21899 1.28008 1.34392 1.41060 1.48024 1.55297 1.62889

11 1.05640 1.11567 1.17795 1.24337 1.31209 1.38423 1.45997 1.53945 1.62285 1.71034

12 1.06168 1.12683 1.19562 1.26824 1.34489 1.42576 1.51107 1.60103 1.69588 1.79586

13 1.06699 1.13809 1.21355 1.29361 1.37851 1.46853 1.56396 1.66507 1.77220 1.88565

14 1.07232 1.14947 1.23176 1.31948 1.41297 1.51259 1.61869 1.73168 1.85194 1.97993

15 1.07768 1.16097 1.25023 1.34587 1.44830 1.55797 1.67535 1.80094 1.93528 2.07893

16 1.08307 1.17258 1.26899 1.37279 1.48451 1.60471 1.73399 1.87298 2.02237 2.18287

17 1.08849 1.18430 1.28802 1.40024 1.52162 1.65285 1.79468 1.94790 2.11338 2.29202

18 1.09393 1.19615 1.30734 1.42825 1.55966 1.70243 1.85749 2.02582 2.20848 2.40662

19 1.09940 1.20811 1.32695 1.45681 1.59865 1.75351 1.92250 2.10685 2.30786 2.52695

20 1.10490 1.22019 1.34686 1.48595 1.63862 1.80611 1.98979 2.19112 2.41171 2.65330

21 1.11042 1.23239 1.36706 1.51567 1.67958 1.86029 2.05943 2.27877 2.52024 2.78596

22 1.11597 1.24472 1.38756 1.54598 1.72157 1.91610 2.13151 2.36992 2.63365 2.92526

23 1.12155 1.25716 1.40838 1.57690 1.76461 1.97359 2.20611 2.46472 2.75217 3.07152

24 1.12716 1.26973 1.42950 1.60844 1.80873 2.03279 2.28333 2.56330 2.87601 3.22510

25 1.13280 1.28243 1.45095 1.64061 1.85394 2.09378 2.36324 2.66584 3.00543 3.38635

Page 258: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 252

t ( 1 + i )

t / i 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0%

1 1.05500 1.06000 1.06500 1.07000 1.07500 1.08000 1.08500 1.09000 1.09500 1.10000

2 1.11303 1.12360 1.13423 1.14490 1.15563 1.16640 1.17723 1.18810 1.19903 1.21000

3 1.17424 1.19102 1.20795 1.22504 1.24230 1.25971 1.27729 1.29503 1.31293 1.33100

4 1.23882 1.26248 1.28647 1.31080 1.33547 1.36049 1.38586 1.41158 1.43766 1.46410

5 1.30696 1.33823 1.37009 1.40255 1.43563 1.46933 1.50366 1.53862 1.57424 1.61051

6 1.37884 1.41852 1.45914 1.50073 1.54330 1.58687 1.63147 1.67710 1.72379 1.77156

7 1.45468 1.50363 1.55399 1.60578 1.65905 1.71382 1.77014 1.82804 1.88755 1.94872

8 1.53469 1.59385 1.65500 1.71819 1.78348 1.85093 1.92060 1.99256 2.06687 2.14359

9 1.61909 1.68948 1.76257 1.83846 1.91724 1.99900 2.08386 2.17189 2.26322 2.35795

10 1.70814 1.79085 1.87714 1.96715 2.06103 2.15892 2.26098 2.36736 2.47823 2.59374

11 1.80209 1.89830 1.99915 2.10485 2.21561 2.33164 2.45317 2.58043 2.71366 2.85312

12 1.90121 2.01220 2.12910 2.25219 2.38178 2.51817 2.66169 2.81266 2.97146 3.13843

13 2.00577 2.13293 2.26749 2.40985 2.56041 2.71962 2.88793 3.06580 3.25375 3.45227

14 2.11609 2.26090 2.41487 2.57853 2.75244 2.93719 3.13340 3.34173 3.56285 3.79750

15 2.23248 2.39656 2.57184 2.75903 2.95888 3.17217 3.39974 3.64248 3.90132 4.17725

16 2.35526 2.54035 2.73901 2.95216 3.18079 3.42594 3.68872 3.97031 4.27195 4.59497

17 2.48480 2.69277 2.91705 3.15882 3.41935 3.70002 4.00226 4.32763 4.67778 5.05447

18 2.62147 2.85434 3.10665 3.37993 3.67580 3.99602 4.34245 4.71712 5.12217 5.55992

19 2.76565 3.02560 3.30859 3.61653 3.95149 4.31570 4.71156 5.14166 5.60878 6.11591

20 2.91776 3.20714 3.52365 3.86968 4.24785 4.66096 5.11205 5.60441 6.14161 6.72750

21 3.07823 3.39956 3.75268 4.14056 4.56644 5.03383 5.54657 6.10881 6.72507 7.40025

22 3.24754 3.60354 3.99661 4.43040 4.90892 5.43654 6.01803 6.65860 7.36395 8.14027

23 3.42615 3.81975 4.25639 4.74053 5.27709 5.87146 6.52956 7.25787 8.06352 8.95430

24 3.61459 4.04893 4.53305 5.07237 5.67287 6.34118 7.08457 7.91108 8.82956 9.84973

25 3.81339 4.29187 4.82770 5.42743 6.09834 6.84848 7.68676 8.62308 9.66836 10.8347

Page 259: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 253

t ( 1 + i )

t / i 10.5% 11.0% 11.5% 12.0% 12.5% 13.0% 13.5% 14.0% 14.5% 15.0%

1 1.1050 1.1100 1.1150 1.1200 1.1250 1.1300 1.1350 1.1400 1.1450 1.1500

2 1.2210 1.2321 1.2432 1.2544 1.2656 1.2769 1.2882 1.2996 1.3110 1.3225

3 1.3492 1.3676 1.3862 1.4049 1.4238 1.4429 1.4621 1.4815 1.5011 1.5209

4 1.4909 1.5181 1.5456 1.5735 1.6018 1.6305 1.6595 1.6890 1.7188 1.7490

5 1.6474 1.6851 1.7234 1.7623 1.8020 1.8424 1.8836 1.9254 1.9680 2.0114

6 1.8204 1.8704 1.9215 1.9738 2.0273 2.0820 2.1378 2.1950 2.2534 2.3131

7 2.0116 2.0762 2.1425 2.2107 2.2807 2.3526 2.4264 2.5023 2.5801 2.6600

8 2.2228 2.3045 2.3889 2.4760 2.5658 2.6584 2.7540 2.8526 2.9542 3.0590

9 2.4562 2.5580 2.6636 2.7731 2.8865 3.0040 3.1258 3.2519 3.3826 3.5179

10 2.7141 2.8394 2.9699 3.1058 3.2473 3.3946 3.5478 3.7072 3.8731 4.0456

11 2.9991 3.1518 3.3115 3.4785 3.6532 3.8359 4.0267 4.2262 4.4347 4.6524

12 3.3140 3.4985 3.6923 3.8960 4.1099 4.3345 4.5704 4.8179 5.0777 5.3503

13 3.6619 3.8833 4.1169 4.3635 4.6236 4.8980 5.1874 5.4924 5.8140 6.1528

14 4.0464 4.3104 4.5904 4.8871 5.2016 5.5348 5.8877 6.2613 6.6570 7.0757

15 4.4713 4.7846 5.1183 5.4736 5.8518 6.2543 6.6825 7.1379 7.6222 8.1371

16 4.9408 5.3109 5.7069 6.1304 6.5833 7.0673 7.5846 8.1372 8.7275 9.3576

17 5.4596 5.8951 6.3632 6.8660 7.4062 7.9861 8.6085 9.2765 9.9929 10.7613

18 6.0328 6.5436 7.0949 7.6900 8.3319 9.0243 9.7707 10.5752 11.4419 12.3755

19 6.6663 7.2633 7.9108 8.6128 9.3734 10.1974 11.0897 12.0557 13.1010 14.2318

20 7.3662 8.0623 8.8206 9.6463 10.5451 11.5231 12.5869 13.7435 15.0006 16.3665

21 8.1397 8.9492 9.8350 10.8038 11.8632 13.0211 14.2861 15.6676 17.1757 18.8215

22 8.9944 9.9336 10.9660 12.1003 13.3461 14.7138 16.2147 17.8610 19.6662 21.6447

23 9.9388 11.0263 12.2271 13.5523 15.0144 16.6266 18.4037 20.3616 22.5178 24.8915

24 10.9823 12.2392 13.6332 15.1786 16.8912 18.7881 20.8882 23.2122 25.7829 28.6252

25 12.1355 13.5855 15.2010 17.0001 19.0026 21.2305 23.7081 26.4619 29.5214 32.9190

Page 260: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 254

t ( 1 + i )

t / i 15.5% 16.0% 16.5% 17.0% 17.5% 18.0% 18.5% 19.0% 19.5% 20.0%

1 1.1550 1.1600 1.1650 1.1700 1.1750 1.1800 1.1850 1.1900 1.1950 1.2000

2 1.3340 1.3456 1.3572 1.3689 1.3806 1.3924 1.4042 1.4161 1.4280 1.4400

3 1.5408 1.5609 1.5812 1.6016 1.6222 1.6430 1.6640 1.6852 1.7065 1.7280

4 1.7796 1.8106 1.8421 1.8739 1.9061 1.9388 1.9718 2.0053 2.0393 2.0736

5 2.0555 2.1003 2.1460 2.1924 2.2397 2.2878 2.3366 2.3864 2.4369 2.4883

6 2.3741 2.4364 2.5001 2.5652 2.6316 2.6996 2.7689 2.8398 2.9121 2.9860

7 2.7420 2.8262 2.9126 3.0012 3.0922 3.1855 3.2812 3.3793 3.4800 3.5832

8 3.1671 3.2784 3.3932 3.5115 3.6333 3.7589 3.8882 4.0214 4.1586 4.2998

9 3.6580 3.8030 3.9531 4.1084 4.2691 4.4355 4.6075 4.7854 4.9695 5.1598

10 4.2249 4.4114 4.6053 4.8068 5.0162 5.2338 5.4599 5.6947 5.9385 6.1917

11 4.8798 5.1173 5.3652 5.6240 5.8941 6.1759 6.4700 6.7767 7.0965 7.4301

12 5.6362 5.9360 6.2504 6.5801 6.9256 7.2876 7.6669 8.0642 8.4804 8.9161

13 6.5098 6.8858 7.2818 7.6987 8.1375 8.5994 9.0853 9.5964 10.1340 10.6993

14 7.5188 7.9875 8.4833 9.0075 9.5616 10.1472 10.7661 11.4198 12.1102 12.8392

15 8.6842 9.2655 9.8830 10.5387 11.2349 11.9737 12.7578 13.5895 14.4717 15.4070

16 10.0302 10.7480 11.5137 12.3303 13.2010 14.1290 15.1180 16.1715 17.2936 18.4884

17 11.5849 12.4677 13.4135 14.4265 15.5111 16.6722 17.9148 19.2441 20.6659 22.1861

18 13.3806 14.4625 15.6267 16.8790 18.2256 19.6733 21.2290 22.9005 24.6958 26.6233

19 15.4546 16.7765 18.2051 19.7484 21.4151 23.2144 25.1564 27.2516 29.5114 31.9480

20 17.8501 19.4608 21.2089 23.1056 25.1627 27.3930 29.8103 32.4294 35.2662 38.3376

21 20.6168 22.5745 24.7084 27.0336 29.5662 32.3238 35.3253 38.5910 42.1431 46.0051

22 23.8124 26.1864 28.7853 31.6293 34.7403 38.1421 41.8604 45.9233 50.3610 55.2061

23 27.5034 30.3762 33.5348 37.0062 40.8198 45.0076 49.6046 54.6487 60.1813 66.2474

24 31.7664 35.2364 39.0681 43.2973 47.9633 53.1090 58.7815 65.0320 71.9167 79.4968

25 36.6902 40.8742 45.5143 50.6578 56.3568 62.6686 69.6560 77.3881 85.9405 95.3962

Page 261: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 255

t ( 1 + i )

t / i 20.5% 21.0% 21.5% 22.0% 22.5% 23.0% 23.5% 24.0% 24.5% 25.0%

1 1.205 1.210 1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250

2 1.452 1.464 1.476 1.488 1.501 1.513 1.525 1.538 1.550 1.563

3 1.750 1.772 1.794 1.816 1.838 1.861 1.884 1.907 1.930 1.953

4 2.108 2.144 2.179 2.215 2.252 2.289 2.326 2.364 2.403 2.441

5 2.541 2.594 2.648 2.703 2.759 2.815 2.873 2.932 2.991 3.052

6 3.061 3.138 3.217 3.297 3.379 3.463 3.548 3.635 3.724 3.815

7 3.689 3.797 3.909 4.023 4.140 4.259 4.382 4.508 4.636 4.768

8 4.445 4.595 4.749 4.908 5.071 5.239 5.412 5.590 5.772 5.960

9 5.357 5.560 5.770 5.987 6.212 6.444 6.683 6.931 7.187 7.451

10 6.455 6.727 7.011 7.305 7.610 7.926 8.254 8.594 8.947 9.313

11 7.778 8.140 8.518 8.912 9.322 9.749 10.194 10.657 11.139 11.642

12 9.372 9.850 10.349 10.872 11.419 11.991 12.589 13.215 13.869 14.552

13 11.294 11.918 12.575 13.264 13.988 14.749 15.548 16.386 17.266 18.190

14 13.609 14.421 15.278 16.182 17.136 18.141 19.202 20.319 21.497 22.737

15 16.399 17.449 18.563 19.742 20.991 22.314 23.714 25.196 26.763 28.422

16 19.760 21.114 22.554 24.086 25.714 27.446 29.287 31.243 33.320 35.527

17 23.811 25.548 27.403 29.384 31.500 33.759 36.169 38.741 41.484 44.409

18 28.692 30.913 33.295 35.849 38.588 41.523 44.669 48.039 51.647 55.511

19 34.574 37.404 40.453 43.736 47.270 51.074 55.166 59.568 64.301 69.389

20 41.662 45.259 49.150 53.358 57.906 62.821 68.130 73.864 80.055 86.736

21 50.203 54.764 59.718 65.096 70.935 77.269 84.141 91.592 99.668 108.420

22 60.494 66.264 72.557 79.418 86.895 95.041 103.914 113.574 124.087 135.525

23 72.896 80.180 88.157 96.889 106.446 116.901 128.333 140.831 154.488 169.407

24 87.839 97.017 107.110 118.205 130.397 143.788 158.492 174.631 192.338 211.758

25 105.846 117.391 130.139 144.210 159.736 176.859 195.737 216.542 239.460 264.698

Page 262: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 256

t ( 1 + i )

t / i 25.5% 26.0% 26.5% 27.0% 27.5% 28.0% 28.5% 29.0% 29.5% 30.0%

1 1.255 1.260 1.265 1.270 1.275 1.280 1.285 1.290 1.295 1.300

2 1.575 1.588 1.600 1.613 1.626 1.638 1.651 1.664 1.677 1.690

3 1.977 2.000 2.024 2.048 2.073 2.097 2.122 2.147 2.172 2.197

4 2.481 2.520 2.561 2.601 2.643 2.684 2.727 2.769 2.812 2.856

5 3.113 3.176 3.239 3.304 3.369 3.436 3.504 3.572 3.642 3.713

6 3.907 4.002 4.098 4.196 4.296 4.398 4.502 4.608 4.716 4.827

7 4.903 5.042 5.184 5.329 5.477 5.629 5.785 5.945 6.108 6.275

8 6.154 6.353 6.557 6.768 6.984 7.206 7.434 7.669 7.910 8.157

9 7.723 8.005 8.295 8.595 8.904 9.223 9.553 9.893 10.243 10.604

10 9.693 10.086 10.493 10.915 11.353 11.806 12.275 12.761 13.265 13.786

11 12.164 12.708 13.274 13.862 14.475 15.112 15.774 16.462 17.178 17.922

12 15.266 16.012 16.791 17.605 18.455 19.343 20.269 21.236 22.245 23.298

13 19.159 20.175 21.241 22.359 23.531 24.759 26.046 27.395 28.808 30.288

14 24.044 25.421 26.870 28.396 30.001 31.691 33.469 35.339 37.306 39.374

15 30.176 32.030 33.991 36.062 38.252 40.565 43.008 45.587 48.311 51.186

16 37.870 40.358 42.998 45.799 48.771 51.923 55.265 58.808 62.563 66.542

17 47.527 50.851 54.392 58.165 62.183 66.461 71.016 75.862 81.019 86.504

18 59.647 64.072 68.806 73.870 79.284 85.071 91.255 97.862 104.919 112.455

19 74.857 80.731 87.040 93.815 101.087 108.890 117.263 126.242 135.871 146.192

20 93.945 101.721 110.106 119.145 128.885 139.380 150.682 162.852 175.952 190.050

21 117.901 128.169 139.284 151.314 164.329 178.406 193.627 210.080 227.858 247.065

22 147.966 161.492 176.194 192.168 209.519 228.360 248.811 271.003 295.077 321.184

23 185.697 203.480 222.886 244.054 267.137 292.300 319.722 349.593 382.124 417.539

24 233.050 256.385 281.950 309.948 340.600 374.144 410.842 450.976 494.851 542.801

25 292.478 323.045 356.667 393.634 434.265 478.905 527.932 581.759 640.832 705.641

Page 263: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 257

3. RESUMO

Fórmula geral de capitalização em regime de juros composto

Fórmula geral de capitalização em regime de juro composto

Ct = Co x ( 1 + i ) t

Expressões algébricas do juro e capital inicial

Jt = Co x ( ( 1+ i ) t - 1)

Ct

Co = ----------------

( 1 + i ) t

Expressão algébrica da taxa de juro:

i = t ot cc 1/ −

ou de outra forma:

i = ( Ct / Co ) 1/t

Expressão algébrica do prazo da aplicação:

( 1 + i ) t = Ct / Co

Page 264: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 258

A resolução destes problemas deve ser efectuada com recurso à tabela ou por interpolação linear:

(z2 - z1) x ( y - y1)

z’ = -------------------------- + z1

y2 - y1

em que z = t e y = ( 1 + i )t

(y2 - y1) x ( z - z1)

y’ = -------------------------- + y1

z2 - z1

em que z = t e y = ( 1 + i ) t

Taxas equivalentes:

i m/n = ( 1 + i ) m/n - 1

Taxas efectivas:

i

i 1/m = ( 1 + ------) 1/m - 1

m

Page 265: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 259

4. QUESTÕES E EXERCÍCIOS

Exercício 1

Um capital de 50.000 u.m. aplicado em regime de juro composto durante 4 anos gerou um rendimento de 6.275 u.m.. Calcular a taxa a que esteve aplicado.

Exercício 2

Calcular as seguintes taxas:

1. Para a taxa anual de 8% a taxa semestral efectiva;

2. Para a taxa anual de 6% a taxa trimestral efectiva;

3. Para a taxa anual de 8% com capitalizações mensais, a taxa efectiva anual.

Exercício 3

Determinar a taxa de juro anual equivalente à taxa de 5% capitalizável:

1. Uma vez ao ano;

2. Semestralmente;

3. Trimestralmente;

4. Semanalmente

5. Diariamente (ano de 365 dias).

Exercício 4

Calcular o juro produzido por um capital de 120.000 u.m. durante 15 meses à taxa de 13%.

Exercício 5

Calcular o juro produzido por um capital de 230.000 u.m. aplicados por 8 meses à taxa de 9% quadrimestral.

Exercício 6

Foi aplicado o valor de 500 u.m. durante 2 anos tendo-se obtido o valor de 627,2 u.m..

Qual será o valor acumulado no final de 4 anos?

Page 266: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 260

Exercício 7

Calcular o prazo de aplicação para que o capital de 200.000 u.m. gere o juro de 117.375 sendo a taxa de juro de 6%.

Exercício 8

Foi aplicado o capital de 2.000.000 u.m. durante 4 anos tendo obtido o capital acumulado no final do 4º ano de 2.430.792 u.m.. Sabendo que as taxas de aplicação foram as seguintes:

• i % no 1º ano;

• 5% no 2º e 3º anos;

• 6% no 4º ano;

determine:

1. O juro produzido no 1º ano;

2. O capital no final do 3º ano;

3. O juro produzido nos 4 anos.

Exercício 9

Calcular, recorrendo à interpolação linear os factores de capitalização correspondentes a:

1. taxa de 15,5% para 6 anos e 7 meses;

2. taxa de 9% para 8 anos e 1 mês;

3. taxa de 0,5% para 4 anos e 10 meses.

Exercício 10

Calcular, recorrendo à interpolação linear os prazos de aplicação correspondentes:

1. taxa de 10,5% e um factor de capitalização de 5,0120;

2. taxa de 4% e um factor de capitalização de 1,9215;

3. taxa de 28,5% e um factor de capitalização de 229,437.

Page 267: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 261

5. RESOLUÇÕES

Exercício 1

50.000 x ( 1 + i ) 4 = 50.000 + 6.275

i = 3 %

Exercício 2

1. ( 1 + 0, 08 ) ½ - 1 = 0,03923 = 3,923%

2. ( 1 + 0, 06 ) 1/4 - 1 = 0,01467 = 1,467%

3. ( 1 + 0, 08/12 ) 12 - 1 = 0,083 = 8,3%

Exercício 3

1. É 5%

2. i 2 = ( 1 + 0,05/2 ) 2 - 1 = 0,05063 = 5,063%

3. i 4 = ( 1 + 0,05/4 ) 4 - 1 = 0,05095 = 5,095%

4. i 52 = ( 1 + 0,05/52 ) 52 - 1 = 0,05125 = 5,125%

5. i 365 = ( 1 + 0,05/365 ) 365 - 1 = 0,05127 = 5,127%

Exercício 4

Juro 15/12 = 120.000 x ( ( 1 + 0,13) 15/12 - 1 )

Juro = 19.807,12

Page 268: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 262

Exercício 5

Juro 8/4 = 230.000 x ( ( 1 + 0,09) 8/4 - 1 )

Juro = 43.263,0

Exercício 6

Vamos em primeiro lugar determinar a taxa a que está aplicado o capital:

627,2 = 500 x ( 1 + i ) 2

627,2

( 1 + i ) 2 = ------------

500

1 + i = V 1,2544

i = 0,12 = 12%

No quarto ano o valor acumulado será de:

500 x ( 1 + 0,12 ) 4 = 786,76

Exercício 7

200.000 + 117.375 = 200.000 x ( 1 + 0,08) t

317.375

( 1 + 0,08 ) t = ---------------

200.000

t = 6

Page 269: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 263

Exercício 8

O juro produzido no 1º ano;

2.430.792 = 2.000.000 x ( 1 + i ) x ( 1 + 0,05 )2 x ( 1 + 0.06 )

i = 0,04 = 4%

O capital no final do 3º ano;

C4 = C3 x ( 1 + i )

C4

C3 = ---------------

( 1 + i )

2.430.792

C3 = -------------------- = 2.337.300

( 1 + 0,04 )

O juro produzido nos 4 anos.

Juro = 2.430.792 - 2.000.000 = 430.792 u.m.

Exercício 9

1.

6 anos -------------------- 2,3741

(6 anos e 7 meses) = 6,58333 anos -------------------- Z ?

7 anos -------------------- 2,7420

( 2,7420 - 2,3741 ) x ( 6,58333 - 6 )

Z = -------------------------------------------------- + 2,3741 = 2,58871

7 - 6

Page 270: Manual Formando

IEFP VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro

VIII 264

2. 8 anos ------------------- 1,99256

(8 anos e 1 mês) = 8,08333 anos ------------------- Z ?

9 anos ------------------- 2,17189

( 2,17189 - 1,99256 ) x ( 8,08333 - 8 )

Z = -------------------------------------------------- + 1,99256 = 2,0075

9 – 8

3.

4 anos ------------------ 1,02015

(4 anos e 10 meses) = 4,83333 anos ----------------- Z ?

5 anos ------------------ 1,02525

( 1,02525 - 1,02015 ) x ( 4,8333 - 4 )

Z = -------------------------------------------------- + 1,02015 = 1,0244

5 – 4

Exercício 10

1. 16 anos ------------------- 4,9408

Z ? ------------------- 5,0120

17 anos ------------------- 5,4596

( 17 - 16 ) x ( 5,0120 - 4,9408 )

Z = -------------------------------------------------- + 16 = 16,13724

5,4596 - 4,9408

16,13724 anos é equivalente a 16 anos, 1 mês e 19 dias

Page 271: Manual Formando

VIII. REGIME DE JURO COMPOSTO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

VIII 265

2.

16 anos ------------------- 1,87298

Z ? ------------------- 1,92150

17 anos ------------------- 1,94790

( 17 - 16 ) x ( 1,92150 - 1,87298 )

Z = -------------------------------------------------- + 16 = 16,64762

1,94790 - 1,87298

16,64762 anos é equivalente a 16 anos, 7 meses e 23 dias

3. 21 anos ------------------- 193,677

Z ? ------------------- 229,437

22 anos ------------------- 248,811

( 22 - 21 ) x ( 229,437 - 193,627 )

Z = -------------------------------------------------- + 21 = 21,64892

248,811 - 193,627

21,64892 anos é equivalente a 21 anos, 7 meses e 24 dias.

Page 272: Manual Formando
Page 273: Manual Formando

BIBLIOGRAFIA IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

267

Bibliografia

BASTARDO, Carlos e Gomes, António Rosa; O financiamento e as aplicações das Empresas, Texto Editora

CADILHE, Miguel;Matemática Financeira Aplicada, Edições ASA

FERNANDES, L. Santos; Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro

LEITÃO, José Luís; Morais, Jorge Alves e Resende, Maria Adelaide; Produtos Bancários & Financeiros, Publicações Europa - América

MATEUS, Alves; Exercícios Práticos de Cálculo Financeiro, edições Silabo

REIS, Elizabeth; Estatística Descritiva, Edições Silabo

RODRIGUES, Azevedo e Nicolau, Isabel; Elementos de Cálculo Financeiro, 5ª Ed. Edição Rei dos Livros

Page 274: Manual Formando
Page 275: Manual Formando

GLOSSÁRIO IEFP

Cálculo Comercial e Financeiro Guia do Formando

269

Glossário

A

Actualização procedimento de cálculo que visa obter em data actual a equivalência financeira de um ou uma série de valores com vencimentos futuros, em função de uma determinada taxa de juro.

B

Banco entidade financeira que adopta a forma de sociedade anónima dedicada à recepção de depósitos ao público e recepção de fundos que utiliza por conta própria em operações financeiras de empréstimos, crédito, desconto, etc. Presta ainda um conjunto diversos de serviços, como por exemplo a cobrança das facturas da luz.

C

Capital são os recursos financeiros que uma unidade económica ou um sujeito dispõe para realizar um investimento ou uma actividade, este capital pode ser próprio ou alheio.

Capitalização procedimento de cálculo que visa obter em data futura a equivalência financeira de um ou uma série de valores com valores actuais, em função de uma determinada taxa de juro.

Comissão preço a favor de quem realiza determinado serviço.

D

Depósito acção de entrega de fundos a uma entidade financeira.

Depósito a prazo depósito numa entidade de crédito que só será movimento no final do prazo, e que é remunerado nesse prazo.

Descoberto posição devedora de uma conta corrente

Desconto realização antecipada, antes do seu vencimento, de um título negociável mediante o pagamento de determinados encargos.

E

Efeitos comerciais documentos de transmissão comercial entre empresas, tais como letras.

Empréstimo acção de utilização de fundos cedidos por uma entidade financeira. Forma de endividamento do Estado, das empresas e das famílias, emitindo obrigações, títulos, letras, etc., com um pagamento de juros ao longo do seu prazo de duração.

Encargos de desconto despesas diversas que são cobradas quando se antecipa o pagamento / recebimento de um título com vencimento futuro.

F

Financiamento operação que consiste em dotar de recursos financeiros uma unidade económica.

J

Juro retribuição dos valores entregues em depósito ou pedidos em empréstimo.

Juro Composto regime de capitalização em que vence juros o capital aplicado e os juros que são gerados sucessivamente.

Page 276: Manual Formando

IEFP GLOSSÁRIO

Guia do Formando Cálculo Comercial e Financeiro 270

Juro Simples regime de capitalização em que só o capital inicial vence juros.

L

Letra documento cambial que contém um mandato de pagamento feito pelo sacador a favor do proprietário.

M

Média Aritmética medida estatística de tendência central.

Média Aritmética Ponderada calcula-se pela divisão do total dos valores observados, ponderados pelo número de ocorrências verificadas, pelo número de observações.

Média Aritmética Simples calcula-se pela divisão do total dos valores observados pelo número de observações.

P

Percentagem forma de expressar partes de um cento, um centésimo, utiliza-se o símbolo %.

Produto Liquido de Desconto valor actual do desconto de um título com vencimento futuro, após consideração dos respectivos encargos de desconto.

Proporção parcela que uma parte representa num todo.

Proporcionalidade relação que se estabelece entre duas variáveis.

Proporcionalidade composta quando duas variáveis evoluem em função do comportamento de outras variáveis, ou seja a razão é definida por um conjunto de terceiras variáveis.

Proporcionalidade directa quando as duas variáveis evoluem no mesmo sentido uma em função da outra.

Proporcionalidade inversa quando as duas variáveis evoluem em sentidos opostos uma em função da outra.

R

Razão proporção entre duas variáveis.

T

Taxa de juro quantidade de juros que produzem ou ganham anualmente 100 unidades monetárias, expressa como uma percentagem dessa quantia.

Tempo prazo de uma operação.

V

Variáveis contínuas variáveis não concretas, são expressas por intervalos.

Vencer cumprir-se um termo ou prazo marcado numa operação, numa obrigação, ou num documento.

Vencido que já passou a data de vencimento.