Margem de Ganho e Fase.pdf

Controle de Sistemas Mecnicos

Projeto bsico de controladoresProjeto bsico de controladores

Definio das margens Diagramas de Bode Diagramas de Nyquist Exemplos de projetos


Margem de ganhoMargem de ganho

Conhecido o mximo ganho (Km) queassegure a estabilidade para o controleproporcional de uma dada planta de fasemnima (zeros no semi-plano esquerdo)e realimentao unitria negativa, amargem de ganho definida como:

1020log mMG K=


Exerccio 19.1:Exerccio 19.1: Margem de ganho Margem de ganho

Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de ganho:

( ) 1( ) ( 5)( 8)

Y sU s s s s

=

+ +


Soluo: Margem de ganhoSoluo: Margem de ganho

( ) 1( ) ( 5)( 8)

Y sU s s s s

=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);rlocus(np,dp)km=519mg=20*log10(km)

1020log mMG K=

MG = 54.3 dB


Teste em Teste em SimulinkSimulink: Margem de ganho: Margem de ganho

k=522

K=519muito prximoda estabilidade

marginal

Tempo muitolongo paravisualizar a

instabilidade


Margem de faseMargem de fase

Mnimo atraso de fase que pode seradicionado por um controlador a umsistema de malha aberta estvel demodo a desestabilizar o sistema de

malha fechada.


Margens de ganho e fase na FT senoidalMargens de ganho e fase na FT senoidal

Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica:

FT de malha fechada fica:

Fazendo pode-se obter as frequnciasque instabilizam o sistema malha fechadafazendo

)()( sPKesG asT=

s j=

( )( )1 ( )

a

a

sT

sT

Ke P sFTmf sKe P s

=

+

1 ( ) 0aj TKe P j + =


Margens de ganho e fase na FT senoidalMargens de ganho e fase na FT senoidal

Duas condies para satisfazer a equao

A FT malha aberta pode ser escrita na forma

1 ( ) 0aj TKe P j + =

( ) 1KP j =

( ) 180aj Te P j =

( )( ) ( ) aj T j jG j KP j e e =


Margens de Margens de fasefase na FT senoidal na FT senoidal

Quando a primeira satisfeita

Pode-se observar o quo distante a faseesta de satisfazer a segunda

Na frequncia

( ) 1KP j =

( ) 180aj Te P j =

( ) 180j =

cgPode-se definir Frequncia de

cruzamento deganho

cg

180 ( )j = +Margem de fase

em graus


Margens de ganho Margens de ganho nana FT senoidal FT senoidal

Quando a segunda satisfeita

Pode-se observar o quo distante o ganhoesta de satisfazer a primeira

Na frequncia

( ) 180aj Te P j = cf

Pode-se definir Frequncia decruzamento de

fase

cgMargem de

ganho em dBs( )0 20log10 ( )KP j

( )KP j( ) 1KP j =


Exerccio 19.2:Exerccio 19.2: Margem de Margem de fasefase

Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de fase:

( ) 1( ) ( 5)( 8)

Y sU s s s s

=

+ +


Soluo: Margem de Soluo: Margem de fasefase

( ) 1( ) ( 5)( 8)

Y sU s s s s

=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);w=logspace(-3,2)bode(np,dp,w)wcg=0.025180 ( 90.5)MF = +

89.5MF =


Teste em Teste em SimulinkSimulink: Margem de fase: Margem de fase

Ta= 65s

( ) ( )aj TG s e P s= aT =

89.5* /180 62.50.025a

piT

= =


VizualizaoVizualizao das margens das margens

As margens podem ser visualizadasdiretamente nos diagramas de Bode,Nyquist e Nichols.

Primeiramente faz-se necessrio definiralgumas freqncias para visualizaodas margens


Definio dos pontos de cruzamentosDefinio dos pontos de cruzamentos

Freqncia de cruzamento de ganho: corresponde ao ponto em que o ganho cruza a

linha de zero decibis no diagrama do mdulo


Definio dos pontos de cruzamentosDefinio dos pontos de cruzamentos

Freqncia de cruzamento de fase: corresponde ao ponto em que a fase cruza a

linha de -180 graus no diagrama de fase


Como calcular as margensComo calcular as margens

Na freqncia de cruzamento de ganhodefine-se a margem de fase como o nguloque falta para completar 180 graus.

MF


Como calcular as margensComo calcular as margens

Na freqncia de cruzamento de fase define-se a margem de ganho como a diferena emdecibis para atingir zero dB.

MG


Usando os diagramas de BodeUsando os diagramas de BodeAs margens podem ser vistas no diagrama de Bode

(comando margin)

( ) 1( ) ( 5)( 8)

Y sU s s s s

=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);margin(np,dp)

Para a planta:

MF

MG


No diagrama de No diagrama de NyquistNyquist

zero raio unitrio180 cruzamento com o eixo real negativoo

Db

Considerandoo ponto onde


Margens no diagrama de Margens no diagrama de NyquistNyquist

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

Nyquis t Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

MF

1/MG

As margenspodem serencontradasno crculode raiounitrio e noponto decruzamentodo eixo realnegativo.


Margens finitas menoresMargens finitas menores

A aproximaodos cruzamentosdo ponto (-1,0)gera margensmenores tantopara o ganhocomo para a fase


Usando o diagrama de Usando o diagrama de NicholsNichols

As margens so visualizadas em um nico grfico

MF

MG

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);nichols(np,dp)

Controle de Sistemas MecnicosFrequency (rad/s ec)

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

;

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

Gm=33.625 dB (at 2.8284 rad/s ec), P m=84.647 deg. (at 0.1247 rad/s ec)

10-1 100 101-250

-200

-150

-100

Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Margens finitas Margens finitas

Para a planta (comando margin): Y sU s s s s

( )( ) ( )( )= + +

12 4

MG

MF


Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Grfico do lugar das razes Grfico do lugar das razes

Usando o comando rlocus: Y sU s s s s

( )( ) ( )( )= + +

12 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

I

m

a

g

A

x

i

s


Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist

Para a planta: Y sU s s s s

( )( ) ( )( )= + +

12 4

% raio unitrio teta=linspace(0,2*pi,100); re=cos(teta); im=sin(teta); plot(re,im,'k') axis equal, hold on

np=1; dp=poly([-4 -2 0]); sys=tf(np,dp); [r i]=nyquist(sys); r1(1,:)=r(1,1,:); i1(1,:)=i(1,1,:); plot(r1,i1,'b'), grid zoom

-0.02 0 0.02

-0.02

-0.01

0

0.01


Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Diagrama de Diagrama de NicholsNichols

Para a planta: Y sU s s s s

( )( ) ( )( )= + +

12 4

Open-Loop P has e (deg)

O

p

e

n

-

L

o

o

p

G

a

i

n

(

d

B

)

Nichols Charts

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

-200

-150

-100

-50

0

50


Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Margem de ganho infinita Margem de ganho infinita

Para a planta: Y sU s s s

( )( ) ( )( )= + +

162 4

Frequency (rad/s ec)

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

;

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

Bode Diagrams

-40

-20

0

Gm = Inf, P m=93.268 deg. (at 2.6623 rad/s ec)

100 101

-150

-100

-50

0


Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Lugar das razes Lugar das razes


( )( ) ( )( )= + +

162 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

I

m

a

g

A

x

i

s



Para a planta:

Y sU s s s

( )( ) ( )( )= + +

162 4




( )( ) ( )( )= + +

162 4


O

p

e

n

-

L

o

o

p

G

a

i

n

(

d

B

)

Nichols Charts

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0


Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Sempre estvel Sempre estvel

Para a planta: )4)(2(8

)()(

++=

sssUsY

Frequency (rad/s ec)

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

;

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0Gm = Inf, P m=180 deg. (at 0 rad/s ec)

100 101

-150

-100

-50

0


Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Lugar das razes Lugar das razes


)()(

++=

sssUsY

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

I

m

a

g

A

x

i

s



Para a planta:

Y sU s s s

( )( ) ( )( )= + +

82 4




)()(

++=

sssUsY


O

p

e

n

-

L

o

o

p

G

a

i

n

(

d

B

)

Nichols Charts

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0


Margem de Reduo de ganhoMargem de Reduo de ganho

Quando o sistema instvel em malhaaberta (plos da FT de malha aberta noSPD), a margem de reduo de ganho definida como o menor ganho (Kr) queassegure a estabilidade do sistema emmalha fechada:

( )rKMRG 10log20=


Margem de Reduo de ganhoMargem de Reduo de ganho

Observar as margens juntamente com olugar das razes da malha aberta

np=...;dp=...;figure(1)margin(np,dp)figure(2)rlocus(np,dp)


Exemplo Exemplo 19.4:19.4: Margem de reduo de ganho Margem de reduo de ganho

Para a planta cuja FT

calcule a margem de ganho e margem de fase ejustifique o resultado

2

33 6 4( )

1s sG s

s

+ +=

+


SoluoSoluo::nps=[3 6 4];dps=[1 0 0 1];figure(1)margin(nps,dps)figure(2)rlocus(nps,dps)


SoluoSoluo::

km=0.371mg=20*log10(km);

mg= -8.6125

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