8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Funo Quadrtica

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Funo Quadrtica

Definio

Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR

dada por uma lei da forma f(x) = ax2

+ bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 12. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -13. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 54. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 05. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax

2

+ bx + c, com a 0, uma curvachamada parbola.

Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em

seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observao:

Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equao do 2 Grau

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Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, osnmeros reais x tais que f(x) = 0.

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2 +bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:

Temos:

Observao

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para oradicando , chamado discriminante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais e distintas;

quando zero, h s uma raiz real;

quando negativo, no h raiz real.

Coordenadas do vrtice da parbola

Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V;quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:

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Imagem

O conjunto-imagem Imda funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjunto dos valoresque y pode assumir. H duas possibilidades:

1 - quando a > 0,

a > 0

2 quando a < 0,

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a < 0

Construo da Parbola

possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y),mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x;

3. O vrtice V indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou mximo (se a< 0);

4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetria da parbola;

5. Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbolacorta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de xpara os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivos.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1 - > 0Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parbola

intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:

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quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2y < 0 (x < x1 ou x > x2)

2 - = 0

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quando a > 0

quando a < 0

2 - < 0

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quando a > 0

quando a < 0