Segmentos ProporcionaisSemelhança de Triângulos

Capítulo 4

Páginas: 180 à 189

LIVRO 1

MATEMÁTICA

Teorema de Tales

s

t

u

r

v

feixe de paralelas

A

B

C

D

E

F

"a razão entre dois segmentos obtidos de uma mesma transversal éigual a razão dos segmentos correspondentes na outra transversal"

transversais: u e v

=AB

BC

DE

EF=

AB+BC

DE+EF

[16. p182] (UNICAMP-SP)A figura seguinte mostra um segmento AD

dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm

e CD = 5 cm. O segmento AD’ mede 13 cm e

as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’.

Determine os comprimentos dos segmentos

AB’, B’C’ e C’D’.

2 3 5

13

x

y

z

10

2 10=x 13

→ →26 13x= x=510

3 10=y 13

→ 39y=10

5 10=z 13

→ →65 13z= z=10 2

resolução

[17. p182] (UNIRIO - Modelo ENEM)No desenho abaixo apresentado, as frentes

para a rua A dos quarteirões I e II medem,

respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do

quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do

que a frente do quarteirão II para a mesma

rua.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida,

em metros, da frente do menor dos dois

quarteirões para a rua B é:

a) 160 b) 180 c) 200

d) 220 e) 240

resolução

250200

xx + 40

x+40 250=x 200

x+40 5=x 4

4(x+40)=5x

4x+160=5x

x=160 m

[E1] (UNESP-SP)Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e

t, cortadas por 2 outras retas, conforme a

figura.

Os valores dos segmentos identificados por x

e y são, respectivamente,

a) 3/20 e 3/40. b) 6 e 11.

c) 9 e 13. d) 11 e 6.

e) 20/3 e 40/3.

x 5=4 3

20x=3

x 5=y 10

→2x=y

⋅20

y=23

40y=

3

resolução

[E2] (UFSM-RS)A crise energética tem levado as médias e

grandes empresas a buscar alternativas na

geração de energia elétrica para a manu-

tenção do maquinário. Uma alternativa em-

contrada por uma fábrica foi a de construir

uma pequena hidroelétrica, aproveitando a

correnteza de um rio que passa próximo às

suas instalações. Observamos a figura e admi-

tindo que as linhas retas r, s e t sejam para-

lelas, pode-se afirmar que a barreira mede

a) 33 m b) 38 m c) 43 m

d) 48 m e) 53 m

30 24

32

x

x + 2

x+2 32=30 24

x+2 4=30 3

x+2=40

x=38 m

resolução

Teorema da Bissetriz Interna

D

"Num triângulo qualquer, a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes"

=AC

CD

AB

BD

A

BC

////

[20. p183] (CESGRANRIO-RJ)No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz

do ângulo interno de vértice C. Se AD = 3 cm,

DB = 2 cm e AC = 4 cm, então o lado BC

mede, em centímetros:

a) 3. b) 5/2. c) 7/2. d) 8/3. e) 4.

x 4=2 3

3 2

4 x

8x=3

resolução

[21. p183] (FEI-SP)O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A

bissetriz interna do ângulo A divide o lado

oposto BC em dois segmentos de 16 m e

24 m. Determinar os lados desse triângulo.

////

1624

xy

yx =16 24

→ 2yx=3

x+y+24+16=100x+y=60

2y+y=60

3→2y+3y=180

5y=180

y=36 m

2yx=3

→ 2.36x=3

x=24 m

Resposta:

Os lados do triângulo são: AB = 24 m,

AC = 36 m e BC = 60 m.

resolução

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

[14 . p182]

[19 . p183]

[23 . p183]

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são considerados semelhantes se:

- os ângulos de um deles forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro;

- os lados de um deles forem igualmente proporcionais aos correspondentes lados do outro (lados homólogos);

A

BC a

cb

M

NPk.a

k.ck.b~

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA (CASOS DE SEMELHANÇA)

se 2 triângulos possuem 2 ângulos correspondentes congruentes

se 2 triângulos possuem os 3 lados correspondentes proporcionais

se 2 triângulos possuem 1 ângulo correspondente congruente

entre 2 lados correspondentes proporcionais

Exemplo A

BCa

cb

M

N Pk.a

k.c k.b~60°

80°60°

40°

40°

80°

Exemplo A

BC6

75

M

N P12

14 10~αααα

χχχχ

αααα

ββββ

ββββ

χχχχ

Exemplo A

BC3

c2

M

N P6

2.c 4~αααα

70°αααα

ββββ

ββββ

70°

resolução[32. p186] (MACKENZIE-SP)Na figura abaixo, a medida x vale:

a) 12,75 b) 12,25 c) 11,75

d) 11,25 e) 1100

15

20

25

�

�

x15

x 15=15 20

225x=20

x=11,25

resolução[34. p186] (FUVEST-SP)Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A,

ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3.

Quanto mede o lado do quadrado?

a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90

1

3

L

L �

1

3

�1 - L

L

1-L L=1 3

3-3L=L

3=4L

3L=

4

L=0,75

resolução[41. p187] (UNICAMP-SP - MOD ENEM) Uma rampa de inclinação constante, como a

que dá acesso ao Palácio do Planalto em

Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte

mais alta, Uma pessoa, tendo começado a

subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros

sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em

relação ao solo.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação

descrita.

b) Calcule quantos metros a pessoa ainda

deve caminhar para atingir o ponto mais alto

da rampa.4 m

�1,5 m12,3

m

x

b) Por semelhança de triângulos:

12,3 12,3+x=41,5

123 12,3+x=415

→ 41 12,3+x=5 4

164 =12,3+x5

→32,8=12,3+x

x=20,5 m

a)

resolução[43. p187] (UNESP - SP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta

AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.

Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as

medidas possíveis de AB, em dm, são:

a) 4,5 e 6,5.

b) 7,5 e 3,5.

c) 18 e 3.

d) 7 e 4.

e) 9 e 2.

6

3

11

αααα

90°- αααα

x 11 - x

90°- αααα

αααα

x 3=

6 11- x

x.(11- x) = 3.6

211x - x = 18

2x -11x +18 = 0

x = 2

ou

x = 9

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

[35 . p187]

[37 . p187]

[46 . p188]

[49 . p188]

[50 . p188]

[54 . p189]