O ENSINO DA FUNÇÃO E DA FUNÇÃO AFIM E A RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

Autora: Rosa Aparecida Cervinhani 1

Orientadora: Tânia Marli Rocha Garcia 2

RESUMO

Ao longo do trabalho docente no ensino de matemática, frequentemente percebemos muitas lacunas na aprendizagem matemática dos alunos, que se evidenciam quando se deparam com conceitos mais abstratos e também na interpretação e resolução de problemas matemáticos. Na expectativa de promover um ensino em que os alunos possam aprender com compreensão, escolhemos o tema Funções, nomeadamente a Função Afim, para ser desenvolvido na perspectiva da Resolução de Problemas, compreendida como um meio para ensinar matemática. A escolha desse conteúdo levou em consideração que esse conceito está presente em diversas áreas do conhecimento, com diferentes interpretações e representações e seu entendimento auxilia na resolução de problemas práticos, não apenas no que se refere ao estudo da matemática, mas em diversas situações que o acometem em seu dia-a-dia. É nessa perspectiva que elaboramos uma Unidade Didática, a qual foi suporte da intervenção realizada com alunos do 1º Ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Douradina – Ensino Fundamental e Médio. As tarefas trabalhadas nessa intervenção envolveram situações cotidianas e de outras áreas de conhecimento, e as diferentes representações e interpretações das Funções. Apresenta-se a análise e os resultados dessa implementação e as contribuições do Grupo de Trabalho em Rede (GTR) que ocorreu simultaneamente a execução do projeto. Palavras-chave: Ensino da Função. Função Afim. Resolução de Problemas.

1 INTRODUÇÃO

O presente artigo apresenta a experiência resultante da pesquisa e das

atividades realizadas a partir do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE)

ofertado pelo governo do Estado do Paraná, tal como o aprofundamento teórico, a

reflexão sobre a prática pedagógica, as discussões virtuais através do Grupo de

Trabalho em Rede (GTR) e a implementação da unidade pedagógica criada a partir

dos estudos citados.

Ao longo do trabalho docente no ensino de matemática frequentemente nos

indagamos sobre as possibilidades de ensinar os conceitos matemáticos de maneira

1 Professora da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná, Colégio Estadual Douradina –

Ensino Fundamental e Médio. Licenciatura em Ciências e Matemática, especialização em Metodologia Ensino e em Pedagogia Escolar: Supervisão, Orientação e Administração. 2 Professora do Colegiado de Matemática da UNESPAR – CAMPUS PARANAVAÍ. Mestre em

Educação Matemática.

que os alunos os compreendam e atribuam sentido a esses conceitos. Em muitos

momentos experimentamos diversos recursos e estratégias sugeridas em cursos de

formação ou elaborados por nós mesmos, em decorrência da convivência diária com

o fazer pedagógico. No entanto, ainda assim, a cada nova turma em que atuamos,

principalmente no Ensino Médio, percebemos muitas lacunas na aprendizagem

matemática dos alunos, as quais se evidenciam quando esses educandos se

deparam com conceitos mais abstratos e com a necessidade da interpretação e

resolução de problemas matemáticos, embora a mesma dificuldade seja percebida e

relatada em outros contextos e disciplinas acadêmicas.

Diante do exposto, escolhemos trabalhar neste projeto com os alunos do

primeiro ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Douradina – Ensino Fundamental

e Médio, no ensino das Funções, especificamente a Função Afim, numa perspectiva

da Resolução de Problemas, esta compreendida como um meio para ensinar

matemática. Foram convidados os alunos das turmas de 1º ano matutino, contudo

não houve grande adesão, já que muitos não se dispuseram a vir em contra turno,

de modo que o trabalho foi realizado com 16 alunos, os quais se mostraram

interessados devido suas pretensões de cursar um curso Superior. As aulas

ocorreram em contra turno nas terças e quintas-feiras, sendo 3 horas-aula cada dia.

A escolha do conteúdo se deu levando em consideração que esse conceito

está presente em diversas áreas do conhecimento, com diferentes interpretações e

representações e seu entendimento auxilia as pessoas na resolução de problemas

práticos, não apenas no que se refere ao estudo da matemática, mas em diversas

situações que o acometem em seu dia-a-dia. Essas situações podem estar ligadas a

questões domésticas, como o entendimento do consumo e valor pago pela energia

elétrica ou a relação entre a dose de um medicamento a ser dada a uma criança ou

adulto em função do peso; como também estar relacionadas ao trabalho nas mais

diferentes áreas, ou ainda serem situações que envolvam a leitura e a compreensão

de informações sobre economia, ciência, políticas públicas e outras.

Ao pensar nas estratégias e métodos de ensino que poderiam colaborar para

a aprendizagem e entendimento dos alunos sobre Função Afim, a perspectiva da

Resolução de Problemas nos chamou a atenção, pois tem sido apontada por

diversos autores, como uma prática metodológica que toma os problemas como

ponto de partida e não como ponto de chegada. Alguns autores, assim como muitos

educadores da área defendem que a Resolução de Problemas, na perspectiva do

ensino de matemática, permite aos alunos atribuir sentido aos conceitos e

compreender os argumentos matemáticos envolvidos nos processos de resolução.

Desse modo, consideramos relevante realizar uma investigação articulando a

metodologia da Resolução de Problemas, as situações cotidianas e de outras áreas

de conhecimento e as diferentes representações e interpretações das Funções na

expectativa de que os alunos do Ensino Médio tenham mais possibilidades de

compreender e atribuir sentido à Função Afim, visto que é na produção de

significado que se encontra o aspecto central de toda a aprendizagem e nesse

sentido a implementação do projeto procurou responder ao questionamento de

despertar o interesse dos alunos para as aulas de matemática.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA

Na educação brasileira, assim como em todo o mundo, convivemos com

diferentes orientações teóricas, didáticas e metodológicas permeando os currículos

escolares e apontando os rumos para o trabalho docente, que dentre outras

intenções, têm como objetivo promover um ensino de qualidade e a aprendizagem

efetiva dos alunos. Desde o final do século XX, a educação brasileira vem sendo

influenciada pela tendência histórico-crítica, cuja metodologia tem por base o

materialismo histórico e compreende o conhecimento como uma construção do

sujeito, a partir da prática social.

Nessa tendência, o conhecimento matemático é visto como “um saber vivo,

dinâmico, construído para atender às necessidades sociais, econômicas e teóricas

em um determinado período histórico”, e aprender está diretamente ligado à

produção de significados. Assim, aprender Matemática consiste em “atribuir sentido

e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de

estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar” (PARANÁ, 2008, p. 45).

A base teórica desse estudo, que tem como objeto matemático a Função

Afim, contempla os seguintes temas: concepções sobre a Álgebra e Funções no

Ensino Médio; os conceitos de Função e Função Afim e seus aspectos históricos; o

ensino de Função considerando sua natureza algébrica, as diferentes formas de

representação, sua aplicação na interpretação de fenômenos dentro e fora da

Matemática; e a Resolução de Problemas compreendida como meio para ensinar

Matemática.

2.1 Ensino das Funções no Ensino Médio

De acordo com as Diretrizes Curriculares (PARANÁ, 2008), na Educação

Básica o tema Funções deve ser tratado de modo que o aluno possa

[...] compreender que as Funções estão presentes nas diversas áreas do conhecimento e modelam matematicamente situações que, pela resolução de problemas, auxiliam o homem em suas atividades. As Funções devem ser vistas como construção histórica e dinâmica, capaz de provocar mobilidade às explorações matemáticas, por conta da variabilidade e da possibilidade de análise do seu objeto de estudo e por sua atuação em outros conteúdos específicos da Matemática. Tal mobilidade oferece ao aluno a noção analítica de leitura do objeto matemático (PARANÁ, 2008, p. 59).

Ainda de acordo com esse documento, no Ensino Médio deve-se ampliar o

estudo das Funções, de modo que o “aluno consiga identificar regularidades,

estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática para descrever

e interpretar fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do conhecimento”

(PARANÁ, 2008, p. 59). Outra recomendação contida no documento é a articulação

do estudo das funções com a leitura e interpretação da linguagem gráfica que

favorece a compreensão do significado das variações das grandezas envolvidas.

Relacionar o ensino das funções às situações que envolvem variação também

é uma estratégia defendida por Ponte (1990).

As funções são instrumentos por excelência para estudar problemas de variação. Uma dada grandeza pode variar no tempo, pode variar no espaço, pode variar segundo outras grandezas, e mesmo simultaneamente em diversas dimensões. Essa variação pode ser mais rápida ou mais lenta, pode desaparecer de todo, pode, em suma, obedecer às mais diversas leis ou constrangimentos (PONTE, 1990, p.5).

Mesmo com todas essas recomendações, o ensino desse conceito nas

escolas brasileiras ainda segue uma sequência tradicional, na maioria das vezes,

indicada pelos livros didáticos. Segundo Barreto (2008, p. 1),

[...] os temas geralmente são tratados de forma independente e sem conexão alguma entre eles. Por exemplo, as funções afim e exponencial

são trabalhadas no primeiro ano do ensino médio, enquanto que as progressões aritméticas e geométricas são estudadas no segundo ano e, pior ainda, sem que se faça qualquer relação entre eles. Além disso, poucas são as situações em que se fazem referências às aplicações da Matemática às outras ciências (BARRETO, 2008, p. 1).

Barreto (2008) destaca a relevância do estudo das funções na formação dos

alunos do Ensino Médio, mas alerta que a aprendizagem desse é um conceito que

envolve muitas dificuldades, uma vez que envolve diversas concepções e múltiplas

representações. Desse modo, é preciso que o professor compreenda o sentido que

as funções podem “assumir em diferentes contextos, quais significados o aluno pode

produzir e de que formas isto se desenvolve no ambiente escolar” (BARRETO, 2008

p.2). Assim, a autora chama a atenção para a necessidade de ampliar o

entendimento sobre as funções e considerar em seu ensino alguns aspectos

importantes:

a) a natureza algébrica das funções, valorizando os aspectos mais intuitivos e

relacionais e dando menor ênfase às equações e expressões algébricas;

b) as diferentes formas de representação, considerando que as funções podem ser

representadas por tabelas, gráficos, regras verbais, regras matemáticas e modelos

que, quando desenvolvidos de forma articulada, levam a uma compreensão mais

abrangente do conceito assim como do problema ou situação que pode estar sendo

representada;

c) aplicação a problemas e situações da vida e de outras ciências, uma vez que as

funções são instrumentos por excelência para estudar problemas de variação e

trazem consigo, de sua origem histórica, a idéia de instrumento matemático

indispensável para o estudo qualitativo de fenômenos naturais;

d) articulação com outros tópicos da própria Matemática, como as progressões, a

trigonometria e outros.

2.2 Resolução de Problemas

A tendência Resolução de Problemas tem conquistado um relevante papel na

educação matemática, devido aos resultados de estudos e pesquisas que têm

mostrado diversos aspectos positivos na integração dessa tendência ao ensino e à

aprendizagem de matemática.

Pesquisadores e educadores matemáticos apontam que o ensino por meio da

resolução de problemas estimula o aluno a pensar, a desenvolver um raciocínio

lógico, a enfrentar novas situações e a aumentar seus conhecimentos acerca dos

conceitos matemáticos; além de tornar as aulas mais atraentes e fazer com que os

alunos queiram deixar de ser recebedores e expectadores para tornarem-se

atuantes e ativos no processo de aprendizagem da matemática (DANTE, 2010;

RIBEIRO, 2010).

Polya (2006) é considerado o precursor dessa prática pedagógica e para ele

aprender matemática deveria ser aprender a arte de resolver problemas. Em sua

obra, ele descreve quatro fases que auxiliam nesse processo de resolução, sendo:

compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano e

retrospecto. Para resolver um problema o autor menciona que primeiramente é

fundamental compreendê-lo, atentar-se para o enunciado, procurar visualizar o

problema com um todo, familiarizar-se com ele e memorizar seu objetivo para, então

estabelecer um plano de ação, ou seja, traçar estratégias para tentar resolvê-lo,

organizar dados para realizar contas, cálculos ou desenhos quando necessários em

prol da obtenção do conhecimento da incógnita. O plano proporciona um roteiro com

passos a serem seguidos na tentativa de resolução. Após o estabelecimento de tal

plano deve-se colocá-lo em prática, realizando o anteriormente planejado e pensado

como possibilidades de resolver o problema em questão, isto é, efetuar os cálculos e

executar as estratégias pensadas, as quais podem ser diversas, que ao serem

testadas poderão chegar ao mesmo resultado e outras não chegar a resultado

algum.

Por fim, Polya (2006) cita o retrospecto como parte da resolução de

problemas. Tal fase caracteriza-se pela retrospectiva do que foi solicitado no

enunciado em comparação com o resultado obtido por meio do plano levantado. O

autor defende que

[...] problema algum fica completamente esgotado. Resta sempre alguma coisa a fazer. Com estudo e aprofundamento, podemos melhorar qualquer resolução e, seja como for, é sempre possível aperfeiçoar a nossa compreensão da resolução (POLYA, 2006, p. 12).

Quanto ao retrospecto apresentado por Polya, Dante (2010) acrescenta a

importância de conferir com precisão todos os cálculos efetuados e a necessidade

de sempre que possível “tirar a prova” para verificar se o resultado obtido responde

ao solicitado no enunciado. Menciona também que a retrospectiva é importante para

que professor e alunos se questionem sobre a existência de outras maneiras de

resolver o mesmo problema; assim como para a avaliação se a estratégia

empregada serve para a resolução de outros problemas semelhantes, o que é ainda

mais importante para o processo de aprendizagem.

Schoenfeld (1996) aponta que a resolução de problemas é uma forma de

ajudar o aluno a “aprender a pensar matematicamente”, o que para ele significa “(a)

ver o mundo de um ponto de vista matemático [...] e (b) ter as ferramentas do ofício

para matematizar com sucesso”. Para isso, ele afirma que os problemas devem

“servir como introduções ao pensamento matemático” (SCHOENFELD,1996, p. 8).

As ideias apresentadas por esse autor estão presentes nos estudos de

Onuchic (1999) e Onuchic e Allevato (2004), que defendem que o foco central do

ensino de Matemática e seu objetivo devem ser a compreensão e não a resolução

de problemas como aplicação de conceitos já estabelecidos. Para elas, a resolução

de problemas é um meio pelo qual se pode atingir a compreensão do objeto

matemático. Na abordagem da resolução de problemas proposta por Onuchic (1999)

tem-se que

[...] o ponto de partida das atividades matemáticas não é a definição, mas o

problema; [...] o problema não é um exercício no qual o aluno aplica, de

forma quase mecânica, uma fórmula ou uma determinada técnica

operatória, [...] o aluno não constrói um conceito em resposta a um

problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num

campo de problemas (ONUCHIC,1999, p. 215).

Essa abordagem é defendida também por Van de Walle (2009, p. 57),

segundo ele, “o trabalho de ensinar por meio da Resolução de Problemas deve

começar sempre onde estão os alunos, ao contrário da forma usual em que o ensino

começa onde estão os professores.”

Considerando os argumentos apresentados anteriormente, compreendemos

que a metodologia da resolução de problemas tem como princípio que o ensino e a

aprendizagem de matemática podem ocorrer em diversas situações, desde que

sejam propostos problemas e questionamentos sobre situações que fazem sentido

para o aluno e promovam a sua valorização no contexto social. Com isso, é possível

ter uma classe mais dinâmica e motivada, pois os alunos ao resolverem problemas

poderão encontrar novos fatos sendo motivados a descobrirem outras maneiras de

solucionar o mesmo problema e a se interessarem pelos problemas matemáticos,

ampliando sua capacidade de resolver as situações propostas. Segundo Dante

(2010), por meio da resolução de problemas é possível

[...] desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela (DANTE, 2010, p. 30).

A resolução de problemas sendo ponto de partida para o ensino da

matemática representa um rompimento nas práticas tradicionais onde o professor é

o centro do conhecimento e a aprendizagem é realizada por transmissão do

conhecimento do professor ao aluno. Trata-se de uma metodologia fundamental na

construção do conhecimento que é feito pelo aluno e conta com o papel mediador do

professor.

3 CONTRIBUIÇÕES DO GRUPO DE TRABALHO EM REDE (GTR)

Durante a implementação do projeto houve um Grupo de Trabalho em Rede

(GTR), que foi dividido em três temáticas e contou com a participação de 15

professores de diversas cidades do estado do Paraná, embora apenas 11 tenham

concluído as atividades do grupo. A metodologia da formação continuada do GTR é

interessante por possibilitar aos professores participantes flexibilidade para

desenvolverem as atividades propostas de acordo com a disponibilidade de horário

e tempo de cada um.

Durante o desenvolvimento dessa atividade houve interessantes interações e

discussões a respeito do ensino da Função Afim, por meio da metodologia da

Resolução de Problemas. Os participantes contribuíram com relatos de algumas

experiências, bem como de dificuldades percebidas por eles, tanto em relação a

atualização tecnológica quanto na contínua busca por situações-problemas do

cotidiano que auxiliem no processo ensino-aprendizagem dos alunos. Alguns

professores ilustraram suas falas com exemplos de problemas e outros se utilizaram

mais de teoria para desenvolver seus textos. No diário houveram sugestões dos

professores, alguns mencionando suas práticas diárias e outros comentando que

farão uso da Unidade Didática em questão em suas próximas aulas, pois aprovaram

as situações-problemas contidas na Unidade.

Também foi possível notar que a maioria dos professores do grupo gostou da

fundamentação teórica abordada na unidade, disseram que foi de grande valia para

a prática docente, visto que dentre outras coisas a implementação visa

principalmente contribuir para a superação das dificuldades encontradas no ensino

de Matemática, especificamente do conteúdo de funções.

O papel da tutoria nesse estudo foi instigar os professores quanto à prática

metodológica utilizada pelos mesmos em suas aulas de Função Afim. A maioria dos

participantes mostrou força de vontade, criatividade, iniciativa, organização de ideias

e métodos de estudo, persistência, responsabilidade na entrega das atividades e

perseverança no alcance de suas metas. Exercer o papel de tutora é muito mais

complexo do que se imagina, mas na medida em que estamos conscientes de qual é

esse papel e respeitamos as especificidades legais pertinentes às normas

estabelecidas podemos dizer que estamos preparados para desenvolver o papel de

tutoria, valorizando a troca de saberes.

As discussões nesse grupo de trabalho em rede e as sugestões e avaliações

dos participantes foram extremamente relevantes para a implementação do projeto.

Segundo os depoimentos dos professores participantes do grupo, a proposta

pedagógica apresentada no estudo é rica para o ensino da Função Afim na

disciplina de Matemática. Muitos relataram aliar o ensino desse conteúdo com

questões de outras disciplinas, das quais Física e Química em sua maioria. Os

conteúdos e atividades apresentadas trouxeram considerações importantes para a

reflexão do papel do professor e ainda a possibilidade do ensino da Matemática

utilizando os recursos tecnológicos e até mesmo lúdicos como aparatos

pedagógicos.

Alguns professores mencionaram terem aplicado algumas situações-

problemas presentes no Projeto de Implementação e relataram suas experiências,

afirmando terem obtido grande participação e interesse dos alunos para com as

atividades, outros mencionaram experiências com o uso de situações semelhantes

às propostas no Projeto de Implementação.

Assim, foi possível perceber que o uso de dispositivos práticos, presentes no

cotidiano dos alunos, colaboram para aulas mais participativas e a melhor

assimilação do conteúdo por parte dos alunos.

4 IMPLEMENTAÇÃO DAS ATIVIDADES

Esse trabalho foi desenvolvido com alunos do 1º ano do Ensino Médio do

Colégio Estadual Douradina – Ensino Fundamental e Médio que estudam no período

matutino, com 6 aulas semanais desenvolvidas em contra-turno. As aulas ocorreram

nas terças e quintas-feiras, sendo 3 horas-aula cada dia. Foram convidados os

alunos das turmas de 1º ano matutino, contudo não houve grande adesão, já que

muitos não se dispuseram a vir em contra turno, de modo que o trabalho foi

realizado com 16 alunos, os quais se mostraram interessados devido suas

pretensões de cursar um curso Superior.

A princípio apresentamos aos alunos a proposta de estudar as funções a

partir de situações do cotidiano e por meio da resolução de problemas para que eles

pudessem compreender os conceitos matemáticos em contextos significativos para

eles. O trabalho com os alunos seguiu as etapas definidas na unidade didático

pedagógica e no material didático, o qual foi impresso e entregue aos alunos. O

material contém quinze tarefas, divididas em seis blocos, de acordo com os objetivos

de cada etapa.

O trabalho teve início com a divisão da turma em grupos de quatro alunos,

totalizando em 4 grupos. Posteriormente, foram distribuídas as atividades com as

situações-problemas para que os grupos fizessem a leitura. Em seguida os alunos

receberam as orientações gerais quanto a resolução das questões, bem como apoio

na compreensão dos problemas, seguido de discussão e questionamentos

referentes às estratégias de resoluções encontradas pelos alunos.

O primeiro bloco denominado “Estudando contas e faturas” contém duas

tarefas que envolvem contextos do mundo real e teve como objetivo ajudar os

alunos a perceber algumas relações entre grandezas variáveis. Para abordar as

“Contas e faturas” fez-se uma explanação mostrando que as mesmas fazem parte

da vida das pessoas e na correria do dia a dia muita gente nem sabe de fato o que

está pagando, chegando algumas vezes a pagar faturas de contas que não fizeram.

Na Tarefa 1 foi explorada a fatura da conta de água, a qual pretendeu mostrar

a importância da leitura e entendimento dos documentos que recebemos, pagamos

e/ou assinamos. Para a leitura e cálculo da fatura da conta de água foi solicitado aos

alunos que trouxessem para a aula uma fatura de suas casas. Notou-se que a

prática de leitura do consumo de água, unidade padrão da medida do consumo de

água, leitura anterior, leitura atual e o cálculo do consumo de água em relação à

leitura atual e a leitura anterior eram práticas desconhecidas para eles. Na fatura da

conta de água puderam observar outra taxa cobrada, a da coleta de lixo.

Houve necessidade de esclarecer qual é a unidade padrão de medida de

consumo e o nome do instrumento que mede o gasto, o hidrômetro. Com base na

fatura de cada um foi calculado o valor de 1 metro cúbico de água, mas para esse

cálculo foi necessária muita discussão, pois alguns alunos dividiram o valor da fatura

pela quantidade de metros cúbicos gastos no mês, esquecendo de descontar o valor

da taxa de lixo. Assim, comparando o valor do metro cúbico de água com a fatura de

outro colega perceberam que quanto maior o consumo de água, maior é o valor a

pagar pelo metro cúbico. Por fim, os alunos juntaram as informações levantadas e

construíram uma tabela com o valor da fatura e as diferentes quantidades de água.

Nesta tarefa, percebeu-se que o aluno aprendeu a interpretar os cálculos

embutidos na fatura de água, identificando as informações contidas, como o

consumo mensal e o valor pago, e perceber algumas relações existentes entre as

grandezas envolvidas nas faturas.

A Tarefa 2 apresenta uma situação problema envolvendo um boleto bancário.

Nesta atividade foi possível perceber que, diferente da Tarefa 1, os alunos

identificaram facilmente as informações e efetuaram os cálculos utilizando-se de

seus conhecimentos apreendidos anteriormente. Com o diálogo referente a boletos

bancários houve interação entre os alunos e o professor, assim como discussões e

questionamentos das estratégias possíveis para resoluções das questões propostas.

Notamos a satisfação dos alunos ao trabalhar com faturas, pois lidam com

dinheiro diariamente, embora nem sempre saibam realizar as operações corretas.

Os alunos relataram terem percebido o quanto a leitura das faturas traz informações

importantes a respeito do que se paga em uma conta, assim podemos afirmar que o

objetivo inicial da tarefa foi atingido.

As Tarefas 3, 4 e 5 fazem parte do segundo bloco denominado

“Experimentos” e envolvem relações entre grandezas. O objetivo é possibilitar ao

aluno lidar com situações do cotidiano em que a variação de uma grandeza está

relacionada à variação da outra. Essa ideia é fundamental para a compreensão do

conceito de função.

As três tarefas de experimentação apresentadas são: o tamanho do pé, o

nível de água em um copo com bolinhas de gude e consumo e desperdício de água

ao lavar a louça. Na tarefa sobre o tamanho do pé os alunos puderam perceber a

relação existente entre o tamanho do pé e o número de calçado ideal, entretanto

expor seus conhecimentos em linguagem matemática somente foi possível após

muita discussão e pesquisas em livros e sites da internet.

Na tarefa do copo com água e bolinhas de gude e do volume de água

consumido ao lavar a louça os alunos tiveram dificuldade para representar as

relações utilizando sentenças matemáticas, havendo diversos questionamentos,

discussões e levantamento de hipóteses. Contudo, após as discussões e com a

ajuda da professora foi possível chegar às sentenças em questão. Estas atividades

foram bastante significativas e bem aceitas pelos alunos e todos participaram

ativamente, o que nos permitiu atingir os objetivos almejados no projeto de

implementação, já que ao manusear os experimentos os alunos aprenderam o

conteúdo proposto.

A Tarefa 6 faz parte do terceiro bloco denominado “Grandezas e Variação” e

contém situações diversas que envolvem grandezas para que o aluno identifique o

tipo de relação existente entre elas e posteriormente que sugira outras situações que

envolvem grandezas e relações semelhantes às estudadas. As grandezas presentes

nessa tarefa são: a relação entre o peso de uma pessoa e o tempo de atividade

física semanal; entre o tempo de escolaridade e a remuneração no trabalho; o

consumo de energia elétrica e o valor a pagar e; referente a distância percorrida por

um veículo e o consumo de combustível.

Na realização desta tarefa houve certa dificuldade dos alunos em

compreender como as grandezas variam juntas, porém com a exposição prática logo

perceberam que, por meio de equações matemáticas, é possível conhecer e/ou

mudar a realidade no que se refere às relações entre grandezas e a quantificação

dessas relações. Entretanto, mesmo após assimilar esse conteúdo ainda houve

dificuldade de alguns alunos em citar outras situações que envolvam grandezas e

descrever as relações entre elas. Assim, consideramos que o objetivo da desta

tarefa foi atingido em partes.

O quarto bloco denominado “As funções – Um tipo especial de relação entre

grandezas” tem o objetivo de apresentar o conteúdo de Funções aos alunos. Esse

bloco contém quatro tarefas, das quais três apresentam problemas para que sejam

identificadas as funções, as grandezas envolvidas e suas representações por meio

da utilização de tabelas, fórmulas em linguagem matemática e gráficos cartesianos.

Para tanto foi necessário conceituar Funções e retomar com os alunos os princípios

envolvidos na construção de gráficos cartesianos. Para tais explanações foram

utilizados o quadro negro, os livros didáticos e os comentários dos alunos.

As três primeiras tarefas pertencentes a este bloco apresentam situações no

posto de gasolina; na locação de carros e na geometria, todas envolvendo funções.

Segundo relato dos alunos, essas atividades foram muito atrativas, pois permitiram a

eles visualizar na prática a existência do conteúdo funções. Desta forma, foram

alcançados os objetivos destas atividades.

A quarta e última tarefa presente neste bloco denominada “Amarrando as

ideias” propõe fazer uma síntese das ideias até então apreendidas em relação a

Funções por meio da revisão das situações estudadas e da elaboração de um

resumo. Através do resumo dos alunos, do uso do livro didático e de pesquisas na

Internet foi discutido o conteúdo Funções e sua aplicabilidade no cotidiano. Os

alunos conseguiram identificar os tipos de funções e as diferenças entre elas através

de situações problemas, representações algébricas e gráficos. Entende-se, assim,

que o objetivo do bloco em fazer com que o aluno assimile o conteúdo funções foi

atingido.

O quinto bloco denominado “Os tipos de funções e a função afim” contém três

tarefas que envolvem os tipos de funções e o aprofundamento da função afim

através de situações problemas e das definições e propriedades presentes no livro

didático. Foram apresentados os conceitos e propriedades dos diversos tipos de

função utilizando-se para isso de linguagem matemática. Contudo, foi dada maior

ênfase ao ensino da Função Afim, a qual é o objeto principal deste estudo.

Solicitamos então, aos alunos que pesquisassem no livro didático e descrevessem

as características da função afim fazendo uma síntese das definições e

propriedades desse tipo de função. Em seguida, foram apresentadas algumas

situações em que os alunos identificaram a função afim construindo tabelas e

gráficos e comparando-as às representações algébricas. Com isso, alcançamos

nosso objetivo ao possibilitar aos alunos conhecer as principais características e

formas de representação desse tipo de função.

Após o estudo do conteúdo de função e função afim foram retomadas as

tarefas 1 e 2, Fatura de Água e Boleto Bancário, respectivamente. Tais atividades

consistem do sexto bloco “Voltando as Contas e Faturas”. A retomada dessas

tarefas visou fazer com que os alunos identificassem as grandezas e os tipos de

funções envolvidas em uma situação conhecida por eles, para em seguida escrever

as funções em linguagem matemática e construir gráficos. Tais atividades foram

realizadas sob os comandos das tarefas 14 e 15, onde os alunos responderam as

questões propostas e construíram os gráficos pedidos, agora com o conhecimento a

respeito das funções.

Percebeu-se, por fim, que após obterem o conhecimento do conteúdo

ministrado ao longo do processo de implementação dessa unidade didática, os

alunos assimilaram bem o conhecimento e tiveram facilidade em concluir as

atividades que lhes foram propostas. As opiniões dos alunos a respeito do trabalho

podem ser sintetizadas no trecho a seguir escrito por uma aluna:

As atividades desenvolvidas neste cursinho me ajudaram bastante, tanto na matéria de matemática, como no meu dia a dia, aprendi a ler uma fatura de água, aprendi também que tudo o que fazemos envolve a matemática, e que às vezes podemos chamar este simples cálculo de FUNÇÃO AFIM. Gostei bastante, pois, interagir, discutir, com colegas e a professora sobre o assunto, foi algo bastante presente no cursinho. Gostei também porque além de resolver cálculos, tivemos a chance de fazer algumas experiências, bem divertidas. Gostaria de que todos pudessem participar desse cursinho, pois é algo que podemos levar para toda a vida” (A. M. F. A.,14 anos).

Enfim, o feedback obtido dos alunos que participaram de tal implementação

foi que esse projeto lhes permitiu aprimorar seus conhecimentos e principalmente

melhorar seus resultados em sala de aula, além de terem dito que gostaram muito

de todas as tarefas propostas por terem trazido temáticas presentes em diversas

situações do cotidiano das pessoas.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O desenvolvimento desse trabalho oportunizou diversas reflexões acerca do

trabalho docente em matemática, mais especificamente a respeito do ensino da

Função Afim e do potencial da Resolução de Problemas como recurso pedagógico

para o ensino desse e de outros conteúdos matemáticos.

Destacamos que nossas considerações a respeito desse trabalho levam em

conta que o rendimento de uma turma está relacionado com diversas variáveis

relacionadas ao ambiente, horário e engajamento dos alunos. Como a adesão e

participação nesse projeto de implementação foi voluntária e sem meios coercitivos,

é considerável levar em conta que os alunos que fizeram parte desse trabalho são

os que realmente se disponibilizaram a estar presentes no Colégio em turno que não

o seu.

Observamos que a exploração de tarefas que envolvem situações e contextos

familiares aos alunos, como por exemplo, consumo de água e energia elétrica, ou

que envolvem a leitura e a compreensão de informações sobre economia, ciência,

políticas públicas e outras, colaboram para despertar o interesse do aluno e para o

seu envolvimento nas atividades em sala de aula. São situações que permitem que

os alunos sejam capazes de produzir significados para os conceitos matemáticos

envolvidos. Isso pode ser observado na aceitação das tarefas propostas, nas

atitudes dos alunos nas atividades iniciais e no seu envolvimento ao longo do

trabalho.

Vale ressaltar que todas as tarefas foram trabalhadas de modo dinâmico e

prático com a possibilidade de manuseio do que estava sendo estudado e

investigado, o que evidencia a importância do trabalho do professor para promover o

entrosamento do grupo e estimular a participação de todos os alunos.

Percebeu-se ainda que nas questões que envolviam reflexão e interpretação

do enunciado os alunos apresentaram maior dificuldade. Contudo, de maneira geral,

foi possível resgatar conceitos importantes, pois ao manusear e vivenciar as

situações do cotidiano permitiu-se a obtenção e retenção de informações que

facilitaram o processo de aprendizagem. Além de que, a partir do conteúdo

apreendido, houve reflexão e discussão acerca de possibilidades de se economizar

água, gastar menos e viver melhor.

Explorar as relações entre grandezas e as diferentes formas de

representação dessas relações em situações experimentais, também foi importante

para que os alunos compreendessem a linguagem algébrica e as representações

formais e se sentissem capazes de compreender e fazer uso delas em outras

situações. Segundo Ponte (1990), é importante para a formação matemática dos

alunos que eles possam relacionar o ensino das funções às situações que envolvem

variação.

Nesse sentido, destacamos a importância de que, ao ensinar matemática, o

professor considere sempre “onde estão os alunos, ao contrário da forma usual em

que o ensino começa onde estão os professores” (VAN DE WALLE, 2009, p. 57).

Essa é uma das ideias fundamentais da perspectiva da Resolução de Problemas

defendida por diversos autores (SCHOENFELD, 1996; ONUCHIC e ALEVATTO,

1999, 2004; VAN DE WALLE, 2009), em que resolver problemas é um meio para

aprender matemática e não somente para aplicar conhecimentos matemáticos.

Esses e outros pesquisadores e educadores matemáticos apontam que o

ensino por meio da resolução de problemas estimula o aluno a pensar, a

desenvolver um raciocínio lógico, a enfrentar novas situações e a aumentar seus

conhecimentos acerca dos conceitos matemáticos; além de tornar as aulas mais

atraentes e fazer com que os alunos queiram deixar de ser recebedores e

expectadores para tornarem-se atuantes e ativos no processo de aprendizagem da

matemática (DANTE, 2010; RIBEIRO, 2010).

Contudo, a dinâmica das aulas e o envolvimento dos alunos nesse trabalho,

não são suficientes para superar algumas dificuldades, como por exemplo, na leitura

e interpretação de textos e dos enunciados dos problemas e nas representações das

ideias expressas nas linguagens natural e aritmética utilizando linguagem algébrica.

Esses problemas evidenciam a importância de explorar diversas linguagens

simbólicas desde os anos iniciais, explorando diversas formas de representação

para os fatos e ideias matemáticas. Assim, conclui-se que os objetivos iniciais do

projeto foram alcançados, já que pudemos perceber o aprendizado adquirido por

meio da realização das atividades e discussões propostas.

Também se faz necessário frisar que o embasamento teórico e as discussões

do grupo de trabalho em rede foram pilar essencial na construção da unidade

didático pedagógica trabalhada e na postura do professor quando da implementação

da mesma. Discutir e refletir sobre a prática docente sob diversos pontos de vista,

em diferentes lugares e com diferentes pessoas, possibilita que o professor

compreenda a necessidade de desenvolver e experimentar outras formas de ensinar

e estimular o aluno a construir e reconstruir seus conhecimentos, de forma

significativa.

Nos estudos empreendidos até aqui, fortalecemos nossa crença de que o

conhecimento matemático precisa ser tratado como objeto em construção

permanente, que passou e passa por transformações, dependendo das ferramentas

e tecnologias disponíveis em cada época, a fim de atender às necessidades do

homem e do meio em que vive. Cada vez mais nos conscientizamos de que o

ensino deve oportunizar aos alunos atividades que os estimulem a “pensar

matematicamente”, que na perspectiva de Schoenfeld (1996, p.8) significa “ver o

mundo de um ponto de vista matemático [...] e ter as ferramentas do ofício para

matematizar com sucesso”.

Contudo, as possibilidades de trabalho e o trabalho de fato não se encerram

por aqui, sabemos da necessidade de novos estudos e novas formas de se

posicionar diante o ensino da Função Afim e da Matemática como um todo. Por fim,

concluímos ser este apenas o fechamento temporário de um ciclo de conhecimento

produzido.

REFERÊNCIAS

ÁVILA, G. S. de S. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.

BARRETO, M. M. Tendências atuais sobre o ensino de funções no Ensino Médio. Artigo adaptado da dissertação de mestrado Matemática e Educação Sexual: modelagem do fenômeno da absorção/eliminação de anticoncepcionais orais diários. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática. UFRGS, 2008.

Disponível em: http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_II/modulo_II/pdf/funcoes.pdf. Acesso em 07/05/2012.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010.

FILLOS, L. M. Água pelo ralo. Projeto Folhas. Disponível em: http://www.diadiaeducacao.pr.gov.br/portals/folhas/frm_detalharFolhas.php?codInscr=1476&PHPSESSID=2012120621455929. Acesso em 12 de Outubro de 2012.

GRAVINA, M. A. et. al. Funções e gráficos: um curso introdutório. Universidade

Federal do rio Grande do Sul: Instituto de Matemática. Disponível em

<http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/fun_graf.htm#mod>. Acesso em 12 de Outubro de 2012.

ONUCHIC, L. de L. R.; ALLEVATO, N. S.G. Novas Reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. e BORBA, M.C. (Orgs.). Educação Matemática: pesquisa em movimento.

São Paulo: Cortez, 2004.

ONUCHIC, L. de L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectiva. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p.199-218.

PARANÁ, S. de E. da E. do. Diretrizes curriculares da educação básica matemática. Curitiba, 2008.

POLYA, G. A arte de resolver problemas. 7ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

PONTE, J. P. O conceito de função no currículo de matemática. Revista Educação e Matemática. Portugal: APM, n. 15, 1990, p. 3-9.

RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1º Ensino Médio. São

Paulo: Scipione, 2010.

SCHOENFELD, A. Porquê toda esta agitação acerca da resolução de problemas? In: P. Abrantes, L. C. Leal, e J. P. Ponte (Editores) Investigar para aprender matemática. Lisboa: APM e Projecto MPT, 1996, p.61-72 (Artigo originalmente

publicado em 1991 na revista ZDM)

USISKIN, Z. Concepções sobre álgebra da escola média e utilização das variáveis. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p.09-22.

VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Tradução Paulo Henrique Colonese.

Porto Alegre: Artmed, 2009.