MARIA GLÓRIA MACHADO DE ALBUQUERQUE

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O AUXÍLIO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

UNIÃO DA VITÓRIA

2011

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O AUXÍLIO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

Projeto desenvolvido no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE 2010, como requisito para Intervenção Pedagógica no CEEBJA de União da Vitória, sob a orientação do Prof. M. Sebastião Romero Franco, UNICENTRO / Campus de Irati.

UNIÃO DA VITÓRIA

2011

Identificação

Professora PDE / 2010: Maria Glória Machado de Albuquerque

Área PDE: Matemática

Núcleo Regional de Educação de União da Vitória

Professor Orientador: M.S. Sebastião Romero Franco

IES vinculada: UNICENTRO – CAMPUS DE IRATI

Implementação: Centro Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos –

CEEBJA de União da Vitória

Intervenção: Educandos matriculados na Disciplina de matemática do Ensino

Médio da Educação de Jovens e Adultos

O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O AUXÍLIO DE

PLANILHAS ELETRÔNICAS

Introdução

A decisão de efetivar a presente proposta de trabalho foi tomada após estudos

realizados no coletivo de educadores do Centro Estadual de Educação Básica para

Jovens e Adultos (CEEBJA) de União da Vitória, em Semanas Pedagógicas a cada

seis meses, Reuniões Pedagógicas mensais e Grupos de Estudos voltados para a

Educação de Jovens e Adultos (EJA).

Todo estabelecimento de ensino do Estado do Paraná possui, em seus

laboratórios de informática, computadores equipados com as planilhas eletrônicas

BrOffice.Org Calc, instrumentos que serão utilizados para o Ensino de matemática

financeira.

Direção e Equipe Pedagógica e educadores do CEEBJA propõem a

adequação do cotidiano escolar voltado ao desenvolvimento de ações que visem

oportunizar aos educandos melhor preparo para o mundo do trabalho, do qual já

fazem parte, além de aumentar as possibilidades de melhor desempenho em

concursos que vierem a realizar.

Os educandos matriculados na Educação de Jovens e Adultos, na disciplina

de Matemática do Ensino Médio, devem cursar a carga horária mínima de 208

horas/aulas para cumprir a aprendizagem dos conteúdos científicos dessa disciplina,

conforme consta nas Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos do

Estado do Paraná.

O Projeto Político Pedagógico do CEEBJA retrata esses educandos como

pessoas trabalhadoras do comércio, das indústrias, de hospitais, domésticos,

desempregados, donas de casa, adolescentes fora de idade e série, portadoras de

necessidades especiais, idosos. Esse perfil de educandos da EJA também é referida

pela LDB (1996, p. 35) como de pessoas “que não tiveram acesso ou continuidade

de estudos no Ensino Fundamental e Médio na idade própria”. Sendo que estes

educandos trazem consigo uma ideia de que aprender matemática é uma tarefa

enfadonha, difícil, com fórmulas e procedimentos complicados, ou seja, coisa só para

alguns privilegiados, pois eles próprios estão afastados dos bancos escolares há

muito tempo, o que dificultaria muito o aprendizado dessa disciplina.

Dessa forma, pode-se considerar que os educadores, antes de discorrerem

sobre o conteúdo científico da Matemática, necessitam desenvolver dinâmicas para

desmitificar essas impressões, pois elas teriam interferência negativa na

aprendizagem. As mídias tecnológicas se apresentam como uma ferramenta para

auxiliar essa tarefa conjunta de educadores e educandos.

Outro ponto importante será a divulgação do material didático pedagógico

produzido após a implementação da proposta no CEEBJA, que poderá servir de

apoio para outros professores da EJA e da rede regular de ensino, versando sobre a

relação entre o ensino da matemática financeira e o uso da informática em sala de

aula.

A Educação de Jovens e Adultos tem suas especificidades próprias, é uma

realidade escolar diferente das escolas regulares de ensino; assim sendo requer uma

dinâmica de trabalho pedagógico com possibilidades de adequação dos

conhecimentos científicos das disciplinas, sua aplicabilidade no cotidiano,

viabilizando “o acesso, a permanência e o sucesso dos educandos nos estudos”,

conforme as Diretrizes Curriculares Estaduais (DCEs) da EJA (PARANÁ, 2006, p.

28).

As tendências metodológicas defendidas pelas DCEs (PARANÁ, 2008, p. 68)

para o ensino da disciplina de Matemática, propõem abordagens dos conteúdos

científicos de forma articulada, através da resolução de problemas, da modelagem,

das mídias tecnológicas, da etnomatemática, da história da matemática e das

investigações matemáticas. Dentro dessas abordagens, esta proposta de trabalho

pedagógico será desenvolvida utilizando-se da resolução de problemas e do uso das

mídias tecnológicas.

Portanto, de acordo com a Direção, Equipe Pedagógica e demais educadores

do CEEBJA, o desenvolvimento desta pesquisa faz-se importante para que se possa

exercitar a dinâmica do ensino dos conteúdos científicos da disciplina de matemática

financeira, tendo como apoio metodológico as mídias tecnológicas, mais

precisamente as planilhas eletrônicas.

Portanto, a questão central baseia-se em como inserir no cotidiano da

aprendizagem da sala de aula esse recurso de forma a beneficiar o trabalho de

ensinar e o de aprender e de melhorar a qualidade do fazer pedagógico.

Objetivo GeralUtilizar as planilhas eletrônicas no ensino de matemática financeira na

Educação de Jovens e Adultos.

Objetivos específicosFamiliarizar os educandos com o uso das tecnologias, especificamente as

planilhas eletrônicas.

Aplicar os conceitos de matemática financeira em problemas do cotidiano,

usando planilhas eletrônicas.

Simular compras a prazo e empréstimos de capital.

Fundamentação Teórica

Segundo Paulo Freire (1987, p.11) Educação é uma forma existente para que

o educando tenha a oportunidade de tomar para si o “poder de decisões, de fazer

escolhas tanto no plano pessoal como coletivo da sociedade”. Assim sendo, as

dinâmicas proporcionadas pelo ambiente escolar oportunizam a construção do

conhecimento e, nesse processo, o exercício da cidadania. Para tanto, faz-se

necessário que essa Educação seja consistente, explorando as possibilidades de

ensinar e aprender bem.

Refere, ainda, que esse processo de construção do conhecimento ocorre com

a Escola como mediadora, oportunizando aos educandos o acesso ao conhecimento,

contribuindo para a formação dos cidadãos, da comunidade e da sociedade da qual

fazem parte. Tornando-os assim capazes de intervir na realidade em que vivem e,

consequentemente, buscando a igualdade de oportunidades e seu desenvolvimento.

Segundo Saviani (1992, p. 19), em debates sobre a natureza e especificidade

da educação, “dizer que a educação é um fenômeno próprio dos seres humanos

significa afirmar que ela é, ao mesmo tempo, uma exigência do e para o processo de

trabalho, bem como é ela própria, um processo de trabalho”. Ou seja, educadores e

educandos se situam no espaço e tempo escolar com o objetivo de acessar o

conhecimento científico produzido historicamente. E, nesse acesso, transcendem o

simples processo de assimilar conteúdos disciplinares, passando a agregar atitudes

de cidadania.

A realidade escolar atual retrata o compromisso dos educadores e o interesse

dos educandos em busca da realização do trabalho pedagógico de ensinar e

aprender, visando o atendimento das demandas da sociedade contemporânea. A

qual exige o conhecimento científico sempre voltado para a solução de problemas do

cotidiano, tanto no âmbito do trabalho profissional como no âmbito pessoal. Assim

sendo, o papel da escola na sociedade é o de proporcionar o acesso conhecimento e

o de oportunizar situações de vivências que irão o suprir a defasagem de tempo, de

conteúdos disciplinares e de convívio com os seus pares.

Consta no Projeto Político Pedagógico do CEEBJA, que:A maioria de nossas alunas e alunos são operários, comerciários, trabalhadores da construção civil, trabalhadores informais, donas de casa, empregadas domésticas, aposentados e alguns desempregados somam a maioria dos alunos atendidos em nossa escola. Neste ano de 2010 as matrículas para o ensino fundamental, em caráter excepcional, atendem também a Resolução nº 3235/2008 – SEED. Esta resolução contempla a recomendação do Ministério Público do Estado do Paraná, a qual dispõe sobre a matrícula de adolescentes que apresentam defasagem idade-série.( (PPP, 2010, p. 17)

Sendo que esses educandos serão inseridos nas ações propostas neste

Projeto, estando de acordo com o que propõem as DCEs:A EJA deve ter uma estrutura flexível e ser capaz de contemplar inovações que tenham conteúdos significativos. Nesta perspectiva, há um tempo diferenciado de aprendizagem e não um tempo único para todos. Os limites e possibilidades de cada educando devem ser respeitados; portanto, é desafio destas Diretrizes apresentar propostas viáveis para que o acesso, a permanência e o sucesso do educando nos estudos estejam assegurados.(PARANÁ, 2006, p.28)

Como todos os estabelecimentos de ensino do Estado do Paraná, o CEEBJA

também possui televisões multimídias, laboratório de informática, internet, ou seja, os

recursos tecnológicos que podem ser utilizados no ensino e aprendizagem dos

nossos educandos.

Assim sendo, de acordo com a Direção, Equipe Pedagógica e demais

educadores do CEEBJA, que têm como objetivo possibilitar aos educandos o acesso

à educação de qualidade, as ações propostas neste Projeto de Intervenção

Pedagógica são importante, pois possibilitam exercitar a dinâmica do ensino dos

conteúdos científicos da disciplina de Matemática tendo como apoio metodológico o

uso de Mídias Tecnológicas. O Projeto Político Pedagógico do CEEBJA (2010),

coloca os educandos como sujeitos do processo educativo, onde a construção de um

novo saber tem como ponto de partida o que já conhecem, visto que nesta

modalidade de ensino atuamos com pessoas que já possuem experiências empíricas

e uma história cultural própria, além do desejo de saber e têm motivação para tal,

embora sofram com as dificuldades de aprendizagem somadas a fatores emocionais,

econômicos e familiares, mas que não os impedem de seguir em frente.

Os educandos da EJA seguem em frente, pois pertencem a sociedade onde

cada vez mais se exige que as pessoas exerçam autonomia, que tenham o acesso a

equipamentos como computadores e calculadoras, caixas eletrônicos, domínio de

senhas, uso correto dos valores disponíveis, enfim um consumidor consciente, um

profissional atualizado e um membro da comunidade sempre participativo, com

indicação de soluções para questões tanto as mais práticas como as mais

complicadas.

Para os educandos da EJA o exercício da cidadania e a construção da

autonomia passa por situações de superação. Precisam superar o tempo em que

estiveram afastados dos bancos escolares, o cansaço após um dia de trabalho

profissional, a timidez de afirmarem que não haviam concluído a sua educação

básica na idade prevista e que o esforço despendido é para a realização de uma

conquista.

Este perfil é também citado por Fonseca, quando afirma que os educandos da

EJA:“percebem-se pressionados pelas demandas do mercado de trabalho e pelos critérios de uma sociedade onde o saber letrado é altamente valorizado. Mas trazem em seu discurso não apenas as referências a necessidade: reafirmam o investimento na realização de um desejo e a consciência (em formação) da conquista de um direito.(Fonseca, 2002, p. 49)

A dinâmica do trabalho didático-pedagógico na EJA está diretamente

vinculada ao que propõem as Diretrizes, conforme mencionam que:“para a Educação de Jovens e Adultos, identificaram-se os eixos cultura, trabalho e tempo como articuladores de toda ação pedagógico-curricular. Tais eixos foram definidos a partir da concepção de currículo, como processo de seleção da cultura e do perfil do educando da EJA”. (PARANÁ, 2006, p. 32)

E o Projeto Político Pedagógico do CEEBJA complementa quando cita que

esses educandos da EJA já se apropriaram de conhecimentos em outras instâncias

sociais, visto que a escola não é o único espaço de produção e socialização dos

saberes. Essas experiências de vida são significativas ao processo educacional e

devem ser consideradas para a elaboração do currículo escolar, que se configura

numa forma diferenciada de ensino-aprendizagem, já que possui características

próprias. Por isso, devem ser entendidos como sujeitos com diferentes experiências

de vida e que em algum momento tiveram que se afastar da escola devido a fatores

sociais, econômicos, políticos e/ou culturais, ou ainda, o ingresso prematuro no

mundo do trabalho que causam a evasão e/ou a repetência escolar.

O ensino de conteúdos científicos da disciplina de matemática voltados para

a solução de situações presentes no cotidiano dos educandos, da sociedade, e do

momento histórico em que a sociedade está inserida possibilitam a aprendizagem de

qualidade, atendendo a legislação vigente e as diversas teorias postas, quanto a

importância do acesso a educação básica por todos os cidadãos brasileiros.

O acesso aos conhecimentos possibilita o exercício da cidadania, sendo esse

um direito natural dos cidadãos. Assim sendo, todos os educandos da EJA contam

com uma estrutura escolar de apoio, composta pela direção, equipe pedagógica e o

coletivo de educadores que se organizam, propondo atividades de motivação e de

incentivo dentro do processo de busca do conhecimento.

Propõe-se que os recursos tecnológicos escolhidos para o desenvolvimento

desse projeto servirão para explorar novas possibilidades pedagógicas e contribuir

para uma melhoria do trabalho docente em sala de aula, valorizando o educando

como sujeito do processo educativo. O desafio a ser enfrentado estará relacionado à

aplicação prática do computador, como elemento integrador do processo de ensino-

aprendizagem e não como uma simples ferramenta que facilita ou automatiza

cálculos. Sendo que o ensino com o apoio da informática é extremamente importante

e necessário para os educandos da EJA, pois não ajudará apenas no

desenvolvimento e nas aulas de matemática, mas sim na vida, visto a ampla

possibilidade de agregação e troca de informação, e consequentemente, interação

do usuário possibilitada por esse meio, que resulta na formação pessoal e social dos

indivíduos como um todo.

Metodologia

A atividade pedagógica proposta será desenvolvida para o ensino de

Matemática Financeira com a utilização da planilha eletrônica BrOffice.org Calc no

Ensino Médio da Educação de Jovens e Adultos (EJA) no Centro Estadual de

Educação Básica para Jovens e Adultos (CEEBJA) de União da Vitória – PR. Estes

recursos tecnológicos estão disponíveis nos laboratórios de informática das escolas

estaduais do Paraná. Será efetuada revisão dos conteúdos da Matemática Básica,

direcionada ao ensino médio, tais como razão e proporção, porcentagens até juros

simples e compostos que compõem os conteúdos de matemática financeira

previstos para o ensino médio, com uso de planilha eletrônica, em 20 horas aulas.

Resultados esperados

Como resultado espera-se proporcionar aos educandos a compreensão dos

conteúdos da matemática financeira no nível do ensino médio e a sua aplicação em

situações cotidianas, além do acesso ao uso das ferramentas de planilhas

eletrônicas.

E, posteriormente, a construção de material didático sistematizado para o

ensino da matemática financeira através do uso de planinhas eletrônicas a ser

disponibilizado para acesso por professores da rede estadual de ensino, cuja

metodologia proporcionará a capacitação dos educandos quanto aos conteúdos e ao

uso das ferramentas de planilhas eletrônicas destinadas à resolução de problemas

de cálculos financeiros pertinentes aos conteúdos do ensino médio.

Avaliação

A avaliação da aprendizagem será resultado da análise da capacidade de

reflexão dos educandos frente à construção do conhecimento científico, e entendida

como processo contínuo, descritivo, compreensivo, com atitude crítico-reflexiva

frente à realidade concreta. Os resultados serão analisados pela comunidade escolar

em conjunto, observando quais são os seus avanços e necessidades e as

consequentes demandas necessárias para aperfeiçoar a prática pedagógica. (PPP,

p. 32).

Para que “as práticas avaliativas finalmente superem a pedagogia do exame

para se basearem numa pedagogia do ensino e da aprendizagem” (DCEs 2008, p.

70) serão utilizados os seguintes critérios, proporcionando aos educandos várias

oportunidades para que possam demonstrar o aprendizado, incluindo “manifestação

escritas, orais e de demonstração, inclusive por meio de ferramentas e

equipamentos, tais como materiais manipuláveis, computador e calculadora” (DCEs,

2008, p. 69), sendo que será observado ainda, se o educando consegue comunicar-

se matematicamente, se compreende a situação do cotidiano que está sendo

proposta, se consegue desenvolver um raciocínio lógico-matemático para alcançar a

solução para a situação proposta e se é capaz de aferir a solução encontrada.

Assim sendo, os saberes e a cultura do educando também serão respeitados

como ponto de partida real, realizando a avaliação a partir das experiências

acumuladas e das transformações que marcaram o seu trajeto educativo. A

avaliação será significativa e voltada para a autonomia dos educandos.

A avaliação implica o coletivo da escola e possibilita a indicação de caminhos

mais adequados e satisfatórios para a ação pedagógica. Em outras palavras, a

avaliação não será um mecanismo para classificar, excluir ou promover os

educandos, mas um parâmetro da práxis pedagógica que toma os erros e os acertos

como elementos sinalizadores, visando o replanejamento, em situações que se

fizerem necessário.

Assim, a prática avaliativa supera o autoritarismo, o conteudismo e o ato de

avaliar como objeto de punição, estabelecendo-se uma nova “perspectiva, marcada

pela autonomia do educando”.(DCEs, 2006, p. 42)

Estratégias de Ação

Inicialmente, deverá ser verificado o conhecimento dos educandos quanto ao

uso da tecnologia, qual a habilidade de cada um em manusear o equipamento a ser

utilizado, no caso, o computador.

Em seguida, deverá ser desenvolvida uma dinâmica que sistematize o passo

a passo do uso do computador, como ações básicas de acesso aos programas

disponíveis no laboratório de informática do CEEBJA de União da Vitória.

O desenvolvimento da atividade pedagógica proposta será realizada com a

utilização da planilha eletrônica BrOffice.org Calc, para efetuar cálculos envolvendo

operações matemáticas; de início automatizando as mais simples, como forma de

revisão; evoluindo para as mais complexas, envolvendo o conteúdo matemático do

Ensino Médio e a Matemática Financeira.

Para tanto, serão seguidas orientações das DCEs, que afirmam:“A atuação do educador da EJA é fundamental para que os educandos percebam que o conhecimento tem a ver com o seu contexto de vida, que é repleto de significação. Os docentes se comprometem, assim, com uma metodologia de ensino que favorece uma relação dialética entre sujeito-realidade-sujeito. Se esta relação dialética com o conhecimento for de fato significativa, então as metodologias escolhidas foram adequadas”(PARANÁ, 2006, p 40)

As atividades serão organizadas de forma que oportunizem momentos de

expor o que os educandos já sabem sob a forma de uma revisão, até como

motivação, para depois organizar o que sabem com o que é novo, o que confere a

transposição didática para, na sequência, concretizar o novo saber, repetir para fixar

o aprendizado, criar atividades sobre o que é aprendido, oportunizando a

automatização do uso e a aplicação do novo conteúdo aprendido, em situações

concretas e ligadas a situações do dia a dia.

A sistematização da proposta didático-metodológica prevê atividades que

contemplarão a verificação do conhecimento prévio dos educandos e

desenvolvimento de atividades para o uso do computador; o ensino da matemática

financeira com atividades promotoras do conhecimento e sistematização dos

conteúdos, evoluindo de cálculos mais simples para os mais avançados. Sendo que

a organização do trabalho pedagógico proporcionará a contextualização dos

conteúdos através de aplicações em situações concretas e ligadas ao dia a dia do

educando, de operações básicas às avançadas como simulação de compras de

carros, casa própria e empréstimos de valores, facilitadas pelo uso das ferramentas

de planilhas.

Atividades propostas

1 - Apresentação do software BRofice.org calc

Este é um programa de planilha eletrônica, disponível nos computadores do

laboratório do PrDigital em todos os estabelecimentos de ensino do Estado do

Paraná. Com este programa é possível realizar todas as operações matemáticas

básicas, a representação de gráficos e demais situações que envolvam números e

tabelas.

Por meio dessas planilhas torna-se possível a realização de operações

matemáticas como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação,

exponenciação e a aplicação de fórmulas que envolvam operações numéricas.

Observação: Na definição do projeto o software era chamado BrOffice.org

Calc, no entanto a versão atual chama-se LibreOffice.org Calc

2 - Operações fundamentais

Para efetuar operações matemáticas básicas, tais como adição, subtração,

multiplicação, divisão, exponenciação, radiciação, porcentagem, o programa

disponibiliza os seguintes operadores:

TABELA 1 – OPERADORES MATEMÁTICOS

Sinal operador Exemplo+ (adição) = (5 + 7)- (subtração) = (5 – 7)* (multiplicação) = (5 * 7)/ (divisão) = (5 / 7)%(porcentagem) = (57%)^ (exponenciação) = (5^7)= (sinal de igualdade) = (5^7)

Obs.: o sinal de igualdade deve iniciar todas as fórmulas

A seguir são apresentados procedimentos para exercitar os cálculos com a

planilha eletrônica.

Adição

a) 5 + 7=

b) 57 + 75=

c) 157 + 275=

d) 1,57 + 2,75=

e) 0,157 + 0,275=

f) 15,7 + 27,5=

FIGURA 1: FÓRMULAS PARA CÁLCULOS

Observação: Pode-se alternar entre apresentar as fórmulas, como na figura 1,

e apresentar os resultados correspondentes, procedendo-se como segue.

Em Ferramentas, selecionar Opções e em seguida a opção BrOffice Calc da

lista à esquerda da janela que se abre e, dentro dela selecionar Exibir e então

marcar/desmarcar a opção Fórmulas em Exibir à direita.

Neste padrão, os resultados são apresentados nas células onde foram

inseridas as fórmulas; o resultado também é apresentado na barra de fórmulas, para

a célula selecionada, como na figura 2.

FIGURA 2 - EFETUANDO CÁLCULOS: ADIÇÃO

Subtração

a) 57 – 75=

b) 75 – 57=

c) 157 – 175=

d) 175 – 157=

g) 1,57 - 2,75=

h) 0,157 - 0,275=

i) 15,7 - 27,5=

FIGURA 3 - EFETUANDO

CÁLCULOS: SUBTRAÇÃO

Multiplicação

a) 5 * 7=

b) 57 * 75=

c) 157 * 275=

d) 1,57 * 2,75=

e) 0,157 * 0,275=

f) 15,7 * 27,5=

FIGURA 4 - EFETUANDO CÁLCULOS: MULTIPLICAÇÃO

Divisão

a) 35/7=

b) 35/5=

c) 7,5/5=

d) 75/5=

e) 2,75/5=

f) 27,5/5=

g) 27,5/1,5=

FIGURA 5 - EFETUANDO CÁLCULOS: DIVISÃO

Exponenciação

a) 5^7=

b) 7^5=

c) 2^7=

d) 2^5=

e) 2,5^2=

f) 12^2=

FIGURA 6 - EFETUANDO CÁLCULOS: EXPONENCIAÇÃO

Radiciação

Para obtermos a raiz quadrada de determinado valor, elevamos este valor ao

expoente ½:

a) 25^(1/2)=

b) 36^(1/2)=

c) 144^(1/2)=

d) 225^(1/2)=

e) 22,5^(1/2)=

81^(1/2)=

FIGURA 7 - EFETUANDO CÁLCULOS: RADICIAÇÃO

Observação:

1) Neste caso, devido à ordem de precedência de operações, devemos usar

parênteses para o expoente.

2) O aluno deve observar que na barra de status o software apresenta

algumas informações, entre elas como no exemplo acima a informação Soma = 5,

correspondente ao resultado da célula selecionada (A1, ou seja, coluna A e linha 1).

Raiz cúbica

a) 8^(1/3) =

b) 27^(1/3) =

c) 64^(1/3) =

d) 125^(1/3) =

e) 216^(1/3) =

FIGURA 8 - EFETUANDO CÁLCULOS: RAIZ CÚBICA

3 - Cálculo de percentuais

Quanto representa:

a) 25% de 84 páginas de um livro?

b) 30% de 800 votos?

c) 75% de R$ 120,00?

d) um pagamento de R$ 350,00, com 8% de desconto?

e) um pagamento de R$ 350,00, com acréscimo de 8%?

f) um pagamento de R$ 87,00 com multa de 10%?

g) uma comissão de 2% sobre o valor de R$ 5.200,00?

h) um lucro de 5% sobre o capital de R$ 5.000,00?

i) a multa de 2,5% sobre um valor de R$ 80,00?

Respostas:

a) 84*25%=

b) 800*30%=

c) 120,00*75%=

d) 350,00.(1-8%)=

e) 350,00.(1+8%)=

f) 87,00.(1+10%)=

g) 5200 . 2%

h) 5000 . 5%

i) 80 . 2,5%FIGURA 9 - EFETUANDO CÁLCULOS: PERCENTUAIS

No caso de cálculo de percentuais, o software altera a forma de apresentação

imediatamente depois de digitada a fórmula onde é usado o símbolo %.

Ex.: A expressão = 350*(1 - 8%) é alterada para = 350*(1 - 0,08).

4 - Razão

A razão entre dois números, sendo o segundo diferente de zero, é o quociente

entre o primeiro e o segundo.

a) A razão de 5 para 15 é:

5/15= 1/3

b) A razão de 15 para 3 é:

15/5= 3

FIGURA 10 - EFETUANDO CÁLCULOS: PERCENTUAIS

Razões Especiais

Para aplicar o conceito de razão a situações do cotidiano, podemos estudar as

razões especiais:

- Velocidade média

Uma motocicleta percorre 170 km em 2 horas. A velocidade média é a razão

entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la: 170km/2h=85km/h

- Escala

É a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida

correspondente ao comprimento real.

Escala = medida do comprimento no desenho/medida do comprimento real.FIGURA 11 - EFETUANDO CÁLCULOS: RAZÕES ESPECIAIS

Em um mapa, a distância entre duas cidades está representada por 5 cm,

sendo que a distância real é de 100 km. Qual é a escala utilizada para representar

essa distância? 5cm/10000000 = 1/2000000.

Pode-se formatar a escala para ser apresentada no formato p/q. Para tanto,

selecionar a célula, acessar o menu Formatar/Célula e selecionar Fração com código

de formato ???/????????. Os primeiros três símbolos correspondem à intenção de

apresentar até três casas decimais no numerador e os próximos, até oito casas no

denominador. O BrOffice.org Calc tem um limite de oito casas no denominador. Para

o numerador não há restrição. Ver figura 12.

FIGURA 12 – FORMATAÇÃO DE VALORES: FRAÇÃO

Densidade Demográfica

É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

Densidade demográfica = n° de habitantes/área

Densidade de um corpo

É a razão entre a massa de um corpo e seu volume.

Densidade = massa/volume

Taxa percentual

É a razão entre um número e 100.

Taxa percentual = número/100

Exemplos

a) Calcular a densidade demográfica de um município que tem 50000

habitantes e área de 2400km2.

b) Um cubo de pedra de 10cm de lado pesa 8kg. Calcular seu volume e sua

densidade.

c) Representar os valores percentuais de 5% e 12%.

FIGURA 13 – RAZÕES ESPECIAIS: DENSIDADE DEMOGRÁFICA E DENSIDADE

5 - Proporção

Proporção é uma igualdade duas razões: 21/7 = 15/5, pois 21/7 = 3 e 15/5= 3.

a) 6/7 = 24/28

b) 2/3 = 12/15

Propriedade fundamental de uma proporção:

Seja a/b = c/d, então ad = cb, pois em toda proporção o produto dos

extremos é igual ao produto dos meios.

Exemplo:

A proporção 4/6 = 2/3, é verdadeira, pois 4 x 3 é igual a 6 x 2

Já a proporção 2/3 = 8/9, é falsa, pois 2 x 9 é diferente de 3 x 8

Cálculo da proporção para determinar um termo desconhecido:

a) 5/2 = 6/x

b) 3/4 = 12/x

c) 2/x = 12/15

FIGURA 14 - EFETUANDO CÁLCULOS: PROPORÇÕES

6 - Juros simples

Juro é a remuneração sobre determinado capital.

Para juro simples, dada a taxa i%a.p. (para período p) o valor dos juros (J) é

calculado para qualquer número de períodos (n períodos p, como 5 períodos de 30

dias, ou seja, 5 meses) sobre o capital aplicado inicialmente (C).

. .100C i nJ =

O valor total resultante da soma de capital e juros é chamado montante (M):M C J= +

Usando a fórmula anterior, pode-se escrever:

.. 1100i nM C = + ÷

Exemplos:

a) A importância de R$ 5.000,00 foi aplicada pelo tempo de 3 meses, à taxa

de 1,2% ao mês. Qual será o valor do juro?

Multiplicar 5000 pelo tempo de 3 meses e pela taxa de 1,2%a.m.

b) Uma pessoa toma emprestado de um amigo a quantia de R$ 420,00, à taxa

de 0,5% ao mês. Qual deverá ser p valor do juro ao final de um período de 7 meses?

c) Calcular os montantes para os exemplos a) e b).

d) Calcular o valor do capital que, aplicado por 8 meses à taxa de 1%a.m.,

resultou no montante de R$5.000,00.

FIGURA 15 – CÁLCULO DE JUROS SIMPLES

7 - Juros compostos

No caso dos juros compostos, a cada período o capital é atualizado e os juros

até determinado período passam a fazer parte do capital sobre o qual incidirão juros

no próximo período. A fórmula que permite calcular o montante (M) para o capital (C)

aplicado por n períodos à taxa i%a.p. é dada por:

. 1100

niM C = + ÷

Para encontrar o valor dos juros, deve-se subtrair do montante o capital:

J = M – C

Gráficos e uso das fórmulas pré-definidas para cálculos específicos:

Exemplos:

a) Calcular o montante a juros compostos para um capital de R$2.000,00,

aplicado por 6 meses à taxa de 0,8%a.m. Calcule também o valor dos juros.

b) Calcular o capital que, aplicado por 5 meses à taxa de 1%a.m. resultou no

montante de R$ 3.100,00. Calcule também o valor dos juros.

Resolução: Deve-se completar a fórmula com as informações disponíveis e

então adotar os procedimentos algébricos para isolar a variável C.FIGURA 16 – CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS

Pode-se utilizar funções pré-definidas BrOffice.org Calc para fazer os cálculos

para os exemplos a) e b).

Para tanto acessar o item Função no menu Inserir (Figura 14).FIGURA 17 – INSERIR FUNÇÃO PARA CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS

Na janela do assistente de funções que se abre, em categoria, selecionar a

opção Financeiras; em Função, selecionar VP, para valor presente (Figura 15).

Na mesma janela, à direita, para cada informação necessária, selecionar a

caixa em branco à direita e clicar na célula onde se encontra a informação.FIGURA 18 – CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS COM FUNÇÕES DO CALC

Selecionar cada caixa em branco à direita e clicar com o mouse sobre a célula

onde se encontra a informação. Opcionalmente, digitar diretamente na caixa o

endereço da célula. Proceder da mesma forma para outras informações.

Observações importantes:

1) O BrOffice.org Calc prevê que a taxa deva ser informada com o símbolo %

à sua direita. Uma opção é informar a taxa nesse formato. Ex.: D4%. Outra opção é

informar na célula a ser referenciada a taxa nesse formato. Ex.: 1,0% na célula D4.

2) A informação Pgto somente deve ser preenchida se estiverem previstos

pagamentos periódicos ao longo do período a ser considerado. Esta informação será

utilizada para séries de pagamentos.

Exemplos:

a) Usar as funções VP e VF do Calc para refazer os cálculos das questões a)

e b) anteriores;

b) Calcular a taxa de uma aplicação do capital de R$ 1.000,00 que resultou

no montante de R$ 1.331,00 ao final de 12 meses.

FIGURA 19 – EXEMPLO DE JUROS COMPOSTOS COM FUNÇÕES DO CALC

FIGURA 20 – CÁLCULO DA TAXA DE JUROS COMPOSTOS COM FUNÇÕES

Para uso das funções de taxa ou de prazo, quando as outras informações de

capital e montante estão disponíveis, deve-se atribuir o sinal negativo para o capital

(VP). Esta regra está associada à forma de representação dos valores em um fluxo

de caixa, onde o capital pode ser considerado uma entrada (ou saída) de caixa e o

valor do montante será considerado uma saída (ou entrada).

Para o exemplo b), o fluxo de caixa é representado na figura 18. FIGURA 21 – FLUXO DE CAIXA

VF

0 1 2 ... n-1 nVP

7 - Séries de pagamentos uniformes

O recurso de planilha eletrônica é útil para a definição séries de pagamentos

uniformes empregados na definição de valores para amortização de empréstimos,

compras a prazo.

Um valor presente de capital (VP) deve ser pago com parcelas constantes

(PMT ou Pgto) considerando uma taxa de juros (i) incidindo sobre o capital ou no

cálculo do valor futuro (VF) de uma série de depósitos constantes.

A formulação para cálculo dos pagamentos uniformes leva em consideração

que cada pagamento em um instante do tempo m (tal que 1 ≤ m ≤ n) deve ter seu

valor presente no instante zero.

(1 /100)m m

PgtoVPi

=+

Considerando que VP será igual à soma dos valores presente dos

pagamentos futuros, tem-se uma soma de termos de uma progressão geométrica de

razão q = (1 + i/100):1 2 3 1( ... )n nVP Pgto q q q q q− − − − −= + + + + +

Multiplicando a equação por q, tem-se a equação:0 1 2 2 1( ... )n nqVP Pgto q q q q q− − − −= + + + + +

Subtraindo da equação anterior, tem-se:

(1 ) ( 1)nq VP Pgto q−− = −

( 1)1

nqVP Pgtoq

− −=−

Substituindo q por sua expressão, tem-se:

((1 /100) 1)( /100)

niVP Pgtoi

−+ −=− (1 (1 /100) )

( /100)

niVP Pgtoi

−− +=

Pgto

1 2 3 ... n-1 nVP

Da mesma forma, pode-se obter uma fórmula para cálculo do valor futuro de

uma série de pagamentos uniformes, que é dada por:

((1 /100) 1)( /100)

niVF Pgtoi

+ −=

Exemplos:

a) Calcular o valor presente de uma série de 12 pagamentos mensais de valor

R$200,00, remunerados à taxa de 0,8%a.m.

b) Calcular o valor futuro de uma série de 12 pagamentos mensais de valor

R$500,00, considerando a remuneração à taxa de 1%a.m.

FIGURA 22 –VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES

Deve-se notar que há uma barra de rolagem à direita dos valores definidos.

Arrastando-a para baixo permite acessar mais uma opção que deve ser definida para

se obter o valor presente da série de pagamentos. Esta opção com valores zero ou

um é definida para informar se os pagamentos serão realizados no início ou no final

de cada período.

Ao selecionar a caixa correspondente tem-se a informação no Assistente de

Função. O valor foi definido por escolha do editor do software, mas pode ser utilizado

para complementar a fórmula.

Deve-se considerar que a antecipação dos valores leva necessidade de

calcular à remuneração para mais um período, então se deve multiplicar a fórmula

por (1 + i/100). O expoente 1 faz a atualização e o expoente zero mantém a fórmula:

(1 (1 /100) ) (1 /100)( /100)

nTipoiVP Pgto i

i

−− += +

((1 /100) 1) (1 /100)( /100)

nTipoiVF Pgto i

i+ −= +

Pagamentos no início de cada período tipicamente são realizados para

pagamento de parcelamentos de compras com entrada ou na definição de depósitos

com vistas à obtenção de um valor futuro.

Os pagamentos no final de cada período são normalmente definidos para

pagamentos de empréstimos, onde não faz sentido efetuar o pagamento da primeira

parcela no momento do empréstimo.FIGURA 20 – VALOR PRESENTE E FUTURO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS

Referências

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