PROF. 1o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. II... com.br. Lá você também encontrará todas essas...

PROF. 1o ANOMATEMÁTICA PADRÃO VOL. II

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa: Literatura:Matemática: Química:Sociologia:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Matemática:Química:

Autores:

Atualizações:

Alexandre BandeiraGustavo BertocheWilmington CollyerGonzalo Lopez Roberto José AlvesVinícius CarvalhoMizael Souza Caroline CarvalhoVinícius CarvalhoVinícius CarvalhoRicardo Viz André VenturaAnne Nunes

Karina PaimMaria Izadora ZarroGabriella MoreiraBeattriz Guedes

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender“A Educação é a arma mais poderosa

que você pode usar para mudar o mundo.”(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1o BIMESTRE

EM1MAT07: Conjuntos: quais os principais conjuntos numéricos?• Compreenderanoçãointuitivadeconjuntos,oplanocartesianoortogonaleanoçãoderelação;• Diferenciararelaçãodepertinênciaeinclusãoemconjuntos;• Realizarasoperaçõescomconjuntos,intervaloseoprodutocartesiano;• Identificarossubconjuntosdeumconjunto,conjuntosnuméricos,intervalosabertosefechadoseos

elementosdoparordenado;• Resolver problemas envolvendo conjuntos, com aplicações no dia a dia, através da utilização de

diagramaseexercíciosdeintervalos,produtoscartesianoserelações.

EM1MAT02: Matemática Financeira: por que é importante saber lidar com juros?• Compreenderosignificadodarepresentaçãodeumaporcentagem;• Calcularporcentagenseaprenderautilizarfatoresdeatualização;• Diferenciarporcentagensemrelaçãoabasesdiferentesdevalores;• Aprenderosconceitosediferençasentrejurossimplesecompostos;• Identificarecalcularovalordodinheironotempoatravésdosjuros.

2o BIMESTRE

EM1MAT03: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?• Compreenderoconceito,aspropriedadeseaaplicaçãodefunção;• Identificarostipos,odomínio,contradomínioeimagemdeumafunção;• Calcularacomposiçãodefunçõeseafunçãoinversa;• Trabalharcomgráficos,tantocomaconstruçãoeinterpretação,ecomasrelaçõesexistentesentre

funçõesparatranslaçãodegráficos;• Resolver problemas envolvendo funções em geral, a aplicação da função composta e inversa,

construção,análiseetranslaçãodegráficos.

EM1MAT04: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grau• Compreender os métodos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de

equação;• Identificar,atravésdesituaçõescotidianasdescritas,seéprecisoutilizarequação,inequação,função

ousistemasdeequaçõesoudeinequaçõesdo1ograu;

2

• Reconhecerográficoda funçãodo1ograu,bemcomoa influênciadoscoeficientesedaraizemgráficosdessafunção;

• Estudarosinaldessafunçãopararesolverinequações-produtoequociente;• Resolverproblemasenvolvendoequação,inequação,funçãoesistemasdeequaçõesoudeinequações

do1ograueexercíciosdeconstruçãoeinterpretaçãodegráficosdessafunção.

3o BIMESTRE

EM1MAT05: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 2o grau• Identificarumafunçãodo2ograu,compreendendosuaimportânciaeaplicações;• Calculareanalisarseusprincipaisparâmetroseinterseçõescomoseixoscartesianos;• Determinarraízeserealizarestudosdesinal;• Resolverproblemasdemaximizaçãoeminimizaçãodefunçõesquadráticas;• Determinarconjuntos-soluçãodeinequaçõesprodutoequociente.

4o BIMESTRE

EM1MAT06: Funções: estudando as equações, as inequações e as funções exponenciais• Revisarconceitosdepotenciação;• Entenderarepresentaçãoalgébricaegráficadeumafunçãoexponencial;• Compreenderaformaçãodologaritmoesuarelaçãocomapotenciação;• Perceberoprocessodeestruturaçãodeumafunçãologarítmica,baseadanaexponencial;• Representareresolverequações,inequaçõesefunçõesexponenciaiselogarítmicas.


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MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM1MAT01: Razões e proporções: como operar grandezas proporcionais e casos práticos de razões e proporções?

• Compreenderoconceitoeaspropriedadesderazõeseproporções;• Reconheceralgumasaplicaçõesderazões(escalas,velocidademédiaedensidadedeumcorpo)ede

proporções(figurassemelhantes);• Identificararelaçãoproporcionaldiretaouinversaentregrandezasediferenciarregradetrêssimples

ecomposta;• Resolverproblemasenvolvendorazões,proporções,grandezasproporcionais,regradetrêssimples

ecomposta.

EM1MAT08: Geometria Plana: como estudar ângulos, retas e circunferências?• Compreenderoconceitodeânguloearelaçãoentreduasretasparalelaseumatransversal;• Reconheceroscasosdesemelhançadetriângulos(AA,LAL,LLLeLAA);• Identificar, em uma circunferência, seu comprimento, suas relaçõesmétricas e as relações entre

ângulosearcos;• Determinarasposiçõesrelativasentreponto/retaeacircunferênciaeentreduascircunferências;• Resolverproblemasenvolvendoângulos,tantoassociadosàsretasquantoàscircunferências,teorema

deTalesesuasaplicações,semelhançadetriânguloseexercíciosdecircunferência.

2o BIMESTRE

EM1MAT09: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?• Compreenderqualacondiçãodeexistênciadeumtriânguloeaspropriedadesreferentesaosângulos

internoseexternosdessepolígono;• Identificarostiposdetriânguloseosseussegmentosnotáveis;• Trabalharcomasrelaçõesmétricasdotriânguloretângulo;• Diferenciarasrelaçõesmétricasemtriângulosquaisquer:leidossenoseleidoscossenos;• Resolverproblemasenvolvendotriângulos,suasrelaçõesmétricasesegmentosnotáveis.

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3o BIMESTRE

EM1MAT10: Geometria Plana: como estudar polígonos, quadriláteros e áreas• Compreender a noçãode polígono regular, as características e propriedades de quadriláteros, as

áreasdepolígonos,docírculoesuaspartes;• Diferenciarpolígonoconvexoecôncavoepolígonoinscritoecircunscrito;• Identificarostiposdepolígonosedequadriláterosnotáveis;• Calcularaquantidadedediagonais,asomadosângulosinternoseexternosempolígonosconvexos;• Determinaramedidadosângulosinternoseexternosdepolígonosregulares;• Resolver problemas envolvendo polígonos, inscrição e circunscrição de polígonos, quadriláteros

notáveiseáreadepolígonos,círculoesuaspartes.

4o BIMESTRE

EM1MAT11: Trigonometria: como as relações trigonométricas ajudam na resolução de problemas?

• Estabelecerdiferentesmedidasdeângulos,earelaçãoentreelas;• Compreenderosconceitosiniciaisdetrigonometriaapartirdetriângulosretângulos;• Conhecerocírculotrigonométricoesuasprincipaispropriedades;• Utilizarocírculotrigonométricoparadeduzirvalorestrigonométricosparadiversosgruposdeângulos

notáveiserelaçõestrigonométricasfundamentais;• Analisaralgébricaegraficamenteequações,inequaçõesefunçõestrigonométricas.


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.


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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.


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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.


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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

1º anoMATEMÁTICA I

2o bimestre:

Aula 11Tópico: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?Objetivos: Compreender o conceito, as propriedades e a aplicação de função; Identificar os tipos, o domínio, contradomínio e imagem de uma função;Subtópicos: Função e classificaçãoExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 4

Aula 12Tópico: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?Objetivos: Calcular a composição de funções e a função inversaSubtópicos: Função compostaExercícios: xPara casa: Praticando 5 ao 8

Aula 13Tópico: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?Objetivos: Calcular a composição de funções e a função inversaSubtópicos: Função inversaExercícios: xPara casa: Praticando 9 ao 11

Aula 14Tópico: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?Objetivos: Trabalhar com gráficos, tanto com a construção e interpretação, e com as relações existentes entre funções para translação de gráficos; Resolver problemas envolvendo funções em geral, a aplicação da função composta e inversa, construção, análise e translação de gráficos.Subtópicos: Translação de gráficosExercícios: xPara casa: Praticando 12 e 13

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Aula 15Tópico: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?Objetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula 16Tópico: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grauObjetivos: Compreender os métodos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de equação;Subtópicos: Equação do 1o grau; Exercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 4

Aula 17Tópico: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grauObjetivos: Identificar, através de situações cotidianas descritas, se é preciso utilizar equação, inequação, função ou sistemas de equações ou de inequações do 1o grau; Reconhecer o gráfico da função do 1o grau, bem como a influência dos coeficientes e da raiz em gráficos dessa função;Subtópicos: Função do 1o grauExercícios: xPara casa: Praticando 5 ao 8

Aula 18Tópico: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grauObjetivos: Estudar o sinal dessa função para resolver inequações-produto e quociente; Resolver problemas envolvendo equação, inequação, função e sistemas de equações ou de inequações do 1o grau e exercícios de construção e interpretação de gráficos dessa função.Subtópicos: Inequações de 1o grauExercícios: xPara casa: Praticando 9 e 10

Aula 19Tópico: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grauObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando


11

Aula 20Tópico: ReviãoObjetivos: xSubtópicos: Revisão bimestralExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

MATEMÁTICA II

2o bimestre:

Aula 11Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Compreender qual a condição de existência de um triângulo e as propriedades referentes aos ângulos internos e externos desse polígono;Subtópicos: TriângulosExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 4

Aula 12Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Identificar os tipos de triângulos e os seus segmentos notáveis;Subtópicos: Congruência de triângulosExercícios: xPara casa: Praticando 5 ao 8

Aula 13Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Trabalhar com as relações métricas do triângulo retângulo;Subtópicos: Relações métricas no triângulo retângulo e aplicações Exercícios: xPara casa: Praticando 9 ao 12

Aula 14Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Diferenciar as relações métricas em triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos;Subtópicos: Relações métricas no triângulo qualquerExercícios: xPara casa: Praticando 13 ao 16

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Aula 15Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Resolver problemas envolvendo triângulos, suas relações métricas e segmentos notáveis.Subtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando Para casa: Aprofundando



Aula 18Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Objetivos: Resolver problemas envolvendo triângulos, suas relações métricas e segmentos notáveis.Subtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula 19Tópico: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?Tópico: ReviãoObjetivos: xSubtópicos: Revisão bimestralExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

Aula 20Tópico: ReviãoObjetivos: xSubtópicos: Revisão bimestralExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

EM1M

AT03

FUNÇÕES: QUAIS OS PRINCIPAIS CONCEITOS E TIPOS DE FUNÇÕES?

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?

Objetivos de aprendizagem:• Diferenciar função e relação e determinar do-

mínio, contradomínio e imagem de uma função;• Aprender a classificação, propriedades e a

aplicação de função;

• Calcular a composição de funções e a fun-ção inversa;

• Trabalhar com gráficos, tanto com a cons-trução e interpretação, e com as relações exis-tentes entre funções para translação de gráficos;

• Resolver problemas envolvendo funções em geral, a aplicação da função composta e inversa e construção, análise e translação de gráficos.

Praticando: 1) É necessário que uma única seta saia de cada elemento do conjunta A sem sobrar nenhum. São funções A e D 2) Domf = {1,2,3,4} Imf = {10, 11, 13, 14} f(2) = 11 f(4) = 14 3) a)f(0) = 7.0 - 2 b) f(-3) = 7.(-3) - 2 f(0) = 0 - 2 f(-3) = -21 - 2f(0) = -2 f(-3) = -23 4) a) f(x) = 0 x² - 5x + 4 = 0 ∆ = (-5)² – 4.1.4 ∆ = 25 - 16 ∆ = 9

x = –(–5) ± √

_9)

2.1 x’ =

82

ou x’’ = 22

x = 5 ± 3

2 x’ = 4 ou x’’ = 1

b) f(x) = -2 x² - 5x + 4 = -2 x² - 5x + 6 = 0

∆ = (-5)² - 4.1.6 ∆ = 25 - 24 ∆ = 1

x = –(–5) ± √

_1)

2.1 x’ =

62

ou x’’ = 42

x = 5 ± 1

2 x’ = 3 ou x’’ = 2

5) a) f(g(x)) = (g(x))² + 2.(g(x))f(g(x)) = (1 - 3x)² + 2.(1-3x)f(g(x)) = 1² - 2.1.3x + (3x)² + 2.1 - 2.3xf(g(x)) = 1- 6x + 9x² + 2 - 6xf(g(x)) = 9x² - 12x + 3

b) g(f(x)) = 1 - 3.(f(x))g(f(x)) = 1 - 3.(x² + 2x)g(f(x)) = 1 - 3.x² - 3.2xg(f(x)) = 1 - 3x² - 6x

c) f(f(x)) = (f(x))² + 2.f(x))f(f(x)) = (x² + 2x)² + 2.(x² + 2x)f(f(x)) = x^4 + 4x³ + 4x² + 2x² + 4xf(f(x)) = x^4 + 4x³ + 5x² + 4x

d) g(g(x)) = 1 - 3.(g(x))g(g(x)) = 1 - 3.(1 - 3x)g(g(x)) = 1 - 3 + 3.3xg(g(x)) = -2 + 9x

6) h(2) = 1 + 4.2 = 1 + 8 = 9f(h(2)) = f(9) = 5.9 + 1 = 45 + 1 = 46

f(2) = 5.2 + 1 = 10 + 1 = 11h(f(2)) = h(11) = 1 + 4.11 = 1+ 44 = 45

f(h(2)) + h(f(2)) = 46 + 45 = 91

7) f(g(x)) = x2.(g(x)) - 3 = x2.(g(x)) = x + 3

g(x) = (x+2)

2

EM1M

AT03


2

8) Letra Df(g(x)) = 8x + 72.(g(x)) + 3 = 8x + 72.(g(x)) = 8x + 7 - 3

g(x) = 8x+4

2g(x) = 4x + 2

A lei de uma função afim é dada por y = ax + b, então neste caso, a = 4 e b = 2.

9) a) y = x - 3x = y - 3y = x + 3 = f–1(-x)

b) y = (x+2)/4

x = y+2

4 4x = y + 2y = 4x - 2 = f^(-1)(-x)

c) y = 3x-24x-3

x = 3y-24y-3

x(4y - 3) = 3y - 24y.x - 3.x = 3y - 24y.x - 3y = 3x - 2y.(4x - 3) = 3x - 2

y = 3x-24x-3

= f–1(-x)

10) a) y = 2x-1x-3

x = 2y-1y-3

x.(y - 3) = 2y - 1xy - 3x = 2y - 1xy - 2y = 3x - 1y.(x - 2) = 3x - 1

y = 3x-1x-2

= f–11(-x)

b) O denominador de um fração não pode ser 0, portanto f–11 está bem definida quando: x - 2 ≠ 0 x ≠ 2 Domf = R - {2}

c) f–1(-3) = 3.(-3)-1

-3-2

f–1(-3) = -9 - 1

-5f–1(-3) = 2

11) Letra D

y = 2x-1x+3

x = 2y-1y+3

x.(y + 3) = 2y - 1xy + 3x = 2y - 1xy - 2y = -3x - 1y.(x - 2) = -3x - 1

y = -3x-1x-2

= f–1(-x)

12) 1º fazendo para x ≥ 0:y

1

0

–1

xπ/23π/2 2π

π

f(x) = sen(x)

aplicando módulo

y

1

0

–1

xπ/2 3π/2 2ππ

f(x) = |sen(x)|

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3

2º) Fazendo para x < 0:y

–2π

–0,5

–1,0

1,0

–π

f(x) = cos(x)

aplicando módulo

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

y

–6 –4 –2

f(x) = |cos(x)|

aplicando o simétrico

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

y

–6 –4 –2

f(x) = - |cos(x)|

3º) Juntando:

X–2 –4 –6

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2–6 –4 –2

GABARITO: letra D

13) Observe que para x = 0 => y = 1. Então, y = a + b.sen(x) => 1 = a + b.sen(0) => 1 = a + b.0 => a = 1Note que quando x =

π2 => y = -1. Então

y = a + b.sen(x) => -1 = a +b.sen( π2

) => -1 = 1 + b.1 => b = -1 -1 => b = -2GABARITO: letra D.

Aprofundando:14) Para que represente uma função de P em Q, um ponto do domínio pode apenas estar asso-ciado a uma única imagem. Para isso, devemos retirar 10 elementos (2 linhas com 5 elementos cada).GABARITO: letra E.

15) a) Não há restrições para x, então:Domf = R

b) O denominador de uma fração não pode ser igual a zero.x² - 4 ≠ 0x² ≠ 4x ≠ 2Domf = (-∞, 2) U (2,+∞)

c) Radicando não pode ser negativo2x - 10 ≥ 02x ≥ 10x ≥ 5Domf = [5,=∞[

16 )Letra B

17) Note que o contra-domínio de f, R, é igual à sua imagem, por isso podemos dizer que é so-brejetora. Porém, f não é injetora pois existem valores diferentes do domínio associados a uma mesma imagem.GABARITO: letra A.

18) O intervalo é fechado de 3 a 9, logo, o interva-lo que representa a imagem também é fechado. No intervalo [3,9], o valor de x associado ao o menor valor na imagem é x=5, onde sua imagem é y = 4. O valor de x associado ao maior valor na imagem é x = 9, onde sua imagem é y = 7. Por-tanto, o intervalo que representa a imagem será [4,7].GABARITO: letra B.

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19) Letra D. O intervalo de x [1,2] é decrescente, portanto a imagem de x = 1 é maior que a ima-gem de x = 2. Note pelo gráfico que a imagem de x= 1 estaria aproximadamente próxima a y = 2, e a imagem de x = 2 é y = 0.

20) Veja que para todo valor de x, g(-x) = -g(x) e f(x) = f(-x). Logo, g é ímpar e f é par.GABARITO: letra C.

21) Letra C

f(2) = f(1 + 1)f(2) = f(1) + f(1)f(2) = 2.f(1)1 = 2.f(1)f(1) = 1

2

f(5) = f(4 +1)f(5) = f(4) + f(1)f(5) = f(3 + 1) + f(1)f(5) = f(3) + f(1) + f(1)f(5) = f(2 + 1) + 2.f(1)f(5) = f(2) + f(1) + 2.f(1)f(5) = f(2) + 3.f(1)f(5) = 1 + 3.1/2f(5) = 5

2

22) Para que a relaçao M e N seja função, deve-se sair apenas uma seta de cada elemento de M, e não pode sobrar elemento nenhum em M.GABARITO: letra E.

23) f(3) = f(4 - 1) = 4³ = 64GABARITO: letra E

24) f(0) = a.3b.0

f(0) = a.30

f(0) = a.1f(0) = a5 = a

f(1) = a.3b.1

f(1) = 5.3b

45 = 5.3b

9 = 3b

3² = 3b

b = 2

f(12) = 5.32.12

f(12) = 5.3

f(12) = 15

GABARITO: letra D

25) f é uma função onde seu contra-domínio é igual à sua imagem, e para qualquer valor de x, possui uma única associação em y, portanto é bijetora.g possui o contra-domínio igual à imagem, con-tudo, para alguns valores de x haverá um mesmo valor de y, logo, é sobrejetiva.h não é sobrejetiva nem injetiva.GABARITO: letra A.

26) GABARITO: letra A

27) I) o número e possui um único divisor, logo, f(1) = 1. Note que f(2) = 2II) f(2) = 2 e f(3) = 2, então f é constante neste intervaloIII) f(2) = 2 e f(3) = 2, então f não é injetivaGABARITO: letra B

28) f(g(x)) = 2.(g(x)) + 5x = 2.(g(x)) + 5x - 5 = 2.(g(x))

g(x) = x-52

g(7) = 7-52

g(7) = 22

g(7) = 1GABARITO: letra B

29) 1º) Calcular f(12)Neste caso, n = 12, então n é par. Daí,

f(12) = 122

= 6

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2º) Calcular f(f(12)) = f(6)Neste caso, n = 6, então n é par. Daí,

f(6) = 62

= 3

3º) Calcular f(f(f(12))) = f(f(6)) = f(3)Neste caso, n = 3, então n é ímpar. Daí,f(3) = 3 + 1 = 4GABARITO: letra D

30)

1º) g(f(x)) = 1 - f(x) - 1 - 1X

= X–1X

= h(x)

2º) f(g(f(x)) = f(h(x)) = 1X–1

X

= X

X–1 = t(x)

3º) g(f(g(f(x)))) = g(t(x)) = 1 - X

X–1 =

X–1–XX–1

=

–1X–1

.(–1)(–1)

= 1

1–X = f o g(x)

GABARITO: letra B

31) a)1º) Calcular f(2), (2 ≥ 1):f(2) = 3.2 + 4 = 6 + 4 = 102º) g(f(2)) = g(10), (10 > 3):g(10) = 10² + 1 = 100 + 1 = 101

b)1º) Calcular g(0), (0 ≤ 3):g(0) = 5.0 - 5g(0) = 0 - 5g(0) = -5

2º) Calcular f-1(g(0)) = f-1(-5), (-5 <1):y = 5x + 2x = 5y + 2x - 2 = 5y

y = X–2

5 = f-1

f-1(-5) = -5-2

5 =

-75

Desafiando:32) a) g(x) = 0 => f(x + 1) = 0f(-1) = 0 => f(-2 +1) = 0 => x = -2f(1) = 0 => f(0 +1) = 0 => x = -1 raízes de g(x)f(4) = 0 => f(3 +1) = 0 => x = 3

b) g(-3) = f(-3+1) = f(-2) = -1g(-2) = f(-2+1) = f(-1) = 0g(-1) = f(-1+1) = f(0) = 1g(0) = f(0+1) = f(1) = 0g(1) = f(1+1) = f(2) = 2g(2) = f(2+1) = f(3) = 2g(3) = f(3+1) = f(4) = 0g(4) = f(4+1) = f(5) = -2

Respossta: A função é estritamente crescente em [-3,-1] e [0,1]

33) f(g(x)) = 2.g(x) - 3x = 2.g(x) - 3x + 3 = 2.g(x)g(x) = x+3

2

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FUNÇÕES: ESTUDANDO AS EQUAÇÕES, OS SISTEMAS E AS FUNÇÕES DO 1o GRAU

7


Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grau

Objetivos de aprendizagem:• Compreender a equação do 1o grau e os mé-

todos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de equação do 1o grau;

• Compreender os aspectos pertinentes da função do 1o grau, como os coeficientes, zero da função e a construção do gráfico dessa função.

• Estudar o sinal dessa função para resolver inequações e sistema de inequações;

• Resolver problemas envolvendo equação, inequação, função e sistemas de equações ou de inequações do 1o grau e exercícios de cons-trução e interpretação de gráficos dessa função.

Praticando:

1) x+13 - 3x+1

6 = 12

2(x + 1) - (3x + 1) = 32x + 2 - 3x - 1 = 3 -x = 2x = -2GABARITO: letra A

2) Seja x o número de anos que estão por vir até Maria viajar. Então:

44 + x = 10 + x + 8 + x + 2 + x44 + x = 20 + 3x24 = 2xx = 12Resposta: Maria terá 44 + 12 = 56 anos.

3) B = número de dias que poderá ficar na pousada B

A = número de dias que poderá ficar na pousada A

x = valor total da reserva

B + 3 = A 30.B = 25.A = x

30B = 25.(B + 3) 30.B = x30B = 25B + 75 x = 30.155B = 75 x = 450

reaisB = 15GABARITO: letra D

4) L = número de CDs de Luís M = número de CDs de Maria

L + M = 104 M - 12 = 3.L

104 - L - 12 = 3L104 - 12 = 3L + L4L = 92L = 23GABARITO: letra A

5) a) a = 3 > 0 => função crescenteb) a = -1 < 0 => função decrescentec) a = -3 < 0 => função decrescented) a = 1/3 > 0 => função crescente

6) Para interceptar o eixo y → x = 0a) y = 2.0 - 4 b) y = -0 + 2 c) y = 3.0 y = -4 y = 2

y = 0

7) Para interceptar o eixo x → y = 0a) 0 = 2x + 8 b) 0 = -x + 5 c) 0 = –2x d) y = 5 - 2.0 2x = -8 x = 5 x = 0 y = 5 x = –4

8) a) x f(x)-1 2.(-1) - 4 = -60 2.0 - 4 = -41 2.1 - 4 = -2

f(x) = 2x – 4

–1,5 –0,50

0–1–2–3–4–5–6–7

0,5 1,5 2,52–1 1

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b)x f(x)-1 -3 . (-1) = 30 -3 . 0 = 01 -3 . 1 = -3

f(x) = – 3x

–1,5 –0,5 0

–4

–3

–2

4

3

2

1

–1

00,5 1,5–1 1

c)x f(x)-1 -(-1) + 3 = 40 0 + 3 = 31 -1 + 3 = 2

f(x) = – x = 3

–1,5 –0,5 00

1

2

3

4

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

0,5 1,5–1 1

9) a) 7x - 8 < 4x + 1 7x - 4x < 1 + 8 3x < 9 x < 3

b) (-x + 2)(x + 3) ≥ 0Teremos duas soluções1º) -x + 2 ≥ 0 e x + 3 ≥ 0 x ≤ 2 e x ≥ -3

S = {x Є R | -3 ≤ x ≤ 2}2º) -x + 2 ≤ 0 e x + 3 ≤ 0 x ≥ 2 e x ≤ -3S = {x Є R | x ≤ -3 e x ≥ 2}

c) -2x+1x+2 ≥ 0

Teremos duas soluções1º) -2x + 1 ≥ 0 e x + 2 ≥ 0 2x ≤ 1 e x ≥ -2 x ≤ 1/2S = {x Є R | -2 ≤ x ≤ 1/2}

2º) -2x + 1 ≤ 0 e x + 2 ≤ 0 2x ≥ 1 e x ≤ -2 x ≥ 1/2S = {x Є R | x ≤ -2 e x ≥ 1/2}

d) 5x+12x+4 > 3

5x+12x+4 - 3 > 0

5x+1-3(2x+4)2x+4 > 0

5x+1-6x-122x+4 > 0

–x–112x+4 > 0

Teremos duas soluções1º) -x - 11 > 0 e 2x + 4 > 0 x < -11 e 2x > -4 x > -2 S = {x Є R | x < -11 e x > -2}2º) -x - 11 < 0 e 2x + 4 < 0 x > -11 e 2x < -4 x < -2 S = {x Є R | -11 < x < -2}

10) a) 1º) x + 4 > 2x - 1 4 + 1 > 2x - x x < 5 2º) x + 1 ≥ 0 x ≥ -1S = {x Є R | -1 ≤ x < 5}

b) 3x + 2 > x - 4 x 4 ≤ 2x + 1 3x - x > - 4 - 2 -4 - x ≤ 2x - x 2x < - 6 x ≥ -5 x < -3S = {x Є R | -5 ≤ x < -3}

Aprofundando: 11) a) Seja x o número de pessoas e y o valor do prato principal

x.y = 56 → y = 56/x x.(y - 3) = 35 x.(y - 3) = 35

a) x.( 56/x- 3)=35 b) x.y = 56(56.x/ )/x/ - 3x = 35 7y = 5656 - 35 = 3x y = 8x = 21/3x = 7

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12) x = z - 1 → x = z - 1 → x = 15 - y - 1 y = 15 - z z = 15 - y x = 14 - y 4 = y - x

x = 14 - y →

4 = y - (14 - y) →

x = 14 - y →

x = z - 1 4 = y - x 4 = y - 14 + y x = 14 - 9 5 = z - 1

18 = 2y x = 5 z y = 9

13) ALFA => 35 + x.1 BETA => 15 + y.1,5

x + 30 = n → x = n - 30 y + 20 = n y = n - 20

35 + (n - 30).1 < 15 + (n - 20).1,5 35 + n - 30 < 15 + 1,5.n - 30 5 + n < 1,5.n -15 5 + 15 < 1,5.n - n 0,5.n > 20 n > 40GABARITO: letra C.

14) x → número de questões respondidas corretamente

y → número de questões erradas/não respondidas

x + y = 20 x + / y = 20 x.3 + y.(-1) = 28 3x - / y = 28 +

4x = 48 x = 12

GABARITO: letra A.

15) x => arremessos convertidosy => arremessos errados x + y = 20 → x + y = 20 (x5) → 5x + 5/ y = 100x.10 + y.(-5) = 50 10x - 5y = 50 10x - 5/ y =

50 + 15x = 150 x = 10GABARITO: letra C

16) Média: 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 + 4.P4 1 + 2 + 3 + 4 P1 + 2.P2 + 3.P3 + 4.P4 10 5 + 2.5 + 3.7 + 4.P4 ≥ 6 10 5 + 10 + 21 + 4.P4 ≥ 60 36 + 4.P4 ≥ 60 4.P4 ≥ 24 P4 ≥ 6

17) y → idade de Danielx=> idade de Hamilton

y = 2x → y = 2x → y = 2x y - 10 = 4.(x - 10) y - 10 = 4x - 40 4x - y = 30

GABARITO: letra D

18) a) Note que os pontos (1,2) e (-1,-6) pertencem ao gráfico. Então:

y = ax + b

2 = a.1 + b →

2 = a + b -6 = a.(-1) + b -6 = -a + b +

- 4 = 2b b = -2

2 = a + b2 = a - 2 a = 2 + 2a = 4

f(x) = 4x -2b) Os pontos (-1,7) e (2,-2) pertencem ao gráfico. Então:y = ax + b

7 = a.(-1) + b → 7 = - a + b x(-1) → -7 = a - b

-2 = a.2 + b -2 = 2a + b -2 = 2a + b + - 9 = 3a a = -3

7 = -(-3) + b7= 3 + bb = 4f(x) 3x + 4

19) a) Note que os pontos (1990 , 66) e (2000, 70)pertencem ao gráfico. Então:

y = ax + b 66 = a.1990 + b x(-1) → -66 = -1990a - b 70 = a.2000 + b 70 = 2000a + b +

4 = 10a a = 4/10 = 2/5

70 = 2000/ . 2/5/ + b70 = 400.2 + b b = 70 - 800b = -730f(x) = 2/5 x - 730f(1995) = 2/5/ .1995/ - 730 = 2.399 - 730 =

798 - 730 = 68Resposta: A expectativa de vida em 1995 era

de 68 anos.

b) Os pontos (2000 , 70) e (2004 , 72) pertencem ao gráfico. Então:y = ax + b

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72 = a.2004 + b → 72 = 2004a + b/ 70 = a.2000 + b x(-1) -70 = -2000a - b +

2 = 4a a = 2/4 = 1/2

70 = 2000/ . 1/2/ + b 70 = 1000 + b b = - 930

f(x) = x/2 - 930f(2010) = 2010/2 - 930 = 1005 - 930 = 75Resposta: A expectativa de vida em 2010 será

de 75 anos.

20) C

21) y = -2x + 10P => 0 = -2.u + 10→ 0 = -2.u + 10 (÷2)→ 0 = 5 -uQ => v = -2.0 + 10 v = 10 v = 10 + v = 15 - u v + u = 15GABARITO: letra E

22) y = ax + b

-4 = a.3 + b → -4 = 3a + b x(-1) → 4 = -3a - b 2 = a.(-1) + b 2 = -a + b 2 = -a + b +

6 = -4a a = 6/-4 = -3/22 = -a + b2 = -(-3/2) + b2 = 3/2 + bb = 2 - 3/2b = (4-3)/2b = 1/2

23) Os pontos (0,0) e (10,600) pertencem ao gráfico. Como se trata de uma função do 1º grau:y = ax + b

0 = a.0+ bb = 0

600 = a.10 + b600 = 10a + 0a = 60

y = 60xGABARITO: letra C.

24) Pelo texto, entende-se R$24,00 fixos e mais 3 reais a cada hora extra.GABARITO: letra D.

25) Pela tabela podemos concluir que (5 , 6,35) e (10 , 6,7) são pontos da função pedida. Então:y = ax + b 6,35 = a.5 + b x(-1) 6,7 = a.10 + b

-6,35 = -5a - b/ 6,7 = 10a + b/

0,35 = 5aa = 0,076,7 = 10a + b6,7 = 10.0,07 + bb = 6,7 - 0,7b = 6

f(x) = 0,07x + 6GABARITO: letra E.

26) m é o coeficiente angular. Note pelo gráfico que a função é crescente, entao m > 0.

n é o coeficiente linear, é onde a função corta o eixo y. A função está cortando o eixo y abaixo da origem, ou seja, nos valores negativos, então n < 0.

GABARITO: letra E.

27) (15, 30000) e (17, 90000) são pontos do gráfico pertencente ao mesmo “trecho” onde encontra-se o momento com 45000 torcedores. Então:

y = ax + b

30000 = a.15 + b x(-1) 90000 = a.17 + b

-30000 = -15a - b/ 90000 = 17a + b/ 60000 = 2a a = 30000

30000 = 15a + b30000 = 15.30000 + bb = 30000 - 450000b = -420000

f(x) = 30000x - 420000450000 = 30000x - 42000030000x = 465000x = 465000/30000 = 15,5

horas min 1------------600,5-----------zz = 30 minResposta: 15 horas e 30 minutosGABARITO: letra B.

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28) Vamos usar os pontos (100 , 97) E (700 , 115) do gráfico. y = ax + b 97 = a.100 + b x(-1) 115 = a.700 + b

-97 = -100a - b/ 115 = 700a + b/ 18 = 600a a = 18/600 = 0,03

97 = 100a + b97 = 100.0,03 + b97 = 3 + bb = 94

f(x) = 0,03x + 94 => N = 0,03.C + 94GABARITO:letra B.

29) (1983 , 239) => 239 = a.1983 + b x(-1) (2007 , 461) => 461 = a.2007 + b -239 = -1983a - b/ 461 = 2007a + b/ 222 = 24a a = 9,25

239 = 9,25.1983 + b239 = 18342,75 + bb = -18103,75

f(x) = 9,25x - 18103,75f(2011) = 9,25.2011 - 18103,75 = 18601,75 -

18103,75 = 498GABARITO: letra C.

30) (2010 , 3,5) => 3,5 = a.2010 + b x(-1) (2003 , 5) => 5 = a.2003 + b -3,5 = -2010a - b/ 5 = 2003a + b/ 1,5 = 20a a = 0,075

5 = 0,075.2030 + b5 = 152,25 + bb = -147,25

f(x) = 0,075x - 147,25f(2020) = 0,075.2020 - 147,25 = 151,5 - 147,25

= 4,25GABARITO: letra D.

31) x + 1 ≤ 2x - 3 2x - 3 < 12 - x 1 + 3 ≤ 2x - x 2x + x < 12 + 3 x ≥ 4 3x < 15 x < 5S = [4,5)GABARITO: letra D.

32) a) Como trata-se de uma fração, deveria ter sido feito da seguinte maneira:

(2x+3)/(x-1) - 5 > 0(2x+3-5(x-1))/(x-1) > 0(2x+3-5x+5)/(x-1) > 0 (8-3x)/(x-1) > 0Teremos duas soluções

1º) 8 - 3x > 0 e x - 1 > 0 3x < 8 e x > 1 x < 8/3 2º) 8 - 3x < 0 e x - 1 < 0 3x > 8 e x < 1 x > 8/3

b) x Є (1, 8/3[ ou x Є (-∞,1[ U ] 8/3,+∞)

33) x → número de vezes em que foi retirado 1 copo

y → número de vezes em que foram retirados 2 copos

z → número de vezes em que foram retirados 2 copos

x + 2y + 3z = 100Como houve um disperdício de 35% do total

de 100 copos, então35/100.100=35 coposLogo, y + 2z = 35Por IV temos:y/z=3/2 => 2y = 3z => 2y - 3z = 0

y + 2z = 35 x(-2) 2y - 3z = 0

-2y/ - 4z = -70 2y/ - 3z = 0 + -7z = -70 z = 10

y + 2.10 = 35y = 35 - 20y = 15

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12

x + 2y + 3z = 100x + 2.15 + 3.10 = 100x + 30 + 30 = 100x + 60 = 100x = 40GABARITO: letra C

34) Em um lado da balança:P + 200g , onde P é o verdadeiro peso do peixeDo outro lado da balança: 2kg + 300g , pois o “peso de 500g” é ocoOs pratos se igualam, logoP + 0,2 = 2,3P = 2,1kgContudo, o comprador pensa que está

levando 2,5kg, logo, pagará2,5.12,6 = 31,5 reaisMas como está levando apenas 2,1kg kg reais2,1-----------31,5 1-------------x2,1x = 31,5x = 31,5/2,1 = 15 reaisGABARITO: letra B.

Desafiando: 35) Seja v o valor do carro quando é novo

(0,v) => v = a.0 + b v = bO valor do carro após 20 anos é 0,2v. Assim,(20 , 0,2v) => 0,2v = a.20 + b 20a + 0,8v = 0(5 , 24000) => 24000 = a.5 + b 5a + v = 24000

x(-0,8) 20a + 0,8v/ = 0 -4a - 0,8v/ = -19200 + 16a = -19200

5.(-1200) + v = 24000-6000 + v = 24000v = 300000,2.30000 = 6000 reaisGABARITO: letra D.

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GEOMETRIA PLANA: O QUE PRECISAMOS SABER SOBRE TRIÂNGULOS?

13

Praticando 1) x = 20º + 15º = 35º

2) α100º

βxγ

65ºθ

I) 100º + β + x = 180º → β + x = 80º → β = 80º - xIII) β + x + γ = 180ºIV) x + γ + 65º = 180º → x + γ = 115º → γ = 115º - x

β + x + γ = 180º80º - x + x + 115º - x = 180x = 195 - 180x = 15º

3) Seja x o tamanho dos canudos da base12 - 10 < x < 12 + 10 => 2 < x < 2212 - 8 < x < 12+8 => 4 < x < 2010 - 8 < x < 10 + 8 => 2 < x < 18Pegando a interseção dos 3 intervalos: 4 < x < 18De 5 a 17 são 13 valores. Retirando os valores

8, 10 e 12, são 10 valores.GABARITO: letra A.

4) Os triângulos são semelhantes. Então, ( y)/9 = 7/7 6/x = 7/7 y/9 = 1 6/x = 1 y = 9 x = 6

5) GABARITO: letra D.

6) GABARITO: letra C.

7)

b

2b

2axa

a + 2a = 3a

3a + b + 2b = 180 3a + 3b = 180 3(a + b) = 180 a + b = 60

a + b + x = 180º 60 + x = 180 x = 120º

GABARITO: letra D.

8) ∆MOA:

4 cm

4 cm

B

A

OM

h8 cm


Geometria Plana: o que precisa-mos saber sobre triângulos?

Conteúdo:• Compreender qual a condição de existência

de um triângulo e as propriedades referentes aos ângulos internos e externos desse polígono;

• Identificar os tipos de triângulos e os seus segmentos notáveis;

• Trabalhar com as relações métricas do triângulo retângulo;

• Diferenciar as relações métricas em triân-gulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos;

• Resolver problemas envolvendo triângulos, suas relações métricas e segmentos notáveis

Objetivos de aprendizagem:• Compreender qual a condição de existência

de um triângulo e as propriedades referentes aos ângulos internos e externos desse polígono.

• Identificar os tipos de triângulos, os seus segmentos notáveis, as relações métricas do triângulo retângulo e em triângulos quaisquer.

• Resolver problemas envolvendo triângulos, suas relações métricas e segmentos notáveis.

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14

4² + h² = 8²h² = 64 - 16h² = 48

∆BMA4² + h² = AB²16 + 48 = AB²AB = 64AB = 8 cm

9) b² = a.m c² = a.nm = b²/a n = c²/a

1m

+ 1n

= 1b2

a

+ 1c2

a

= ab2

+ ac2

= a . c2 + a . b2

b2 . c2 =

a . a2

b2 . c2 =

a3

b2 . c2

GABARITO: letra E.

10) GABARITO: letra D.

11) AB² + 4² = 8²AB² = 64 - 16AB² = 48

(4 + x)² + 48 = 13²4² + 2.1.x + x² + 48 = 16916 + 8x + x² - 121 = 0 x = -b ± ∆

2ax² + 8x - 105 = 0 x = -8 ± 489

2 . 1∆ = 8² - 4.1.(-105) ∆ = 64 + 420

x = -8 ± 22

2∆ = 484 x’ =

142

x” = –30

2 x’ = 7 x” = –15

GABARITO: letra D

12)

3 cmx

7 cm

60°

x = –b± ∆ 2ax = –(–3) ± 169 2 . 1x = 3 ± 13 2x’ = 16/2 x” = –10/2 x’ = 8 x”= -5

Lei dos cossenos:7² = 3² + x² – 2 . 3 . x . cos60º49 = 9 + x² – 6 . x . 1/2x² - 3x – 40 = 0∆ = (–3)² – 4.1.(-40∆ = 9 + 160∆ = 169

ABARITO: letra D.

13)

3 cmx

A

BC 4 cm60°

x² = 3² + 4² + 2 . 3 . 4 . cos60ºx² = 9 + 16 + 24 . 1/2x² = 37x = 37 cmGABARITO: letra A.

14) B

15)

30 cmx

57°

60° 59°

B

A C

ABsen 59º

= AB

sen 64ºAB

0,87 =

AB0,9

AB0,87

= 100,3

AB . 0,3 = 8,7

AB = 8,70,3

AB = 29 m

Aprofundando:16) Lei dos Senos

BCsenÂ

= 2R

BC3/4

= 2R

BC = 2 . R . 3/5BC = 6/5 . R

17)

120° 110°

x

x

180° – 120º= 60°

180° – 110º= 70°

60º + 70º + x = 180ºx = 180º - 60º - 70ºx = 50º

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18) r

α

α

20°

s

α + 90º + 20º = 180ºα = 180º – 20º – 90ºα = 70ºGABARITO: letra A.

19) E

20) Como DB é diagonal do quadrado, E^BD = 45º pois, E^BF = 90º é ângulo do quadrado inicial.

Note que BÂE = EÂD = DÂF = FÂB = 90º.Olhando para o triângulo EAB:EÂB + A^BF + BÊA = 180º90º + 45º + BÊA = 180}BÊA = 180 - 90 - 45BÊA = 45º

Olhando para figura 2, o ãngulo A^DC é meta-de de um ângulo reto, ou seja, mede 45º. Ao dobrar o papel até que AD encoste em BD, o ângulo A^DC é dividio ao meio. Logo, E^DA = 22,5º

Sendo o triangulo EDA:AÊD + E^DA + DÂE = 180ºAÊD + 22,5 + 90 = 180AÊD = 180 - 90 - 22,5AÊD = 67,5º

Logom BÊD = BÊA + AÊD = 45 + 67,5 = 112,5ºFazendo regra de três para descobrir quanto

é 0,5º em minutos:1-------------60’0,5-----------xx = 0,5.60x = 30’BÊD = 112º 30’GABARITO: letra B

21) 1 m

2 m

A B

C

Como AB = 1 e AC = AB/2, então AC = 2.Usando Pitágoras (∆ABC é retângulo em A)BC² = AC² + AB²BC² = 2² + 1²BC² = 5BC = 5 = 2,2Como AB = 1m, ao fazer a rotação teríamos

AD = 1m e DC = 1,2m. Ao rotacionar DC, encon-traríamos CE = 1,2 m e EA = 0,8m, pois AC = 2m. Logo, a altura até o umbigo da modelo é 1,2m.

GABARITO: letra B.

22) Chamando BP de x, temos que NP = 1-x, pois faziam parte do mesmo lado do quadrado.

Olhando para o triângulo BPM vemos que é retângulo em B. Usando Pitágoras:

MB² + BP² = MP²Como MB é metade de um lado do quadrado:(1/2)² + x² = (1 - x)²1/4 + x² = 1 - 2x + x² 2x = 1 - 1/42x = 3/4x = 3/8 0,375GABARITO: letra C

23) A formiga deverá se deslocar do ponto F até o ponto T em 10 segundos para chegar junto com a mosca ao torrão. Para que a velocidade seja mí-nima, ela deverá ir pelo menor caminho, o seg-mento FT.

Observe o triângulo MFT. MT é composto por uma diagonal e um lado dos hexágonos; o segmento MF é composto por duas diagonais e um lado do hexágono. Um hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros onde seus lados são iguais ao lado do hexágono. Assim, MT = 2.l + l, onde l é o lado do hexágono. Logo,

MT = 3.lMT = 30 cm

MF = 2.2.l + lMF = 5.lMF = 50 cm

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16

O ângulo T^MF = 120º pois uma diagonal de um hexágono faz um ângulo de 60º com seu lado.

Aplicando lei dos cossenosTF² = MF² + MT² - 2.MF.MT.cos120ºTF² = 30² + 50² - 2.30.50.(-0,5)TF² = 900 + 2500 - 1500TF² - 4900TF = 70 cm

Como a velocidade é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto no percurso,

V = 70/10 = 7cm/sGABARITO: letra D

24) Um relógio possui 12 divisões (12 números para marcar as horas). Assim para cada hora te-remos 360º/12 = 30º.

Ao marcar 4 horas, o ponteiro dos minutos aponta para o número 12h, e o das horas, pro número 4, fazendo assim, um ângulo de 4.30º = 120º entre eles. Considere o triângulo formado pelos ponteiros e ligando suas extremidades.

2x

1

120°

Usando Lei dos Cossenos x² = 2² + 1² - 2.2.1.cos120ºx² = 5 - 4.(-0,5)x² = 5 + 2x² = 7x = 7 m

25) 4

3

6

α

O maior ãngulo é oposto ao maior lado, neste caso, o lado 6. Usando Lei dos Cossenos:

6² = 3³ + 4² – 2 . 3 . 4 . cosα36 = 9 + 16 – 24 . cosα24 . cosα = 25 – 36cosα = – 11/24

26) Corrigindo: “a medida do ângulo CÂD é cor-respondente a: (...)”Vamos chamar B^CA = β, CÂD = α e A^DC = γ. Temos que β é externo ao triângulo ACD, entãoβ = α + γ

α = β - γAssim, tanα = tan(β- γ) = tanβ – tanγ

1 + tanβ . tanγPara calcular tanβ, olhe para o triangulo ABC,[tanβ = 30/20 = 3/2Para calcular tanα olhe para o triângulo ABDtanγ = 30/150 = 1/5Substituindotanα = 3/2 – 1/5

1 + 3/2 . 1/5 = 15 – 2

10

1 + 3/10 = 13/1010 + 3

10 = 13/10

13/10 = 1

O ângulo cuja tangente vale 1 é 45º.Letra B

Desafiando:27) AC vai dividir BÂE em duas partes iguais que chamaremos de β cada uma.BC vai dividir D^BC em duas partes iguais que chamaremos de α cada uma.

D

C

B

A EO

α

α

ββ

Teremos queOÂB + β + β = 180ºOÂB = 180 – 2βe,O^BA + α + α = 180O^BA = 180 – 2αOlhando para o triangulo OAB que é retangu-

lo em O, teremos:BÔA + OÂB + A^BO = 18090 + 180 – 2β + 180 – 2α = 180 270 = 2β + 2α2(α + β) = 270β + α = 135

Olhando para o triângulo ABCC^BA + BÂC + A^CB = 180α + β + A^CB = 180135 + A^CB = 180A^CB = 45º

Passando de grau pra radiano:π rad-------------180º

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x----------------45º180x = 45.π

x = 45 . π180

x = π/4GABARITO: letra A

28) N

M P

S

60°80°

^M + ^N + ^P = 18080 + ^N + 60 = 180^N = 180 - 140^N = 40º

Como ^P = 60, seu ângulo externo vale 180 - 60 = 120º, e assim, sua bissetriz o divide em duas partes, cada uma com 60º.

A bissetriz de N o dividirá em dois ângulos de 20º. Seja S o ponto onde a bissetriz de ^N inter-cepta a bissetriz do ângulo externo a ^P, observe o triângulo NPS formado.

O ângulo S^PN = 60 + 60 = 120º, e P^NS = 20º. Logo,

^S = 180 - 120 - 20^S = 40ºGABARITO: letra C.

29) O triângulo EDF isósceles, logo, seus ân-gulos da base são iguais e somadas com 20º dá 180º.

2α + 20 = 1802α = 160α = 80ºOlhando para o triângulo EDA, α = 80º é ex-

terno a A^DE. Chamando DÊA de β e EÂD de θ, então

θ + β = 80ºComo o triângulo ABC e EDC são isósceles, en-

tão, A^CB = θ e D^CE = β. Chamando B^CD de γ, teremos

θ + β + γ = 180º80 + γ = 180

γ = 100ºOlhando para o triângulo BCD, que é isósce-

les, e chamando os ângulos da base de φ, temosγ + 2φ = 1802φ = 180 - 1002φ = 80φ = 40ºComo C^BD = φ é externo ao triângulo ABC

em B, entãoφ = θ + θ40 = 2θθ = 20º

30) Primeiramente, note que os triângulos QPR e QST são semelhantes pois possuem o ângulo ^Q em comum, ST e PR são paralelos e cortados por transversais (QP e QR), e Q^TS = Q^RP

Assim, o triângulo QBT também é equilátero.A soma dos ângulos internos de um trapézio é

360º e os P^ST e S^TR são iguais pois ST e PR são paralelas. Assim, P^SM e M^TR medem ambos 60º. Logo, o triângulo PST e MTR são equiláteros de lado 3,5cm. Daí,

2p = SP + PR + TR + ST = 3,5 + 7 + 3,5 + 3,5 = 17,4 cm

GABARITO: letra B.

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PROF. 1o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. II... com.br. Lá você também encontrará todas essas...

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