PROGRAMAO LINEAR

ProgramaoLinearAfinal o que a Programao Linear?

A Programao Linear consiste em otimizar (maximizar ou minimizar) uma dada funo linear, que se chama funo objetivo, definida num dado conjunto convexo, tendo em conta que as variveis esto sujeitas a restries.Nota HistricaSculo III a.C EuclidesLivro III ( Procurava encontrar a maior e a menor distncia de um ponto a uma circunferncia)

Livro IV ( Descreveu uma forma de obter um Paralelogramo de rea mxima e com um dado permetro)

1838 - Cournot (incluiu no seu estudo a determinao do ponto de equilbrio que origina o lucro mximo)

1759 Quesnay (publica o Tableau Economique que pode ser considerado a primeira grande tentativa de modelizar a economia)

1874 Walras (publica o Sistema de Equilbrio Geral onde procura a melhor forma de interpretar a economia como um todo)

1937 Von Neumann (publica A Model of General Economic Equilibrium onde formulado o modelo de Programao Linear dinmica, em que admite mtodos alternativos de produo simples ou conjunta.)

1939 Kantorovich (formulou rigorosamente um problema de Programao Linear no trabalho Mtodos Matemticos de Organizao e Planeamento da Produo, mas no apresentou um algoritmo de resoluo)Von NeumannO grande salto da Programao Linear dado atravs das aplicaes em problemas de transportes na dcada de 40 (em particular, pelas Foras Armadas durante a Segunda Guerra Mundial).

1947 Dantzig (trabalhou no Pentgono como conselheiro matemtico, onde era frequentemente chamado para resolver problemas de planeamento. Como a maioria destes diziam respeito economia aconselhou-se junto ao economista Koopmans)No entanto, contrariamente ao que Dantzig pensou, os economistas ainda no tinham mtodos de resoluo de tais problemas.Foi ento que Dantzig props o Mtodo Simplex que tornou possvel a soluo de problemas de otimizao de vrios tipos

Um ano mais tardeKoopmans e Dantzig encontraram-se.

Porque no reduzir o nome de Programao de Estruturas Lineares para Programao Linear? isso! A partir de agora esse o seu nome.Nasceu assim a designao de Programao Linear.

Desde ento, as aplicaes da Programao Linear no cessaram. Nasceu:Portland, 8 de Novembro de 1914 Morreu: Califrnia, 13 de maio de 2005

George Bernard DantzigFoi um matemtico Americano, que introduziu o mtodo simplex e considerado "pai da programao linear". Recebeu muitas honras, incluindo a Medalha Nacional de Cincias em 1975 e o primeiro Prmio da Teoria John von Neumann em 1975.

O pai, Tobias Dantzig, foi um matemtico russo que estudou com Henri Poincar em Paris. Tobias casou-se com uma estudante da universidade de Sorbonne (tambm estudante de matemtica), Anja Ourisson, e com ela imigrou para os Estados Unidos, para Oregon. Tobias acreditava que a sua pronncia com sotaque russo o impediria de conseguir empregos manuais, tais como pintor e construo de estradas. E foi nesse meio de pobreza econmica que George nasceu.Onde se aplica?Os domnios de aplicao da Programao Linear so vastssimos. Por exemplo:

Gesto de empresas;

Problemas de transportes;

Estrutura financeira dos bancos;

Obteno de misturas timas;

Planeamento agrcola;

Estratgias militares,

Exemplo 1A Direco de Marketing do IKEA sugere o lanamento de um novo modelo de secretria e de estante em substituio dos modelos actuais.

Aquela Direo no v dificuldade de colocao no mercado para as estantes enquanto que aconselha que a produo mensal de secretrias no ultrapasse as 160 unidades.Aps estudos levados a cabo pela Direo de Produo, conclui-se que: A disponibilidade mensal do Departamento de Estampagem de 720 horas-mquina; A disponibilidade mensal do Departamento de Montagem e Acabamento de 880 horas-homem; Cada secretria necessita de 2 horas-mquina de Estampagem e 4 horas-homem de Montagem e Acabamento;Cada estante necessita de 4 horas-mquina de Estampagem e 4 horas-homem de Montagem e Acabamento.As margens brutas unitrias estimadas so de 60 euros para as secretrias e 30 euros para as estantes.

A empresa pretende determinar o plano de produo mensal para estes novos modelos que maximiza a margem bruta.Sejam:x, o nmero de secretrias;y, o nmero de estantes;z, a margem bruta total.VariveisFormalizaoOBJECTIVO: determinar valores para estas variveis que maximizem

z = 6x + 3y (em 10 euros) Restries impostas pelas limitaes da capacidade produtiva e do mercado.Linguagem correnteLinguagem MatemticaCada secretria necessita de 2 horas-mquina2xCada estante necessita de 4 horas-mquina4yA disponibilidade mensal de 720 horas-mquina2x + 4y 720Relativamente ao Departamento de EstampagemLinguagem correnteLinguagem MatemticaCada secretria necessita de 4 horas-mquina4xCada estante necessita de 4 horas-mquina4yA disponibilidade mensal de 880 horas-mquina4x + 4y 880Relativamente ao Departamento de Montagem e AcabamentoLinguagem correnteLinguagem MatemticaA produo mensal de secretrias no pode ultrapassar as 160 unidades.x 160O nmero de secretrias no pode ser negativox 0O nmero de estantes no pode ser negativoy 0As , indicam-nos que os pares ordenados (x, y) se encontram no primeiro quadrante. condies de no negatividadeAs variveis que entram na formulao do problema no podem assumir valores negativos. Por isso, em geral, a no negatividade das variveis considerada uma restrio natural, que acontece pelo facto de muitas das actividades s poderem ser executadas a nveis no negativos. Em snteseO problema consiste em escolher x e y por forma a maximizar z = 6x + 3y sujeito a 2x + 4y 720 4x + 4y 880 x 160 x, y 0.

Conjunto das solues admissveis ou regio de validez toda a soluo que satisfaz as restries do problema e as restries da no negatividade. Note-se que uma soluo possvel no precisa optimizar a funo objectivo, e frequentemente h infinitas solues possveis.ConclusoDe acordo com esta regra, a soluo x* = 160 e y* = 60, valores que do, respetivamente, o nmero de secretrias e estantes a produzir por ms pelo IKEA.

Deste programa de produo resulta para a empresa uma margem bruta mensal de 11400 euros. Exemplo 2 Uma das tarefas propostas para a Quinta das Celebridades consiste em determinar as quantidades de cada tipo de rao que devem ser dadas diariamente a cada animal de forma a conseguir uma certa qualidade nutritiva a um custo mnimo.

RaoIng. NutritivosGranuladoFarinhaQuantidade mnima requeridaHidratos de carbono2050200Vitaminas5010150Protenas3030210Custo (cnts/kg)105Os dados relativos ao custo de cada tipo de rao, s quantidades mnimas dirias de ingredientes nutritivos bsicos a fornecer a cada animal, bem como s quantidades destes existentes em cada tipo de rao (g/kg) constam no quadro seguinte:x , a quantidade em quilogramas de granulado a fornecer diariamente a cada animal;

y, a quantidade em quilogramas de farinha a fornecer diariamente a cada animal;

O custo total (em cntimos) a suportar diariamente com a alimentao de cada animal

z = 10x+5y Objectivo dos concorrentes: minimizar o custo total.

As possibilidades de escolha esto limitadas pelas seguintes restries relativas ao regime alimentar de cada animal:

20x + 50y 200

O primeiro membro desta desigualdade exprime a quantidade (g) de hidratos de carbono a fornecer diariamente. O segundo membro exprime, por sua vez, a quantidade quotidiana mnima necessria destes nutrientes.

Analogamente para as vitaminas:

50x + 10y 150

E para as protenas:

30x + 30y 210

Sabendo que a quantidade de cada rao a fornecer diariamente no negativa, isto , x 0 e y 0, tem-se, finalmente, o modelo de programao linear que permite estabelecer a dieta dos animais:

Minimizar z = 10x + 5y

Sujeito a 20x + 50y 200 50x + 10y 150 30x + 30y 210 x 0, y 0

fcil concluir que a soluo pretendida x* = 2 e y*= 5, valores que do, respectivamente, as quantidades (em quilogramas) de granulado e farinha a fornecer diariamente a cada animal. Desta dieta resulta para a quinta um custo de alimentao dirio com cada animal de 45 cntimos.

O nosso exemploPara angariarem fundos para o Carro da Queima das Fitas, os alunos do 12ano de Matemtica optaram por vender 300 t-shirts e 600 esferogrficas.

Para tal, decidiram fazer dois tipos de lotes:

tipo A: uma t-shirt e uma esferogrfica;

tipo B: duas t-shirts e cinco esferogrficas.

Os lotes do tipo A foram vendidos a 8 e os do tipo B a 18.Quantos lotes de cada tipo convm formar para obter o lucro mximo com a sua venda?H 300 t-shirts e 600 esferogrficas.

Comecemos por identificar as incgnitas do problema que so:

x, nmero de lotes de tipo A

y, nmero de lotes de tipo B

Graficamente, x e y podem ser tomados, respectivamente, como coordenadas de um ponto.

Qual a funo objetivo?

O lucro.

Como cada lote do tipo A custa 8 e do tipo B custa 18, a funo linear (L) expressa-se por

L = 8x + 18y (1)

Pretende-se maximizar esta expresso.

A igualdade (1) pode ainda ser expressa por:

y = - 8/ 18x + L/18.

Tracemos uma recta dessa famlia, por exemplo, fazendo L = 680 obtm-se ento a recta de equao y = - 8/18x + 40.Nmero de lotesNmero de t-shirtsNmero de esferogrficasLucroTipo Axxx8xTipo By2y5y18yTotalx + yx + 2yx + 5y8x + 18yRestries:

O nmero de lotes de cada tipo no negativo, ou seja, x 0 e y 0, com x e y inteiros.

O nmero de t-shirts no pode ser superior a 300, isto , x + 2y 300 y 150 1/2x.

O nmero de esferogrficas no pode ser superior a 600, isto , x + 5y 600 y 120 1/5x.

Desta regio de validez fazem parte os vrtices do polgono que a limita. Esses vrtices vo ser determinados algebricamente:

x + 2y = 300 x = -2y + 300 x = -2y + 300 x + 5y = 600 x + 5y = 600 -2y + 300 + 5y = 600

x = -2y + 300 x = 100 3y = 300 y = 100

Os vrtices do polgono so ento os pontos de coordenadas:(0, 120), (100, 100), (300, 0) e (0, 0).Como a soluo (0, 0) eliminada desde o incio, decide-se analiticamente qual dos outros a soluo procurada:

8 x 0 + 18 x 120 = 21608 x 100 + 18 x 100 = 26008 x 300 + 18 x 0 = 2400

Verificamos ento que (100, 100) a soluo ptima.

Os elementos do Carro concluram, que devem ser feitos 100 lotes do tipo A e 100 lotes do tipo B, obtendo-se, assim, um lucro de 2600 euros.

Est encontrada a soluo do problema.

Trabalho realizado por:Flvio RochaTiago Moreira

12FDisciplina: MatemticaAno letivo: 2012/2013