RAZ. MATEMATICO

CEP Santa María de la Providencia

Primer Periodo 4to. de Secundaria1

Capítulo 1


INTRODUCCIÓN

Los matemáticos del siglo XX llevan una actividad intelectual muy sofisticada que no resulta fácil de definir, pero una gran parte de lo que hoy se conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente se centró en los conceptos de número, magnitud y forma. Las nociones primitivas relacionadas con estos conceptos se remontan a los primeros días de la raza humana, e incluso pueden encontrarse ya indicios de conceptos matemáticos en formas de vida que, probablemente, han precedido en muchos millones de años al género humano. Charles Darwin en el libro titulado El origen del hombre (1871), hace notar que algunos de los animales superiores tienen facultades tales como memoria e imaginación; y actualmente resulta más claro que la capacidad para distinguir número, tamaño, orden y forma, no son propiedad exclusiva del género humano. Está totalmente claro, no obstante, que la matemática apareció originariamente como parte de la vida diaria del hombre, y como es válido el principio biológico de la "supervivencia de los más aptos", entonces la supervivencia de la raza humana no deja de estar relacionada con el desarrollo de conceptos matemáticos realizado por el hombre'. En un principio, las nociones primitivas debieron estar relacionadas más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas, tales como son la diferencia entre un lobo y muchos, la desigualdad en tamaño entre un pececillo y una ballena, el contraste entre la redondez de la luna y la forma lineal de una palmera. Después, y de manera gradual, debe haber surgido, a partir de la confusión de un gran número de experiencias desordenadas, la constatación de que hay ciertas igualdades o semejanzas; y de



esta conciencia de las semejanzas, tanto en número como en la forma, nacieron la matemática y la ciencia en general.

Las diferencias mismas parecen estar apuntando ya a las semejanzas, puesto que el contraste que se observa entre un lobo y una manada de lobos, entre una oveja y un rebaño, entre un árbol y un bosque, viene a sugerir que un lobo, una oveja y un árbol tiene algo en común: su unidad. De la misma manera puede uno llegar a darse cuenta de que algunos otros grupos como son los pares, pueden ponerse en correspondencia biunivoca: las manos pueden emparejarse con los pies, con los ojos, con las orejas o con los agujeros de la nariz. Este reconocimiento de una propiedad abstracta que tiene en común ciertos grupos, y a la que nosotros llamamos número, representa ya una importante etapa en el camino de entender la belleza y majestuosidad de la matemática.

Así pues la idea de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar. Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Prueba de esto lo constituye, por ejemplo, el origen de la palabra cálculo pues "calculus", en su traducción del latín, significa "cuenta con piedras"2. Posteriormente se desarrolla el intercambio de los productos del trabajo y surge el hecho de agregar o disminuir objetos en cada transacción, lo que da un origen incipiente a las operaciones matemáticas:La reserva de números era, al principio, muy limitada; la reunión de los números naturales conocidos y utilizados era finita y se fue extendiendo sólo gradualmente, en forma lenta. Por este motivo la conciencia de la prolongación ilimitada de la sucesión natural constituye un síntoma de haber alcanzado un alto nivel de conocimiento y cultura, así la conciencia de número se hizo al fin lo suficientemente extendida y clara como para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al principio con lenguajes simbólicos (los dedos de la mano) y más adelante con símbolos que pudieran expresar ideas numéricas. Y el relacionar estas ideas numéricas a través de la comparación, agrupación y cuantificación daría origen, en su forma más



primitiva, a las operaciones matemáticas, pero es la acumulación de conocimiento en base a la experiencia, tanto de carácter cuantitativo (numérico-aritmético) como de forma (geométrico), la que genera las premisas para la formación de esquemas matemático-estructurados.Ahora, cuando el hombre comienza a utilizar - los números tuvo que buscar una forma de representarlos. El modo más rudimentario consistió en trazar rayitas o signos en un tronco de árbol; en la arena del piso o en una tablilla de arcilla Inicialmente cada marca representaba latinidad mientras que el conjunto de signos daba la cantidad total de elementos que estaban siendo contados. De seguro fue así como el pastor de la antigüedad controlaba, al anochecer, cuando regresaba del pastoreo, que no se le hubiera extraviado ninguna oveja. Para asegurarse de que todas las ovejas estaban en el redil, hacía corresponder una marca o signo a cada cabeza del ganado: al final había pues tantos animales como signos marcados. Este fue el primer paso dado hacia el nacimiento de la representación simbólica de los números para llegar a la representación actual. Nacía también, así, la matemática, siendo, probablemente, la ciencia más antigua. En realidad nuestra vida diaria está marcada por los números y mediante su aplicación damos funcionamiento a todos los aparatos y las máquinas que utilizamos a lo largo del día, tales como computadoras, calculadoras, televisores, reproductores de cintas de videos, etc.

NOCIONES PREVIAS

Éste es un capítulo que basa su importancia en la gran aplicación que tiene sobre los procesos condicionados y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, a las que se supone estamos poco acostumbrados. Permite también analizar nuevas operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos:



Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura:Esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado, después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido.

Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre determinadascantidades; estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee ( representado por los botones).

¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA?

Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: la adición, la sustracción, la multiplicación, etc.

¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO?

Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como ejemplos de operadores matemáticos tenemosEn el siguiente cuadro mencionamos algunas operaciones matemáticas y los símbolos que las representan.



EJEMPLOS

01.- Si se cumple:

Calcular:

A =

Solución: Primero hallamos lo que está dentro del corchete de la expresión A:

Entonces: operando

A =

A = 1 Respuesta.

02.- Si: (b a)2 = a(a b) ; a b > 0

Halle: E = 24 3

Solución:

De la expresión dada: (b a)2 = a(a b)



a b = ……… ( 1 )

Cambiamos el orden de los elementos y obtenemos;

b a =

Reemplazando la expresión hallada para b a en la expresión (1) tendremos:

Luego: a b =

Entonces: E = 24 3 = = 6

03.- Se define: a b = ab-1

Halle x, si: x x = 3

Solución:

Primero: x x = xx-1 Segundo: 3 = = 2

Entonces:

Acomodando: Comparando: x = 2

04.- Si:

Calcule:



Solución:

Hacemos: p = m = 4p

Ahora, en la regla de definición:

p n = p n = , usemos esta fórmula:

= - = -

Ahora:

M = = =

M =

05.- Sean las operaciones definidas:

a b = 2a – ba b = a2 – 3ab + 1

Hallar el valor de: R = (1 2) 2

Solución:

R = (1 2) 2 R = [ 2(1) – 2 ] 2R = 0 2R = 02 – 3(0)(2) + 1 R = 1



06.- Si: ab = a + b + ab Hallar el valor de “x” en: x 3 = 11

Solución:

Reemplazando en la condición inicial:a = xb = 3 x + 3 + (x)(3) = 11 x + 3 + 3x = 11 4x = 11 – 3 x = 2

07.- Se define la operación en los reales de la manera siguiente:a b = (a+b)/2 ; si: aba b = (a–b)/2 ; si: a>b

Calcular el valor de: R = (15 3) (5 7)

Solución:

Operando en partes: 15 3 = = 6

También: 5 7 = = 6

Entonces: R = (15 3) (5 7) R = 6 6

Nuevamente:

6 6 = = 6 R = 6

08.- Se define:

Hallar:

Solución:



Nos piden:

Acomodando:

….. ( I )

Luego:

….. ( II )

Reemplazando: ( II ) en ( I )

= -1

09.- Si: =

Además: x = 1,5 ; Hallar: E = 5x2 + 1

Solución:

Por definición: : x = x =

Luego: E = 5x2 + 1 = E =

PROBLEMAS



01.- Si: x * y =

Hallar: M = 8 * 10

a) 12 b) 24 c) 30 d) 34 e) 6

02.- Si: a # b = 2a – b

Hallar: E =

a) 7 b) 14 c) 5 d) 3 e) 1

03.- Si: a % b =

a θ b =

Hallar:E = (2%3) θ (5%1)

a) 6 b) 36 c) d) 1/6 e) 1/

04.- Si:

=

Hallar: E =

a) 3 b) 23/4 c) 6 d) 36 e) 1205.- Si: m * n = 2m2 – 3n


ab ; a < b

(a+b)2 ; a ≥ b

; Si “a” es par

; Si “a” es impar


Halle “n” en 5 * x = 20

a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) -3

06.- Si: a b = 2a - 3bHalle (-3 -1) (-4)

a) -6 b) 5 c) 6 d) -2 e) 1

07.- Si: m n =

Halle: (44) (216)

a) -8 b) 8 c) 5 d) -6 e) 1

08.- Se sabe que: n s =

Halle: M =

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 3

09.- Si: a = 3a - 2

Halle el valor de:

a) 26 b) 28 d) 30 d) 27 e) 3

10.- Si: 2ª = a + 2 ; halle 32 + 1

a) 8 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1

11.- Si: = + y



Halle:

a) 11 b) 19 c) 12 d) 9 e) 5

12.- Si: P Q =

Halle: 16 100

a) 16 b) 14 c) 12 d) 2 e) 5

13.- Si: = ba . c

Halle:

a) 2/3 b) 8/9 c) 3/8 d) 5/7 e) 2

14.- Si: m n =

Hallar:

K =

a) 4 b) 5 c) 70 d) 71 e) 7

15.- Si: m % n = mn + 1


3m - 2n ; si m >n

3n - 2m ; si: n >m


m * n = 2m – n

Resolver:

Hallar “x”

a) 6 b) 12 c) 30 d) 9 e) 10

PROBLEMAS

01.- Si: x – 6 =

Calcule: E =

a) 9 b) -9 c) 3 d) -3 e) 6

02.- Si:

Además :

calcular el valor de:

a) 2/3 b) 6/4 c) 3/4 c) 1/4 e) NA03.- Se define:


9 – x ; si x es par

(x-3)2 – 4 ; si x es impar


–a2 + 2b ; si a<bab ba

–b2 – 2a ; si b<a

Entonces hallar: (89) + (2532)

a) –10 b) –11 c) 12 d) –12 e) NA

04.- En el conjunto de los números enteros se define la operación # del siguiente modo:

a# = 2a ; si: “a” es impara# = a ; si: “a” es par

El valor de: E = (3#)# + [ (5#)# + 5 ]# es:

a) 32 b) 21 c) 36 d) 13 e) NA

05.- Si: a # b = 3a 2b = a + 2b

Hallar (2#2) (4#2)

a) -10 b) 10 c) 11 d) 21 e) 13

06.- Si: a * b = a2 – b2

8 * θ = 39Hallar “θ” :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

07.- Si: m n = y 8 n = 7

Hallar “n”

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

08.- Si:



Hallar:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 1609.- Si: a * b = 2a + 5b y x * y = 16

p % q = 5p – 2q y x % y = 11Hallar: (x+y)a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10.- La operación * es definida para números reales x, ypor la relación:

x * y = (x-y)(x)(x+y)¿Cuál es el valor de 25 * 24 ?

a) 625 b) 600 c) 775 d) 750 e) 1225

11.- Si:

Calcular:

a) 123 b) 113 c) 99 d) 126 e) 132

12.- Sea: a # b = a-1 + b-1 al determinar:

E = Se obtiene:

a) 8/15 b) 7/12 c) 5/6 d) 15/7 e) 15/8

13.- Se define la operación:



Entonces hallar el producto:

a) 31 b) 62 c) 27 d) 33 e) 3614.- Si se cumple:

Calcular el valor de:

a) 5 b) 7 c) 19 d) 16 e) NA

15.- Si: F(x+1) = x2 + 2x – 3

Calcular: G(3)

Si: F(G(y)) = y4 +15

a) 9 b) 7 c) 12 d) 11 e) 10




Capítulo 2


NOCIÓN DE SUCESIÓN

En aquel conjunto ordenado de elemento (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido.

1. Sucesiones Numéricas

a) Números naturales o de conteo : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ….

b) Pares : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , , …….

c) Impares: 3 , 5 , 7 , 9 , , ……..

d) Potencias de 2: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , , …..

e) Cuadrados perfectos: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , , …….

f) Cubos perfectos: 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , , ……..

g) Números primos: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , , , …….

h) Armónica:

i) Fibonacci : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ….

j) Oscilante: 1; -1; 1; -1; 1; -1; … tn = (-1)n+1

k) Triangulares: 1; 3; 6; 10; …;

L) Combinados:



Ejemplos:1) 3; -6; -9; 18; 15; …

(-2) -3 (-2) -3

2) 16;20;24;36; 96; ?

4 4 12 60 420

.1 .3 .5 .7

Alternadas:1) +5 +10 +15

1; 2; 2; 7; 6; 17; 24; 32

.2 .3 .4 .5

2) +4 +4 +4

6; 8; 10; 11; 14; 14; …..

+3 -3

2. Sucesiones Literarias: Por la posición que ocupa la letra en el abecedario.

A B C D E F G H I

1 2 3 4 5 6 7 8 9

J K L M N Ñ O P Q

10 11 12 13 14 15 16 17 18

R S T U V W X Y Z

19 20 21 22 23 24 25 26 27

Ejemplos:

1) U; O; K; G; D; ?



Resolución:

U; O; K; G; D; ?22; 16; 11; 7; 4; 2

-6 -5 -4 -3 -2

Luego ? = B

3. Sucesiones alfanuméricas:

Ejemplos:

1) 4; E; 6; F; 9; H, 13; K

Resolución:

4; 6; 9; 13; 18

+2 +3 +4 +5

E; F; H; K; Ñ

+1 +2 +3 +4

4. Sucesiones Aritméticas de Orden Superior

Ejemplos:1) 6; 13; 24; 39; ?

6 13 24 39 ? = 58

7 11 15 19

4 4 4PROBLEMAS

BLOQUE I



El número o números que siguen en cada sucesión es:

01.- 3, 7, 11, 15, 19, 23.......

A) 24 8) 27 C) 26 D) 28 E) 30

02.- 5, 11, 17, 23, 29, 35,.....

A) 41 B) 40 C) 39 D) 42 E) 45

03.- 49, 46, 43, 40, 37, 34, ......

A) 30 6) 29 C) 31 D) 32 E) 28

04.- 87,. 74, 61, 48, 35, 22...... .

A) 8 B) 7 C) 11 D) 10 E) 9

05.- 3, 9, 27, 81, 243, 729, ......

A) 1187 B) 2187 C) 281 D) 2718 E) N. A.

06.- 3, 7, 12, 18, 25, 33........



A) 42 y 52 B) 52 y 42 C) 40 y 50 D) 42 y 50 E) N.A.

07.- 1, 4, 9, 16, 25, 36, .....

A) 49 y 81 B) 64 y 81 C) 49 y 64 D) 81 y 100 E) N.A

08.- 28, 27, 25, 22, 18, 13..............

A) 0 y 7 B) 8 y 1 C) 7 y 1 D) 7 y 0 E) 7 y -1

09.- 0, 1, 2, 3, 6, 7, ......

A) 8 y 9 B) 14 y 16 C) 8 y 16 D) 14 y 28 E) 14 y 15

10.- 2, 8, 18, 32, 50, 72,.......

A) 128 y 98 B) 98 y 128 C) 90 y 100

D) 90 y 120 E) 90y115

BLOQUE II



El número o números que falta en cada sucesión es:

01.- 5, 11, 7, -13, 9, ..... , 11.

A) , 1 5 B) 14 C) 12 D) 13 E ) 16

02.- 28 , 14 , 16 , 8 , ....... , 5, 7.

A) 6 B) 10 C) 4 D) 11 E ) 9

03.- 2 , 2 , 12 ,........ 72, 152, 312.

A) 42 B) 22 C) 52 D) 43 E) 32

04.- 1, 3, 7, 13, 21, ......., 43, 57.

A) 32 B) 30 C ) 33 D) 31 E) 34

05.- 4, 2, 6, 3, ......,

A) 9 y 27 B ) 9 y 9/2 C) 7 y 9 / 2

D) 8 y 9/2 E) 9/2 y 27

06.- 30, 10, 12, 4, ......., 4,

A) 6 y 2 B) 2 y 6 C) 1 y 2 D) 2 y 1 E) 0 y 2

07.- 432, 216, 72, 36,........, 2.



A) 6 y 12 B) 12 y 4 C) 6 y 8 D) 12 y 18 E) 12 y 6

08.- 1, -2, 4, -8, ....... , 64.

A) - 16 y 32 B) 16 y 30 C) 16 y -32

D) 32 y 16 E) N.A.

B L O Q U E I I I

E l n ú m e r o o números equivocados en cada sucesión es:

01.- 10, 6, 12, 8, 12, 10, 16

A) 14 B) 12 C) 16 D) 10 E) 8

02.- 23, 21, 24, 22, 25, 24, 26.

A) 24 B) 26 C ) 22 D) 25 E) 21

03.- 64, 34, 16, 8, 4, 2, 1.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 16 E) 34

04.- 1; 5, 10, 50, 60, 275, 280.



A) 275 B) 10 C) 280 D) 60 E) 50

05.- 4, 3; 9, 8, 14, 13, 18, 19.

A) 13 y 18 B) 14 y 18 C) 14 y 13 D) 18 y 19 E) NA

06.- 3, 8, 4, 9, 5, 11, 7, 11.

A) 11 y 7 B) 7 y 11 C) 5 y 11 D) 9 y 11 E) 9 y 7

07.- 7, 11, 8, 12, 9, 12, 10, 13.

A) 9 y 13 B) 9 y 12 C) 12 y 10

D) 10 y 13 E) 12 y 13

08.- –1, 4, 8, 12, 15, 20, 24, 28.

A) 12 y 15 B) 8 y 24 C) 4 y 15

D) 24 y 26 E) N, A.

BLOQUE IV



01.- La letra que sigue en A, D, G, J, ...... esA) M B) K C) L D) N E) N.A.

02.- La letra que sigue en A, F, K, 0,..... es:A) S B) R C) U D) W E) T

03.- La letra que sigue en A, G, M, R, ....... es:A) T B) U C) W D) X E) Y

04.- La letra que falta en A, E, ....., M, P es:A) J B) G C) 1 D) H E) N.A.

05.- La letra que falta en B, D, G,......,O es:A) Ñ B) K C) P D) N E) Q

06.- La letra que falta en Q, N, J, ....., B es:A) G B) H C) F D) J E) N. A.

07.- La letra que falta en A, F, J, ....., Ñ es:A) O B) U C) K D) M E) N.A.

08.- La letra equivocada en C, E, H, L, Q es:A) Q B) E C) P D) L E) H

09.- La letra equivocada en Q, O; M, H, D es:A) M B) 0 C) D D) H E) Q

10.- Las letras equivocadas en B, E, H, L, N, P, T, V es:A) L, N B) L, T C) H, L D) L, P E) N.A.

11.- A , E , I , M , ........a) O b) P c) Q d) R e) S

12.- C , E , G , I , K , M , …....a) N b) Ñ c) O d) P e) Q



Departamento de Publicaciones


Capítulo 3


¿Qué es una serie numérica?

Se denomina “serie numérica” a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica llamándose al resultado de la adición Valor de la serie.

En general:

Sea: t1 ; t2 , t3 ; ............., tn Sucesión numérica

Una forma abreviada de describir la serie numérica es utilizando la siguiente notación:

t1 + t2 + t3 + ............. + tn =

SUMAS NOTABLES

01.- Suma de los “n” primeros números naturales

Ejemplo: Hallar el valor de:

E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .......+ 32

02.- Suma de los “n” primeros números pares consecutivos



Ejemplo: Hallar E = 2 + 4 + 6 +........+ 120

03.- Suma de los “n” primeros números impares

Ejemplo: Hallar el valor de : E = 1 + 3 + 5 + . . . . . .+ 75

04.- Suma de los “n” primeros números al cuadrado

Ejemplo: Hallar : E = 12 + 22 + 32 + …………. + 112

05.- Suma de los “n” primeros números al cubo

Ejemplo: Hallar el valor de :

E = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . . . . . . . . .+ 1000SERIE ARITMÉTICA

¿Que es una serie aritmética?

Es la adición de los términos de una progresión aritmética.



Fórmula General:

Donde:

t1 = 1er. términotn = último términon : número de términos

También:

Ejemplo:

01.- Calcular la siguiente suma:

10, 13 , 16, ………… ( 15 términos)

Solución: Usando la 2da fórmula: t1 = 10 n = 15r = +3

S = S = 465

PROBLEMAS

NIVEL I

01.- Calcular el valor de:



S = 23 + 43 + 63 + 83 + …..... + 203

A) 24 200 B) 22 400 C) 20 420 D) 20 240 E) 42 200

02.- Hallar el valor de "x"

(x-1) + (x-2) + (x-3) + ……… = 30

20 términos

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

03.- Calcular el valor de E:

E = 112 + 122 + 132 + 142 + ......... + 302

A) 9 060 B) 7 090 C) 6 900 D) 9 070 E) 9 080

04.- Calcular el valor de :

P = 201 + 202 + 203 + ....... + 240

A) 4 540 B) 4 820 C) 8 420 D) 8 720 E) 8 820

05.- Calcular "R - S"

R = 13 + 23 + 33 + 43 + …..... + 153 S = 12 + 22 + 32 + 42 +…..... + 152

A) 13 160 B) 13 180 C) 12 160 D) 16 020 E) 18 030

06.- Calcular el valor de "S"

S = 32 + 62 + 92 + 122 + …...... + 902

A) 80 500 B) 80 950 C) 14010 D) 85 950 E) NA



07.- Hallar el valor de la siguiente suma:

S = 4,01 + 4,03 + 4,05 + ....... + 4,39

A) 64 B) 72 C) 78 D) 84 E) 92

08.- Calcular: S1 + S2

S1 = 21 + 23 + 25 + ….... + 59S2 = 22 + 24 + 26 + …... + 60

A) 1620 B) 1 260 C) 2 160 D) 2 610 E) 1120

09.- Calcular:

E = 2 + 16 + 54 + 128 + …..... + 2000

A) 1 025 B) 3 025 C) 6 000 D) 6 025 E) 6 0 50

10.- Calcular el valor de "x" en:1 + 2 + 3 + 4 + ….... + x = 820

A) 20 B) 25 C) 28 D) 32 E) 40

NIVEL II

01.- Un comerciante compra el día de hoy 21 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior.



¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día, se compraron 39 cajas?

a) 520 b) 600 c) 610 d) 60 e) 189

02.- A las 9 de la noche término una de las sesiones del sindicato en huelga y el tiempo en que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas ¿A qué hora empezó la reunión si el reloj indica la hora con igual número de campanadas y las medias horas con una campanada?

a) 5pm b) 6pm c) 4pm d) 1pm e) 3pm

03.- El primer día ahorré S/.1 , el segundo día S/.1 , el tercer día S/.2 , el cuarto día el triple de lo que ahorre en el segundo día, el quinto día ahorré S/.3 más de lo que ahorré el tercer día, y así sucesivamente. ¿Cuánto ahorré el décimo quinto día? (Sugerencia: S. Fibonacci)

a) 340 b) 540 c) 610 d) 256 e) 600

04.- Ángela se encuentra en una huerta de cerezas donde comienza a comer de ella de la siguiente manera. El primer día come 4 cerezas, el segundo día come 7 cerezas, el tercer día come 11 cerezas, el cuarto día come 16 cerezas y así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta de que el número de cerezas que comió ese día era 10 cerezas menos que el triple de cerezas que comió el décimo día. ¿cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día?

a) 12 b) 13 c) 16 d) 18 e) 17

05.- En una fábrica de municiones hay 210 granadas. Estas se van a acomodar en forma triangular, de modo que en la primera fila haya 1; en la segunda, 2; en la tercera, 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se formarán?



a) 18 b) 12 c) 20 d) 21 e) 24

06.- Hallar el valor de:

S = 2 + 4 +6 + ..... + 18 + 18 + 16 + 14 + ....... + 2

a) 90 b) 120 c) 160 d) 180 d) 360

07.- Un obrero ha ahorrado este mes 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/.12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró el primer mes?

a) 10 b) 18 c) 9 d) 14 e) 11

08.- La “reyna” y el “rey” de un reino salen a pasear por los bosques de sus dominios; mientras la “reyna” da 20 pasos en forma constante por cada minuto, el “rey” avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final ambos han dado la misma cantidad de pasos, ¿Cuántos pasos han dado en total cada uno?(Obs: Los pasos del rey de la reyna son de igual longitud).

a) 750 b) 700 c) 780 d) 781 e) 775

09.- Hallar la suma de la serie siguiente:

S = 1 + 2 + 7 + 7 +13 +12 + . . . . . + 42

a) 423 b) 342 c) 432 d) 234 e) 422

10.- La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de lo recorrido en la oscilación anterior. Calcular el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse.



a) 60cm b) 62cm c) 63cm d) 64cm e) 65cm

11.- Nano, un veterano judoka, recibe como recompensa 1 céntimo por el primer competidor al que venció en las olimpiadas; 2 por el segundo; 4 por el tercero; y así sucesivamente. Cuando se hizo el recuento, Nano resultó recompensado con 655 soles y 35 céntimos. ¿A cuántos competidores venció?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

12.- Carlos, participa en el campeonato de básquet de ADFP, anotando un punto en la 1ra. Fecha, en la 2da. fecha 2 puntos más que la anterior, en la 3ra. 5 más que en la primera fecha, 10 puntos en la 4ta. Fecha y así sucesivamente.Si en el último partido anotó 91 puntos y en las dos últimas fechas no incrementó su producción de puntos, calcular cuántos puntos anotó en todo el campeonato y cuántos puntos anotó en el partido que se jugó en la fecha que fue la mitad del campeonato.

a) 637 b) 31 c) 35 d) 38 e) 36

13.- Calcular el valor de A:

A = 1 + 3 + 2 + 2 + 6 + 4 + 3 + 9 + 6 +……...(301 téminos)

a) 30 300 b) 30 400 c) 30 401d) 30 603 e) 30 501

14.- En un camino hay 21 piedrecitas en línea recta, la segunda está a 10 m de la primera, la tercera a 12 m de la segunda, la cuarta a 14 m de la tercera, y así sucesivamente. Si una persona se encuentra sobre la primera piedra y quiere juntar todas, pero debe recogerlas de una en una. ¿Cuántos metros deberá recorrer en total?



a) 9 250 m b) 9 880 m c) 9 830 md) 9 520 m e) 9 620 m

15.- Una persona debe regar con un balde con agua cada uno de los 20 árboles que se muestran en la figura, dichos árboles están sembrados en fila y separados uno de otro 4 m y 8m alternadamente. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua, y empieza estando junto al pozo, cuánto deberá recorrer en total, para regar todos los árboles?

a) 2 550 b) 2 440 c) 2 330 d) 2 660 e) 2 770

16.- En un almacén hay 3 cajas azules grandes, dentro de cada una de estas hay 2 cajas blancas, dentro de cada una de estas últimas hay 2 cajas celestes, dentro de cada una de estas hay 2 cajas marrones, dentro de cada uno de estas últimas hay 2 caja verdes, y así sucesivamente (sin que se repita ningún color). Contándose en total 12 colores, cuántas cajas hay en total, en dicho almacén?

a) 12 284 b) 12 285 c) 12 286 d) 12 287 e) 12 288

17.- Si a un número entero y positivo se le suma 2 unidades y luego se repite 9 veces la secuencia, de que al número obtenido lo multiplicamos por 2 y luego le restamos 2, se obtiene una sucesión cuyo valor de la serie asociada a dicha sucesión es 4 106. Halle el número primitivo.



a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18.- Se tiene un tronco de pirámide de base triangular que ha sido formado con esferitas. Si en la base inferior y superior se cuentan 231 y 45 esferitas respectivamente, cuántas esferitas se cuentan entre las dos bases?

a) 1 651 b) 1 771 c) 1 561 d) 3 302 e) 1 641

19.- Calcule el valor de S en:

S =

Sabiendo que tiene 10 términos.

a) 23/2 b) 10/3 c) 20/3 d) 23/6 e) 1/3

20.- Cacular S:

E =

a) 20/105 b) 10/105 c) 4/105 d) 1/105 e) 1/25


Capítulo 4


Aspectos básicos

1. Criptaritmos

"Cripto" significa oculto, y hace referencia a las operaciones matemáticas, donde las cifras (todas o algunas) se han "ocultado" por medio de una letra, un asterisco o cualquier símbolo

Este terma permite revalorar las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división.

2. Principios

Letras diferentes ocultan cifras diferentes. La suma de dos cifras no puede ser mayor que 18.

Dado que:

Ejemplos:

Se concluye que: 7 + B = 10


Donde: 8 + 2 = 10

¿Cuál será el valor de “B”


B = 3

Problemas Resueltos

1. Si:

Además: C – A = 1Calcular: “A + B + C”

Solución:

En la columna de unidades

Observo: C + A = 9 C = 5

Además: C – A = 1 A = 4

Remplazando tendría:

De lo que puedo hallar: B = 3

Luego: A + B + C = 12

2. Si:



Además: = + 3?

Tendríamos:

¿Qué pasaría si: = 2?

Tendríamos:

pero sí: = 1

Tendríamos:

Además, si: = 1 = 1 + 3 = 4

03.- Si:

Calcular “A + B + C + D + E”



Solución

Al observar la primera columna:

Debo buscar 3 x ¿A? termine en 1.

Sencillo no? Claro! 3 x 7 = ...1

Es decir: A = 7

Quedaría así:

1 E D C 2B 7 x 3

E D C B 7 1

Ahora debo buscar 3 x ¿B? + 2 termine en 7.

Pero muchas veces esta búsqueda demora, así que usaremos una regla práctica:

Restaremos: “lo de abajo” – “lo llevo” así:

7 – 2 = 5

Entonces lo que debo buscar es 3 x ¿B? Termine en 5. ¿ más fácil no? Claro!: B = 5- Quedaría así:

1 E D 1C 25 7 x 3



E D C 5 7 1

* En la tercera columna aplico la regla practica:- Entonces: 5 – 1 = 4 3 x ¿C? termine en 4- Es decir : C = 8- Quedaría así : 1 E 2D 18 25 7 x 3 E D 8 5 7 1

* En la cuarta columna, aplicando la regla practica, tendríamos que: D = 2- Quedaría así : 1 E 22 18 25 7 x 3

E 2 8 5 7 1

* Observo que en la quinta columna “no estas llevando nada”, es decir debo buscar directamente: 3 x ¿E? Termine en 2. Es decir : E = 4

Reconstruyendo la operación: 11 4 22 18 25 7 x 3

4 2 8 5 7 1

- Me piden : A + B + C + D + E = 7 + 5 + 8 + 2 + 4 = 26PROBLEMAS

En los siguientes ejercicios del 01 al 10, hallar A+B+C

01.-

a) 11


A C +2 B3 5

1 3 1


b) 12c) 13d) 14e) 15

02.-

a) 7b) 9c) 11d) 12e) 13

03.-

a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17

04.-

a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

05.-

a) 11b) 10c) 12d) 13e) 9


B 5 2 +7 A C

1 A 8 4

4 B C -A 3 5

1 2 3

C B A x 2

3 6 8

B A B x C

1 2 1 0


06.-

a) 7b) 9c) 10d) 11e) 12

07.-

a) 12b) 14c) 15d) 16e) 17

08.-

a) 24b) 14c) 4d) 13e) 19

09.-

a) 12b) 14c) 15d) 16e) 17


B B A x 3

C 6 3

B A C 3 1

* * 2 *

6 * * * - -

B B +C CA A

2 6 4

7 C A + 4 3 B

1 A 1 6


10.-

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

Resolver:

11.- Hallar la suma de las cifras que ocultan cada asterisco

a) 37b) 35c) 34d) 32e) 36


a) 12b) 13c) 15d) 16e) 18


a) 48b) 50c) 52d) 54e) 56


A C B x 9

3 7 0 8

x 2 1

4 2

5 x 4

1 1 5 0 5

4

2 1

3 2

- 1


Para los ejercicios 14 al 16

14.- La suma de las cifras del divisor es:

a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

15.- La suma de las cifras del dividendo es:

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 25

16.- La suma de las cifras del cociente es:

a) 8 b) 9 c) 19 d) 11 e) 12

17.- Hallar la suma de las cifras del menor dividendo:

a) 18b) 19c) 20d) 21e) 21


4 2 4

- 5

- 3

- 4 - 2

3 9 9

9

- -

1

- -


18.- Hallar la suma de cifras del producto si:

a) 10b) 12c) 15d) 11e) 17

PROBLEMAS

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

PROBLEMAS

01.- Si:

; hallar: “B+A+C+A”

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15


5 4 x 5

2 1 6 5 3


02.- Si:

O: cero ; A > M y C > SHallar: “C+U+M+P+A”

a) 24 b) 25 c) 28 d) 30 e) 29

03.- Según el problema anterior, hallar: “S+U+M+A”

a) 18 b) 19 c) 20 d) 16 e) 15

04.- Si: y S = M + 1Hallar: “M+E+S+E+S”

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

05.- Si:

; O cero

Calcular:

a) 1 b) 9 c) 8 d) 5 e) 25

06.- Si: . Hallar

a) 2604 b) 3061 c) 5184 d) 3600 e) 5041

07.- Si:

Hallar “A + B + C”

a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

08.- Si:


C A P A + S O P A

P U U M

3 4

- 8

- -

8

- 8


Hallar “M + U + J + E + R”.

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

09.- Si:

Hallar la suma de las cifras que reemplaza los asteriscos.

a) 36 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41

10.- Si:

Hallar la suma de las cifras del cociente.a) 5 b) 9 c) 10 d) 11 e) NA11.- Si: ( )2 = . Hallar “A+B”

a) 7 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

12.- En la multiplicación: A B C D X


4 x 7

3


4 D C B A

Hallar: A + B + C + D

a) 21 b) 15 c) 18 d) 20 e) 12

13.- En la siguiente multiplicación hay dígitos y letras. Halle los valores de las letras B, C, D, E, y F.

a) 2;4;6;2;3 b) 6;4;2;3;3 c) 6;4;3;2;2 d) 4;3;6;4;2 e) 7;6;4;3;2

14.- En la siguiente multiplicación calcular la suma de las cifras del producto total (cada punto representa un dígito)

x 3 0 4 1 5

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

15.- Hallar el mayor valor de “M+A+R” , si:

Las letras representan números impares


F 1 F x 2 E

6 3 C D 2 D D 8 B C

R A M A + A M A R

9 3 2 8


a) 11 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

16.- Si:

Hallar la suma de todos los asteriscos.a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

17.- Si: = …1377

Hallar “C+A+R+A”

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

18.- Hallar la suma de las cifras del cociente, luego de reconstruir la siguiente división:

3 * * * * 2 6 2 * * * * * * * * 5 * * * 4 * - * * * * * * * 6 - - - -

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 1119.- Si un recipiente que tiene litros de agua se empieza a

llenar a un caudal constante, al cabo de 30 min. se obtiene

litros y cumplidos los primeros 60 min. se tienen litros. Hallar el caudal en litros por hora.

a) 51 l/h b) 65 l/h c) 15 l/h d) 90 l/h e) 45 l/h


4 x 3

2 4 1 5 5


20.- Si a un número entero de seis cifras que comienza con uno (1) se le traslada este uno a la derecha de la última cifra, se obtiene otro número que es el triple del primero. El número inicial es:

a) 142 867 b) 142 857 c) 155 497 d) 155 497 e) 134 575

21.- ¿Qué dígitos acompañan al 8 en el cociente de la siguiente división?

* * * * * * * * * * * * * * 8 * * * * * * * * * * * * 1

A) 1 y 8 B) 1; 3 y 5 C) 0; 9D) 1;0 y 7 E) 2;3;5 y 7



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