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ECONOMETRIA IIGuio das Sesses Presenciais

Esmeralda Ramalho, Joaquim RamalhoUniversidade de vora

Ano Lectivo 2015/2016

Dep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 1 / 136

1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA

Tpicos

1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA1.1. Modelo probabilstico linear1.2. Mtodo da mxima verosimilhana: estimao e inferncia1.3. Modelo logit e probit


1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA

mbito de aplicao

A varivel dependente s assume os valores 0 ou 1:

y =1 se um determinado acontecimento ocorreu0 caso contrrio

Exemplos: modelos que procuram explicar a probabilidade deI um adulto obter (y = 1) ou no (y = 0) um grau universitrioI uma empresa falir (y = 1) ou no (y = 0)I uma famlia obter crdito bancrio (y = 1) ou no (y = 0)

Modelos e mtodos de estimao:I Modelo probabilstico linear ! mtodo dos mnimos quadradosI Modelo logit ! mtodo da mxima verosimilhanaI Modelo probit ! mtodo da mxima verosimilhana


1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA 1.1. Modelo probabilstico linear

Especicao do modelo probabilstico linear

A equao de regresso a mesma do modelo linear tpico:

y = 0 + 1X1 + ...+ kXk + u

E (y jX ) = 0 + 1X1 + ...+ kXk De notar que, neste caso especco,

E (y jX ) = P (y = 0jX ) 0+ P (y = 1jX ) 1= P (y = 1jX ) ,

o que implica queP (y = 1jX ) = 0 + 1X1 + ...+ kXkP (y = 0jX ) = 1 P (y = 1jX )



Interpretao e estimao do modelo

Interpretao dos parmetros da regresso

Interpretao habitual do modelo de regresso linear no faz sentido:I Xj = 1) y = jI y apenas pode ser igual a 0, 1 ou 1 mas j pode assumir qualquervalor

Interpretao possvel:

Xj = 1) P (y = 1jX ) = jEstimao

Estimao pelo mtodo dos mnimos quadrados Varivel dependente estimada:

\P (y = 1jX ) = 0 + 1X1 + ...+ kXkDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 5 / 136


Inconvenientes do modelo

Problema #1

Por denio, 0 P (y = 1jX ) 1, mas nada garante que0 \P (y = 1jX ) 1

Problema impossvel de resolver no mbito do modelo probabilsticolinear



Inconvenientes do modelo (cont.)

Problema #2

O modelo probabilstico linear sempre heteroscedstico poisVar (ujX ) = X (1 X ), o que implica que:

I Os estimadores dos mnimos quadrados, embora consistentes, no soecientes

I A inferncia invlida se realizada com base em frmulas que assumemhomoscedasticidade para o clculo da varincia dos estimadores

Problema fcil de resolver usando os mtodos habituais:I Mtodo dos mnimos quadrados robustos: calcular a varincia combase em frmulas robustas heteroscedasticidade ! inferncia vlidamas estimadores no ecientes

I Mtodo dos mnimos quadrados ponderados ! inferncia vlida eestimadores ecientes:

ypX (1 X ) = 0

1pX (1 X ) + 1

X1pX (1 X ) + ...+ u


1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA 1.2. Mtodo da mxima verosimilhana: estimao e inferncia

Mtodo da mxima verosimilhana - denies

Amostra aleatria de y : fy1, y2, ...yng Funo de probabilidade ou de densidade de y : f (y ; ) Vector de parmetros: Funo de verosimilhana - funo de densidade conjunta para aamostra:

L = f (y1; ) f (y2; ) ...f (yn; ) =n

i=1f (yi ; )



Estimao

Maximizar L equivalente a maximizar log L ! o estimador damxima verosimilhana de , MV , resulta da maximizao, em ordema , da funo de log-verosimilhana:

ln L = lnn

i=1f (yi ; ) =

n

i=1ln f (yi ; ) ,

sendo a condio de 1a ordem dada por

ln L

=MV

= 0

Propriedades dos estimadores da MV:I assimptticas: consistncia, normalidade e ecinciaI em pequenas amostras: desconhecidas, o comportamento depende decada caso especco



Exemplo - modelo de regresso linear assumindo anormalidade do erro

Modelo: y = X + u, u N 0, 2I Parmetros: =

, 2

Funo de densidade:

f (yi jX ) = 1(2pi2)

12exp

u

2i

22

Funo de verosimilhana:

L =1

(2pi2)n2exp

u

0u22

Funo de log-verosimilhana:

ln L = n2log 2pi n

2log 2 u

0u22

,

onde u0u = (Y X )0 (Y X )Dep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 10 / 136


Exemplo - modelo de regresso linear assumindo anormalidade do erro (cont.)

Condies de primeira ordem:( ln L = 122 [2X 0 (Y X )] = 122 (2X 0Y + 2X 0X )

ln L2

= n22 + u0u248>:

ln L

=MV

= 0() X 0Y = X 0X MV () (X 0X )1 X 0Y = MV ln L2

2=2MV

= 0() n22MV

= u0u

24MV() n2MV = u0u

Estimadores:I MV = (X

0X )1 X 0Y (= ao MQ , logo centrado, consistente,normal e eciente)

I 2MV =u 0un ( 6= 2MQ = u

0unp , logo no centrado; sendo apenas

consistente)



Inferncia

No mbito da mxima verosimilhana existem trs tipos de testesprincipais:

I Razo de Verosimilhanas (LR)I WaldI Score / LM

Os trs testes apenas so vlidos assimptoticamente e so todosequivalentes nessa situao



Teste para a signicncia individual de um parmetro(teste de Wald)

H0 : j = 0H1 : j 6= 0

W =2

2

21,

cuja raiz quadrada resulta no teste t assimpttico

W =

N (0, 1)



Teste para a signicncia de um conjunto de parmetros(teste LR)

Exemplo: testar a signicncia de X3 e X4 no modelo

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 + u

H0 : 3 = 4 = 0H1 : No H0

LR = 2 (ln L ln L) 2q ,onde:

L: funo de verosimilhana do modelo sem restries L: funo de verosimilhana do modelo com restries, isto ,Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v

q: nmero de restries em teste (neste caso, duas)



Teste para a signicncia global de um modelo (teste LR)

H0 : 1 = ... = k = 0H1 : No H0

LR = 2 (ln L ln L0) 2k ,onde L0 refere-se a um modelo s com termo constante


1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA 1.3. Modelos logit e probit

Especicao dos modelos logit e probit

Os modelos logit e probit so ambos no lineares nos parmetros,sendo estimados pelo mtodo da mxima verosimilhana

Modelo:

P (y = 1jX ) = G (0 + 1X1 + ...+ kXk ) ,onde 0 G () 1

Como\P (y = 1jX ) = G 0 + 1X1 + ... ,

ento, 0 \P (y = 1jX ) 1, o que resolve imediatamente o principalproblema identicado para o modelo probabilstico linear



Especicao dos modelos logit e probit (cont.)

Escolhas comuns para G :I Funo logstica ! modelo logit

G (z) = (z) =ez

1+ ez

I Funo normal estandardizada ! modelo probit

G (z) = (z) =Z z(2pi)

12 e

z22 dz ,

onde z = X = 0 + 1X1 + ...+ kXk



Efeitos marginais

O efeito marginal que a varivel Xj exerce sobre P (y = 1jX ) dadopor:

Xj = 1) P (y = 1jX ) = G (X ) (X )

j

pois

P (y = 1jX )Xj

=G (X )

Xj=

G (X ) (X )

(X )Xj

=G (X ) (X )

j

Como G (X )(X ) uma funo positiva e decrescente de X :

I os efeitos marginais so decrescentes (no modelo probabilstico lineareles so constantes)

I analisar a signicncia estatstica do efeito equivale a testar asignicncia de j

I o sinal de j que indica o tipo de efeito (positivo / negativo)



Efeitos marginais (cont.)

Para calcular a magnitude dos efeitos marginais, necessrio atribuirvalores s variveis explicativas. H duas alternativas principais:

I Substituir as variveis explicativas pelos seus valores mdios;I Calcular os efeitos para cada indivduo da amostra e de seguida calculara mdia desses efeitos

Quando Xj uma varivel discreta, o efeito marginal pode ainda sercalculado como:

Xj = 1) P (y = 1jX ) = G (z1) G (z0) ,onde z1 considera Xj = a+ 1 e z0 considera Xj = a



Estimao

Funo de probabilidade:

f (yi ; ) =1 G (zi ) se yi = 0G (zi ) se yi = 1

= [G (zi )]yi [1 G (zi )]1yi

Funo de verosimilhana

L (yi jXi ) =n

i=1[G (zi )]

yi [1 G (zi )]1yi

Funo de log-verosimilhana

LL =n

i=1lnn[G (zi )]

yi [1 G (zi )]1yio

=n

i=1fyi ln [G (zi )] + (1 yi ) ln [1 G (zi )]g



Inferncia e critrios de seleco

Testes de hipteses

Aplicam-se os testes Wald e LR considerados nas pginas 13, 14 e 15Critrio do Pseudo-R2

Pseudo R2 = 1 ln Lln L0

prefervel usar modelos que apresentem valores superiores para oPseudo R2



Inferncia e critrios de seleco (cont.)

Critrio da percentagem de previses correctas Para cada modelo que se pretende comparar:

1 Calcula-se \P (yi = 1jXi ) e yi =(1 se \P (yi = 1jXi ) > 0.50 se \P (yi = 1jXi ) 0.5

2 Constroi-se a tabela:

yi = 1 yi = 0 yiyi = 1 n11 n1yi = 0 n00 n0 yi n

3 Fazem-se os seguintes clculos:% de valores correctamente previstos: n00+n11n 100% de 1s correctamente previstos: n11n1 100% de 0s correctamente previstos: n00n0 100

Melhor modelo: aquele que apresentar %s mais elevadas de valorescorrectamente previstos


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS

Tpicos

2. FUNDAMENTOS DO MODELO DE REGRESSO LINEAR COMSRIES TEMPORAIS2.1. Tipos de modelos2.2. Premissas do modelo e propriedades dos estimadores dos mnimosquadrados2.3. Inferncia e anlise de especicao2.4. Tendncia e sazonalidade2.5. Sries estacionrias e no estacionrias2.6. Propriedades assintticas dos estimadores dos mnimos quadrados



Dados temporais versus dados seccionais

Denio

Dados seccionais: vrios indivduos observados num determinadomomento

Dados temporais: um indivduo observado em vrios perodos detempo

Maior complexidade dos dados temporais

Os dados temporais tm uma ordenao natural Em geral, os valores passados de uma varivel inuenciam os seusvalores futuros, pelo que as observaes no so independentes

Para um dado perodo e frequncia de tempo, s h uma amostrapossvel de recolher, pois s h um indivduo a ser analisado



Dados temporais versus dados seccionais (cont.)

Especicidades das variveis temporais

Novo tipo de varivel dummy :

Dt =1 se um determinado acontecimento ocorreu no perodo t0 se um determinado acontecimento no ocorreu no perodo t

Variveis monetrias consideradas em termos reais e no nominais


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.1. Tipos de modelos

Principais modelos para dados temporais

Modelos estticos

Existe uma relao contempornea entre y e X : o valor de y numdado perodo inuenciado apenas pelos valores de X relativos a essemesmo perodo:

Yt = 0 + 1Xt + ut

Efeitos marginais:Xt = 1) Yt = 1


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.1. Tipos de modelos

Principais modelos para dados temporais (cont.)

Modelos com desfasamentos distribudos nitos [FDL(q)]

Os valores passados de X tambm inuenciam os valores presentes dey :

Yt = 0 + 1Xt + 2Xt1 + ...+ q+1Xtq + ut Dois tipos de efeitos marginais:

I Propenso ou multiplicador de impacto - efeito imediato de X sobre y ,resultante de uma variao de Xt no perodo corrente:

Xt = 1) Yt = 1I Propenso ou multiplicador de longo prazo - efeito de longo prazo de Xsobre y , resultante de uma variao permanente de X em uma unidade:

Xt = Xt1 = ... = Xtq = 1) Yt = 1 + 2 + ...+ q+1 Inclui o modelo esttico como caso particular para2 = 3 = ... = q+1 = 0


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.2. Premissas do modelo e propriedades dos estimadores dos MQ

Pressupostos e propriedades (alternativa 1)

1. Linearidade nos parmetros: Yt = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + ut(pode incluir regressores desfasados, logaritmizados, quadrticos, etc.)

2. Mdia condicional nula do termo erro: E (ut jX ) = 0 (X incluitodas as variveis explicativas relativas a todos os perodos de tempo)- regressores estritamente exgenos

3. Ausncia de colinearidade perfeita

=) Vericando-se estes 3 pressupostos, os estimadores dos MQ socentrados: E

=

4. Homocedasticidade: Var (ut jX ) = 25. Ausncia de autocorrelao: cor (ut , us jX ) = 0, t 6= s=) Vericando-se estes 5 pressupostos (pressupostos de Gauss-Markovpara sries temporais) os estimadores dos MQ, alm de centrados, soBLUE e ecientes


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.3. Inferncia e anlise de especicao

Pressupostos e propriedades (cont.)

6. Normalidade do erro: ut N0, 2

=) Vericando-se os 6 pressupostos, os estimadores dos MQ sonormalmente distribudos:

j Nj ,

2j

=) Vericando-se os 6 pressupostos, os testes t e F so vlidos e exactos


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.4. Tendncia e sazonalidade

Tendncia

Varivel tendncia - representa a ordem da observao na amostra:t = 1, 2, 3, ...

Tipos de modelos:I Modelo de tendncia linear:

Yt = 0 + 1t + ut

t = 1) Yt = (alterao em Yt entre dois perodos consecutivosno atribuvel a outros factores includos no modelo)

I Modelo de tendncia exponencial:

lnYt = 0 + 1t + ut

t = 1) %Yt = 1001%I Modelos de tendncia quadrtica:

Yt = 0 + 1t + 2t2 + ut

t = 1) Yt = 1 + 22tDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 30 / 136

2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.4. Tendncia e sazonalidade

Sazonalidade

Determinados comportamentos podem ser explicados pela poca doano a que diz respeito a observao (dia, semana, ms, estao,...)

Exemplos:I A procura de hteis no Algarve maior no VeroI A procura de guarda-chuvas maior no Inverno

A sazonalidade incorporada nos modelos atravs de variveisdummy que tomam o valor 1 numa poca do ano e o valor 0 noutras


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.5. Sries estacionrias e no estacionrias

Denies

Processo estocstico: sequncia de valores que uma variveltemporal pode assumir ao longo do tempo; formalmente,fXt : t = 1, 2, ...g;

Processo estocstico estacionrio: processo cuja distribuio sempre a mesma qualquer que seja o perodo analisado;

Processo estocstico estacionrio em covarincia: deniomenos exigente que a anterior, pois requer apenas que1 E (Xt ) = constante;2 Var (Xt ) = constante;3 Cov (Xt ,Xth) depende apenas de h e no de t.

Sries fracamente dependentes: sries estacionrias ou no, ondeXt e Xth so "quase independentes"; se a srie for estacionria emcovarincia, ento basta que, adicionalmente:

Cor (Xt ,Xth) !h!

0



Exemplos

Rudo branco

wt um rudo branco se vericar as seguintes condies:

E (wt ) = 0

Var (wt ) = 2w

Cov (wt ,wt+h) = 0



Exemplos (cont.)

Mdias mveis de 1a ordem [MA (1)] Xt um processo MA (1) se puder ser representado por

Xt = wt + wt1,

onde wt um rudo branco A varivel Xt estacionria em covarincia, com

E (Xt ) = 0

Var (Xt ) = 2w + 22w

Cov (Xt ,Xth) =

2w para h = 10 para h > 1

e fracamente dependente:

Cor (Xt ,Xth) =Cov (Xt ,Xth)pVar (Xt )Var (Xth)

=

(2w

2w+22w

= 1+2 , h = 10, h > 1

.



Exemplos (cont.)

Autorregressivo de 1a ordem [AR (1)] Xt um processo AR (1) se puder ser representado por

Xt = Xt1 + wt ,

onde wt um rudo branco A varivel Xt estacionria em covarincia, com

E (Xt ) = 0

Var (Xt ) =2w1 2

Cov (Xt ,Xth) = h2X Se jj < 1, ento Xt fracamente dependente, pois:

Cor (Xt ,Xth) = h !h!

0


2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS 2.6. Propriedades assimptticas dos estimadores dos MQ

Pressupostos e propriedades (alternativa 2)

1. Linearidade nos parmetros;2. Variveis fracamente dependentes;3. Mdia condicional nula do termo erro: E (ut jX t ) = 0;4. Ausncia de colinearidade perfeita.

) Vericando-se estes 4 pressupostos, os estimadores dos MQ soconsistentes: p lim

= .

5. Homocedasticidade: Var (ut jXt ) = 2;6. Ausncia de autocorrelao: cor (ut , us jXt ,Xs ) = 0, 8t, s.) Vericando-se estes 6 pressupostos, os estimadores dos MQ tm umadistribuio assimpttica normal e os testes t, F e LM soassimptoticamente vlidos.


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE...

Tpicos

3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE EM SRIESTEMPORAIS3.1. Propriedades dos estimadores dos mnimos quadrados comautocorrelao3.2. Testes para a autocorrelao3.3. Mtodo dos mnimos quadrados generalizados3.4. Modelos dinamicamente completos3.5. Heteroscedasticidade em modelos de sries temporais3.6. Heteroscedasticidade condicionada auto-regressiva


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.1. Propriedades dos estimadores dos MQ com autocorrelao

Denies e consequncias da autocorrelao

Tipicamente, assumida autocorrelao do tipo AR (1):

Yt = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + utut = ut1 + etet IID

0, 2e

Qualquer que seja o tipo de autocorrelao, os estimadores dosmnimos quadrados:

I Continuam a ser centrados (com regressores estritamente exgenos) ouconsistentes (com regressores apenas fracamente dependentes)

I Deixam de ser ecientes e, como as varincias so incorrectamenteestimadas, os testes e os intervalos de conana calculados da maneirahabitual deixam de ser vlidos


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.2. Testes para a autocorrelao

Hipteses e testes

Hipteses em teste:I H0: = 0 (no autocorrelao);I H1: 6= 0 / H1: > 0

Testes principais:I Teste de Durbin-WatsonI Teste tI Teste de Breusch-Godfrey



Teste de Durbin-Watson

Estatstica de teste:

DW =nt=2 (ut ut1)2

nt=1 u2t DW (p, n)

A distribuio DW tem dois valores crticos, dL e dU . No caso em queH1: > 0, a regra de deciso a seguinte:

I DW < dL: rejeita-se H0;I dL < DW < dU : inconcluso;I DW > dU : no se rejeita H0.

Vantagem: vlido em pequenas amostras; Desvantagem: requer todos os pressupostos do modelo clssico deregresso para dados temporais (estrita exogeneidade dos regressores,normalidade do erro, homoscedasticidade, etc.)



Teste t

Implementao:1 Estimar o modelo de interesse: Yt = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + ut2 Calcular os resduos ut3 Estimar ut = ut1 + et (pode ser includo um termo constante)4 Realizar um teste t tradicional

t =

tnp .

Vantagens: simplicidade; verses robustas heteroscedasticidadeconstrudas da forma tradicional; facilmente generalizvel para testarautocorrelao do tipo AR (p) atravs de um teste F ou LM

Desvantagens: exige a estrita exogeneidade dos regressores; vlidoapenas assimptoticamente



Teste Breusch-Godfrey

Semelhante a t mas vlido tambm na ausncia de exogeneidadeestrita

Implementao: semelhante a t, mas no passo 3 estimar o modelo

ut = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + ut1 + et .

Generalizao para autocorrelao do tipo AR (q)I H0 : 1 = 2 = ... = q = 0I Regresso auxiliar do passo 3:

ut = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + 1ut1 + ...+ q utq + et .

I Teste F ou LM para a signicncia conjunta de ut1, ..., utq



Solues para a autocorrelao

Existindo autocorrelao, a estimao pelo mtodo dos mnimosquadrados standard no aconselhvel

Para lidar com a autocorrelao existem trs mtodos principais:I Mtodo dos mnimos quadrados robustosI Mtodos dos mnimos quadrados generalizadosI Reespecicao dinmica do modelo


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.3. Mtodo dos minmos quadrados generalizados

Aplicao dos MQ Generalizados - exemplo para o modelode regresso linear simples com autocorrelao AR(1)

Modelo:Yt = 0 + 1Xt + ut

ut = ut1 + et , et IID0, 2e

, jj < 1

Escrever o modelo em funo de et :

Yt1 = 0 + 1Xt1 + ut1 , ut1 = Yt1 0 1Xt1ut = ut1 + et = Yt1 0 1Xt1 + et

Yt = 0 + 1Xt + utYt = 0 + 1Xt + Yt1 0 1Xt1 + et

Yt Yt1| {z }Y t

= 0 (1 ) + 1(Xt Xt1)| {z }X t

+ et



Aplicao dos MQ Generalizados - exemplo para o modelode regresso linear simples com autocorrelao AR(1)(cont.)

Nesta nova formulao do modelo:I No existe autocorrelao pois et IID

0, 2e

I Ao incluir-se um desfasamento de algumas variveis, o modelo passa aestar denido apenas para t 2

I A observao perdida pode ser recuperada como:q1 2Y1| {z }Y 1

= 0

q1 2 + 1

q1 2X1| {z }X 1

+q1 2e1| {z }

e1

I Para construir as variveis transformadas necessrio obterpreviamente uma estimativa de ! Mnimos Quadrados GeneralizadosAdmissveis



Mnimos Quadrados Generalizados Admissveis

Vlido apenas assimptoticamente Duas verses:

I Cochrane-Orcutt: omite a primeira observaoI Prais-Winsten: considera todas as observaes

Processo iterativo para estimar :1 Estimar o modelo original Yt = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + ut2 Calcular os resduos ut = Yt Yt = Yt 0 1Xt1 ... kXtk3 Estimar ut = ut1 + et4 Estimar o modelo transformado usando o obtido no 3o passo;5 Com os s estimados no 4o passo, reiniciar o processo a partir do 2o

passo at que os s estimados em duas iteraes sucessivas forem, deacordo com o critrio denido, idnticos


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.4. Modelos dinamicamente completos

Denies

Modelo dinamicamente completo: modelo que no sofre deautocorrelao

Pressuposto: a autocorrelao tem origem numa incorrectaespecicao do modelo em termos dinmicos

Soluo: reespecicar dinamicamente o modelo, isto , adicionar umdeterminado nmero de desfasamentos de todas as variveis aomodelo



Exemplos

Modelo de regresso linear simples com autocorrelao AR(1) Modelo:

Yt = 0 + 1Xt + ut ,

ut = ut1 + et , et IID0, 2e

, jj < 1.

Escrever o modelo em funo de et :Yt1 = 0 + 1Xt1 + ut1 , ut1 = Yt1 0 1Xt1

ut = ut1 + et = Yt1 0 1Xt1 + etYt = 0 + 1Xt + Yt1 0 1Xt1 + etYt = 0 (1 )| {z }+Yt1 + 1Xt 1| {z }Xt1 + et

Nesta nova formulao, em que se acrescentou um desfasamento deY e outro de X , no existe autocorrelao, pois et IID

0, 2e



Exemplos (cont.)

Modelo dinmico AR(1) com autocorrelao AR(1) Modelo:

Yt = 0 + 1Yt1 + ut ,ut = ut1 + et , et IID

0, 2e

, jj < 1.

Escrever o modelo em funo de et :Yt1 = 0 + 1Yt2 + ut1 , ut1 = Yt1 0 1Yt2

ut = ut1 + et = Yt1 0 1Yt2 + etYt = 0 + 1Yt1 + Yt1 0 1Yt2 + etYt = 0 (1 )| {z }+ (+ 1)Yt1 1| {z }Yt2 + et

Nesta nova formulao, em que se acrescentou um desfasamento deY , no existe autocorrelao, pois et IID

0, 2e



Exemplos (cont.)

Modelo dinmico AR(1) com autocorrelao AR(2) Modelo:

..., ut = 1ut1 + 2ut2 + et , et IID0, 2e

Escrever o modelo em funo de et :

Yt1 = 0 + 1Yt2 + ut1 , ut1 = Yt1 0 1Yt2Yt2 = 0 + 1Yt3 + ut2 , ut2 = Yt2 0 1Yt3

...

Yt = 0 (1 1 2)| {z }+ (1 + 1)Yt1 + (2 11)Yt221| {z }Yt3 + et

Nesta nova formulao, em que se acrescentaram dois desfasamentosde Y , no existe autocorrelao, pois et IID

0, 2e



Reespecicao dinmica do modelo

Os exemplos mostram claramente que o problema de autocorrelaodesaparece se:

I Forem acrescentados desfasamentos a todas as variveis do modelo,incluindo a varivel dependente

I O nmero de desfasamentos acrescentados a cada varivelcorresponder ordem do processo de autocorrelao que caracteriza omodelo original

Em termos prticos:I No se conhece com certeza se existe autocorrelao e, existindo, quala sua ordem

I A soluo passa por ir acrescentado desfasamentos ao modelo e, aps asua estimao, testar se existe autocorrelao. Quando deixar de existirautocorrelao, ento j foi acrescentado o nmero de desfasamentossuciente para resolver o problema de autocorrelao e o modelo j setornou dinamicamente completo


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.5. Heteroscedasticidade em modelos de sries temporais

Heteroscedasticidade - diferenas para o caso seccional

Denio semelhante: Var (ut jXt ) = 2h (Xt ) Mesmas consequncias sobre as propriedades dos estimadores dosMQ: perda de ecincia; inferncia invlida

Mesmas solues:I MQ ponderados - estimadores ecientes (requer a especicao deVar (ut jXt ))

I MQ robustos - estimadores no ecientes mas inferncia vlidaassimptoticamente


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.5. Heteroscedasticidade em modelos de sries temporais

Heteroscedasticidade - diferenas para o caso seccional(cont.)

Mesmos testes (F / LM):I Teste BP (Breusch-Pagan)

regresso auxiliar: u2t = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + wtH0 : 1 = ... = k = 0 (hom.)

I Teste de White especialregresso auxiliar: u2t = 0 + 1Yt + 2Y

2t + wt ;

H0 : 1 = 2 = 0 (hom.)

Contudo, os testes apenas so vlidos na ausncia de autocorrelao -deve-se primeiro testar se existe autocorrelao (usando versesrobustas heteroscedasticidade):

I No existindo autocorrelao, testar a existncia deheteroscedasticidade

I Existindo autocorrelao, usar os MQ generalizados para estimar asregresses auxiliares ou reespecicar dinamicamente o modelo e sdepois testar heteroscedasticidade


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.6. Heteroscedasticidade condicionada auto-regressiva

ARCH - denio e motivao

ARCH(p) - heteroscedasticidade condicionada auto-regressiva deordem p:

u2t = 0 + 1u2t1 + 2u

2t2 + ...+ pu

2tp + vt

No altera as propriedades dos estimadores dos MQ importante estudar modelos ARCH porque:

I Com regressores que no so estritamente exgenos mas apenasfracamente dependentes, possvel obter estimadores mais ecientespelo mtodo dos MQ ponderados:

Ytqu2t

= 01qu2t

+ 1Xtqu2t

+ ...+t

(se u2t < 0, a equao que dene os u2t deve ser re-especicada)

I Os modelos ARCH podem ser interessantes em si: permitem estudar avolatilidade (variabilidade) de variveis econmicas


3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE... 3.6. Heteroscedasticidade condicionada auto-regressiva

Teste para o efeito ARCH(p)

Implementao:1 Estimar o modelo de interesse:

Yt = 0 + 1Xt1 + ...+ kXtk + ut

2 Obter ut e construir a varivel u2t3 Estimar o modelo ARCH:

u2t = 0 + 1u2t1 + 2u2t2 + ...p u2tp + vt

4 Testar H0 : 1 = ... = p = 0 atravs de um teste F ou LM


4. MODELOS DINMICOS E PREVISO

Tpicos

4. MODELOS DINMICOS E PREVISO4.1. Modelos com desfasamento distribudo innito4.2. Estacionariedade e testes de razes unitrias4.3. Regresso espria e cointegrao4.4. Previso


4. MODELOS DINMICOS E PREVISO 4.1. Modelos com desfasamento distribudo innito

Denio e efeitos marginais

Modelo com desfasamentos distribudos innitos:

Yt = + 0Xt + 1Xt1 + 2Xt2 + ...+ ut ,

onde j ! 0 quando j ! . Efeitos marginais (ver pg. 27):

I Propenso ou multiplicador de impacto: Xt = 1) Yt = 0I Propenso ou multiplicador de longo prazo:Xt = Xt1 = Xt2 = ... = 1) Yt = 0 + 1 + 2 + ...

A propenso de longo prazo tambm pode ser interpretada como aalterao que ocorre no valor de equilbrio de Y se o valor deequilbrio de X variar uma unidade:

I Em equilbrio X = Xt = Xt1 = Xt2 = ...) Y =+ (0 + 1 + 2 + ...)X + ut

I Logo: X = 1) Y = 0 + 1 + 2 + ...Dep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 57 / 136


Operacionalizao

Um modelo com um nmero innito de regressores impossvel deestimar directamente, sendo necessrio impr restries de forma areduzir o nmero de parmetros a estimar.

Modelos principais resultantes da imposio de restries:I Modelo de desfasamentos geomtricos ou de Koyck

Modelo de ajustamento parcialModelo de expectativas adaptativas

I Modelo de desfasamentos racionais



Modelo de desfasamentos geomtricos ou de Koyck

Restrio: assume-se que os parmetros das variveis desfasadasdiminuem geometricamente,

j = j ,

onde jj < 1 para que j ! 0 quando j ! . Derivao do modelo:

Yt = + 0Xt + 1Xt1 + 2Xt2 + ...+ ut= + Xt + Xt1 + 2Xt2 + ...+ ut

eYt1 = + Xt1 + Xt2 + 2Xt3 + ...+ ut1,

pelo que:

Yt Yt1 = (1 ) | {z }+Xt + ut ut1| {z } ,Yt = 0 + Xt + Yt1 + vt



Modelo de desfasamentos geomtricos ou de Koyck (cont.)

Depois de estimados e , pode-se obter uma estimativa para j Dado que E (vt jXt ,Yt1) 6= 0, pois ut1 est contido em vt , no sepode usar o mtodo dos MQ, devendo-se usar o mtodo das variveisinstrumentais (ver cap. 6)

Propenso de impacto:Xt = 1) Yt = 0 =

Propenso de longo prazo (clculo a partir da sua denio):Xt = Xt1 = Xt2 = ... = 1)Yt = 0 + 1 + 2 + ...

= + + 2 + ...| {z }progresso geomtrica

=

1 Dep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 60 / 136


Modelo de desfasamentos geomtricos ou de Koyck (cont.)

Propenso de longo prazo (clculo a partir dos valores de equilbrio):Y = 0 + X + Y + vt

Y Y = 0 + X + vtY =

01 +

1 X + vt

Y

X =

1 X = 1) Y =

1 As propenses de impacto e de longo prazo tm sempre o mesmosinal: se for positivo, ambas so positivas; se for negativo, ambasso negativas

O efeito individual de cada desfasamento pode ter sempre o mesmosinal ( > 0) ou alternar de sinal ( < 0)



Fundamentao econmica do modelo de Koyck

A restrio imposta (diminuio geometrica dos parmetros) no tempor base nenhuma teoria econmica, sendo uma mera conveninciamatemtica

Contudo, h dois casos particulares deste modelo muito usados nateoria econmica:

I Modelo de ajustamento parcialI Modelo de expectativas adaptativas



Modelo de ajustamento parcial

Modelo econmico

Com frequncia, a teoria econmica analisa a forma como umconjunto de variveis explicativas inuencia o valor desejado ouptimo da varivel dependente:

Y t = + Xt + ut

Assume-se que o valor corrente de Yt ajusta para o valor desejado auma determinada velocidade:

Yt = Yt1 + (Y t Yt1) + et ,onde 0 < < 1 mede a velocidade de ajustamento



Modelo de ajustamento parcial (cont.)

Modelo economtrico

No possvel estimar directamente as equaes anteriores porque ovalor desejado no observvel

Derivao do modelo a estimar:

Yt Yt1 = (+ Xt + ut Yt1) + etYt = Yt1 + + Xt + ut Yt1 + etYt = |{z}+ (1 )| {z }Yt1 + |{z}Xt + (ut + et )| {z } ,

Yt = 0 + Xt + Yt1 + vt Obtm-se a mesma estrutura do modelo de desfasamentosgeomtricos, mas com uma importante diferena: neste caso omodelo pode ser estimado pelo mtodo dos mnimos quadrados poisvt no contm termos desfasados



Modelo de expectativas adaptativas

Modelo econmico

Neste caso, o valor da varivel dependente determinado pelo valorque os agentes econmicos esperam (antecipam) para as variveisexplicativas:

Yt = + X t + ut As expectativas so formadas da seguinte forma:

X t = Xt1 + (Xt X t1) + et ,

onde 0 < < 1



Modelo de expectativas adaptativas (cont.)

Modelo economtrico

Yt1 = + X t1 + ut1,

(1 )Yt1 = ...Yt (1 )Yt1 = ...

Yt = + (1 )Yt1 + X t (1 ) X t1 + ut (1 ) ut1

Yt = + (1 )Yt1 +z }| {X t1 + (Xt X t1) + et

(1 ) X t1 + ut (1 ) ut1= |{z}+ (1 )| {z }Yt1 + |{z}Xt + et + ut (1 ) ut1| {z }

Yt = 0 + Xt + Yt1 + vt

Obtm-se a mesma estrutura do modelo de desfasamentosgeomtricos, permanecendo o problema relativo a E (vt jXt ,Yt1) 6= 0



Modelo de desfasamentos racionais

Modelo mais comum hoje em dia mas tambm mais complicado Partindo de um modelo com desfasamentos distribudos innitos, eimpondo determinadas restries, obtm-se no nal o seguintemodelo:

Yt = 0 + 0Xt + Yt1 + 1Xt1 + vt Inclui o modelo de Koyck como um caso particular para 1 = 0 Propenso de impacto:

Xt = 1) Yt = 0



Modelo de desfasamentos racionais (cont.)

Propenso de longo prazo (clculo a partir da sua denio):

Xt = Xt1 = Xt2 = ... = 1)

Yt = 0 + (0 + 1) + (0 + 1) + 2 (0 + 1) + ...| {z }

progresso geomtrica

= 0 +0 + 11

=0 0 + 0 + 1

1 =

0 + 11



Modelo de desfasamentos racionais (cont.)

Propenso de longo prazo (clculo a partir dos valores de equilbrio):

Y = 0 + 0X + Y + 1X

+ vtY Y = 0 + (0 + 1)X + vt

Y =01 +

0 + 11 X

+ vt

Y

X =

0 + 11

X = 1) Y = 0 + 11

Ao contrrio do modelo de Koyck, agora as propenses de impacto ede longo prazo podem ter sinais diferentes, caso 0 e 1 tenhamsinais diferentes e j0j < j1j


4. MODELOS DINMICOS E PREVISO 4.2. Estacionariedade e testes de razes unitrias

Estacionariedade e razes unitrias

Modelos de regresso para dados temporais requerem variveisestritamente exgenas ou fracamente dependentes

Em Economia, comum as variveis serem altamente dependentes,sendo por isso necessrio testar a sua estacionariedade usando testesde razes unitrias

Nestes testes admite-se que a varivel segue um processo AR (1):

Yt = + Yt1 + ut ;

dependendo do valor de , a varivel pode ser:I Estacionria e fracamente dependente, se jj < 1I Altamente dependente, se jj 1, podendo-se distinguir dois casos:

jj = 1: passeio aleatrio (situao comum em Economia)jj > 1: processo explosivo (situao improvvel em Economia)

Quando jj = 1, diz-se que a varivel possui uma raiz unitriaDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 70 / 136


Exemplos de processos

Processo fracamente dependente

Passeio aleatrio

Processo explosivo



Passeio aleatrio (Random walk)

Modelo:Yt = Yt1 + ut

Em funo do valor inicial (Y0):

Yt = Yt2 + ut1 + ut= Yt3 + ut2 + ut1 + ut= ...

= Y0 + u1 + ...+ ut1 + ut ,

Caractersticas:I E (Yt ) = Y0I Var (Yt ) = 2ut =) srie no estacionria, a varincia depende de t



Passeio aleatrio com deslocao (Random walk with drift)

Modelo:Yt = + Yt1 + ut .

Em funo do valor inicial:Yt = + Yt1 + ut

= + + Yt2 + ut1 + ut= + + + Yt3 + ut2 + ut1 + ut= ...

= t + Y0 + u1 + ...+ ut1 + ut ,

Caractersticas: E (Yt ) = t + Y0 =) mdia tambm passa a depender de t Var (Yt ) = 2ut



Testes de razes unitrias

Em termos genricos, cada varivel segue um processo do tipo

Yt = + Yt1 + ut ,

sendo necessrio testar:I H0 : = 1 (existe raiz unitria - srie no estacionria)I H1 : < 1 (no existe raiz unitria - srie estacionria)

Como o processo anterior pode ser escrito equivalentemente como

Yt Yt1 = + Yt1 Yt1 + utYt = + ( 1)Yt1 + utYt = + Yt1 + ut ,

as hipteses anteriores podem ser reescritas como:I H0 : = 0 (existe raiz unitria - srie no estacionria)I H0 : < 0 (no existe raiz unitria - srie estacionria)



Teste de Dickey-Fuller

Teste comum de razes unitrias Implementao:

1 Estimar um dos seguintes modelos

Yt = Yt1 + utYt = + Yt1 + utYt = + Yt1 + t + ut

2 Realizar um teste t para as hipteses:

H0 : = 0 (existe raiz unitria - srie no estacionria)H0 : < 0 (no existe raiz unitria - srie estacionria)

3 Decidir com base na tabela da distribuio de Dickey-Fuller, sendo queos valores crticos diferem de acordo com o modelo estimado no passo 1



Teste de Dickey-Fuller aumentado

O teste de Dickey-Fuller s vlido se o modelo for dinamicamentecompleto; se no for, deve-se usar o teste de Dickey-Fuller aumentado

Implementao: idntica do teste anterior mas na regressorealizada no primeiro passo acrescentam-se desfasamentos da variveldependente:

Yt = Yt1 + 1Yt1 + ...+ qYtq + utYt = + Yt1 + 1Yt1 + ...+ qYtq + utYt = + Yt1 + t + 1Yt1 + ...+ qYtq + ut


4. MODELOS DINMICOS E PREVISO 4.3. Regresso espria e cointegrao

Relao espria

Com base nos testes de razes unitrias, podem ser distinguidas doistipos de variveis:

I Variveis I (0): variveis integradas de ordem 0 (sem razes unitrias,estacionrias)

I Variveis I (1): variveis integradas de ordem 1 (com uma raz unitria,no estacionrias)

Consequncias para a estimao de um modelo de regresso:I Todas as variveis do modelo so I (0) - o mtodo dos MQ pode seraplicado da forma habitual

I Pelo menos uma das variveis do modelo I (1) - o mtodo dos MQpode conduzir a uma relao espria: os resultados da estimao e dostestes sugerem que existe uma relao entre a varivel dependente e asvariveis explicativas mesmo que na verdade no exista qualquerrelao



Cointegrao

Um modelo composto por variveis I (1) pode ser directamenteestimado pelos MQ apenas quando essas variveis so cointegradas

Duas variveis so cointegradas quando o termo erro da regresso davarivel dependente na varivel explicativa I (0); isto , apesar deYt e Xt serem variveis I (1), ut = Yt Xt I (0)

Em termos econmicos, existir cointegrao signica que existe umarelao de equilbrio ou de longo prazo entre Y e X

Testes de cointegrao:I Teste de Engle-GrangerI Teste de Engle-Granger aumentado

Ambos os testes so similares s verses correspondentes do teste deDickey-Fuller, mas aplicados a ut



Testes de Engle-Granger - Implementao

1 Estimar o modelo de regresso linear simples

Yt = + Xt + ut

2 Calcular os resduos ut3 Estimar a equao correspondente ao teste de Dickey-Fullercorrespondente mas aplicada a ut :

I Teste de Engle-Granger:

ut = + ut1 + t + wtI Teste de Engle-Granger aumentado:

ut = + ut1 + t + 1ut1 + ...+ qutq + wt

4 Realizar um teste t para as hipteses:I H0 : = 0 (existe raiz unitria - ut I (1), no h cointegrao)I H0 : < 0 (no existe raiz unitria - ut I (0), h cointegrao)

5 Decidir com base na tabela da distribuio de Engle-GrangerDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 79 / 136


Regresso entre variveis no estacionrias e nocointegradas

Se as variveis (Yt e Xt) forem no estacionrias e no cointegradas,no possvel estimar o modelo em nveis:

Yt = 0 + 0Yt1 + Xt + 1Xt1 + ut

Contudo, possvel estimar o modelo s diferenas:Yt = 0 + 0Yt1 + Xt + 1Xt1 + ut ,

Com efeito, quando uma varivel I (1), a sua diferena I (0):Yt = + Yt1 + ut ! passeio aleatrio

Yt Yt1 = + utYt = + ut ! srie estacionria



Modelo corrector do erro

Se as variveis forem cointegradas, tambm possvel estimar aequao s diferenas, acrescentando o chamado termo corrector doerro, o qual I (0) pois corresponde equao de cointegraodesfasada de um perodo,

st1 = Yt1 Xt1 O modelo resultante tem o nome de modelo corrector do erro:

Yt = 0 + 0Yt1 + Xt + 1Xt1 + st1 + ut

Enquanto que a equao de cointegrao d a relao de longo prazo,o modelo corrector do erro um modelo de curto prazo, dizendo aque velocidade feito o ajustamento para o equilbrio



Modelo corrector do erro (cont.)

O parmetro tem de ser sempre negativo pois:I Se existir um desequilbrio positivo, ento no perodo anterior Ysituou-se acima do seu nvel de equilbrio, o que signica que o termocorrector do erro vai contribuir para uma Yt negativa, puxando o Ypara o seu nvel de equilbrio;

I Se existir um desequilbrio negativo, ento no perodo anterior Ysituou-se abaixo do seu nvel de equilbrio, o que signica que o termocorrector do erro vai contribuir para uma Yt positiva, puxando o Ypara o seu nvel de equilbrio.


4. MODELOS DINMICOS E PREVISO 4.4. Previso

Previso - denies e modelos

Previso um passo frente: previso efectuada no perodo t paradaqui a 1 perodo (ft ,1)

Erro de previso (apenas observado a posteriori):

et+1 = Yt+1 ft ,1 Exemplos de modelos para previso

I Modelos estticosI Modelos dinmicos do tipo ADLI Modelos dinmicos do tipo ARI Modelos de tendnciaI Modelos VAR



Modelos para previso

Modelos estticos

yt = 0 + 1Xt + utft ,1 = 0 + 1gt ,1

Inconveniente: Xt+1 tem de ser previsto parte por outro modeloModelos dinmicos do tipo ADL

Yt = 0 + 1Yt1 + 1Xt1 + ...+ utft ,1 = 0 + 1Yt + 1Xt + ...



Modelos para previso (cont.)

Modelos dinmicos do tipo AR

Yt = 0 + 1Yt1 + 2Yt2 + ...+ utft ,1 = 0 + 1Yt + 2Yt1 + ...

Modelos de tendncia

Yt = + t + utft ,1 = + (t + 1)

Podem acrescentar-se potncias de t e/ou variveis explicativas



Modelos para previso (cont.)

Modelos VAR

Modelos exclusivos para previso, sendo compostos por vriasequaes dinmicas do tipo ADL, cada uma com a sua variveldependente e incluindo desfasamentos de todas as variveis domodelo:

Yt = 0 + 1Yt1 + 1Xt1 + 2Yt2 + 2Xt2 + ...+ utXt = 0 + 1Yt1 + 1Xt1 + 2Yt2 + 2Xt2 + ...+ vt

Previses efectuadas tratando cada equao separadamente, como nocaso ADL simples



Causalidade Granger

X causa Granger Y quando, depois de se ter em conta o passadode Y , os valores passados de X continuam a ser importantes paraprever o valor de Y

Teste de causalidade Granger: testes t ou F signicnciaestatstica dos desfasamentos de X numa equao em que Y seja avarivel dependente e as variveis explicativas incluam desfasamentosde Y

Exemplo:Yt = 0 + 1Yt1 + 1Xt1 + 2Yt2 + 2Xt2 + ...+ utXt = 0 + 1Yt1 + 1Xt1 + 2Yt2 + 2Xt2 + ...+ vt

I H0 : 1 = 2 = ... = 0 (X no causa Granger Y )I H0 : 1 = 2 = ... = 0 (Y no causa Granger X )



Previso por intervalos

Intervalo de conana para a previso pontual:ift ,1 z

2np e , ft ,1 + z

2np e

h,

onde:I z

2np - tabela da Normal estandardizada

I e =q2ft ,1 +

2 - desvio padro do erro de previso

I 2 - estimativa da varincia do erro do modelo de regresso estimadoI 2ft ,1 - obtido a partir de uma regresso auxiliar onde ft ,1 apareaexplicitamente (tpico estudado em Econometria I)



Critrios de escolha do melhor modelo de previso

Existem dois grupos de critrios de escolha de um modelo:I Critrios dentro da amostra: mais indicados quando o objectivo determinar as relaes causais que se estabelecem entre as variveis(ex.: R2, R2)

I Critrios fora da amostra: mais indicados para escolher o melhormodelo de previso.

Critrios fora da amostra - a amostra dividida em duas:I As primeiras n observaes so usadas para estimar o modelo queservir de base previso

I As restantes m observaes serviro para avaliar a qualidade dasprevises, pois ser possvel estimar os erros de previso calculando

en+h = Yn+h fn+h1,1, h = 1, ...,muma vez que os Yn+h so conhecidos



Critrios fora da amostra

Critrios principais:I Raiz quadrada do erro quadrtico mdio:

RMSE =

s1m

m

h=1

e2n+h

I Erro absoluto mdio:

MAE =1m

m

h=1jen+h j

Quanto menor for o valor destas medidas, melhor ser o modelo paraefectuar previses


5. DADOS DE PAINEL

Tpicos

5.1. Agrupamento de dados seccionais no tempo5.2. O modelo de efeitos xos5.3. O modelo de efeitos aleatrios


5. DADOS DE PAINEL

Denio

Quando a amostra contm em simultneo dados seccionais etemporais, pode-se ter:

I Dados seccionais agrupados - em cada momento no tempo recolhidauma amostra aleatria, sendo as observaes independentes

I Dados de painel - os indivduos observados so sempre os mesmos emtodos os perodos, sendo as observaes dependentes


5. DADOS DE PAINEL 5.1. Agrupamento de dados seccionais no tempo

Dados agrupados

Estimao por MQ da forma habitual Incluem-se dummies e/ou termos de interaco de natureza temporalno modelo para vericar se se registaram alteraes ao longo dotempo na relao entre variveis

possvel estimar o impacto de determinadas polticas



Variveis dummy e de iteraco - exemplo

Amostra relativa aos anos de 1990, 2000 e 2010: Modelo base:

Nlhos = 0 + 1educ + u,

Alternativas possveis:I Suspeita de Nlhos se ter alterado ao longo do tempo por motivos queno tm a ver com educ :

Nlhos = 0 + 0ano2000+ 0ano2010+ 1educ + u

I Suspeita de que o efeito de educ se alterou ao longo do perodo:

Nlhos = 0+ 1educ+1 (ano2000 educ)+ 1 (ano2010 educ)+uI Combinao das duas suspeitas anteriores

Nlhos = 0 + 0ano2000+ 0ano2010+ 1educ

+1 (ano2000 educ) + 1 (ano2010 educ) + uDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 94 / 136


Impacto de polticas - exemplo

Objectivo: avaliar o impacto da construo de uma incineradora nopreo das habitaes

Estudo a realizar:1 Recolher uma amostra em dois anos diferentes, um antes daimplementao da poltica, outro depois; esta amostra deve conter doisgrupos de individuos:

Grupo de controle: indivduos no afectados pela poltica (habitaesde outras zonas)Grupo de tratamento:habitantes da zona onde foi construda aincineradora

2 Estimar o modelo

preco = 0 + 0ano2+ 1pertoinc + 1ano2 pertoinc + u,onde pertoinc uma varivel dummy cujo valor 1 signica que ahabitao se situa na zona da incineradora

3 Analisar a signicncia do parmetro 1, o qual mede o impacto dapoltica



Impacto de polticas - exemplo (cont.)

O grupo de controle necessrio porque os preos das casas onde foiinstalada a incineradora podem-se ter alterado por outros motivos queno a sua construo:

Ano1 Ano2perto [preco = 0 + 1 [preco = 0 + 0 + 1 + 1longe [preco = 0 [preco = 0 + 0

perto longe 1 1 + 1

Efeito da incineradora - estimador da diferena nas diferenas:

1 =0 + 0 + 1 + 1

0 + 0 0 + 1 0=

preco2,perto preco2,longe

preco1,perto preco1,longe


5. DADOS DE PAINEL 5.2. O modelo de efeitos xos

Especicao do modelo de efeitos xos

Modelo:

yit = 0 + 1X1it + ...+ kXkit + ai + uit| {z }termo erro

, i = 1, ..., n, t = 1, ...,T

O termo erro passa a ter duas componentes no observveis:I ai : efeitos xos - diferem de indivduo para indivduo mas permanecemconstantes ao longo do tempo

I uit : erro idiossincrtico - diferem de indivduo para indivduo e deperodo para perodo de forma aleatria

Propriedades dos estimadores dos MQ:I E (ai jXit ) 6= 0 ou E (uit jXit ) 6= 0) estimadores inconsistentesI E (ai jXit ) = 0 e E (uit jXit ) = 0) estimadores consistentes

No mbito do modelo de efeitos xos assume-se que E (ai jXit ) 6= 0



Estimao do modelo de efeitos xos

Como E (ai jXit ) 6= 0, a soluo para a inconsistncia dosestimadores consiste em transformar o modelo de forma a eliminar osefeitos xos, existindo dois mtodos principais:

I Mtodo das primeiras diferenas (baseado na diferena entre o modelooriginal e o modelo desfasado de um perodo):

yit = 1X1it + ...+ kXkit + uit , i = 1, ..., n, t = 2, ...,T ,

onde yit = yit yit1, etc.I Mtodo dos efeitos xos (estimador dentro- baseado na diferenaentre o modelo original e o modelo centrado no tempo):

yit yi = 1 (X1it X1i ) + ...+ k (Xkit Xki ) + uit uionde yi =

1T

Ti=1 yit , etc..

Ambos os mtodos consistem na aplicao dos MQ s equaestransformadas



Estimao do modelo de efeitos xos (cont.)

comum acrescentar a constante e variveis dummy temporais sduas equaes:

yit = 0 + 2d3t + ...+ T dTt + 1X1it + ...+ kXkit + uit

yit yi = 0 + 2d2t + ...+ T dTt + 1 (X1it X1i ) + ...+k (Xkit Xki ) + uit ui

Apenas para T = 2 os dois mtodos produzem resultados iguais. Desvantagens de ambos os estimadores:

I Os regressores constantes no tempo (ex.: gnero) so removidos daequao

I Os efeitos de regressores que se alteram numa unidade em todos osperodos (ex.: idade) no podem ser obtidos na presena de dummiestemporais.


5. DADOS DE PAINEL 5.3. O modelo de efeitos aleatrios

Especicao do modelo de efeitos aleatrios

Modelo idntico:

yit = 0 + 1X1it + ...+ kXkit + ai + uit| {z }vit

Assume-se E (ai jXjit ) = 0, pelo que a aplicao dos MQdirectamente ao modelo produz estimadores consistentes

Existe autocorrelao em vit do tipo

corr (vit , vis ) =2a

2a + 2u, t 6= s,

pelo que prefervel usar os MQ Generalizados para obter estimadoresecientes



Estimao do modelo de efeitos aleatrios

Os MQ Generalizados consistem na estimao do seguinte modelotransformado:

yit yi = 0 (1 ) + 1 (X1it X1i ) + ...+ k (Xkit Xki ) +(vit vi ) ,

onde = 1q

2a2u+T 2a

necessita tambm de ser estimado

O estimador resultante recebe o nome de estimador de efeitosaleatrios e, embora no seja centrado, consistente, eciente eassimptoticamente normal

0 1, observando-se os seguintes casos limite:I = 0) MQ agrupadosI = 1) estimador de efeitos xos



Escolha entre modelos

Hipteses a testar:I H0 : E (ai jXit ) = 0 (EA e EF consistentes, EA eciente)I H1 : E (ai jXit ) 6= 0 (EF consistentes)

Sob a hiptese nula preferivel usar o estimador de efeitos aleatrios(EA)

Rejeitando a hiptese nula, prefervel usar um mtodo de estimaoapropriado para o modelo de efeitos xos

Teste de Hausman:

H =EF EA

VEF

V EA1 EF EA ~2k


6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS

Tpicos

6.1. Motivao: omisso de variveis e erros de medida6.2. Estimao e inferncia com variveis instrumentais6.3. Mnimos quadrados em dois passos6.4. Testes de endogeneidade e de restries de sobreidenticao


6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS 6.1. Motivao: omisso de variveis e erros de medida

Denies

E (ujXj ) = 0) Xj uma varivel explicativa exgena )estimadores dos MQ consistentes

E (ujXj ) 6= 0) Xj uma varivel explicativa endgena )estimadores dos MQ inconsistentes

Causas comuns para a endogeneidade:I Omisso de variveisI Erros de medida

Na varivel dependenteNuma ou mais variveis explicativas

Conforme a causa, diferente poder ser a soluo para o problema deendogeneidade. Uma das possveis solues o uso de variveisinstrumentais



Omisso de variveis - exemplo

Regresso correcta: Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v| {z }u

;

Regresso estimada: Y = 0 + 1X1 + u; Se X2 explica Y (2 6= 0), omitido e:

I cov (X2 ,X1) 6= 0, ento cov (u,X1) 6= 0) X1 endgeno ) 1inconsistente

I cov (X2 ,X1) = 0, ento cov (u,X1) = 0) X1 exgeno ) 1consistente

Solues para o problema de endogeneidade:I X2 observvel: incluir no modeloI X2 no observvel:

Usar uma varivel proxy que substitua X2Usar uma ou mais variveis instrumentais



Variveis proxy

Varivel proxy: varivel que est relacionada com a varivelexplicativa endgena no observvel

Pressupostos (continuao do exemplo anterior):I O modelo correcto :

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v| {z }u

,

isto , E (v jX1,X2) = 0I X2 no observvel e cov (X2 ,X1) 6= 0) E (ujX1) 6= 0I O objectivo estimar 1I Xp uma varivel proxy para X2, sendo a relao entre ela dada por:

X2 = 0 + 1Xp + vpI E (vp jXp) = 0

Novo modelo a estimar:Y = 0 + 1X1 + 2Xp + w



Variveis proxy (cont.)

Relao entre o modelo correcto e o novo modelo a estimar:

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v

= 0 + 1X1 + 2 (0 + 1Xp + vp) + v

= (0 + 20)| {z }0

+ 1X1 + 21|{z}2

Xp + v + 2vp| {z } ,= 0 + 1X1 + 2Xp + w

Resultado:I Obtm-se estimadores consistentes para 0, 1 e 2I No se obtm estimadores consistentes para 0 e 2, mas o objectivo estimar 1



Erro de medida na varivel dependente - exemplo

Modelo correcto:Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v

Em lugar de Y (sem erro), observa-se Y (com erro), sendo a relaoentre ambos dada por

Y = Y + e,

onde e representa o erro de medida, E (ejY ) = 0 e Var (ejY ) = 2e Modelo estimado:

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + v + e| {z }u

Assumindo E (ejX1,X2) = 0, o que plausvel em muitos casos,ento os estimadores dos MQ:

I So centrados e consistentes e a inferncia vlidaI Deixam de ser ecientes



Erro de medida numa varivel explicativa - exemplo

Modelo correcto:Y = 0 + 1X

+ v Em lugar de X (sem erro), observa-se X (com erro), com

X = X + e,

onde E (ejX ) = 0 e Var (ejX ) = 2e Modelo estimado:

Y = 0 + 1X + v 1e| {z }u

Como E (ujX ) = E (ejX ) 6= 0, os estimadores dos MQ soinconsistentes (por atenuao):

p lim 1 = 12X

2X + 2e| {z }

6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS 6.2. Estimao e inferncia com variveis instrumentais

O mtodo das VIs

O mtodo das VIs aplica-se a qualquer problema de endogeneidade,independentemente da sua causa

Se X1 uma varivel endgena, com E (ujX1) 6= 0, ento Z umaVI para X1 se:

I E (ujZ ) = 0I cov (X1,Z ) 6= 0

Forma estrutural do modelo - modelo original, com interesseeconmico:

Y = 0 + 1X1 + ...+ kXk + u

Forma reduzida do modelo - equao que relaciona a varivelexplicativa endgena com as restantes variveis explicativas(exgenas) e com a varivel instrumental:

X1 = pi0 + pi1Z + pi2X2 + ...pikXk + v



Pressupostos e propriedades

Vericao dos pressupostos:I E (ujZ ) = 0 - impossvel de vericar atravs de teste estatstico; usarargumentos tericos

I cov (X1,Z ) 6= 0 - estima-se a forma reduzida do modelo e aplica-se umteste t hiptese:

H0 : pi1 = 0 (a VI no adequada)H1 : pi1 6= 0 (a VI poder ser adequada)

Propriedades dos estimadores das VIs:I Enviesados mas consistentesI No ecientes mas inferncia vlida



Estimao - modelo de regresso linear simples

Modelo: Y = 0 + 1X + u, E (ujX ) 6= 0, Z VI para X Frmulas: (

VI1 =

ni=1(ZiZ )(YiY )ni=1(ZiZ )(XiX )

VI0 = Y

VI1 X

VarVI1

=

2

n2XR2XZ,

onde R2XZ refere-se regresso X = pi0 + pi1Z + v No caso dos MQ

varMQ1

=

2

ni=1 (Xi X )2=

2

n2X,

pelo que a ecincia das VIs relativamente aos MQ ser tanto menorquanto menor a correlao entre Z e X



Estimao - modelo de regresso linear mltiplo

Frmulas:VI =

Z 0X

1 Z 0yVar

VI= 2

Z 0X

1 Z 0Z X 0Z1 ,onde Z tem uma estrutura semelhante a X , mas com a substituio dasvariveis endgenas por variveis instrumentais. Por exemplo:

X =

26641 X11 X211 X12 X221 X13 X23... ... ...

3775 , Z =26641 Z11 X211 Z12 X221 Z13 X23... ... ...

3775


6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS 6.3. Mnimos quadrados em dois passos

Mais instrumentos do que variveis endgenas

possvel ter mais do que uma varivel instrumental por varivelendgena (situao de sobreidenticao). Neste caso:

I No possvel aplicar o mtodo das variveis instrumentaisI Pode-se aplicar o mtodo dos mnimos quadrados a dois passos(MQ2P), o qual tambm requer o uso de VIs

Se X1 uma varivel endgena, com E (ujX1) 6= 0, ento Z1 e Z2so VIs para X1 se:

I E (ujZ1,Z2) = 0I cov (X1,Z1) 6= 0I cov (X1,Z2) 6= 0

Forma estrutural do modelo - modelo original, igual ao caso anterior(ver pg. 110)

Forma reduzida do modelo - semelhante ao caso anterior, incluindotodas as VIs e todas as restantes variveis exgenas:

X1 = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk + v



Pressupostos e propriedades

Vericao dos pressupostos:I E (ujZ1,Z2) = 0 - possvel de avaliar atravs de um teste desobreidenticao (ver pg. 120)

I cov (X1,Z ) 6= 0 - estima-se a forma reduzida do modelo e aplica-se umteste F hiptese:

H0 : pi2 = pi3 = 0 (as VI no so adequadas)H1 : Nao H0 (as VI podero ser adequadas)

Propriedades dos estimadores dos MQ2P:I Enviesados mas consistentesI No ecientes mas inferncia vlida



Processo de estimao

Dois passos:1 Estimar a forma reduzida do modelo usando os MQ:

X1 = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk + v ;

com base nos parmetros estimados, obter uma estimativa da varivelendgena:

X1 = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk

2 Estimar a forma estrutural do modelo, com X1 substitudo por X1, porMQ:

Y = 0 + 1X1 + ...+ kXk + u



Processo de estimao (cont.)

Em termos matriciais, o segundo passo dado por:

MQ2P =Z 0Z

1 Z 0y ,onde

Z =

26641 X11 X21 ... Xk11 X12 X22 ... Xk21 X13 X23 ... Xk3... ... ... ...

3775 Quando s existe uma VI, os estimadores dos MQ2P so iguais aosestimadores das VIs


6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS 6.4. Testes de endogeneidade e de restries de sobreidenticao

Importncia de testar a endogeneidade

Propriedades dos estimadores:I Sem endogeneidade:

MQ consistentes e ecientesVI/MQ2P consistentes

I Com endogeneidade:

MQ inconsistentesVI/MQ2P consistentes

VI/MQ2P apenas devem ser usados se realmente houver variveisexplicativas endgenas ! teste de endogeneidade para uma varivelexplicativa



Teste de endogeneidade de uma varivel explicativa

Objectivo - testar se X1 endgeno no modelo:Y = 0 + 1X1 + ...+ kXk + u

Implementao do teste:1 Estimar a forma reduzida do modelo (possveis VIs: Z1, Z2)

X1 = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk + v ,

e obter os resduos v

v = X1 X1, X1 = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk2 Estimar o modelo estrutural acrescentado de v

Y = 0 + 1X1 + ...+ kXk + 1 v + ;

3 Teste t para:

H0 : 1 = 0 (X1 exgeno)H1 : 1 6= 0 (X1 endgeno)



Teste de sobreidenticao (endogeneidade das VIs)

O pressuposto E (ujZ1,Z2, ...) = 0 testvel quando h mais VIs doque variveis endgenas

Implementao do teste:1 Estimar a forma estrutural do modelo por MQ2P e obter os resduos u2 Estimar o modelo auxiliar (inclui todos os regressores exgenos e VIs)

u = pi0 + pi1Z1 + pi2Z2 + pi3X2 + ...pik+1Xk + w

3 Testar

H0 : VI vlidasH1 : VI no vlidas

atravs de um teste F ou LM para a signicncia global do modeloestimado no passo 2. Os graus de liberdade q sero dados pelo nmerode restries de sobreidenticao (no VIs - no var. endgenas)


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS

Tpicos

7.1. Classicao das variveis e dos modelos7.2. A forma reduzida do modelo e sua estimao7.3. O problema da identicao7.4. Estimao da forma estrutural do modelo: mnimos quadrados emdois passos7.5. Equaes simultneas com sries temporais e com dados de painel


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS

Equaes simultneas

Nova causa de endogeneidade: simultaneidade, isto , os valores davarivel dependente e de uma ou mais variveis explicativas dumaequao so determinados simultaneamente (exemplo: quantidade epreo de equilbrio no mercado de um produto)

Modelos de equaes simultneas: modelos compostos por duas oumais equaes, cada uma com a sua varivel dependente, a qual entracomo varivel explicativa nas outras equaes

O mtodo das VIs e dos MQ2P so tambm utilizados neste mbito


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.1. Classicao das variveis e dos modelos

Modelo e tipos de variveis

Forma estrutural do modelo - resulta da teoria econmica. Porexemplo:

Y1 = 1Y2 + 1Z1 + u1Y2 = 2Y1 + 2Z2 + u2

onde a primeira equao pode representar a curva da procura e asegunda a curva da oferta, sendo Y1 e Y2 a quantidade e o preo,respectivamente

Tipos de variveis:I variveis endgenas: determinadas pelo modelo (Y1 e Y2)I variveis exgenas: determinadas fora do modelo (Z1 e Z2)


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.1. Classicao das variveis e dos modelos

A simultaneidade como causa de endogeneidade

Geralmente E (u1jY2) 6= 0 e E (u2jY1) 6= 0, por dois motivos:I cov (u1, u2) 6= 0I 1 6= 0 e 2 6= 0

Anlise da 1a equao (raciocnio semelhante para a 2a equao):I cov (u1, u2) 6= 0: como u2 entra na denio de Y2, e u1 e u2 estocorrelacionados, ento Y2 e u1 tambm estaro correlacionados

I 2 6= 0 (1 6= 0 no caso da 2a equao):Y2 = 2Y1 + 2Z2 + u2

= 2 (1Y2 + 1Z1 + u1) + 2Z2 + u2Y2 21Y2 = 21Z1 + 2Z2 + 2u1 + u2

Y2 =21

1 21 Z1 +2

1 21 Z2 +2u1 + u21 21 ;

desde que 2 6= 0, u1 entra na denio de Y2, pelo que na 1a equaoda forma estrutural Y2 e u1 esto correlacionados


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.2. A forma reduzida do modelo e sua estimao

Forma reduzida

Forma reduzida do modelo - as variveis endgenas so funoapenas de variveis explicativas:

Y1 = pi11Z1 + pi12Z2 + v1Y2 = pi21Z1 + pi22Z2 + v2

As equaes da forma reduzida correspondem ao primeiro passo domtodo dos MQ2P aplicado a cada uma das equaes estruturais,onde na primeira (segunda) equao estrutural se usa Z2 (Z1) comoVI para Y2 (Y1)

Tal como anteriormente, as equaes da forma reduzida so estimadaspelos MQ, desde que haja instrumentos em nmero suciente


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.3. O problema da identicao

Classicao das equaes estruturais

Uma equao estrutural pode ser classicada da seguinte formaquanto sua identicao:

I Equao no identicada - no existem VIs sucientes para estimartodos os parmetros da equao

I Equao identicada - existem VIs sucientes para estimar todos osparmetros da equao:

Exactamente identicada: nmero de VIs igual ao nmero de variveisendgenasSobre-identicada: nmero de VIs superior ao nmero de variveisendgenas

Num sistema de equaes simultneas algumas equaes podem serde um tipo e outras doutro

Mtodos de estimao:I Equaes exactamente identicadas: VI, MQ2P e MIMQ (mtodoindirecto dos MQ) produzem estimadores idnticos

I Equaes sobreidenticadas: s possvel aplicar os MQ2P



Identicao em sistemas de duas equaes

Condies de identicao:I Condio de ordem - condio necessria para a identicao: parauma equao ser identicada o nmero de variveis exgenas excludastem que ser igual ou superior ao nmero de variveis explicativasendgenas includas

I Condio de caracterstica - condio necessria e suciente para aidenticao: uma equao identicada se pelo menos uma dasvariveis excludas tiver um coeciente no nulo na forma reduzida domodelo

Vericao das condies:I Condio de ordem: contar o nmero de variveis exgenas excludasda equao em anlise mas que aparecem nas outras equaes dosistema e comparar com o nmero de variveis endgenas includas cooexplicativas na equao em anlise

I Condio de caracterstica: aplicar testes t ou F forma reduzida davarivel explicativa endgena



Exemplos

Nenhuma das equaes identicada:Y1 = 1Y2 + u1Y2 = 2Y1 + u2

Apenas a primeira equao identicada:Y1 = 1Y2 + u1Y2 = 2Y1 + 2Z2 + u2

Ambas as equaes so identicadas:Y1 = 1Y2 + 1Z1 + u1Y2 = 2Y1 + 2Z2 + u2

(em todos os exemplos est-se a admitir que na forma reduzida todos osparmetros so no nulos)



Sistemas de mais de duas equaes - representaomatricial

Sistema de equaes (exemplo):8


Sistemas de mais de duas equaes - representaomatricial (cont.)

Representao matricial:CXi = ui ,

onde:

I Xi =YiZi

=

2666666664

Y1Y2Y3Z1Z2Z3Z4

3777777775ui =

24 u1u2u3

35

I C =

24 1 12 1321 1 031 0 1

11 0 0 021 22 23 031 32 33 34

35



Sistemas de mais de duas equaes - representaomatricial (cont.)

Matrizes de restries de nulidade para cada equao (cada colunadiz respeito a uma restrio, havendo tantas colunas quanto onmero de zeros que aparece em cada linha da matriz C):

1 =

2666666664

0 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1

3777777775, 2 =

2666666664

0 00 01 00 00 00 00 1

3777777775e 3 =

2666666664

0100000

3777777775 Rank de uma matriz: dimenso da maior matriz quadrada que forpossvel formar s com linhas linearmente independentes (neste caso,equivalente a no nulas)



Sistemas de mais de duas equaes - identicao

Condies de identicao:I Condio caracterstica: a equao j identicada se r

Cj

= G 1

I Condio de ordem:

A equao j exactamente identicada se rj= G 1

A equao j sobre-identicada identicada se rj> G 1



Sistemas de mais de duas equaes - exemplo

1a equao:

C1 =

24 0 0 022 23 032 33 34

35r (C1) = 2) identicada

r (1) = 3) sobre-identicada 2a equao:

C2 =

24 13 00 01 34

35r (C2) = 2) identicada

r (2) = 2) exactamente identicadaDep. Economia (U. vora) Econometria II Ano Lectivo 2015/2016 133 / 136


Sistemas de mais de duas equaes - exemplo (cont.)

3a equao:

C3 =

24 1210

35) r (C1) = 1) no identicada


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.4. Estimao da forma estrutural do modelo: MQ2P

Mnimos quadrados a dois passos para equaessimultneas

Os parmetros da forma estrutural de qualquer equao que foridenticada pode ser estimado pelo mtodo dos MQ2P

Os MQ2P so aplicados da forma descrita na pg. 116


7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS 7.5. Equaes simultneas com sries temporais e com ...

Mnimos quadrados a dois passos com dados temporais ouem painel

Quando os dados so de natureza temporal ou de painel, para almde tudo o que j foi referido neste captulo, tem de se ter em conta ascaractersticas especcas desse tipo de dados

I Dados temporais: os MQ2P s podem ser aplicados se as variveisforem fracamente dependentes ou cointegradas ou, caso no tenhamestas caractersticas, se se usar as suas primeiras diferenas

I Dados de painel: as equaes tem de incluir efeitos xos ou aleatrios.

No caso temporal, as variveis endgenas desfasadas recebem o nomede variveis pr-determinadas e so tratadas como variveis exgenas,podendo ser usadas como VIs


1. MODELOS DE ESCOLHA BINRIA1.1. Modelo probabilstico linear1.2. Mtodo da mxima verosimilhana: estimao e inferncia1.3. Modelos logit e probit

2. FUNDAMENTOS DO MRL COM SRIES TEMPORAIS2.1. Tipos de modelos2.2. Premissas do modelo e propriedades dos estimadores dos MQ2.3. Inferncia e anlise de especificao2.4. Tendncia e sazonalidade2.5. Sries estacionrias e no estacionrias2.6. Propriedades assimptticas dos estimadores dos MQ

3. AUTOCORRELAO E HETEROSCEDASTICIDADE...3.1. Propriedades dos estimadores dos MQ com autocorrelao3.2. Testes para a autocorrelao3.3. Mtodo dos minmos quadrados generalizados3.4. Modelos dinamicamente completos3.5. Heteroscedasticidade em modelos de sries temporais3.6. Heteroscedasticidade condicionada auto-regressiva

4. MODELOS DINMICOS E PREVISO4.1. Modelos com desfasamento distribudo infinito4.2. Estacionariedade e testes de razes unitrias4.3. Regresso espria e cointegrao4.4. Previso

5. DADOS DE PAINEL5.1. Agrupamento de dados seccionais no tempo5.2. O modelo de efeitos fixos5.3. O modelo de efeitos aleatrios

6. REGRESSO COM VARIVEIS INSTRUMENTAIS6.1. Motivao: omisso de variveis e erros de medida6.2. Estimao e inferncia com variveis instrumentais6.3. Mnimos quadrados em dois passos6.4. Testes de endogeneidade e de restries de sobreidentificao

7. MODELOS DE EQUAES SIMULTNEAS7.1. Classificao das variveis e dos modelos7.2. A forma reduzida do modelo e sua estimao7.3. O problema da identificao7.4. Estimao da forma estrutural do modelo: MQ2P7.5. Equaes simultneas com sries temporais e com ...

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