Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

4.1 Potenciação de expoente natural4.2 Funções polinomiais de grau n4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática4.4 Análise do gráfico de uma função quadrática 4.5 Gráficos das funções polinomiais4.6 Raízes das funções polinomiais4.7 Raízes da função quadrática4.8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática

Gil da Costa Marques

FUNÇÕES POLINOMIAIS4

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

75

Fundamentos de Matemática I

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4.1 Potenciação de expoente naturalAntes de abordar as funções polinomiais, devemos introduzir uma operação com números

reais, denominada potenciação. Assim, definimos a potência n do número real a, com n ∈ *,

representada por an, como o resultado do produto do número a n vezes, ou seja,

4.1

Por exemplo, no caso de n = 3, temos:

4.2

ou seja, o produto sucessivo de a três vezes.

O resultado da potenciação de um número real é um outro número real. Por exemplo,

4.3

A potenciação é uma operação bastante simples sempre que o expoente for um número

inteiro positivo.

4.2 Funções polinomiais de grau nA operação potenciação com expoente natural permite-nos definir uma ampla classe de funções,

denominadas genericamente funções polinomiais. Por exemplo, a função cúbica ou função poli-

nomial de terceiro grau é definida a partir da potenciação, uma vez que é uma função da forma:

4.4

que associa a cada valor da variável independente o seu cubo multiplicado pela constante a:

4.5

a a a an

n

= . . ... . vezes

��� ��

a a a a3 = . .

3 3 3 3 3 9 27

3 3 3 3 3 9 27

3

3

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

−( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) = − ⋅ = −

f x ax( ) = 3

f x a x x x( ) = ⋅ ⋅( )

76

4 Funções Polinomiais

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Um exemplo simples de função cúbica é aquela que expressa o volume de uma esfera como

função do seu raio. Nesse caso, a dependência do volume em relação ao raio R se escreve:

4.6

Analogamente, podemos definir uma função envolvendo uma potência arbitrária, n, da

variável dependente, onde n ∈ *:

4.7

Um polinômio de grau n é definido como uma soma de parcelas do tipo a f xnn. ( ) , para n

inteiro positivo ou, equivalentemente, uma combinação linear de funções do tipo 4.7. Assim,

um polinômio de grau n (Pn(x)), é definido pela expressão geral:

4.8

ou, analogamente,

4.9

Desse modo, um polinômio de grau n pode ser definido como uma soma de monômios

cujos graus variam de zero até n – um monômio de grau zero é uma constante – que é um

número real:

4.10

Da definição acima, temos que uma função afim é, por definição, um polinômio de primeiro

grau, ou seja,

4.11

V R=43

3π

f x x x x xn n

n

( ) . .= = ... . vezes

��� ��

P x a f x a f x a f x ann

nn

n( ) = ( ) + ( ) + + ( ) +−−

11

11

0...

P x a x a x a x ann

nn

n( ) = + + + +−−

11

1 0...

P x a xnii

i

n

( ) ==∑

0

P x a x a11 0( ) = +

77

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Por exemplo, a velocidade escalar de uma par-

tícula de massa m sujeita a uma força constante

F, atuando ao longo de uma curva, é dada, como

função do tempo t decorrido, por:

4.12

Nesse caso, a variável independente é o tempo,

acima designado por t, enquanto os parâmetros a1

e a0 são, respectivamente, a aceleração da partícula

(a1 = F/m) e a sua velocidade inicial (a0 = V(0) = V0). Um polinômio é par se:

4.13

Nesse caso, n deve ser necessariamente um número par e todos os coeficientes das potências

ímpares devem ser nulos. Por exemplo, o polinômio:

4.14

é um polinômio par.

Um polinômio é dito ímpar se:

4.15

Nesse caso, n deve ser um número ímpar, bem como todos os coeficientes das potências

pares devem ser nulos. Assim, o polinômio

4.16

é um polinômio ímpar.

Figura 4.1: Gráfico de uma função polinomial do primeiro grau ou função afim.

V t Fmt V( ) =

+ 0

P x P xn n( ) = −( )

P x x x4 4 213 36( ) = − +

P x P xn n( ) = − −( )

P x x x x5 5 313 36( ) = − +

78

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4.3 Função polinomial do segundo grau ou função quadrática

A função polinomial do segundo grau ou o polinômio de segundo grau mais geral é da forma:

4.17

Na expressão acima, empregamos a forma convencional de apresentar as funções quadráticas,

ou seja, em termos de parâmetros designados pelas letras a, b e c. As constantes a, b e c são

denominadas, respectivamente, coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante

ou termo livre. O coeficiente quadrático é o único que não pode ser nulo, pois, nesse caso, a

função não seria do segundo grau.

O gráfico de um polinômio do segundo grau é uma curva denominada parábola. Isto foi

discutido em Aplicações à geometria analítica, seção 3.6.1.

O movimento dos projéteis na superfície terrestre provê mais de um exemplo de grandezas

que dependem, quadraticamente, umas das outras. Por exemplo, a coordenada y associada à

posição de um projétil depende da coordenada x da seguinte forma:

4.18

onde g é a aceleração da

gravidade, y0 é o valor da

coordenada y quando do

início do movimento,

isto é, quando x = 0, e

a velocidade inicial do

projétil tem componentes

(v0x , v0y).

y x ax bx c( ) = + +2

y x g xv

v xv

yx

yx

( ) = −

+

+2 0

2

00

0

Figura 4.2: A trajetória de um projétil é descrita por uma função quadrática.

79

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A seguir, escreveremos 4.17 de uma forma inteiramente equivalente, e muito útil, como se verá.

Admitindo-se o parâmetro a não nulo (a ≠ 0), podemos escrever as seguintes igualdades:

4.19

donde inferimos que

4.20

onde o termo ∆ é dado por

4.21

Embora seja pouco comum, vamos usar, muitas vezes, esta última forma da função quadrá-

tica. Em particular, se recorrermos a um artifício definido como translação de eixos (mudanças

de eixos na direção vertical e horizontal), ela se torna útil para escrever a equação da parábola

de uma forma mais simples. De fato, se redefinirmos as variáveis de acordo com as expressões:

4.22

então, o polinômio do segundo grau pode ser escrito, nessas novas variáveis, como:

4.23

Observe que efetuar translações ao longo dos eixos x e y corresponde a realizar uma

mudança do sistema de coordenadas.

y ax bx c a x bax ca

a x bax ca

ba

ba

= + + = + +

= + + + −

2 2 22

2

2

24 4

= + + +

+

a x bax b

aca

x ba

22

2

2

42

� ��� ���−−

= +

−

−

∆

ba

a x ba

b aca

2

2

2 2

24 24

4

��� ��

y x ax bx c a x ba a

( ) = + + = +

−2

2

2 4∆

∆ = −b ac2 4

′ = +

′ = −−

x x ba

y y b aca

24

4

2

′ ′( ) = ′y x ax 2

80

4 Funções Polinomiais

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As transformações 4.22 podem ser pensadas como translações dos eixos na direção horizontal

e na direção vertical. Assim, mediante uma nova escolha de eixos, escolha essa definida por 4.22,

podemos reduzir a expressão 4.17 ou 4.20 a uma forma bastante simples, que é dada em 4.23.

No que se segue, utilizaremos, indistintamente, qualquer uma das expressões 4.17, 4.20 ou 4.23.

De acordo com a expressão 4.13, podemos constatar que a função polinomial sob a forma

4.23 é uma função par. Assim, constatamos que a parábola dada em 4.20 apresenta um eixo de

simetria, que é a reta dada por:

4.24

4.4 Análise do gráfico de uma função quadrática Podemos classificar as parábolas a partir de suas características. Uma primeira característica é a

concavidade. Uma segunda diz respeito ao fato de ela interceptar ou não o eixo x.

Figura 4.3: Por meio da translação de eixos, podemos simplificar a forma da função quadrática.

x ba

= −2

Uma função quadrática pode exibir dois tipos de concavidade. A concavidade é considerada positiva se a curva “está virada para cima”. Se ocorrer o oposto, a concavidade da curva é negativa. Nesse caso, dizemos, numa linguagem coloquial, que ela está “vira-da para baixo”. Posteriormente, daremos uma definição mais pre-cisa de concavidade de uma curva.

81

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Levando em conta ainda a forma 4.23, podemos verificar que a concavidade é determinada

pelo sinal do parâmetro a da função. A concavidade será negativa se o parâmetro a for negativo.

E será positiva se a for positivo. Isso pode ser facilmente observado na Figura 4.4.

Assim, o parâmetro a determina

também o quão “aberta” ou “fechada”

será a parábola. Quanto maior o valor

desse parâmetro tanto mais fechada será

a parábola (vide Figura 4.5).

A parábola pode interceptar ou não o

eixo x. Para determinar se a curva inter-

cepta o eixo x, basta procurar os valores

de x que tornam y = 0. A tais valores,

quando existem, damos o nome de raízes

da função ou raízes do polinômio. Cada

ponto em que a parábola cruza o eixo x é obtido por meio de um par ordenado da forma

(xr, 0), onde xr é uma das raízes do polinômio de segundo grau, isto é:

4.25

Assim, o gráfico de um polinômio do segundo grau pode interceptar duas vezes o eixo x (se ele

possuir duas raízes distintas), interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma raiz ou duas

raízes iguais), ou nunca interceptá-lo (se não houver raízes reais). De acordo com a análise que

Figura 4.4: A concavidade da função depende do sinal do parâmetro a.

Figura 4.5: Comportamento da parábola quando variamos o parâmetro a.

ax bx cr r2 0+ + =

82

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faremos na seção 4.7, tais casos podem ser decididos por meio da relação entre os parâmetros

a, b e c. O resultado é o seguinte:

Se

4.26

Assim, a função quadrática, por exemplo,

4.27

intercepta o eixo x duas vezes pois, nesse caso, ∆ = 9 − 4.1.2 = 1, ao passo que a função

4.28

intercepta o eixo x apenas uma vez, pois ∆ = 4 − 4.1.1 = 0 . A função

4.29

não intercepta o eixo x.

∆ > ⇔ >

∆ = ⇔ =

∆ < ⇔ <

0 40 40 4

2

2

2

b acb acb ac

o gráfico corta o eixo x duas vezes

o gráfico corta o eixo x uma única vez

o gráfico não corta o eixo.

Figura 4.6: A parábola para diferentes possibilidades de ∆.

y x x x( ) = − +2 3 2

y x x x( ) = − +2 2 1

y x x( ) = +2 1

83

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Exemplos

• ExEmplo 1Estude a função:

4.30

com relação às suas intersecções com os eixos coordenados.

→ REsolução:Primeiramente, observamos que, nesse caso, temos: a = 1, b = −6, c = 5.

a. Intersecção com o eixo 0y:Para encontrar o valor de y, basta tomar x = 0 na equação 4.30.Obtemos:

4.31

Portanto, o gráfico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (0,5).Observamos também que, como a = 1 > 0, a concavidade é para cima.

b. Intersecção com o eixo x:Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0, ou seja, pontos x para os quais:

4.32

Vamos determinar o valor de ∆:

4.33

Logo, a função dada admite duas raízes reais, ou seja, seu gráfico cortará o eixo horizontal em dois pontos.

y f x x x= ( ) = − +2 6 5

y( )0 0 6 0 5 52= ( ) − ( ) + =

x xi i2 6 5 0− + =

∆ = − = −( ) − ( ) ( ) = − =b ac2 24 6 4 1 5 36 20 16

84

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4.5 Gráficos das funções polinomiaisGráficos típicos de funções polinomiais são apresentados nas figuras abaixo. O polinômio da

Figura 4.7d é um polinômio par. Os demais gráficos são de funções que não são pares nem ímpares.

Pode-se ver, pelos gráficos, que as funções polinomiais não são limitadas, isto é, elas podem

crescer indefinidamente, decrescer indefinidamente, ou ambos.

A curva associada ao gráfico de uma função polinomial de grau n pode cortar o eixo x um

certo número de vezes. Esse número é igual ou menor do que n. Aos pontos em que o gráfico

intercepta o eixo x damos o nome de raízes do polinômio.

a

b

c d

Figura 4.7: Alguns gráficos de funções polinomiais

85

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Os polinômios, em geral, exibem pontos de máximo ou de mínimo locais. Por exemplo,

o gráfico da Figura 4.7c exibe dois máximos locais e um mínimo local, enquanto que a

Figura 4.7d apresenta dois máximos locais e três mínimos locais.

4.6 Raízes das funções polinomiaisA determinação das raízes de um polinômio de grau n se faz mediante a resolução de uma

equação algébrica. De fato, designando por xi a i-ésima raiz de um polinômio, por definição, xi

deve satisfazer à equação algébrica:

4.34

ou seja,

4.35

Podemos ter até n soluções reais para tal equação. Não existir solução, no conjunto dos

números reais, é, também, uma possibilidade. O estudo das raízes de um polinômio tem desa-

fiado os matemáticos. Assim, desde o século XVI, sabe-se encontrar a solução para as seguintes

equações cúbicas e quadráticas:

4.36

Nos casos mais gerais, o problema é complexo. O caso mais simples entre todos é aquele em

que o polinômio é fatorável, de tal forma que se pode escrevê-lo como produto de polinômios

de primeiro grau:

4.37

Por exemplo, o polinômio dado por 4.14 pode ser escrito como

4.38

P xni( ) = 0

a x a x a x an in

n in

i+ + + + =−−

11

1 0 0...

x mx nx px qx ri i

i i i

3

4 2

0

0

+ − =

+ + + =

P x a x x x x x xnn n( ) = −( ) −( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −( )1 2

P x x x x x x x4 4 213 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )

86

4 Funções Polinomiais

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Ele tem, portanto, quatro raízes e elas são representadas pelo conjunto

4.39

O polinômio ímpar, dado por 4.16, pode ser escrito como

4.40

Ele tem, portanto, cinco raízes, constituindo o conjunto:

4.41

Figura 4.8 Gráfico do polinômio P4 indicando suas raízes.

− −{ }3 2 2 3, , ,

P x x x x x x x x x5 5 313 36 2 2 3 3( ) = − + = −( ) +( ) −( ) +( )

Figura 4.9 Gráfico do polinômio P5 indicando suas raízes.

− −{ }3 2 3, , 0,2,

87

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4.7 Raízes da função quadráticaAnalisaremos, a seguir, o problema da determinação das raízes de uma equação do segundo

grau. A solução desse problema é bastante simples e se aplica a qualquer função polinomial de

segundo grau.

A equação que nos permite determinar as raízes da função quadrática, de acordo com a

notação da seção precedente, é dada por:

4.42

onde a ≠ 0.

De 4.20 vemos que ela pode ser escrita como:

4.43

E, portanto, tais valores, se existirem, devem satisfazer à identidade:

4.44

Ora, como é possível observar, a fim de que existam valores xi que satisfaçam à relação acima,

é necessário que o lado direito de 4.44 seja positivo ou nulo, ou seja:

4.45

Tendo em vista a expressão 4.43, obtemos a seguinte expressão:

4.46

Uma vez que o coeficiente a é não nulo, temos:

4.47

ax bx ci i2 0+ + =

a x ba

b acai +

−

−( )=

24

40

2 2

x ba

b aca ai +

=

−( )=

24

4 4

2 2

2 2

∆

∆ ≥ 0

a x ba ai +

−

∆

=

2 40

2

2

x ba ai +

=

∆2 4

2

2

88

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E, portanto, se ∆ ≥ 0, as raízes são dadas da seguinte maneira:

4.48

Concluímos então que, dependendo do valor de ∆, podemos ter até três possibilidades:

4.49

Assim, para ∆ > 0, encontramos as duas raízes dadas pelos valores:

4.50

Se, no entanto, ∆ = 0, as duas raízes se reduzem a uma só:

4.51

De 4.50 ou 4.51, podemos concluir que a soma das raízes (S  ) e o seu produto (P) são dados,

respectivamente, por:

4.52

Finalmente, é fácil verificar que, em termos das raízes dadas por 4.50 ou 4.51, um polinô-

mio do segundo grau pode ser escrito como:

4.53

Por exemplo, as raízes da função 4.27 são determinadas pela equação:

4.54

x ba ai + = ±

∆2 2

duas raízes reais diferentes

duas raízes reais iguais (uma única raiz)

não há raízes reais

∆ > ⇔∆ = ⇔

00

duas raízes reais diferentesduas raízes reais iguaiis (uma única raiz).não há raizes reais∆ < ⇔

0

x ba a

b b aca

x ba a

b b aca

1 2

2

2 2

2

2 44

2

2 44

2

= − − =− − −

= − + =− + −

∆

∆

x x ba1 2 2

= = −

S x x ba

P x x ca

= + =−

= ⋅ =

1 2

1 2

ax bx c a x bax ca

a x x x x2 21 2+ + = + +

= −( ) −( )

x xi i2 3 2 0− + =

89

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cujas soluções, de acordo com 4.50, são:

4.55

enquanto a equação

4.56

admite apenas uma raiz, já que, nesse caso, ∆ = 0. Tal raiz, de acordo com a expressão 4.51, é

dada por:

4.57

A função 4.29 não tem raízes reais, pois ∆ < 0.

• ExEmplo 2Determine as raízes do polinômio dado por 4.30 (y f x x x= ( ) = − +2 6 5).

→ REsolução:A partir da expressão 4.21, encontramos ∆ = 16 e, portanto,

4.58

x

x

1

2

3 9 82

1

3 9 82

2

=− −

=

=+ −

=

x xi i2 2 1 0− + =

x x1 222

1= = =

Figura 4.10: Gráficos de funções quadráticas exibindo duas, uma ou nenhuma raiz.

∆ = =16 4

90

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e, a partir daí,

4.59

ou seja,

4.60

4.8 Ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática

Finalmente, lembramos que uma parábola exibe um ponto em que a variável y atinge um

valor máximo (ou um valor mínimo). Qualquer que seja o caso (máximo ou mínimo), esse

valor de y será representado genericamente por ym.

O valor da variável independente, x, para o qual ocorre o valor máximo (ou mínimo) da

função polinomial do segundo grau, será designado por xm. Como a cada par de valores das

variáveis corresponde um ponto (x , y) no plano, esse ponto muito especial da parábola é:

4.61

Esse ponto é o vértice da parábola.

Existe uma forma sistemática de determinar o ponto de máximo ou de mínimo de um

polinômio do segundo grau. Para isso, reescrevemos a função do segundo grau utilizando a

expressão 4.20, ou seja,

4.62

Da expressão acima, resulta que o máximo ou o mínimo da função quadrática ocorrerá para o

valor de x, para o qual o primeiro termo entre parênteses do lado direito se anula, isto é, xm é tal que:

4.63

x bai =

− ± ∆=− −( ) ±

( )=

±2

6 42 1

6 42

x

x

1

2

6 42

1

6 42

5

=−

=

=+

=

x ym m,( )

y a x ba a

= +

−

∆

2 4

2

2

x bam + =

20

91

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ou seja, para

4.64

Outro modo de determinar a abscissa do vértice é lembrar que, havendo raízes reais, o

vértice se situa num ponto cuja abscissa é a média aritmética das raízes:

4.65

ao passo que o valor de ym, isto é, o valor máximo (ou mínimo) será determinado substituindo-se

em 4.62 o valor dado por 4.64, ou seja,

4.66

Obtemos, assim, explicitamente:

4.67

Assim, o ponto de máximo ou de mínimo tem coordenadas dadas por:

4.68

Os pontos de mínimo, isto é, os vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29, são dados,

respectivamente, por:

4.69

x bam = − 2

x x x bam =

+= −1 2

2 2

y y x a x ba a

aa am m m= ( ) = +

−

∆

= −

∆

= −

∆2 4

04 4

2

22

2

ya

bacm = −

∆= − +

4 4

2

x y ba

bacm m, ,( ) = − − +

2 4

2

32

14

1 0 0 1, , ,−

( ) ( )

Figura 4.11: Vértices das funções quadráticas 4.27, 4.28 e 4.29.

92

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No caso da função:

4.70

a abscissa do vértice (xv) é dada por:

4.71

ao passo que, de 4.66, vemos que a ordenada do vértice é dada por:

4.72

• ExEmplo 3A Figura 4.12 apresenta o gráfico de uma função quadrática. Escreva a expressão que define a função. Determine as coorde-nadas do vértice:

→ REsolução:Lembrando a forma geral da função quadrática y = ax2 + bx + c, o problema que se coloca é o de determinar os coeficientes a, b, e c.Da Figura 4.12 inferimos que as raízes são x1 = −1 e x2 = 3.Considerando, agora, a forma fatorada de uma função polinomial do segundo grau, escrevemos:

4.73

Resta-nos, portanto, determinar o valor do parâmetro a. Para isso, observe que o gráfico corta o eixo y no ponto (0,2), isto é, para x = 0, temos y = 2:

4.74

Donde inferimos que

4.75

Substituindo esse valor de a em 4.73, obtemos:

4.76

y x x= − +2 6 5

x bav =−

=− −( )( )

=2

62 1

3

yam =−∆

=−( )

= −4

164 1

4

Figura 4.12: Gráfico de uma função quadrática

y a x x x x a x x a x x= −( ) −( ) = +( ) −( ) = − −( )1 221 3 2 3

y a( ) ( )0 2 0 2 0 32= = − ⋅ −

− = ⇔ = −3 2 23

a a

y x x= − − −( )23

2 32

93

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ou, de modo equivalente,

4.77

Para determinar as coordenadas do vértice, lembramos primeiramente que a abscissa do vértice é, essencialmente, a média aritmética das abscissas das raízes. Assim, nesse caso, obtemos:

4.78

Da expressão 4.66, que dá o valor da ordenada do vértice, obtemos:

4.79

Portanto, o vértice é o ponto (1, 8/3). Observe que, nesse caso, a concavidade da parábola é para baixo e a função admite um valor máximo, que é 8/3.

• ExEmplo 4Uma pessoa quer construir um galinheiro de forma retangular, usando um muro reto já construído como um dos lados do galinheiro. Dado que essa pessoa tem material para construir 60 metros de cerca de uma altura fixa, determine os valores de x e z, de modo que a área do galinheiro seja a maior possível (possa abrigar o maior número possível de galinhas).

→ REsolução:Tendo em vista que o galinheiro é retangular, a sua área, denominada y, é dada pelo produto dos lados:

4.80

Os lados x e z devem respeitar a limitação imposta pela quantidade de material à disposição. Assim, escrevemos para a soma dos três lados do galinheiro:

4.81

Donde concluímos que, com o material existente, a relação entre os lados é dada por:

4.82

y x x= − + +23

43

22

x x x bam =

+=− +

=−

=

−

−

=1 2

21 32 2

43

2 23

1

yam =−∆

=−

−

=4

649

4 23

83

Figura 4.13: A situação descrita no Problema 4.

y xz=

x z x+ + = 60

z x= −60 2

94

4 Funções Polinomiais

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

Portanto, escrevendo a área da construção em função do comprimento do lado, x, obtemos:

4.83

Como a < 0, a concavidade da parábola, que é o gráfico da função y = f (x), é para baixo e a função admite um valor máximo para a abscissa dada por:

4.84

Assim, para esse valor de x, o valor do outro lado será dado por:

4.85

Portanto, para que o galinheiro tenha a área máxima, devemos ter:

4.86 Figura 4.14: O problema resolvido.

y x x x x= −( ) = − +60 2 2 602

x x bam= =−

=−−( )

=2

602 2

15

z x= − = − ( ) =60 2 60 2 15 30

x z= =15 30 metros e metros