CAPÍTULO

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston Jr.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Terceira Edição

Tensão e Deformação –

Carregamento Axial

Resistência

dos Materiais

Capítulo 2 – Tensão e Deformacão: Carregamento Axial

2.1 - Introdução2.2 - Deformação Específica Normal no carregamento Axial

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

2.4 - Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

2.9 - Coeficiente de Poisson2.10 - Generalização da Lei de Hooke

2.11 - Dilatação Volumétrica: Módulo de Elasticidade de Volume

2.12 - Deformação de

2 - 2

Elasticidade2.5 - Comportamento Elástico vs. Plástico

2.6 - Deformação de barras sob Cargas Axiais

2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados

2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura

2.12 - Deformação de Cisalhamento

2.13 - Relação entre E, ν e G2.14 – Materiais Compósitos2.15 – Princípio de Saint-Venant2.16 – Concentração de Tensão

Resistência

dos Materiais

2.1 - Introdução

• As deformações em uma estrutura ou membro estrutural são causadas pela aplicação de cargas. Por meio da análise dessas deformações pode-se também determinar as tensões.

• Considerar estruturas como corpos deformáveis permite a determinação de forças e reações que são

2 - 3

permite a determinação de forças e reações que são estaticamente indeterminadas.

• Determinação da distribuição de tensões dentro de um membro também requer considerações de deformações no membro.

• No Cap. 2, as deformações de um membro estrutural sob carregamento axial são de interesse.

Resistência

dos Materiais

2.2 - Deformação Específica Normal no carregamento Axial

2 - 4

tensão

deformação normal

P

A

L

σ

δε

= =

= =

L

A

P

A

P

δε

σ

=

==22

LL

A

P

δδε

σ

==

=

22

deslocamento

deformação normal

−−

δε

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.1

É aplicada uma carga axial em uma barra de comprimento L = 0,600 m. Sabendo que o deslocamento axial é δ = 0,15 mm e que a área da seção transversal é constante, determinar a deformação axial na barra.

30,15 mm 0,15 10 m−×δ

2 - 5

3

6

0,15 mm 0,15 10 m

600 mm 0,600 m

250 10 m/m

250

L

−

−

×= = =

= ×

=

δε

ε µ

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

• Corresponde a uma curva que caracteriza as proprie-dades do material e que não depende das dimensões da amostra do material

• É traçada por meio do ensaio de tração em uma amostra do material

2 - 6

do material

• Por meio das características obtidas pelos diagramas, dividimos o material em: � materiais dúcteis – aço estrutural e outros metais;� materiais frágeis – ferro fundido, vidro, pedra.

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–DeformaçãoEnsaio de tração

2 - 7

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

Materiais Dúcteis“escoamento” à temperaturas

normais

2 - 8

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

Materiais Dúcteis“escoamento” à temperaturas

normais

2 - 9

Estricção- Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo de prova começa a diminuir.

Após ter começado a estricção, um carregamento menor é suficiente para manter o corpo de prova se deformando até romper.

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

Materiais Dúcteis - Alumínio e muitos outros

• Início do escoamento não é caracterizado pelo trecho horizontal (patamar de

2 - 10

(patamar de escoamento).

• Tensão de escoamento obtida pela deformação específica de 0,2%.

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

Materiais Dúcteis

Ductibilidade(alongamento percentual)

0

0

100 rL L

L

−

2 - 11

Sendo:L0 – comprimento inicial do corpo de prova; e Lr – comprimento final (comprimento no instante de

ruptura).

Resistência

dos Materiais

2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação

Materiais Frágeis

2 - 12

A ruptura ocorre sem mudança sensível no modo de deformação.

Resistência

dos Materiais

2.4 - Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

• No trecho reto do diagrama, a tensão é diretamente propor-cional à deformação específica

Eσ = ε E – “módulo de Young” ou “módulo de elasticidade”

2 - 13

“limite de proporcionalidade”

Maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke é

válida

Resistência

dos Materiais

2.5 - Comportamento Elástico vs. Plástico

• Se a deformação desaparecequando a tensão (carga) é removida, o material é dito ter comportamento elástico.

• A maior tensão para o qual isto ocorre é chamada de

2 - 14

• Quando a deformação não retorna a zerodepois da carga ser removida, o material é dito ter comportamento plástico.

isto ocorre é chamada de limite elástico.

Resistência

dos Materiais

2.6 - Deformação de barras sob Cargas Axiais

AE

P

EE === σεεσ

• Da lei de Hooke:

• Da definição de deformação:

L

δε =

• Equacionando e resolvendo para o

2 - 15

• Equacionando e resolvendo para o deslocamento,

AE

PL=δ

• Com variações no carregamento, área da seção transversal ou propriedades do material

∑=i ii

iiEA

LPδ

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.01

Determine a deformação da barra de aço mostrada sob as cargas dadas.

SOLUÇÃO:

1. Divide a barra em componentes nos pontos de aplicação das cargas e mudanças de área;

629 10 psi

1,07 in. 0,618 in

E

D d

= ×= =

2 - 16

2. Faça uma análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas;

3. Encontre o deslocamento total da barra.

Resistência

dos Materiais

SOLUÇÃO:

• Divide a barra em três componentes:

• Análise de corpo livre em cada compo-nente para determinar as forças internas,

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

×=

×−=

×=

P

P

P

• Calculando o deslocamento total,

1P L P LP L P L ∑

2 - 17

221

21

in 9.0

in. 12

==

==

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

( ) ( )

( )

3 31 1 2 2

1 2 3

3 3

6

3

3

1

60 10 12 15 10 121

29 10 0,9 0,9

30 10 16

0,3

75,9 10 in

i i

i i i

P L P LP L P L

A E E A A Aδ

−

= = + +

× − ×= + +

×

×+

= ×

∑

375,9 10 in δ −= ×

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.2

A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD.

A haste AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem área da seção transversal igual a 500 mm2. A haste CD é de aço (E = 200 GPa) e área de 600 mm2.

Para a força de 30 kN mostrada, determine o deslocamento (a) do ponto B; (b) do ponto D; (c) do ponto E.

2 - 18

Resistência

dos Materiais

2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados

• Estruturas nas quais as forças internas e as reações não possam ser determinadas usando apenas as equações da estática são ditas ser estaticamente indeterminadas.

• Uma estrutura será estaticamente indeterminada sempre que possua mais apoios do que são necessários para manter seu equilíbrio.

2 - 19

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.3

A barra AB tem seção transversal de área constante e é presa a suportes fixos em A e B. Uma força P é, então, aplicada verticalmente para baixo no ponto C. Determinar as tensões nas partes AC e BC da barra bem como as reações de apoio.

2 - 20

Resistência

dos Materiais

2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados

Método da superposição:

• Reações redundantes são substituídas por cargas (forças) desconhecidas que, juntamente com as demais cargas aplicadas, devem produzir deformações (ou deslocamentos) compatíveis.

2 - 21

0=+= RL δδδ

• Deslocamentos devidos às cargas reais e às reações redundantes são determinados separadamente e, então, adicionados ou superpostos.

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.4Determine as reações em A e B para a barra de aço e carregamento mostrado, assumindo que a barra é presa a dois apoios fixos.

SOLUÇÃO:

• Considere a reação em B como redundante, retire o apoio neste ponto, e resolva para o deslocamento em B devido às cargas aplicadas,

2 - 22

• Resolva para a reação em A devido às cargas aplicadas e a reação encontrada em B.

• Os deslocamentos devido às cargas e devido à reação redundante devem ser compatíveis, ou seja, a soma de ambos deve ser zero.

deslocamento em B devido às cargas aplicadas, sem a restrição redundante.

• Depois, resolva para o deslocamento em Bdevido a reação redundante em B.

Resistência

dos Materiais

SOLUÇÃO:

• Deslocamento em B devido às cargas aplicadas sem a restrição redundante,

3 31 2 3 4

6 2 6 21 2 3 4

1 2 3 4

94

L1

0 600 10 N 900 10 N

400 10 m 250 10 m

0,150 m

1,125 10i i

i i i

P P P P

A A A A

L L L L

PL

A E Eδ

− −

=

= = = × = ×

= = × = = ×= = = =

×= =∑

2 - 23

1i i iA E E=

• Deslocamento em B devido à restrição redundante,

( )

1 2

6 2 6 21 2

1 2

32

1

400 10 m 250 10 m

0,300 m

1,95 10

B

Bi iR

i i i

P P R

A A

L L

RPLδ

A E E

− −

=

= = −

= × = ×= =

×= = −∑

Resistência

dos Materiais

• Sabendo que os deslocamentos são compatíveis,

( )39

3

0

1,95 101,125 100

577 10 N 577 kN

L R

B

B

R

E E

R

δ δ δ

δ

= + =

××= − =

= × =

2 - 24

• Reação em A devido às cargas e a reação em B

0 300 kN 600kN 577kN 0

323kNy A

A

F R

R

+ ↑ = ⇒ − − + =

=∑

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R

Resistência

dos Materiais

2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura• A mudança de temperatura resulta numa mudança

no comprimento ou deformação térmica.

• Não existirá uma tensão associada com a deformação térmica a menos que o alongamento da barra seja limitado pelos apoios (anteparos).

• Tratando o apoio adicional como redundante e

2 - 25

( ) coef. de dilatação térmica

T P

PLT L

AEδ α δ

α

−= ∆ =

=

• Tratando o apoio adicional como redundante e aplicando o princípio da superposição.

• α é uma constante característica do material cuja unidade é (oC)-1 (“por graus Celsius) ou (oF)-1

Resistência

dos Materiais

2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura

( ) coef. de dilatação térmica

T P

PLT L

AEδ α δ

α

−= ∆ =

=

• Tratando o apoio adicional como redundante e aplicando o princípio da superposição.

2 - 26

( )

0

0

T P

PLT L

AE

δ δ δ

α

= + =

∆ − =

• A deformação térmica e a deformação da força redundante devem ser compatíveis.

( )

( )

P AE T

PE T

A

α

σ α

= ∆−= = − ∆

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.5

A barra ABé perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25oC.

Determine as tensões atuantes nas partes ACe CBda barra para a temperatura de -50oC.

Dados: E= 200 GPa e α = 12×10-6/ oC.

2 - 27

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.6Considere que a barra CDE seja rígida. O cilindro de latão BD tem área da seção transversal igual a 70,7×10-5 m2 e o parafuso AC tem área de 38×10-5 m2 . A estrutura é montada sem nenhum aperto à temperatura T = 20 oC. Determine a tensão no cilindro BD quando sua temperatura é aumentada para 50oC.

Dados:

2 - 28

Dados:

Parafuso de aço com

E = 200 GPa e α = 12×10-6/ oC.

Cilindro de latão com

E = 105 GPa e α = 18,8×10-6/ oC.

Resistência

dos Materiais

2.9 - Coeficiente de Poisson

• Para uma barra delgada homogênea, carregada axialmente:

0=== zyx

x Eσσσε

• O alongamento por uma força P (direção x) é acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal. Assumindo que o material

2 - 29

direção transversal. Assumindo que o material é isotrópico (propriedades não dependem da direção),

0≠= zy εε

• Coeficiente de Poisson é definido como

deformação específica transversal

deformação específica longitudinaly z

x x

ε εν = = − = −ε ε

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.7A barra mostrada é de material homogêneo e isotrópico. Sob a ação da carga axial de 12 kN, o comprimento da barra aumenta em 300 µm e seu diâmetro se reduz em 2,4 µm. Determine o módulo de elastici-dade e o coeficiente de Poisson do material.

2 - 30

Resistência

dos Materiais

2.10 - Generalização da Lei de Hooke

• Para um elemento sujeito a um carregamento multiaxial, os componentes de deformação normal resultantes dos componentes de tensão podem ser determinados do princípio da superposição.

1) deformação está linearmente relacionada à tensão

2 - 31

tensão2) deformações são pequenas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

• Com essas restrições:

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.8Um bloco de aço foi submetido à pressão uniforme P em todas as faces. A aresta AB contraiu de 24 µm. Determine: (a) a variação do comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão P aplicada nas faces. Dados: E = 200 GPa e ν = 0,29.

2 - 32

Resistência

dos Materiais

2.11 - Dilatação Volumétrica: Módulo de Elast. de Volume• Com relação ao estado sem tensão, a mudança no

volume é( )( )( )

( )1 1 1 1 1 1

1 2

dilatação volumétrica

(mudança no volume por unidade de volume)

x y z x y z

x y z x y z

e

E

= + ε + ε + ε − = + ε + ε + ε −

− ν= ε + ε + ε = σ + σ + σ

=

• Para um elemento sujeito à pressão hidrostática uniforme,

• Sujeito a uma pressão uniforme, a dilatação deve ser negativa, portanto

210 <<ν

( )

( )

3 1 2

módulo de elast. volume3 1 2

Pe P

E kE

k

− ν= − = −

= =− ν

2 - 33

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.9Determine a variação de volume do bloco de aço sob pressão hidrostática P = 180 MPa.

Dados: E = 200 GPa e ν = 0,29.

2 - 34

Resistência

dos Materiais

2.12 - Deformação de Cisalhamento

• Um cubo elementar sujeito a tensões de cisalhamento se deformará como um paralelepípedo oblíquo (ou rombóide).

• A deformação de cisalhamento correspondente é quantificada em termos da mudança no

2 - 35

é quantificada em termos da mudança no ângulo entre os lados,

( )xyxy f γτ =

• O pequeno ângulo γxy (deformação de cisalha-mento, expressa em radianos) define a distorção do cubo.

Resistência

dos Materiais

2.12 - Deformação de Cisalhamento

• Um diagrama da tensão cisalhamento vs. deformação de cisalhamento é semelhante ao diagrama da tensão normal vs. deformação normal. Para pequenas deformações,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

2 - 36

onde G é o módulo de rigidez ou módulo de cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal.

• Esta expressão é conhecida como a lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento.

Resistência

dos Materiais

2.12 - Deformação de Cisalhamento

• Para materiais homogêneos e isotrópico, a lei de Hooke na forma generalizada é:

yx zx

yx zy

E E E

E E E

νσσ νσε

σνσ νσε

= + − −

= − + −

2 - 37

e

; ;xy yz zxxy yz zxG G G

τ τ τγ γ γ= = =

yx zz

E E E

E E E

νσνσ σε = − − +

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.10

Um bloco retangular é feito de material comG = 600 MPa. O blocoé colocado entre duas chapas horizontais rígidas. A chapa inferior éfixa, enquanto a chapa superior é sujeita a uma força horizontalP.Sabendo que a chapa superior se move 0,8 mm sob a ação da forçaP,determine:(a) a deformação de cisalhamento média no bloco;(b) aforçaP necessária que atua na chapa superior.

2 - 38

Resistência

dos Materiais

SOLUÇÃO:

(a) Determine a deformação angular média ou a deformação de cisalhamento do bloco

0,8mmtan

40mm

0,020rad

xy xy

xy

γ γ

γ

≈ =

=

(b) Aplique a lei de Hooke para a tensão de cisalhamento e deformação para

2 - 39

(b) Aplique a lei de Hooke para a tensão de cisalhamento e deformação para encontrar a tensão de cisalhamento correspondente.

( )( )600 MPa 0,020rad 12 MPaxy xyGτ γ= = =

• Use a definição de tensão de cisalhamento para encontrar a força P.

( )( )( )6 312 10 Pa 0,160m 0,050m 96 10 NxyP Aτ= = × = ×

96kNP =

Resistência

dos Materiais

2.13 - Relação entre E, ν e G• Uma barra delgada carregada por uma

força axial P apresenta alongamentona direção axial e contraçãonas direções transversas.

• Um elemento cúbico orientado como na figura (a) se deformará em um paralelepípedo retangular. A carga axial produz apenas deformação normal.

2 - 40

• Se um cubo elementar é orientado como na figura (b), a face mostrada na figura se transforma em um losango. A carga axial também produz uma deformação de cisalhamento, além da normal.

produz apenas deformação normal.

( )2 1

EG

ν=

+

• As constantes E, ν e G se relacionam como:

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.11

Um círculo de diâmetro d = 230 mm é desenhado em uma chapa de alumínio com espessura t = 20 mm. Forças agindo no plano da chapa causam tensões normais σx = 84 MPa e σz = 140 MPa. Para E = 70 GPa e ν = 1/3, determine as variações que ocorrem:

a) No comprimento do diâmetro AB,

b) No comprimento do diâmetro CD,

2 - 41

c) Na espessura da chapa, e

d) No volume da chapa.

Resistência

dos Materiais

SOLUÇÃO:

• Aplicando a lei de Hooke generalizada para encontrar as três componentes da deformação normal:

3

1 14084 0

70 10 3

yx zx E E E

νσσ νσε = + − −

= − − ×

• Deslocamentos:

( )( )6533 10 m/m 230mmAB xdδ ε −= = + ×

( )( )61600 10 m/m 230mmCD zdδ ε −= = + ×

( )( )61067 10 m/m 20mmt ytδ ε −= = − ×

3122,6 10 mmABδ −= + ×

3368 10 mmCDδ −= + ×

2 - 42

3

6

6

6

84 070 10 3

533 10 m/m

1067 10 m/m

1600 10 m/m

yx zy

yx zz

E E E

E E E

σνσ νσε

νσνσ σε

−

−

−

= − − ×

= + ×

= − + −

= − ×

= − − +

= + ×

( )( )t y

321,3 10 mmtδ −= − ×

• Variação do volume:( )

( )

6

6

6

533 1067 1600 10

1067 10

1067 10 380 380 20

x y ze

V eV

ε ε ε −

−

−

= + + = − + ×

= ×∆ = = × × ×

33081 mmV∆ = +

Resistência

dos Materiais

Princípio de Saint-Venant• Cargas transmitidas por placas rígidas

resultam em uma distribuição uniforme de tensão e deformação.

• A distribuição de tensões e

• Cargas concentradas resultam em grandes valores de tensão na vizinhança do ponto de aplicação da carga.

2 - 43

• Princípio de Saint-Venant:a distribuição de tensão pode ser adotada independente do modo de aplicação do carregamento, exceto na vizinhança do ponto de aplicação da carga.

• A distribuição de tensões e deformações torna-se uniforme em uma distância relativamente pequena dos pontos de aplicação das cargas.

Resistência

dos Materiais

Materiais Compósitos

• Materiais compósitos são formados de lâminasde fibras de grafite, vidro ou polímeros incrustados em uma resina matriz.

zz

yy

xx EEE

σσσ ===

• Tensões normais e deformações são relacionadas à lei de Hooke, mas com módulo de elasticidade dependente da direção,

2 - 44

z

zz

yy

x

xx EEE

εεε===

x

zxz

x

yxy ε

ενεε

ν −=−=

• As contrações transversais são relacionadas pelos valores dos coeficientes de Poisson dependentes da direção, ou seja,

• Materias com as propriedades mecânicas dependentes da direção são conhecidos como anisotrópicos.

Resistência

dos Materiais

Concentração de tensão: Furo

2 - 45

Descontinuidades na seção transversal podem resultar em altas tensões localizadas ou concentradas.

ave

max

σσ=K

Resistência

dos Materiais

Concentração de tensão: Filete (cantos arredondados)

2 - 46

Resistência

dos Materiais

Exemplo 2.12

Determine a maior carga axial P que pode ser seguramente suportada por uma barra plana de aço consistindo de duas porções, ambas com 10 mm de espessura, e respectivamente com 40 e 60 mm largura, conectadas por filetes de raio r = 8 mm. Assuma que a tensão normal admissível seja de 165 MPa.

2 - 47

Resistência

dos Materiais

• Determine as razões geométricas e encontre o fator de concentração de tensão pela Fig. 2.64b.

• Encontre a tensão normal média admissível usando a tensão normal admissível do material e o fator de

SOLUÇÃO:

60 mm 8mm1,50 0,20

40 mm 40 mm

1,82

D r

d d

K

= = = =

=

2 - 48

admissível do material e o fator de concentração de tensão.

• Aplique a definição da tensão normal para encontrar a carga admissível.

maxmed

165MPa90,7MPa

1,82K

σσ = = =

( )( )( )3

40mm 10mm 90,7MPa

36,3 10 N

medP A= σ =

= ×36,3kNP =