Um Estudo sobre Lógica Modal

Universidade Federal de Pelotas

Instituto de Física e Matemática - IFM

Curso de Bacharelado em Informática

UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL

Fernanda Oviedo Bizarro

Pelotas - RS

1998

ESTA CAIXA DEVERÁ SER PREENCHIDA POR UM BIBLIOTECÁRIO

Fernanda Oviedo Bizarro

UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL

Monografia apresentada ao Curso de Bachareladoem Informática do Instituto de Física e Matemáticada Universidade Federal de Pelotas, como requisitoparcial à obtenção do título de Bacharel em Informática.Área de Concentração ou ênfase: Sistemas de ComputaçãoOrientador: Carlos Antônio Pereira Campani Universidade Federal de Pelotas

Pelotas, RS1998

Monografia defendida e aprovada, em 16 de janeiro de 1998, pela banca

examinadora constituída pelos professores:

Prof. Carlos Antônio Pereira Campani - Orientador

Prof. Luiz Alberto Brettas

Profª Débora Schuch da Rosa

Dedico este trabalho carinhosamente à minha mãe e ao meu irmão

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente à minha mãe, pela paciência e dedicação; ao meu

irmão pelo companheirismo sempre mostrado; ao meu pai, que com certeza está

torcendo por mim; ao meu orientador, pela oportunidade e atenção no desenvolvimento

desse trabalho; a todos os colegas e amigos, que de alguma forma sempre me

incentivaram.

ii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 011.1 Lógica Modal............................................................................................... 011.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação......................................................... 032 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE.......... 05

3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL.................................................... 073.1 Sistema K..................................................................................................... 073.1.1 Diagrama.................................................................................................... 073.1.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 083.2 Sistema T...................................................................................................... 093.2.1 Diagrama.................................................................................................... 093.2.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 103.3 Sistema K4.................................................................................................... 113.3.1 Diagrama..................................................................................................... 113.3.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 123.4 Sistema S4.................................................................................................... 123.4.1 Diagrama..................................................................................................... 133.4.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 133.5 Sistema S5.................................................................................................... 143.5.1 Diagrama..................................................................................................... 143.5.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 153.6 Sistema Deôntico (D) ................................................................................... 153.6.1 Diagrama..................................................................................................... 163.6.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 163.7 Resumo......................................................................................................... 174 A FÓRMULA DE BARCAN................................................................. 18

5 SISTEMA DE TABLEAU..................................................................... 205.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 215.2 Sistema de Tableau com Unificação............................................................ 266 B-RESOLUTION DE KONOLIGE..................................................... 296.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 296.2 Lógica Modal de Primeira Ordem............................................................... 337 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS............................. 357.1 Lógica Modal................................................................................................ 357.2 P-Lógica........................................................................................................ 367.2.1 Sintaxe da P-Lógica..................................................................................... 367.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica............... 377.4 Forma Normal Conjuntiva.......................................................................... 417.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos.............................. 417.6 Unificação..................................................................................................... 428 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS....................................... 46

iii

8.1 Sistema K...................................................................................................... 468.2 Sistema T...................................................................................................... 568.3 Sistema D...................................................................................................... 608.4 Sistema K4.................................................................................................... 628.5 Sistema S5..................................................................................................... 659 CONCLUSÕES.......................................................................................... 70

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. 71

iv

LISTA DE FIGURAS

1 - Acessibilidade no Sistema K (a)....................................................................... 082 - Acessibilidade no Sistema K (b)....................................................................... 083 - Acessibilidade no Sistema T............................................................................. 104 - Acessibilidade no Sistema K4........................................................................... 115 - Acessibilidade no Sistema S4........................................................................... 136 - Acessibilidade no Sistema S5............................................................................ 147 - Acessibilidade no Sistema D............................................................................. 168 - Um exemplo de Modelo.................................................................................... 31

v

Resumo

Lógica modal é uma lógica não clássica que trabalha com os conceitos de

necessidade, possibilidade e mundos possíveis. Este estudo apresenta três métodos para

provas de teoremas: Sistema de tableau, B-Resolution de Konolige e Resolução

utilizando World-Paths, desenvolvendo exemplos e, em cima desses exemplos, fazendo

comparações entre os métodos. Nossa abordagem teve a finalidade de esclarecê tais

métodos e verificar a eficiência de cada um, visto que, em todo material pesquisado, os

métodos eram apresentados separadamente, por autores diferentes. Além disso, o

trabalho esclarece o conceito de sub-resolução proposto por Konolige, que é um método

de resolução por redução de operadores modais. Este estudo têm aplicação na área de

Inteligência Artificial, na construção de agentes inteligentes.

vi

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre lógica modal,

apresentado métodos de provas de teoremas para esta lógica. Durante a fase de pesquisa

bibliográfica, encontramos livros e artigos que traziam métodos de prova, porém com

pouca clareza. Outro aspecto que nos chamou atenção foi o fato de que tais métodos

eram mostrados separadamente, em artigos separados e por autores diferentes. Essas

duas observações foram nossa maior dificuldade e principal motivação para que

desenvolvêssemos um material reunindo os métodos encontrados, exemplificando provas

de fórmulas para cada método e, principalmente, fazendo a comparação entre esses

métodos mediante exemplos. Tal enfoque marca o ineditismo de nosso trabalho e é nossa

principal contribuição.

Os métodos de provas de teoremas que iremos apresentar e comparar são:

Sistema de tableau;

B-Resolution de Konolige;

Resolução utilizando World-Paths.

Cada método tem um capítulo dedicado à sua apresentação e à explicação de

seu algoritmo, tanto para a lógica proposicional, quanto para a lógica de predicados de

primeira ordem, em vários sistemas da lógica modal. Os mesmos exemplos são

desenvolvidos para todos os métodos, para que a comparação entre eles seja clara e

objetiva, facilitando o entendimento dos métodos ao leitor e uma possível escolha de

qual método adotar futuramente.

1.1 Lógica Modal

Lógica modal é uma lógica não clássica que se preocupa com argumentos

que envolvem os conceitos de necessidade e possibilidade. Lógicas não clássicas

[TUR84] são aquelas que extendem ou rivalizam a lógica clássica [CAS87].Uma verdade

necessária é a verdade que não poderia ser contrariada; uma verdade possível é aquela

que poderia ser. A distinção é explicada através de referência à noção de mundo possível:

uma verdade necessária é verdade em todos os mundos possíveis, enquanto que uma

verdade possível é verdade no mundo real mas não em todos os mundos possíveis.

A distinção entre verdades necessárias e possíveis é metafísica e não deveria

ser confundida com a distinção entre verdades a priori e a posteriori. Uma verdade a

priori é aquela que pode ser conhecida independentemente da experiência, e uma

verdade a posteriori é aquela que não pode. Tais noções atraem considerações

epistemológicas. Não é possível em um texto como este dar conta de quaisquer desses

assuntos. A área inteira sofre com dificuldades filosóficas. Ao invés, nós nos

concentraremos nos aspectos formais do assunto e sua possível aplicação à ciência da

computação.

Nesta seção nós nos envolveremos com lógica modal e sua interpretação

semântica. A linguagem modal, LML, é obtida da linguagem do cálculo de predicado (L)

pela adição de dois operadores novos: (pode ser lido como “é necessário que”) e

(pode ser lido como “é possível que”). Mais precisamente, LML é obtido de L pela adição

da seguinte regra sintática: se P é uma fórmula bem formada de LML então P e P

também são.

Diferente dos conetivos clássicos ( , , , e ) estes operadores não

possuem uma interpretação verdade-funcional. Ao invés, representam uma noção de

mundos possíveis. A é verdade se A é verdade em algum mundo possível, e P é

verdade se A é verdade em todo mundo possível. Para fazer estes assuntos mais precisos

formalmente, nós precisamos introduzir a noção de uma estrutura modal [TUR84].

Definição 1.1. Um estrutura modal M é uma estrutura (W, D, , F) onde:

(i) W é um conjunto não-vazio (de mundos possíveis);

(ii) D é um domínio não-vazio de indivíduos;

(iii) é uma relação binária de acessibilidade em W;

(iv) F é uma função que atribui a cada par que consiste em um símbolo funcional (n-

ário, n 0) e um elemento w de W, uma função de D n D, e para cada par que consiste

de um símbolo relacional (n-ário, n>0) e um elemento w de W, um elemento de 2 Dn .

A interpretação de LML em tal estrutura modal difere da interpretação do

cálculo de predicados, pois em tal estrutura o domínio W representa um papel crucial.

2

Porém, a interpretação ainda é determinada com relação a uma função de substituição g

que nomeia elementos de D para variáveis individuais. (Para conveniência nós

escreveremos w w ' para indicar que <w, w'> satisfaz a relação ). Nós

empregaremos a notação

M |= w, g P

para indicar que g satisfaz à fórmula bem formada P, para o mundo w, na estrutura M,

onde o símbolo |= representa a relação de conseqüência lógica. Isto é definido

recursivamente como segue.

(1) M |= w, g C(t0,..., tn-1) se e somente se <Val(t0, w, g), ..., Val(tn-1, w, g)> F(w, C)

onde Val se e uma variavel

Val Val se , , ) ( , , )

( )

( , )( ( ' , , ), , ( ' , , ) ( ' 't w g

g t t

F w f t w g t w g t f t tm m

0 1 0 1

(2) M |= w, g t1 = t2 se e somente se Val (t1, w, g) = Val(t2, w, g)

(3) M |= w, g P Q se e somente se M |= w, g P e M | = w, g Q,

(4) M |= w, g P se e somente se M |= w, g P ,

onde |= representa que a fórmula não é válida,

(5) M |= w, g xP se e somente se para cada d em D, M |= w, g(d|x) P

onde g(d/x) representa a substituição uniforme de x por d,

(6) M |= w, g P se e somente se existe um w’ W tal que w w ' e M |= w', g P.

Além disso, nós definimos P = df P .

1.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação

Lógica modal foi utilizada por pequisadores de Inteligência Artificial - IA,

onde a interpretação de operadores modais é fornecida por tentativas para construir

teorias de crença e conhecimento [TUR84, CER84]. Essas teoria são fundamentais no

desenvolvimento de agentes inteligentes. Nós concluiremos este capítulo dando uma

explicação de tal aplicação.

Em sua tese e em um paper posterior, Moore desenvolveu uma lógica modal

de conhecimento e ação [TUR84, CER84, HAR79]. Moore adotou a noção de mundos

possíveis para a lógica de conhecimento introduzida por Hintikka (1962, 1971). A

3

semântica de Kripke para necessidade e possibilidade pode ser convertida em semântica

de Hintikka para conhecimento mudando a interpretação da relação de acessibilidade

. Para analisar comandos da forma KNOW(p, P) Moore, seguindo Hintikka, apresenta

para uma relação K, tal que K(p, W1, W2) significa que o mundo possível W2 é compatível

ou consistente com o que o agente p sabe do mundo possível W1. Em outras palavras,

tudo o que p conhece de W1, ele pode conhecer da mesma maneira em W2. O predicado

KNOW(p, P) representa o que p conhece a respeito de P no mundo atual.

A teoria é declarada de fato em metalinguagem - uma linguagem de mais alta

ordem que não só permite quantificação em cima de mundos possíveis mas também é

rica o bastante em codificação para representar fórmulas bem formadas da linguagem

objeto como condições. Por exemplo, a fórmula da linguagem objeto

KNOW(JOHN, xP x( ) ) (1)

é representado na metalinguagem pelo termo de metalinguagem

KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ) (2)

onde JOHN e x são constantes da metalinguagem e KNOW, EXIST e P são funções da

metalinguagem. Desta maneira (2) é um termo do qual nós queremos afirmar sua

verdade. Isto é alcançado introduzindo um predicado TRUE(predicado DEMO da

metalinguagem) na fórmula:

TRUE(KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ).

A formalização da análise de conhecimento em mundos possíveis permite

serem feitas inferências sobre o conhecimento de um agente em uma construção de

primeira-ordem. Esta técnica de formalizar uma explicação semântica de alguma noção

intuitiva como teoria de primeira-ordem parece ser útil em IA mesmo quando tudo

parece bastante direto. Pelo menos Moore foi explicitamente guiado por considerações

semânticas.

4

2 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE

Para apresentarmos um sistema semântico para a lógica modal, é necessário

construirmos uma estrutura capaz de conter as noções de mundos, mundos possíveis ou

acessíveis. Uma estrutura como esta, que pudesse prover o significado de diversos

sistemas de lógicas modais, foi proposta por Kripke [COS92].

Definição 2.1: Uma estrutura é definida como a terna ordenada:

W , ,

onde:

W é um conjunto não vazio dos referidos mundos possíveis;

é uma relação binária entre mundos possíveis chamada relação de

acessibilidade e

é uma função binária, chamada função de valoração, definida como:

: ,W V F

onde é o conjunto de todos os símbolos proposicionais.

Definição 2.2: Sejam o conjunto de todas as fórmulas, P e Q e

W , , , uma estrutura onde w é um mundo possível qualquer de W ( w W ).

Definimos a noção de satisfação ( ), sendo uma relação com assinatura

W

e satisfazendo as seguintes condições:

( S ) w P se e somente se w P,

onde indica que a fórmula P não é válida;

( S ) w P Q se e somente se w P e w Q;

( S ) w P Q se e somente se w P ou w Q;

( S ) w P Q se e somente se w P ou w Q;

( S�) w P se e somente se para todo w W' t.q. w w, ' , w’ P;

( S ) w P se e somente se existir w W' t.q. w w, ' , w’ P.

Seja M uma estrutura. Dizemos que M satisfaz P se existe algum mundo

w W tal que w P. Uma fórmula P é válida para M se para todo mundo w W , w

P.

5

3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL

Dependendo das características da relação de acessibilidade , existem

diversos sistemas de lógica modal [COS92]. Essas características são: reflexividade,

simetria, transitividade e serialidade. Os sistemas podem ter acessibilidade com apenas

uma dessas características, alguma combinação delas ou nenhuma delas.

Os sistemas que apresentam a propriedade serial são chamados deônticos e

possuem a característica de que todo mundo existente possui pelo menos um mundo que

pode acessar. Este sistema está ligado à idéia de moralidade, na qual se acredita que

sempre existirá um mundo mais perfeito que o atual.

3.1 Sistema K

Os axiomas P P e ( )P Q ( P Q) são válidos em

quaisquer classes de estruturas (sistemas) modais, independentemente das características

da relação de acessibilidade entre os mundos.

A fórmula ( )P Q ( P Q) é conhecida como fórmula K e é válida

em todos os sistemas da lógica modal, sem restrições. Sistema K é o sistema da lógica

modal que tem como exigência mínima a validação da fórmula K.

3.1.1 Diagrama

Suponhamos que a fórmula ( P ( ))P Q Q seja válida em uma

estrutura W , , e que P ( )P Q seja satisfeita em um mundo possível

w W . Então, por S, a fórmula Q deve ser satisfeita em w, assim como P e

( )P Q , por S , como ilustra a FIG. 1.

( P ( ))P Q Q

7

P ( )P QQ P w’ ( )P Q

w w’’

FIGURA 1 - Acessibilidade no Sistema K (a)

Mas, pelo significado do operador , é preciso que P, P Q e Q sejam

satisfeitas em todos os mundos w’, acessíveis a partir de w, como ilustra a FIG. 2.

( P ( ))P Q Q P P ( )P Q ( )P QQ Q P w’ ( )P Q

P( )P QQ

w w’’

FIGURA 2 - Acessibilidade no Sistema K (b)

Portanto, o diagrama apresentado justifica o axioma ( )P Q ( P

Q), característico do sistema K.

3.1.2 Apresentação Axiomática

O conjunto de axiomas e regras de inferência é o mesmo da Lógica

proposicional, acrescido da fórmula K e da regra de inferência de necessitação.

8

a) Axiomas:

P Q P ( ) (Tautologias)

( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

b) Regras de Inferência

P, P Q (Modus Ponens)

Q

P (Necessitação)

P

onde P e Q são fórmulas modais proposicionais e é um conjunto de fórmulas.

A regra da necessitação diz que se uma fórmula é um teorema então ela deve

ser um teorema em todos os mundos possíveis. Os teoremas da Lógica Modal devem ser

aceitos em todos os mundos possíveis.

3.2 Sistema T

Nesse sistema, a relação de acessibilidade é reflexiva, ou seja, dada uma

estrutura W , , , para todo w W , w w, . De acordo com essa condição, a

fórmula P P é um axioma. Esta fórmula é característica desse sistema da lógica

modal e fornece exatamente a noção de reflexividade - um mundo ser acessível por ele

mesmo.

3.2.1 Diagrama

Seja a fórmula P válida em uma estrutura W , , e P seja satisfeita

em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em todos

os mundos Ww ' acessíveis a partir de w. Como a relação de acessibilidade é

reflexiva (w é acessível a partir dele mesmo), a fórmula P também deve ser satisfeita em

w, como mostra a FIG. 3.

9

P PP

w’

P

w w’’

FIGURA 3 - Acessibilidade no Sistema T

Assim, verificamos que a fórmula P P é um axioma para todos os

sistemas com relação de acessibilidade reflexiva.


Nesse sistema temos todos os axiomas e regras de inferência do sistema K,

mais o axioma T.

a) Axiomas:


( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

P P (T)



Q

10

P (Necessitação)

P

3.3 Sistema K4

Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade transitiva,

ou seja, dada uma estrutura W , , , para todo w W , se w w, ' e

w w' , ' ' , então w w, ' ' . Sistemas da lógica modal com acessibilidade transitiva

são caracterizados pelo axioma P P.

3.3.1 Diagrama:



os mundos acessíveis a partir de w. w1 é acessível diretamente, e os demais acessíveis

transitivamente. Dessa maneira, P também é satisfeito em todos os mundos acessíveis a

partir de w1, e também para os demais mundos, portanto P é satisfeito em todos os

mundos. Daí, P é satisfeito em w, como mostra a FIG. 4.

P P P P P P P

P w1 w2 w3

w

FIGURA 4 - Acessibilidade no Sistema K4

11

Assim, verificamos que a fórmula P P é um axioma para todos os

sistemas com relação de acessibilidade transitiva. Observa-se que a relação reflexiva

existente nos mundos w1, w2 e w3 é decorrente do fato que w'=w'' é possível.


Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K,

mais o axioma K4.

a) Axiomas:


( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

P P (K4)



Q

P (Necessitação)

P

3.4 Sistema S4

Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade reflexiva e

transitiva, ou seja, dada uma estrutura W , , , para todo w W , ww, e, se

w w, ' e w w' , ' ' , então w w, ' ' .

12

3.4.1 Diagrama:

O diagrama nesse sistema é semelhante ao do sistema K4. A diferença é a

relação de acessibilidade que, além de transitiva, é reflexiva, como ilustra a FIG. 5.

P P P P P P P P P w1 w2 w3

w

FIGURA 5 - Acessibilidade no Sistema S4


Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T,

mais o axioma K4.

a) Axiomas:


( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

PP (T)

P P (K4)



Q

13

P (Necessitação)

P

3.5 Sistema S5

Nesse sistema, a relação de acessibilidade é reflexiva, transitiva e

simétrica. Entenda-se relação de acessibilidade simétrica como aquela onde, dada uma

estrutura W , , , se w w W, , w w, , então w w , . De acordo com

essa condição e as demais já apresentadas para reflexividade e transitividade, a fórmula

característica deste sistema da lógica modal é P P .

3.5.1 Diagrama


em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em algum

mundo w’ acessível a partir de w. Suponhamos que em nosso esquema este mundo seja

w2. Como w2 é acessível a partir dos demais mundos, então P é satisfeita em todos os

mundos acessíveis a partir de w. Assim, como por S , P é verdadeiro em w,

podemos verificar que P P é um axioma para este sistema de lógica modal, como

ilustra a FIG. 6.

P PP P

P

w w1 w2

FIGURA 6 - Acessibilidade no Sistema S5

14


Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T,

mais o axioma S5.

a) Axiomas:


( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

PP (T)

P P (S5)



Q

P (Necessitação)

P

3.6 Sistema Deôntico (D)

No sistema deôntico (D) os modelos possuem relação de acessibilidade

serial, ou seja, dada uma estrutura W , , , para todo w W existe um w W' , tal

que w w, ' . Nesse sistema, modalidade é relacionada com moral, ou seja, um

mundo possível como sendo uma versão melhor que o mundo atual. Temos como

axioma característico desse sistema ou o axioma P P , ou o axioma P P.

15

3.6.1 Diagrama



os mundos w’ acessíveis a partir de w. Portanto P é satisfeita em w’ . Assim, como P é

satisfeita em algum mundo acessível a partir de w, P é satisfeita em w, como mostra a

FIG. 7.

P P

P w w’

FIGURA 7 - Acessibilidade no Sistema D


Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K,

mais um dos axiomas D.

a) Axiomas:


( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q

( ) (( ) ) P Q P Q P

( )P Q ( P Q) (K)

P P (D) ou

P P (D’)



Q

P (Necessitação)

P

16

3.7 Resumo

A TAB. 1 apresenta um resumo das características dos sistemas da lógica

modal vistos neste capítulo.

TABELA 1 - Resumos das características dos sistemas da lógica modalSistema Relação de Acessibilidade Axiomas

Sistema K ( )P Q ( P Q)Sistema T Reflexiva ( )P Q ( P Q)

P PSistema K4 Transitiva ( )P Q ( P Q)

P PSistema S4 Reflexiva e Transitiva ( )P Q ( P Q)

P P

P P.Sistema S5 Reflexiva, Transitiva e

Simétrica

( )P Q ( P Q)

P P

P PSistema Deôntico (D) Serial ( )P Q ( P Q)

P P ou

P PSistema KB Simétrica ( )P Q ( P Q)

P P ou

P PSistema B Reflexiva e Simétrica ( )P Q ( P Q)

P P

P P ou

P P

17

4 FÓRMULA DE BARCAN

A lógica modal de primeira ordem poderia ser uma extensão da lógica de

primeira ordem obtida pela adição dos operadores modais, como a lógica modal

proposicional. Porém, problemas relacionados a existência de vários mundos possíveis e

domínios diferentes, tornam a extensão de uma lógica para outra um passo mais

complexo.

Uma interpretação para a lógica modal de primeira ordem deve considerar

questões relacionadas à possibilidade de existência de diversos mundos, ao passo que a

lógica clássica de primeira ordem considera indivíduos em somente um universo. Assim

questões, como as abaixo, devem ser consideradas antes de se criar uma semântica para

a linguagem:

um indivíduo que pertence a um mundo possível w, pode não existir em algum outro

mundo possível acessível a partir de w, direta ou indiretamente?

podemos ter novos indivíduos em um mundo alternativo?

uma constante pode ser atribuída a diferentes indivíduos em diferentes mundos

alternativos?

Em 1946, R.C. Barcan levantou a questão sobre a aceitação da seguinte

fórmula, chamada fórmula de Barcan [COS92, TUR84]:

x( P x( )) ( ( ( )))x P x .

De fato, suponha que o antecedente da fórmula de Barcan seja satisfeito no

mundo w (isto é, todos os elementos de w têm a propriedada associada a P em todos os

mundos acessíveis a partir de w).

Imaginemos um mundo w1, acessível a partir de w, no qual existam elementos

b não existentes em w. Da aceitação do antecedente (todos os elementos de w possuem

propriedade associada a P em todos os mundos acessíveis a partir de w) não podemos

concluir que b possua propriedade associada a P.

Logo, da aceitação do antecedente em w não segue a aceitação do

conseqüente ( ( ( )))x P x em w, pois isto significaria que em cada mundo

18

acessível a partir de w inclusive o mundo w1, todos os seus elementos (inclusive b) têm

propriedade associada a P, em cada um desses mundos. Portanto, se aceitarmos a

fórmula de Barcan não podemos ter a presença de novos elementos nos mundos

possíveis acessíveis a partir de um outro.

A aceitação dessa fórmula impõe um domínio constante ou decrescente nos

mundos possíveis.

A aceitação da reversa da fórmula de Barcan, isto é:

( ( ( )))x P x x( P x( )) ,

impõe um domínio constante ou crescente nos mundo possíveis. A aceitação da fórmula

de Barcan e sua reversa, implica um domínio constante.

19

5 SISTEMA DE TABLEAU

Uma refutação [CAS87, GUE88] baseada em tableau [COS92] para a lógica

modal exige a criação de diversos sub-tableaux, como que para simular a mudança entre

diversos mundos. Além disso, a criação de sub-tableaux e a forma com que as

informações circulam por esses tableaux será influenciada pela sistema em que nos

encontramos, de tal forma que para cada sistema teremos um conjunto específico de

regras de tableau.

Se a fórmula de Barcan e sua reversa são aceitas como axiomas, então as

regras do sistema implicam na adição de fórmulas a sub-tableaux já existentes, gerando a

necessidade de um mecanismo para nomear sub-tableaux. Adotaremos como básico o

sistema de tableau onde os sub-tableaux podem ser referenciados.

Definição 5.1.1 Um ramo de um tableau é dito ramo fechado se ele

contiver P e P , para qualquer fórmula P.

Definição 5.1.2 Um tableau T é dito ser um tableau fechado se cada um de

seus ramos for fechado.

Definição 5.1.3 Um prefixo é qualquer expressão utilizada para nomear um

tableau que pode aparecer na refutação de uma determinada fórmula.

Desta maneira, uma fórmula em uma refutação por tableau é unicamente

identificada pelo par ( , )T P , onde T é o prefixo do tableau no qual a fórmula P ocorre.

Além disso, para administrar a criação de tableau e adição de fórmulas a tableau

existentes, foi criado o operador , que aplicado a um prefixo T e a uma fórmula P ou

cria um novo tableau, de nome T, ou adiciona P a um tableau já existente, designado por

T.

Na seção 5.1 apresentaremos o sistema de tableau para lógica modal

proposicional, para os sistemas K, T, D, K4, S4 e S5 e na seção 5.2 apresentaremos um

sistema de tableau com unificação para lógica modal de primeira ordem, para o sistema

D, baseados no material escrito por Costa [COS92]. Serão desenvolvidas provas de

fórmulas válidas nesses sistemas. Essas mesmas fórmulas serão utilizadas para provas

20

nos métodos de resolução de Konolige e por World-Paths, para fins de comparação entre

os métodos.

5.1 Lógica Modal Proposicional

Sistema K

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

Regras Tipo E P

( ' , )T P

P

T P( ' , )

Onde T’ é um tableau previamente gerado por

aplicação da regra tipo F (que será vista a seguir) a

uma fórmula do ramo.

Regras Tipo FP

T P( ' , ) P

( ' , )T POnde T’ é um novo tableau.

21

Sistema T

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

Regras Tipo E P

( ' , )T P

P

T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por

aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo.

Regras Tipo E-RP

P

P

P

Regras Tipo FP

T P( ' , ) P


Sistema Deôntico (D)

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q Regras Tipo E P

( ' , )T P

P



Regras Tipo F

22

P

T P( ' , ) P


Sistema K4

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

Regras Tipo E P

( ' , )T P

P



Regras Tipo E-T P

( ' ,T P)

P



Regras Tipo FP

T P( ' , ) P


Sistema S4

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

Regras Tipo E

23

P

( ' , )T P

P



Regras Tipo E-RP

P

P

P

Regras Tipo E-T P

( ' ,T P)

P



Regras Tipo FP

T P( ' , ) P


Sistema S5

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

Regras Tipo E P

( ' , )T P

P



Regras Tipo E-RP

P

P

P

Regras Tipo E-T P

P


24

( ' ,T P) aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo.

Regras Tipo E-S P

P

P

PRegras Tipo F

P

T P( ' , ) P


Regras Tipo F-SP

T P( ' , ) P

( ' ,T P)Onde T’ é um tableau previamente gerado.

25

5.2 Sistema de Tableau com Unificação

Iniciaremos a apresentação desse sistema de refutação [COS92] com

algumas considerações necessárias para obtenção da forma normal de Skolem de uma

fórmula dada.

As formas normais de Prenex e Skolem na lógica modal são obtidas como na

lógica clássica, considerando somente os operadores externos aos operadores modais.

Para exemplificar, vamos encontrar uma das formas normais de Skolem da fórmula

x yP x y z( , ) R z( )

Skolemizando,

x yP x y z( , ) R z( )

z x( yP x y( , ) R z( )

z x( yP x y( , ) R z( )

z( yP f z y( ( ), ) R z( )

temos

z( yP f z y( ( ), ) R z( ) )

como uma de suas formas normais de Skolem.

Teorema 5.2.1 Seja P uma fórmula na forma normal de Prenex e P’ a sua

forma normal de Skolem correspondente. Então P é insatisfatível se e somente se P’ o

for.

Regras do sistema de tableau com unificação

Regras Tipo A:P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

( )P Q

P

Q

P

P

Regras Tipo B P Q

P Q

P Q

P Q

( )P Q

P Q

26

Regras Tipo C

xP

xP

P x yy ( / )

xP

xP

P x yy ( / )

Onde a variável y é nova para o tableau e Py é obtida

conforme definido abaixo.

Regras Tipo DxP

P x t( / )

xP

P x t( / )Onde t é um termo nova para o tableau

Regras Tipo E P

( ' , )T P

P



Regras Tipo FP

T P( ' , ) P


Na utilização das regras do sistema de tableau com unificação devemos

tomar os seguintes cuidados:

em qualquer estado do tableau, qualquer fórmula está na forma normal de

Skolem;

o algoritmo de unificação é usado a fim de se obter pares complementares de

fórmulas atômicas;

depois de cada aplicação das regras E ou F, precisamos skolemizar a fórmula

resultante.

Notamos que as regras do tipo C apresentam uma notação desconhecida.

Abaixo apresentaremos uma formalização para as regras do tipo C.

1.. O processo de renomeação de variáveis para unificação fica sujeito à seguinte

restrição: Seja Q (ou Q) uma subfórmula de xP . Se

aplicarmos a regra F a Q (ou Q), então não podemos renomear a

variável x quando formos unificar a fórmula Q (ou alguma de suas

subfórmulas) no sub-tableaux gerado. E, indicamos este procedimento

colocando uma marca “” antes da variável x.

27

2.. Sejam P uma fórmula e x uma variável ou uma variável marcada na forma x y

. Então, a fórmula Px é obtida pelas regras:

3.. P Px , se P é uma fórmula atômica;

4.. P Qx x , se P Q ;

5.. P Q Rx x x , se P Q R ;

6.. P xQx x , se P xQ ;

7.. P x x Q x , se P Q com polaridade positiva;

8.. P x x Q x , se P Q com polaridade negativa.

OBS: A ocorrência de uma subfórmula Q tem polaridade positiva em uma

fórmula se P está no escopo de um número par de operadores “”, implícitos ou

explícitos. Caso contrário, P é dita ter uma polaridade negativa.

28

6 B-RESOLUTION DE KONOLIGE

A resolução clássica não é completa para a lógica modal a menos que, de

alguma maneira, hajam restrições. Existem duas razões para isto. A primeira é que

quando um literal se encontra no escopo de diferentes operadores modais, seu valor

verdade pode ter interpretações diferentes. Ou seja, o literal p pode não ter

necessariamente o mesmo valor quando ocorre uma vez no escopo de um operador e

ocorre novamente no escopo de outro operador . Portanto, mesmo quando p ocorre

num contexto e p ocorre em outro, não há justificativa para resolvê-los. A segunda

complicação se deve à quantificação em contextos modais: quando o escopo de um

quantificador se extende através do escopo de operadores modais diferentes, não existe

garantias de que a interpretação de uma variável em duas ocorrências seja a mesma.

A seguir serão apresentadas duas técnicas que tentam extender o método de

resolução da lógica clássica para a lógica modal. Neste capítulo o método apresentado

será o método descrito por Konolige em 1986 [PEL93, COS92], considerado um

método misto, e no próximo capítulo apresentaremos um método de resolução que

utililiza a noção de World-Paths.

Konolige descreve um sistema no qual existe um senso misto. Discutiremos

inicialmente o caso da lógica modal proposicional e após as adições ao modelo

requeridas pela lógica modal de primeira ordem.

6.1 Lógica Proposicional

Konolige usa o que chama de B-resolution, que é um sistema de resolução

para lógicas modais K, K4, K45, T, S4 e S5, baseado na total narrow theory resolution

de Stickel.

Primeiramente, se faz necessário apresentar definições relativas ao uso de

cláusulas em linguagem com modalidades. Para transformar um fórmula qualquer em

29

uma fórmula na forma normal conjuntiva, pode-se utilizar as mesmas regras de

transformação da lógica clássica considerando fórmulas modais (P ou P) como

literais. Ou seja, as transformações ocorrem somente fora dos quantificadores modais.

Como exemplo encontraremos a forma normal clausal da fórmula (P

Q) ( )P Q .

1. (P Q) ( )P Q

2. (P Q) P Q

3. P Q P Q

Portanto, (P Q) ( )P Q tem como sua forma normal clausal

P Q P Q

Uma vez obtida a forma normal conjuntiva, as cláusulas são separadas e

tratadas isoladamente.

A B-resolution de Konolige, em sua forma geral diz que: Sejam

1 2, , ... e 1 2, , ... dois conjuntos finitos de fórmulas e 1 2, , ...

um conjunto finito de literais fora do escopo de algum operador modal. Sejam os Ci’s,

Cj’s, etc., cláusulas arbitrárias. Então:

1 1 C

n nC

1 1 C '

m mC '

1 1 C ' '

i iC ' '

C C C C C Cn m1 1 1 1 ' ' ' ' ' '

30

onde:

(1) Para K e T: { , , , } k n1 é insatisfatível para algum k .

(2) Para K4 e S4: { , , , , k n1 1 , , n } é insatisfatível para algum k .

(3) Para S5: { , , , , k n1 1 , , n , 1 , , m , 1 , ,

i } é insatisfatível para algum k .

Além das regras acima, para aqueles sistemas com relação de acessibilidade

reflexiva, temos:

(4) C

C

Porque podemos usar somente um conjunto i nas regras apresentadas?

Consideremos a seguinte refutação:

( )P Q

P

Q

Z P Q P Q { , , } é um conjunto insatisfatível na lógica modal clássica,

porém na lógica modal não é, pois podemos apresentar o modelo da FIG. 8.

( )P Q ( )P Q

P Q

Q

( )P Q

P

FIGURA 8 - Um exemplo de modelo

Pelo conceito de insatisfatibilidade não poderia existir um modelo de

representação dessas fórmulas pois isso significa que elas são satisfatíveis na situação

31

considerada. A figura apresentada acima é um modelo para aquele conjunto de fórmulas,

portanto se existe um modelo, o conjunto não é insatisfatível.

P significa que em algum mundo acessível a partir de w, P é

satisfeito, ou seja, P , valendo o mesmo para Q. Portanto, pode perfeitamente

existir um mundo acessível a partir de w onde P e Q são satisfeitos.

Todas as regras tratam fórmulas que apresentam o operador . O operador

pode ser representado em função de (P P ), sendo assim tratável pelas

mesmas regras.

Note que a regra (1) não é efetiva, involvendo uma sub-resolução aninhada

para verificar se algum outro conjunto é satisfatível. Dependendo de que teste será usado

para determinar este outro conjunto, a regra poderia ter ou não um valor prático. Nós

notamos que o conjunto a ter sua consistência testada deve conter apenas literais

(incluindo literais modais). O método de Konolige faz uso desse fato; um conjunto de

literais Z é insatisfatível se e somente se um outro conjunto W (no qual os membros são

efetivamente determináveis de Z), que tem um caminho modal menor que Z, é ele

próprio insatisfatível. Tal conjunto W varia de um sistema modal para outro. Por

exemplo, no sistema K, se Z onde { 1 , 2 , , 1 , 2 , } , então o conjunto

requerido W de menor caminho modal poderia ser { , , , } 1 2 i , para algum i .

Neste ponto, sentimos claramente a necessidade de sub-resoluções. Mas o

que é uma sub-resolução dentro do método de Konolige? Sub-resolução é o processo no

qual ocorre a redução dos operadores modais. Esta é a idéia principal por trás da B-

resolution. Quanto mais simples é a relação de acessibilidade do sistema da lógica modal

empregada, maior número de sub-resoluções serão necessárias. Ao verificarmos que nas

regras de resolução apresentadas um conjunto insatisfatível para o sistema K é menor

que um conjunto insatisfatível para o sistema S5, entendemos porque mais operadores

modais precisam ser reduzidos no primeiro caso que no segundo, por exemplo.

Esta noção de sub-resolução não estava clara em nenhum artigo ou livro que

pesquisamos. O ponto inicial para desenvolvermos esta idéia foi dado por uma citação de

Geissler e Konolige [PEL93], que diz o seguinte:

“Suppose, each time we wish to do a resolution, we start another refutationprocedure using the indicated sets of sentences. Then we intermix theexecutation in the subsidiary ones being used to check unsatifiability. If at

32

some point a subsidiary refutation succeds, we can construct a resolvent inthe main refutation.”No capítulo 8 serão apresentados exemplos de resoluçõesutilizando o método de Konolige para os sistemas K, T, K4, S4 eS5 da lógica modal proposicional.

6.2 Lógica Modal de Primeira Ordem

Para generalizar o método de Konolige para lógica modal de primeira ordem,

é necessário direcionar o problema de interpretação de quantificadores cujas variáveis

ocorrem em diferentes contextos modais. Intuitivamente, a interpretação de uma variável

é determinado com respeito ao mundo possível no qual quantificador da expressão é

interpretado. Em ( )( ( ) x F x G x( )) , o ( )x ocorre no mundo atual, e todas as

ocorrências da variável se referem a este item particular. Mesmo que o x que ocorre em

G x( ) seja interpretado como o x cuja interpretação é dada pelo quantificador da

expressão, tal que G x( ) nesta sentença signifique o item do mundo atual, x, o qual

está atualmente em F, tal item está em G em todo o mundo possível . O resultado disso é

que o quantificador não pode ser movido para fora do operador modal sem que sua

interpretação mude de “falando sobre entidades de um mundo” para “falando de

entidades de outro mundo”. Além disso, quantificadores do lado de fora não permitem

instanciação para constantes internas. Isto se torna mais claro quando interpretamos

como acredita e como sabe: pode ser verdade que, de todos os alemães que vivem

atualmente, Mary acredita que todas essas pessoas falam alemão. Embora o Major de

Edmonton seja alemão, Mary poderia não acreditar que ele fale alemão, pois ela não sabe

que este Major é alemão. Porém, Mary acredita que Manfred fala alemão, mesmo sendo

ele o Major de Edmonton (Manfred é o Major de Edmonton em outro contexto). Para

resolver este último problema, Konolige introduziu um operador chamado bullet () que

é aplicado a variáveis sempre que aparecem dentro de um contexto modal menor que o

do quantificador e a substituição será redefinida tal que a variável torne-se o desejado, de

acordo com a interpretação de mundo relativo. A variável marcada diz basicamente que:

não importa em qual mundo eu ocorra, interprete-me como o que eu era no mundo no

33

qual meu quantificador da expressão ocorre. Visto isso, o bullet é uma espécie de

operador de atualidade.

As regras para B-resolution de Konolige são aplicadas da mesma maneira

que na lógica modal proposicional. Porém, convém salientar que no momento da

unificação uma variável marcada não pode ser renomeada, como visto no sistema de

tableau com unificação.

34

7 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS

Os métodos de refutação para a lógica modal apresentados anteriormente

possuem limitações como veremos mais adiante, por isso Ohlbach propõe um novo

método refutacional baseado em resolução [OHL88]. Inicialmente nós iremos

caracterizar brevemente as lógicas modais particulares que nós estaremos considerando.

7.1 Lógica Modal

As fórmulas são as mesmas da lógica de predicados de primeira ordem com a

adição dos dois operadores modais (necessidade) e (possibilidade). Para limitar a

variedade sintática da lógica modal (sem perder a expressividade), as fórmulas a serem

provadas passarão por um processo de tradução, onde os sinais de implicação e de

equivalência são retirados, e todos os sinais de negação são movidos para frente dos

átomos. Ao final do processo de tradução teremos a fórmula em sua forma normal

negada e somente então terá início o processo de unificação. Qualquer fórmula pode ser

trazida para esta forma fazendo-se uso das regras de transformação apropriadas da

lógica de predicados e das regras adicionais P P e P P .

Podem ser distinguidas duas classes principais de relações de acessibilidade:

serial e não serial. Nós consideraremos apenas relações de acessibilidade seriais, porém

em combinação com as seguintes propriedades ou relações : reflexividade, simetria e

transitividade. Em interpretações seriais, relações simétricas e transitivas são também

reflexivas.

35

7.2 P-lógica

P-lógicas (P para estilo de lógica de Predicado) são variantes sintáticas de

lógicas modais onde os operadores modais são substituídos através de world-terms

[OHL88]. Um world-term representa o contexto modal, isto é, a seqüência de

operadores modais aninhados, e está amarrado às condições e átomos como um

argumento adicional. Assegura a informação de qual mundo o termo ou fórmula é

interpretado. Para preservar a semântica dos mundos possíveis para fórmulas da P-

lógica, um world-term tem que denotar um mundo e não um elemento do domínio. Isto

sugere às fórmulas da P-lógicas a idéia de uma lógica de dois conjuntos disjuntos:

conjunto D (para Domínio) e conjunto W (para Mundos).

Os World-Paths [OHL88] são variantes sintáticas dos world-terms e serão

introduzidos abaixo. Os world-terms são mais apropriados para entendimento da

semântica desta estrutura, enquanto que os World-Paths são considerados uma estrutura

de dados satisfatória para os algoritmos de unificação.

7.2.1 Sintaxe da P-lógica

Começaremos com a definição de uma assinatura que consiste em um

conjunto D e um conjunto W. O conjunto D, isto é, símbolos D-variáveis (variáveis do

domínio), símbolos funcionais D-estimados e símbolos predicativos, são os mesmos da

lógica modal. O que surge de novo é o conjunto W que é usado para construir os world-

terms. Consiste em símbolos funcionais W-estimados que são funções de skolem quando

trabalhamos com world-terms, substituindo o operador , e símbolos W-variáveis que

substituem o operador .

Definição 7.2.1.1: Assinatura da P-Lógica

O alfabeto para construção de termos e fórmulas da P-logica [OHL88]

consiste de conetivos lógicos e dos seguintes símbolos:

VD é um conjunto de variáveis (símbolos D-variáveis)

FD é o conjunto dos símbolos funcionais (símbolos funcionais D-estimados)

P é o conjunto de símbolos predicativos

0 é um símbolo constante W-estimado, denotando o mundo inicial

VW é o conjunto dos mundos possíveis (símbolos W-variáveis)

36

FW é o conjunto dos símbolos funcionais relativos à mundança de mundos

(símbolos funcionais W-estimados).

Assim, o conjunto p D D W wV F P V F { , , , , }0, é uma P-assinatura.

Exemplos de termos e fórmulas da P-lógica e seus correspondentes na lógica

modal:

Lógica Modal P-LógicaP wP w( ( ))0P P g( ( ))0

x ( ( ))P Q x x u P u Q u x( ( ( ( ( ), ))0 0

7.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica

Nós temos que definir como traduzir a assinatura da lógica modal para a

assinatura da P-lógica e fórmulas da lógica modal para fórmulas da P-lógica [OHL88].

1. Tradução da assinatura: Seja uma P-assinatura inicial p D DV F P { , , , ,{ }, }0 0

onde VD, FD e P são as mesmas variáveis, símbolos funcionais e predicativos das

fórmulas da lógica modal.

2. Tradução de termos e fórmulas. Seja a função de tradução que toma uma fórmula

da lógica modal P, traduz para uma fórmula ( )P da P-lógica e atualiza a assinatura

P com as W-variáveis geradas que substituem o operador e as funções de skolem

que substituem o quantificador e o operador . precisa de uma função auxiliar

que faça o descendente recursivo na fórmula e termos modais. registra como

um segundo argumento o contexto modal na forma de um W-termo w e como um

terceiro argumento as variáveis universalmente quantificadas D-vars. Faça P ser

uma variável global que é atualizada durante o descendente recursivo.

D-vars + x significa a concatenação de uma lista D-vars = ( )x xn1 com x,

cujo resultado é ( )x x xn1

f (w+D-vars) denota o termo f w x xn( , , , )1 onde D-vars = ( )x xn1

As regras de transformação são:

37

1. A chamada da função num primeiro nível é ( ): ( , , ())P P 0 onde ( ) é uma lista

vazia.

2. ( , ,P Q w D-vars) : ( , ,P w D-vars) ( , ,Q w D-vars)

3. ( , ,P Q w D-vars) : ( , ,P w D-vars) ( , ,Q w D-vars)

4. ( , ,xP w D-vars) : x P w ( , , D-vars + x)

5. ( P,w,D-vars) : u P u w ( , ( ), D-vars), onde u é adicionado em VW

como um novo mundo para P .

6. ( , ,xP w D-vars) : ( , ,P w D-vars)[ x f w ( D-vars)], onde f é adicionada

em FD como um novo símbolo

funcional

7. ( P,w,D-vars) : ( , (P g w D-vars),D-vars), onde g é adicionada em FW como

novo símbolo funcional relativo a mudança de mundos

Seja P um símbolo predicativo n-ário e seja f um símbolo funcional n-ário.

8. ( ( , , ), ,P t t wn1 D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))

9. ( ( , , ), ,P t t wn1 D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))

10. ( ( , , ), ,f t t wn1 D-vars) : f w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))

11. ( , ,x w D-vars) : x, onde x é uma variável.

Para entendermos melhor as regras de tradução 4, 5, 6 e 7, que envolvem

quantificadores e funções de Skolem, consideraremos o seguinte exemplo: seja o

predicado L x y( , ) , cujo signifcado é “ x ama y”. Sejam as fórmulas:

a) x yL x y( , ) - que significa “todo mundo tem alguém que ama”

b) y xL x y( , ) - que significa “existe alguém que é amado por todo

mundo”

Apesar da semelhança entre as fórmulas, notamos que seus significados são

diferentes. Após serem skolemizadas, tal diferença fica mais clara:

a) xL x f x( , ( )) , onde f x( ) é uma função de Skolem que mapeia um

indivíduo do domínio: f D D: .

x f(x)Maria CarlosJosé Maura

38

b) xL x a( , ) , onde a é um indivíduo específico (constante) do domínio D.

Quando temos fórmulas modais, a função de Skolem tem um significado

mais complexo. Vamos considerar os seguintes casos:

a) xP x( )

Como vimos, esta fórmula pode ser traduzida para

xP g w x( ( ), ) , onde g é uma função de Skolem que mapeia um mundo

do conjunto W . Neste caso a função de Skolem tem a notação g W W:

w g(w)w1 w2

w2 w3

b) x P x( )

Quando traduzido para P-lógica fica xP g w x x( ( , ), ) . Por que

a função g agora mapeia também um elemento do domínio D? Porque a função de

Skolem, neste caso tem que mapear um indivíduo do mundo atual num mundo possível,

garantindo a interpretação correta desse indivíduo, portanto g W D W:

x w g(w)a w1 w2

b w2 w3

Desenvolveremos agora uma tradução, baseado no exemplo do artigo de

Ohlbach [OHL88].

39

Tradução:

� x R x( ( ) � y R y( ))

p x y R , , , , , , 0 0

1) (� x R x( ( ) � y R y( )) )

2) (� x R x( ( ) � y R y( )) , 0, ( ) ) [de 1) pela regra 1]

3) u ( x R x( ( ) � y R y( )) , u 0 , ( ) ) [de 2) pela

regra 5]

p x y R u , , , , , , , 0 0

4) u x ( ( )R x � y R y( ) , u 0 , x ) [de 3) pela

regra 4]

5) u x ( ( ), , ) (R x u x0 � y R y( ) , u 0 , x ) [de 4) pela

regra 2]

6) u x ( , , , ) (R u x u x0 0 � y R y( ) , u 0 , x )

[de 5) pela regra 9]

7) u x ( , ) (R u x0 � y R y( ) , u 0 , x ) [de 6) pela

regra 11]

8) u x ( , ) (R u x w0 y R y( ) , w u 0 , x ) [de 7) pela

regra 5]

p x y R u w , , , , , , , , 0 0

9) u x ( , ) (R u x w0 R f w u x( ( ( ( )), ))0 , w u 0 , x )

[de 8)pela regra 6]

p x y f R u w , , , , , , , ,0 0

10) u x R u x w0 , ) R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ( ))), ),0 0

g w u x( , )0 , x )) [de 9) pela regra 9]

11) u x R u x w0 , ) R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0

( , ( , )x g w u x0 , x ))[de 10) pela regra 10]

40

12) u x R u x w0 , ) R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0 x)

[de 11) pela regra 11]

Teorema 7.3.1: Completude e Correção do Algoritmo de Tradução

P é uma fórmula modal satisfatível se e somente se ( )P é uma P-fórmula

P-satisfatível. A prova segue o recursão de e assegura que a informação sobre o

contexto modal foi corretamente modificada de operadores modais aninhados para W-

termos.

Esses resultados são a base para um procedimento de prova completo: para

provar que uma fórmula da lógica modal é insatisfatível, é suficiente provar que a

fórmula da P-lógica traduzida é P-insatisfatível.

7.4 Forma Normal Conjuntiva

Considerando que a sintaxe da P-lógica não contém nem quantificadores

existenciais nem operadores modais, uma transformação de uma fórmula arbitrária para

um conjunto equivalente de cláusulas é essencialmente igual à lógica de predicado, mas

sem a necessidade de skolemização.

7.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos

W-termos contêm símbolos de W-variáveis em uma posição funcional e são

então termos de mais alta ordem. Para muitos propósitos, especialmente para a definição

dos algoritmos de unificação, a sintaxe de World-Paths é muito mais conveniente pois

passamos a trabalhar com lógica de primeira ordem. A transição de W-termos para

World-Paths pode ser explicada facilmente no nível semântico onde símbolos funcionais

e símbolos W-variáveis (mundos) são interpretados como funções. Seja a operação

currying, que transforma uma função n-ária f em uma função (n-1)-ária f c e produz uma

41

função unária que, quando aplicada aos argumentos restantes retorna o mesmo valor que

f retornaria quando aplicada a todos os n argumentos de uma só vez, isto é

f s s s f s snc

n( , , ) ( , , )1 1 2 . A operação currying pode ser usada para remover o

argumento “mundo” da interpretação de um símbolo funcional relativo a mudança de

mundo (W-estimado) (1,n)-ário, deixando uma função que é aplicável somente a

elementos do domínio. Para uma chamada de função aninhada como

f g w s s t tn m( ( , , , ), , , )1 1 a chamada de função curried equivalente é vista como:

g w s s f t t wg s s f t t w g s s f t tnc

mc

nc

mc

nc

m( , , , ) ( , , ) ( ( , , )) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))1 1 1 1 1 1

onde “ ” é a composição de funções. Um termo f t tcm( , , )1 cujo primeiro argumento

não é um W-termo será chamado um CW-termo.

Exemplos de diferentes versões sintáticas

Lógica Modal P-Lógica, c/ W-termos P-Lógica, c/ World-PathsP wP w( ( ))0 wP w[ ]0P P g( ( ))0 P g[ ]0

x Q x a( , ) xQ h x x a h x( ( , ), , ( ( , )))0 0xQ h x x a h x([ ( ), , [ ( )])0 0P wP h w g( ( ( ( ))))0wP gwh[ ]0

7.6 Unificação

A unificação de World-Paths deve produzir substituições compatíveis com a

relação de acessibilidade (substituições -compatíveis). Esta é então a única

diferença em relação à unificação entre termos da lógica de predicados de primeira

ordem.

Unificação quando a relação de acessibilidade não tem propriedades especiais

World-Paths como [ ]0va e [ ]0bw são unificáveis tendo como um

unificador{ , }v b w a . Esta é uma substituição -compatível para este tipo de relação

de acessibilidade. Agora, os termos [ ]0va e [ ]0vuw iriam requerer uma substituição

-não compatível { [ ], }v bc w a . Estes termos não são unificáveis. Em geral dois World-

Paths são unificáveis quando eles têm tamanho igual e os CW-termos são unificáveis

42

com unificadores compatíveis. Assim, os World-Paths podem ser tratados como termos

ordinários não havendo diferença significante em relação unificação de termos da lógica

de predicados de primeira ordem. Há no máximo um unificador mais geral para cada

problema de unificação.

Unificação quando a relação de acessibilidade é somente reflexiva

O componente de substituição w [ ] representa a declaração da identidade

mapeando uma W-variável (um mundo). É -compatível porque em interpretações

reflexivas um mundo é acessível a partir de si mesmo. Os componentes de substituição

w [ ] removem uma variável completamente de um World-Path, tal que os World-

Paths [ ]0va e [ ]0vuw sejam unificáveis com o dois unificadores independentes

{ ,v b u [ ] , }w a e { , ,v b u a w [ ]}. O algoritmo de unificação tem que considerar

todas as possibilidades para remover W-variáveis w pelo componente de substituição

w [ ] e unificar os CW-termos com um número reduzido de pares World-Paths. Já que

podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas, há no máximo um número

finito de unificadores mais gerais para cada problema de unificação.

Unificação quando a relação de acessibilidade é somente simétrica

Quando a relação de acessibilidade é simétrica, símbolos funcionais

relativos a mudança de mundos tem uma função inversa associada. Um componente de

substituição w a 1 é apropriado para eliminar o World-Path parcial [ ]aw em

[ ]aa 1 [ ]. É permitido a uma W-variável (mundo) substituições -compatíveis para

substituir um World-Path parcial com exatamente um CW-termo ou um CW-termo

inverso. A inversa v 1 de uma W-variável (mundo) também é permitida, pois a

interpretação de uma W-variável é também uma função cuja inversa existe em

interpretações simétricas. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0vw e [ ]0 é unificável

com um unificador { }w v 1 . O algoritmo de unificação tem que considerar todas as

possibilidades para se tranformar uma W-variável w e seu predecessor t no World-Path,

através do componente de substituição w t 1 , no caminho vazio [ ] e unificar os CW-

termos num número reduzidos de pares World-Paths. Já que podem existir muita

43

variáveis a serem finitamente transformadas, há no máximo um número finito de

unificadores mais gerais para cada problema de unificação.

Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e simétrica

As duas idéias básicas para reflexividade e simetria podem ser simplesmente

unidas. O algoritmo de unificação tem que considerar todas as possibilidades para

remover W-variáveis w pelo componente de substituição w [ ] e transformar uma W-

variável w e seu predecessor t no World-Path pelo componente de substituição w t 1

no caminho vazio [ ], e unificar os CW-termos com um número de pares World-Paths

reduzido. Já que podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas ou

transformadas, há no máximo um número finito de unificadores mais gerais para cada

problema de unificação. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0auv e [ ]0w são

unificáveis com dois unificadores independentes { , }u a v w 1 e { , }v u w a 1 .

Unificação quando a relação de acessibilidade é somente transitiva

Substituições -compatíveis podem substituir World-Paths parciais

arbitrários para uma W-variável. Um unificador para os dois World-Paths [ ]0vcd e

[ ]0abwd seria { [ ], }v ab w c , mas a substituição { [ ' ], [ ' ]}v abw w w c com uma

nova W-variável w’ é também um unificador.

O algoritmo de unificação para dois World-Paths s s sn [ ]1 e t t tm [ ]1

trabalha da esquerda para a direita. Consiste claramente em três passos principais:

1. Unifique o termo s1 com t1 e chame o algoritmo de unificação de World-Paths

recursivamente para [ ]s sn2 e [ ]t tm2 .

2.a. Quando s1 é uma W-variável, então para i = 2,..., m crie o componente de

substituição s t tm1 1 [ ] e chame o algoritmo de unificação de World-Paths

recursivamente para [ ]s sn2 e [ ]t ti m1 .

2.b. Quando ti é uma W-variável, então divida ti em duas W-variáveis novas [ ]uv , crie

o componente de substituição { [ ], [ ]}s t t u t uvi i1 1 1 e chame o algoritmo de

unificação de World-Paths novamente para [ ]s sn2 e [ ]vt ti m1 .

Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e transitiva

44

As idéias para o caso reflexivo e caso transitivo podem ser unidas sem

problemas adicionais. O algoritmo para o caso transitivo simplesmente deve ser

aumentado com um passo que remove W-variáveis w com um componente de

substituição w [ ]. Ainda há no máximo um número finito de unificadores mais geral

para cada problema de unificação.

Unificação quando a relação de acessibilidade é uma relação de equivalência (S5)

World-Paths para interpretação do sistema S5 na forma normal de grau

modal 1 consistem de, no máximo, dois CW-termos, isto é, eles parecem com [ ]0 ou

[ ]0t .Dois World-Paths [ ]0 e [ ]0t só podem ser unificados quando t é uma variável e

o unificador é t [ ]. Dois World-Paths [ ]0s e [ ]0t podem ser unificados quando s e t

são unificáveis. Então há no máximo um unificador mais geral para cada problema de

unificação.

45

8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS

Este capítulo terá como ênfase a comparação dos diversos métodos

apresentados. A literatura sobre o assunto não apresentava uma abordagem desse nível,

além disso, apresentava poucos exemplos de provas de teoremas. Nenhum material

pesquisado trazia exemplos de resolução e a teoria apresentada era pouco clara na

maioria dos casos. Daí veio a motivação de se elaborar um trabalho reunindo os métodos

conhecidos, como tableau, e outros menos conhecidos na área, como o de World-Paths,

desenvolvendo exemplos e, o mais interessante, fazendo comparações entre os métodos

utilizando esses exemplos.

Neste capítulo um mesmo exemplo será desenvolvido através dos três

métodos apresentados nos capítulos anteriores, as diferentes provas serão comparadas e

suas vantagens e desvantagens comentadas. Procuramos desenvolver no mínimo um

exemplo para cada sistema da lógica modal (K, T, D, K4, S4 e S5), porém quase todos

os sistemas têm pelo menos dois exemplos apresentados.

Os algoritmos para prova de teoremas apresentados cobrem tanto a lógica

modal proposicional, como a lógica modal de primeira ordem, porém, por falta de

espaço neste trabalho, apresentaremos apenas exemplos da lógica modal proposicional.

8.1 Sistema K

Exemplo 8.1.1 - Vamos provar a fórmula ( ) (P Q P Q).

Sistema de Tableau

1) ( ( ) (P Q P Q)) (negação da fórmula)

2) ( )P Q (de 1, pela regra A)

3) ( P Q) (de 1, pela regra A)

4) P (de 3, pela regra A)

46

5) Q (de 3, pela regra A)

Agora, de 5, pela regra F obtemos um novo tableau começando com Q :

5.1) Q (de 5, pela regra F)

5.2) P (de 4, pela regra E)

5.3) P Q (de 2, pela regra E)

5.4) P Q (de 5.3, pela regra B)

Temos assim um sub-tableaux fechado (por 5.1 e 5.4 e por 5.2 e 5.4), logo o

ramo que deu origem a ele é fechado também e como ele é o único ramo do tableau

original, este também o é.

B-Resolution de Konolige


2) ( ( ) (P Q P Q)) 3) ( ) ( P Q P Q) 4) ( ) P Q P Q 5) ( ) P Q P Q (forma normal clausal)

Z = { 1 , 2 , 1 }

onde:

1 : ( ) P Q

2 : P

1 : Q (1)

De (1) verificamos a necessidade de uma nova sub-resolução.

1ª Sub-resolução:

W = { , , } 1 2 1

47

onde:

1 : P Q

2 : P

1 : Q (2)

Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível.

Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.

Método de Resolução Utilizando World-Paths


2) ( ( ) (P Q P Q)) 3) ( ) ( P Q P Q) 4) ( ) P Q P Q 5) ( ) P Q P Q (forma normal clausal)

Tradução:

a) ( ( ) P Q P Q )

b) ( ( ) P Q P Q , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( ( ), P Q 0, ( )) ( P, ,0 ( )) ( , ,Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u ( , ( ), P Q u 0 ( )) w P w ( , ( ),0 ( )) ( , ( ),Q g 0 ( ))

(de c, pelas

regras 5 e 7)

e) u ( , ( ),P u 0 ( )) ( , ( ),Q u 0 ( )) wP w( ( ))0 Q g( ( ))0

(de d, pelas regras 3, 8, 9)

f) u ( ( ( ))P u 0 Q u( ( ))0 ) wP w( ( ))0 Q g( ( ))0 (de e,

pelas regras 8,9)

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0

48

C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0

C3: Q g( ( ))0 C3’: Q g[ ]0

49

C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0

C2’’: P u[ ]0 { }w u

C3’: Q u[ ]0 { }g u

Exemplo 8.1.2 - Vamos provar o teorema ( P Q) ( )P Q .

Sistema de Tableau

1) ( ( P Q) ( )P Q ) (negação da fórmula)

2) P Q (de 1, pela regra A)




Agora, de 3, pela regra F obtemos um novo tableau:

3.1 ( )P Q (de 3, pela regra F)

3.2 P (de 4, pela regra E)

3.3 Q (de 5, pela regra E)

3.4 P Q (de 3.1, pela regra B)



2) ( ( P Q) ( )P Q ) 3) ( ( P Q) ( )P Q ) 4) ( P Q) ( )P Q ) 5) P Q ( )P Q (forma normal clausal)

50

Z = { 1 , 2 , 1 }

onde:

1 : P

2 : Q

1 : ( )P Q (1)

Assim verificamos a necessidade de uma sub-resolução.


W = { , , } 1 2 1 , derivado de Z,

onde:

1 : P

2 : Q

1 : ( )P Q (2)



Resolução Utilizando World-Paths


2) ( ( P Q) ( )P Q ) 3) ( ( P Q) ( )P Q ) 4) ( P Q) ( )P Q ) 5) P Q ( )P Q 6) P Q P Q ( ) (forma normal clausal)

Tradução

a) ( P Q P Q ( ) )

b) ( P Q P Q ( ) ,0,( )) (de a, pela regra 1)

c) ( P, ,0 ( )) ( Q,0,( )) ( ( ), ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u P u ( , ( ),0 ( )) w Q w ( , ( ),0 ( )) ( , ( ),P Q g 0 ( ))

(de c, pelas

regras 5, 7)

51

e) uP u( ( ))0 wQ w( ( ))0 ( ( , ( ), P g 0 ( ))

( , ( ),Q g 0 ( )))

(de d, pelas regras 9, 3)

f) uP u( ( ))0 wQ w( ( ))0 ( ( ( ))P g 0

Q g( ( ))0 ) (de e, pela regra 8)

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0

C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0

C3: P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’: P g Q g[ ] [ ]0 0

C1’: P g[ ]0 { }u g

C2’’: Q g[ ]0 { }w g

C3’: P g Q g[ ] [ ]0 0

Exemplo 8.1.3 - Vamos provar o teorema ( )P Q ( P Q).

Sistema de Tableau

1) ( ( )P Q ( P Q)) (negação da fórmula)


3) ( P Q) (de 1, pela regra A)

4) P Q (de 3, pela regra B)

Agora, da fórmula 4 no ramo da esquerda e pela regra F, obtemos um novo

tableau:

4.1.1 P (de 4, pela regra F)

4.1.2 P Q (de 2, pela regra E)

4.1.3 P (de 4.1.2, pela regra A)

4.1.4 Q (de 4.1.2, pela regra A)

52

Agora, da fórmula 4 no ramo da direita e pela regra F, obtemos um novo

tableau:

4.2.1 Q (de 4, pela regra F)

4.2.2 P Q (de 2, pela regra E)

4.2.3 P (de 4.1.2, pela regra A)

4.2.4 Q (de 4.1.2, pela regra A)



2) ( ( )P Q ( P Q)) 3) ( )P Q ( P Q)) 4) ( )P Q P Q (forma normal clausal)

Z = { 1 , 1 } ou Z’ = { 1 , 2 }

onde: onde:

1 : ( )P Q 1 : ( )P Q

1 : P 2 : Q (1)

Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução.


W = { , } 1 1 ou W’ = { , } 1 2

derivado de Z, derivado de Z’,

onde: onde:

1 : ( )P Q 1 : ( )P Q

1 : P 2 : Q (2)



Método de Resolução Utilizando World-Paths


2) ( ( )P Q ( P Q)) 3) ( )P Q ( P Q))

53

4) ( )P Q P Q 5) ( ) ( )P Q P Q (forma normal clausal)

Tradução

a) ( ( ) ( )P Q P Q )

b) ( ( ) ( )P Q P Q , 0, ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( ( ), ,P Q 0 ( )) ( , ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u P Q u ( , (0), ( )) ( ( , , P 0 ( )) ( , ,Q 0 ( ))) (de c, pelas

regras 5, 3)

e) u P u ( , ( ),0 ( )) ( , ( ),Q u 0 ( )) ( ( , ( ), P g 0 ( )) ( , ( ),Q g 0 ( )))

(de d, pelas regras 2,

7)

f) uP u( ( ))0 Q u( ( ))0 ( ( ( ))P g 0 Q g( ( ))0 (de e,

pelas regras 9, 8)

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0

C2: Q u( ( ))0 C2’: Q u[ ]0

C3: P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’: P g Q g[ ] [ ]0 0

C1: P u[ ]0

C2: Q u[ ]0

C3’: P u Q u[ ] [ ]0 0

{ }g u

Notamos que neste exemplo que tanto para o método de tableau quanto para

a B-resolution houve a necessidade de ramificação para que a prova fosse efetuada.

Pensando-se computacionalmente, isto é um problema pois o espaço de busca fica muito

54

grande. Entretanto, o método de resolução utilizando World-Paths jamais ramifica,

reduzindo o esforço computacional para prova de teoremas.

Exemplo 8.1.4 - Vamos provar o teorema ( )P Q ( Q P) .

Sistema de Tableau

1) ( ( )P Q ( Q P) ) (negação da fórmula)


3) ( Q P) (de 1, pela regra A)




5.1 P (de 5, pela regra F)

5.2 Q (de 3, pela regra E)

5.3 P (de 5.1, pela regra A)

5.4 P Q (de 2, pela regra E)

5.5 P Q (de 5.4, pela regra B)


1) ( ( ) (P Q Q P) ) (negação da fórmula)

2) ( ( ) (P Q Q P) ) 3) ( ( ) ( P Q Q P) ) 4) ( ) ( P Q Q P) ) 5) ( ) P Q Q P 6) ( ) P Q Q P (forma normal clausal)

Z = { 1 , 2 , 1 }

onde:

1 : ( ) P Q

2 : Q

55

1 : P (1)


W = { , , } 1 2 1 , derivado de Z,

onde:

1 : ( ) P Q

2 : Q

1 : P P (2)




1) ( ( ) (P Q Q P) ) (negação da fórmula)

2) ( ( ) (P Q Q P) ) 3) ( ( ) ( P Q Q P) ) 4) ( ) ( P Q Q P) ) 5) ( ) P Q Q P 6) ( ) P Q Q P (forma normal clausal)

Tradução

a) ( ( ) P Q Q P )

b) ( ( ) P Q Q P ,0,( )) (de a, pela regra 1)

c) ( ( ), P Q 0, ( )) ( Q, ,0 ( )) ( P ,0,( )) (de b, pela regra 2)

d) u P Q u ( , (0), ( )) w Q w ( , ( ),0 ( )) ( , ( ),P g 0 ( ))

(de c, pelas

regras 5, 7)

e) u P u( ( , ( ), 0 ( )) ( , ( ),Q u 0 ( ))) w Q w( ( ))0

P g( ( ))0

(de d, pelas regras 3, 8, 9)

56

f) u P u( ( ))0 Q u( ( ))0 w Q w( ( ))0 P g( ( ))0 (de e,

pelas regras 8, 9)

57

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0

C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0

C3: P g( ( ))0 C3’: P g[ ]0

C1: P u[ ]0 Q u[ ]0

C2: Q w[ ]0 { }w u

C3’: P g[ ]0 { }g u

8.2 Sistema T

Exemplo 8.2.1 - Vamos provar o teorema P P .

Sistema de Tableau

1) ( P P ) (negação da fórmula)



4) P (de 2, pela regra E-R)



2) ( P P ) 3) P P 4) P P (forma normal clausal)

58

Z = { 1 , 1 }

onde:

1 : P

1 : P (1)



W = { , } 1 1 , derivado de Z,

onde:

1 :P

1 : P (2)





2) ( P P ) 3) P P 4) P P (forma normal clausal)

Tradução

a) ( P P )

b) ( P P , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( P, ,0 ( )) ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u P u ( , ( ),0 ( )) P( )0 (de c, pelas regras 5,

8)

e) uP u( ( ))0 P( )0 (de d, pela regra 9)

59

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0

C2: P( )0 C2’: P[ ]0

C1’’: P[ ]0 {u [ ]}

C2’: P[ ]0

Exemplo 8.2.2 - Vamos provar a fórmula P P.

Sistema de Tableau

1) ( P P) (negação da fórmula)



Agora, de 3, pela regra F obtemos o seguinte tableau



3.3 P (de 3.2, pela regra E-R)



2) ( P P) 3) P P 4) P P (forma normal clausal)

Z = { 1 , 1 }

onde:

1 : P

1 : P (1)

60


1ª Sub-resolução

W = { 1 , 1 }, derivado de Z,

onde:

1 : P

1 : P (2)

Como existem operadores modais a serem eliminados ainda, precisamos de

uma segunda sub-resolução.


Y = { , } 1 1 , derivado de Z,

onde:

1 :P

1 : P (3)


Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e

em (1) podem ser feitos, é provado o teorema.



2) ( P P) 3) P P 4) P P 5) P P (forma normal clausal)

Tradução

a) ( P P )


c) ( P, ,0 ( )) ( , ,P 0 ( )) (de c, pela regra 2)

d) u ( P u, ( ),0 ( )) ( , ( ),P g 0 ( )) (de d, pelas regras 5, 7)

e) u w ( P w u, ( ( )),0 ( )) P g( ( ))0 (de d, pelas regras 5, 8)

61

f) u w P w u( ( ( )))0 P g( ( ))0 (de e, pela regra 9)

Unificação

World-Paths

C1: P w u( ( ( )))0 C1’: P uw[ ]0

C2: P g( ( ))0 C2’: P g[ ]0

C1’’: P u[ ]0 {w [ ]}

C2’: P u[ ]0 { }g u

No sistema T, as provas no sistema de tableau ficaram um pouco mais

simples que a B-resolution, porém, em ambos, nota-se que ao aumentarmos o número de

operadores modais aninhados, o número de sub-tableaux e sub-resoluções aumenta. No

caso de uso de World-Paths, o processo de tradução trata os operadores modais

aninhados, e a prova nunca vai precisar do que mais de um passo. A novidade nesse

método é que o número de possibilidades de unificações bem sucedidas aumenta, mas

isto não significa que o espaço de busca vai aumentar.

8.3 Sistema D (Deôntico)

Exemplo 8.3.1 - Vamos provar o teorema P P .

Sistema de Tableau




Agora, de 2 (ou 3) obtemos pela regra E o seguinte tableau:


62




2) ( P P ) 3) P P 4) P P 5) P P (forma normal clausal)

Z = { 1 , 2 }

onde:

1 : P

2 : P (1)

Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de

uma sub-resolução.


W = { , } 1 2 , derivado de Z,

onde:

1 :P

2 : P (2)





2) ( P P ) 3) P P 4) P P 5) P P (forma normal clausal)

63

Tradução

a) ( P P)

b) ( P P, ,0 ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( P, ,0 ( )) ( P, ,0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u P u ( , ( ),0 ( )) w P w ( , ( ),0 ( )) (de c, pela regra 5)

e) uP u( ( ))0 w P w( ( ))0 (de d, pelas

regras 9, 8)

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0

C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0

C1’: P u[ ]0

C2’: P u[ ]0 { }w u

8.4 Sistema K4

Exemplo 8.4.1 - Vamos provar o teorema P P.

Sistema de Tableau






3.2 P (de 2, pela regra E-T)

64




Z = { 1 , 1 }

onde:

1 : P

1 : P (1)

Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de

uma sub-resolução.


W = { 1 , 1 }, derivado de Z,

onde:

1 :P

1 : P (2)

Existem ainda operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos

de uma segunda sub-resolução.


Y = { 1 , 1 }, derivado de W,

onde:

1 :P

1: P (3)


Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e

em (1) podem ser feitos, é provado o teorema.

65



2) ( P P) 3) P P 4) P P 5) P P (forma normal clausal)

Tradução

a) ( P P )


c) ( P,0,( )) ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) u P u ( , ( ),0 ( )) ( , ( ),P g 0 ( )) (de c, pelas regras 5, 7)

e) uP u( ( ))0 ( , ( ( )),P h g 0 ( )) (de d, pelas

regras 9, 7)

f) uP u( ( ))0 P h g( ( ( )))0 (de e, pela regra 8)

Unificação

World-Paths

C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0

C2: P h g( ( ( )))0 C2’: P gh[ ]0

C1’: P gu[ ' ]0 { '}u gu

C2’: P gu[ ' ]0 { '}h u

Aqui percebemos novamente o problema dos operadores modais aninhados.

Na B-resolução precisamos novamente de duas sub-resoluções para efetuar a prova,

mesmo não sendo necessário eliminar todos os operadores modais.

66

8.5 Sistema S5

Exemplo 8.5.1 - Vamos provar a fórmula ( )P Q ( )P Q

Sistema de Tableau

1) ( ( )P Q ( )P Q ) (negação da fórmula)

2) P Q (de 1, pela regra A)


4) ( )P Q (de 2, pela regra E-S)




Z = { 1 , 1 }

onde:

1 : P

1 : P (1)

Existem operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos de uma

sub-resolução.


W = { 1 , 2 } { 1 , 2 }, derivado de Z,

onde:

1 : P

2 : P (2)




67


2) ( ( )P Q ( )P Q ) 3) ( )P Q ( )P Q ) 4) ( ) P Q ( ) P Q 5) ( ) P Q ( )P Q (forma normal clausal)

Tradução

a) ( P Q ( ))P Q

b) ( P Q ( ), ,P Q 0 ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( , ,P 0 ( )) ( , ,Q 0 ( )) ( ( ), ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 3, 2)

d) P Q( ) ( ) (0 0 ( ), ( ),P Q g 0 ( )) (de c, pelas regras 8,

9, 7)

e) P Q u P Q u g( ) ( ) ( , ( ( )),0 0 0 ( )) (de d, pela regra 5)

f) P Q u P u g( ) ( ) ( ( , ( ( )),0 0 0 ( )) ( , ( ( )),Q u g 0 ( )))

(de e, pela

regra 2)

g) P Q uP u g Q u g( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( ( )))0 0 0 0(de f, pela regra 9, 8)

Unificação

World-Paths

C1: P( )0 Q( )0 C1’: P[ ]0 Q[ ]0

C2: P u g( ( ( )))0 C2’: P gu[ ]0

C3: Q u g( ( ( )))0 C3’: Q gu[ ]0

C1’: P[ ]0 Q[ ]0

C2’: P[ ]0 { }u g 1

C3’’: Q[ ]0 { }u g 1

68

Exemplo 8.5.2 - Vamos provar a fórmula ( )P Q ( )P Q .

Sistema de Tableau




Agora, de 2 (ou de 3), pela regra F obtemos o novo tableau:

2.1 P Q (de 2, pela regra F)

2.2 ( )P Q (de 3, pela regra F)

Agora de 2.1, pela regra F-S, obtemos o seguinte tableau:

2.1.1 ( )P Q (de 2.1, pela regra F-S)

2.1.2 ( )P Q (de 2.2, pela regra F-T)



2) ( ( )P Q ( )P Q ) 3) ( ( ) P Q ( ) P Q ) 4) ( ) P Q ( ) P Q 5) ( ) P Q ( ) P Q 6) ( ) P Q ( ) P Q 7) ( )P Q ( )P Q (forma normal clausal)

Z = {1 ,2 }

onde:

1 : ( )P Q

2 : ( )P Q (1)

Como existem operadores modais a serem eliminados, precisamos de uma

sub-resolução.

70


W = {1 , 1 } {1 , 1 }, derivado de Z,

onde:

1 : ( )P Q

1 : ( )P Q (2)





2) ( ( )P Q ( )P Q ) 3) ( ( ) P Q ( ) P Q ) 4) ( ) P Q ( ) P Q 5) ( ) P Q ( ) P Q 6) ( ) P Q ( ) P Q 7) ( )P Q ( )P Q 8) ( )P Q ( )P Q (forma normal clausal)

Tradução

a) ( ( ) P Q ( )P Q )

b) ( ( ) P Q ( ), ,P Q 0 ( )) (de a, pela regra 1)

c) ( ( ), , P Q 0 ( )) ( ( ), ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)

d) ( , ( ), P Q g 0 ( )) ( ( ), ( ),P Q h 0 ( )) (de c, pela regra 7)

e) ( , ( ),P g 0 ( )) ( , ( ),Q g 0 ( )) u P Q u h ( , ( ( )),0 ( ))

(de d, pelas

regras 3, 5)

f) P g( ( ))0 Q g( ( ))0 u P u h( ( , ( ( )), 0 ( )) ( , ( ( )),Q u h 0 ( )))

(de e, pelas

regras 8, 9, 2)

71

g) P g( ( ))0 Q g( ( ))0 uP u h( ( ( )))0 Q u h( ( ( )))0 (de f,

pelas regras 9, 8)

72

Unificação

World-Paths

C1: P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C1’: P g Q g[ ] [ ]0 0

C2: P u h( ( ( )))0 C2’: P hu[ ]0

C3: Q u h( ( ( )))0 C3’: Q hu[ ]0

C1’: P Q[ ] [ ]0 0 {g [ ]}

C2’’: P[ ]0 { }u h 1

C3’’: Q[ ]0 { }u h 1

Notamos que nos exemplos do sistema S5, a B-resolução se tornou mais

efetiva que antes, pois como já haviamos comentado no capítulo 6, as regras de

insatisfatibilidade para este sistema são mais efetivas, permitindo mais cortes. Na

resolução com World-Paths as possibilidades de unificação bem sucedida aumentam

bastante, porém como já dissemos, isto não é problema.

73

9 CONCLUSÃO

Nosso trabalho apresentou uma comparação entre os diferentes métodos de

provas de teoremas para a lógica modal.

O maior mérito da nossa abordagem foi conseguir esclarecer o que é uma

sub-resolução no método de Konolige e, principalmente, reunir esses três métodos num

único trabalho, comparando-os através de exemplos, o que até então era inédito.

Como conseqüência deste trabalho de comparação, chegamos à conclusão de

que o método de resolução utilizando World-Paths se mostrou mais efetivo

computacionalmente, já que não apresenta o problema do espaço de busca se tornar

muito grande e de possuir um processo de unificação mais tranqüilo, o que é um dos

principais problemas do método de tableau.

Perspectivas para trabalhos futuros seriam:

extensão do método de resolução utilizando World-Paths para sistemas

não seriais;

implementação computacional desse método;

o estudo de lógica modal de conhecimento e ação para o desenvolvimento

de agentes inteligentes.

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[CAS87] CASANOVA, M. et alii. Programação em Lógica e a Linguagem Prolog.

São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1987, 461p.

[CER84] CERRO, L. MOLOG: A system that Extends PROLOG with Modal Logic.

[s.l.]:[s.n], [1984?], 26p. (Relatório).

[COS92] COSTA, M. Introdução à Lógica Modal Aplicada à Computação. Gramado:

VIII Escola de Computação, 1992, 200p.

[GUE88] GUERREIRO, R. et alii. Programação em Cláusulas Genéricas Utilizando o

Método de Eliminação de Modelos. In: SBIA, 5., 1988, Natal, Anais...,

Natal: SBC, 1988, p.508-519.

[HAR79] HAREL, D. First Order Dynamic Logic. Berlim: Springer-Verlag, 1979, p.5-

56. (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 68)

[OHL88] OHLBACH, H. A Resolution Calculus for Modal Logics. In: Conference on

Automated Deduction, 3., 1988, Arjanne: Anais..., Berlim: Springer-

Verlag, 1988, p.500-516.

[PEL93] PELLETIER, F. Automated Modal Logic Theorem Proving in THINKER.

[s.l.]:[s.n], [1993?], p.26-31. (Relatório)

[TUR84] TURNER, R. Logics for Artificial Intelligence. Inglaterra:. Ellis Horwood

Limited, 1984. p10-20

Um Estudo sobre Lógica Modal

Technology

Transcript of Um Estudo sobre Lógica Modal