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Álgebra Linear
Prof. Esp.:Thiago
VedoVatto
Soma deSubespaços
Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
Teorema
CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Álgebra LinearEspaços Vetoriais: Somas de Subespaços
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
16 de outubro de 2011
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W
. O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V
, e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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De�nição (Soma de Subespaços)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W . O subespaço
vetorial de W gerado pela reunião U ∪ V é o conjunto de
todas as somas u + v, onde u ∈ U e v ∈ V , e é representado
por U + V .
Propriedades Imediatas
1. U + V = V + U;
2. U + {o} = U;
3. U ⊂ U + V e V ⊂ U + V .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R
, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W
, como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W
, e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W
, mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W
, logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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Theorem
Se U e V são subespaços vetoriais de um espaço vetorial W ,
então U + V também é um subespaço vetorial de W .
Demonstração.
Consideremos u1, u2 ∈ U, v1, v2 ∈ V e α ∈ R, deste modo
u1 + v1 ∈W e u2 + v2 ∈W , como W é um espaço vetorial
α(u1 + v1) ∈W , e pelo mesmo motivo
α(u1 + v1) + (u2 + v2) ∈W , mas
α(u1 + v1) + (u2 + v2) = (αu1 + u2) + (αv1 + v2) ∈W , logo
U + V é subespaço vetorial de W .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}
. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V
, e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}
. Basta
observar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que
:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)}
;
2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Soma Direta)
Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que
U ∩ V = {o}. Nesse caso diz-se que U + V é soma direta
dos subespaços U e V , e representa-se por U ⊕ V .
Example
O espaço R3 é a soma direta dos subespaços
U = {(x , 0, 0)|x ∈ R} e V = {(0, y , z)|y , z ∈ R}. Bastaobservar que:
1. U ∩ V = {(0, 0, 0)};2. ∀(x , y , z) ∈ R3, (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , z) ∈ U + V .
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De�nição (Subespaços Suplementares)
Se U e V são subespaços de W tais que U ⊕ V = W
dizemos que U e V são suplementares ou que U é
suplementar de V (ou V é suplementar de U).
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De�nição (Subespaços Suplementares)
Se U e V são subespaços de W tais que U ⊕ V = W
dizemos que U e V são suplementares ou que U é
suplementar de V (ou V é suplementar de U).
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F
. As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes
:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2
;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2
.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Soma deSubespaços
Teorema
Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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CombinaçãoLinear
Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2
. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2
. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2
. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2
,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2
. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}
. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2
.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1
. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Conjunto Gerador
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2
. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2
. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Conjunto Gerador
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v
, portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Theorem
Sejam F , F1 e F2 subespaços vetoriais de E ,com F1 ⊂ F e
F2 ⊂ F . As seguintes a�rmações são equivalentes:
1. F = F1 ⊕ F2;
2. Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo único, como
soma w = v1 + v2, onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
Demonstração.
I 1⇒ 2. Suponhamos que F1 ∩ F2 = {o} e que se tenha
u1 + u2 = v1 + v2, com u1, v1 ∈ F1 e u2, v2 ∈ F2. Então
u1 − v1 = v2 − u2. Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2,
segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e
a F2. Mas F1 ∩ F2 = {o}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = o,
ou seja, u1 = v1 e u2 = v2.
I 2⇒ 1. Seja v ∈ F1 ∩ F2. Então o+ v = v + o com
o, v ∈ F1 e v , o ∈ F2. Logo pela a�rmação 2, isto
implica o = v , portanto F1 ∩ F2 = {o}.
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Conjunto Gerador
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial
, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que
:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
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Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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De�nição (Combinação Linear)
Seja V um subespaço vetorial, um vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem
escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que:
v = α1v1 + . . .+ αnvn =n∑
i=1
αivi
Example
O vetor v = (3, 9, 15) pode ser escrito como combinação
linear dos vetores v1 = (2, 3, 4), v2 = (−1, 2, 5) ev3 = (1, 1, 1) do seguinte modo:
v = 3v1 + v2 − 2v3
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Soma deSubespaços
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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Conjunto Gerador
SubespaçoGerado
De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial
, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Soma deSubespaços
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Soma DiretaSubespaçosSuplementares
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De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V
. Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Soma deSubespaços
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De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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De�nição (Conjunto Gerador)
Seja V um subespaço vetorial, e seja B um subconjunto de
V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B
gera V ) se todo elemento de V for uma combinação linear
de um número �nito de elementos de B.
Example
Os vetores v1 = {1, 0, 0}, v2 = {0, 2, 0} e v3 = {0, 0, 3} sãouma base para o espaço vetorial R3.
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Conjunto Gerador
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De�nição (Subespaço Gerado)
Seja X um subconjunto do espaço vetorial E
. O subespaço
vetorial de E gerado por X é o conjunto de todas as
combinações lineares α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm de vetores
v1, v2, . . . , vn ∈ X
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De�nição (Subespaço Gerado)
Seja X um subconjunto do espaço vetorial E . O subespaço
vetorial de E gerado por X é o conjunto de todas as
combinações lineares α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm de vetores
v1, v2, . . . , vn ∈ X