Calculo de incerteza

ESTIMATIVA DA INCERTEZAC fi bilid d d M di õC fi bilid d d M di õConfiabilidade das MediçõesConfiabilidade das Medições

As informações de bom curso devem ser objetivas e diretas !!!!!!!!devem ser objetivas e diretas !!!!!!!!

São Paulo -2009 1Walter Link

Roteiro1- Benefícios

2 C it2- Conceitos

3- Formulação matemática

4 Estatística básica4- Estatística básica

5- Tipos de incertezas

6- Distribuição de probabilidades6- Distribuição de probabilidades

7- Fontes das incertezas

8- Passo a passo8 Passo a passo

9- Aplicações

10- UFA!!!!!!!

Walter Linkwalter link@uol com br

São Paulo -2009 2

– walter_link@uol.com.br- 84 - 94314182

introdução

A id d d l b tó i d i lib ãA necessidade de os laboratórios de ensaios e calibração

apresentarem seus resultados com estimativa de incerteza gerou a

elaboração do Guia para Expressão da Incerteza de Medição da ISO

(International Organization for Standardization) – ISO GUM 1995. Mas

em muitos casos, principalmente na área de ensaios, a metodologiaem muitos casos, principalmente na área de ensaios, a metodologia

proposta não se tem mostrada a mais adequada ou viável, seja pelas

condições inerentes aos ensaios quer pela complexidade dos cálculos

envolvidos

São Paulo -2009 3

envolvidos.

introdução

Por estas razões está sendo apresentada, pela versão ISO GUM – 2005,

formas alternativas para o cálculo da incerteza de medição. A forma

alternativa proposta é o uso do método de Monte Carlo, que embora

bastante “badalado” não é de todo simples e de fácil aplicação. Ap p ç

principal razão dessa mudança é, muitas vezes, a presença de

grandezas de influência do tipo B e este fato induz a um resultado nemgrandezas de influência do tipo B e este fato induz a um resultado nem

sempre correto ao intervalo atribuído à incerteza.

A base para a aplicação da simulação de Monte Carlo no cálculo da

incerteza consiste em obter aleatoriamente um número grande de

possíveis valores para uma grandeza de entrada com uma dada

distribuição e repetir o procedimento para cada grandeza de entrada ou

São Paulo -2009 4

influência.

introdução

A publicação UKAS M3003 – The Expression of Uncertainty and

Confidence – 2007, sugere a aplicação do método da convolução entre

a incerteza normal e a incerteza do tipo B dominante com alternativa ao

método de Monte Carlo.

As diferenças entre os estes métodos

serão apresentadas no fim do trabalho.serão apresentadas no fim do trabalho.

São Paulo -2009 5

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

Quantos tipos de ruídos você conhece?

São Paulo -2009 6

Benefícios

Mede a qualidade de um resultadousuários podem escolher a relação custo/qualidade apropriadousuários podem escolher a relação custo/qualidade apropriadolaboratórios podem escolher o melhor método, otimizando também

o equilíbrio entre custo e qualidade.q q

Torna mais eficiente o uso de um resultadoapresentação correta do resultado, com um número adequado de

algarismos significativos, evidenciando sua credibilidademelhor interpretação dos resultados, levando em conta sua

incerteza.

São Paulo -2009 7

BenefíciosBenefícios

Permite efetiva comparação entre resultadosde diferentes laboratórios (na indústria e na intercomparação)no laboratório (coerência interna - auditorias)com valores de referência de normas ou especificações (paracom valores de referência de normas ou especificações (para,

p.ex., análise de conformidade)

Permite identificar pontos fracos e críticos nos métodos,possibilitando (quando viável) a melhoria dos mesmosp (q )

São Paulo -2009 8

O que ocorre em uma medição ?O que ocorre em uma medição ?

Toda medição envolve de certa maneira ações, ajustes,

condicionamentos e registros das indicações de um instrumento.

Este conjunto de informações é utilizado para obter o valor de

uma grandeza (mensurando) a partir das grandezas de entrada

X1, X2, X3, ...Xn através de uma função f .

São Paulo -2009 9

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOEsta definição é sintetizada pela figura 1, onde:

X2Ymensurando ffXn

Modelo matemático

Y grande a de saída (interesse)

Figura 1 - Modelo sintético de uma medição

Y grandeza de saída (interesse)

f função de transferência (modelo matemático do experimento)

Xi grandezas de entrada (influência)

Formalmente pode se escrever Y = f(X X X X ) 1 1Formalmente pode-se escrever Y = f(X1, X2, X3,..... Xn) - 1.1

São Paulo -2009 10

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOSe fosse só isso seria fácil determinardeterminar o valor de uma grandeza

Na prática, porém, o conhecimento das variáveis ou

grandezas de influência nem sempre são completas e assim é

necessário falar-se de incerteza do valor obtido. É por isso

que o resultado de uma medida não pode ser expresso por um

simples número.

HáHá umum intervalointervalo ouou conjuntoconjunto dede valoresvalores queque podempodem serser

associadosassociados aoao resultadoresultado dada mediçãomedição.. AA amplitudeamplitude destedeste

intervalointervalo éé umum bombom avaliadoravaliador dada qualidadequalidade dada medidamedida..qq

São Paulo -2009 11

Medir é Comparar !!PP

tpErro de zero

Erro de gravação

MErro de gravação

M = + E1 + E2 + E3 + E4P

0,6 ou 0,7

Não é fácil ?São Paulo -2009

12Erro de ”leitura”

Não é fácil ?

São Paulo -2009 13

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFERRAMENTAS ESTATÍSTICAS

Média aritmética (X): representa a tendência central de um conjunto de

FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS

= 121 ........

( ) p jdados amostrais

nnx ==

Problema: Sensível a valores extremos

Mediana: média dos dois valores centrais de um conjunto de valoresordenados em ordem crescente quando o número de dados for par e o valorordenados em ordem crescente quando o número de dados for par e o valorque divide a amostra em dois subconjuntos iguais.

2 1 2 3 2 4 /2 4 2 5/ 2 5 2 6 2 6 mediana = (2 4+2 5)/2=2 452,1-2,3-2,4-/2,4-2,5/-2,5-2,6-2,6 mediana = (2,4+2,5)/2=2,45

2,1-2,3-2,4-/2,4/-2,5-2,5-2,6 mediana = 2,4

São Paulo -2009 14

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃODesvio padrão: medida mais conhecida de um conjunto deresultados em relação à média

( )2( )1

1nIntervalo de confiança:utilizando a distribuição de Student, pode-sefazer inferência sobre a média, quando o valor do desvio padrão dapopulação é desconhecido através do intervalo de confiançapopulação é desconhecido, através do intervalo de confiançacalculado por:

tx n 1−±=µ

Sendo µ a média da população, n o número de medições e tn-1 é ovalor crítico de t tabelado com n-1 graus de liberdade e determinadonível de confiança.

São Paulo -2009 15

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOExemplo:

0,530 0,541 0,531 0,550 0,530 0,5411 5 t (95%) 2 571n-1 = 5 tn-1(95%) = 2,571

µ = 0,537 ± 0,008

Este resultado significa que se tem uma chance de 95% de que µesteja no intervalo 0,529 e 0,545

Teste de significância: quando for necessário decidir se um métodode medição é melhor que outro utiliza se hipótese de que não háde medição é melhor que outro utiliza-se hipótese de que não hádiferença entre eles, isto é, quaisquer diferenças são devidas a errosaleatórios no processo metrológico. Esse tipo de hipótese éd i d hi ót l (E H ét d A ét d B)denominado hipótese nula (Ex.: H0: método A = método B) osprocessos que habilitam a decidir se uma hipótese nula será aceitaou rejeitada são os testes de significância.

São Paulo -2009 16

•Comparação de uma média experimental com um valorverdadeiro (µ): neste caso se assume que qualquer diferença entreverdadeiro (µ): neste caso se assume que qualquer diferença entreum valor real e um valor medido é devida somente a erros aleatóriose a probabilidade que tal diferença se origina de erros aleatórios, e éd d

( ) nxt = µ

dada por:

xtn ⋅−=− µ1

Se o valor calculado tn-1 exceder certo valor crítico tabelado de t ahipótese é rejeitada, ou seja, as medias são diferentes.p j j

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•Comparação de duas médias: para comparar os resultados de duasINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

•Comparação de duas médias: para comparar os resultados de duasmetodologias (ou o desempenho de dois técnicos). Neste caso tem-seduas médias e se verifica se ambas não diferem significativamente. Se

d i ti d i d ã i il l los dois grupos tiverem desvios padrão similares, calcula-seinicialmente, uma estimativa combinada de s a partir dos desviospadrão individuais s1 e s2 através de:

( ) ( )( )2

−+−+−

snsns ( )21

em que (n1-1) e (n2-1) são os graus de liberdade de cada conjuntode valores O valor de t é dado por:

( )⎞⎜⎛ +

−= 21

de valores. O valor de t é dado por:

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

Sendo que t têm (n1+n2-2) graus de liberdade. Novamente, se o valorl l d d t d l íti t b l d hi ót l é

São Paulo -2009 18

calculado de t exceder o valor crítico tabelado, a hipótese nula érejeitada.

•Teste F para comparação de desvios padrão: considera arelação entre as variâncias de duas medições isto é a razão entre

relação entre as variâncias de duas medições, isto é, a razão entreos quadrados dos desvios padrão que é calculada por:

2sOs valores de s1 e s2 são alocados na equação de modo seja sempremaior que 1. Se o valor calculado exceder um determinado valor tabeladoa hipótese nula é rejeitada.

São Paulo -2009 19

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO•Teste emparelhado: para comparar duas técnicas de mediçãoavaliando amostras que tem a característica medidasignificativamente diferente e cujos desvios padrão não sãosignificativamente diferente e cujos desvios padrão não sãoiguais. Neste caso aplica-se o teste t emparelhado. Se o valorcalculado de t exceder o valor tabelado a hipótese nula é

rejeitada. O cálculo de t é dado por:

em que dt é a diferença entre as médias dos resultados obtidospor duas técnicas diferentes e sd é o desvio padrão das diferençaspor duas técnicas diferentes e sd é o desvio padrão das diferençasentre cada par de medidas e t tem n-1 graus de liberdade.

São Paulo -2009 20

“OUTLIERS”: todo técnico deve saber como tratar um valorOUTLIERS : todo técnico deve saber como tratar um valorde um conjunto de dados que difere, aparentemente semrazão, de outros valores medidos. Tal valor é chamado dediscrepante (outlier) O teste Q de Dixon é usado paradiscrepante (outlier). O teste Q de Dixon é usado paraanalisar este valor suspeito:

( )VV( )( )ValorMenorValorMaior

VVQ próximomaissuspeito

−−

O valor calculado é comparado com um valor crítico tabelado eO valor calculado é comparado com um valor crítico tabelado ese exceder tal valor o dado suspeito é excluído.

São Paulo -2009 21

Conceitos intuitivosI tIncerteza

parâmetro associado ao resultado para caracterizar a di ã d l álid

Valores Verdadeiros ??dispersão dos valores válidos

2500030000estimativa do intervalo em que deve estar o

valor verdadeiro

100001500020000

Média

Incerteza141822263034384246505458

Incerteza

São Paulo -2009 22

De acordo com o “ISO-GUM ” incerteza de uma medida é:

Um parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que

caracteriza a dispersão dos valores que podem ser,p q p ,

razoavelmente, atribuídos ao mensurando, com um dado nível de

confiançaconfiança.

Assim :Assim :

O resultado de uma medição só é completo se composto

de duas partes o valor associado (r e s u l t a d o) ao mensurandode duas partes, o valor associado (r e s u l t a d o) ao mensurando

e a incerteza da medição, inerente ao processo de medição.

São Paulo -2009 23

1 1 -- Grandezas e UnidadesGrandezas e Unidades1.12 SISTEMA

INTERNACIONAL DEUNIDADES - SI, m

(I i l S f

Sistema coerente de unidades adotado erecomendado pela Conferência Geral de Pesose Medidas (CGPM)(International System of

Units, SI)(Systéme Internationald'Unités, SI)

e Medidas (CGPM).

Observação:O Sl é baseado, atualmente, nas sete unidades de base

seguintes:

massa ‐ kgtempo ‐ s

temperatura ‐ Kintensidadeintensidadeluminosa ‐ cd

corrente tid d correnteelétrica ‐ A quantidade

de matéria ‐molconfuso ???

São Paulo -2009 24

comprimento ‐m

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃONecessidade adicional e muito importante

R t bilid d

Rastreabilidade

propriedade de um resultado de medição estar relacionado a padrõesvalidados ou referências nacionais através de uma cadeia contínua decomparações com incertezas conhecidas

País IIPaís I

Laboratório Nacional

Laboratório Secundário abili

valor verdadeiro

Laboratório Industrial

valor verdadeiro

São Paulo -2009 25

São Paulo -2009 26

Na avaliação de qualquer medição as grandezas de influência são

substituídas por seus estimadores, com a mesma distribuição de

probabilidades da grandeza considerada, que fornecem a

melhor estimativa do valor medido:

E[X ] E[X ] E[X ] 1 2x1 = E[X1], x2 = E[X2],......xn = E[Xn] - 1.2

Estes valores estão relacionados entre si pela equação matemáticaEstes valores estão relacionados entre si pela equação matemática

que representa o processo de medição.

y = E[Y] = f(x1,x2,.....xn) - 1.3

São Paulo -2009 27

As variâncias dos estimadores descrevem de maneira

consistente a dispersão de seus valores A raiz quadrada positivaconsistente a dispersão de seus valores. A raiz quadrada positiva

das variâncias é usada para avaliação da incerteza da medição.

Por causa da natureza fundamental da variância na estatística e

porque a raiz quadrada da variância é o chamado desviodesvio

padrãopadrão, este valor é denominado incerteza padronizada (nível

u2(x ) = var[X ] u2(x ) = var[X ] u2(x ) = var[X ] - 1 4

de probabilidade de 68%) da medição.

u2(x1) = var[X1], u2(x2) = var[X2],......., u2(xn) = var[Xn] - 1.4

e u2(y) = var[Y] - 1.5

São Paulo -2009 28

e u (y) var[Y] 1.5

De acordo com a equação 1.2 a dispersão dos valores das

grandezas de entrada x x x x promovem a dispersão dagrandezas de entrada x1, x2, x3, ...xn, promovem a dispersão da

grandeza de saída y, que pode ser calculada pela versão linearizada

da lei da propagação das variâncias (Lei de Gauss) :

( ) ( )∑=n

yuyu 221 6( ) ( )∑

i yuyu1

São Paulo -2009 29

Cada contribuição da incerteza (grandeza de influência) pode ser

expressa, a partir da equação 1.1, por : ui(y) = ciu(xi) - 1.7

iXXXii x

∂∂

=∂∂

= - 1.8onde:

ixXxXxXinnii === ,......,, 22

Estas derivadas são chamadas de coeficientes de sensibilidadecoeficientes de sensibilidadeEstas derivadas são chamadas de coeficientes de sensibilidadecoeficientes de sensibilidade..

O coeficiente de sensibilidade indica, em termos matemáticos, o

quanto o valor de saída y depende de cada um dos valores de

entrada x x xSão Paulo -2009 30

entrada x1,x2,.....,xn.

Exemplificando (simplificando)

A física ensina que a dilatação linear de qualquer material dependeda variação da temperatura em relação à de referência,normalmente 20°C, e do coeficiente de dilatação linear do materialem estudo.

Lt = L20x[1 +αx(t-20)]

Lt – L20 = ∆L ∆t = (t – 20)

∆L L ∆t∆L = L20xαx∆t

Para um aumento de 1°C (1K) o comprimento variará de L20xα( ) p 20

Portanto o coeficiente de sensibilidade é :Portanto o coeficiente de sensibilidade é : L αPortanto o coeficiente de sensibilidade é :Portanto o coeficiente de sensibilidade é : L20xαE reescrevendo ∆L/∆t = L20xα

∆L ~ δfδf/δxi = L20xα

São Paulo -2009 31

E reescrevendo ∆L/∆t L20xα∆t ~ δxi

δf/δxi = L20xα

- 1.9( ) ( )∑=n

ii xucyu 22 ( ) ( )∑=i

Nesta forma, a equação 1.9, somente é válida quando os valores de, q ç , qentrada forem independentes. No caso de variáveis correlacionadasdeve-se considerar, no equacionamento, os coeficientes de correlação.

São Paulo -2009 32

Área de um quadrado

hbS ×= Aplicando a Lei de Gauss

( ) ( ) hbbSS b ×∆+=∆+

⇒×∆+×=∆+ hbhbSS22hbt SSS ∆+∆=∆

⇒×∆+×=∆+ hbhbSS b

hbSb ×∆=∆Lhb ≈≈ Lhb ∆≈∆≈∆

( ) ( ) bhhSS h ×∆+=∆+LLSSS Lhb ∆×=∆≈∆≈∆

2222( ) ( ) bhhSS h ∆+∆+

⇒×∆+×=∆+ bhhbSS h

2222 2 LLSSS LLt ∆×=∆+∆=∆

2×∆×=∆ LLStbhSh ×∆=∆ São Paulo -2009 33

∆Si = 2(L – ∆L)x∆L)∆Si 2(L ∆L)x∆L)

∆Se = 2(L + ∆L)x∆L)

e ( ) )

∆S = 2L∆L 2∆L2ERRADO !!!!!!!!!!!!!!

SL ∆Si = 2L∆L –2∆L2

∆Se = 2L∆L +2∆L2

2∆S = ∆Sι + ∆Se∆S = 2L∆L

L ∆L 2∆S = 4L∆LSão Paulo -2009 34

A incerteza padronizada associada a um dado de entrada deve ser

Sintetizando

A incerteza padronizada associada a um dado de entrada deve ser

obtida a partir do conhecimento das grandezas de entrada.

- valor, único, é obtido diretamente de um documento ou lido de um

Há duas situações:

instrumento, ou outra forma

- vários valores são observados sob condições aparentementevários valores são observados sob condições aparentemente

idênticas, dos quais se deve obter o melhor valor

No primeiro caso se aplica o método de avaliação de incertezas

do tipo B e no segundo caso a avaliação é do tipo Ado tipo B e no segundo caso a avaliação é do tipo A.

São Paulo -2009 35

Ocular do microscópioINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOResolução

DExemplo de uma incerteza do Tipo B Exemplo de uma incerteza do Tipo B

0 02 mm

0,02 mm

c (mm)

D (un)d (mm) R ≅ 0,005 mm

D = 0 02 mm c = 10 e d = 5 ⇒ 0 02/[(10/5)+1] = 0 02/3 ~ 0 02/4

assim :

D = 0,02 mm, c = 10 e d = 5 ⇒ 0,02/[(10/5)+1] = 0,02/3 ~ 0,02/4

São Paulo -2009 36

C l ie n te : C O N C R E P A C E N G E N H A R IA D E C O N C R E T O S L T D A .

C E R T IF IC A D O D E C A L IB R A Ç Ã O N ° 6 9 0 - 2 0 0 5

C fid i lC fid i lINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

R o d . B R 2 3 0 , k m 1 2 - E s t . d e C a b e d e lo - C a b e d e lo - P BC E P 5 8 3 1 0 -0 0 0

M a te r ia l : F r a s c o d e C h a p m a nR e fe r ê n c ia : S o l ic i t a ç ã o v ia F a x

D E S C R IÇ Ã O D O M A T E R IA L

ConfidencialConfidencial

F a b r ic a n te : L a b o rg la sId e n t i f ic a ç ã o : 1 6 8 2F a ix a n o m in a l : 4 5 0 m lV a lo r d e u m a d iv is ã o : 5 m l

V o lu m e V a lo r v e rd a d e i r o

R E S U L T A D O S

In c e r te z ain d ic a d o c o n v e n c io n a l

(m l ) (m l) (m l )2 0 0 1 9 9 ,4 0 ,23 8 0 3 7 9 ,4 0 ,24 0 0 3 9 9 ,6 0 ,24 2 0 4 1 9 ,4 0 ,24 4 0 4 3 9 ,4 0 ,2

In c e r te z a

N O T A S. A in c e r te z a e x p a n d id a r e la ta d a é b a s e a d a e m u m a in c e r te z a p a d ro n iz a d a c o m b in a d a m u l t ip l i -

9 5 % .. C a l ib ra ç ã o e f e tu a d a c o n f o rm e A S T M S ta n d a rd - E 5 4 2 -0 0 , u t i l i z a n d o -s e m é to d o g ra v im é t r ic o .. O s v a lo re s v e rd a d e i ro s c o n v e n c io n a is a p re s e n ta d o s e s tã o c o r r ig id o s p a ra a te m p e ra tu ra d e 2 0 º C .. P a d rõ e s u t i l i z a d o s : . B a la n ç a S a r to r iu s C C 1 2 0 1 - C e r t i f ic a d o M -1 4 3 7 7 /0 5 ; C a l .2 7 /0 1 /2 0 0 5 ; V a l id a d e 2 7 /0 1 /2 0 0 7

c a d a p o r u m f a to r d e a b ra n g ê n c ia k = 3 ,3 , f o rn e c e n d o u m n ív e l d e c o n f ia n ç a d e a p ro x im a d a m e n te

ç. T e rm ô m e t ro P t1 0 0 C e r t . C R -1 0 0 9 /0 5 ; C a l . 1 1 /0 3 /0 5 ; V a l id a d e 1 1 /0 3 /0 6. B a rô m e t ro M e n s o r C e r t . L T R 3 6 3 5 /0 2 -V is o m e s ; C a l . 1 3 /0 6 /0 2 ; V a l id a d e 1 3 /0 6 /0 6. D a ta d a c a l ib ra ç ã o : 2 0 /0 9 /0 5 . T e m p e ra tu ra a m b ie n te : ( 2 0 ,4 ± 0 ,5 ) ° C

N a ta l , 1 2 d e ja n e i r o d e 2 0 0 6

L u iz H e n r iq u e P in h e i r o d e L im a P ro f . L u iz P e d ro d e A ra ú jo T é c n ic o R e s p o n s á v e l C h e f e d o L a b o ra tó r io d e M e t ro lo g iaSão Paulo -2009 37

São Paulo -2009 38

Instabilidade da indicação

13 0 0 0 0 23 0 0 0 0 23 0 0 0 0 23 0 0 0 0 232021312

São Paulo -2009 39

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOIndicação digital

Indicaç

Variação = δV/2Distribuição retangular

São Paulo -2009 40

VVCVi –δV/2 Vi +δV/2

FORMULAS BÁSICASFORMULAS BÁSICAS

i∑== 1

( )2nn

( )( )( )

i( ) ( )1−nxs i

( ) ( )xsxs i=Incerteza do tipo A ( )

nSão Paulo -2009 41

A estatística mostra que a qualquer grandeza medida ou

estimada se pode associar uma distribuição de probabilidade,p ç p ,

expressando assim o conhecimento do processo de medição

em termos de probabilidadeem termos de probabilidade.

EstaEsta distribuiçãodistribuição dede probabilidadesprobabilidades permitepermite calcularcalcular aa

dispersãodispersão ee aa expectativaexpectativa dodo valorvalor..pp pp

São Paulo -2009 42

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCaracterização do

PadrãoCaracterização do

MensurandoO que e como realizar a medição,quais as tolerâncias, quais as dimensões

Qual padrão utilizar, faixa nominal,resolução, limite de erro, calibração

Descrição da Calibração

Quais cuidados que se tem observar, quaisreferências usar, qual a seqüência de medição,qual planilha de dados/cálculos, como avaliar

Modelo Matemático

Avaliação das Grandezas d I fl ê i

q pa incerteza do resultado.

Matemáticode Influência

Quais grandezas e qual a extensão dai fl ê i l d l di ib i

Qual a interrelação entre a grandezad i t d i fl ê iinfluência no resultados, qual distribuição,

tem dependência linear. Combiná‐las usandoa Lei de Gauss

de interesse e as de influência

São Paulo -2009 43

∑+= cPM ε∑+= iicPM εModelo matemático linear do experimentoModelo matemático linear do experimento

( ) M∂∑ 222 ( )i

iiiMccomcPMε

ε∂∂

=∆+∆=∆ ∑ 222

Lei de propagação do erro ou Lei de GaussLei de propagação do erro ou Lei de Gauss

São Paulo -2009 44

PadrãoPadrãoEquipamentoEquipamento MétodoMétodo

RastreabilidadeRastreabilidade

Condições deCondições de

Retitude do ladoRetitude do lado

f êf ê

MensurandoMensurando

Erro na gravaçãoErro na gravação

Condições de Condições de OperaçãoOperação

Erro na referênciaErro na referênciaResoluçãoResolução

IncertezaIncerteza

Erro na gravaçãoErro na gravação

TemperaturaTemperaturaAptidãoAptidão

CapacitaçãoCapacitação

IluminaçãoIluminaçãoVisualVisual

AuditivaAuditiva

ComportamentoComportamento

AmbienteAmbientePrincípiosPrincípios

PessoaPessoaSão Paulo -2009 45

Saiba ouvir os outros !!!!!Saiba ouvir os outros !!!!!

Está bem vamos parar com papo furado !!!!São Paulo -2009 46

Está b m vamos parar com papo furado !!!!

C ó j í l d t i li it i i f i

Em falar nisso ..........

Caso só seja possível determinar os limites superior e inferior aa++ e aa--

como estimadores (por exemplo, indicação de um equipamento digital,

intervalo de variação da temperatura, erro de arredondamento ou

truncamento, força de medição), deve ser assumida uma distribuição de

probabilidade com densidade de probabilidade constante entre esses

limites (distribuição retangular) para a variabilidade da grandeza de

entrada xxii. Assim tem-se, para melhor estimativa:

( )−+ −= aaxi 21

- 2.02

São Paulo -2009 47

Distribuição retangular

f( )Como no intervalo da variável ± a

f(x)ocorrem 100% dos eventos, tem-se:

1 A á b d di t ib i ãh

σ σ x

1- A área sob a curva de distribuição

de probabilidade é unitária

2 – A função f(x) é uma reta horizontal

3 – Como S = 1 h = 1/2a e

também f( ) 1/2atambém f(x) = 1/2a

São Paulo -2009 48

A abscissa do ponto médio da distribuição retangular é dada por:

a+∞ 2 1 dxa

xxdxxxfxa

∫∫ =⇒=+∞

∞−

0 21)()()( µµ 1.10

2a 4 2

x ×=µ2a

São Paulo -2009 49

A distância entre o ponto médio [m(x)] e a linha correspondente a um nível de probabilidade de ~68% é dada por:

222 )]([)( xx µµσ −= 1.12 dxa

xxdxxfxxa

∫∫ =⇒=+∞ 2

21)()()( µµ 1.13a∞− 0 2

22)]([ ax =µ

1.1548 23 aa=⇒

2 xx ×=µ2a

36a=⇒

ax ×=µ

22 aaa

=⇒−= σσ 1.16

São Paulo -2009 50

1( ) ( )22

31 axu i ∆= - 1.17

para a variância, ou o quadrado da incerteza padronizada.

1onde:

( )−+ −=∆ aaa21

‐ 1.18

São Paulo -2009 51

:6Exemplo

1 2 3 4 5 6

Probabilidades de ocorrências para um dado

Eventos

Probabilidades de ocorrências para um dado

São Paulo -2009 52

A distribuição retangular é a maneira mais razoável paraA distribuição retangular é a maneira mais razoável para

descrever a distribuição de probabilidades quando não se

conhece mais nada além dos limites de variabilidade daconhece mais nada além dos limites de variabilidade da

grandeza xxii.

Se houver boas razões para assumir que valores próximos ao

centro da variabilidade são mas prováveis de ocorrer umacentro da variabilidade são mas prováveis de ocorrer, uma

distribuição normal (valores obtidos em uma medição) ou

triangular será um modelo melhor (por exemplo especificação detriangular será um modelo melhor (por exemplo, especificação de

fabricante de um instrumento de medir, leituras inteiras em

i di d ló i )indicador analógico).São Paulo -2009 53

Distribuição triangularf(x)

Como a área do triângulo tem que ser itá i t

unitária, tem-se:

xIµ σ

f II(x)

S = 1 = hx2a/2 h = 1/a

Como a função não é contínua no2a

xIIComo a função não é contínua no intervalo (0 – 2a), a integração é feita por partes.

Intervalo I de (0 – a) e Intervalo II de (a – 2a) ( )

São Paulo -2009 54

Distribuição triangular

I – No intervalo (0 – a) tem-se: II – No intervalo (a –2a) tem-se:

( )21 )(1)(

=⇒= 1.19 ( )( )

222)(1

xaxf −

=⇒=−

A posição da linha média, utilizando a equação (1.10), tem-se:A posição da linha média, utilizando a equação (1.10), tem se:

( )dxxaxdxxxdxxxfdxxxfxaaaa

∫∫∫∫−

+=+=22

212)()()(µ 1. 21dx

axdxxxfdxxxfx

aa∫∫∫∫ ++ 2

01 )()()(µ 1. 21

São Paulo -2009 55

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= 2

axaaaaax =⇒+−−+= )(33

)( µµ 1. 23

São Paulo -2009 56

A distância entre o ponto médio [m(x)] e a linha correspondente a um nível de probabilidade de ~68% é dada por:

222 )]([)( xx µµσ −= 1.24

( )dxxaxdxxxdxxfxdxxfxxaaaa

∫∫∫∫−

122 2)()()(µ 1.25aa aa

∫∫∫∫ 20

⎤⎡ 434 a 2a

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= 2

São Paulo -2009 57

2222222 aaaaaax =+−−+=µ 1.27

22)]([ ax =µ 1.28

667)]([)(

22222 aaaxx =−=⇒−= σµµσ 1.29

a=σ 1.30

São Paulo -2009 58

Viciado

babi Viciado

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades de ocorrências para dois dados

Eventos

Probabilidades de ocorrências para dois dados

São Paulo -2009 59

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOab

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Probabilidades de ocorrências para três dados Eventosp

São Paulo -2009 60

Distribuição em “U”

Por outro lado, se valores próximos aos limites são maisprováveis que os próximos ao centro a distribuição em “U” é amais adequada.mais adequada.

00 5 10 15 20

São Paulo -2009 61

Distribuição em “U”Este tipo de distribuição de probabilidade ocorre em algunsEste tipo de distribuição de probabilidade ocorre em algunsprocessos que tenham variação cíclica bem caracterizada (p.ex.variação senoidal) ou em casos em que o fenômeno sejavariação senoidal) ou em casos em que o fenômeno sejadefinido apenas em um lado do intervalo (p.ex. filtros de radiofreqüência, erro de co-seno em medições lineares)

Seja a função: S = Sm + ∆Sxsen(2πt/T0) 1.31

S é l édi d S i t l T ( í d )

onde :

Sm é o valor médio de S no intervalo T0 (período)

∆S é máxima variação de S no intervalo T0 (período)

São Paulo -2009 62

Admitindo Sm e ∆S conhecidos pode-se fazer a seguinte mudança de variável:

∆−

tB π=e1.31 1.32

S∆ 0T

btê 1 33

)(BsenA =

obtêm-se: 1.33

)( AarcsenB =

A função obtida (1.33) tem média zero e amplitude 2

São Paulo -2009 63

A função de distribuição de A é:

F(a) = P(A < a) = P(sen(B) < a) = P(B < b) 1.33

onde b = arcsen(a)( )

No intervalo (-π, +π) a função B = arcsen(A) apresenta dois valores iguais para cada valor de A e portanto a probabilidade P(B < b) nesse intervalo, é igual ao dobro da probabilidade P(B < b) no intervalo (-π/2 ≤ b ≤ +π/2) dessa forma a função de distribuição pode ser escritacomo:

F(a) = 2P(B < b) = b/π = arcsen(x)/π 1.34

São Paulo -2009 64

Conseqüentemente tem-se:

1)(adF( )21

1)()(ada

adFaf−

== 1.35

25 A função (1.35) é simétrica e portanto

i édi

15possui média zero, isto é:

-1 25 -1 00 -0 75 -0 50 -0 25 0 00 0 25 0 50 0 75 1 00 1 25

m(a) = 0 1.36

-1,25 -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

São Paulo -2009 65

A esperança da função S é Sm = m(S) e a incerteza é s(S) a determinar.

( ) ∫∫1 21 daa

( ) 222 )]([)( AAA µµσ −= 1.37( ) ( )

( )∫∫−− −

1 adaadaafaA

( ) )( 22 AA µσ = 1.38

como m(A) = 0 tem-se:

São Paulo -2009 66

( ) ( )( )21)(1

122 =+−−= +

−aarcsenaaAµ 1.40

como S = S + Ax∆S e s2(αX + β) = α2σ2(X) pode-se escrever:

( ) ( )( )22 1π

como S = Sm + Ax∆S e s (αX + β) = α σ (X) pode-se escrever:

( ) ( ) )(2222 ASSASSs σσ ×∆=∆×+= 1 41( ) ( ) )(ASSASSs m σσ ×∆=∆×+=

e portanto

1)( 22 ×∆= SSs )( SSs ∆= 1.42

São Paulo -2009 67

São Paulo -2009 68

• GRANDEZAS DE INFLUÊNCIA Qualificação

• MODELO MATEMÁTICO Inter‐relação

• INCERTEZA PADRONIZADA Quantificação

• INCERTEZA COMBINADA Avaliação

• GRAU DE LIBERDADE•COEFICIENTE DE ABRANGÊNCIA

Confirmação

• DESVIO + INCERTEZA Conformidade

São Paulo -2009 69

DESVIO + INCERTEZA Conformidade

O que serve para um cliente d ã i ó ipode não servir para o próximo

São Paulo -2009 70

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOExemplo 1Exemplo 1 :Se uma solução de NaOH, a ser preparada, for utilizada em determinações

quantitativas ela deve ser padronizada (produção de uma solução padrão).

Para esta formulação pesa-se 0,388 g de biftalato de potássio quedepois de dissolvido em água, é titulado com uma solução base. O

d t t d i tprocesso de pesagem apresenta as componentes da incertezaidentificadas no diagrama de causa e efeito e estão quantificadas natabela a seguir:

ExcentricidadeExcentricidadena pesagemna pesagemCalibraçãoCalibração

tabela a seguir:

BIFTALATOPESAGEM

Resolução Resolução da balançada balança

RepetitividadeRepetitividade

São Paulo -2009 71

Diagrama de causa e efeito da pesagem do biftalatoDiagrama de causa e efeito da pesagem do biftalato

GrandezasGrandezas de Influênciade Influência

IncertezaIncerteza herdadaherdada dada calibraçãocalibração dada balançabalança:: o valor é obtidodiretamente do certificado de calibração da balança: 0,002 g

Repetitividade da balança:Repetitividade da balança: o valor é obtido diretamente do certificado de calibração da balança: 0 001 gde calibração da balança: 0,001 g

ResoluçãoResolução dada balançabalança:: o valor é obtido do certificado de calibraçãoou do manual da balança: 0,001 g

São Paulo -2009 72

G dG d d I fl ê id I fl ê iINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

GrandezasGrandezas de Influênciade Influência

E t i id dE t i id dExcentricidadeExcentricidade nana pesagempesagem:: A variação da indicação devida àexcentricidade é estimada pela equação ∆m = ∆Exxd1/d2. Énecessário conhecer a dimensão útil do prato da balança (d1) e1estimar o erro máximo (d2) de colocação do objeto no prato dabalança. Do certificado de calibração, tem-se: ∆Ex = 0,0032 g.Para este exemplo, serão admitidos os vaores d2 = 5 mm e d1 = 80a a es e e e p o, se ão ad dos os ao es d2 5 e d1 80mm.

dps LM

d Pd 1 L m

d > diâmetrodo peso (50% CM)

São Paulo -2009 73

dps => diâmetro do peso (50% CM)d1 => dimensão característica do pratod2=> erro máxim de excentricidade

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOOs valores estimados das incertezas acima são os valores máximos decada componente.

Para a padronização, isto é, redução a um nível da confiança de

~68% é necessário dividir cada valor por um fator adequado definido68%, é necessário dividir cada valor por um fator adequado, definido

partir da identificação do tipo de distribuição de probabilidade de cada

componente como visto anteriormente

Para as incertezas devidas à excentricidade, e à resolução pode ser

componente, como visto anteriormente.

assumida uma distribuição retangular e para a redução (padronização)

devem ser divididas por √3.

A incerteza herdada da calibração da balança assume uma distribuição

normal e tem o seu fator (k) expresso no certificado de calibração.

São Paulo -2009 74

Componente Estimativa Distribuição de Fator de Incerteza

padronizada Variância

Tabela:Tabela: Resumo para determinação da incerteza combinada de uma pesagem.Resumo para determinação da incerteza combinada de uma pesagem.

da incerteza (g)de

probabilidade redução padronizada (g) padronizada

H d d 0 002 N l 2 02 (*) 9 90 10 4 9 80 10 7Herdada 0,002 Normal 2,02 (*) 9,90x10-4 9,80x10-7

Excentricidade 0,0032/5x80 Retangular 2√3 5,77x10-5 3,33x10-9

Repetitividade 0,001 Normal 1 (**) 1,00x10-3 1,00x10-6

Resolução 0,001 Retangular 2√3 2,88x10-4 8,50x10-8

São Paulo -2009 75(*) Obtido do certificado de calibração da balança.

(**) Uma só pesagem

Com os valores calculados da última coluna, e utilizando a fórmula

324232524 10441)10882()10001()10775()10909()( −−−−−

tem se: 0 0014

324232524 1044,1)1088,2()1000,1()1077,5()1090,9()( ×=×+×+×+×=yu

tem-se: 0,0014 g

Portanto, 0,0014 g é a incerteza combinada padronizada doprocesso de pesagem, no qual as grandezas de entrada têma mesma unidade da grandeza de saída (mensurando).

São Paulo -2009 76

São Paulo -2009 77

No exemplo anterior foi preparada uma solução de hidróxido de

sódio padroni ada (18 64 ml) com biftalato de potássio e aplicadosódio padronizada (18,64 ml) com biftalato de potássio e aplicado

um método mais simples em que a incerteza dependeu

basicamente da pesagem e da balança (grandezas de entrada).

Porém, na determinação da concentração de uma base há outros

fatores presentes, que são:p , q

incerteza do grau de pureza do reagente e

i t l ti à l d tincerteza relativa à massa molar do reagente.

São Paulo -2009 78

A massa molar da substância padrão possui uma incerteza padrão cujoA massa molar da substância padrão possui uma incerteza padrão, cujovalor está relacionado com a incerteza na determinação da massa atômicados átomos constituintes do biftalato de potássio (C8H5O4K).

Estas informações são publicadas na IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry).

O cálculo da incerteza padrão relativa à massa molecular do biftalatoO cálculo da incerteza padrão relativa à massa molecular do biftalatode potássio pode ser feita como segue:

São Paulo -2009 79

ElementoElemento Massa atômicaMassa atômicaIncerteza relatada Incerteza relatada

((±±))((±±))

Carbono Carbono –– CC 12,01112,011 0,001000,00100

Hidrogênio Hidrogênio -- HH 1,007941,00794 0,000070,00007

OxigênioOxigênio OO 15 999415 9994 0 000300 00030Oxigênio Oxigênio -- OO 15,999415,9994 0,000300,00030

Potássio Potássio -- KK 39,098339,0983 0,000100,00010

TabelaTabela 1:1: IncertezasIncertezas das das massasmassas atômicasatômicas dos dos elementoselementosconstituintesconstituintes do do biftalatobiftalato de de potássiopotássio, , segundosegundo a IUPACa IUPAC

As incertezas da tabela acima devem ser consideradas como incertezaspadrão. Como não é fornecido o nível de confiança dos dados, érecomendado assumir uma distribuição retangular isto é qualquer valor

São Paulo -2009 80

recomendado assumir uma distribuição retangular, isto é, qualquer valorneste intervalo tem probabilidade igual de ocorrer.

ElementoElemento Massa atômica totalMassa atômica total Incerteza padronizadaIncerteza padronizada

Carbono Carbono –– CC

Hidrogênio Hidrogênio –– HH

Oxigênio Oxigênio –– OO

PotássioPotássio KKPotássio Potássio –– KK

uC = ?????

São Paulo -2009 81

ElementoElemento Massa atômica totalMassa atômica total Incerteza padronizadaIncerteza padronizada

Carbono Carbono –– CC 8x12,0118x12,011 8x0,00100/8x0,00100/√3√3 0,0046190,004619

Hidrogênio Hidrogênio –– HH 5x1,007945x1,00794 5x0,00007/5x0,00007/√3√3 0,0002020,000202

OxigênioOxigênio OO 4x15 99944x15 9994 4x0 00030/4x0 00030/√3√3 0 0006920 000692Oxigênio Oxigênio –– OO 4x15,99944x15,9994 4x0,00030/4x0,00030/√3√3 0,0006920,000692

Potássio Potássio –– KK 1x39,09831x39,0983 1x0,00010/1x0,00010/√3√3 0,0000580,000058

TabelaTabela 22:: CálculoCálculo dada incertezaincerteza padronizadapadronizada combinadacombinada relativarelativa aoaopesopeso molecularmolecular dodo biftalatobiftalato dede potássiopotássio (C(C HH OO KK 204204 22362236 g/molg/mol))pesopeso molecularmolecular dodo biftalatobiftalato dede potássiopotássio (C(C88HH55OO44KK 204204,,22362236 g/molg/mol))

A raiz da soma quadrática dos valores da quarta coluna, fornece o valorda incerteza padrão do peso molecular do reagente: 4 675x10-3 ou

São Paulo -2009 82

da incerteza padrão do peso molecular do reagente: 4,675x10 3, ouseja 0,0047 g/mol.

O grau de pureza do reagente também deve ser considerado comog p gfonte de incerteza. Os valores encontrados no rótulo do produto são:99,950% - 99,975%. A incerteza, relativa ao grau de pureza, pode serdeterminada em relação à média aritmética dos valoresadimensionais (0,99950 + 0,99975)/2, sendo o valor (0,99975 –0 99950)/2 i bilid d d d0,99950)/2 a variabilidade dessa grandeza.

Assim o grau de pureza será : P = 0 999625P = 0 999625 ±± 0 0001250 000125P 0,999625 P 0,999625 ±± 0,0001250,000125.

São Paulo -2009 83

Todos esses fatores são componentes da incerteza combinada daconcentração da solução de NaOH, que é determinada a partir daseguinte fórmula:

(1)Lmol

NaOHBif

BifBif 10189,064,182236,204

99963,0388,01000.

..1000 .. =×××

=NaOHBif ,,.

São Paulo -2009 84

PesagemPesagem Grau de PurezaGrau de PurezaCalibração

Excentricidade

Repetitividade

Concentração da solução de NaOH

Expansão Térmica

Resolução

Expansão Térmica

Calibração da Bureta

D P Ponto Final (viragem)

Peso MolecularPeso Molecular Erros Não Corrigidos

Interpolação (indicação)

D.P. Ponto Final (viragem)

Titulação (método)Titulação (método)

Interpolação (indicação)

Diagrama de causa e efeito da padronização de uma solução de NaOH.São Paulo -2009 85

Analisando o diagrama de causa e efeito do processo de determinação

da concentração da solução de NaOH, apresentado na figura anterior,

verifica-se que cada grandeza de entrada (massa de reagente, grau de

pureza do reagente, peso molecular do reagente e volume de NaOH)

está expressa em uma unidade diferente.

A incerteza A incerteza combinadacombinada dada titulaçãotitulação deverádeverá ser ser expressaexpressa emem mol/L.mol/L.

Como Como calcularcalcular essaessa incerteza ?incerteza ?

São Paulo -2009 86

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFoi visto que a incerteza combinada é determinada a partir damultiplicação de cada componente de incerteza por um coeficiente desensibilidade, definido como sendo a variação da quantidade dagrandeza de saída (interesse) por cada grandeza de entrada(influência)(influência).

Matematicamente, essa taxa de variação da grandeza de saída emrelação a cada grandeza de entrada é sintetizada pela seguinteequação:

11 )(...)()()( nnc ucucucyu +++=

onde c1, c2, ... , cn são os coeficientes de sensibilidade de cadacomponente de entrada e u1, u2, ... , un suas respectivas incertezas

São Paulo -2009 87

padrão.

Para calcular os coeficientes de sensibilidade, é necessário derivarparcialmente a concentração em função de cada componente deparcialmente a concentração em função de cada componente deentrada.

A concentração de NaOH na solução é uma função de quatro variáveis:A concentração de NaOH na solução é uma função de quatro variáveis: C = f(P, m, PM, V).

AA regraregra geralgeral parapara derivaçãoderivação dede umauma funçãofunção comcom umauma únicaúnica variávelvariávelindependenteindependente tipotipo ,, sendosendo nn == ...... --22,,--11,,00,,11,, 22,, 33,, ...... éé aanxxfy == )(pp ppseguinteseguinte::

( ) ( ) (3)( ) ( ) ( )1. −== nn

xndxxd

São Paulo -2009 88

Quando a função é do tipo , podemos derivar a função),,( zuxfy =

em relação a cada variável independente da mesma forma, seconsiderarmos as demais como constantes.

Seja a função concentração de NaOH, dependente de quatro variáveis:

(4)( )VPM

PmVPMmPfC.

..1000,,, ==

Derivando parcialmente a função (4) em relação ao grau de pureza, asp ç ( ) ç g p ,demais variáveis independentes permanecerão constantes, e aplicandoao grau de pureza a regra da equação (3), em que o expoente é n=1,

São Paulo -2009 89

tem -se:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

===∂∂ −

VxPMmx

VxPMmxP

PC 1019,0

64182236204388,0100010001000..1 11

⎠⎝×∂ lVxPMVxPMP 64,182236,204

para a massa vale:

( ) ⎞⎜⎜⎛

===∂ − molPxPxmC 2627,01100010001000..1 11

⎠⎜⎜⎝×∂ lgVxPMVxPM

6 7,064,182236,204

São Paulo -2009 90

Aplicando a equação 3 e considerando n = -1 as derivadas parciais daAplicando a equação 3 e considerando n 1 as derivadas parciais da concentração em relação ao volume e ao peso molecular serão:

⎞⎛( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=−=∂∂

222 00547,064,182236,2041388,0.10001000

VxPMPxmx

⎞⎜⎜⎛

==∂ molPxmxC 0005001388,0.10001000 2

( ) ⎠⎜⎜⎝

−=×

−=−=∂ lgVxPMPM .

00050,064,182236,204 22

A A unidadeunidade de de cadacada coeficientecoeficiente de de sensibilidadesensibilidade é é taltal queque multiplicadamultiplicada pelapela respectivarespectiva grandezagrandeza de de entradaentrada, , resultaresultaNota:Nota:

emem unidadeunidade de de concentraçãoconcentração –– mol/L. mol/L.

São Paulo -2009 91

Fonte de incerteza Estimativa Distribuição de

probabilidadesFator de redução

Coeficiente de

sensibilidadeMemória

Incerteza padronizada

(±mol/ L)( )

Pesagem 0,002 Normal 2,03 (*) 0,2627 0,002x0,2627/2,03 2,588x10-4

Titulação 0,1 Normal 2,00 (*) -0,00547 -0,1x0,00547/2 -2,735x10-4

Grau de pureza 0,00013 Retangular √3 0,1019 0,00013x0,1019/√3 7,648x10-6

Peso molecular 0,0047 Normal 1 -0,0005 -0,0047x0,0005/1 -2,35x10-6

(*) Calculado pela fórmula de Welch‐Satterthwaite

Aplicando-se a equação 2, obtém-se a incerteza combinada da solução

São Paulo -2009 92

p q ç , çde NaOH : 3,765x10-4, isto é , 0,0004 mol/L.

TUDO TEM QUE VALER A PENATUDO TEM QUE VALER A PENASão Paulo -2009 93

TUDO TEM QUE VALER A PENATUDO TEM QUE VALER A PENA

Todavia, pode-se utilizar uma forma mais fácil para o cálculo da incerteza combinada quando as variáveis de entrada não tem a mesma unidade dacombinada quando as variáveis de entrada não tem a mesma unidade da variável de saída:

)(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

CCu VPMmP

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝NaOH

⎞⎜⎛⎞

⎜⎛⎞

⎜⎛ uuuu VPMP( ) )()()()( ⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

CNaOHu VPMmPNaOHc

Neste caso a tabela de incerteza pode ser sintetizada como segue:Neste caso a tabela de incerteza pode ser sintetizada como segue:

São Paulo -2009 94

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFonte de Fonte de incertezaincerteza

EstimativaEstimativaDistribuição de Distribuição de probabilidadesprobabilidades

Fator de Fator de reduçãoredução

Valor da Valor da grandezagrandeza

Incerteza Incerteza padronizada padronizada

PesagemPesagem 0,0020,002 NormalNormal 2,03 2,03 0,388 g0,388 g 2,539x102,539x10‐‐33

TitulaçãoTitulação 0,10,1 NormalNormal 2,00 2,00 18,64 mL18,64 mL 2,682x102,682x10‐‐33

Grau de Grau de purezapureza

0,000130,00013 RetangularRetangular √3√3 0,999630,99963 7,508x107,508x10‐‐55

Peso Peso molecularmolecular

0,00470,0047 NormalNormal 11 204,2212 g/mol204,2212 g/mol 2,301x102,301x10‐‐55

Aplicando Aplicando ‐‐se a equação se a equação 22, obtém, obtém‐‐se a incerteza combinada da solução de se a incerteza combinada da solução de NaOHNaOH

: : 3,694x103,694x10--44, isto é , , isto é , 0,0004 0,0004 mol/Lmol/L..

A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização doA diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do

São Paulo -2009 95

A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do

método das incertezas relativas para esse caso.método das incertezas relativas para esse caso.

Como a incerteza combinada de qualquer método analítico é calculadacom base nas incertezas padronizadas de cada grandeza de entradacom base nas incertezas padronizadas de cada grandeza de entradae, de acordo com a estatística, o nível de confiança dessa incertezacombinada é de apenas 68% (correspondente a 1 desvio padrão dap ( p pcurva gaussiana),

É necessário aumentar o nível de confiança dessa incerteza parapatamares em torno de 95% ou 99%.

Normalmente, na metrologia utiliza-se um nível de confiança de95 45% Nesse caso a incerteza combinada deve ser expandida95,45%. Nesse caso, a incerteza combinada deve ser expandida.

ComoComo fazerfazer isso?isso?ComoComo fazerfazer isso?isso?São Paulo -2009 96

CÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDACÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDA

Existe uma recomendação do Grupo de Trabalho do ISO - GUM de queas incertezas de qualquer medida sejam apresentadas de forma aas incertezas de qualquer medida sejam apresentadas de forma aabranger uma fração maior da distribuição de valores do que estariamsendo atribuídos ao mensurando com a incerteza combinadasendo atribuídos ao mensurando com a incerteza combinadapadronizada.

AssimAssim éé necessárionecessário multiplicarmultiplicar aa incertezaincerteza combinadacombinada porpor umum fatorfatordede abrangênciaabrangência,, queque definedefine umum intervalointervalo dede validadevalidade maiormaior (( maiormaiornívelnível dada confiança)confiança)..

São Paulo -2009 97

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOGrau de Liberdade EfetivoGrau de Liberdade Efetivo

Segundo os preceitos estatísticos uma estimativa da eficácia de umaSegundo os preceitos estatísticos, uma estimativa da eficácia de umamedição pode ser avaliada baseada em uma distribuição deprobabilidade normal.

De um modo geral, a distribuição de Student não descreve adi t ib i ã d iá l ( Y)/ ( ) 2( ) é d d

distribuição da variável (y – Y)/uc(y) se uc2(y) que é a soma de duas ou

mais variâncias estimadas ui2(y) = ci

2u2(xi), mesmo se cada xi for aestimativa de uma grandeza de entrada Xi com distribuição normalestimativa de uma grandeza de entrada Xi com distribuição normal.

Todavia,Todavia, aa distribuiçãodistribuição dada variávelvariável (y(y –– Y)/Y)/uucc(y)(y) podepode serser,, çç (y(y )) cc(y)(y) ppaproximadaaproximada aa umauma distribuiçãodistribuição emem “t”“t” ((StudentStudent)) usandousando--sese umumgraugrau dede liberdadeliberdade efetivoefetivo dadodado pelapela equaçãoequação dede WelchWelch -- SatterthwaiteSatterthwaite

São Paulo -2009 98

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO( )[ ]

( )[ ]∑=

ceff yu

equação de Welch Satterthwaite

( )[ ]∑=i i

i y1 υ

onde: é a incerteza combinada do método;

equação de Welch - Satterthwaite

é a incerteza padronizada de cada componente

)(yui i

A informação fundamental para que se possa fazer essa avaliação é o

e é o número de graus de liberdade da componente iiυA informação fundamental para que se possa fazer essa avaliação é oconhecimento do número de graus de liberdade de cada componente, quetambém depende do tamanho da amostra.também depende do tamanho da amostra.

.São Paulo -2009 99

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOA incerteza padrão combinada calculada representa o desvio padrãoestimado da grandeza de saída (interesse).

Ao se calcular a incerteza padrão combinada da concentração dasolução de NaOH está sendo estimando o desvio padrão dessasolução de NaOH, está sendo estimando o desvio padrão dessaconcentração, pois essa incerteza foi calculada a partir das incertezaspadronizadas (expressas como desvio padrão) de cada grandeza dep ( p p ) gentrada (influência).

Assim, ao determinar o número de graus de liberdade da incerteza, gcombinada está sendo avaliado a eficácia do processo de preparaçãoda solução.

QuantoQuanto maiormaior oo númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdademaiormaior aa probabilidadeprobabilidade dede queque oo valorvalor verdadeiroverdadeiroestejaesteja dentrodentro dada faixafaixa dede incertezaincerteza estimadaestimada..

São Paulo -2009 100

Grau de Liberdade para Incertezas Tipo “A”Grau de Liberdade para Incertezas Tipo “A”

OO númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdade dede umum conjuntoconjunto dede medidasmedidas(amostra(amostra dede umauma população)população) éé dadodado pelapela seguinteseguinte relaçãorelação::

ννii = n = n -- 11

ondeonde ννii éé oo númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdade dodo conjuntoconjunto dede ii medidas,medidas, eenn éé oo númeronúmero dede medidasmedidas dessedesse conjuntoconjunto..

Graus de Liberdade para Incertezas Tipo “B”Graus de Liberdade para Incertezas Tipo “B”Quando se estima uma incerteza tipo “B”, são estabelecidos os limitesextremos das diferentes distribuições de probabilidade que essaincerteza pode assumirincerteza pode assumir.

Isso é necessário para que, independentemente da distribuiçãoassumida (triangular, normal, retangular ou bimodal), o valor verdadeiroesteja dentro desse intervalo.

Assim o grau de liberdade deve ser tal que a probabilidade de o valorverdadeiro estar no interior da distribuição seja máximo, e que aprobabilidade de estar fora desse intervalo seja mínimo

Então,Então, parapara qualquerqualquer distribuiçãodistribuição dede probabilidadeprobabilidade assumida,assumida, oo númeronúmero

probabilidade de estar fora desse intervalo seja mínimo.

São Paulo -2009 102102

dede grausgraus dede liberdadeliberdade dasdas incertezasincertezas tipotipo “B”“B” tendetende aa infinitoinfinito..

PodePode--se,se, dessadessa forma,forma, assumirassumir queque oo valorvalor dodo númeronúmero dede grausgraus dedeliberdadeliberdade parapara asas incertezasincertezas tipotipo “B”“B” éé sempresempre infinitoinfinito::liberdadeliberdade parapara asas incertezasincertezas tipotipo BB éé sempresempre infinitoinfinito::

νi ∞incerteza tipo Bi

EstaEsta éé umum simplificaçãosimplificação aceita,aceita, parapara aa maioriamaioria dosdos casoscasos nanametrologia,metrologia, emem sese tratandotratando dede incertezasincertezas dodo tipotipo BB

UmaUma formaforma dede avaliaravaliar oo graugrau dede liberdadeliberdade parapara incertezasincertezas dodo tipotipo BB ééUmaUma formaforma dede avaliaravaliar oo graugrau dede liberdadeliberdade parapara incertezasincertezas dodo tipotipo BB ééconsiderarconsiderar umauma incertezaincerteza ∆∆u(xu(xii)) parapara aa incertezaincerteza u(xu(xii))..

( ) ( ) 22 11−

⎤⎡∆( )( )[ ]

( )( )2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆≈≈

( )[ ] ( ) ⎦⎣ ii

Avaliação finalAvaliação final INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFontes de incertezaFontes de incerteza Incerteza padronizadaIncerteza padronizada Graus de liberdadeGraus de liberdade

BalançaBalançaP dP d bift l tbift l t

ResoluçãoResolução 2,886x10-4 infinitoinfinitoCalibraçãoCalibração 4,219x10-4 8(*)8(*)

Pesagem do Pesagem do biftalatobiftalatodede

potássiopotássio

ExcentricidadeExcentricidade 5,77x10-5 infinitoinfinito

RepetitividadeRepetitividade 5,77x10-4 infinitoinfinito

uucc = 7,73x10= 7,73x10--44 U = 0,002 g ννefef = 90 = 90 k= 2,03k= 2,03cc ,, , g efef ,,

BuretaBureta

Expansão térmicaExpansão térmica 2,89x10-2 infinitoinfinitoInterpolaçãoInterpolação 1,443x10-2 infinitoinfinitoCalibraçãoCalibração 5 0x10-3 infinitoinfinitoBuretaBureta

Titulação com solução Titulação com solução de NaOHde NaOH

CalibraçãoCalibração 5,0x10 3 infinitoinfinitoPonto finalPonto final 3,0x10-3 infinitoinfinito

Erros não corrigidosErros não corrigidos 1,73x10-2 infinitoinfinito

uucc = 4,76x10= 4,76x10--22 U = 0,095 mL ννef ef = = ∞∞ k= 2,00k= 2,00

IncertezaIncerteza

PesagemPesagem 2,038x10-4 92(**)92(**)Grau de purezaGrau de pureza 2,941x10-5 InfinitoInfinitoIncerteza Incerteza

Concentração de Concentração de NaOHNaOH

Peso molecularPeso molecular -2,350x10-6 InfinitoInfinitoTitulaçãoTitulação -2,604x10-4 infinitoinfinito

uucc = 3,32x10= 3,32x10--44 U = 0,0007 mol/L ννefef = 648= 648 k= 2,00k= 2,00

São Paulo -2009104

cc ,, , ννefef 648 648 k 2,00k 2,00

(*) obtido do certificado(*) obtido do certificado(**) calculado pela equação de Welch (**) calculado pela equação de Welch ‐‐ SatterthwaiteSatterthwaite

PaquímetrosPaquímetros

NomenclaturaNomenclatura

DefiniçõesDefinições

CalibraçãoCalibração

AnalógicoAnalógico

DigitalDigital

Paquímetros analógicos:Paquímetros analógicos: valor de uma divisão e resoluçãoç

“O valor de uma divisão de um paquímetro é definido pelolt d d di i ã d l d di i ã d lresultado da divisão do valor de uma divisão da escala

principal pelo número de traços do nônio.”

“A resolução pode, no caso limite, ser considerada igual àmetade do valor do nônio.”

Exemplo:

• Valor de uma divisão da escala principal = 1 mm

Valor de uma divisão = 1mm/50 = 0,02 mm

• Número de traços do nônio = 50

Resolução = 0,01 mm

Paquímetros digitais:Paquímetros digitais: valor de uma divisão e resoluçãovalor de uma divisão e resolução

“O valor de uma divisão é a resolução de um paquímetro digital

e são iguais ao valor do menor digito estável apresentado noe são iguais ao valor do menor digito, estável, apresentado no

mostrador.”

Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros

11-- Efetuar a limpeza da superfícies de mediçãoEfetuar a limpeza da superfícies de medição

22-- Verificação dos erros geométricos Verificação dos erros geométricos -- planeza e planeza e paralelismoparalelismopp

ComCom oo auxílioauxílio dede trêstrês blocosblocos padrãopadrão,, comcom diferençasdiferenças dede 00,,002002 mmmmentreentre sisi,, verificarverificar oo erroerro geométricogeométrico dosdos bicosbicos,, gg

ColocarColocar nono meiomeio dosdos bicosbicos oo blocobloco padrãopadrão dede valorvalor intermediáriointermediário..ColocarColocar nono meiomeio dosdos bicosbicos oo blocobloco padrãopadrão dede valorvalor intermediáriointermediário..

TentarTentar passar,passar, nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bico,bico, oo blocoblocodd di ãdi ã ElEl d ád á t á it á i ttdede menormenor dimensãodimensão.. EleEle deverádeverá passar,passar, casocaso contráriocontrário sese temtem umumerroerro dada ordemordem dede 00,,002002 mmmm

Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros

TentarTentar passarpassar nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bicobico oo blocobloco dedeTentarTentar passarpassar nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bicobico oo blocobloco dedemaiormaior dimensãodimensão..

ElEl ãã d ád á t tt t blbl dd di ãdi ãEleEle nãonão deverádeverá passarpassar,, casocaso passarpassar,, tentartentar comcom blocobloco dede dimensãodimensãomaiormaior atéaté nãonão maismais serser possívelpossível passápassá--lolo nono vãovão..

NesteNeste casocaso,, oo erroerro geométricogeométrico seráserá igualigual àà diferençadiferença entreentre oo blocoblocol dl d tt dd bibi últiúlti ããcolocadocolocado nono centrocentro dosdos bicosbicos ee oo últimoúltimo aa passarpassar nono vãovão..

AnotarAnotar oo valorvalor dodo erroerro detectadodetectado nana folhafolha dede cálculoscálculos ((planilhaplanilhaprópriaprópria))..

Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros3 3 -- VerificaçãoVerificação do do efeitoefeito dada travatrava

ColocarColocar umum blocobloco dede 1010 mmmm entreentre osos bicosbicos nono sentidosentido longitudinal,longitudinal,prendêprendê--lolo ee atuaratuar aa travatrava.. VerificarVerificar oo efeitoefeito

4 4 -- VerificaçãoVerificação dada exatidãoexatidão dada escalaescala principalprincipal

CalibrarCalibrar aa escalaescala emem onzeonze pontospontos aoao longolongo dada faixafaixa nominal,nominal,garantindogarantindo queque doisdois pontospontos,, pelopelo menosmenos,, sejamsejam controladoscontrolados nana faixafaixadasdas indicaçõesindicações decimaisdecimaisdasdas indicaçõesindicações decimaisdecimais..

Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros

55 VerificaçãoVerificação dasdas orelhasorelhas55 -- VerificaçãoVerificação dasdas orelhasorelhas

MedirMedir umum anelanel dede φφ 2525 mmmm.. RealizarRealizar trêstrês mediçõesmedições.. AlternativamenteAlternativamente

colocarcolocar umum blocobloco dede 2525 mmmm nosnos bicosbicos ee medirmedir aa aberturaabertura dasdas orelhasorelhas

nono projetorprojetor dede perfilperfil ouou comcom umum MicrômetroMicrômetro dede externoexterno..

R t i lib ã d í tR t i lib ã d í tRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros

66 -- VerificaçãoVerificação dada hastehaste dede profundidadeprofundidade

VerificarVerificar oo erroerro dede exatidãoexatidão dada hastehaste comparandocomparando aa extensãoextensão dadah th t blbl d ãd ã dd 5050 E tE t t êt ê di õdi õ

66 VerificaçãoVerificação dada hastehaste dede profundidadeprofundidade

hastehaste comcom umum blocobloco padrãopadrão dede 5050 mmmm.. ExecutarExecutar trêstrês mediçõesmedições

77 -- VerificaçãoVerificação dodo medidormedidor dede ressaltosressaltos

VerificarVerificar oo erroerro dede exatidãoexatidão dada faceface dede mediçãomedição dede ressaltosressaltoscomparandocomparando oo deslocamentodeslocamento comcom umum blocobloco padrãopadrão dede 5050 mmmm..E tE t t êt ê di õdi õExecutarExecutar trêstrês mediçõesmedições

88 Determinação da incerteza da calibraçãoDeterminação da incerteza da calibraçãoSão Paulo -2009 115

8 8 -- Determinação da incerteza da calibraçãoDeterminação da incerteza da calibração

ExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoCalibração

Colocar a coluna no laboratório D&H 4918

Caracterização do P d ã

Caracterização do Mensurando

Colocar a coluna no laboratório com 24 horas de antecedência

Verificar a limpeza da coluna

Referência doEquipamentode Medição

Constantes Físicas

Meio AmbienteIncerteza do sistema de calibração ou do padrão4x0,0001 bar

Padrão

Descrição da

MensurandoIPT Instituto de Pesquisas Tecnológicas Laboratório de Metrologia - DME

Verificar a limpeza da coluna

Nivelar a coluna (0,1mm/m)I t d

Equipamentode

Medição

Processode

Medição

Estabilidade temporal do sistema de calibração ou do padrão

Resolução do sistema de calibração ou do padrão

Efeito da temperatura no mensurando ou padrãoDescrição da Calibração

Cliente : NOME

Manômetro de coluna F b i t nome

Verificar o zero da coluna

Selecionar os pontos a calibrar

Incerteza da grandezamedida

Arranjo Físicod

Definição da

Grandeza

Efeito da temperatura no mensurando ou padrão

Histerese do mensurando ou do padrão

Erros matemático (arredondamento ajuste de curva

Modelo Avaliação das Grandezas de

Fabricante: nomeIdent.: 014494 ; 1333 ; MAN 0214Modelo: TCR - 500No. de Série: 0214/ 97

Selecionar os pontos a calibrar

Executar três séries de medições

da Medição

SoftwareM l iM d

a Medir

Erros matemático (arredondamento, ajuste de curva,tabelas de interpolação, truncamento)

Incerteza na coluna líquida

∑Modelo Matemático

Grandezas de Influência

Faixa nominal: 500 mmH2O ; 20 Pol H2OValor de uma divisão da escala: 1 mmH2O ;

0.1 PolH2O

Toda vez antes da anotação da indicação bater ligeiramente no t b

eCálculos

MetrologistaMensurandoq

Simplificação do procedimento de medição

Incerteza padronizada do TIPO A∑ ×+= jj EcPM

ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação

Calibração de PAQUÍMETRO

Faixa nominal: 150 mmMensurando

Valor de uma divisão: 0,01 mmAnalógico:Digital: xDigital: xTipo : quadrimensional

PadrãoBlocos Padrão Identificação 936774

Classe 0 Erro máximo 0,0003 mmP d ã l d Id tifi ãPadrão escalonado Identificação n.c.

Erro máximo 0,005 mm

ExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação

Erro geométrico (planeza/paralelismo)Descrição da calibração

Material blocos padrão : 1,004; 1,006 ; 1,008 e 1,010 mm para verificar erro geométrico10 mm verificar efeito da trava10 mm verificar efeito da trava

EscalaMaterial blocos padrão : (0,02 mm) 1,04; 1;48; 10; 17; 20; 25; 50; 75; 100; 150(0,01 ou 0,05 mm) 1,05; 1;45; 10; 17; 20; 25; 50; 75; 100; 150

OrelhaMaterial Anel ou bloco padrão e projetor de perfis (20 ou 25 mm)ProfundidadeMaterial Blocos padrão : 50mmMaterial Blocos padrão : 50mmRessaltoMaterial Blocos padrão : 50mmp

2 - Calibração

Valor Indicação no Paquimetro Média Erro D.PadrãoNominal (mm) (mm) (mm) (mm)( ) ( ) ( ) ( )

0,00 0,00 0,00 0,001,05 1,05 1,04 1,051,45 1,45 1,45 1,45

5 5 00 5 00 5 005 5,00 5,00 5,0010 10,00 10,00 10,0017 16,99 17,00 16,9920 19,99 19,99 19,9924 23,98 23,99 23,9950 49,99 49,99 49,9975 74,99 75,00 75,00

100 99,99 99,99 99,99, , ,150 149,99 149,99 149,99

Erro geométrico 0,002 #DIV/0!

Uso correto de instrumentos

PadrãoPadrãoGrandezas de Influência

Dispersão (mensurando)Dispersão (mensurando)

ResoluçãoResoluçãoçç

Erro geométricoErro geométrico

Ajuste do zeroAjuste do zero

ParalaxeParalaxe

Força de mediçãoForça de medição

TemperaturaTemperatura

P‐ padrão M‐mensurandoMedir é comparar

Ef ‐ erro da força de

Et ‐ erro devido à temperatura (2)Eres‐ resoluçãoM = P

f çmedição

E erro geométricoEz ‐ ajuste de zero

M = PEpx ‐ erro de paralaxeEge – erro geométrico

M = P + Ez+ Ege+ Et+ Egr+ Eres+ Epx + Ef

2 - Calibração

Valor Indicação no Paquimetro Média Erro D.PadrãoNominal (mm) (mm) (mm) (mm)( ) ( ) ( ) ( )

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0 0,0001,05 1,05 1,04 1,05 1,05 0,00 0,0061,45 1,45 1,45 1,45 1,45 0,00 0,000

5 5 00 5 00 5 00 5 00 0 00 0 0005 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 0,00010 10,00 10,00 10,00 10,00 0,00 0,00017 16,99 17,00 16,99 16,99 -0,01 0,00620 19,99 19,99 19,99 19,99 -0,01 0,00024 23,98 23,99 23,99 23,99 -0,01 0,00650 49,99 49,99 49,99 49,99 -0,01 0,00075 74,99 75,00 75,00 75,00 0,00 0,006

100 99,99 99,99 99,99 99,99 -0,01 0,000, , , , , ,150 149,99 149,99 149,99 149,99 -0,01 0,000

Erro geométrico 0,002 0,002

Exemplo de AplicaçãoExemplo de AplicaçãoExemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação

Grandeza Est imat iva D istribuição Incerteza C o ef ic iente de Incerteza Grau de

P adro nizada sensibilidade (mm) liberdade

Padrão 150 T 0,0020 mm 1 0,002 infinitoPadrão 150 T 0,0020 mm 1 0,002 infinitoMensurando 149,990 N 0,0012 mm 1 0,001 2Resolução do mensurando 0 R 0,0029 mm 1 0,003 infinitoErro geométrico 0 R 0,0012 mm 1 0,001 infinitoAf t t d 20°C 0 R 0 5774 k 1 5E 04 0 000 i fi itAfastamento de 20°C 0 R 0,5774 k 1,5E-04 0,000 infinitoGradiente de temperatura 0 R 0,2887 k 1,8E-03 0,001 infinitoParalaxe 0 R 0,0014 mm 0 0,000 infinitoForça de medição 0 R 0,0014 mm 1 0,001 infinitoç çAjuste de zero 0 R 0,0014 mm 1 0,001 infinito

0,004 361k = 2,0 0,009

Não menospreze ninguémNão menospreze ninguémNão menospreze ninguémNão menospreze ninguém

Determinação de CobreDeterminação de Cobre

Voltimetro(ponteciometro)Amperímetro

Anodo formado por umAnodo formado por umfio de Pt em espiral

Catodo formado por uma tela de Ptpor uma tela de Pt

Solução contendo o analito

Barra de agitação magnéticag

Os eletrodos são de tela de platina, pois a estrutura aberta facilitaa circulação da solução.

Um dos eletrodos pode ser usados como agitador da solução.

ELETROGRAVIMETRIA DO COBREELETROGRAVIMETRIA DO COBRE

SÍNTESE DO PROCESSO ANALÍTICO

1a P d i é i t1a. Pesagem do minério................... amostraPreparação da alíquota.................... SolubilizaçãoEletrodeposição separação do CuEletrodeposição – separação do Cu2a. Pesagem da rede Pt + Cu

ESTEQUIOMETRIAESTEQUIOMETRIA:: CuCu2+2+ + 2e = Cu+ 2e = CuESTEQUIOMETRIAESTEQUIOMETRIA: : CuCu 2e Cu 2e Cu

ANÁLISE DOS RESULTADOS :ANÁLISE DOS RESULTADOS :

massa da amostra massa de cobre teor de cobre do minério depositada

(mg) (mg) (% m /m )(mg) (mg) (% mCu/mmin) 625,7 125,1 19,99702,7 140,1 19,94655 3 132 0 20 14655,3 132,0 20,14731,6 146,0 19,96680,9 136,4 20,03612,2 122,1 19,94667,5 133,2 19,96698,4 139,9 20,03, , ,721,2 144,6 20,05751,7 150,1 19,96

d i d ã 0 0632desvio padrão = 0,0632média = 20,00

n = 10

Verificação de “Verificação de “outout‐‐layerlayer””

Critério de Chauvenet : Rc < ( I I )/s(x)20,14

Critério de Chauvenet : Rc < ( Imax – Imédio)/s(x)

Para n=10 Rc = 1 96

20 03Para n=10 Rc = 1,96 20,03

19 96( Imax – Imed)/s(x) = (20,14 – 20,00)/0,063 = 19,96

( Imax Imed)/s(x) (20,14 20,00)/0,063 2,22

rejeita-se o valor 20,1419,96

19 9419,94

ANÁLISE DOS RESULTADOS :ANÁLISE DOS RESULTADOS :

massa da amostra massa de cobre teor de cobre do minério depositada

(mg) (mg) (% m /m )(mg) (mg) (% mCu/mmin) 625,7 125,1 19,99702,7 140,1 19,94655 3 132 0 20 14655,3 132,0 20,14731,6 146,0 19,96680,9 136,4 20,03612,2 122,1 19,94667,5 133,2 19,96698,4 139,9 20,03, , ,721,2 144,6 20,05751,7 150,1 19,96688 0688 0 137 5137 5 média = 19 984688,0688,0 137,5137,5 média 19,984

desvio padrão = 0,0422n=9n = 9 Rc = 1,91

(20,05- 19,984)/0,0422 = 1,56

( , , ) , ,

S j it i lh !!!!S j it i lh !!!!Seja criterioso em suas escolhas !!!!Seja criterioso em suas escolhas !!!!

IDENTIFICAÇÃOIDENTIFICAÇÃO DASDAS FONTESFONTES DEDE INCERTEZAINCERTEZA

A)A) DispersãoDispersão dasdas medidasmedidasQuando se realiza medições deá i d

Média xi di di2 x(10-4)

19,984 - 19,99 = 0,006 0,3619 984 19 94 = 0 044 19 36várias amostras de uma mesma

população ou universo, aincerteza da média pode ser

li d l ti ti d

19,984 - 19,94 = -0,044 19,3619,984 - 19,96 = -0,024 5,7619,984 - 20,03 = 0,046 21,1619 984 19 94 0 044 19 36avaliada pela estimativa do

desvio padrão da médiaconforme:

19,984 - 19,94 = -0,044 19,3619,984 - 19,96 = -0,024 5,7619,984 - 20,03 = 0,046 21,1619,984 - 20,05 = 0,066 43,5619,984 - 19,96 = -0,024 5,76

9Σ di

2 = 0,0142i =1

variância = s2 = 0,0142/(9-1) = 0,0142/8 = 0,00178

s = 0,001781/2 = 0,0422

sm = s/n1/2 = 0,0422/91/2 = 0,0422/3 = 0,0141 % mCu/mmin 0,098 mg p = 68%

Incerteza TIPO A u(x ) = 0 098 mg; 9 medições e distribuição normal

Incerteza TIPO A u(x1) = 0,098 mg; 9 medições e distribuição normal

IDENTIFICAÇÃOIDENTIFICAÇÃO DASDAS FONTESFONTES DEDE INCERTEZAINCERTEZA

B) Incertezas das pesagens B) Incertezas das pesagens –– efeito da balançaefeito da balança

Incerteza da balança (certificado) – 0,12 mg - distribuição normalç ( ) g ç

Incerteza padronizada do uso do padrão: (0,12/2) = 0,060 mgu(x2) = 0,060 (incerteza padronizada da balança) p= 68%u(x2) 0,060 (incerteza padronizada da balança) p 68%

C) Incerteza devido à resolução da balançaC) Incerteza devido à resolução da balançaResolução digital da escala – 0,1 mg Incerteza padronizada à resolução do padrão:

( ) (0 1/2/ i (3)) 0 0289 di ib i ã l 68%u(x3) = (0,1/2/raiz(3)) = 0,0289 mg distribuição retangular p=68%

DD) ) Incerteza devido ao erro de excentricidadeIncerteza devido ao erro de excentricidadeDado do certificado : 0,1 mgDiâmetro do prato: 100mmEstimativa do erro de centragem no prato: 5mm

( ) 0 1 (5/50)/ i (3) 0 006

u(x4) = 0,1x(5/50)/raiz(3) = 0,006 mg

E) Incerteza combinada - u

AVALIAÇÃOAVALIAÇÃO DADA INCERTEZAINCERTEZA

E) Incerteza combinada - uc

uc = [Σ(ci.u(xi))2]1/2

INCERTEZA EXPANDIDA U

uc = [(0,098)2 + (0,060)2 + 2x(0,029)2 + (0,006)2]1/2 = 0,122 mg

INCERTEZA EXPANDIDA, U

Grau de liberdade efetivo:Para um único componente do tipo A a equação de Welch-Satterthwaitepode ser simplificada para :

νef = νax(uc/uA)4ef a ( c A)

νef = (9-1)x(0,122/0,098)4 = 21,6 k = 2,13

U = uc x k U = 0,122x2,13 = 0,26 mg (0,19%)

PENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDEPENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDE

Cuidado com o choque!!!!Cuidado com o choque!!!!

[ρ ] = µΩ cmCuCu 1,71,7

AA 2 22 2AuAu 2,22,2AlAl 3,23,2

MoMo 4,84,8

WW 5,55,5

NaNa 4,24,2SnSn 10,610,6SnSn 10,610,6

M di ã d R i tê i d FiM di ã d R i tê i d FiINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

Medição da Resistência de um FioMedição da Resistência de um Fio

0 0 0A

0~ Modelagem

VR (Ω)V = RV = RxxII R (Ω)V RV RxxII

AA 30,0530,05 30,1030,10 29,9829,98 30,0330,03 30,0130,01,, ,, ,, ,, ,,VV 120,2120,2 120,1120,1 120,0120,0 120,2120,2 120,3120,3

Medidas em mV e mASão Paulo -2009 140

Avaliação das incertezasINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

Dados dos PadrõesDados dos PadrõesAvaliação das incertezas

de influência

Características do amperímetroCaracterísticas do amperímetro

IndicaçãoIndicação 5,005,00 10,0010,00 25,0025,00 50,0050,00 100,00100,00

VVCVVC 4 984 98 10 0110 01 24 9524 95 49 9849 98 99 9799 97VVCVVC 4,984,98 10,0110,01 24,9524,95 49,9849,98 99,9799,97

Incerteza : Incerteza : ±± 0,02 mA0,02 mA

Características do voltímetroCaracterísticas do voltímetro

IndicaçãoIndicação 10,010,0 50,050,0 100,0100,0 150,0150,0 200,0200,0

VVCVVC 9,99,9 50,150,1 99,899,8 149,9149,9 200,2200,2

Incerteza : Incerteza : ±± 0,3 mV0,3 mV São Paulo -2009 141

Ajuste do padrão Ajuste do padrão -- correntecorrente

5,000 10,000 25,000 50,000 100,0004,980 10,010 24,950 49,980 99,970

50 50 -- 3030 == 49,980 49,980 -- XX == 29 95629 95650 50 -- 2525

==49,980 49,980 –– 24,95024,950

== 29,95629,956

Ajuste do padrãoAjuste do padrão -- tensãotensãoAjuste do padrão Ajuste do padrão tensãotensão

10 000 50 000 100 000 150 000 200 00010,000 50,000 100,000 150,000 200,000

9,900 50,100 99,800 149,900 200,200

149 900149 900 XX150 150 -- 120120150 150 -- 100100

==149,900 149,900 -- XX

149,900 149,900 –– 99,80099,800== 119,840119,840

Cálculo do valor da resistênciaCálculo do valor da resistênciaINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

Cálculo do valor da resistênciaCálculo do valor da resistência

Valores Medidos Média des. padr.

30,05 30,10 29,98 30,03 30,01 30,034 0,045

120,2 120,1 120,0 120,2 120,3 120,16 0,114

G d d i fl ê iG d d i fl ê iGrandezas de influência :Grandezas de influência :

Incerteza do amperímetro Incerteza da resolução do amperímetro

Incerteza do voltímetro

Incerteza da medição da corrente Incerteza da resistividade

Incerteza da resolução do voltímetro

Incerteza da medição da tensãoIncerteza da área

Incerteza do efeito da temperatura

Incerteza do comprimento

C fi i t d ibilid dC fi i t d ibilid dINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

VRRRVR ∆∆

∆∂ 11

Coeficientes de sensibilidadeCoeficientes de sensibilidade

IVIVIR =∆⇒=

∂⇒=

222 IIVR

IVR ∆

=∆⇒−=∆∆

=−=∂∂

Grandezas de influência Estimativa Distribuição Incerteza C.S Incerteza G.L.padrão

Padrão - Amp. 30,00 N 0,01000 mA0,1333333

3 0,0013 inf0 0333333

Padrão - Volt. 120,0 N 0,15000 mV0,0333333

3 0,0050 inf

Mensurando - Amp. 30,034 N 0,02015 mA0,1333333

3 0,0027 4

Mensurando- Volt. 120,16 N 0,05099 mV0,0333333

3 0,0017 40 1333333

Resolução - Amp. 0 T 0,00408 mA0,1333333

3 0,0005 inf

Resolução - Volt. 0 T 0,04082 mV0,0333333

3 0,0014 inf

Afastamento de 20°C - compr. 0 R 0,00004 - 4 0,0002 inf

Af t t d 20°C á 0 R 0 00008 4 0 0003 i f

Afastamento de 20°C - área 0 R 0,00008 - 4 0,0003 inf

2,03 0,0063 101

0,013 Ω

4 LLL ρρρ ×××

Coeficientes de sensibilidadeCoeficientes de sensibilidade

LRπρ

πρρ ×

= Expressão da resistência em função das característicasdimensionais e do material.

ρρρ

∆=∆⇒=∆∆

⇒=∂∂

444dLR

ππρπρ ∆∂ 222 ddd

πρ∆

∆∆ dLLR 44 2 ρ∆∆Rρρπ

ππρ

∆×=

ρρ∆

=∆RR

Analogamente :LR ∆∆

Analogamente :

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCoeficientes de sensibilidade

LR ∆∆LL

RR ∆

( ) tLtLL ∆××=−××=∆ αα )20( ))

RR ∆××

=∆ α

tR∆×=

∆ α tR

αSão Paulo -2009 147

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCoeficientes de sensibilidade

∆×××

−=∆⇒××

−=∆∆

⇒××

−=∂∂

242424π

RR ∆

−=∆

⇒∆××××

−=∆ 2

4 ρπ

dRldR 4 ρπ

( ) tdtdd ∆××=−××=∆ αα )20( ) tdtdd ∆××=××=∆ αα )20

∆××∆ tdR 2⇒

∆××−=

tdRR α2

∆×−=∆ α2R

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOComparaçãoComparação

retangular normal student retangular retangular retangular retangular

a 0,10000 0,12000 0,09800 0,40000 0,00000 0,00E+00 0C 0,707106781 0,5 1 0,025 0 0,0000 0

- - -BalançaResolução Pesagem Excentric.

u 0,070711 0,060000 0,098000 0,010000 0,000000 0,000000 0,000000Ponto 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,02198 -0,01673 0,16643 -0,00362 0,00000 0,00000 0,000002 0 02044 -0 03587 -0 04623 -0 00267 0 00000 0 00000 0 000002 0,02044 0,03587 0,04623 0,00267 0,00000 0,00000 0,000003 -0,01178 0,03794 -0,13563 0,00002 0,00000 0,00000 0,000004 0,01913 -0,07290 0,04502 -0,00323 0,00000 0,00000 0,000005 0,00269 -0,08985 -0,00522 -0,00130 0,00000 0,00000 0,000006 0 01010 -0 01201 0 15963 -0 00360 0 00000 0 00000 0 000006 0,01010 -0,01201 0,15963 -0,00360 0,00000 0,00000 0,000007 0,00472 0,03652 0,00482 -0,00337 0,00000 0,00000 0,000008 -0,01792 -0,09737 -0,04052 -0,00004 0,00000 0,00000 0,000009 0,00800 -0,01099 -0,05266 0,00187 0,00000 0,00000 0,00000

10 0 01196 0 03405 0 19565 0 00084 0 00000 0 00000 0 00000

Monte Carlo ISO GUM M 3003 Monte Carlo ISO GUM M 3003

10 0,01196 -0,03405 0,19565 -0,00084 0,00000 0,00000 0,0000011 0,00377 -0,01849 -0,02053 -0,00288 0,00000 0,00000 0,00000

INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOComparaçãoComparação

Monte Carlo ISO GUM M 3003 Monte Carlo ISO GUM M 3003

ISO-GUIA 19970,040825 0,060000 0,098000 0,005774 0,000000 0,000000 0,000000 0,122082 η 19

n M m 0,040825 0,26 k 2,14

9 0,26 -0,25 0,09800 2,40 M3003 0,24 kc 1,99N/R

MCMISO-GUM

N/Rsim nãox

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