Post on 11-Sep-2020
Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas
1.Introdução
2.Derivada da função senh-1 x
3.Derivada da função cosh-1 x
4.Derivada da função tgh-1 x
5.Derivada da função cotgh-1 x
6.Derivada da função sech-1 x
7.Derivada da função cossech-1 x
8.Resumo das derivadas das funções hiperbólicas inversas
9.Exemplos
3
Devemos lembrar que, para existir a derivadada função hiperbólica inversa, é necessária que elaseja biunívoca. Portanto, atenção especial deve serdada às funções cosh x e sech x, pois devemosrestringir o domínio das mesmas para que possamosderivá-las corretamente.
A seguir, mostraremos duas formas dederivação para as funções hiperbólicas inversas.
1. Introdução
4
Demonstração 1: Seja y = senh-1x
1senh
senh
y x
y x
−==
2. Derivada da função senh-1 x
5
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
2. Derivada da função senh-1 x
[ ] [ ]senh
cosh 1
1cosh
d dy x
dx dxdy
ydx
dydx y
=
=
=
6
Lembrando que:
Teremos:
Porém:
2 2cosh senh 1y y− =
2. Derivada da função senh-1 x
2cosh 1 senhy y= ± +
cosh 1y ≥
7
Então:
Assim sendo:
2. Derivada da função senh-1 x
2cosh 1 senhy y= +
2
1
2
1
1 senh
1senh
1 x
dydx y
dy
dx−
=+
= +
8
Demonstração 2:
( )( )
1 2
1 2
1 2
2
1
2 2
senh ln 1
senh ln 1
1senh 1
1
1 1senh 1 2
1 2 1
x x x
d dx x x
dx dxd d
x x xdx dxx x
dx x
dx x x x
−
−
−
−
= + +
= + +
= ⋅ + + + +
= ⋅ + ⋅ + + +
2. Derivada da função senh-1 x
9
1
2 2
21
2 2
1
2
1senh 1
1 1
1 1senh
1 1
1senh
1
d xx
dx x x x
d x xx
dx x x x
dx
dx x x
−
−
−
= ⋅ + + + +
+ + = ⋅ + + +
= + +
2 1x x+ +⋅2
1
2
1
1senh
1
x
dx
dx x
−
+
= +
2. Derivada da função senh-1 x
10
Demonstração 1: Seja y = cosh-1x
1cosh
cosh
y x
y x
−==
3. Derivada da função cosh-1 x
11
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
[ ] [ ]cosh
senh 1
1senh
d dy x
dx dxdy
ydx
dydx y
=
=
=
3. Derivada da função cosh-1 x
12
Lembrando que:
Teremos:
Porém:
2 2cosh senh 1y y− =
2senh cosh 1y y= ± −
cosh y 1 senh 0y≥ ⇒ ≥
3. Derivada da função cosh-1 x
13
Então:
Assim sendo:
2senh cosh 1y y= −
2
1
2
1
cosh 1
1cosh
x 1
dydx y
dy
dx−
=−
= −
3. Derivada da função cosh-1 x
14
Demonstração 2:
( )( )
1 2
1 2
1 2
2
1
2 2
cosh ln 1
cosh ln 1
1cosh 1
1
1 1cosh 1 2
1 2 1
x x x
d dx x x
dx dxd d
x x xdx dxx x
dx x
dx x x x
−
−
−
−
= + −
= + −
= ⋅ + − + −
= ⋅ + ⋅ + − −
3. Derivada da função cosh-1 x
15
1
2 2
21
2 2
1
2
1cosh 1
1 1
1 1cosh
1 1
1cosh
1
d xx
dx x x x
d x xx
dx x x x
dx
dx x x
−
−
−
= ⋅ + + − −
− + = ⋅ + − −
= + −
2 1x x− +⋅2
1
2
1
1cosh
1
x
dx
dx x
−
−
= −
3. Derivada da função cosh-1 x
16
Demonstração 1: Seja y = tgh-1x
1tgh
tgh
y x
y x
−==
4. Derivada da função tgh-1 x
17
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
[ ] [ ]2
2
tgh
sech 1
1
sech
d dy x
dx dxdy
ydx
dydx y
=
=
=
4. Derivada da função tgh-1 x
18
Lembrando que:
Teremos:
2 2sech 1 tghy y= −
2
12
1
1 tgh
1tgh
1 x
dydx y
dy
dx−
=−
= −
4. Derivada da função tgh-1 x
19
Demonstração 2:
( ) ( )
1
1
1
1
1 1tgh ln
2 1
1 1tgh ln
2 1
1tgh ln 1 ln 1
21 1 1
tgh2 1 1
xx
x
d d xx
dx dx x
d dx x x
dx dxd
xdx x x
−
−
−
−
+ = −
+ = −
= ⋅ + − −
= ⋅ + + −
4. Derivada da função tgh-1 x
20
1
1
12
1 1 1tgh
2 ( 1) (1 )
1 2tgh
2 (1 ) (1 )
1tgh
1
d x xx
dx x x
dx
dx x x
dx
dx x
−
−
−
− + + = ⋅ + ⋅ −
= ⋅ + ⋅ −
= −
4. Derivada da função tgh-1 x
21
Demonstração 1: Seja y = cotgh-1x
1cotgh
cotgh
y x
y x
−==
5. Derivada da funçãocotgh-1 x
22
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
[ ] [ ]2
2
cotgh
cossech 1
1
cossech
d dy x
dx dxdy
ydx
dydx y
=
− =
= −
5. Derivada da funçãocotgh-1 x
23
Lembrando que:
Teremos:
2 2cossech cotgh 1y y= −
2
2
12
1
cotgh 1
1
1 cotgh
1cotgh
1 x
dydx y
dydx y
dy
dx−
= −−
=−
= −
5. Derivada da funçãocotgh-1 x
24
Demonstração 2:
( ) ( )
1
1
1
1
1 1cotgh ln
2 1
1 1cotgh ln
2 1
1cotgh ln 1 ln 1
21 1 1
cotgh2 1 1
xx
x
d d xx
dx dx x
d dx x x
dx dxd
xdx x x
−
−
−
−
+ = −
+ = −
= ⋅ + − −
= ⋅ − + −
5. Derivada da funçãocotgh-1 x
25
1
12
12
12
1 1 1cotgh
2 ( 1) ( 1)
1 2cotgh
2 1
1cotgh
11
cotgh1
d x xx
dx x x
dx
dx x
dx
dx xd
xdx x
−
−
−
−
− − − = ⋅ + ⋅ −
− = ⋅ −
= − −
= −
5. Derivada da funçãocotgh-1 x
26
Demonstração 1: Seja y = sech-1x
1sech
sech
y x
y x
−==
6. Derivada da função sech-1 x
27
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
[ ] [ ]sech
sech tgh 1
1sech tgh
d dy x
dx dxdy
y ydx
dydx y y
=
− ⋅ =
= −⋅
6. Derivada da função sech-1 x
28
Lembrando que:
Teremos:
Porém:
2 21 tgh sechy y− =
2tgh 1 sechy y= ± −
y 0 tgh 0y≥ ⇒ ≥
6. Derivada da função sech-1 x
29
Então:
Assim sendo:
2tgh 1 sechy y= −
2
2
1
sech 1 sech
1
1 x
dydx y y
dydx x
= −−
= −−
6. Derivada da função sech-1 x
30
Demonstração 2:
( ) ( )
( )
21
21
1 2
1 2
2
1 1sech ln
1 1sech ln
sech ln 1 1 ln
1 1sech 1 1
1 1
xx
x
d d xx
dx dx x
d dx x x
dx dxd d
x xdx dx xx
−
−
−
−
+ − =
+ − =
= + − −
= ⋅ + − − + −
6. Derivada da função sech-1 x
31
( )
( )
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1 1 1sech 2
1 1 2 1
1 1sech
1 1 1
1sech
1 1 1
dx x
dx xx x
d xx
dx xx x
d xx
dx xx x
−
−
−
= ⋅ ⋅ − − + − −
= ⋅ − − + − −
= − − + − ⋅ −
6. Derivada da função sech-1 x
32
( )( )
( )
1
2 2
2 2 2
1
2 2
21
1sech
1 1 1
1 1 1sech
1 1 1
sech
d xx
dx xx x
x x xdx
dx x x x
d xx
dx
−
−
−
= − + + − ⋅ −
+ + − ⋅ − = −
⋅ + − ⋅ −
= −
2 21 1x x+ − + −
( )2 21 1 1x x x
⋅ + − ⋅ −
6. Derivada da função sech-1 x
33
21 1 1
sechxd
xdx
− + − = −
21 1x x⋅ + − 2
1
2
1
1sech
1
x
dx
dx x x
−
⋅ −
= − −
6. Derivada da função sech-1 x
34
Demonstração 1: Seja y = cossech-1x
1cossech
cossech
y x
y x
−==
7. Derivada da funçãocossech-1 x
35
Derivando ambos os lados da equação,obteremos:
[ ] [ ]cossech
cossech cotgh 1
1cossech cotgh
d dy x
dx dxdy
y ydx
dydx y y
=
− ⋅ =
= −⋅
7. Derivada da funçãocossech-1 x
36
Lembrando que:
Teremos:
2 21 cotgh cossechy y− = −
2
2
cotgh 1 cossech
cotgh 1 x
y y
y
= ± +
= ± +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
37
Porém:
Se 0 cotgh 0
Se 0 cotgh 0
x y
x y
> ⇒ >
< ⇒ <
7. Derivada da funçãocossech-1 x
38
Então:
Assim sendo:
2cotgh 1y x= ± +
2
2
1
cossech 1 cossech
1
x 1
dydx y y
dydx x
= −± +
= −+
7. Derivada da funçãocossech-1 x
39
Demonstração 2: Caso 1 (x > 0)
21
21
21
1 1cossech ln
1 1cossech ln
1 1cossech ln
xx
x x
xx
x x
xx
x
−
−
−
+ = +
+ = +
+ + =
7. Derivada da funçãocossech-1 x
40
( )( )
21
1 2
1 2
2
1
2
1 1cossech ln
cossech ln 1 1 ln
1 1cossech 1 1
1 11 1
cossech1 1 2
d d xx
dx dx x
d dx x x
dx dxd d
x xdx dx xxd
xdx x
−
−
−
−
+ + =
= + + −
= ⋅ + + − + +
= ⋅ + + 22
1 x⋅
+
1x
x−
7. Derivada da funçãocossech-1 x
41
( )( )
( )
1
2 2
1
2 2
2 2 2
1
2 2
1 1cossech
1 1 11
cossech1 1 1
1 1 1cossech
1 1 1
d xx
dx xx xd x
xdx xx x
x x xdx
dx x x x
−
−
−
= ⋅ − + + +
= − + + ⋅ +
− + + ⋅ + =
⋅ + + ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
42
21cossech
d xx
dx− =
2 21 1x x− + − −
( )
( )
2 2
21
2 2
21
1 1 1
1 1cossech
1 1 1
1 1cossech
x x x
d xx
dx x x x
xdx
dx
−
−
⋅ + + ⋅ +
− + − =
⋅ + + ⋅ +
+ + = −
21 1x x⋅ + + 21 x ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
43
1
2
1cossech
1
dx
dx x x
− = − ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
44
Demonstração 2: Caso 2 (x < 0)
21
21
21
1 1cossech ln
1 1cossech ln
1 1cossech ln
xx
x x
xx
x x
xx
x
−
−
−
+ = +
+ = −
− + =
7. Derivada da funçãocossech-1 x
45
( )( )
21
1 2
1 2
2
1
2
1 1cossech ln
cossech ln 1 1 ln
1 1cossech 1 1
1 1
1 1cossech
1 1 2
d d xx
dx dx x
d dx x x
dx dxd d
x xdx dx xx
dx
dx x
−
−
−
−
− + =
= − + −
= ⋅ − + − − +
= ⋅ − − + 22
1 x
⋅
+
1x
x−
7. Derivada da funçãocossech-1 x
46
( )( )
( )
1
2 2
1
2 2
2 2 2
1
2 2
1 1cossech
1 1 1
1cossech
1 1 1
1 1 1cossech
1 1 1
d xx
dx xx x
d xx
dx xx x
x x xdx
dx x x x
−
−
−
= ⋅ − − − + +
− = −
− + ⋅ +
− − − + ⋅ + =
⋅ − + ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
47
21cossech
d xx
dx− −
=
2 21 1x x− + + +
( )
( )
2 2
21
2 2
21
1 1 1
1 1cossech
1 1 1
1 1cossech
x x x
d xx
dx x x x
xdx
dx
−
−
⋅ − + ⋅ +
− + =
⋅ − + ⋅ +
− + =
21 1x x⋅ − + 21 x ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
48
1
2
1cossech
1
dx
dx x x
− = ⋅ +
7. Derivada da funçãocossech-1 x
49
Agrupando os casos 1 e 2, teremos:
7. Derivada da funçãocossech-1 x
1
2
1cossech
1
dx
dx x x
− = − ⋅ +
50
8. Resumo das derivadas dasfunções hiperbólicas inversas
A seguir, são apresentadas as versões da Regrada Cadeia para as regras de diferenciação de todas asseis funções hiperbólicas.
1
2
1senh
1
d duu
dx dxu
− = ⋅ +
1
2
1cosh , 1
1
d duu u
dx dxu
− = ⋅ > −
12
1tgh , 1
1d du
u udx u dx
− = ⋅ < −
51
8. Resumo das derivadas dasfunções hiperbólicas inversas
A seguir, são apresentadas as versões da Regrada Cadeia para as regras de diferenciação de todas asseis funções hiperbólicas.
[ ]2
1cossech , 0
1
d duu u
dx dxu u= − ⋅ ≠
+
12
1cotgh , 1
1d du
u udx u dx
− = ⋅ > −
1
2
1sech , 0 1
1
d duu u
dx dxu u
− = − ⋅ < < −
52
Exemplo 1: Determine
9. Exemplos
( )1tg sen d
h xdx
−
( )( )
( )
( )
( )
12
12
12
1tg sen sen
1 sen
costg sen
1 sencos
tg sen cos
d dh x x
dx dxx
d xh x
dx xd x
h xdx x
−
−
−
= ⋅ −
= −
=
53
9. Exemplos
( )
( )
1
1
1tg sen
cos
tg sen sec
dh x
dx xd
h x xdx
−
−
=
=
54
Exemplo 2: Determine
9. Exemplos
( )1tg cos 2d
h xdx
−
( )( )
( )
( ) ( )
( )
12
12
12
1tg cos 2 cos 2
1 cos 2
1tg cos 2 sen2 2
1 cos 22 sen2
tg cos 2sen 2
d dh x x
dx dxx
dh x x
dx xd x
h xdx x
−
−
−
= ⋅ −
= ⋅ − ⋅ −− ⋅
=
55
9. Exemplos
( )
( )
1
1
2tg cos 2
sen2
tg cos 2 2cossec2
dh x
dx x
dh x x
dx
−
−
− =
= −