IM250 Prof. Eugênio Rosa

Formulação

Vorticidade e

Função Corrente

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Fluido incompressível;

O transporte de vorticidade é modelado tomando-se o rotacional da

eq. N-S.

A pressão está desacoplada do campo de vorticidade. Uma vez

conhecida pode-se determinar a pressão.

Por definição a função corrente, , satisfaz a equação da massa.

Formulação Vorticidade-Função Corrente

Vantagens escoamentos 2D e axi-simetricos

O vetor vorticidade reduz para um único componente não nulo,

portanto uma equação escalar!

O campo de velocidade vindo da função corrente elimina a eq. da

massa pois satisfaz automaticamente a massa.

O uso de - reduz um sistema de 3 Eq. (massa, 2 Q. mov) para uma

EDO em

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Plano da Aula

1. Relação entre circulação e vorticidade média;

2. A equação da vorticidade;

3. Apresentar a equação da pressão;

4. Definir circulação e o teorema de Kelvin;

5. Apresentar a definição de Função Corrente;

6. Apresentar a formulação da função corrente;

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Circulação e vorticidade médiaA vorticidade definida por é igual a duas vezes a rotação

do elemento de fluido.

Uma medida da vorticidade média numa área limitada por uma curva C é igual a circulação, , como definida pelo Teorema de Stokes:

V

A circulação = -U.L

A vorticidade média é A= = -U.L = - U/H .

A vorticidade média num circuito é proporcional a vorticidade média na área circunscrita pelo circuito!

C A

V ds V ndA A C

H

Por exemplo, vamos escolher um escoamento numa Camada Limite. A curva C coincide com a parede e com escoamento externo à C.L. .

é circulação (anti-horária) em C é a vorticidade médiaA = L.H é a área limitada por C

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Transporte de Vorticidade e a Equação da Pressão

Veja dedução da Eq. Transporte de

Voriticidade em: Formulação Diferencial

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Equação da Vorticidade Vamos ver que a eq. vorticidade não possui a variável Pressão! Todo odesenvolvimento a seguir aplica-se para escoamento incompressível com e constantes. A eq. N-S passa a ser:

2V PVV V gz

t

Abrindo o termo -x(Vx) = V.(.) - .(.V) - V.() + .(V) e reconhecendo que . = x.V0 para fluido incompressível, então:

2 2DV V ou V

t Dt

(1) x 0 (veja LE#1),

(2) . xV = . 0 (veja LE#1),

(3) .VV = (V2/2) – Vx

Aplicando o operador (x) e as identidades na eq. N-S :

2

0

0 0

V V V PV V gz

t 2

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Equação da Vorticidade (cont.)

O termo .V não possui correspondente na Eq. N-S. Ele é um termo de geração ou destruição de ; depende se .V > 0 ou < 0.

O tensor V é decomposto em S e R. Como S = ST e R =-RT então: .V = .S, assim:

Na forma conservativa, a equação da vorticidade fica sendo:

A equação de transporte de vorticidade

Não possui termo de pressão;

Não possui termo gravitacional;

Possui um termo de produção ou destruição de vorticidade, .S;

(acesse Formulação Diferencial )

j2 ii, j

j i

uu1V onde S

t 2 x x

S

2Vt

S

IM250 Prof. Eugênio Rosa

A Equação da PressãoNum processo similar ao realizado para a eq. da vorticidade, ao

aplicar o operador (.) na eq. N-S (acesse Formulação Diferencial ) chega-se a:

j2 2 i

i j

u u1 1P : ou P

x x

S S

Observe que a pressão é definida por uma equação de Poisson e não depende da viscosidade!

A eq acima define o acoplamento entre o campo de pressão e de velocidades via tensor deformação e vetor vorticidade. Uma vez conhecido o campo de vorticidade pode-se determinar o campo de pressão!

Para um sistema cartesiano no plano (x,y), = (0,0, z) e usando a equação da massa: u/ x+ v/ y =0, chega-se a:

y

v

x

u2

x

v

y

u2p

1 2

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Produção de vorticidade na parede, plano (x,z)

• Parede, plano x,z;

• Fluido incompressível;

• u(x,0,z) = 0 – não deslizamento;

• v(x,0,z) = 0 – sem sucção/injeção;

• w(x,0,z) = 0 – não deslizamento;

• v/ y|y=0 = 0 – continuidade;

Componentes de na parede Relação na parede

yz xy 0y 0

yx zy 0y 0

w y

u y

2V

tS

A vorticidade criada na parede é difundida e transportada peloescoamento conforme sugere os termos da equação de transporte de ;a parede passa a ser uma fonte ou sorvedouro de vorticidade!

x y 0 y 0 y 0w y v z w y

y y 0 y 0u z w x 0

z y 0 y 0 y 0v x u y u y

IM250 Prof. Eugênio Rosa

.S e alongamento do vetor vorticidade - I(vortex stretching)

x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zzS S S i S S S j S S S k S

O termo de .S existe somente para escoamentos 3D. .S redistribui a vorticidade nas três direções! Este mecanismo é explorado no estudo de turbulência.

Produção (>0) ou extinção (<0) de vorticidade ocorre devido a .S :

Se a vorticidade está restrita a um plano, por ex. (xy), verifique que .S é sempre nulo!

x y z

x y z

x y z

u 1 v u 1 w ui

x 2 x y 2 x z

1 u v v 1 w vj

2 y x y 2 y z

1 u w 1 v w wk

2 z x 2 z y z

Sou

IM250 Prof. Eugênio Rosa

.S e alongamento do vetor vorticidade II(vortex stretching)

x xx y yx z zx x y zi

u 1 v u 1 w uS S S

x 2 x y 2 x z

S

A componente .Si possui três parcelas, por exemplo i = x :

• Uma parcela é normal ao plano onde atua S e coincide com (xSxx).

• As 2 parcelas outras S atuam num plano ortogonal a .

• Isto mostra que a produção/extinção de i recebe contribuições do campo 3D de e S , veja representação abaixo.

x

y

z

x xxS

x

xxSx

y

z

y yxS

yxS

y x

y

z

z

zxS

z zxS

[.S]i gera ou destroi e também redistribui nos outros planos. Este mecanismo só existe em escoamentos tri-dimensionais. Escoamentos 2D, [.S]0.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Manifestação de .S na

produção/destruição de

vorticidade

São apresentados casos ‘qualitativos’ onde:

i. O estiramento da linha de vorticidade está alinhado com a direção principal do escoamento;

ii. O estiramento da linha de vorticidade está, inicialmente normal a direção principal do escoamento.

iii. Todos os escoamentos exemplos são facilmente explicados pelo termo .S mas dificilmente explicáveis por P e u,v,w; observerm!

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Escoamento com ‘swirl’ num tubo com contração de área

A velocidade do fluido tem três componentes (vr, v, vz). A direção principal é vz > 0. O fluido com rotação axial (swirl) possui vorticidade também na direção z.

Se houvesse uma expansão de área, vz/z <0 haveria uma destruição de vorticidade pois zvz/z < 0!

V SRegime permanente e próximo contração, o efeito visc. não tem tempo p/ difundir, a eq. reduz p/:

A B

A < B

r

z

O efeito da contração de área faz com que vz/z aumente.

O termo dominante do lado direito é .S = zvz/z , observa-se que (.S)A < (.S)B .

A equação pode ser aproximada por:

z zz z B B

z z

z zA A

Vd dVV 1

dz dz V

Estiramento (streching) paralelo a velocidade principal

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Fluido em rotação

Tanque cilíndrico possui fluido em rotação.

Em vermelho estão representadas a linhas de

vorticidade próximo a parede.

No fundo do tanque é aberta uma saída; o

fluido é acelerado próximo da saída, há um

estiramento de linhas similar ao exempo

anterior.

Após alguns instantes é estabelecido um tubo

de vórtice na vertical devido a produção de

vorticidade devido ao termo .S .

Veja filmeTornado numa garrafa PET

c

Estiramento paralelo a velocidade principal

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Vórtice Ferradura (Horseshoe Vortex)

Antes do obstáculo, há linhas de

vorticidade ortogonal ao

escoamento livre.

O obstáculo força que estas linhas

de vorticidade se curvem e se

alinhem com a direção principal do

escoamento intensificando a

vorticidades.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Video Intake Turbine Vortex

Intake Turbine Vortex

Similar ao vórtice

‘ferradura’. O escoamento

livre vem de frente ao avião.

Longe do avião as linhas de

vórtices são ortogonais a

direção principal do

escoamento.

Próximo da turbina há

estiramento (.S ) devido a

sucção.

Similar ocorre na fuselagem

do avião.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Escoamento numa bifurcação, uma fração do

volume segue adiante e outra é succionada no ramo

O ramo da bifurcação cria uma região dentro do tubo que define se ele irá para o ramo ou seguirá em frente. As linhas de vorticidade, longe da sucção, são anéis concentricos. A medida que estes anéis aproximam-se do ramo eles começam a ser deformados, alinhando-se com a direção principal do escoamento (similar ao vórtice ferradura).

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Circulação e o teorema de Kelvin

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Variação da vorticidade média numa curva

Um dos empregos desta equação é identificar os mecanismos que produzem vorticidade no escoamento quando substituir DV/Dt pela eq. N-S na expressão acima:

C C

D D DVV ds ds

Dt Dt Dt

C C C C C C

D D DV Ds DV DVV ds ds V d ds V dV ds

Dt Dt Dt Dt Dt Dt

0

2

C C

D DV Pds V U ds; onde U gz

Dt Dt

C

n

sdsA circulação dá uma medida da vorticidade média

enquanto que a D /dt dá a taxa de variação da vorticidade média seguindo o circuito C;

Prova do lado esquerdo da eq. acima:

Por que ZERO? O caminho é fechado, portanto a integral é nula

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Variação da vorticidade média que cruza uma área

Avaliando cada termo eq. acima e aplicando teorema Stokes chega-se:

2

C C

D DV Pds V U ds; onde U gz

Dt Dt

C A A A

2 2 2 2

C A A A

C A

P P 1 1 1ds dA P P dA P dA

V ds V dA V dA dA

U ds U dA 0

Substituindo em D/Dt chega-se a:

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

ou

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Quando D/Dt = 0, = constante:

condições necessárias

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou fluido barotrópico ρ = f(P).

Se o escoamento for irrotacional ou se vorticidade produzida na parede, ou em uma camada cisalhante (shear flow) é não é transportada por difusão; neste caso =0!

2

A

1P dA 0

2

A

dA 0

D/Dt = 0 é também conhecido por teorema de Kelvin. Válido para escoamentos irrotacionais, sem viscosidade e para fluidos barotrópicos,

Derivada total da circulação

Se D/Dt = 0 a circulação é constante portanto o produto da vorticidade média e a área contida na curva C também é constante.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Vórtice de partida de asa, D/Dt 0Asa infinita (2D)

Asa finita (3D)

Se o fluido está parado, não há vorticidade. Se uma asa desloca num fluido estacionário, observa-se o surgimento de uma circulação na asa (que dá sustentação na asa) e um segundo vórtice, com circulação igual e contrário ao da asa de modo que D/Dt = 0 (Teorema de Kelvin).

Uma asa finita possui vórtices de ponta de asa mas ainda assim D/Dt = 0. A presença do vórtice criado no início do movimento fica na pista do aeroporto. Precisa que ele seja dissipado até o próximo avião decolar.

Os vórtices de ponta criam uma corrente descendente na região da asa e fora da asa uma corrente ascendente. Pássaros em migração e aviões em formação de esquadrilhas usam estes vórtices para ganhar mais sustentação e reduzir consumo combustível.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Escoamento com variação de área, D/Dt 0

O escoamento com contração de área leva a um aumento da vorticidade após a contração devido a produção de vorticidade pelo alongamento das linhas de vorticidade

Na ausência de viscosidade e de transferência de calor,então o teorema de Kelvin expõe que:

Portanto:

A

B

A < B

r

z

D0 constante

Dt

DA

DB

A (DA2/4) = B (DB

2/4)

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Quando D/Dt 0, não é constante

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

2

A

1P dA 0

2

A

dA 0

Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou seja, barotrópicosρ=f(P). Entretanto para aquecimento / resfriamento frequentemente ρ e P não são paralelos, veja figura.

Se houver haverá difusão de vorticidade gerada na parede pela tensão cisalhamento ou também em camadas cisalhantes. No entanto a vorticidade pode ficar confinada na camada limite se Re for elevado.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

SumárioA partir da eq. N-S para fluido incompressível e viscosidade constantes

foram obtidas as equações da vorticidade e da pressão de forma

desacopladas.

2Vt

S

21P :

S S

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Linha de Corrente e

Função Corrente para Regime

Permanente, /t = 0

IM250 Prof. Eugênio Rosa

dx

u

dy

v

dz

w

x

yV

dy

dxds

Recapitulação: as linhas de corrente são, por definição, tangentes

ao vetor velocidade a todo instante, e são expressas por:

Linha de Corrente: Conceito Cinemático

linha de corrente

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente para EscoamentoIncompressível e Bi-Dimensional

A função corrente, , é um conceito matemático, Lagrange (1731).

A hipótese de escoamento bi-dimensional reduz eq. massa para:

Definição de função corrente:

Cartesiano Polar

Mostre que a função corrente SEMPRE satisfaz a Eq. da Massa!

Uma definição mais geral de função corrente é apresentada no apêndice I. Ela

se aplica para sistemas de coordenadas cilíndricas, esféricas

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente: Propriedades

Uma linha definida por = cte coincide com a linha de corrente

A função depende de (x,y) ou (r,). A variação de é dada por:

d dx dy vdx udyx y

Para constante, então d = 0 e dy/dx = v/u, isto é, as linhas com

constante coincidem com a definição de linha de corrente.

Da definição acima chega-se

que a variação valor de

entre A e B é dado por:

B

A

vdx udy

dx

u

dy

v

dz

w

x

yV

dy

dxds

Linha corrente, = cte.(A)

(B)

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente: Propriedades

diferença 2 - 0 resulta na vazão Q entre as linhas de corrente

Duas linhas de corrente, 2 e 0,

definem um tubo de corrente, pois

não há velocidade normal para

linhas com constante!

1 y 1 0

2 x 2 1

Q v dA dxx

Q u dA dyy

A vazão Q que passa através de 2 e 0 pode ser calculada fazendo

um caminho e 0 1 2 de forma que criam superfícies

ortogonais a x e y, assim:

A vazão Q que passa através de 2 e 0 : 1 2 2 0Q Q

B

A

vdx udy

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Nos próximos slides será abordado a relação entre função corrente e

vorticidade.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Relação função corrente e vorticidade

O conceito desenvolvido aplica para escoamentos 2D, axi-

simetricos e com simetria esférica. Será usado um campo 2D para

demonstrar a relação entre e

u e vy x

2

z

v u

x y

O campo de velocidades expresso pela função corrente:

A vorticidade:

A vorticidade é expressa pelo Laplaciano de para os casos

mencionados acima.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Formulação Vorticidade - Função Corrente

Várias soluções analíticas (ou exatas) de N-S foram obtidas usando a função corrente em escoamentos bi-dimensionais ou axi-simétricos

O uso da vorticidade elimina a variável Pressão, por sua vez a vorticidade também pode ser expressa por meio da função corrente, .

Esta substituição não só elimina a equação da massa mas também reduz a equação da vorticidade a uma única EDP não linear!

Isto possibilita em alguns casos uma solução analítica. Se não for possível ela permite simples integração utilizando Runge Kutta.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Por que Função Corrente?

A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.

Ela é útil em cálculos analíticos e numéricos aplicados em escoamentos por reduzir o número de variáveis independentes do escoamento.

Se eu tiver um campo de velocidades expresso por uma função corrente eu não preciso resolver a equação da conservação da massa!

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Formulação -, regime permanente; ex. 2D

1. O campo de velocidades (x,y), (u,v)

2. O campo de vorticidades (escalar):

3. Equação vorticidade 2D:

4. A componente z da vorticidade:

u e vy x

2

z

v u

x y

2V.

2z z

zu vx y

Resolve (4) e (2) iterativamente

2z zz

y x x y

2

z

4

2 24 2 2 2 2

2 2

4 4 4

4 2 2 4

onde é operador biharmônico;

x y

2x x y y

2 2 4

y x x y

Substitui (2) em (4) p/ obter

IM250 Prof. Eugênio Rosa

A solução caso 2D requer solução simultânea de 3 EDP não-linear

A formulação da função corrente reduz o sistema de equaçõesdiferenciais parciais acima para uma única EDP, não linear, em .

Redução EDPs c/ formulação

2 2 4

y x x y

2 2

2 2

2 2

2 2

u v0

x y

u u 1 P u uu v

x x x x y

v v 1 P v vu v

x x y x y

- Eq. massa

- Eq. q. mov. (x)

- Eq. q. mov. (y)

A eq. acima aplica p/ escoamentos 2D ou com axi simetria (polar, cilindrico-polar ou esférica).

Expressar a eq. N-S em função corrente é uma das formas para obter soluções exatas da eq. N-S.

Em escoamentos 3D não é possível a redução das EDPs usando a função corrente.

IM250 Prof. Eugênio Rosa

FIM

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Apêndice I

Definições de Linha de Corrente e de Função Corrente

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Existem várias maneiras de se descrever uma curva no espaço.

Para nossos propósitos, é conveniente tratar uma curva com a

intersecção de duas superfícies independentes, f e g:

Função corrente: uma linha no espaço

IM250 Prof. Eugênio Rosa

O vetor tangente H à linha formada pela intersecção dos planos f e g

é:

Associação:

linha da interseção: vetor tangente fxg = V linha de

corrente: V é um vetor tangente a linha de corrente

Função densidade

Função corrente: conceito matemático

H x,y,z f g

H V

IM250 Prof. Eugênio Rosa

A vazão mássica através de um tubo de corrente constituído por

duas superfícies f e g é expressa por:

Função corrente: conceito matemático

1 2 1 2m f f g g

V

V

V

ou através da simples relação aos valores das funções f e g nestas

superfícies.

m V n dA

dA

Veja demonstração desta propriedade

na pg 20 do doc no link assim como

referências sobre o assunto

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Para escoamentos com simetria, é possível escolher g como um

conjunto de planos definidos pela variável de simetria. Isto reduz o

problema à determinação da superfície f denominada por função

corrente, f = .

Escoamentos com aplicação direta são:

• Escoamentos planos em coordenadas cartesianas ou polares e

• Escoamentos axi-simétricos em coordenadas cilíndricas ou

esféricas.

• Há outros sistemas também mas não serão tratados aqui!

Função corrente : conceito matemático

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente para Escoamento 2-D

Incompressível: Coordenadas Cartesianas

x

yz

g = z

f =

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

x yf x, y g = z = , ,0 g = 0,0,1

0= w; yx,v= v; yx,u=u ; gfV

uy x

; v = - ; w = 0

g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2

u v0

x y

definição satisfaz

eq. massa

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente para Escoamento 2-D

Incompressível: Coordenadas Polares

z

r

Vr

V

g = z

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

1

f r, g=z = , ,0 g= 0,0,1r r

r r zV f g ; v =v r, ; v =v r, ; v =0

u ; v = - ; w=0r r

g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2

definição satisfaz

eq. massa

rrV1 V0

r r r

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Função Corrente para Escoamento Axi-simétrico

Incompressível: Coordenadas Esféricas

g g1 1 2 2 10 2 ; ; Q = 2 ( ou2 )

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

1 1

f r,z g= = , , g= 0, ,0r r z r

r r z z

vV f g ; v = v r,z ; =0 ; v = v r,z

vr z r r

r 1 1

; v

= 0 ; v = z

Q = 22 se 1= 0 é o eixo = 0

21

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de

Stokes (simetria Azimutal ), veja Panton

Superfícies

r, e g=

Os gradientes das superfícies

1 1, , e

r r rSin

1g 0,0,

rSin

r r

r 2

Velocidades :v

V g; v v r, ; v v r, ; 0

1 1 v ; v

r Sin rSin r

• Note que esta definição de

automaticamente satisfaz a massa:

2

r

2

r v Sin v1 1V 0

r r rSin

r,

g

IM250 Prof. Eugênio Rosa

FIM APÊNDICE