Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis

Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis

Derivadas Parciais de ordens superioresCalculam-se as derivadas parciais de ordem superior

computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.

ExemploCalcule as derivadas parciais de segunda ordem da função

f(x,y) = 2x3.e5y.

Temos que: yexyxx

f 52.6),(

yexyxy

f 53.10),(

Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis

Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:

E a segunda derivada, em relação a y é:

yexyxx

f 52

2

.12),(

yexyxy

f 532

2

.50),(

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Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x:

E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:

yy exexx

yxyx

f 52532

.30)10(),(

yy exexy

yxxy

f 52522

.30)6(),(

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Derivadas Parciais de ordens superioresAs duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima

são chamadas de puras ;

As duas últimas são chamadas de mistas.

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NotaçãoSe z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais

de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:

),(),(2

2

yxfyxzx

z

xx

zxxxx

),(),(2

2

yxfyxzy

z

yy

zyyyy

),(),(2

yxfyxzx

z

xyx

zyxyx

),(),(2

yxfyxzx

z

yxy

zxyxy

Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis

Derivadas Parciais de ordens superioresEm nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas)

deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

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Derivadas Parciais de ordens superioresEm nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas)

deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

Proposição

Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é

tal que as derivadas existem e são

contínuas nessa vizinhança, então .

xy

feyx

f

y

f

x

f

22

,,

xy

f

yx

f

22

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Regra da CadeiaA regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o

intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis.

Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).

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A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão:

P = p(x(t) , y(t)) = P(t)

A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

dt

dy

x

p

dt

dx

x

ptP ..)('

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ExemploConsidere uma firma cuja receita expressa-se através da

função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.

Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as

seguintes derivadas parciais: .l

yek

y

l

x

k

x

y

R

x

R

,,,,

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Exemplo

3l

x

22 )13(

kyx

R

)13)(34(22

klkxyy

R

4k

x

3k

y

1l

y

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ExemploAplicando a Regra da Cadeia, temos:

3).3)(34(24.)3( 2 lklklkk

y

y

R

k

x

x

R

k

R

1).3)(34(23.)3( 2 lklklkl

y

y

R

l

x

x

R

l

R

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AplicaçãoA temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada

no plano XY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.

Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de do eixo Y;

Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo X a temperatura aumenta ou diminui?

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Solução

)(402)(20 2222 yxyyyxy

T

)(402)(20 2222 yxxxyxx

T

400)21(2.402.2)21(20)2,1( 2222 y

T

200)1.(2]2)1[(20)2,1( 22 x

T

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Curvas de nívelPara traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível,

basta esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c.

Exemplo-1Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função

z = f(x,y) = x2 + y2.Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação:

x2+y2=c. Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio .

Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.

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Exemplo 1

Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis

Exemplo 1

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Exemplos de outras curvas

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Exemplos de outras curvas

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Gradiente de uma funçãoO gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0),

designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são:

),( 00 yxx

f

),( 00 yxy

f

e

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Simbolicamente:

Exemplo 2Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto

(1,3).

),(),,(),( 000000 yxy

fyx

x

fyxf

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ResoluçãoCalculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação

a x e y:

No ponto (1,3):

23

1

00 3

26),( yxxyyx

x

f

yxxyx

y

f 3

22

00 23),(

)3,1(),3,1()3,1(y

f

x

ff

12618)3()1(3

23.1.6)3,1( 23

1

x

f

3)3()1(2)1(3)3,1( 3

22

y

f

Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3)

é o vetor f(1,3)=[12,-3].

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Gradiente de uma função

Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente.

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Gradiente de uma funçãoDessas considerações é possível pensar num campo de

vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.

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Relação entre Gradiente Curvas de NívelDizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana,

dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva.

TeoremaO gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é

ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.

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ProvaOs pontos (x,y) sobre uma curva de nível podem ser

parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t);

Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C;

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, pela regra da cadeia:

0)(')].(),([)(')].(),([

tytytxy

ftxtytx

x

f

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ProvaO primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos

vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)];

Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto (x(t),y(t));

Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).