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7/26/2019 Integrais Triplas Por Coordenadas Esfricas
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Coordenadas Esfricas
Trata se de um sistema decoordenadas tridimensionais com
coordenadas correspondente huma cunha esfrica . Ele simplica oclculo de integrais triplas emregies limitadas por esferas e
cones.
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Coordenadas Esfricas
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Coordenadas Esfricas
O sistema de coordenadas esfricas til em problemas nos quais eista
simetria em torno de um ponto e aorigem este!a colocada neste ponto.
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Eemplo
,
uma esf
era
c=
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Eemplo
,
um sem
iplano
c=
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Eemplo
, um semiconec=
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"ela#$o entre Coordenadas
esfricas e retangulares
cos
sen
cos
sen
z
r
x r
y r
=
==
=
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Con%ers$o&ara con%erter de coordenadas esfricas pararetangulares' usamos as equa#es
&ara con%erter de coordenadas retangulares paraesfricas' usamos a equa#$o
sen cos sen sen cosx y z = = =
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Eemplo (
O ponto dado em coordenadas esfricas.)arque o ponto e encontre suas coordenadasretangulares.
*olu#$o+
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Eemplo (
,ogo' o ponto em Coordenadasretangulares
3 1 3sen cos 2 sen cos 2
3 4 2 22x
= = = =
3 1 3sen sen 2 sen sen 2
3 4 2 22y = = = =
1cos 2cos 2 1
3 2z
= = = =
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Eemplo -
O ponto est dado em coordenadasretangulares. Encontre coordenadas esfricas paraeste ponto.
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Eemplo -
a equa#$o
temos
logo
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Eemplo -
Obs+
,ogo' as coordenadas esfricas do ponto
dado s$o
cos 0sen 2
x
= = =
3 , pois 2 3 0.2
y = >
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/ntegrais Triplas em
coordenadas esfricas0esse sistema de coordenadas 1 caia retangular uma cunha esfrica
onde
( ){ }, , | , ,E a b c d =
0, 2 ea d c
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/ntegrais Triplas em CoordenadasEsfricas
*uponha que dese!amos calcular a integral triplaem que f uma fun#$o cont2nua e E uma cunha esfrica.
&rimeiramente di%idimos E em pequenas cunhas esfricas Ei!3 'igualmente espa#adas' com %olume 4ijk .O %olume Vijkpode ser aproimado pelo %olume de uma caiaretangular com dimenses
ijk ijk sen ijk
pois ijk representa o arco de circunfer5ncia de raio ijke
6nguloenquanto que ijk sen ijk corresponde ao arco decircunfer5ncia de raio rijk = ijk sen ijk e ngulo .
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e fato' com o au2lio do Teorema do 4alor
)dio' pode8se mostrar que
4i!3 9 : ; i!3 sen < ; i!3=:=>=; i!3 '
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/ntegrais Triplas em
coordenadas esfricas
seni k
seni i k
r =
seni i kr =
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o con%ertemos uma integral tripla decoordenadas retangulares para coordenadasesfricas escre%endo
9
D9
9
Ftiliando o limite de integra#$o apropriada esubstituindo dV por ! sen ddd.
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BGrmula para /ntegra#$o Tripla
em coordenadas cil2ndricas
onde um cunha esfrica dada por
( ) 2
( , , )
sen cos , sen sen , cos sen d d d
E
d b
c a
f x y z dV
f
=
E
( ){ }, , | , ,E a b c d =
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Etens$o da fGrmula
fGrmula anterior pode ser estendida para incluirregies esfricas mais gerais' como
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Eemplo H
Calcule onde
a bola unitria+
Exemplo :
( )3/2
2 2 2
,x y z
Be dV
+ +B
( ){ }2 2 2, , | 1B x y z x y z= + +
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Eemplo H
*olu#$o+ como a fronteira de uma esfera'utiliaremos coordenadas esfricas+
lm disso' as coordenadas esfricas s$ocon%enientes' pois
B
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Eemplo H
( )
( )
[ ] ( )
3/22 2 2
3/22
3
3
2 12
0 0 0
2 12
0 0 01
00
sen d d d
sen d d
1 4cos 2 ( 1)
3 3
x y z
Be dV
e
d e
e e
+ +
=
=
= =
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Eemplo H
*eria etremamente complicado calcular a integralsem coordenadas esfricas. Com coordenadasretangulares' a integral seria
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Eemplo I
Ftilie coordenadas esfricas para determinar o%olume do sGlido delimitado pelo cone epela esfera
?%e!a a gura@.
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Eemplo I
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Eemplo I
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*olu#$o
0ote que a esfera passa pela origem e tem
centro em
Escre%emos a equa#$o da esfera em coordenadasesfricas como
ou
10,0, .
2
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Soluo
A equao do cone pode ser escrita como
Isto d ou
Logo, a descrio do slido em coordenadas
esfricas
2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen sen . = + =
sen cos =
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*olu#$o
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*olu#$o
2 /4 cos2
0 0 0
cos3
2 /4
0 00
/44/43
00
( )
sen d d d
sen d3
2 2 cossen cos d
3 3 4
E
V E dV
d
=
=
=
= =
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"eferencias+
*terJart' Kames? %olume // L Kames *terJart8 *$o &auloMpioneira Thomsonlerarning'-NN IP Edi#$o@
QO0R,4E*' ). S. e B,E))/0Q' . ).' Clculo S+ Bun#es de 4rias 4ari%eis'
/ntegrais uplas e Triplas' Editora )a3ron Soo3s do Srasil' *$o &aulo' (.
QF/O"/UU/' Vamilton ,ui. Fm Curso de Clculo+ 4olume H. P edi#$o. *$o &aulo+,TC' -N(N.
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Componentes+
Cinthia Sepulveda
,ariana *antana)ai3e )atias
0Delson rgolo
ThaisD Vanmiller
4anessa uarte