Universidade de Braslia

Departamento de Matematica

Calculo 2- 6a Lista de Fixacao - Modulo 2

1. Resolver a equacao diferencial dada utilizando series de potencias em torno do ponto x0dado. Determinar a relacao de recorrencia, os 4 primeiros termos da serie e quando possvel

o termo geral

a) y xy y = 0, x0 = 0b) (1 x)y + y = 0, x0 = 0,c) xy + y + xy = 0, x0 = 1.

2. Considere a seguinte equacao diferencial

y + (x 1)2y + (x2 1)y = 0.

Determine duas solucoes linearmente independentes em serie de potencias de (x 1).3. Equacao de Hermite A equacao

y 2xy + y = 0, < x

c) Determine a solucao polinomial nos casos = 0 e = 1

d) Mostre que os pontos x = 1 e x = 1 sao pontos singulares regulares e determine osexpoentes de singularidade de cada um.

e) Determine duas solucoes linearmente independentes na vizinhanca de x = 1.

6. Para cada uma das equacoes diferenciais abaixo, determine todos os pontos singulares e

classifique-os em regular e irregular.

a) xy + (1 x)y + xy = 0,b) x2(1 x2)y + 2xy + 4y = 0,c) x2y + xy + (x2 2)y = 0 (Equacao de Bessel).

7. Para cada uma das equacoes diferenciais abaixo, determine a solucao geral que seja valida

em qualquer intervalo que nao inclua o ponto singular.

a) x2y + 4xy + 2y = 0,b) (x+ 1)2y + 3(x+ 1)y + 0.75y = 0,c) x2y 3xy + 4y = 0,d) x2y xy + y = 0.

8. Determine a solucao do PVI dado:

a) 2x2y + xy 3y = 0, y(1) = 1, y(1) = 4,b) 4x2y + 8xy + 17y = 0, y(1) = 2, y(1) = 3

9. a) Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + xy + (5/2)y = 0,tendem a zero quando x 0.b) Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + xy + (5/2)y = 0,tendem a zero quando x.

10. Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + y = 0, tendem a zeroquando x 0.

11. Determine para que a solucao do PVI x2y 2y = 0, y(1) = 1, y(1) = , seja limitadaquando x 0.

12. Mostre que em cada uma das equacoes x = 0 e um ponto singular regular. Determine

a equacao indicial, a relacao de recorrencia e as raizes da equacao indicial. Determine a

solucao em serie correspondente a` maior raiz.

a) 2xy + y + xy = 0b) x2y + xy + (x2 1/9)y = 0,c) xy + y = 0.