Lógica Proposicional

BCC101 Matemática Discreta I

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Lógica Proposicional

Uma proposição é uma sentença declarativaque é verdadeira ou é falsa

• Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais• Brasilia é a capital da Argentina • 1+1=2 • 2+2=3

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True

FalseTrue

False

• 1+2 é impar e 1+3 > 5• ⊆ 𝐙 ou 2>5• Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primo

FalseTrue

False

Axiomas Princípio da não contradição:

Nenhuma proposição é simultaneamente verdadeira e falsa.

Princípio do terceiro excluído:Toda proposição é verdadeira ou é falsa.

Sentenças que não são proposições:

•Que horas são?

•Esta sentença é falsa

depende do valor da variável x

simultaneamente T e F

não se pode atribuir T ou F

• x+1 = 23

Lógica Proposicional

Proposições podem ser combinadas para formar novas proposições:

Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais e o Cruzeiro é o melhor time do Brasil

Duas proposições simples:

Combinadas usando-se o conectivo e

Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais

Cruzeiro é o melhor time do Brasil

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Lógica Proposicional

Vamos usar variáveis para representar proposições: P, Q, R, …

P: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais Q: Cruzeiro é o melhor time do Brasil

A sentença anterior seria representada como

P e Q

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Vamos usar símbolos especiais para representar os conectivos lógicos:

Exemplo:

Conectivo Simbolo

Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação) →

Equivalência (bi-implicação)

= ⟷

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Lógica Proposicional – sintaxe

Consideramos um conjunto enumerável de variáveis de proposição: P1, P2, P3, ….

fórmulas atômicas

Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop das fórmulas da LP pode ser definido pela seguinte gramática:

prop := var |true | false

|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop -> prop) |(prop <-> prop) 7

Fórmula?

Prop? ((P Q)((P)Q))

Constituintes(devem ser props)

(P Q) ((P)Q)

Constituintes(dos constituintes)

P Q (P) Q

Constituintes(dos constituintes dos constituintes)

PSim, é uma Prop – constituintes casam com as regras da gramática, até o nível de fórmulas atômicas

Usando a gramática podemos determinar se uma sequência de símbolos é uma fórmula (sentença válida)

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Fórmula?

Prop? (( P ((Q)))((P)Q))

( P ((Q))) ((P)Q)Constituintes(devem ser props)Constituintes(de constituintes)

P ((Q)) (P) Q

Constituintes(de constituintes de constituintes)

(Q) P

Ôpa! Q não é uma PropNenhuma Prop começa com

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Exercício

Quais das seguintes sentenças são fórmulas da Lógica Proposicional?

Caso a sentença seja uma fórmula, relacione todas as suas subfórmulas.

1. ((P ∨ Q) → P)2. ((P ∧ ∨ P) → ¬)

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Conectivos: precedência associatividade

Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:

maior precedência

¬ =∧ ∨ ➝

menor precedência

∧ e ∨ têm associatividade à esquerda

➝ tem associatividade à direita

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Conectivos: precedência associatividade

Exemplos:

¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R)

P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R)

P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R))

P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)

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Exercício

Elimine os parênteses desnecessários:

((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S))(P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q)))¬ (P ∨(Q ∧ R))¬ (P ∧(Q ∨R))

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Lógica Proposicional - semântica

O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F

O significado da constante true é TO significado da constante false é F

Existem 2 possíveis interpretações para uma variável de proposição P : T ou F

Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q) R) ?

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Negação

Verdadeiro se e somente se o operando é Falso

p ¬ p

T F

F T

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Conjunção

Verdadeiro se e somente se ambos os operandos verdadeiros

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p q p ∧ q

T T T

T F F

F T F

F F F

Disjunção

Verdadeiro se e somente se qualquer dos operandos é verdadeiro

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p q p ∨ q

T T T

T F T

F T T

F F F

Ou Exclusivo

Verdadeiro se e somente se os operandos tem valores diferentes

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p q p ⊕ q

T T F

T F T

F T T

F F F

Implicação

Falso se e somente se o 1o operando é verdadeiro e 2o operando é falso

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p q p ➝ q

T T T

T F F

F T T

F F T

Equivalência ou Bi-implicação

Verdadeiro sse ambos operandos têm o mesmo valor

p⟷q tem o mesmo valor que (p→q)(q→p)p ⟷q tem o mesmo valor que (p ⊕ q)

OBS: Também escrito como p=q 20

p q p ⟷ q

T T T

T F F

F T F

F F T

Implicação – algumas observações

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se p então qp implica qq segue de p

q somente se pp é suficiente para qq é necessário para p

Existem várias maneiras de expressar uma implicação p ➝ q:

Exemplos:É suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10

qp

Inverso: pq

Contrapositivo:

Converso:

pq

qp

Implicação: equivalentes(mesma tab-verdade)

equivalentes

Implicação – algumas observações

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Exemplos:

Relação Equivalência:

notação abreviada para

Bi-implicação:

?

relação de equivalência

Bi-implicação – algumas observações

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ou

ou

ou

Tabela-verdade

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Proposição: (P Q) (PQ)

P Q

F F

F T

T F

T T

F

T

T

T

(P Q) P

T

T

F

F

(PQ)

F

T

T

T

(PQ) (PQ)

F

T

T

T

Verdadeiro p/ alguma: Satisfazível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :

Contradição (não satisfazível)

Outra Tabela-verdade

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Proposição: (PQ) (PQ)

P Q

F F

F T

T F

T T

F

T

F

(PQ) P

T

T

F

F

(P Q)

F

T

T

T

(PQ) (PQ)

F

T

F

F F

Equivalência Lógica: =(PQ) (PQ) (PQ)

Sherlock HolmsO mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado

M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo

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M C) L C

L M

Sherlock Holms

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M C L M C) L C L M

False False False True False True

False False True True True True

False True False True True True

False True True True True True

True False False True False False

True False True True True True

True True False False True False

True True True False True True

M C), L C ⇒ L M

M C) L C

L M

Consequência Lógica

O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática?

É bom quando existem apenas 2 variáveis{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade

Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade

Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?

Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

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29

Adição Binária

1001 (9)+ 1 1 (3)------1100 (12)

Portas Lógicas

AND XORNOTOR

Circuitos Digitais

Circuito Meio Somador

Entradas Saídas A B C S 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

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S=A BCout=(AB)

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Somador Completo

Entradas Saídas A B Cin Cout S

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

1

S=A B Cin

Cout=(AB) (Cin (AB)